Det er tre alternativer for å løse dette problemet. Den første er hvis det i betingelsene for problemet er gitt at bena er like (faktisk har vi en rett likebenet trekant). Den andre er hvis en vinkel fortsatt er gitt (bortsett fra 45% vinkelen, så har vi den samme likebenede trekanten og går tilbake til det første alternativet). Og den tredje - når en av bena er kjent. La oss vurdere disse alternativene mer detaljert.

Hvordan finne like ben med en kjent hypotenuse

• det første benet (la oss betegne det med bokstaven "a") er likt det andre benet ((la oss betegne det med bokstaven "b"): a=b;

• benstørrelse;

I denne versjonen er løsningen på problemet basert på bruken av Pythagoras teorem. Den brukes på rettvinklede trekanter og hovedversjonen høres ut som: "Square of the hypotenuse lik summen kvadratene på bena." Siden bena våre er like, kan vi betegne begge bena med samme symbol: a=b, som betyr a=a.

1. Vi erstatter vår symboler inn i teoremet (som tar hensyn til ovenstående):
   c^2=a^2+a^2,
2. Deretter forenkler vi formelen så mye som mulig:
   с^2=2*(a^2) - gruppe,
   с=√2*а - vi bringer begge sider av ligningen til kvadratroten,
   a=c/√2 - vi tar ut det vi ser etter.
3. Vi erstatter denne verdien av hypotenusen og får løsningen:
   a=x/√2

Hvordan finne ben, gitt en kjent hypotenus og vinkel

• hypotenusen (la oss betegne den med bokstaven "c") er lik x cm: c=x;
• vinkel β lik q: β=q;

• benstørrelse;

For å løse dette problemet må du bruke trigonometriske funksjoner. De to mest populære av dem er:

• sinusfunksjon - sinusen til ønsket vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen;
• cosinusfunksjon - cosinus til ønsket vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen;

Du kan bruke hvilken som helst. Jeg skal gi et eksempel ved å bruke det første. La bena betegnes med symbolene "a" (ved siden av hjørnet) og "b" (motsatt hjørnet). Følgelig ligger vår vinkel mellom ben "a" og hypotenusen.

1. Vi erstatter de valgte symbolene i formelen:
   sinβ = b/c
2. Vi utleder beinet:
   b=c*sinβ
3. Vi erstatter vårt gitte og vi har ett ben.
   b=c*sinq

Det andre benet kan bli funnet ved å bruke den andre trigonometriske funksjonen, eller gå til det tredje alternativet.

Hvordan finne den ene siden hvis hypotenusen og den andre siden er kjent

• hypotenusen (la oss betegne den med bokstaven "c") er lik x cm: c=x;
• ben (la oss betegne det med bokstaven "b") er lik y cm: b=y;

• størrelsen på det andre benet (la oss betegne det med bokstaven "a");

I denne versjonen er løsningen på problemet, som i den første, å bruke Pythagoras teorem.

1. Vi setter inn symbolene våre i teoremet:
   c^2=a^2+b^2,
2. Vi tar ut det nødvendige beinet:
   a^2=c^2-b^2
3. Vi tar begge sider av ligningen til kvadratroten:
   a=√(c^2-b^2)
4. Vi erstatter disse verdiene og vi har løsningen:
   a=√(x^2-y^2)

Geometri er ikke en enkel vitenskap. Det kan være nyttig for begge skolepensum, og i det virkelige liv. Kunnskap om mange formler og teoremer vil forenkle geometriske beregninger. En av de enkleste figurene i geometri er en trekant. En av variantene av trekanter, likesidet, har sine egne egenskaper.

Funksjoner av en likesidet trekant

Per definisjon er en trekant et polyeder som har tre vinkler og tre sider. Dette er en flat todimensjonal figur, dens egenskaper er studert i videregående skole. Basert på typen vinkel er det spissvinklede, stumpvinklede og rettvinklede trekanter. En rettvinklet trekant er en geometrisk figur der en av vinklene er 90º. En slik trekant har to ben (de lager en rett vinkel), og en hypotenusa (den er motsatt rett vinkel). Avhengig av hvilke mengder som er kjent, er det tre enkle måter beregne hypotenusen høyre trekant.

Den første måten er å finne hypotenusen til en rettvinklet trekant. Pythagoras teorem

Pythagoras teorem - den eldste måten Regn ut hvilken som helst side av en rettvinklet trekant. Det høres slik ut: "I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på bena." For å beregne hypotenusen må man altså utlede kvadratroten av summen av to ben i annen. For klarhet er det gitt formler og et diagram.

Andre vei. Beregning av hypotenusen ved hjelp av 2 kjente størrelser: ben og tilstøtende vinkel

En av egenskapene til en rettvinklet trekant sier at forholdet mellom lengden på benet og lengden på hypotenusen er ekvivalent med cosinus til vinkelen mellom dette benet og hypotenusen. La oss kalle vinkelen kjent for oss α. Nå, takket være den velkjente definisjonen, kan du enkelt formulere en formel for å beregne hypotenusen: Hypotenus = leg/cos(α)

Tredje vei. Beregning av hypotenusen ved hjelp av 2 kjente størrelser: ben og motsatt vinkel

Hvis den motsatte vinkelen er kjent, er det mulig å igjen bruke egenskapene til en rettvinklet trekant. Forholdet mellom lengden på benet og hypotenusen tilsvarer sinusen til den motsatte vinkelen. La oss igjen kalle den kjente vinkelen α. Nå for beregningene vil vi bruke en litt annen formel:
Hypotenus = ben/synd (α)

Eksempler som hjelper deg å forstå formler

For en dypere forståelse av hver av formlene, bør du vurdere illustrerende eksempler. Så anta at du får en rettvinklet trekant, der det er følgende data:

• Ben – 8 cm.
• Den tilstøtende vinkelen cosα1 er 0,8.
• Den motsatte vinkelen sinα2 er 0,8.

I følge Pythagoras teorem: Hypotenus = kvadratroten av (36+64) = 10 cm.
I henhold til størrelsen på benet og tilstøtende vinkel: 8/0,8 = 10 cm.
I henhold til benets størrelse og motsatt vinkel: 8/0,8 = 10 cm.

Når du forstår formelen, kan du enkelt beregne hypotenusen med alle data.

Video: Pythagoras teorem

Bruksanvisning

La ett av bena i en rettvinklet trekant bli kjent. Anta at |BC| = b. Da kan vi bruke Pythagoras teorem, ifølge hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena: a^2 + b^2 = c^2. Fra denne ligningen finner vi den ukjente siden |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

La en av vinklene til en rettvinklet trekant være kjent, anta ∟α. Så kan AB og BC av rettvinklet trekant ABC bli funnet ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Så vi får: sinus ∟α er lik forholdet på motsatt side sin α = b / c, cosinus ∟α er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen cos α = a / c. Herfra finner vi de nødvendige sidelengdene: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * sin α.

La forholdet mellom bena k = a / b være kjent. Vi løser også oppgaven ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Forholdet a / b er ikke mer enn cotangensen ∟α: den tilstøtende siden ctg α = a / b. I dette tilfellet uttrykker vi fra denne likheten a = b * ctg α. Og vi erstatter a^2 + b^2 = c^2 i Pythagoras setning:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Ved å ta b^2 ut av parentes får vi b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. Og herfra får vi enkelt lengden på benet b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), der k er det gitte forholdet mellom bena.

I analogi, hvis forholdet mellom bena b / a er kjent, løser vi problemet ved å bruke tangenten tan α = b / a. Vi erstatter verdien b = a * tan α inn i Pythagoras setning a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2. Derfor a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), der k er det gitte forholdet mellom bena.

La oss vurdere spesielle tilfeller.

∟α = 30°. Deretter |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Deretter |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Video om emnet

Merk

Kvadratrøtter hentes fra positivt tegn, fordi lengden kan ikke være negativ. Dette virker åpenbart, men denne feilen er veldig vanlig hvis du løser problemet automatisk.

Nyttige råd

For å finne bena til en rettvinklet trekant er det praktisk å bruke reduksjonsformlene: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Kilder:

• Bradis-tabeller for å finne verdier av trigonometriske funksjoner

Forholdet mellom sidene og vinklene til en rettvinklet trekant diskuteres i matematikkgrenen kalt trigonometri. For å finne sidene til en rettvinklet trekant er det nok å kjenne Pythagoras teorem, definisjonene av trigonometriske funksjoner, og ha noen midler for å finne verdiene til trigonometriske funksjoner, for eksempel en kalkulator eller Bradis-tabeller. La oss vurdere nedenfor hovedtilfellene av problemer med å finne sidene til en rettvinklet trekant.

Du vil trenge

• Kalkulator, Bradis-tabeller.

Bruksanvisning

Hvis du blir spurt om en av skarpe hjørner, for eksempel A og hypotenusen, så kan bena bli funnet fra definisjonene av grunnleggende trigonometri:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Hvis en av de spisse vinklene, for eksempel A, og en av bena, for eksempel a, er gitt, beregnes hypotenusen og det andre benet ut fra relasjonene: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Nyttige råd

I tilfelle du ikke vet verdien av sinus eller cosinus til noen av vinklene som er nødvendige for å beregne, kan du bruke Bradis-tabellene, de gir verdiene til trigonometriske funksjoner for stort nummer hjørner I tillegg er de fleste moderne kalkulatorer i stand til å beregne sinus og cosinus av vinkler.

Kilder:

• hvordan beregne siden av en rettvinklet trekant i 2019

Tips 3: Hvordan finne en vinkel hvis du kjenner sidene til en rettvinklet trekant

Tre torget, hvor en av vinklene er rett (lik 90°) kalles rektangulær. Den lengste siden ligger alltid motsatt den rette vinkelen og kalles hypotenusen, og de to andre sider kalles ben. Hvis lengden på disse tre sidene er kjent, finn verdiene for alle vinklene på tre torget og vil ikke være vanskelig, siden du faktisk bare trenger å beregne en av vinklene. Det er flere måter å gjøre dette på.

Bruksanvisning

Bruk til å beregne mengdene (α, β, γ) definisjonene av trigonometriske funksjoner gjennom en rektangulær trekant. Slik, for eksempel, for sinus til en spiss vinkel som forholdet mellom lengden på det motsatte benet og lengden på hypotenusen. Dette betyr at hvis lengdene på bena (A og B) og hypotenusen (C), så kan du for eksempel finne sinusen til vinkelen α som ligger motsatt ben A ved å dele lengden sider Og for lengden sider C (hypotenus): sin(α)=A/C. Etter å ha funnet ut verdien av sinusen til denne vinkelen, kan du finne verdien i grader ved å bruke den inverse funksjonen til sinus-bue. Det vil si α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). På samme måte kan du finne størrelsen på en spiss vinkel i en trekant. torget Ja, men dette er ikke nødvendig. Siden summen av alle vinkler er tre torget a er 180°, og i tre torget Hvis en av vinklene er 90°, kan verdien av den tredje vinkelen beregnes som differansen mellom 90° og verdien av den funnet vinkelen: β=180°-90°-α=90°-α.

I stedet for å definere sinus, kan du bruke definisjonen av cosinus til en spiss vinkel, som er formulert som forholdet mellom lengden på benet ved siden av ønsket vinkel og lengden på hypotenusen: cos(α)=B/ C. Og her, bruk den inverse trigonometriske funksjonen (arccosinus) for å finne vinkelen i grader: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Etter dette, som i forrige trinn, gjenstår det bare å finne verdien av den manglende vinkelen: β=90°-α.

Du kan bruke en lignende tangent - den uttrykkes ved forholdet mellom lengden på benet motsatt ønsket vinkel og lengden på det tilstøtende benet: tan(α)=A/B. Igjen, bestem vinkelen i grader ved å bruke den inverse trigonometriske funksjonen -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Formelen for den manglende vinkelen forblir uendret: β=90°-α.

Video om emnet

Tips 4: Hvordan finne sidelengden til en rettvinklet trekant

En trekant anses å være rettvinklet hvis en av vinklene er rett. Side triangel plassert motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen, og de to andre sider- ben. For å finne lengdene på sidene til en rektangulær triangel, kan du bruke flere metoder.

Bruksanvisning

Du kan finne ut den tredje sider, å kjenne lengdene på de to andre sidene triangel. Dette kan gjøres ved hjelp av Pythagoras teorem, som sier at et kvadrat av et rektangulært triangel summen av kvadratene av bena. (a² = b²+ c²). Herfra kan vi uttrykke lengdene på alle sidene av en rektangulær triangel:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
For eksempel for en rektangulær triangel lengden på hypotenusen a (18 cm) og ett av bena, for eksempel c (14 cm), er kjent. Til lengde en annen side må du utføre 2 algebraiske operasjoner:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Svar: Benlengden er √128 cm eller omtrent 11,3 cm

Du kan ty til hvis du vet lengden på hypotenusen og størrelsen på et av de akutte punktene i en gitt rektangulær triangel. La lengden være c og en av de spisse vinklene være lik α. I dette tilfellet finner du 2 andre sider rektangulær triangel det vil være mulig å bruke følgende formler:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Du kan gi: lengden på hypotenusen er 15 cm, en av de spisse vinklene er 30 grader. For å finne lengdene på de to andre sidene må du utføre 2 trinn:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (ca.)

Den mest ikke-trivielle måten å finne lengde sider rektangulær triangel- er å uttrykke det fra omkretsen av en gitt figur:
P = a + b + c, hvor P er omkretsen til det rektangulære triangel. Fra dette uttrykket er det lett å uttrykke lengde hvilken som helst side av en rektangulær triangel.

Tips 5: Hvordan finne vinkelen til en rettvinklet trekant ved å kjenne alle sidene

Kunnskap om alle tre sider direkte kull trekant er mer enn nok til å beregne noen av vinklene. Det er så mye informasjon at du til og med har mulighet til å velge hvilke partier du skal bruke i beregningene for å bruke den trigonometriske funksjonen som passer deg best.

Bruksanvisning

Hvis du foretrekker å håndtere arcsine, bruk lengden på hypotenusen (C) - den lengste sider- og det benet (A) som ligger motsatt ønsket vinkel (α). Å dele lengden på dette benet med lengden på hypotenusen vil gi verdien av sinusen til den ønskede vinkelen, og den inverse funksjonen til sinusen - buen - fra den resulterende verdien vil gjenopprette verdien av vinkelen i . Bruk derfor følgende i beregningene dine: α = arcsin(A/C).

For å erstatte arcsine med arccosine, bruk lengdeberegningene til de sidene som danner ønsket vinkel (α). En av dem vil være hypotenusen (C), og den andre vil være benet (B). Per definisjon er cosinus lengden på benet ved siden av vinkelen til lengden av hypotenusen, og vinkelen fra cosinusverdien er buekosinusfunksjonen. Bruk følgende beregningsformel: α = arccos(B/C).

Kan brukes i beregninger. For å gjøre dette trenger du lengdene på de to korte sidene - bena. Tangent av en spiss vinkel (α) i en rett linje kull trekanten bestemmes av forholdet mellom lengden på benet (A) som ligger overfor den og lengden på det tilstøtende benet (B). I analogi med alternativene beskrevet ovenfor, bruk følgende formel: α = arctan(A/B).

Formel

Hvilken trekant kalles en rettvinklet trekant?

Det finnes flere typer trekanter. Noen har alle spisse vinkler, andre har en stump og to spisse, og andre har to spisse og en rett. I henhold til denne funksjonen, hver type av disse geometriske former og fikk navnet: spissvinklet, stumpvinklet og rektangulært. Det vil si at en trekant der en av vinklene er 90° kalles en rettvinklet trekant. Det er en annen ting som ligner den første. En trekant hvis to sider er vinkelrette kalles en rettvinklet trekant.

Hypotenus og ben

Den spissvinklede og stumpe trekanter segmentene som forbinder hjørnene til vinklene kalles ganske enkelt sider. Siden har også andre navn. De ved siden av den rette vinkelen kalles ben. Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. Oversatt fra gresk betyr ordet "hypotenuse" "tett", og "cathetus" betyr "vinkelrett".

Forholdet mellom hypotenusen og bena

Sidene i en rettvinklet trekant er forbundet med visse forhold, noe som i stor grad letter beregninger. For eksempel, ved å vite dimensjonene til bena, kan du beregne lengden på hypotenusen. Dette forholdet, oppkalt etter personen som oppdaget det, kalles Pythagoras teorem, og det ser slik ut:

c2=a2+b2, der c er hypotenusen, a og b er bena. Det vil si at hypotenusen vil være lik kvadratrot fra summen av kvadratene på bena. For å finne noen av bena er det nok å trekke kvadratet til det andre benet fra kvadratet av hypotenusen og ta kvadratroten fra den resulterende forskjellen.

Tilstøtende og motsatt ben

Tegn en rettvinklet trekant DIA. Bokstaven C betegner vanligvis toppunktet til en rett vinkel, A og B - toppunktene til spisse vinkler. Det er praktisk å kalle sidene overfor hver vinkel a, b og c, etter navnene på vinklene overfor dem. Tenk på vinkel A. Ben a vil være motsatt for den, ben b vil være tilstøtende. Forholdet mellom motsatt side og hypotenusen kalles. Denne trigonometriske funksjonen kan beregnes ved hjelp av formelen: sinA=a/c. Forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen kalles cosinus. Det beregnes ved hjelp av formelen: cosA=b/c.

Når du kjenner vinkelen og en av sidene, kan du bruke disse formlene til å beregne den andre siden. Begge sider er også forbundet med trigonometriske relasjoner. Forholdet mellom det motsatte og det tilstøtende kalles tangens, og forholdet mellom det motsatte og det motsatte kalles cotangens. Disse sammenhengene kan uttrykkes med formlene tgA=a/b eller ctgA=b/a.

"Og de forteller oss at beinet er kortere enn hypotenusen..." Disse linjene er fra en kjent sang som lød i spillefilm The Adventures of Electronics er virkelig tro mot Euclids geometri. Tross alt er ben to sider som danner en vinkel, gradsmål som er lik 90 grader. Og hypotenusen er den lengste "strakte" siden som forbinder to ben vinkelrett på hverandre, og ligger motsatt den rette vinkelen. Det er derfor det er mulig å finne hypotenusen etter ben bare i en rettvinklet trekant, og hvis benet var lengre enn hypotenusen, ville en slik trekant ikke eksistert.

Hvordan finne hypotenusen ved hjelp av Pythagoras teorem hvis begge sider er kjent

Teoremet sier at kvadratet på hypotenusen ikke er noe mer enn summen av kvadratene til bena: x^2+y^2=z^2, hvor:

• x - første etappe;
• y - andre ben;
• z – hypotenuse.

Men du trenger bare å finne hypotenusen, og ikke kvadratet. For å gjøre dette, trekk ut roten.

Algoritme for å finne hypotenusen ved å bruke to kjente sider:

• Angi selv hvor bena er og hvor hypotenusen er.
• Square den første etappen.
• Square det andre beinet.
• Legg sammen de resulterende verdiene.
• Trekk ut roten av tallet du fikk i trinn 4.

Hvordan finne hypotenusen gjennom sinusen hvis benet og den spisse vinkelen på motsatt side er kjent

Forholdet mellom et kjent ben og en spiss vinkel som ligger overfor det er lik verdien av hypotenusen: a/sin A = c. Dette er en konsekvens av definisjonen av sinus:

Forholdet mellom motsatt side og hypotenusen: sin A = a/c, hvor:

• a – første etappe;
• A – spiss vinkel motsatt av benet;
• c- hypotenuse.

Algoritme for å finne hypotenusen ved å bruke sinussetningen:

• Angi selv et kjent ben og vinkelen motsatt av det.
• Del benet i motsatt hjørne.
• Få hypotenusen.

Hvordan finne hypotenusen gjennom cosinus hvis benet og den spisse vinkelen ved siden av det er kjent

Forholdet mellom det kjente benet og den spisse tilstøtende vinkelen er lik verdien av hypotenusen a/cos B = c. Dette er en konsekvens av definisjonen av cosinus: forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen: cos B= a/c, hvor:

• a – andre ben;
• B - spiss vinkel ved siden av det andre benet;
• c- hypotenusen.

Algoritme for å finne hypotenusen ved hjelp av cosinus-teoremet:

• Angi selv et kjent ben og en tilstøtende vinkel.
• Del benet med den tilstøtende vinkelen.
• Få hypotenusen.

Hvordan finne hypotenusen ved hjelp av den egyptiske trekanten

Den "egyptiske trekanten" er en trio av tall, og vet hvilke du kan spare tid på å finne hypotenusen eller til og med et annet ukjent ben. Trekanten har dette navnet fordi noen tall i Egypt symboliserte gudene og var grunnlaget for konstruksjonen av pyramider og andre forskjellige strukturer.

• De tre første tallene: 3-4-5. Bena her er lik 3 og 4. Da vil hypotenusen definitivt være lik 5. Sjekk: (9+16=25).
• Andre trippel av tall: 5-12-13. Også her er bena lik 5 og 12. Derfor vil hypotenusen være lik 13. Sjekk: (25+144=169).

Slike tall hjelper selv når de er delt eller multiplisert med et hvilket som helst tall. Hvis bena er 3 og 4, vil hypotenusen være lik 5. Hvis du multipliserer disse tallene med 2, vil hypotenusen også multipliseres med 2. For eksempel vil trippelen av tallene 6-8-10 også passe Pythagoras teorem, og du trenger ikke å regne ut hypotenusen hvis du husker disse triplene av tall.



Dermed er det 4 måter å finne hypotenusen ved å bruke de kjente bena. Det beste alternativet er Pythagoras teorem, men det ville heller ikke skade å huske trillingene av tall som utgjør den "egyptiske trekanten", fordi du kan spare mye tid hvis du kommer over slike verdier.

Det finnes mange typer trekanter: positive, likebenede, akutte og så videre. Alle har egenskaper som er klassiske kun for dem, og hver har sine egne regler for å finne mengder, enten det er en side eller en vinkel ved basen. Men fra hver variant av disse geometriske figurene i egen gruppe Du kan velge en trekant med rett vinkel.

Du vil trenge

• Blankt ark, blyant og linjal for en skjematisk fremstilling av en trekant.

Bruksanvisning

1. En trekant kalles rektangulær hvis en av vinklene er 90 grader. Den består av 2 ben og en hypotenuse. Hypotenusen er den største siden av denne trekanten. Det ligger i strid med den rette vinkelen. Bena kalles derfor de mindre sidene. De kan enten være like med hverandre eller ha forskjellige størrelser. Likestilling av bena betyr at du jobber med en likebenet rettvinklet trekant. Dens skjønnhet er at den kombinerer egenskapene til 2 former: rektangulær og likebent trekant. Hvis bena ikke er like, er trekanten vilkårlig og følger grunnloven: jo større vinkelen er, jo større ruller den som ligger overfor den.

2. Det finnes flere metoder for å finne hypotenusen ved ben og vinkel. Men før du bruker en av dem, bør du bestemme hvilket ben og vinkel som er kjent. Hvis en vinkel og et ben ved siden av den er gitt, er hypotenusen lettere å oppdage ved å se på cosinus til vinkelen. Cosinus til en spiss vinkel (cos a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Det følger at hypotenusen (c) vil være lik forholdet mellom det tilstøtende benet (b) og cosinus til vinkelen a (cos a). Dette kan skrives slik: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Hvis en vinkel og et motsatt ben er gitt, bør du jobbe med sinus. Sinusen til en spiss vinkel (sin a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side (a) og hypotenusen (c). Oppgaven her fungerer som i forrige eksempel, bare i stedet for cosinusfunksjonen tas en sinus. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Du kan også bruke en trigonometrisk funksjon som tangent. Men å finne ønsket verdi vil bli litt vanskeligere. Tangensen til en spiss vinkel (tg a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet (a) og det tilstøtende benet (b). Etter å ha oppdaget begge bena, bruk Pythagoras teorem (kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena) og den enorme siden av trekanten vil bli oppdaget.

Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt 90 graders vinkel. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.

Bruksanvisning

1. Med et ledende ben og en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, kan størrelsen på hypotenusen være lik forholdet mellom benet og cosinus/sinus til denne vinkelen, hvis denne vinkelen er motsatt/tilstøtende den: h = C1 ( eller C2)/sin?; h = C1 (eller C2 )/cos?. Eksempel: La en rettvinklet trekant AB og en rett vinkel C være 60 grader og vinkel A 30 grader lengden på benet BC er 8 cm Vi må finne lengden på hypotenusen AB. For å gjøre dette kan du bruke hvilken som helst av metodene som er foreslått ovenfor: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Ordet " bein"kommer fra de greske ordene "vinkelrett" eller "lodd" - dette forklarer hvorfor begge sider av en rettvinklet trekant, som utgjør dens nitti-graders vinkel, ble navngitt på denne måten. Finn lengden på hver bein Det er ikke vanskelig hvis du kjenner verdien av vinkelen ved siden av den og en annen parameter, fordi i dette tilfellet vil verdiene til alle 3 vinklene faktisk bli kjent.

Bruksanvisning

1. Hvis, i tillegg til verdien av den tilstøtende vinkelen (β), lengden på den andre bein a (b), deretter lengden bein og (a) kan defineres som kvotienten av lengden til den berømte bein og for tangenten til ønsket vinkel: a=b/tg(β). Dette følger av definisjonen av denne trigonometriske funksjonen. Du klarer deg uten tangenten hvis du bruker sinussetningen. Det følger av det at forholdet mellom lengden på den ønskede siden og sinusen til den motsatte vinkelen er lik forholdet mellom lengden til den ønskede bein og til sinusen til den berømte vinkelen. Motsatt av det som ønskes bein y spiss vinkel kan uttrykkes gjennom den kjente vinkelen som 180°-90°-β = 90°-β, fordi summen av alle vinkler i en trekant må være 180°, og ved definisjonen av en rettvinklet trekant, en av dens vinkler er lik 90°. Dette betyr ønsket lengde bein og kan beregnes ved hjelp av formelen a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Hvis verdien av den tilstøtende vinkelen (β) og lengden på hypotenusen (c) er kjent, så er lengden bein og (a) kan beregnes som produktet av lengden på hypotenusen og cosinus til den kjente vinkelen: a=c∗cos(β). Dette følger av definisjonen av cosinus som en trigonometrisk funksjon. Men du kan bruke, som i forrige trinn, teoremet for sinus og deretter lengden på ønsket bein a vil være lik produktet av sinusen av differansen mellom 90° og referansevinkelen og forholdet mellom lengden på hypotenusen og sinusen til den rette vinkelen. Og siden sinusen til 90° er lik én, kan formelen skrives som følger: a=sin(90°-β)∗c.

3. De faktiske beregningene kan for eksempel gjøres ved å bruke programvarekalkulatoren som er inkludert i Windows OS. For å starte den, kan du velge "Kjør" -elementet i hovedmenyen på "Start"-knappen, skriv inn kalkulasjonskommandoen og klikk på "OK" -knappen. I den enkleste versjonen av grensesnittet til dette programmet som åpnes som standard, er det ikke gitt trigonometriske funksjoner, etter at du har startet det, må du klikke på "Vis"-delen i menyen og velge linjen "Scientist" eller "Ingeniør"; (avhengig av versjonen av operativsystemet som brukes).

Video om emnet

Ordet "kathet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse betyr det en loddlinje, det vil si vinkelrett på jordens overflate. I matematikk er ben sidene som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen. Begrepet "katet" brukes også i arkitektur og spesialteknologi sveisearbeid.

Tegn en rettvinklet trekant DIA. Merk bena som a og b, og hypotenusen som c. Alle sider og vinkler i en rettvinklet trekant er forbundet med visse forhold. Forholdet mellom benet motsatt en av de spisse vinklene til hypotenusen kalles sinusen til denne vinkelen. I denne trekanten sinCAB=a/c. Cosinus er forholdet til hypotenusen til det tilstøtende benet, det vil si cosCAB=b/c. De omvendte sammenhengene kalles sekant og cosekant Sekanten til en gitt vinkel oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c/b. Resultatet er den resiproke av cosinus, det vil si at den kan uttrykkes ved hjelp av formelen secCAB=1/cosSAB. Kosekanten er lik kvotienten til hypotenusen delt på motsatt side og er den resiproke av sinusen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB = 1/sinCAB Begge ben er relatert til hverandre med tangent og cotangens. I dette tilfellet vil tangenten være forholdet mellom side a og side b, det vil si den motsatte siden til den tilstøtende siden. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB=a/b. Følgelig vil det inverse forholdet være cotangensen: ctgCAB=b/a. Forholdet mellom størrelsene på hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske matematikeren Pythagoras. Teoremet oppkalt etter ham brukes fortsatt av folk den dag i dag. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratroten av forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b=?(c2-a2). Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom de velkjente relasjonene. I følge teoremer av sinus og cosinus, benet lik produktet hypotenusen til en av disse funksjonene. Det kan også uttrykkes gjennom tangent eller cotangens. Etappe a kan bli funnet ved å bruke formelen a = b*tan CAB. På samme måte, avhengig av den gitte tangenten eller cotangens, bestemmes det andre benet I arkitekturen brukes også begrepet "ben". Den brukes i forhold til en jonisk kapital og betegner en lodd gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet betegner dette begrepet en vinkelrett på en gitt linje. I spesiell sveiseteknologi er det konseptet "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her vi snakker om om intervallet mellom en av delene som sveises til grensen til sømmen som ligger på overflaten av en annen del.

Video om emnet

Merk!
Når du arbeider med Pythagoras teorem, husk at du har med en grad å gjøre. Etter å ha oppdaget summen av kvadratene til bena, for å få det endelige resultatet, må man trekke ut kvadratroten.