Grunnleggende egenskaper ved ulikheter. Numeriske ulikheter og deres egenskaper

Feltet med reelle tall har egenskapen å ordne (avsnitt 6, s. 35): for alle tall gjelder a, b, ett og bare ett av tre relasjoner: eller . I dette tilfellet betyr oppføringen a > b at forskjellen er positiv, og oppføringsforskjellen er negativ. I motsetning til feltet med reelle tall, er feltet med komplekse tall ikke ordnet: for komplekse tall er ikke begrepene "mer" og "mindre" definert; Derfor omhandler dette kapittelet kun reelle tall.

Vi kaller relasjonene ulikheter, tallene a og b er ledd (eller deler) av ulikheten, tegnene > (større enn) og Ulikheter a > b og c > d kalles ulikheter av samme (eller en og samme) betydning; ulikheter a > b og c Fra definisjonen av ulikhet følger det umiddelbart at

1) ethvert positivt tall større enn null;

2) ethvert negativt tall er mindre enn null;

3) ethvert positivt tall er større enn ethvert negativt tall;

4) av to negative tall, er den hvis absolutte verdi er mindre større.

Alle disse utsagnene innrømmer en enkel geometrisk tolkning. La den positive retningen til tallaksen gå til høyre for startpunktet; så, uansett tegn på tallene, er det største av dem representert av et punkt som ligger til høyre for punktet som representerer det minste tallet.

Ulikheter har følgende grunnleggende egenskaper.

1. Asymmetri (irreversibilitet): hvis , da , og omvendt.

Faktisk, hvis forskjellen er positiv, så er forskjellen negativ. De sier at når man omorganiserer vilkårene for en ulikhet, må betydningen av ulikheten endres til det motsatte.

2. Transitivitet: hvis , så . Det følger faktisk av det positive i forskjellene

I tillegg til ulikhetstegn, brukes også ulikhetstegn og De er definert som følger: oppføringen betyr at enten eller Derfor kan du for eksempel skrive, og også. Vanligvis kalles ulikheter skrevet med tegn for strenge ulikheter, og de som er skrevet med tegn kalles ikke-strenge ulikheter. Følgelig kalles tegnene i seg selv tegn på streng eller ikke-streng ulikhet. Egenskaper 1 og 2 omtalt ovenfor gjelder også for ikke-strenge ulikheter.

La oss nå vurdere handlingene som kan utføres på en eller flere ulikheter.

3. Å legge til samme tall til vilkårene for en ulikhet endrer ikke betydningen av ulikheten.

Bevis. La en ulikhet og et vilkårlig tall gis. Per definisjon er forskjellen positiv. La oss legge til to motsatte tall til dette tallet, som ikke vil endre det, dvs.

Denne likheten kan omskrives som følger:

Det følger av dette at forskjellen er positiv, dvs. at

og det var dette som måtte bevises.

Dette er grunnlaget for muligheten for at ethvert medlem av ulikheten blir skjevt fra en del til en annen med motsatt fortegn. For eksempel fra ulikheten

følger det

4. Når du multipliserer betingelsene for en ulikhet med det samme positive tallet, endres ikke betydningen av ulikheten; Når vilkårene for en ulikhet multipliseres med det samme negative tallet, endres betydningen av ulikheten til det motsatte.

Bevis. La så Hvis da siden produktet av positive tall er positivt. Ved å åpne parentesene på venstre side av den siste ulikheten får vi , dvs. . Saken vurderes på tilsvarende måte.

Nøyaktig den samme konklusjonen kan trekkes angående deling av delene av ulikheten med et hvilket som helst annet tall enn null, siden divisjon med et tall tilsvarer multiplikasjon med et tall og tallene har samme fortegn.

5. La vilkårene for ulikheten være positive. Så, når begrepene heves til den samme positive kraften, endres ikke betydningen av ulikheten.

Bevis. La i dette tilfellet, ved transitivity egenskapen, og . Da, på grunn av den monotone økningen av kraftfunksjonen for og positiv, vil vi ha

Spesielt hvis hvor er et naturlig tall, får vi

det vil si at når man trekker ut roten fra begge sider av en ulikhet med positive termer, endres ikke betydningen av ulikheten.

La vilkårene for ulikheten være negative. Da er det ikke vanskelig å bevise at når dens termer heves til en merkelig naturkraft, endres ikke betydningen av ulikheten, men når den heves til en jevn naturlig makt, endres den til det motsatte. Fra ulikheter med negative termer kan man også trekke ut roten til oddetall.

La videre vilkårene for ulikheten ha forskjellige tegn. Da, når man hever den til en odde potens, endres ikke betydningen av ulikheten, men når man hever den til en jevn styrke, i det generelle tilfellet, kan ikke noe bestemt sies om betydningen av den resulterende ulikheten. Faktisk, når et tall heves til en oddetall, blir tallets fortegnet bevart, og derfor endres ikke betydningen av ulikheten. Når en ulikhet heves til en jevn makt, dannes en ulikhet med positive vilkår, og dens betydning vil avhenge av de absolutte verdiene til vilkårene for den opprinnelige ulikheten med samme betydning som den opprinnelige, en ulikhet av motsatt betydning, og til og med likhet kan oppnås!

Det er nyttig å sjekke alt som har blitt sagt om å øke ulikheter til en makt ved å bruke følgende eksempel.

Eksempel 1. Hev følgende ulikheter til den angitte potensen, endre ulikhetstegnet til motsatt eller likhetstegnet, om nødvendig.

a) 3 > 2 i potensen 4; b) til den grad 3;

c) til grad 3; d) til grad 2;

e) i potensen 5; e) til den grad 4;

g) 2 > -3 i potensen 2; h) i kraft 2,

6. Fra en ulikhet kan vi gå videre til en ulikhet mellom hvis betingelsene for ulikheten begge er positive eller begge negative, så mellom deres gjensidige er det en ulikhet av motsatt betydning:

Bevis. Hvis a og b har samme fortegn, er produktet deres positivt. Del med ulikhet

dvs. hva som kreves for å få tak.

Hvis vilkårene for en ulikhet har motsatte fortegn, så har ulikheten mellom deres gjensidige samme betydning, siden tegnene til de gjensidige er de samme som tegnene til mengdene i seg selv.

Eksempel 2. Sjekk siste egenskap 6 ved å bruke følgende ulikheter:

7. Logaritme av ulikheter kan bare gjøres i tilfelle når betingelsene for ulikhetene er positive (negative tall og nulllogaritmer har ikke).

La . Da blir det

og når det vil være

Riktigheten av disse utsagnene er basert på monotonisiteten til den logaritmiske funksjonen, som øker hvis basen og avtar med

Så når man tar logaritmen til en ulikhet som består av positive termer til en base større enn én, dannes en ulikhet av samme betydning som den gitte, og når man tar logaritmen til en positiv base mindre enn én, en ulikhet av motsatt mening dannes.

8. Hvis, så hvis, men, da.

Dette følger umiddelbart av monotonisitetsegenskapene til eksponentialfunksjonen (seksjon 42), som øker i tilfellet og avtar hvis

Når man legger til termvise ulikheter av samme betydning, dannes en ulikhet av samme betydning som dataene.

Bevis. La oss bevise dette utsagnet for to ulikheter, selv om det er sant for et hvilket som helst antall ekstra ulikheter. La ulikhetene bli gitt

Per definisjon vil tallene være positive; da viser deres sum seg også å være positiv, dvs.

Å gruppere begrepene annerledes, får vi

og derfor

og det var dette som måtte bevises.

Det er umulig å si noe bestemt i det generelle tilfellet om betydningen av en ulikhet oppnådd ved å legge til to eller flere ulikheter med forskjellige betydninger.

10. Hvis vi fra en ulikhet trekker, ledd for ledd, en annen ulikhet av motsatt betydning, så dannes en ulikhet med samme betydning som den første.

Bevis. La to ulikheter med ulik betydning gis. Den andre av dem, i henhold til egenskapen irreversibilitet, kan skrives om som følger: d > c. La oss nå legge til to ulikheter med samme betydning og oppnå ulikheten

samme betydning. Fra sistnevnte finner vi

og det var dette som måtte bevises.

Det er umulig å si noe bestemt i det generelle tilfellet om betydningen av en ulikhet oppnådd ved å trekke fra en ulikhet en annen ulikhet med samme betydning.

Numeriske ulikheter og deres egenskaper

Presentasjonen detaljerer innholdet i emnene NUMERISKE ULIKHETER og EGENSKAPER OF NUMERISKE ULIKHETER, og gir eksempler på bevis på numeriske ulikheter. (Algebra 8. klasse, forfatter Makarychev Yu.N.)

Se dokumentinnholdet
"Numeriske ulikheter og deres egenskaper"

Numeriske ulikheter

og deres egenskaper

matematikklærer ved kommunal utdanningsinstitusjon "Upshinskaya ungdomsskole"

Orsha-distriktet i republikken Mari El

(Til læreboken av Yu.A. Makarychev Algebra 8

Numeriske ulikheter

Resultatet av å sammenligne to eller flere tall skrives i form av ulikheter ved å bruke tegnene  ,  , =

Vi sammenligner tall ved hjelp av diverse regler (metoder). Det er praktisk å ha en generalisert en sammenligningsmetode som dekker alle tilfeller.

Definisjon:

Antall EN er større enn b hvis forskjellen ( en – b) er et positivt tall.

Antall EN er mindre enn b hvis forskjellen ( en – b) er et negativt tall.

Antall EN er lik tallet b hvis forskjellen ( en – b) – lik null

En generell måte å sammenligne tall på

Eksempel 1.

Anvendelse av en generalisert metode for å sammenligne tall for å bevise ulikheter

Eksempel 2. Bevis at det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall ikke er mindre enn det geometriske gjennomsnittet av disse tallene.

Hvis begge sider av en sann ulikhet multipliseres eller divideres med det samme positive tallet, får du en sann ulikhet.

Hvis begge sider av en sann ulikhet multipliseres eller divideres med det samme negative tallet og tegnet på ulikheten reverseres, får du en sann ulikhet.

P = 3a

Multipliser med 3 på begge sider av hver av ulikhetene

54,2 ∙ 3 ​​​​a ∙ 3

162,6

Anvendelse av egenskapene til numeriske ulikheter

Vi lærte om ulikheter på skolen, hvor vi bruker numeriske ulikheter. I denne artikkelen vil vi vurdere egenskapene til numeriske ulikheter, som prinsippene for å jobbe med dem er bygget fra.

Egenskapene til ulikheter ligner egenskapene til numeriske ulikheter. Egenskapene, dens begrunnelse vil bli vurdert, og eksempler vil bli gitt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numeriske ulikheter: definisjon, eksempler

Når vi introduserer begrepet ulikheter, har vi at definisjonen deres er laget av typen post. Det er algebraiske uttrykk som har tegn ≠,< , >, ≤ , ≥ . La oss gi en definisjon.

Definisjon 1

Numerisk ulikhet kalt en ulikhet der begge sider har tall og numeriske uttrykk.

Vi vurderer numeriske ulikheter i skolen etter å ha studert naturlige tall. Slike sammenligningsoperasjoner studeres trinnvis. De første ser ut som 1< 5 , 5 + 7 >3. Deretter blir reglene supplert, og ulikhetene blir mer kompliserte, da får vi ulikheter av formen 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Egenskaper ved numeriske ulikheter

For å jobbe med ulikheter riktig, må du bruke egenskapene til numeriske ulikheter. De kommer fra begrepet ulikhet. Dette konseptet er definert ved hjelp av en uttalelse, som er utpekt som "mer" eller "mindre."

Definisjon 2

• tallet a er større enn b når forskjellen a - b er et positivt tall;
• tallet a er mindre enn b når forskjellen a - b er et negativt tall;
• tallet a er lik b når forskjellen a - b er null.

Definisjonen brukes når man løser ulikheter med relasjonene "mindre enn eller lik", "større enn eller lik". Det skjønner vi

Definisjon 3

• a er større enn eller lik b når a - b er et ikke-negativt tall;
• a er mindre enn eller lik b når a - b er et ikke-positivt tall.

Definisjonene vil bli brukt for å bevise egenskapene til numeriske ulikheter.

Grunnleggende egenskaper

La oss se på 3 hovedulikheter. Bruk av skilt< и >karakteristisk for følgende egenskaper:

Definisjon 4

• anti-refleksivitet, som sier at et hvilket som helst tall a fra ulikhetene a< a и a >a anses som feil. Det er kjent at for enhver a gjelder likheten a − a = 0, derfor får vi at a = a. Så a< a и a >a er feil. For eksempel 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 er feil.
• asymmetri. Når tallene a og b er slik at a< b , то b >a, og hvis a > b, så b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >en. Den andre delen av den er bevist på lignende måte.

Eksempel 1

For eksempel gitt ulikheten 5< 11 имеем, что 11 >5, som betyr at dens numeriske ulikhet − 0, 27 > − 1, 3 vil bli omskrevet som − 1, 3< − 0 , 27 .

Før du går videre til neste eiendom, merk at ved hjelp av asymmetri kan du lese ulikheten fra høyre til venstre og omvendt. På denne måten kan numeriske ulikheter modifiseres og byttes.

Definisjon 5

• transitivitet. Når tallene a, b, c oppfyller betingelsen a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b og b > c , deretter a > c .

Bevis 1

Det første utsagnet kan bevises. Tilstand a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Den andre delen med transitivitetsegenskapen er påvist på lignende måte.

Eksempel 2

Vi vurderer den analyserte egenskapen ved å bruke eksemplet med ulikheter − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 og 1 8 > 1 32 følger det at 1 2 > 1 32.

Numeriske ulikheter, som er skrevet med svake ulikhetstegn, har egenskapen refleksivitet, fordi a ≤ a og a ≥ a kan ha tilfellet av likhet a = a. De er preget av asymmetri og transitivitet.

Definisjon 6

Ulikheter som har tegnene ≤ og ≥ i skriften har følgende egenskaper:

• refleksivitet a ≥ a og a ≤ a regnes som sanne ulikheter;
• antisymmetri, når a ≤ b, så b ≥ a, og hvis a ≥ b, så b ≤ a.
• transitivitet, når a ≤ b og b ≤ c, så a ≤ c, og også, hvis a ≥ b og b ≥ c, så a ≥ c.

Beviset utføres på lignende måte.

Andre viktige egenskaper ved numeriske ulikheter

For å supplere de grunnleggende egenskapene til ulikheter, brukes resultater som er av praktisk betydning. Prinsippet for metoden brukes til å estimere verdiene til uttrykk, som prinsippene for å løse ulikheter er basert på.

Dette avsnittet avslører egenskapene til ulikheter for ett tegn på streng ulikhet. Det samme gjøres for ikke-strenge. La oss se på et eksempel, formulere ulikheten hvis en< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• hvis a > b, så a + c > b + c;
• hvis a ≤ b, så a + c ≤ b + c;
• hvis a ≥ b, så a + c ≥ b + c.

For en praktisk presentasjon gir vi den tilsvarende uttalelsen, som er skrevet ned og bevis er gitt, eksempler på bruk vises.

Definisjon 7

Legge til eller beregne et tall på begge sider. Med andre ord, når a og b tilsvarer ulikheten a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bevis 2

For å bevise dette må ligningen tilfredsstille betingelsen a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Eksempel 3

For eksempel, hvis vi øker begge sider av ulikheten 7 > 3 med 15, får vi at 7 + 15 > 3 + 15. Dette er lik 22 > 18.

Definisjon 8

Når begge sider av ulikheten multipliseres eller divideres med samme tall c, får vi en sann ulikhet. Hvis du tar et negativt tall, vil tegnet endres til det motsatte. Ellers ser det slik ut: for a og b gjelder ulikheten når a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Bevis 3

Når det er et tilfelle c > 0, er det nødvendig å konstruere forskjellen mellom venstre og høyre side av ulikheten. Da får vi at a · c − b · c = (a − b) · c . Fra tilstand a< b , то a − b < 0 , а c >0, da vil produktet (a − b) · c være negativt. Det følger at a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Når du beviser, kan divisjon med et heltall erstattes av multiplikasjon med inversen av den gitte, det vil si 1 c. La oss se på et eksempel på en eiendom på visse tall.

Eksempel 4

Begge sider av ulikhet 4 er tillatt< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

La oss nå formulere følgende to resultater, som brukes til å løse ulikheter:

• Konsekvens 1. Når du endrer tegn på deler av en numerisk ulikhet, endres tegnet på ulikheten i seg selv til det motsatte, som en< b , как − a >− b . Dette følger regelen om å multiplisere begge sider med -1. Det gjelder for overgang. For eksempel − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Konsekvens 2. Ved utskifting gjensidige tall deler av en numerisk ulikhet til det motsatte, endres også tegnet, og ulikheten forblir sann. Derfor har vi at a og b er positive tall, a< b , 1 a >1 b.

Når du deler begge sider av ulikhet a< b разрешается на число a · b . Denne eiendommen brukt når ulikheten 5 > 3 2 er sann, har vi den 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b kan være feil.

Eksempel 5

For eksempel − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 er en feil ligning.

Alle punkter forenes ved at handlinger på deler av ulikheten gir riktig ulikhet ved utgangen. La oss vurdere egenskaper der det i utgangspunktet er flere numeriske ulikheter, og resultatet oppnås ved å addere eller multiplisere delene.

Definisjon 9

Når tallene a, b, c, d er gyldige for ulikheter a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bevis 4

La oss bevise at (a + c) − (b + d) er et negativt tall, så får vi at a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Egenskapen brukes for termin-for-term addisjon av tre, fire eller flere numeriske ulikheter. Tallene a 1 , a 2 , … , a n og b 1 , b 2 , … , b n tilfredsstiller ulikhetene a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Eksempel 6

For eksempel gitt tre numeriske ulikheter med samme fortegn − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definisjon 10

Termisk multiplikasjon av begge sider resulterer i et positivt tall. Når en< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bevis 5

For å bevise dette trenger vi begge sider av ulikheten a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Denne egenskapen anses som gyldig for antall tall som begge sider av ulikheten må multipliseres med. Deretter a 1 , a 2 , … , en n Og b 1, b 2, …, b n er positive tall, der en 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Legg merke til at når du skriver ulikheter er det ikke-positive tall, så deres term-for-term multiplikasjon fører til feil ulikheter.

Eksempel 7

For eksempel ulikhet 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Konsekvens: Termisk multiplikasjon av ulikheter a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Egenskaper ved numeriske ulikheter

La oss vurdere følgende egenskaper ved numeriske ulikheter.

1. en< a , a >a - uriktige ulikheter,
   a ≤ a, a ≥ a er sanne ulikheter.
2. Hvis en< b , то b >a - antisymmetri.
3. Hvis en< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Hvis en< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Hvis en< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Hvis en< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Konsekvens 1: hvis en< b , то - a >-b.

Konsekvens 2: hvis a og b er positive tall og a< b , то 1 a >1 b.

1. Hvis en 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Hvis en 1, en 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n er positive tall og a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Konsekvens 1: Hvis en< b , a Og b er positive tall, deretter en n< b n .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter