Løse kvadratiske ulikheter grafisk.

Grafen til en lineær eller kvadratisk ulikhet er konstruert på samme måte som grafen til enhver funksjon (ligning). Forskjellen er at ulikhet innebærer flere løsninger, så grafen til en ulikhet er ikke bare et punkt på en talllinje eller en linje på koordinatplan. Ved å bruke matematiske operasjoner og ulikhetstegnet kan du bestemme mange løsninger på ulikheten.

Trinn

Grafisk representasjon av lineær ulikhet på tallinjen

  1. Løs ulikheten. For å gjøre dette, isoler variabelen ved å bruke de samme algebraiske teknikkene du bruker for å løse en hvilken som helst ligning. Husk det når du multipliserer eller deler en ulikhet med et negativt tall(eller term), reverser ulikhetstegnet.

    • For eksempel gitt ulikheten 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). For å isolere en variabel, trekk 9 fra begge sider av ulikheten, og del deretter begge sider med 3:
      3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
      3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
      3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
      3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
      y > 1 (\displaystyle y>1)
    • En ulikhet må bare ha én variabel. Hvis ulikheten har to variabler, er det bedre å plotte grafen på koordinatplanet.

  2. Tegn en talllinje. På talllinjen merker du verdien du fant (variabelen kan være mindre enn, større enn eller lik denne verdien). Tegn en talllinje med passende lengde (lang eller kort).

    • For eksempel hvis du regner ut det y > 1 (\displaystyle y>1), merk verdien 1 på talllinjen.

  3. Tegn en sirkel for å representere verdien som ble funnet. Hvis variabelen er mindre enn ( < {\displaystyle <} ) eller mer ( > (\displaystyle >)) av denne verdien, er ikke sirkelen fylt ut fordi løsningssettet ikke inkluderer denne verdien. Hvis variabelen er mindre enn eller lik ( ≤ (\displaystyle \leq )) eller større enn eller lik ( ≥ (\displaystyle \geq )) til denne verdien fylles sirkelen fordi løsningssettet inkluderer denne verdien.

    • y > 1 (\displaystyle y>1), på tallinjen, tegn en åpen sirkel ved punkt 1 fordi 1 ikke er i løsningssettet.

  4. På talllinjen skygger du for området som definerer løsningssettet. Hvis variabelen er større enn verdien som er funnet, skygger du området til høyre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er større enn verdien som ble funnet. Hvis variabelen er mindre enn verdien som er funnet, skygger du området til venstre for den, fordi løsningssettet inkluderer alle verdier som er mindre enn verdien som ble funnet.

    • For eksempel hvis gitt ulikheten y > 1 (\displaystyle y>1), på talllinjen, skyggelegg området til høyre for 1 fordi løsningssettet inkluderer alle verdier større enn 1.

    Grafisk representasjon av lineær ulikhet på koordinatplanet

    1. Løs ulikheten (finn verdien y (\displaystyle y)). For å få en lineær ligning, isoler variabelen på venstre side ved å bruke kjente algebraiske teknikker. Det skal være en variabel på høyre side x (\displaystyle x) og kanskje noen konstante.

      • For eksempel gitt ulikheten 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). For å isolere en variabel y (\displaystyle y), trekk 9 fra begge sider av ulikheten, og del deretter begge sider med 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

    2. Tegn en graf på koordinatplanet lineær ligning. tegne en graf som du ville gjort en graf for en hvilken som helst lineær ligning. Plott Y-skjæringspunktet og bruk deretter skråningen til å plotte de andre punktene.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) tegner ligningen y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Skjæringspunktet med Y-aksen har koordinater og skråningen er lik 3 (eller 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Så først plott punktet med koordinater (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); punktet over y-aksens skjæringspunkt har koordinater (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); punktet under Y-aksens skjæringspunkt har koordinatene (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

    3. Tegn en rett linje. Hvis ulikheten er streng (inkluderer tegnet < {\displaystyle <} eller > (\displaystyle >)), tegne en stiplet linje fordi løsningssettet ikke inkluderer verdier på linjen. Hvis ulikheten ikke er streng (inkluderer tegnet ≤ (\displaystyle \leq ) eller ≥ (\displaystyle \geq )), tegne en heltrukket linje fordi løsningssettet inkluderer verdier som ligger på linjen.

      • For eksempel ved ulikhet y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) tegne en stiplet linje fordi løsningssettet ikke inkluderer verdier på linjen.

    4. Skyggelegg det aktuelle området. Hvis ulikheten er av formen y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), skyggelegg området over linjen. Hvis ulikheten er av formen y< m x + b {\displaystyle y, skyggelegg området under linjen.

      • For eksempel ved ulikhet y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) skygge området over linjen.

    Grafisk representasjon av den kvadratiske ulikheten på koordinatplanet

    1. Bestem at denne ulikheten er kvadratisk. Den kvadratiske ulikheten har formen a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Noen ganger inneholder ikke ulikheten en førsteordens variabel ( x (\displaystyle x)) og/eller en fri term (konstant), men inkluderer nødvendigvis en annenordens variabel ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variabler x (\displaystyle x) Og y (\displaystyle y) må isoleres på forskjellige sider ulikheter.

      • For eksempel må du plotte ulikheten y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

    2. Tegn en graf på koordinatplanet. For å gjøre dette, konverter ulikheten til en ligning og tegner den som du vil tegne en annen kvadratisk ligning. Husk at grafen til en andregradsligning er en parabel.

      • For eksempel ved ulikhet y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y tegne en andregradsligning y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Toppunktet til parabelen er ved punktet (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), og parabelen skjærer X-aksen i punkter (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) Og (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

se også Løse et lineært programmeringsproblem grafisk, Kanonisk form for lineære programmeringsproblemer

Systemet med begrensninger for et slikt problem består av ulikheter i to variabler:
og objektivfunksjonen har formen F = C 1 x + C 2 y som må maksimeres.

La oss svare på spørsmålet: hvilke tallpar ( x; y) er løsninger på systemet med ulikheter, det vil si at de tilfredsstiller hver av ulikhetene samtidig? Med andre ord, hva vil det si å løse et system grafisk?
Først må du forstå hva som er løsningen på en lineær ulikhet med to ukjente.
Å løse en lineær ulikhet med to ukjente betyr å bestemme alle par med ukjente verdier som ulikheten gjelder for.
For eksempel ulikhet 3 x – 5y≥ 42 tilfredsstille par ( x , y): (100, 2); (3, –10), osv. Oppgaven er å finne alle slike par.
La oss vurdere to ulikheter: øks + av≤ c, øks + av≥ c. Rett øks + av = c deler planet i to halvplan slik at koordinatene til punktene til ett av dem tilfredsstiller ulikheten øks + av >c, og den andre ulikheten øks + +av <c.
Faktisk, la oss ta et poeng med koordinat x = x 0 ; deretter et punkt som ligger på en linje og har abscisse x 0, har en ordinat

La for sikkerhet en< 0, b>0, c>0. Alle punkter med abscisse x 0 liggende over P(for eksempel prikk M), har y M>y 0 , og alle punkter under punktet P, med abscisse x 0, har y N<y 0 . Fordi det x 0 er et vilkårlig punkt, så vil det alltid være punkter på den ene siden av linjen som øks+ av > c, danner et halvplan, og på den andre siden - punkter som øks + av< c.

Bilde 1

Ulikhetstegnet i halvplanet avhenger av tallene en, b , c.
Dette fører til følgende metode for grafisk løsning av systemer lineære ulikheter fra to variabler. For å løse systemet trenger du:

  1. For hver ulikhet, skriv ligningen som tilsvarer denne ulikheten.
  2. Konstruer rette linjer som er grafer for funksjoner spesifisert av ligninger.
  3. Bestem halvplanet for hver linje, som er gitt av ulikheten. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt som ikke ligger på en linje og erstatte dets koordinater i ulikheten. hvis ulikheten er sann, så er halvplanet som inneholder det valgte punktet løsningen på den opprinnelige ulikheten. Hvis ulikheten er falsk, er halvplanet på den andre siden av linjen settet med løsninger på denne ulikheten.
  4. For å løse et system med ulikheter, er det nødvendig å finne skjæringsområdet for alle halvplanene som er løsningen på hver ulikhet i systemet.

Dette området kan vise seg å være tomt, da har ulikhetssystemet ingen løsninger og er inkonsekvent. Ellers sies systemet å være konsistent.
Det kan være et endelig antall eller et uendelig antall løsninger. Området kan være en lukket polygon eller ubegrenset.

La oss se på tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs systemet grafisk:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

  • vurdere likningene x+y–1=0 og –2x–2y+5=0 som tilsvarer ulikhetene;
  • La oss konstruere rette linjer gitt av disse ligningene.

Figur 2

La oss definere halvplanene definert av ulikhetene. La oss ta et vilkårlig poeng, la (0; 0). La oss vurdere x+ y– 1 0, bytt inn punktet (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Dette betyr at i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet som ligger under linjen er en løsning på den første ulikheten. Ved å erstatte dette punktet (0; 0) i det andre får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, –2 x – 2y+ 5≥ 0, og vi ble spurt hvor –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, derfor i det andre halvplanet - i det over den rette linjen.
La oss finne skjæringspunktet mellom disse to halvplanene. Linjene er parallelle, slik at planene ikke krysser hverandre noe sted, noe som betyr at systemet med disse ulikhetene ikke har noen løsninger og er inkonsekvent.

Eksempel 2. Finn grafiske løsninger på systemet med ulikheter:

Figur 3
1. La oss skrive ut likningene som tilsvarer ulikhetene og konstruere rette linjer.
x + 2y– 2 = 0

x 2 0
y 0 1

y – x – 1 = 0
x 0 2
y 1 3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Etter å ha valgt punktet (0; 0), bestemmer vi tegnene på ulikheter i halvplanene:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet over den rette linjen.
3. Skjæringspunktet mellom disse tre halvplanene vil være et område som er en trekant. Det er ikke vanskelig å finne toppene i regionen som skjæringspunktene til de tilsvarende linjene


Dermed, EN(–3; –2), I(0; 1), MED(6; –2).

La oss vurdere et annet eksempel der det resulterende løsningsdomenet til systemet ikke er begrenset.


En av de mest praktiske metodene for å løse kvadratiske ulikheter er den grafiske metoden. I denne artikkelen skal vi se på hvordan kvadratiske ulikheter løses grafisk. Først, la oss diskutere hva essensen av denne metoden er. Deretter vil vi presentere algoritmen og vurdere eksempler på å løse kvadratiske ulikheter grafisk.

Sidenavigering.

Essensen av den grafiske metoden

I det hele tatt grafisk metode for å løse ulikheter med én variabel brukes ikke bare til å løse kvadratiske ulikheter, men også andre typer ulikheter. Essensen av den grafiske metoden for å løse ulikheter neste: vurdere funksjonene y=f(x) og y=g(x), som tilsvarer venstre og høyre side av ulikheten, bygg grafene deres i ett rektangulært koordinatsystem og finn ut med hvilke intervaller grafen til en av de er lavere eller høyere enn den andre. De intervallene hvor

  • grafen til funksjonen f over grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)>g(x) ;
  • grafen til funksjonen f ikke lavere enn grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)≥g(x) ;
  • grafen til f under grafen til g er løsninger på ulikheten f(x)
  • grafen til en funksjon f ikke høyere enn grafen til en funksjon g er løsninger på ulikheten f(x)≤g(x) .

Vi vil også si at abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f(x)=g(x) .

La oss overføre disse resultatene til vårt tilfelle - for å løse den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introduserer to funksjoner: den første y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) som tilsvarer venstre side av den kvadratiske ulikheten, den andre y=0 (med g ( x)=0 ) tilsvarer høyre side av ulikheten. Rute kvadratisk funksjon f er en parabel og grafen konstant funksjon g – rett linje som faller sammen med abscisseaksen Ox.

Deretter, i henhold til den grafiske metoden for å løse ulikheter, er det nødvendig å analysere med hvilke intervaller grafen til en funksjon er plassert over eller under en annen, noe som vil tillate oss å skrive ned den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten. I vårt tilfelle må vi analysere posisjonen til parablen i forhold til okseaksen.

Avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c, er følgende seks alternativer mulige (for våre behov er en skjematisk representasjon tilstrekkelig, og vi trenger ikke å skildre Oy-aksen, siden dens posisjon ikke påvirker løsninger på ulikheten):

    På denne tegningen ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som skjærer okseaksen i to punkter, hvis abscisse er x 1 og x 2. Denne tegningen tilsvarer alternativet når koeffisienten a er positiv (den er ansvarlig for den oppadgående retningen til parabelgrenene), og når verdien er positiv diskriminant av et kvadratisk trinomial a x 2 +b x+c (i dette tilfellet har trinomialet to røtter, som vi betegnet som x 1 og x 2, og vi antok at x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

    For klarhetens skyld, la oss skildre delene av parabelen som ligger over x-aksen i rødt, og i blått - de som ligger under x-aksen.

    La oss nå finne ut hvilke intervaller som tilsvarer disse delene. Følgende tegning vil hjelpe deg med å identifisere dem (i fremtiden vil vi gjøre lignende valg i form av rektangler mentalt):

    Så på abscisseaksen ble to intervaller (−∞, x 1) og (x 2 , +∞) uthevet i rødt, på dem er parablen over okseaksen, de utgjør en løsning på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x +c>0 , og intervallet (x 1 , x 2) er uthevet i blått, det er en parabel under Ox-aksen, den representerer løsningen på ulikheten a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

    Og nå kort: for a>0 og D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 for en jevn koeffisient b)

    • løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en annen notasjon x x 2;
    • løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, x 1 ]∪ eller i en annen notasjon x 1 ≤x≤x 2,

    hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomet a x 2 +b x+c, og x 1


    Her ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som berører abscisseaksen, det vil si at den har ett felles punkt med seg, vi betegner abscissen til dette punktet som x 0. Det presenterte tilfellet tilsvarer a>0 (grenene er rettet oppover) og D=0 (kvadrattrinomialet har én rot x 0). For eksempel kan du ta den kvadratiske funksjonen y=x 2 −4·x+4, her a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 og x 0 =2.

    Tegningen viser tydelig at parablen er plassert over Ox-aksen overalt bortsett fra kontaktpunktet, det vil si på intervallene (−∞, x 0), (x 0, ∞). For klarhets skyld, la oss fremheve områder i tegningen analogt med forrige avsnitt.

    Vi trekker konklusjoner: for a>0 og D=0

    • løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0 er (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en annen notasjon x≠x 0;
    • løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0 er (−∞, +∞) eller i en annen notasjon x∈R ;
    • kvadratisk ulikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
    • den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik løsning x=x 0 (den er gitt av tangenspunktet),

    hvor x 0 er roten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.


    I dette tilfellet er grenene til parabelen rettet oppover, og den har ikke fellespunkter med abscisseaksen. Her har vi betingelsene a>0 (grener er rettet oppover) og D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=02 −4·2·1=−8<0 .

    Det er klart at parablen er plassert over okseaksen i hele dens lengde (det er ingen intervaller der den er under okseaksen, det er ikke noe tangenspunkt).

    For a>0 og D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 og a x 2 +b x+c≥0 er mengden av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Og det gjenstår tre alternativer for plasseringen av parabelen med grener rettet nedover, ikke oppover, i forhold til okseaksen. I prinsippet trenger de ikke vurderes, siden multiplisering av begge sider av ulikheten med −1 lar oss gå til en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient for x 2. Men det skader fortsatt ikke å få en idé om disse sakene. Begrunnelsen her er lik, så vi vil bare skrive ned hovedresultatene.

Løsningsalgoritme

Resultatet av alle tidligere beregninger er algoritme for å løse kvadratiske ulikheter grafisk:

    Det lages en skjematisk tegning på koordinatplanet, som viser Ox-aksen (det er ikke nødvendig å avbilde Oy-aksen) og en skisse av en parabel tilsvarende den kvadratiske funksjonen y=a·x 2 +b·x+c. For å tegne en skisse av en parabel, er det nok å avklare to punkter:

    • For det første, ved verdien av koeffisienten a bestemmes det hvor dens grener er rettet (for a>0 - oppover, for en<0 – вниз).
    • Og for det andre, ved verdien av diskriminanten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c bestemmes det om parablen skjærer abscisseaksen i to punkter (for D>0), berører den i ett punkt (for D=0) , eller har ingen felles punkter med okseaksen (ved D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

  • Når tegningen er klar, bruk den i det andre trinnet i algoritmen

    • ved løsning av den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestemmes intervallene hvor parabelen er plassert over abscissen;
    • ved løsning av ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0, bestemmes intervallene som parablen befinner seg over abscisseaksen med, og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet) legges til dem;
    • ved løsning av ulikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
    • til slutt, når man løser en kvadratisk ulikhet av formen a·x 2 +b·x+c≤0, finner man intervaller der parabelen er under okseaksen og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet ) legges til dem;

    de utgjør den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten, og hvis det ikke er slike intervaller og ingen tangenspunkter, så har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Alt som gjenstår er å løse noen få kvadratiske ulikheter ved å bruke denne algoritmen.

Eksempler med løsninger

Eksempel.

Løs ulikheten .

Løsning.

Vi må løse en kvadratisk ulikhet, la oss bruke algoritmen fra forrige avsnitt. I det første trinnet må vi skissere grafen til den kvadratiske funksjonen . Koeffisienten til x 2 er lik 2, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. La oss også finne ut om parablen har felles punkter med x-aksen for å gjøre dette, vi vil beregne diskriminanten til kvadrattrinomialet . Vi har . Diskriminanten viste seg å være større enn null, derfor har trinomialet to reelle røtter: Og , det vil si x 1 =−3 og x 2 =1/3.

Fra dette er det tydelig at parabelen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse −3 og 1/3. Vi vil avbilde disse punktene på tegningen som vanlige punkter, siden vi løser en ikke-streng ulikhet. Basert på de avklarte dataene får vi følgende tegning (den passer til den første malen fra første avsnitt av artikkelen):

La oss gå videre til det andre trinnet i algoritmen. Siden vi løser en ikke-streng kvadratisk ulikhet med tegnet ≤, må vi bestemme intervallene som parablen er plassert under abscissen og legge til abscissen til skjæringspunktene.

Fra tegningen er det tydelig at parablen er under x-aksen på intervallet (−3, 1/3) og til den legger vi abscissen til skjæringspunktene, det vil si tallene −3 og 1/3. Som et resultat kommer vi til det numeriske intervallet [−3, 1/3] . Dette er løsningen vi ser etter. Det kan skrives som en dobbel ulikhet −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Den numeriske koeffisienten for kvadratet til variabelen er negativ, −1, derfor er grenene til parablen rettet nedover. La oss beregne diskriminanten, eller enda bedre, dens fjerde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Verdien er positiv, la oss beregne røttene til kvadrattrinomialet: Og x 1 = 7 og x 2 = 9. Så parablen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse 7 og 9 (den opprinnelige ulikheten er streng, så vi vil skildre disse punktene med et tomt senter nå kan vi lage en skjematisk tegning).

Siden vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et tegn<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Tegningen viser at løsningene til den opprinnelige kvadratiske ulikheten er to intervaller (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annen notasjon x<7 , x>9 .

Når du løser kvadratiske ulikheter, når diskriminanten til et kvadratisk trinomium på venstre side er null, må du være forsiktig med å inkludere eller ekskludere abscissen til tangentpunktet fra svaret. Dette avhenger av tegnet på ulikheten: hvis ulikheten er streng, så er det ikke en løsning på ulikheten, men hvis den ikke er streng, så er den det.

Eksempel.

Har den kvadratiske ulikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst én løsning?

Løsning.

La oss plotte funksjonen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten til x 2 er positiv, og den berører abscisseaksen i punktet med abscissen 0,7, siden D"=(−7) 2 −10 4,9=0, hvorav eller 0,7 i formen av en desimalbrøk Skjematisk ser det slik ut:

Siden vi løser en kvadratisk ulikhet med ≤-tegnet, vil løsningen være intervallene som parablen er under okseaksen, samt abscissen til tangentpunktet. Fra tegningen er det klart at det ikke er et eneste gap der parabelen vil være under Ox-aksen, så løsningen vil bare være abscissen til tangentpunktet, det vil si 0,7.

Svar:

denne ulikheten har en unik løsning 0,7.

Eksempel.

Løs den kvadratiske ulikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Løsning.

Vi følger algoritmen for å løse kvadratiske ulikheter og starter med å konstruere en graf. Forgreningene til parablen er rettet nedover, siden koeffisienten til x 2 er negativ, −1. La oss finne diskriminanten til kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 og videre x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parabelen berører okseaksen ved abscissepunktet 4. La oss lage tegningen:

Vi ser på tegnet på den opprinnelige ulikheten, det er der<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt tilfelle er dette åpne stråler (−∞, 4), (4, +∞) . Separat bemerker vi at 4 - abscissen til kontaktpunktet - ikke er en løsning, siden parabelen ved kontaktpunktet ikke er lavere enn okseaksen.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en annen notasjon x≠4 .

Vær spesielt oppmerksom på tilfeller der diskriminanten til det kvadratiske trinomialet på venstre side av den kvadratiske ulikheten er mindre enn null. Det er ingen grunn til å forhaste seg her og si at ulikheten ikke har noen løsninger (vi er vant til å lage en slik konklusjon for andregradsligninger med negativ diskriminant). Poenget er at den kvadratiske ulikheten for D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten 3 x 2 +1>0.

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Koeffisienten a er 3, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. Vi beregner diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Siden diskriminanten er negativ, har parablen ingen fellespunkter med okseaksen. Informasjonen som er oppnådd er tilstrekkelig for en skjematisk graf:

Vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et >-tegn. Dens løsning vil være alle intervaller der parabelen er over okseaksen. I vårt tilfelle er parablen over x-aksen langs hele lengden, så den ønskede løsningen vil være settet av alle reelle tall.

Ox , og også til dem må du legge til abscissen til skjæringspunktene eller abscissen til tangenspunktet. Men fra tegningen er det tydelig at det ikke er slike intervaller (siden parablen er overalt under abscisseaksen), akkurat som det ikke er noen skjæringspunkter, akkurat som det ikke er noen tangenspunkter. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Svar:

ingen løsninger eller i en annen oppføring ∅.

Bibliografi.

  • Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

La f(x,y) Og g(x, y)- to uttrykk med variabler X Og på og omfang X. Deretter ulikheter i formen f(x, y) > g(x, y) eller f(x, y) < g(x, y) kalt ulikhet med to variabler .


Betydningen av variabler x, y fra mange X, hvor ulikheten blir sann numerisk ulikhet, det heter beslutning og er utpekt (x, y). Løs ulikhet - dette betyr å finne mange slike par.


Hvis hvert par tall (x, y) fra settet med løsninger til ulikheten, match punktet M(x, y), får vi settet med punkter på planet definert av denne ulikheten. Han blir kalt graf over denne ulikheten . Grafen for en ulikhet er vanligvis et område på et plan.


Å skildre settet med løsninger på ulikheten f(x, y) > g(x, y), fortsett som følger. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og finn en linje som har ligningen f(x,y) = g(x,y). Denne linjen deler flyet i flere deler. Etter dette er det nok å ta ett poeng i hver del og sjekke om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet f(x, y) > g(x, y). Hvis det utføres på dette punktet, vil det bli utført i hele delen der dette punktet ligger. Ved å kombinere slike deler får vi mange løsninger.


Oppgave. y > x.


Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og konstruerer en linje i et rektangulært koordinatsystem som har ligningen y = x.


Denne linjen deler flyet i to deler. Etter dette, ta ett poeng i hver del og sjekk om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet y > x.


Oppgave. Løs grafisk ulikheten
X 2 + på 2 £25.
















Ris. 18.



Løsning. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og tegn en linje X 2 + på 2 = 25. Dette er en sirkel med et senter i origo og en radius på 5. Den resulterende sirkelen deler planet i to deler. Sjekke tilfredsstillelsen av ulikheten X 2 + på 2 £ 25 i hver del, finner vi at grafen er et sett med punkter på en sirkel og deler av et plan inne i sirkelen.

La det gis to ulikheter f 1(x, y) > g 1(x, y) Og f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systemer av sett av ulikheter med to variabler

System av ulikheter er deg selv sammen med disse ulikhetene. Systemløsning er enhver mening (x, y), som gjør hver av ulikhetene til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger systemer ulikheter er skjæringspunktet mellom sett med løsninger på ulikheter som danner et gitt system.


Sett med ulikheter er deg selv disjunksjon av disse ulikheter Ved helhetens løsning er enhver mening (x, y), som konverterer minst én av settet med ulikheter til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger helhet er en forening av sett med løsninger på ulikheter som danner et sett.


Oppgave. Løs ulikhetssystemet grafisk


Løsning. y = x Og X 2 + på 2 = 25. Vi løser hver ulikhet i systemet.


Grafen til systemet vil være settet med punkter på planet som er skjæringspunktet (dobbelt skravering) av settene med løsninger til den første og andre ulikheten.


Oppgave. Løs grafisk et sett med ulikheter



















Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og tegner linjer i ett koordinatsystem y = x+ 4 og X 2 + på 2 = 16. Løs hver ulikhet i befolkningen. Grafen til befolkningen vil være et sett med punkter på planet, som er foreningen av settene med løsninger på den første og andre ulikheten.

Øvelser for selvstendig arbeid


1. Løs ulikhetene grafisk: a) på> 2x; b) på< 2x + 3;


V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.


2. Løs grafisk ulikhetssystemer:


a) b)

Leksjonstype:

Leksjonstype: Forelesning, leksjon i problemløsning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Lær den grafiske metoden.

2) Vis bruken av Maple-programmet til å løse ulikhetssystemer ved hjelp av den grafiske metoden.

3) Utvikle oppfatning og tenkning om dette emnet.

Timeplan:

Fremdrift av leksjonen.

Trinn 1: Den grafiske metoden består i å konstruere et sett med gjennomførbare løsninger til PLP, og i dette settet finne punktet som tilsvarer maks/min objektiv funksjonen.

På grunn av funksjonshemminger for en visuell grafisk representasjon brukes denne metoden kun for systemer med lineære ulikheter med to ukjente og systemer som kan reduseres til denne formen.

For å tydelig demonstrere den grafiske metoden, la oss løse følgende problem:

1. I den første fasen er det nødvendig å konstruere en region med gjennomførbare løsninger. Til dette eksemplet Det er mest praktisk å velge X2 for abscissen, og X1 for ordinaten og skrive ulikhetene i følgende form:

Siden både grafene og området for gjennomførbare løsninger er i første kvartal. For å finne grensepunktene løser vi likningene (1)=(2), (1)=(3) og (2)=(3).

Som det fremgår av illustrasjonen, danner polyeder ABCDE en region med gjennomførbare løsninger.

Hvis området med gjennomførbare løsninger ikke er lukket, vil enten max(f)=+ ?, eller min(f)= -?.

2. Nå kan vi gå videre til direkte å finne maksimum av funksjonen f.

Ved å vekselvis erstatte koordinatene til toppunktene til polyederet i funksjonen f og sammenligne verdiene, finner vi at f(C)=f(4;1)=19 er maksimum av funksjonen.

Denne tilnærmingen er ganske gunstig med et lite antall hjørner. Men denne prosedyren kan ta lang tid hvis det er ganske mange hjørner.

I dette tilfellet er det mer praktisk å vurdere en nivålinje på formen f=a. Med en monoton økning i tallet a fra -? til +? rette linjer f=a forskyves langs normalvektoren Normalvektoren har koordinater (C1;C2), hvor C1 og C2 er koeffisienter for de ukjente i objektivfunksjonen f=C1?X1+C2?X2+C0.. Hvis. med en slik bevegelse av nivålinjen er det et visst punkt X er det første fellespunktet i domenet av mulige løsninger (polyhedron ABCDE) og nivålinjen, da er f(X) minimum av f på settet ABCDE. Hvis X er det siste skjæringspunktet mellom nivålinjen og ABCDE-settet, så er f(X) maksimum på settet med mulige løsninger. Hvis for en>-? den rette linjen f=a skjærer settet med mulige løsninger, så min(f)= -?. Hvis dette skjer for a>+?, så max(f)=+?.

I vårt eksempel skjærer den rette linjen f=a området ABCDE i punktet C(4;1). Siden dette er det siste skjæringspunktet, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Løs ulikhetssystemet grafisk. Finn hjørneløsninger.

x1>= 0, x2>=0

> med(plott);

> med(plottverktøy);


> S1:=løse((f1x = X6, f2x = X6), );

Svar: Alle punktene Si hvor i=1..10 hvor x og y er positive.

Område begrenset av disse punktene: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Trinn 3. Hver student får ett av 20 alternativer, der eleven blir bedt om å løse ulikheten selvstendig ved hjelp av en grafisk metode, og de resterende eksemplene er gitt som hjemmeoppgave.

Leksjon nr. 4 Grafisk løsning av et lineært programmeringsproblem

Leksjonstype: leksjon med å lære nytt materiale.

Leksjonstype: Forelesning + oppgaveløsningstime.

Varighet: 2 timer.

Mål: 1) Studer den grafiske løsningen av det lineære programmeringsproblemet.

2) Lær å bruke Maple-programmet når du løser et lineært programmeringsproblem.

2) Utvikle persepsjon og tenkning.

Timeplan: Trinn 1: lære nytt materiale.

Trinn 2: Arbeid med nytt materiale i den matematiske pakken Maple.

Trinn 3: kontroll av studert materiale og lekser.

Fremdrift av leksjonen.

Den grafiske metoden er ganske enkel og intuitiv for å løse lineære programmeringsproblemer med to variabler. Den er basert på geometrisk presentasjon av gjennomførbare løsninger og TF-er for problemet.

Hver av ulikhetene til det lineære programmeringsproblemet (1.2) definerer et visst halvplan på koordinatplanet (fig. 2.1), og systemet med ulikheter som helhet definerer skjæringspunktet mellom de tilsvarende planene. Settet med skjæringspunkter for disse halvplanene kalles område med gjennomførbare løsninger(ODR). ODR representerer alltid konveks figur, dvs. som har følgende egenskap: hvis to punkter A og B tilhører denne figuren, så tilhører hele segmentet AB den. ODR kan representeres grafisk av en konveks polygon, et ubegrenset konveks polygonalt område, et segment, en stråle eller ett punkt. Hvis systemet med begrensninger i problem (1.2) er inkonsekvent, er ODS et tomt sett.

Alt det ovennevnte gjelder også for det tilfellet når restriksjonssystemet (1.2) omfatter likestilling, siden enhver likhet

kan representeres som et system av to ulikheter (se fig. 2.1)

Det digitale filteret med en fast verdi definerer en rett linje på planet. Ved å endre verdiene til L får vi en familie av parallelle linjer kalt nivålinjer.

Dette skyldes det faktum at endring av verdien til L vil innebære en endring bare i lengden på segmentet avskåret av nivålinjen på aksen (initialordinaten), og vinkelkoeffisienten til den rette linjen vil forbli konstant (se Fig. 2.1). Derfor, for å løse det, vil det være nok å konstruere en av nivålinjene, vilkårlig velge verdien av L.

Vektoren med koordinater fra CF-koeffisientene ved og er vinkelrett på hver av nivålinjene (se fig. 2.1). Retningen til vektoren sammenfaller med retningen økende CF, som er viktig poengå løse problemer. Retning synkende CF er motsatt av retningen til vektoren.

Essensen av den grafiske metoden er som følger. I retning (mot retning) av vektoren i ODR søkes det optimale punktet. Det optimale punktet er punktet som nivålinjen går gjennom, tilsvarende funksjonens største (minste) verdi. Den optimale løsningen er alltid plassert på grensen til ODD, for eksempel ved det siste toppunktet av ODD-polygonet som mållinjen vil passere gjennom, eller på hele siden.

Når du søker etter en optimal løsning på problemer med lineær programmering, er følgende situasjoner mulige: det er en unik løsning på problemet; det er et uendelig antall løsninger (alternative); TF er ikke begrenset; regionen med gjennomførbare løsninger er et enkelt punkt; problemet har ingen løsninger.


Figur 2.1 Geometrisk tolkning av begrensningene og CF for problemet.

Teknikk for å løse LP-oppgaver ved bruk av grafisk metode

I. I begrensningene til oppgave (1.2), bytt ut ulikhetstegnene med eksakte likhetstegn og konstruer de tilsvarende rette linjene.

II. Finn og skyggelegg halvplanene som er tillatt av hver av ulikhetsbegrensningene for problemet (1.2). For å gjøre dette, må du erstatte koordinatene til et punkt [for eksempel (0;0)] i en spesifikk ulikhet og kontrollere sannheten til den resulterende ulikheten.

Hvis ulikhet er sant,

At det er nødvendig å skygge halvplanet som inneholder dette punktet;

ellers(ulikheten er falsk) må vi skyggelegge halvplanet som ikke inneholder det gitte punktet.

Siden og må være ikke-negative, vil deres tillatte verdier alltid være over aksen og til høyre for aksen, dvs. i første kvadrant.

Likhetsbegrensninger tillater bare de punktene som ligger på den tilsvarende linjen. Derfor er det nødvendig å markere slike rette linjer på grafen.

III. Definer ODR som en del av flyet som samtidig tilhører alle tillatte områder og velg det. I fravær av ODD har problemet ingen løsninger.

IV. Hvis ODR ikke er et tomt sett, må du konstruere mållinjen, dvs. hvilken som helst av nivålinjene (hvor L er et vilkårlig tall, for eksempel et multiplum og, dvs. praktisk for beregninger). Konstruksjonsmetoden ligner på konstruksjonen av direkte begrensninger.

V. Konstruer en vektor som starter ved punktet (0;0) og slutter ved punktet. Hvis mållinjen og vektoren er konstruert riktig, vil de gjøre det vinkelrett.

VI. Når du søker etter maksimal CF, må du flytte mållinjen i retningen vektor, når du søker etter minimum CF - mot retningen vektor. Den siste toppen av ODR i bevegelsesretningen vil være punktet for maksimum eller minimum av CF. Hvis et slikt punkt ikke eksisterer, kan vi konkludere med det ubegrenset TF på mange planer ovenfra (når du søker etter et maksimum) eller nedenfra (når du søker etter et minimum).

VII. Bestem koordinatene til punktet maks (min) til det digitale filteret og beregn verdien til det digitale filteret. For å beregne koordinatene til det optimale punktet, er det nødvendig å løse et system med ligninger av linjene i skjæringspunktet det er plassert.

Løs et lineært programmeringsproblem

1. f(x)=2x1+x2 ->ekstr

x1>= 0, x2>=0

> plott((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, alternativer mulig=(farge=rød),

optionsopen=(farge=blå, tykkelse=2),

optionsclosed=(farge=grønn, tykkelse=3),

optionsexcluded=(farge=gul));


> med (enkelt):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=oppsett(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=basis(dp);

Sh display(C,);

> L:=cterm(C);

Sh X:=dual(f,C,p);

Sh f_max:=subs(R,f);

Sh R1:=minimer(f,C,Ikke-NEGATIV);

f_min:=subs(R1,f);

SVAR: Når x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; På x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Leksjon nr. 5. Løse matrisespill ved hjelp av lineære programmeringsmetoder og simpleksmetoden

Leksjonstype: leksjonskontroll + leksjonslæring nytt materiale. Leksjonstype: Forelesning.

Varighet: 2 timer.

Mål:1) Sjekk og konsolider kunnskap om tidligere stoff i tidligere leksjoner.

2) Lær en ny metode for å løse matrisespill.

3) utvikle hukommelse, matematisk tenkning og oppmerksomhet.

Trinn 1: Sjekk leksene dine som selvstendig arbeid.

Trinn 2: gi en kort beskrivelse av sikksakkmetoden

Trinn 3: konsolidere nytt materiale og tildele lekser.

Fremdrift av leksjonen.

Lineære programmeringsmetoder er numeriske metoder for å løse optimaliseringsproblemer som kan reduseres til formelle lineære programmeringsmodeller.

Som kjent kan ethvert lineært programmeringsproblem reduseres til en kanonisk modell for å minimere en lineær objektivfunksjon med lineære likhetstype begrensninger. Siden antallet variabler i et lineært programmeringsproblem er større enn antall begrensninger (n > m), er det mulig å få en løsning ved å sette (n - m) variabler, kalt gratis. De resterende m variablene, kalt grunnleggende, kan lett bestemmes fra et system av likhetsbegrensninger ved å bruke de vanlige metodene for lineær algebra. Hvis det finnes en løsning, kalles den grunnleggende. Hvis den grunnleggende løsningen er tillatt, kalles den grunnleggende tillatt. Geometrisk tilsvarer de grunnleggende gjennomførbare løsningene toppunktene (ekstrempunkter) til et konveks polyeder, som avgrenser settet med mulige løsninger. Hvis et lineært programmeringsproblem har optimale løsninger, er minst én av dem grunnleggende.

Ovennevnte betraktninger betyr at når man søker etter en optimal løsning på et lineært programmeringsproblem, er det tilstrekkelig å begrense oss til å oppregne grunnleggende gjennomførbare løsninger. Antall grunnleggende løsninger er lik antall kombinasjoner av n variabler i m:

C = mn! /n m! * (n - m)!

og kan være store nok til å telle dem ved direkte søk sanntid. Det faktum at ikke alle grunnleggende løsninger er tillatte, endrer ikke essensen av problemet, siden for å vurdere tillattheten til en grunnleggende løsning, må den innhentes.

Problemet med rasjonell oppregning av basisløsninger til et lineært programmeringsproblem ble først løst av J. Danzig. Simplexmetoden han foreslo er fortsatt den vanligste generelle lineære programmeringsmetoden. Simplexmetoden implementerer et rettet søk etter tillatte grunnleggende løsninger langs de tilsvarende ytterpunktene til et konveks polyeder av tillatte løsninger i form av en iterativ prosess, hvor verdiene til den objektive funksjonen reduseres strengt. Overgangen mellom ekstreme punkter utføres langs kantene av et konveks polyeder av tillatte løsninger i samsvar med enkle lineære algebraiske transformasjoner av restriksjonssystemet. Siden nummeret ekstreme punkter selvfølgelig, og objektivfunksjonen er lineær, så ved å bevege seg gjennom ytterpunktene i retning av å redusere objektivfunksjonen, konvergerer simpleksmetoden til et globalt minimum i et begrenset antall trinn.

Praksis har vist at for de fleste anvendte lineære programmeringsproblemer, gjør simpleksmetoden det mulig å finne optimal løsning i et relativt lite antall trinn i forhold til totalt antall ytterpunktene til et tillatt polyeder. Samtidig er det kjent at for noen lineære programmeringsproblemer med en spesielt valgt form av det tillatte området, fører bruken av simpleksmetoden til en fullstendig oppregning av ekstrempunktene. Dette faktum stimulerte til en viss grad søket etter nytt effektive metoder løsninger på lineære programmeringsproblemer, basert på andre ideer enn simpleksmetoden, som tillater å løse ethvert lineært programmeringsproblem i et begrenset antall trinn, betydelig mindre enn antall ekstreme punkter.

Blant polynomiske lineære programmeringsmetoder som er uforanderlige for domenekonfigurasjonen akseptable verdier, den vanligste er L.G. Khachiyan. Men selv om denne metoden har et polynomisk kompleksitetsestimat avhengig av problemets dimensjon, viser den seg likevel å være ikke-konkurransedyktig sammenlignet med simpleksmetoden. Grunnen til dette er at avhengigheten av antall iterasjoner av simpleksmetoden av problemets dimensjon er uttrykt ved et tredjeordens polynom for de fleste praktiske problemer, mens i Khachiyan-metoden har denne avhengigheten alltid en størrelsesorden på kl. minst fjerde orden. Dette faktum er av avgjørende betydning for praksis, der anvendte problemer som er vanskelige for simpleksmetoden er ekstremt sjeldne.

Det bør også bemerkes at for anvendte lineære programmeringsproblemer som er viktige i praktisk forstand, er det utviklet spesielle metoder som tar hensyn til den spesifikke karakteren av problemets begrensning. Spesielt for et homogent transportproblem brukes spesielle algoritmer for å velge startgrunnlaget, hvorav de mest kjente er den nordvestlige hjørnemetoden og den omtrentlige Vogel-metoden, og den algoritmiske implementeringen av selve simpleksmetoden er nær spesifikasjonene til problemet. For å løse det lineære tilordningsproblemet (seleksjonsproblemet), i stedet for simpleksmetoden, brukes vanligvis enten den ungarske algoritmen, basert på tolkningen av problemet i form av grafteori som problemet med å finne maksimal vekt perfekt matching i en todelt graf, eller Macks metode.

Løs et 3x3 matrisespill

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> med (enkelt):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Sh display(C,);

> mulig(C, IKKE NEGATIV, "NyC", "Transformer");

> S:=dual(f,C,p);

Sh R:=maksimer(f,C,Ikke-NEGATIV);

Sh f_max:=subs(R,f);

Sh R1:=minimer(S,IKKE NEGATIV);

> G:=pl+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

La oss finne prisen på spillet

> V:=1/f_maks;

La oss finne den optimale strategien til den første spilleren > X:=V*Rl;

La oss finne den optimale strategien til den andre spilleren

SVAR: Når X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Når Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Hver elev får ett av 20 alternativer, der eleven blir bedt om å løse et 2x2 matrisespill selvstendig, og de resterende eksemplene som lekser.



Lignende artikler