Hvilken projeksjon kalles parallell. Projeksjon: Projisere på ett projeksjonsplan

Bildene på tegningen er utført i henhold til reglene for projeksjon. Ved projeksjon er prosessen med å få et bilde av et objekt på et fly - papir, skjerm, tavle osv. Det resulterende bildet kalles projeksjon .

« Projeksjon"er et latinsk ord. Oversatt til russisk betyr det " kaste (kaste) frem».

Reglene for å konstruere bilder i en tegning er basert på projeksjonsmetoden. Projeksjonsmetode - kartlegge en geometrisk figur på et plan ved å projisere dens (figur) punkter.

For å konstruere et bilde av et objekt ved hjelp av projeksjonsmetoden, er det nødvendig å tegne imaginære stråler gjennom punkter på objektet (for eksempel gjennom hjørnene) til de møter planet. Stråler som projiserer et objekt på et plan kalles projisere .

Planet som et bilde av et objekt er oppnådd kalles projeksjonsplan .

Ris. 1. Konsepter for projeksjon.

Metoder for å skildre gjenstander skiller seg fra hverandre, både i metoder for projeksjon og i konstruksjonsbetingelsene. Noen metoder gir et mer visuelt bilde og er enkle å konstruere, mens andre er mindre visuelle, men lettere å konstruere.

For å finne ut hva projeksjonsmetoden er, la oss se på eksempler.

La oss plassere en gjenstand foran lyspæren. Skyggen mottatt på veggen kan forveksles med projeksjonen av et objekt. Plasser en flat gjenstand på papiret og tegn den med en blyant. Du vil motta et bilde som tilsvarer projeksjonen av dette objektet.

La oss se på prosessen med å oppnå projeksjoner av de geometriske figurene som utgjør veiskilt(Fig. 2, 5, 8). For å konstruere bilder av disse geometriske figurene ble projeksjonsmetoden brukt.

I figur 2, b, er projeksjonen av punktet EN det vil være et poeng EN, dvs. skjæringspunktet for projeksjonsstrålen Oa med projeksjonsplanet. Projeksjon av et punkt I det vil være et poeng b osv. Hvis vi nå forbinder disse punktene på planet med rette linjer, vil vi få en projeksjon av den avbildede figuren, for eksempel en trekant.

Ris. 2 . Sentrumsprojeksjon

På bildene er punktene in natura, dvs. peker på et objekt, vil vi betegne med stort ( med store bokstaver) bokstaver i det latinske alfabetet. Anslag av disse punktene på planet er merket med de samme, men små ( små bokstaver) bokstaver.

Det overveide eksemplet på å konstruere bilder utgjør essensen projeksjonsmetode.

Hvis de projiserte strålene, ved hjelp av hvilke bildet av et objekt er konstruert, divergerer fra ett punkt, kalles projeksjon sentral (Fig. 2). Punktet der strålene kommer ut ( OM), kalt projeksjonssenter. Det resulterende bildet av objektet kalles sentral projeksjon .

Ris. 3. Sentralprojeksjon på flyet.

Størrelsen på projeksjonen avhenger av objektets posisjon i forhold til bildeplanet, samt avstanden til dette planet og til projeksjonssenteret. I fig. 3, og objektet er lokalisert mellom sentrum OM Og bildeplan TIL og derfor blir bildet forstørret. Hvis varen er plassert bak flyet TIL(fig. 3, b), vil bildet bli redusert.

Sentrale projeksjoner kalles ofte perspektiv. Gjensidig parallelle linjer av et objekt, ikke parallelle med bildeplanet, projiseres som en gruppe linjer som konvergerer i ett punkt (fig. 4).

Ris. 4. Perspektiv

Anslag for hver gruppe parallelle linjer har sitt eget forsvinningspunkt O1 Og O2. Forsvinningspunktene til projeksjonene til alle grupper av parallelle linjer er plassert på en rett linje, kalt horisontlinjen. Gjenstanden vist i fig. 4, er plassert i forhold til bildeplanet slik at ingen av dets flater er parallelle med dette planet. Denne sentrale projeksjonen kalles vinkelperspektiv.

Bildet produsert ved sentral projeksjon ligner på et fotografi ved at det ser ut omtrent slik det menneskelige øye ser det. Også eksempler på sentral projeksjon er filmrammer, skygger kastet fra et objekt av stråler lyspære, etc. Den sentrale projeksjonsmetoden brukes i arkitektur, konstruksjon, samt i akademisk tegning - tegning fra livet.

Hvis de utstikkende strålene er parallelle hverandre, da kalles projeksjonen parallell , og det resulterende bildet er parallell projeksjon . Et eksempel på en parallellprojeksjon er solskygger (fig. 5, 8).

Fig.5. Parallell projeksjon

Ved parallell projeksjon faller alle stråler på projeksjonsplanet i samme vinkel.

Hvis det er en annen vinkel enn en rett vinkel, kalles projeksjonen skrå (Fig. 6). I en skrå projeksjon, som i den sentrale, er formen og størrelsen på objektet forvrengt. Imidlertid er det lettere å konstruere et objekt i en parallell skråprojeksjon enn i en sentral.

Fig.6. Parallell skråprojeksjon på fly.

I teknisk tegning brukes slike fremspring for å konstruere visuelle bilder(Fig. 7).

Ris. 7. Prosessen med å undervise med et visuelt bilde.

I tilfellet når de projiserte strålene er vinkelrett på projeksjonsplanet (fig. 8), dvs. lag en vinkel på 90° med den. projeksjon kalles rektangulær . Det resulterende bildet kalles rektangulær projeksjon av et objekt.

Fig. 8. Parallell rektangulær projeksjon.

Projeksjonstegning har veldig viktig for utvikling av romlig forståelse, uten hvilken det er umulig å bevisst lese tegninger, langt mindre utføre dem (Figur 9).

Rektangulære projeksjoner kalles også ortogonal . Ordet " ortogonal"kommer fra greske ord" ortos" - rett og " gonia"- hjørne.

Fig.9. Parallell rektangulær projeksjon på et plan

Den rektangulære projeksjonsmetoden er hoved- i tegning. Det brukes til å konstruere bilder på tegninger og visuelle bilder av objekter, siden de er ganske visuelle og lettere å utføre enn sentrale.

Tegninger i systemet med rektangulære projeksjoner gir ganske fullstendig informasjon om formen og størrelsen på et objekt, siden objektet er avbildet fra flere sider.

For å avbilde objekter på et plan, bruker "Descriptive Geometry". projeksjonsmetode. Den består i det faktum at en viss stråle karakteriserer retningen til en rett linje (den selv er uendelig i rommet).

Ris. 4

Avhengig av plasseringen av rette linjer i forhold til projeksjonsplanene, skilles rette linjer ut generell Og privat situasjon.

Generelle linjer er verken parallelle eller vinkelrette på noen av projeksjonsplanene (fig. 4). Direkte kvotienter er delt inn i rett nivå Og projisere. De første er parallelle med et av projeksjonsplanene, og det andre er vinkelrett på et av dem, noe som forklarer navnene deres. Horisontal- rett linje parallelt med det horisontale projeksjonsplanet (horisontalt nivå rett linje) . Frontal- rett linje parallelt med frontalplanet (frontal nivå rett linje). Endelig, profil rett parallelt med det tredje projeksjonsplanet. På tegningen ser disse rette linjene ut som vist i fig. 5 (h 2 - frontal projeksjon av horisontalen; h 1 - horisontal projeksjon av horisontalen; f 2 - frontal projeksjon av fronten; f 1 - horisontal projeksjon av fronten; p 1, p 2 - tilsvarende projeksjoner av profillinjen ).

Ris. 5

Fordi den projiserte linjen er vinkelrett på et av projeksjonsplanene, dens projeksjon på dette planet degenererer til et punkt og kalles hoved-. Det er frontale (fig. 6 a), horisontale (fig. 6 b) og profilutstikkende (fig. 6 c) rette linjer.

Ris. 6

Merk at de utstikkende linjene også er nivålinjer. Den frontalt utstikkende rette linjen er således både horisontal og profilert, siden den er parallell med både horisontal- og profilplanet til projeksjonene. Av samme grunn er en horisontalt utstikkende linje både frontal og profil, og en profilutstikkende linje er både horisontal og frontal. Så de projiserte rette linjene er samtidig to ganger nivå rette linjer.

I rommet kan linjer krysse, krysse eller være parallelle. Komplekse tegninger av slike tilfeller av plasseringen av rette linjer er presentert i fig. 7.

Ris. 7

Buede linjer er oftest definert av deres fremspring (fig. 8).

Ris. 8

Av størst interesse er bildet av sirkler plassert i plan parallelt med et av projeksjonsplanene. I fig. Figur 9 viser komplekse tegninger med to projeksjoner av sirkler, hvis plan er parallelle med frontal (fig. 9 a), horisontal (fig. 9 b) og profil (fig. 9 c) projeksjonsplan.

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Mål:

• gi elevene begrepet projeksjon, typer projeksjon;
• introdusere elementene i rektangulær projeksjon;
• lære å projisere et objekt på et projeksjonsplan;
• utvikle romlig forståelse og romlig tenkning;
• dyrke nøyaktighet i grafiske representasjoner.

Metoder: samtale, forklaring, øvelser.

Utstyr: lærebok, pedagogisk presentasjon "Projeksjon", tegneverktøy, arbeidsbok på trykt basis til læreboken «Tegning» av A.D. Botvinnikov, forfatter V.I. Vyshnepolsky.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonsstruktur:

1. Organisasjonsøyeblikk: budskap om emnet/skrive det i en notatbok med tegneskrift/, mål, mål for leksjonen og motivasjon for læringsaktiviteter, samle ferdig arbeid hjemmelekser i trykte arbeidsbøker – 3-5 minutter.
2. Repetisjon av det som er lært: å fullføre testen på trykt basis (Oppgave 2, 10 alternativer, “Tegne oppgavekort” redigert av V.V. Stepakova. Enlightenment) – 5-7 minutter.
3. Nytt materiale- 20 minutter.
4. Konsolidering: utføre en muntlig øvelse – 10 minutter.
5. Siste del: oppsummering, evaluering av de som jobbet bra, gi lekser - 3-5 minutter.

UNDER KLASSENE

1. Organisatorisk øyeblikk

Formidle tema, formål, mål for leksjonen, samle ferdige lekser i trykte arbeidsbøker.

2. Repetisjon av det som er dekket

Lærer: du har testkort på bordene dine. (Oppgave 2, 10 alternativer, "Kort-oppgaver for tegning" redigert av V.V. Stepakova, ed. Education - skriv ut kort i henhold til antall elever).
Jeg vil be deg svare på spørsmål innen 5 minutter. Og gi kortene til den første pulten.
Temaet for dagens leksjon er "Projeksjon. Projisere på ett projeksjonsplan". Skriv det ned i notatboken din i blåkopi (emnet vises på tavlen, skrevet i presentasjonen i blåkopi). (lysbilde 1)

3. Nytt materiale

Bildet av objekter i tegningene er oppnådd ved projeksjon. (Slide 2) Projeksjon er prosessen med å konstruere et bilde av et objekt på et plan. Det resulterende bildet kalles en projeksjon av objektet. Ordet projeksjon kommer fra det latinske projeksjon - å kaste frem. I dette tilfellet ser vi (ta et blikk) og viser det vi ser på arkets plan.
Hvordan lages anslag? Tenk på dette eksemplet. La oss ta et vilkårlig punkt A og et plan H i rommet (lysbilde 3). La oss tegne en rett linje gjennom punkt A slik at den skjærer planet H på et punkt a. Da vil punkt a være projeksjonen av punkt A. Planet som projeksjonen er oppnådd på kalles projeksjonsplanet. Den rette linjen Aa kalles den utstikkende strålen. Med dens hjelp projiseres punkt A på plan H. Ved hjelp av denne metoden kan projeksjoner av alle punkter av enhver romlig figur konstrueres.
Følgelig, for å konstruere en projeksjon av en figur på et plan, er det nødvendig å tegne imaginære fremspringende stråler gjennom punktene på denne figuren til de krysser planet. Projeksjonene av alle punktene i en figur danner projeksjonen av en gitt figur. I fremtiden vil vi betegne punkter tatt på et objekt med store bokstaver, og deres projeksjoner med små bokstaver.
La oss nå skrive ned det vi kaller projeksjoner. (lysbilde 4)

• Projeksjon er prosessen med å konstruere en projeksjon av et objekt.
• Projeksjonsplan – planet som projeksjonen er oppnådd på.
• Den utstikkende strålen er en rett linje ved hjelp av hvilken projeksjonen av hjørner, flater og kanter er konstruert.

Avhengig av den relative plasseringen av de utstikkende strålene i rommet, er det sentral Og parallell projeksjon ( Lysbilde 5). Parallell projeksjon er delt inn i to typer: rektangulær og skrå.

Tenk på den sentrale projeksjonen (lysbilde 6). La oss skrive ned definisjonen:

• Hvis de utstikkende strålene kommer fra ett punkt, kalles en slik projeksjon sentral.
• Punktet som projeksjonen kommer ut fra er projeksjonens sentrum.

Lærer: (Elevenes svar)

Eksempel: fotografier og filmrammer, skygger kastet fra et objekt av strålene fra en elektrisk lyspære.
Funksjon: projeksjonen er større enn den originale figuren.

Lærer: La oss bli kjent med parallell projeksjon (lysbilde 7).
La oss skrive ned definisjonen:

• Hvis de utstikkende strålene er parallelle med hverandre, kalles slik projeksjon parallell.

Lærer: Prøv å gi eksempler på denne typen projeksjon selv. (Elevenes svar)

Lærer: Et eksempel på parallell projeksjon kan betraktes som solens skygger av objekter, så vel som strømmer av regn.
Parallell projeksjon, som vi allerede har sagt, kan være rektangulær og skrå (lysbilde 8).
La oss vurdere hvordan projeksjoner på et plan oppnås med disse typene projeksjoner og skriv ned definisjonen:

• Skråprojeksjon - de projiserte strålene er parallelle og faller på projeksjonsplanet i en spiss vinkel.
• Rektangulær projeksjon - de utstikkende strålene er parallelle og faller på projeksjonsplanet i en vinkel på 90 grader.

Konklusjon: I vitenskap, teknologi og produksjon brukes parallelle projeksjoner, siden de er ganske visuelle.
Det teoretiske grunnlaget for den rektangulære projeksjonsmetoden ble utviklet på slutten av 1700-tallet av den franske vitenskapsmannen Gaspard Monge.

Projisere på ett projeksjonsplan

La oss vurdere spørsmålet om å få en rektangulær projeksjon av et objekt, dvs. projisere et objekt på ett projeksjonsplan (lysbilde 9).
La oss velge et vertikalt plan av projeksjoner og betegne det med bokstaven V. Et slikt plan som ligger foran publikum kalles frontal (fra det franske ordet frontal, som betyr vendt mot betrakteren). La oss plassere objektet foran planet slik at dets kant er parallell med frontalplanet til projeksjoner, fordi da, med rektangulær projeksjon, vil ikke dimensjonene til bredden og høyden til objektet endres, og vinklene mellom rette linjer vil ikke bli forvrengt. Som et resultat mottok vi en frontal projeksjon av objektet på frontalplanet av projeksjoner.
La oss skrive ned definisjonen:

• Flyet som ligger foran betrakteren kalles frontalt, og er betegnet med bokstaven V.
• Objektet plasseres foran planet slik at dets to overflater er parallelle med dette planet og projiseres uten forvrengning.

Sammendrag: Basert på den resulterende projeksjonen kan vi bare bedømme to dimensjoner av objektet - høyde og lengde, og diameteren på hullet.
Hva er tykkelsen på gjenstanden? (Spørsmål til studenter).
Ved å bruke den resulterende projeksjonen kan vi ikke si dette. For å bedømme formen på delen ut fra en slik tegning, er den noen ganger supplert med en indikasjon på tykkelsen (S). (Lysbilde 10).

4. Feste materialet

La oss se på bildene på lysbildet. (Lysbilde 11).
Fortell meg, hva slags "projeksjon" ga vannstrålene i hvert tilfelle?

• Sentral
• Parallell rektangulær

Lærer: Vi har dekket alt leksjonsmaterialet, la oss sjekke oss selv for å se hvordan vi har mestret det.
(Lysbilde 12). På lysbildet ser du en tabell der nye konsepter er gitt. Din oppgave er å distribuere begrepene og deres definisjoner riktig.
La oss sjekke svarene dine (ved å klikke med musen på lysbildet, vises de riktige svarene i cellene).

Nei.	Nye konsepter	Definisjon
1	Projeksjon.	Bilde på et fly.
2	Projeksjonsplan.	Planet som projeksjonen er oppnådd på.
3	Projeksjonsstråle.	En rett linje som et objekt projiseres på et plan med.
4	Sentral projeksjon.	Projeksjon der de projiserte strålene kommer ut fra et enkelt punkt.
5	Parallell projeksjon.	Projeksjon der de utstikkende strålene er parallelle med hverandre.
6	Rektangulær projeksjon.	Projeksjon der de projiserte strålene faller på projeksjonsplanet i rette vinkler.
7	Skråprojeksjon.	Projeksjon der de projiserte strålene ikke faller på projeksjonsplanet i rette vinkler.
Projeksjonsstråle, sentralprojeksjon, projeksjon, skråprojeksjon, planprojeksjon, parallellprojeksjon, rektangulær projeksjon.

5. Siste del(1 minutt.)

Lærer: Vi har nådd våre mål og mål. (Evaluering av de som jobbet godt) Skriv ned leksene dine. (lysbilde 13)

6. Lekser: lærebok side 32-37.

Lærer: Leksjonen er over, takk, farvel.

Projeksjonen av punktet A på projeksjonsplanet π 1 er punktet A 1 i skjæringspunktet mellom projeksjonslinjen og projeksjonsplanet π 1 passerer gjennom punkt A (fig. 1.1):

Projeksjonen av enhver geometrisk figur er settet med projeksjoner av alle dens punkter. Retningen til de utstikkende rette linjene og posisjonen til π 1-planene bestemmer projeksjonsapparatet.

Sentralprojeksjon er en projeksjon der alle utstrålende stråler kommer fra ett punkt S - projeksjonssenteret (fig. 1.2).

Parallellprojeksjon er en projeksjon der alle utstikkende linjer er parallelle med en gitt retning S (fig. 1.3).

.

Ris. 1.1. Projeksjon av punkt A på projeksjonsplanet π 1

.

Ris. 1.2. Eksempel på sentralprojeksjon

.

Ris. 1.3. Eksempel på parallellprojeksjon

Parallell projeksjon er spesielt tilfelle sentral projeksjon, når punktet S er i uendelig stor avstand fra projeksjonsplanet π 1.

Med et gitt projeksjonsapparat tilsvarer hvert punkt i rommet ett og bare ett punkt på projeksjonsplanet.

Én projeksjon av et punkt bestemmer ikke posisjonen til dette punktet i rommet. Faktisk kan projeksjonen A 1 tilsvare et uendelig antall punkter A ’, A ’’, ... plassert på den projiserte linjen (fig. 1.4).

For å bestemme posisjonen til et punkt i rommet med et hvilket som helst projeksjonsapparat, er det nødvendig å ha to av dets projeksjoner, oppnådd med to forskjellige projeksjonsretninger (eller med to forskjellige projeksjonssentre).

.

Ris. 1.4. Et eksempel på plasseringen av et sett med punkter på en utstikkende linje

Så fra fig. 1.5 er det klart at to projeksjoner av punktet A (A 1 og A 2), oppnådd med to projeksjonsretninger S 1 og S 2, unikt bestemmer posisjonen til selve punktet A i rommet - som skjæringspunktet mellom utstikkende linjer 1 og 2 trukket fra fremspringene A 1 og A 2 parallelt med projeksjonsretningene S 1 og S 2 .

.

Ris. 1.5. Bestemme posisjonen til punkt A i rommet

Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"

1. Sentrumsprojeksjon(Fig. 1.1). Det antas at projeksjon utføres ved hjelp av rettlinjede stråler som kommer fra ett punkt i rommet - projeksjonssenter.

En slik projeksjon er irreversibel: et punkt i rommet bestemmer posisjonen til dets projeksjon, mens projeksjonen av et punkt ikke bestemmer posisjonen til dette punktet i rommet, siden projeksjonen samtidig kan tilhøre mange punkter som ligger på den projiserte strålen.

2. Parallell projeksjon. Projeksjon utføres ved hjelp av parallelle stråler. Dette innebærer at projeksjonsplanet kan lage en hvilken som helst vinkel med de projiserte strålene. Denne typen projeksjon er også irreversibel.

3. Rektangulær projeksjon. Denne metoden er et spesielt tilfelle av parallell projeksjon, når de projiserte strålene er vinkelrett på projeksjonsplanet. Denne typen projeksjon er tatt i bruk i maskinteknikk for å konstruere bilder på en tegning. Imidlertid gjenstår irreversibiliteten til projeksjon.

1.5. Egenskaper ved ortografisk projeksjon

1. Ethvert punkt i rommet har en enkelt projeksjon på et gitt plan.

2. Projeksjonen av en rett linje på et plan er en rett linje.

3. Hvis et bestemt punkt tilhører en bestemt linje, så hører projeksjonen av et gitt punkt også til projeksjonen av en gitt linje.

4. Hvis et punkt i rommet deler et segment i i denne forbindelse, så deler projeksjonen av dette punktet projeksjonen av et gitt segment i samme forhold.

5. Projeksjoner av parallelle rette linjer er parallelle.

6. Ved overføring av projeksjonsplan (eller en figur) parallelt, endres ikke projeksjonen av figuren.

7. Skjæringspunktet for projeksjonene av kryssende linjer er projeksjonen av skjæringspunktet for disse linjene.

8. Dersom minst en av partene rett vinkel parallelt med et gitt projeksjonsplan, så projiseres det på dette planet uten forvrengning.

9. Lengden på et segment er generelt større enn lengden på dets projeksjon.

10.Hvis planet til en sirkel ikke er parallelt med projeksjonsplanet, så er projeksjonen av denne sirkelen en ellipse.

11. En geometrisk figur kalles projeksjon hvis en av dens projeksjoner har en dimensjon som er en mindre. For eksempel projiseres en rett linje vinkelrett på projeksjonsplanet på den i form av et punkt (fig. 1.2).

1.6. Typer grafikkoppgaver

Alle grafiske oppgaver som oppstår ved konstruksjon og lesing av bilder kan deles inn i følgende grupper.

PZ - posisjonsoppgaver, som er assosiert med å bestemme den relative posisjonen til geometriske former og deres elementer (punkter og linjer) fra tegningen:

PZ.1- en type posisjonsoppgaver knyttet til å bestemme rekkefølgen til den relative posisjonen til projeksjonsobjekter fra en tegning: til venstre, til høyre, videre, nærmere, høyere, lavere.

PZ.2 - oppgaver knyttet til å bestemme tilbehør fra en tegning geometriske former deres elementer: poeng eller linjer.

PZ.3 - oppgaver knyttet til å bestemme ut fra en tegning resultatene av det gjensidige skjæringspunktet mellom geometriske former. Disse oppgavene kalles: hovedposisjonsoppgaver (GPZ).

MOH - metriske problemer, som er assosiert med å bestemme dimensjonsegenskapene til projiserte objekter fra tegningen (lengde, avstander, vinkler, arealer).

All variasjonen MOH løses ved hjelp av to grunnleggende problemer kalt grunnleggende metriske oppgaver (OMZ):

OMZ.1-oppgaver for å bestemme lengden på et segment fra en tegning.

OMZ.2-oppgaver å bestemme ut fra en tegning vinkelrett på rette linjer til hverandre.

KomZ - komplekse oppgaver, som inneholder flere oppgaver, både posisjonelle og metriske.

KonZ - konstruktive oppgaver, som er knyttet til konstruksjonen av en tegning av geometriske figurer og deres elementer som oppfyller visse spesifiserte designbetingelser (for eksempel for å konstruere en tegning av en overflate, der alle punkter vil være like langt fra en gitt rett linje).