Hvordan beregne koordinaten til midtpunktet til et segment. Leksjonsutvikling: "Introduksjon av kartesiske koordinater i rommet

Artikkelen nedenfor vil dekke spørsmålene om å finne koordinatene til midtpunktet til et segment hvis koordinatene er tilgjengelige som innledende data ekstreme punkter. Men før vi begynner å studere problemet, la oss introdusere en rekke definisjoner.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisjon 1

Linjestykke– en rett linje som forbinder to vilkårlige punkter, kalt endene av et segment. Som et eksempel, la disse være punktene A og B og følgelig segmentet A B.

Hvis segmentet A B fortsettes i begge retninger fra punktene A og B, får vi en rett linje A B. Da er segmentet A B en del av den resulterende rette linjen, avgrenset av punktene A og B. Segmentet A B forener punktene A og B, som er dens ender, samt settet med punkter som ligger mellom. Hvis vi for eksempel tar et hvilket som helst vilkårlig punkt K som ligger mellom punktene A og B, kan vi si at punkt K ligger på segmentet A B.

Definisjon 2

Seksjonslengde– avstanden mellom endene av et segment i en gitt skala (et segment med lengdeenhet). La oss betegne lengden på segmentet A B som følger: A B .

Definisjon 3

Midtpunktet i segmentet– et punkt som ligger på et segment og like langt fra endene. Hvis midten av segmentet A B er angitt med punkt C, vil likheten være sann: A C = C B

Startdata: koordinatlinje O x og ikke-sammenfallende punkter på den: A og B. Disse punktene tilsvarer reelle tall x A og x B . Punkt C er midten av segmentet A B: det er nødvendig å bestemme koordinaten x C .

Siden punkt C er midtpunktet til segmentet A B, vil likheten være sann: | A C | = | C B | . Avstanden mellom punktene bestemmes av modulen til forskjellen i deres koordinater, dvs.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Da er to likheter mulige: x C - x A = x B - x C og x C - x A = - (x B - x C)

Fra den første likheten utleder vi formelen for koordinatene til punkt C: x C = x A + x B 2 (halvparten av summen av koordinatene til endene av segmentet).

Fra den andre likheten får vi: x A = x B, som er umulig, fordi i kildedataene - ikke sammenfallende punkter. Dermed, formel for å bestemme koordinatene til midten av segmentet A B med ender A (x A) og B(xB):

Den resulterende formelen vil være grunnlaget for å bestemme koordinatene til midten av et segment på et plan eller i rommet.

Startdata: rektangulært koordinatsystem på O x y-planet, to vilkårlige ikke-sammenfallende punkter med gitte koordinater A x A, y A og B x B, y B. Punkt C er midten av segmentet A B. Det er nødvendig å bestemme x C og y C koordinatene for punkt C.

La oss ta for analyse tilfellet når punktene A og B ikke faller sammen og ikke ligger på samme koordinatlinje eller en linje vinkelrett på en av aksene. A x , A y ; B x, B y og C x, C y - projeksjoner av punktene A, B og C på koordinataksene (rette linjer O x og O y).

I henhold til konstruksjonen er linjene A A x, B B x, C C x parallelle; linjene er også parallelle med hverandre. Sammen med dette, ifølge Thales’ teorem, følger likestillingene fra likheten A C = C B: A x C x = C x B x og Ay C y = C y B y, og de indikerer igjen at punktet C x er midten av segmentet A x B x, og C y er midten av segmentet A y B y. Og så, basert på formelen oppnådd tidligere, får vi:

x C = x A + x B 2 og y C = y A + y B 2

De samme formlene kan brukes i tilfellet når punktene A og B ligger på samme koordinatlinje eller en linje vinkelrett på en av aksene. Vi vil ikke gjennomføre en detaljert analyse av denne saken, vi vil kun vurdere den grafisk:

Oppsummerer alt ovenfor, koordinatene til midten av segmentet A B på planet med koordinatene til endene A (x A , y A) Og B(xB, yB) er definert som:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Startdata: koordinatsystem O x y z og to vilkårlige punkter med gitte koordinater A (x A, y A, z A) og B (x B, y B, z B). Det er nødvendig å bestemme koordinatene til punktet C, som er midten av segmentet A B.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z og C x , C y , C z - projeksjoner av alle gitte punkter på aksene til koordinatsystemet.

I følge Thales' teorem er følgende likheter sanne: A x C x = C x B x , Ay C y = C y B y , A z C z = C z B z

Derfor er punktene C x , C y , C z midtpunktene til henholdsvis segmentene A x B x , Ay B y , A z B z . Deretter, For å bestemme koordinatene til midten av et segment i rommet, er følgende formler riktige:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

De resulterende formlene er også anvendelige i tilfeller der punktene A og B ligger på en av koordinatlinjene; på en rett linje vinkelrett på en av aksene; en koordinatplan eller et plan vinkelrett på et av koordinatplanene.

Bestemme koordinatene til midten av et segment gjennom koordinatene til radiusvektorene til dets ender

Formelen for å finne koordinatene til midten av et segment kan også utledes i henhold til den algebraiske tolkningen av vektorer.

Inndata: rektangulært kartesisk koordinatsystem O x y, punkter med gitte koordinater A (x A, y A) og B (x B, x B). Punkt C er midten av segmentet A B.

I følge geometrisk definisjon handlinger på vektorer, vil følgende likhet være sann: O C → = 1 2 · OA → + O B → . Punkt C er i dette tilfellet skjæringspunktet for diagonalene til et parallellogram konstruert på grunnlag av vektorene OA → og O B →, dvs. punktet til midten av diagonalene Koordinatene til punktets radiusvektor er lik koordinatene til punktet, da er likhetene sanne: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. y B). La oss utføre noen operasjoner på vektorer i koordinater og få:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Derfor har punkt C koordinater:

x A + x B 2 , y A + y B 2

I analogi bestemmes en formel for å finne koordinatene til midten av et segment i rommet:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Eksempler på å løse problemer med å finne koordinatene til midtpunktet i et segment

Blant problemene som involverer bruken av formlene oppnådd ovenfor, er det de der spørsmålet direkte oppstår om å beregne koordinatene til midten av segmentet, og de som involverer reduksjonen gitte forhold til dette spørsmålet: begrepet "median" brukes ofte, målet er å finne koordinatene til en av endene av segmentet, og symmetriproblemer er også vanlige, hvis løsning generelt heller ikke bør forårsake vanskeligheter etter å ha studert dette emne. La oss se på typiske eksempler.

Eksempel 1

Opprinnelige data: på planet - punkter med gitte koordinater A (- 7, 3) og B (2, 4). Det er nødvendig å finne koordinatene til midtpunktet til segmentet A B.

Løsning

La oss betegne midten av segmentet A B ved punkt C. Dens koordinater vil bli bestemt som halvparten av summen av koordinatene til endene av segmentet, dvs. punktene A og B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Svar: koordinater til midten av segmentet A B - 5 2, 7 2.

Eksempel 2

Opprinnelige data: koordinatene til trekanten A B C er kjent: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Det er nødvendig å finne lengden på medianen A M.

Løsning

1. I henhold til betingelsene for problemet er A M medianen, noe som betyr at M er midtpunktet av segmentet B C . Først av alt, la oss finne koordinatene til midten av segmentet B C, dvs. M poeng:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Siden vi nå kjenner koordinatene til begge ender av medianen (punktene A og M), kan vi bruke formelen til å bestemme avstanden mellom punktene og beregne lengden på medianen A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Svar: 58

Eksempel 3

Opprinnelige data: i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom er det gitt et parallellepipedum A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Koordinatene til punktet C 1 (1, 1, 0) er gitt, og punktet M er også definert, som er midtpunktet til diagonalen B D 1 og har koordinatene M (4, 2, - 4). Det er nødvendig å beregne koordinatene til punkt A.

Løsning

Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt, som er midtpunktet til alle diagonalene. Basert på denne påstanden kan vi huske på at punkt M, kjent fra betingelsene for problemet, er midtpunktet av segmentet A C 1. Basert på formelen for å finne koordinatene til midten av et segment i rommet, finner vi koordinatene til punkt A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Svar: koordinatene til punkt A (7, 3, - 8).

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Etter møysommelig arbeid la jeg plutselig merke til at størrelsen på nettsider er ganske stor, og hvis ting fortsetter slik, så kan jeg stille og rolig gå løs =) Derfor gjør jeg oppmerksom på et kort essay dedikert til et veldig vanlig geometrisk problem - om å dele et segment inn i i denne forbindelse , Og hvordan spesielt tilfelle, om å dele et segment i to.

Av en eller annen grunn passet ikke denne oppgaven inn i andre leksjoner, men nå er det en flott mulighet til å vurdere den i detalj og rolig. Den gode nyheten er at vi tar en pause fra vektorer og fokuserer på punkter og segmenter.

Formler for å dele et segment i denne forbindelse

Konseptet med å dele et segment i denne forbindelse

Ofte trenger du ikke vente på det som er lovet i det hele tatt, la oss umiddelbart se på et par punkter og, åpenbart, det utrolige – segmentet:

Problemet under vurdering er gyldig både for segmenter av planet og for segmenter av rom. Det vil si at demonstrasjonssegmentet kan plasseres etter ønske på et fly eller i verdensrommet. For enkel forklaring tegnet jeg den horisontalt.

Hva skal vi med dette segmentet? Denne gangen for å kutte. Noen kutter et budsjett, noen kutter en ektefelle, noen kutter ved, og vi begynner å kutte segmentet i to deler. Segmentet er delt inn i to deler ved å bruke et bestemt punkt, som selvfølgelig er plassert direkte på det:

I dette eksemplet deler punktet segmentet på en slik måte at segmentet er halvparten så langt som segmentet. Du kan OGSÅ si at et punkt deler et segment i et forhold ("én til to"), tellende fra toppunktet.

På tørt matematisk språk dette faktum er skrevet som følger: , eller oftere i form av den vanlige andelen: . Forholdet mellom segmenter er vanligvis betegnet som Gresk bokstav"lambda", i dette tilfellet: .

Det er lett å komponere andelen i en annen rekkefølge: - denne notasjonen betyr at segmentet er dobbelt så langt som segmentet, men dette har ingen grunnleggende betydning for problemløsning. Det kan være slik, eller det kan være slik.

Segmentet kan selvfølgelig enkelt deles inn i andre henseender, og for å forsterke konseptet, det andre eksemplet:

Her gjelder følgende forhold: . Hvis vi gjør andelen omvendt, så får vi: .

Etter at vi har funnet ut hva det vil si å dele et segment i denne forbindelse, går vi videre til å vurdere praktiske problemer.

Hvis to punkter i planet er kjent, så er koordinatene til punktet som deler segmentet i forhold til uttrykt med formlene:

Hvor kom disse formlene fra? I løpet av analytisk geometri er disse formlene strengt utledet ved hjelp av vektorer (hvor ville vi vært uten dem? =)). I tillegg er de gyldige ikke bare for det kartesiske koordinatsystemet, men også for et vilkårlig affint koordinatsystem (se leksjon Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer). Dette er en så universell oppgave.

Eksempel 1

Finn koordinatene til punktet som deler segmentet i relasjonen hvis punktene er kjent

Løsning: I denne oppgaven. Ved å bruke formlene for å dele et segment i denne relasjonen finner vi poenget:

Svar:

Vær oppmerksom på beregningsteknikken: først må du beregne telleren og nevneren separat. Resultatet er ofte (men ikke alltid) en tre- eller fire-etasjers brøk. Etter dette blir vi kvitt fleretasjesstrukturen til brøken og gjennomfører de siste forenklingene.

Oppgaven krever ikke tegning, men det er alltid nyttig å gjøre det i utkastform:

Faktisk gjelder forholdet, det vil si at segmentet er tre ganger kortere enn segmentet. Hvis andelen ikke er åpenbar, kan segmentene alltid måles dumt med en vanlig linjal.

Like verdifullt andre løsning: i den starter nedtellingen fra et punkt og følgende forhold er rettferdig: (med menneskelige ord er et segment tre ganger lengre enn et segment). I henhold til formlene for å dele et segment i denne forbindelse:

Svar:

Vær oppmerksom på at i formlene er det nødvendig å flytte koordinatene til punktet til det første stedet, siden den lille thrilleren begynte med det.

Det er også klart at den andre metoden er mer rasjonell på grunn av enklere beregninger. Men likevel løses dette problemet ofte på "tradisjonell" måte. For eksempel, hvis et segment er gitt i henhold til betingelsen, antas det at du vil utgjøre en andel hvis et segment er gitt, så er andelen "stilltiende" underforstått.

Og jeg ga den andre metoden av den grunn at de ofte prøver å bevisst forvirre forholdene for problemet. Derfor er det veldig viktig å utføre en grov tegning for for det første å analysere tilstanden korrekt, og for det andre for verifikasjonsformål. Det er synd å gjøre feil i en så enkel oppgave.

Eksempel 2

Det gis poeng . Finne:

a) et punkt som deler segmentet i forhold til ;
b) et punkt som deler segmentet i forhold til .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Noen ganger er det problemer der en av endene av segmentet er ukjent:

Eksempel 3

Punktet tilhører segmentet. Det er kjent at et segment er dobbelt så langt som et segment. Finn poenget hvis .

Løsning: Av betingelsen følger det at punktet deler segmentet i forholdet , tellende fra toppunktet, det vil si at proporsjonen er gyldig: . I henhold til formlene for å dele et segment i denne forbindelse:

Nå vet vi ikke koordinatene til punktet :, men dette er ikke et spesielt problem, siden de lett kan uttrykkes fra formlene ovenfor. I generelt syn Det koster ikke noe å uttrykke, det er mye lettere å erstatte spesifikke tall og finne ut beregningene nøye:

Svar:

For å sjekke kan du ta enden av segmentet og ved å bruke formler i direkte rekkefølge forsikre deg om at forholdet faktisk resulterer i et punkt. Og selvfølgelig vil en tegning ikke være overflødig. Og for å endelig overbevise deg om fordelene med en rutete notatbok, en enkel blyant og en linjal, foreslår jeg et vanskelig problem for deg å løse på egen hånd:

Eksempel 4

Punktum . Segmentet er halvannen gang kortere enn segmentet. Finn et punkt hvis koordinatene til punktene er kjent .

Løsningen er på slutten av leksjonen. Det er forresten ikke den eneste hvis du følger en annen vei enn utvalget, vil det ikke være en feil, det viktigste er at svarene stemmer.

For romlige segmenter vil alt være nøyaktig det samme, bare en koordinat til vil bli lagt til.

Hvis to punkter i rommet er kjent, blir koordinatene til punktet som deler segmentet i forhold til uttrykt med formlene:
.

Eksempel 5

Det gis poeng. Finn koordinatene til et punkt, som tilhører segmentet, hvis det er kjent det .

Løsning: Tilstanden innebærer forholdet: . Dette eksemplet tatt fra en ekte test, og forfatteren tillot seg en liten spøk (i tilfelle noen snubler) - det ville vært mer rasjonelt å skrive andelen i tilstanden som følger: .

I henhold til formlene for koordinatene til midtpunktet av segmentet:

Svar:

3D-tegninger for inspeksjonsformål er mye vanskeligere å lage. Du kan imidlertid alltid lage en skjematisk tegning for å forstå i det minste tilstanden - hvilke segmenter som må korreleres.

Når det gjelder brøker i svaret, ikke bli overrasket, det er en vanlig ting. Jeg har sagt det mange ganger, men jeg skal gjenta det: i høyere matematikk er det vanlig å bruke vanlige vanlige og uekte brøker. Svaret er i skjemaet vil gjøre det, men alternativet med uekte brøker er mer standard.

Oppvarmingsoppgave for uavhengig løsning:

Eksempel 6

Det gis poeng. Finn koordinatene til punktet hvis det er kjent at det deler segmentet i forholdet.

Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen. Hvis det er vanskelig å navigere i proporsjonene, lag en skjematisk tegning.

I uavhengige og tester de vurderte eksemplene forekommer både alene og integrert del større oppgaver. Slik sett er problemet med å finne tyngdepunktet til en trekant typisk.

Jeg ser ikke en type oppgave der en av endene av segmentet er ukjent. spesiell betydning, siden alt vil være lik den flate saken, bortsett fra at det er litt flere beregninger. La oss huske skoleårene våre bedre:

Formler for koordinatene til midtpunktet til et segment

Selv utrente lesere kan huske hvordan de deler et segment i to. Problemet med å dele et segment i to like deler er et spesielt tilfelle av å dele et segment i denne forbindelse. Tohåndssagen fungerer på den mest demokratiske måten, og hver nabo ved pulten får samme pinne:

På denne høytidelige timen slo trommene, og ønsket velkommen til den betydelige andelen. Og generelle formler mirakuløst forvandlet til noe kjent og enkelt:

Et praktisk poeng er det faktum at koordinatene til endene av segmentet kan omorganiseres smertefritt:

I generelle formler et slikt luksuriøst rom, som du forstår, fungerer ikke. Og her er det ikke noe spesielt behov for det, så det er en fin liten ting.

For det romlige tilfellet gjelder en åpenbar analogi. Hvis endene av et segment er gitt, blir koordinatene til midtpunktet uttrykt med formlene:

Eksempel 7

Et parallellogram er definert av koordinatene til hjørnene. Finn skjæringspunktet mellom diagonalene.

Løsning: De som ønsker kan fullføre tegningen. Jeg anbefaler spesielt graffiti til de som har glemt det helt skolekurs geometri.

Av kjent eiendom, diagonalene til et parallellogram er delt i to av deres skjæringspunkt, så problemet kan løses på to måter.

Metode én: Tenk på motsatte hjørner . Ved å bruke formlene for å dele et segment i to, finner vi midten av diagonalen:

Det er en hel gruppe oppgaver (inkludert i eksamenstyper av oppgaver) knyttet til koordinatplanet. Dette er oppgaver som starter med de mest grunnleggende, som løses muntlig (bestemme ordinat eller abscisse gitt poeng, eller punkter av en symmetrisk gitt og andre), som avsluttes med oppgaver som krever høykvalitets kunnskap, forståelse og gode ferdigheter (oppgaver knyttet til helningen på en linje).

Gradvis vil vi vurdere dem alle. I denne artikkelen starter vi med det grunnleggende. Dette enkle oppgaverå bestemme: abscisse og ordinat til et punkt, lengden av et segment, midtpunktet til et segment, sinus eller cosinus til helningsvinkelen til en rett linje.De fleste vil ikke være interessert i disse oppgavene. Men jeg anser det som nødvendig å angi dem.

Faktum er at ikke alle går på skole. Mange tar Unified State Exam 3-4 eller flere år etter endt utdanning, og de husker vagt hva abscissen og ordinaten er. Vi vil også analysere andre oppgaver relatert til koordinatflyet, ikke gå glipp av det, abonner på bloggoppdateringer. Nå n litt teori.

La oss konstruere punkt A på koordinatplanet med koordinatene x=6, y=3.

De sier at abscissen til punkt A er lik seks, ordinaten til punkt A er lik tre.

For å si det enkelt er okseaksen abscisseaksen, y-aksen er ordinataksen.

Det vil si at abscissen er et punkt på x-aksen som et punkt gitt på koordinatplanet projiseres inn i; Ordinaten er punktet på y-aksen som det angitte punktet er projisert til.

Lengden på et segment på koordinatplanet

Formel for å bestemme lengden på et segment hvis koordinatene til endene er kjent:

Som du kan se, er lengden på et segment lengden på hypotenusen i en rettvinklet trekant med like ben

X B - X A og U B - U A

* * *

Midt i segmentet. Hennes koordinater.

Formel for å finne koordinatene til midtpunktet til et segment:

Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter

Formelen for ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter har formen:

hvor (x 1; y 1) og (x 2; y 2 ) koordinater til gitte punkter.

Ved å erstatte koordinatverdiene i formelen, reduseres den til formen:

y = kx + b, hvor k er skråningen rett

Vi vil trenge denne informasjonen når vi skal løse en annen gruppe problemer knyttet til koordinatplanet. Det kommer en artikkel om dette, ikke gå glipp av det!

Hva annet kan du legge til?

Helningsvinkelen til en rett linje (eller segment) er vinkelen mellom oX-aksen og denne rette linjen, fra 0 til 180 grader.

La oss vurdere oppgavene.

Fra punktet (6;8) slippes en perpendikulær ned på ordinataksen. Finn ordinaten til grunnflaten til perpendikulæren.

Basen til perpendikulæren senket ned på ordinataksen vil ha koordinater (0;8). Ordinaten er lik åtte.

Svar: 8

Finn avstanden fra punktet EN med koordinater (6;8) til ordinataksen.

Avstanden fra punkt A til ordinataksen er lik abscissen til punkt A.

Svar: 6.

EN(6;8) i forhold til aksen Okse.

Et punkt symmetrisk til punkt A i forhold til oX-aksen har koordinater (6;– 8).

Ordinaten er lik minus åtte.

Svar: – 8

Finn ordinaten til et punkt som er symmetrisk til punktet EN(6;8) i forhold til opprinnelsen.

Et punkt symmetrisk til punkt A i forhold til origo har koordinater (– 6;– 8).

Ordinaten er -8.

Svar: –8

Finn abscissen til midtpunktet til segmentet som forbinder punkteneO(0;0) og EN(6;8).

For å løse problemet er det nødvendig å finne koordinatene til midten av segmentet. Koordinatene til endene av segmentet vårt er (0;0) og (6;8).

Vi beregner ved hjelp av formelen:

Vi fikk (3;4). Abscissen er lik tre.

Svar: 3

*Abscissen til midten av et segment kan bestemmes uten beregning ved å bruke en formel ved å konstruere dette segmentet på et koordinatplan på et papirark i en firkant. Midten av segmentet vil være lett å bestemme av cellene.

Finn abscissen til midtpunktet til segmentet som forbinder punktene EN(6;8) og B(–2;2).

For å løse problemet er det nødvendig å finne koordinatene til midten av segmentet. Koordinatene til endene av segmentet vårt er (–2;2) og (6;8).

Vi beregner ved hjelp av formelen:

Vi fikk (2;5). Abscissen er lik to.

Svar: 2

*Abscissen til midten av et segment kan bestemmes uten beregning ved å bruke en formel ved å konstruere dette segmentet på et koordinatplan på et papirark i en firkant.

Finn lengden på segmentet som forbinder punktene (0;0) og (6;8).

Lengden på segmentet ved de gitte koordinatene til endene beregnes med formelen:

i vårt tilfelle har vi O(0;0) og A(6;8). Midler,

*Rekkefølgen av koordinater ved subtrahering spiller ingen rolle. Du kan trekke abscissen og ordinaten til punkt A fra abscissen og ordinaten til punkt O:

Svar: 10

Finn cosinus til helningen til segmentet som forbinder punktene O(0;0) og EN(6;8), med x-aksen.

Helningsvinkelen til et segment er vinkelen mellom dette segmentet og oX-aksen.

Fra punkt A senker vi en vinkelrett på oX-aksen:

Det vil si at helningsvinkelen til et segment er vinkelenSAIV høyre trekant ABO.

Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant er

forholdet mellom tilstøtende ben og hypotenusa

Vi må finne hypotenusenOA.

I følge Pythagoras teorem:I en rettvinklet trekant, kvadratet av hypotenusen lik summen firkanter av ben.

Dermed er cosinus til helningsvinkelen 0,6

Svar: 0,6

Fra punkt (6;8) slippes en perpendikulær ned på abscisseaksen. Finn abscissen til basen til perpendikulæren.

En rett linje parallelt med abscisseaksen trekkes gjennom punktet (6;8). Finn ordinaten til skjæringspunktet med aksen OU.

Finn avstanden fra punktet EN med koordinater (6;8) til abscisseaksen.

Finn avstanden fra punktet EN med koordinater (6;8) til origo.

• Koordinater til midtpunktet av segmentet.

Leksjonens mål

• Utvid begrepshorisonten din.
• Bli kjent med nye definisjoner og husk noen som allerede er studert.
• Lær å bruke egenskapene til former når du løser problemer.
• Utviklingsmessig - å utvikle elevenes oppmerksomhet, utholdenhet, utholdenhet, logisk tenkning, matematisk tale.
• Pedagogisk - gjennom leksjonen, dyrke en oppmerksom holdning til hverandre, innpode evnen til å lytte til kamerater, gjensidig hjelp og uavhengighet.

Leksjonens mål

• Test elevenes problemløsningsevner.

Timeplan

1. Introduksjon.
2. Repetisjon av tidligere studert materiale.
3. Koordinater til midtpunktet av segmentet.
4. Logiske problemer.

introduksjon

Før jeg går videre til materialet om selve emnet, vil jeg gjerne snakke litt om et segment, ikke bare som en matematisk definisjon. Mange forskere har prøvd se på segmentet annerledes, så noe uvanlig i ham. Noen talentfulle kunstnere laget geometriske former formidler stemning og følelser.

Det er mange teorier om hvordan farger påvirker humøret vårt og hvorfor.

Farge kan føles og er nært knyttet til følelsene våre. Fargen på naturen, arkitektur, planter, klær som omgir oss påvirker gradvis humøret vårt.

Ifølge eksperter kan farger påvirke en person.

• rød farge kan løfte humøret ditt og gi deg styrke.
• Rosa fargen symboliserer fred og ro.
• oransje er en varm, urolig farge som gir energi og løfter humøret.
• I det keiserlige Kina gul ble betraktet som en så hellig farge at iført gule klær bare keiseren kunne. Egypterne og mayaene trodde gul farge Solen og æret dens livsopprettholdende kraft. Gule blomster kan muntre deg opp og gjøre deg glad når du ikke har det bra.
• Grønn- helbredende farge. Gir en følelse av balanse og harmoni.
• Blåøker kreativiteten.
• Fiolett- fargen på omtenksomhet, spiritualitet og fred. Det er forbundet med intuisjon og omsorg for andre.
• Hvit vanligvis betraktet som fargen på renhet og uskyld. Det er også forbundet med inspirasjon, innsikt, spiritualitet og kjærlighet.

Men det er så mange mennesker og så mange meninger. Alle har sin egen sannhet.

Det er også en interessant teori om hvordan det henger sammen formen til en linje eller et segment med dens karakter.

Form, som farge, er en egenskap ved et objekt. Skjema- dette er de ytre konturene til et synlig objekt, som gjenspeiler dets romlige aspekter (forma, oversatt fra latin - ytre utseende). Alt som omgir oss har en viss form. Å forstå og skildre dens strukturelle struktur og semantiske innhold er kunstnerens oppgave. Og vi som seere trenger å kunne lese bildet, tyde karakteren og meningen ulike former. På et papirark og en dataskjerm dannes det en form når en linje lukkes. Derfor avhenger formens natur av arten til linjen som den er dannet av.

Hvilken av disse linjene kan uttrykke ro, sinne, likegyldighet, begeistring, glede?

Det kan ikke være noe klart svar i denne saken. For eksempel kan en stikkende strek uttrykke sinne, grusomhet eller vill glede som grenser til hensynsløshet.

Hvilken stemning eller følelse tilsvarer hver av disse linjene?

Hvordan avhenger en form av arten av linjen den er dannet av?

Repetisjon av tidligere studert materiale

I verdensrommet

Det er to vilkårlige punkter A1(x 1 ;y 1 ;z 1) og A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Da vil midtpunktet til segment A1A2 være punktet MED med koordinater x, y, z, hvor

Å dele et segment i et gitt forhold

Hvis x 1 og y 1 er koordinatene til punkt A, og x 2 og y 2 er koordinatene til punkt B, så bestemmes x- og y-koordinatene til punkt C, som deler segmentet AB i forhold til , av formlene

Arealet til en trekant basert på de kjente koordinatene til hjørnene A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) beregnes ved hjelp av formelen.

Tallet oppnådd ved hjelp av denne formelen skal tas i absolutt verdi.

Eksempel nr. 1

Finn midtpunktet til segment AB.

Svar: Koordinatene til midten av segmentet er (1,5;2)

Eksempel nr. 2.

Finn midtpunktet til segment AB.

Svar: Koordinatene til midten av segmentet er (21;0)

Eksempel nr. 3.

Finn koordinatene til punkt C hvis AC=5,5 og CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)

Svar: Koordinatene til punkt C(10.24;4.58)

Oppgaver

Oppgave nr. 1

Finn midtpunktet til segment DB.

Oppgave nr. 2.

Finn midten av segment-CDen.

Hvordan statuer lages.

Det sies om mange kjente billedhuggere at på spørsmål om hvordan de klarer å lage slike fantastiske statuer, var svaret: "Jeg tar en blokk med marmor og klipper av alt unødvendig fra den." Du kan lese dette i forskjellige bøker om Michelangelo, Thorvaldsen og Rodin.

På samme måte kan man få en hvilken som helst avgrenset flat geometrisk figur: du må ta en firkant som den ligger i, og deretter kutte av alt som er unødvendig. Imidlertid er det nødvendig å kutte av ikke umiddelbart, men gradvis, ved hvert trinn å forkaste et stykke formet som en sirkel. I dette tilfellet kastes selve sirkelen, og dens grense - sirkelen - forblir i figuren.

Ved første øyekast ser det ut til at du på denne måten bare kan få figurer av en bestemt type. Men hele poenget er at de forkaster ikke én eller to sirkler, men et uendelig, eller mer presist, et tellbart sett med sirkler. På denne måten kan du få hvilken som helst figur. For å bli overbevist om dette, er det nok å ta i betraktning at settet med sirkler som både radius og begge koordinatene til sentrum er rasjonelle for, kan telles.

Og nå, for å få en hvilken som helst figur, er det nok å ta firkanten som inneholder den (en blokk med marmor) og tegne alle sirklene av typen ovenfor som ikke inneholder et eneste punkt av figuren vi trenger. Hvis du kaster sirkler ikke fra en firkant, men fra hele flyet, kan du ved å bruke den beskrevne teknikken få ubegrensede tall.

Spørsmål

1. Hva er et segment?
   
2. Hva består segmentet av?
3. Hvordan kan du finne midtpunktet til et segment?

Liste over kilder som er brukt

1. Kuznetsov A.V., matematikklærer (klasse 5-9), Kiev
2. "Enkelt Statlig eksamen 2006. Matematikk. Utdannings- og opplæringsmateriell for å forberede studenter / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "Løse de viktigste konkurranseproblemene i matematikk i samlingen redigert av M. I. Skanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: lærebok for utdanningsinstitusjoner"

Vi jobbet med leksjonen

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Tatyana Prosnyakova

Introduksjon av kartesiske koordinater i rommet. Avstand mellom punktene. Koordinater til midtpunktet av segmentet.

Leksjonens mål:

Pedagogisk: Tenk på konseptet med et koordinatsystem og koordinatene til et punkt i rommet; utlede avstandsformelen i koordinater; utlede formelen for koordinatene til midtpunktet av segmentet.

Pedagogisk: Å fremme utviklingen av elevenes romlige fantasi; bidra til utvikling av løsninger på problemer og utvikling logisk tenkning studenter.

Pedagogisk: Fremme kognitiv aktivitet, ansvarsfølelse, kommunikasjonskultur, dialogkultur.

Utstyr: Tegnemateriell, presentasjon, digitalt designsenter

Leksjonstype: Leksjon om å lære nytt materiale

Leksjonsstruktur:

Organisering av tid.

Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Lære nytt stoff.

Oppdatering av ny kunnskap

Leksjonssammendrag.

I løpet av timene

Melding fra historien " Kartesisk koordinatsystem"(Lærer)

Løse geometriske, fysiske, kjemisk problem Du kan bruke forskjellige koordinatsystemer: rektangulære, polare, sylindriske, sfæriske.

I allmennutdanningskurset studeres det rektangulære koordinatsystemet på planet og i rommet. Ellers kalles det det kartesiske koordinatsystemet etter den franske vitenskapsfilosofen Rene Descartes (1596 – 1650), som først introduserte koordinater i geometri.

(Studentens historie om Rene Descartes.)

Rene Descartes ble født i 1596 i byen Lae i Sør-Frankrike, i en adelig familie. Faren min ville gjøre Rene til offiser. For å gjøre dette sendte han i 1613 Rene til Paris. Descartes måtte tilbringe mange år i hæren, og deltok i militære kampanjer i Holland, Tyskland, Ungarn, Tsjekkia, Italia og i beleiringen av Huguenot-festningen La Rochalie. Men Rene var interessert i filosofi, fysikk og matematikk. Rett etter ankomsten til Paris møtte han Vietas student, en fremtredende matematiker på den tiden - Mersen, og deretter andre matematikere i Frankrike. Mens han var i hæren, var Descartes hele hans fritid viet seg til matematikkstudier. Han studerte tysk algebra og fransk og gresk matematikk.

Etter erobringen av La Rochalie i 1628 forlot Descartes hæren. Han lever et ensomt liv for å gjennomføre sine omfattende planer for vitenskapelig arbeid.

Descartes var sin tids største filosof og matematiker. Descartes mest kjente verk er hans Geometri. Descartes introduserte et koordinatsystem som alle bruker i dag. Han etablerte en samsvar mellom tall og linjestykker og introduserte dermed den algebraiske metoden i geometrien. Disse oppdagelsene til Descartes ga en enorm drivkraft til utviklingen av både geometri og andre grener av matematikk og optikk. Det ble mulig å skildre avhengigheten av mengder grafisk på koordinatplanet, tall - som segmenter og utføre aritmetiske operasjoner over segmenter og andre geometriske størrelser, samt ulike funksjoner. Det var det absolutt ny metode, preget av skjønnhet, ynde og enkelhet.

Gjentakelse. Rektangulært koordinatsystem på et plan.

Spørsmål:

Hva kalles et koordinatsystem på et plan?

Hvordan bestemmes koordinatene til et punkt på et plan?

Hva er koordinatene til opprinnelsen?

Hva er formelen for koordinatene til midtpunktet til et segment og avstanden mellom punktene på et plan?

Lære nytt materiale:

Et rektangulært koordinatsystem i rommet er en trio av innbyrdes vinkelrette koordinatlinjer med felles opphav. Den vanlige opprinnelsen er angitt med bokstavenO.

Å - abscisse-aksen,

Oy – ordinatakse,

OMz– applikasjonsakse

Tre fly som går gjennom koordinataksene Ox og Oy, Oy og Oz, OMzog Ox kalles koordinatplan: Oxy, Oyz, OMzX.

I et rektangulært koordinatsystem er hvert punkt M i rommet assosiert med en trippel av tall - dets koordinater.

M(x,y,z), hvor x er abscissen, y er ordinaten,z- søke.

Koordinatsystem i rommet

Punktkoordinater

Avstand mellom punktene

1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) og A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 )

Deretter avstanden mellom punktene A 1 og A 2 beregnes slik:

Koordinater til midtpunktet av segmentet i rommet

Det er to vilkårlige punkter A 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) og A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ). Deretter midtpunktet av segmentet A 1 EN 2 det vil være et punkt C med koordinatene x, y, z, hvor

Oppnå løsningskompetanse:

1) Finn koordinatene ortogonale projeksjoner poengEN (1, 3, 4) og

B (5, -6, 2) til:

et flyOksy ; b) flyOyz ; c) akseOkse ; d) akseOz .

Svar: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) I hvilken avstand er punktetEN (1, -2, 3) fra koordinatplanet:

EN)Oksy ; b)Oxz ; V)Oyz ?

Svar: a) 3; b) 2; i 1

3) Finn koordinatene til midten av segmentet:

EN)AB , HvisEN (1, 2, 3) ogB (-1, 0, 1); b)CD , HvisC (3, 3, 0) ogD (3, -1, 2).

Svar: a) (1, 1, 2); b) (3, 1, 1).

5. Lekser: lærebok av A.V Pogorelov “Geometry 10-11” s. 23 – 25, s 53 svar på spørsmål nr. 1 – 3; №7, №10(1)

6. Leksjonssammendrag.

Bord

På overflaten

I verdensrommet

Definisjon. Et koordinatsystem er et sett med to kryssende koordinatakser, punktet der disse aksene skjærer - opprinnelsen - og enhetssegmenter på hver av aksene

Definisjon. Et koordinatsystem er et sett med tre koordinatakser, punktet der disse aksene skjærer - opprinnelsen til koordinatene - og enhetssegmenter på hver av aksene

2 aksler,

OU - ordinatakse,

OX - abscisseakse

3 aksler,

OX - abscisse akse,

OU – ordinatakse,

OZ - applikatakse.

OX er vinkelrett på OA

OX er vinkelrett på OU,

OX er vinkelrett på OZ,

Op-amp er vinkelrett på OZ

(O;O)

(OOO)

Retning, enkelt segment

Avstand mellom punktene.

Avstand mellom punktene

Koordinater til midtpunktet av segmentet.

Koordinater til midtpunktet av segmentet

Spørsmål:

Hvordan introduseres det kartesiske koordinatsystemet? Hva består den av?

Hvordan bestemmes koordinatene til et punkt i rommet?

Hva er koordinaten til skjæringspunktet mellom koordinataksene?

Hva er avstanden fra origo til et gitt punkt?

Hva er formelen for koordinatene til midten av et segment og avstanden mellom punkter i rommet?

Elevvurdering

7.Refleksjon

På timen

Jeg fant ut …

Jeg lærte…

Jeg liker det…

Jeg syntes det var vanskelig...

Mitt humør…

Litteratur.

A.V. Pogorelov. Lærebok 10-11. M. "Enlightenment", 2010.

ER. Petrakov. Mateklubber i 8-10 klassetrinn. M, "Enlightenment", 1987