Fordeling av elektriske ladninger på overflaten av en leder. Ladningsfordeling over overflaten av en leder

GOU VPO

DVGUPS

Institutt for fysikk

Laboratoriearbeid
Om emnet: "Ledere i et elektrisk felt."

Khabarovsk 2016

TEMA: LEDEREN I ET ELEKTRISK FELTE

Målet med arbeidet:

1. Bestem den elektriske kapasiteten til kondensatorene.

2. Kontroller eksperimentelt formlene for parallell- og seriekobling av kondensatorer.

3. Bestem energien til ladede kondensatorer.

Enheter og tilbehør: galvanometer; gjeldende kilde; panel med voltmeter og brytere; kondensatorer.

TEORETISK DEL

Ladningsfordeling i en ladet leder

Alle legemer, avhengig av deres elektriske egenskaper, kan deles inn i tre grupper: ledere, dielektriske, halvledere. I en uladet metallleder, som i et hvilket som helst nøytralt legeme, er den totale elektriske ladningen null, dvs. ladningen av frie elektroner kompenseres av positive ladninger knyttet til nodene til metallkrystallgitteret. Siden ladningen til legemer bestemmes av mangelen eller overskuddet av antall elektroner sammenlignet med antallet i elektrisk nøytrale legemer, kommer ladningen av en leder, dvs. dens elektrifisering, ned til en endring, på en eller annen måte, i antall elektroner i den.

Hvordan er denne overskuddsladningen fordelt i lederen?

Faste ladninger av samme tegn kan ikke bevares i tykkelsen til en ladet leder. Kraftene til gjensidig frastøtning vil tvinge dem til å bevege seg bort fra hverandre til de største avstandene, inntil grensen for lederen med dielektrikumet er nådd, dvs. på den ytre overflaten av lederen.

For at ladningsfordelingen på lederen skal være i likevekt, må vektoren for elektrisk induksjon (elektrisk forskyvning) inne i lederen være lik null (ellers vil ladningene inne i lederen bevege seg og likevekten vil bli forstyrret):

Da er fluksen til induksjonsvektoren gjennom en hvilken som helst lukket overflate som ligger inne i lederen lik null. Følgelig er den algebraiske summen av ladningene dekket av enhver lukket overflate inne i lederen også null, dvs.

Inne i lederen er altså den totale elektriske ladningen null. Ladningen som tildeles lederen fordeles bare over lederens ytre overflate.

En kvantitativ karakteristikk av ladningsfordeling over overflaten til en leder er overflatetetthet lade

Hvor S- overflaten av en leder som ladningen q er fordelt på.

Et legeme med vilkårlig form på forskjellige deler av overflaten har forskjellige ladningstettheter. Fordelingen av overflateladningstetthet bestemmes kun av lederens form og avhenger ikke av ladningsmengden. Jo større krumning av den konvekse overflaten til et ladet legeme, jo større overflateladningstetthet.

Nær en ladet leder er den elektriske induksjonsvektoren numerisk lik overflateladningstettheten, og spenningen er direkte proporsjonal med overflateladningstettheten.

hvor og er de normale komponentene til den elektriske induksjonsvektoren og feltstyrken.

Studiet av elektrostatikken til ledere er komplisert av det faktum at fordelingen av elektrisk ladning over den ytre overflaten av det samme ledende legeme i ulike forhold kan vise seg å være helt annerledes. Et unntak er tilfellet med fordeling av elektrisk ladning over overflaten av en enslig leder i et uendelig homogent isotropisk rom. Denne fordelingen avhenger bare av formen på grenseoverflaten til lederen. Nedenfor, for enkelhets skyld, vil vi vurdere enslige guider i et vakuum. Matematikere kaller problemet med fordelingen av elektrisk ladning over overflaten til en leder for "Robin-problemet." Det skilles mellom det volumetriske (tredimensjonale) tilfellet og det todimensjonale tilfellet av Robin-problemet. I det todimensjonale tilfellet betraktes en uendelig sylinder med vilkårlig tverrsnitt som en leder. Utenfor lederpotensialet elektrostatisk felt tilfredsstiller Laplaces ligning, blir potensialet på lederens overflate null, og integralet over lederens overflate fra normalderiverten av potensialet er proporsjonal med verdien av den totale elektriske ladningen. I det flate (todimensjonale) tilfellet er metoder fra funksjonsteorien til en kompleks variabel, spesielt den konforme kartleggingsmetoden, effektive for å løse Robin-problemet.

La oss anta at lederen er en ellipsoide, hvis likning av grenseoverflaten er beskrevet i det kartesiske koordinatsystemet ved likningen

Det er kjent (F. Frank, R. Mises. Differential and integral equations of matematisk fysikk. - L.-M.: ONTI. Sjefredaktør for generell teknisk litteratur. - 1937.-998 s., s. 706) fordelingen av overflatetettheten til elektrisk ladning over den overflateledende ellipsoiden:

. (2)

Fra denne relasjonen følger estimatet

hvor dvs. overflateelektriske ladningstettheter ved skjæringspunktene mellom ellipsoidaksene og overflaten. Hvis str EN veldig stor og dimensjonene b Og c liten, blir den veldig stor. La oss huske at denne verdien er proporsjonal med den normale komponenten av den elektrostatiske feltstyrken nær overflaten av lederen. Elektrisk sammenbrudd avhenger av styrken til det elektrostatiske feltet. Det viser seg at sammenbruddet skjer i nærheten av den "skarpe" enden av en ellipsoide langstrakt i én retning.

For et dirigentball har vi

, , (4)

fordelingen av overflateelektrisk ladningstetthet er jevn.

Den ujevne fordelingen av elektrisk ladning over overflaten til en vilkårlig leder er årsaken til en feil som oppstår, for eksempel i en elementær, forenklet beregning av kapasitansen til en kondensator med endelige dimensjoner. Å strengt tatt hensyn til "kanteffekter" er noen ganger en ganske vanskelig oppgave. Spesielt krever utledning av relasjon (2) introduksjon av ellipsoidale koordinater, evnen til å skrive Laplace-ligningen i disse koordinatene, konstruere en løsning på den resulterende partielle differensialligningen med variable koeffisienter (dvs. oppnå fordelingen av det elektrostatiske feltet potensial utenfor den ledende ellipsoiden), og beregne styrken til det elektrostatiske feltet i nærheten av grenseoverflaten til ellipsoiden, og til slutt beregne verdien av overflatetettheten til den elektriske ladningen på overflaten av den ledende ellipsoiden. Bare i sjeldne tilfeller unntakstilfeller løsningen på problemer av typen under vurdering kan oppnås i en lukket analytisk form i andre tilfeller, er løsningen oppnådd ved hjelp av numeriske metoder ved hjelp av en spesiell programvare moderne datamaskiner.

La oss vise at ~

Emne 4. Spørsmål 3.

Fordeling av ladninger i konduktører.

Ledere i et elektrostatisk felt.

Når en uladet leder blir introdusert i et eksternt elektrostatisk felt, vises ladninger på overflaten. Fenomenet ladningsomfordeling i en leder når den introduseres i et eksternt elektrostatisk felt kalles elektrostatisk induksjon ( induksjon av ladninger, elektrifisering ved induksjon).

1) Hvis en uladet metallleder fra to kontaktdeler føres inn i feltet, vil induserte ladninger vises på overflaten. Hvis disse delene skilles ved hjelp av isolerende håndtak, vil hver del bli belastet med tilsvarende ladning (se figur). I dette tilfellet er feltstyrken inne i lederne alltid null.

2) En uladet leder introdusert i et elektrostatisk felt forvrenger feltet (se fig. - linjer med piler er kraftlinjer for et eksternt jevnt felt; linjer vinkelrett på dem er ekvipotensialflater; ± - induserte ladninger er indikert).

3) Størrelsen på den induserte ladningen er alltid mindre enn størrelsen på den induserte ladningen. Bare i tilfellet når den induserte ladningen er plassert inne i et metallhulrom, viser den induserte ladningen seg å være den samme i størrelse, men samtidig viser seg at overflateladningstettheten er forskjellig. På figuren: en punktladning er omgitt av et uladet hult metalllegeme. Både den indre og ytre overflaten er sfæriske, men sentrene deres er forskjøvet. Den induserte ladningen er jevnt fordelt på den ytre overflaten, men på en kompleks måte på den indre overflaten.

4) Induserte ladninger påvirker det elektriske feltet til de induserte ladningene.

5). En indusert ladning forekommer også på en allerede ladet kropp. Hvis det er to positive ladninger i nærheten + Q og + q, må de presse av. Men den induserte negative ladningen på en av ladningene kan vise seg å være større enn dens egen ladning, og ladningene vil bli tiltrukket av hverandre.

Elektrostatisk beskyttelse: En leder eller et ganske tett metallnett som omgir et bestemt område på alle sider, beskytter det mot elektriske felt skapt av ytre ladninger.

Emne 5. Spørsmål 1.

Elektrisk kapasitet.

Alle ledere har egenskapen til å akkumulere elektriske ladninger. Denne egenskapen kalles elektrisk kapasitans. Kvantitative egenskaper Denne egenskapen kalles også elektrisk kapasitans og er betegnet MED. Det skilles mellom den elektriske kapasitansen til en enslig leder (sin egen kapasitans), plassert langt fra andre ledere, og den gjensidige kapasitansen til et system med to eller flere ledere.

Farad, SI-enheten for kapasitans, er en ekstremt stor enhet. Ja, kapasitet kloden omtrent 7 × 10 - 4 F, så mikro-, nano- og picofarader brukes vanligvis.

Egenkapasitans avhenger bare av formen og størrelsen på lederen og av de dielektriske egenskapene miljø(vakuum, luft, parafin,...) og er ikke avhengig av materialet til lederen (Fe, Cu, Al,...), og heller ikke av om den er ladet eller ikke. Hver isolert leder har "sin egen" kapasitans hvis du for eksempel bøyer et stykke ledning eller gjør et bulk i en kule, vil kapasitansen deres endres.

Å beregne kapasitet er komplekst matematisk problem, og hvis lederen har en kompleks konfigurasjon, kan dette problemet ikke løses analytisk.

La oss beregne elektrisk kapasitet til en enslig kule (ball).

Emne 5. Spørsmål 2.

Elektrisk kapasitet.

La oss beregne parallell plate kondensator kapasitans- dette er to parallelle metallplater (plater) av samme størrelse, atskilt med et lag med dielektrikum (vakuum, luft, etc.). Hvis avstanden mellom platene er betydelig mindre enn dimensjonene til platene: d<<L,H, kan feltet mellom platene anses som ensartet. Faktisk, nær kantene på platene er feltet inhomogent (se figuren, som viser halvparten av en flat kondensator, linjer med piler er kraftlinjer, uten piler er ekvipotensialflater). Det er vanskelig å ta hensyn til disse kanteffektene.

Emne 5. Spørsmål 3.

Elektrisk kapasitet.

Gjensidig kapasitans avhenger også av formen og størrelsen på lederne og i tillegg av deres relative posisjon. Et system med to ledere kalles en kondensator når avstanden mellom dem er tilstrekkelig liten til at det elektriske feltet (når de er ladet) konsentreres hovedsakelig mellom lederne. Selve lederne kalles plater. Kapasiteten til et slikt system kan beregnes for plater med enkle former: flate, sfæriske og sylindriske (uten å ta hensyn til kanteffekter).

Sylindrisk kondensator. Dette er to koaksiale metallsylindere, med et dielektrikum (vakuum, luft, etc.) mellom. Lengde på sylinderforinger l, radier R Og r(se bilde). Hvis du gir den indre foringen en ladning + q, ladninger induseres på den ytre platen - q og + q, den positive ladningen fra den ytre overflaten av den ytre foringen overføres til bakken. Kondensatorfeltet er hovedsakelig konsentrert mellom platene hvis avstanden mellom dem ( R-r) << l. Vi tar ikke hensyn til kanteffekter.

Emne 5. Spørsmål 4.

Elektrisk kapasitet.

Gjensidig kapasitans avhenger også av formen og størrelsen på lederne og i tillegg av deres relative posisjon. Et system med to ledere kalles en kondensator når avstanden mellom dem er tilstrekkelig liten til at det elektriske feltet (når de er ladet) konsentreres hovedsakelig mellom lederne. Selve lederne kalles plater. Kapasiteten til et slikt system kan beregnes for plater med enkle former: flate, sfæriske og sylindriske (uten å ta hensyn til kanteffekter)

Sfærisk kondensator. Dette er to konsentriske metallkuler atskilt av et sfærisk dielektrisk lag. Hvis den indre foringen er ladet + q, en ladning induseres på den indre overflaten av den ytre platen - q, og på dens ytre overflate + q. Denne ladningen slippes ut i bakken på grunn av jording (se figur). Feltet til en slik kondensator er kun konsentrert mellom platene.

Emne 5. Spørsmål 5.

Elektrisk kapasitet.

Kondensatortilkoblinger.

Kondensatorer kan kobles parallelt eller i serie, eller på en blandet måte: noen parallelt, noen i serie. Ved parallellkobling øker systemkapasiteten og blir lik summen av kapasitetene. Ved seriekobling reduseres alltid systemkapasiteten. En seriekobling brukes ikke for å redusere kapasitansen, men hovedsakelig for å redusere potensialforskjellen på tvers av hver kondensator slik at det ikke blir noen sammenbrudd av kondensatoren.

La oss introdusere en enklere notasjon for potensiell forskjell. Noen ganger U kalt spenning, dette er et utdatert begrep. Spenning U = IR- dette er produktet av strøm og motstand (se nedenfor - strøm), og det skal ikke gå strøm gjennom kondensatoren. Hvis det oppstår dielektrisk sammenbrudd, må kondensatoren kastes.
	La oss skrive formelen for hver kondensator og for hele systemet (erstatter D j® U); erstatte q inn i den siste formelen får vi: C parallell = C 1 + C 2 La oss generalisere til tilfellet med 3 eller flere kondensatorer	parallellkobling
	systemkapasitet ved parallellkobling av kondensatorer( i=1,2,…,n) n- antall kondensatorer

Emne 6. Spørsmål 1.

Ordet "leder" i fysikk betyr et ledende legeme av enhver størrelse og form som inneholder gratis ladninger (elektroner eller ioner). For nøyaktighetens skyld vil vi i det følgende vurdere metaller.

Hvis en leder får en viss ladning q, vil den fordeles slik at likevektsbetingelsen er oppfylt (siden som ladninger frastøter, er de plassert på overflaten av lederen).

1.
Hvis ladningene til en leder er i likevekt, er resultanten av alle krefter som virker på hver ladning lik null:

fordi og E=0, da

på et hvilket som helst punkt inne i lederen E=0.

2. Fordi

på alle punkter inne i lederen er potensialet konstant.

3. Fordi i likevekt beveger ikke ladningene seg langs overflaten av lederen, da er arbeidet som gjøres for å flytte dem null:

de. overflaten av lederen er ekvipotensial.

4. Fordi vektorlinjer er vinkelrett på ekvipotensialflater, linjer er vinkelrett på overflaten av lederen.

5. I følge Gauss sin teorem

Hvis S er overflaten til en ladet leder, så inne i den er E = 0,

de. ladninger er plassert på overflaten av lederen.

6. La oss finne ut hvordan overflateladningstettheten er relatert til overflatens krumning.

For en ladet sfære

Ladningstettheten bestemmes av krumningen til lederoverflaten: den øker med økende positiv krumning (konveksitet) og avtar med økende negativ krumning (konkavitet). Spesielt stor på spissen. I dette tilfellet blir ioner av både tegn og elektroner som er tilstede i luften i små mengder akselerert nær spissen av et sterkt felt, og når de treffer gassatomene, ioniserer de dem. Et område med romladning dannes, hvorfra ioner med samme fortegn som spissen blir presset ut av feltet og drar gassatomer med seg. Strømmen av atomer og ioner rettet fra spissen skaper inntrykk av en "strøm av ladninger." I dette tilfellet blir spissen sjeldne ved at ioner av motsatt tegn faller på den. Den resulterende håndgripelige bevegelsen av gass på spissen kalles "elektrisk vind."

Leder i et eksternt elektrisk felt:

Når en uladet leder blir introdusert i et elektrisk felt, begynner elektronene (frie ladninger) å bevege seg, induserte ladninger vises på overflaten av lederen, og feltet inne i lederen er null. Denne brukes til elektrostatisk beskyttelse, dvs. skjerming av elektriske og radioapparater (og mennesker) mot påvirkning av elektrostatiske felt. Enheten er omgitt av en ledende skjerm (fast eller i form av et rutenett). Det ytre feltet kompenseres inne i skjermen av feltet med induserte ladninger som oppstår på overflaten.

Forelesning 14. Ledere i et elektrisk felt.

Elektrisk kapasitet til ledere og kondensatorer.

Kapittel 11, §92-95

Forelesningsoversikt

Fordeling av ladninger på en konduktør. Leder i et eksternt elektrisk felt.

Elektrisk kapasitet til en enslig leder. Elektrisk kapasitet til ballen.

Kondensatorer og deres elektriske kapasitet. Serie- og parallellkobling av kondensatorer.

Elektrostatisk feltenergi.

Fordeling av ladninger på en konduktør. Leder i et eksternt elektrisk felt.

Ordet "leder" i fysikk betyr et ledende legeme av enhver størrelse og form som inneholder gratis ladninger (elektroner eller ioner). For nøyaktighetens skyld vil vi i det følgende vurdere metaller.

Hvis en leder får en viss ladning q, vil den fordeles slik at likevektsbetingelsen er oppfylt (siden som ladninger frastøter, er de plassert på overflaten av lederen).

fordi aE=0, da

på et hvilket som helst punkt inne i lederen E=0.

på alle punkter inne i lederen er potensialet konstant.

Fordi i likevekt beveger ikke ladningene seg langs overflaten av lederen, da er arbeidet som gjøres for å flytte dem null:

de. overflaten av lederen er ekvipotensial.

Hvis S- overflaten til en ladet leder, deretter inne i den E = 0,

de. ladninger er plassert på overflaten av lederen.

6. La oss finne ut hvordan overflateladningstettheten er relatert til overflatens krumning.

For en ladet sfære

P Ladningstettheten bestemmes av krumningen til lederoverflaten: den øker med økende positiv krumning (konveksitet) og avtar med økende negativ krumning (konkavitet). Spesielt stor på forkant. I dette tilfellet blir ioner av både tegn og elektroner som er tilstede i luften i små mengder akselerert nær spissen av et sterkt felt, og når de treffer gassatomene, ioniserer de dem. Et område med romladning dannes, hvorfra ioner med samme fortegn som spissen blir presset ut av feltet og drar gassatomer med seg. Strømmen av atomer og ioner rettet fra spissen skaper inntrykk av en "strøm av ladninger." I dette tilfellet forsvinner spissen ved at ioner av motsatt tegn faller på den. Den resulterende håndgripelige bevegelsen av gass på spissen kalles "elektrisk vind."

Leder i et eksternt elektrisk felt:

Når en uladet leder blir introdusert i et elektrisk felt, begynner elektronene (frie ladninger) å bevege seg, induserte ladninger vises på overflaten av lederen, og feltet inne i lederen er null. Denne brukes til elektrostatisk beskyttelse, dvs. skjerming av elektriske og radioapparater (og mennesker) mot påvirkning av elektrostatiske felt. Enheten er omgitt av en ledende skjerm (fast eller i form av et rutenett). Det ytre feltet kompenseres inne i skjermen av feltet med induserte ladninger som oppstår på overflaten.

Elektrisk kapasitet til en enslig leder. Elektrisk kapasitet til ballen.

Hvis ladningen på en leder økes flere ganger, vil potensialet ved hvert punkt i feltet som omgir lederen øke:

Den elektriske kapasiteten til en leder er numerisk lik ladningen som må gis til lederen for å endre potensialet med én.

1 F er kapasitansen til en leder som må gis en ladning på 1 C for å endre potensialet med 1 V.

Kapasitansen til en leder avhenger ikke av metallet den er laget av.

Kapasitansen avhenger av størrelsen og formen på lederen, miljøet og tilstedeværelsen av andre ledere i nærheten. I et dielektrikum øker kapasitansen  ganger.

La oss beregne kapasiteten til ballen:

Kondensatorer og deres elektriske kapasitet. Serie- og parallellkobling av kondensatorer.

Kapasiteten til solitære ledere er liten, men den øker kraftig dersom det er andre ledere i nærheten, pga potensialet avtar på grunn av det motsatt rettede feltet av induserte ladninger.

Denne omstendigheten gjorde det mulig å lage enheter - kondensatorer, som tillater, ved små potensialer i forhold til omkringliggende kropper, å akkumulere på seg selv ("kondensere") merkbare ladninger.

Kondensator- et system med to ledere atskilt av et dielektrikum, plassert i kort avstand fra hverandre.

Feltet er konsentrert i rommet mellom platene.

Kondensatorer er delt inn:

form: flat, sylindrisk, sfærisk;

etter type dielektrisk mellom platene:

luft, papir, glimmer, keramikk;

etter type kapasitet: konstant og variabel kapasitet.

Symboler på radiokretser

Kapasitansen til kondensatoren er numerisk lik ladningen som må gis til en av platene for at potensialforskjellen mellom dem skal endres med én.

.

Det avhenger av størrelsen og formen på platene, avstanden og dielektrikumet mellom dem og avhenger ikke av materialet deres.

Kapasitans til parallell platekondensator:

S- området av dekkene, d- avstanden mellom dem.

Kapasitansen til en reell kondensator bestemmes av denne formelen, jo mer nøyaktig, jo mindre d sammenlignet med de lineære dimensjonene til platene.

a) parallellkobling av kondensatorer

i henhold til loven om bevaring av ladning

Hvis C 1 = C 2 = ... = C, C omtrent =CN.

b) seriekobling av kondensatorer

Hvis C 1 = C 2 = ... = C,
.

Elektrostatisk feltenergi.

A. Energi til en ladet leder.

Hvis det er en ladet leder, er ladningen faktisk "laget sammen" fra elementære ladninger med samme navn, dvs. en ladet leder har positiv potensiell interaksjonsenergi mellom disse elementære ladningene.

Hvis denne lederen får en ladning dq med samme navn, vil det bli utført negativt arbeid dA, med mengden som den potensielle energien til lederen vil øke

,

hvor  er potensialet på overflaten av lederen.

Når en ladning q gis til en uladet leder, vil dens potensielle energi bli lik

fordi
.

B. Energi til en ladet kondensator.

Den totale energien til en ladet kondensator er lik arbeidet som må gjøres for å lade den. Vi vil lade kondensatoren ved å overføre ladede partikler fra en plate til en annen. La, som et resultat av en slik overføring, på et tidspunkt få platene en ladning q, og potensialforskjellen mellom dem blir lik

.

For å overføre neste del av kostnaden dq arbeid må gjøres

Derfor er den totale energien brukt på å lade kondensatoren

fra 0 til q

Alt dette arbeidet gikk ut på å øke potensiell energi:

(1)

Volumetrisk energitetthet av det elektrostatiske feltet

La oss uttrykke energien til det elektriske feltet til kondensatoren i form av mengder som karakteriserer det elektriske feltet:

(2)

hvor V=Sd er volumet som okkuperes av feltet.

Formel (1) relaterer energien til en kondensator til ladningen på platene, formel (2) til feltstyrken. Hvor er energien lokalisert, hva er energibæreren - ladninger eller felt? Svaret følger av eksistensen av elektromagnetiske bølger som forplanter seg i rommet fra senderen til mottakeren og overfører energi. Muligheten for slik overføring indikerer at energi er lokalisert i feltet og overføres sammen med den. Innen elektrostatikk gir det ingen mening å skille energien til ladning og felt, siden tidskonstante felt og ladningene som forårsaker dem ikke kan eksistere separat fra hverandre.

Hvis feltet er ensartet (flat kondensator), er energien i det fordelt i rommet med konstant tetthet.

volumetrisk energitetthet.