Kas ir algebriskā risināšanas metode. Video nodarbība “Aritmētiskā metode tekstu uzdevumu risināšanai

Mācīšanās risināt teksta uzdevumus ir svarīga loma matemātikas zināšanu attīstībā. Vārdu uzdevumi sniedz daudz iespēju skolēnu domāšanas attīstībai. Mācīšanās risināt problēmas ir ne tikai pareizu atbilžu iegūšanas tehnikas mācīšana dažās tipiskās situācijās, bet arī radošas pieejas apguve risinājuma atrašanā, garīgās darbības pieredzes gūšana un matemātikas spēju demonstrēšana skolēniem dažādu risināšanā. problēmām. Taču, risinot teksta uzdevumus 5.-6.klasē, visbiežāk tiek izmantots vienādojums. Bet piektklasnieku domāšana vēl nav gatava formālām procedūrām, kas saistītas ar vienādojumu risināšanu. Aritmētiskajai uzdevumu risināšanas metodei ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar algebrisko metodi, jo katra darbību soļa rezultāts ir skaidrāks un konkrētāks, un tas nepārsniedz piektās klases skolēnu pieredzi. Studenti risina problēmas, izmantojot darbības, labāk un ātrāk nekā izmantojot vienādojumus. Bērnu domāšana ir konkrēta, un tā jāattīsta uz konkrētiem objektiem un daudzumiem, tad pamazām pāriet uz operāciju ar abstraktiem tēliem.

Strādājot pie uzdevuma, rūpīgi jāizlasa nosacījuma teksts, jāsaprot katra vārda nozīme. Es sniegšu piemērus problēmām, kuras var viegli un vienkārši atrisināt, izmantojot aritmētiku.

1. uzdevums. Lai pagatavotu ievārījumu, ņem divas daļas aveņu un trīs daļas cukura. Cik kilogramus cukura jāņem uz 2 kg 600 g aveņu?

Risinot problēmu “detaļās”, jāiemācās vizualizēt problēmas apstākļus, t.i. Labāk ir paļauties uz zīmējumu.

1. 2600:2=1300 (g) - veido vienu ievārījuma daļu;
2. 1300*3= 3900 (g) - jāņem cukurs.

2. uzdevums. Pirmajā plauktā bija 3 reizes vairāk grāmatu nekā otrais. Abos plauktos kopā atradās 120 grāmatas. Cik grāmatu bija katrā plauktā?

1) 1+3=4 (daļas) - visu grāmatu konti;

2) 120:4=30 (grāmatas) - veido vienu daļu (grāmatas otrajā plauktā);

3) 30*3=90 (grāmatas) - stāvēja pirmajā plauktā.

3. uzdevums. Fazāni un truši sēž būrī. Kopumā ir 27 galvas un 74 kājas. Uzziniet fazānu skaitu un trušu skaitu būrī.

Iedomāsimies, ka uzliekam burkānu uz būra vāka, kurā sēž fazāni un truši. Tad visi truši stāvēs uz pakaļkājām, lai to sasniegtu. Pēc tam:

1. 27*2=54 (kājas) - stāvēs uz grīdas;
2. 74-54=20 (kājas) - būs augšpusē;
3. 20:2=10 (truši);
4. 27-10=17 (fazāni).

4. uzdevums. Mūsu klasē mācās 30 skolēni. 23 cilvēki devās ekskursijā uz muzeju, bet 21 devās uz kino, un 5 cilvēki netika ne ekskursijā, ne kino. Cik cilvēku devās gan ekskursijā, gan kino?

“Eulera apļus” var izmantot, lai analizētu nosacījumu un izvēlētos risinājuma plānu.

1. 30-5=25 (pers.) – devās vai nu uz kino, vai ekskursijā,
2. 25-23=2 (persona) – gāja tikai uz kino;
3. 21-2=19 (pers.) – devos uz kino un ekskursijā.

5. uzdevums. Trīs pīlēni un četri zoslēni sver 2 kg 500 g, bet četri pīlēni un trīs zoslēni sver 2 kg 400 g. Cik sver viens zoslēns?

1. 2500+2400=2900 (g) – sver septiņi pīlēni un septiņi zoslēni;
2. 4900:7=700 (g) – viena pīlēna un viena zoslēna svars;
3. 700*3=2100 (g) – 3 pīlēnu un 3 zosēnu svars;
4. 2500-2100=400 (g) – kāpura svars.

6. uzdevums. Par bērnudārzs nopirka 20 piramīdas: lielas un mazas - pa 7 un 5 gredzeniem. Visām piramīdām ir 128 gredzeni. Cik lielu piramīdu tur bija?

Iedomāsimies, ka no visām lielajām piramīdām noņēmām divus gredzenus. Pēc tam:

1) 20*5=100 (gredzeni) – pa kreisi;

2) 128-100-28 (gredzeni) – noņēmām;

3) 28:2=14 (lielas piramīdas).

7. uzdevums. 20 kg smags arbūzs saturēja 99% ūdens. Tā kā tas nedaudz izžuva, ūdens saturs tajā samazinājās līdz 98%. Nosakiet arbūza masu.

Ērtības labad risinājumam tiks pievienota taisnstūru ilustrācija.

99% ūdens	1% sausnas
98% ūdens	2% sausnas

Šajā gadījumā ir ieteicams zīmēt vienādus “sausnas” taisnstūrus, jo “sausnas” masa arbūzā paliek nemainīga.

1) 20:100=0,2 (kg) – “sausnas” masa;

2) 0,2:2=0,1 (kg) – veido 1% no žāvētā arbūza;

3) 0,1*100=10 (kg) – arbūza masa.

8. uzdevums. Viesi jautāja: cik veca bija katrai no trim māsām? Vera atbildēja, ka viņai un Nadjai kopā bija 28 gadi, Nadjai un Ļubai kopā bija 23 gadi, un visām trim bija 38 gadi. Cik veca ir katrai no māsām?

1. 38-28=10 (gadi) – Lyuba;
2. 23-10=13 (gadi) – Nadja;
3. 28-13=15 (gadi) – Vera.

Teksta uzdevumu risināšanas aritmētiskā metode māca bērnam rīkoties apzināti, loģiski pareizi, jo, risinot šādi, palielinās uzmanība jautājumam “kāpēc” un ir liels attīstības potenciāls. Tas veicina skolēnu attīstību, viņu intereses veidošanos par problēmu risināšanu un pašu matemātikas zinātni.

Lai mācīšanās būtu iespējama, aizraujoša un pamācoša, ir jābūt ļoti uzmanīgam, izvēloties teksta uzdevumus, jāapsver dažādi to risināšanas veidi, izvēloties labākos, un jāattīsta loģiskā domāšana, kas nepieciešama turpmāk, risinot ģeometriskos uzdevumus.

Studenti var iemācīties risināt problēmas, tikai tās risinot. “Ja vēlies iemācīties peldēt, tad drosmīgi ej ūdenī, un, ja vēlies iemācīties risināt problēmas, tad atrisini tās,” grāmatā “Mathematical Discovery” raksta D. Poļa.

Aritmētiskais veids, kā atrisināt teksta uzdevumus

"...kamēr mēs mēģinām savienot matemātikas mācīšanu ar dzīvi, mums būs grūti iztikt bez teksta uzdevumiem - tradicionāla matemātikas mācīšanas līdzekļa krievu metodikai."

A.V.Ševkins

Spēja risināt teksta uzdevumus ir viens no galvenajiem skolēnu matemātiskās attīstības un mācīšanās dziļuma rādītājiem. izglītojošs materiāls, skaidrība argumentācijā, izpratne par dažādu jautājumu loģiskiem aspektiem.

Lielākajai daļai skolēnu teksta uzdevumi ir sarežģīti un tāpēc nav iecienīts mācību materiāls. Toties skolas matemātikas kursā viņam tiek dots liela vērtība, jo uzdevumi veicina, pirmkārt, loģiskās domāšanas, telpiskās iztēles attīstību un matemātikas zināšanu praktisku pielietojumu cilvēka darbībā.

Problēmu risināšanas procesā skolēni gūst pieredzi darbā ar lielumiem, izprot to savstarpējās attiecības un gūst pieredzi matemātikas pielietošanā reālu uzdevumu risināšanā.Teksta uzdevumu risināšana attīsta loģisko kultūru, izraisot interesi vispirms par problēmas risinājuma atrašanas procesu, bet pēc tam par apgūstamo priekšmetu.

Tradicionālā krievu skola vienmēr ir pievērsusi īpašu uzmanībuiemācīt bērniem risināt teksta uzdevumus. Vēsturiski ar to pietika uz ilgu laiku matemātiskās zināšanas tika nodotas no paaudzes paaudzē teksta uzdevumu veidā ar risinājumiem. To nozīme slēpās arī lietišķajā, jo saturā tie bija praktiski uzdevumi (banku darbība, tirdzniecība, zemes aprēķini utt.). Krievijā par izglītotu cilvēku uzskatīja cilvēku, kurš prata atrisināt šīs tipiskās, ikdienā ļoti svarīgas problēmas.

Jāpiebilst, ka iemācīties risināt praktiskas problēmas nebija viegli. Bieži tika novērota risinājuma metodes iegaumēšana bez apzinātas stāvokļa izpratnes. Galvenais ir noteikt problēmas veidu un atrast noteikumu tās risināšanai izpratne nebija svarīga.

Uz viduXXgadsimts tika izstrādāts laba tehnika problēmu risināšanas apmācība. Bet diemžēl bieži tika novērots, ka skolotāji apmācīja studentus risināt tipiski uzdevumi, iegaumējot standarta metodes. Bet nav iespējams iemācīties atrisināt problēmas, izmantojot iegaumētu modeli.

Sešdesmito gadu beigās skolu matemātikas izglītības reforma ietvēra vienādojumu agrīnu ieviešanu, lai organizētu mācību problēmu risināšanu jaunā veidā. Taču algebriskās metodes loma teksta uzdevumu risināšanā 5.-6.klasē tika pārspīlēta tieši tāpēc, ka skolas mācību programma Aritmētiskās metodes ir noņemtas. Un prakse ir pierādījusi, ka bez pietiekamas skolēnu domāšanas sagatavošanas uzdevumu risināšana, izmantojot vienādojumus, ir nepraktiska. Skolēnam jāspēj spriest un iedomāties darbības, kas notiek ar priekšmetiem.

5.-6.klasē pietiekami daudz uzmanības jāpievērš teksta uzdevumu risināšanas aritmētiskajai metodei un nav jāsteidzas pāriet uz algebrisko metodi - uzdevumu risināšanu, izmantojot vienādojumu. Kad students ir apguvis algebrisko metodi, ir gandrīz neiespējami atgriezt viņu pie “risinājuma ar darbībām”. Pēc vienādojuma sastādīšanas galvenais ir to pareizi atrisināt un izvairīties no skaitļošanas kļūdas. Un vispār nav jādomā par to, kādas aritmētiskās darbības tiek veiktas risinājuma laikā un pie kā tās noved. Un, ja mēs sekosim vienādojuma atrisinājumam soli pa solim, mēs redzēsim tādas pašas darbības kā aritmētiskajā metodē. Tikai skolēns par to gandrīz nedomā.

Ļoti bieži mēs novērojam, ka bērns nav gatavs algebriski atrisināt problēmu, kad mēs ieviešam abstraktu mainīgo un parādās frāze “ļaujiet x...”. No kurienes cēlies šis “X” un kādi vārdi jāraksta tam blakus, skolēnam šajā posmā nav skaidrs. Un tas notiek tāpēc, ka tas ir jāņem vērā vecuma īpašības bērni, kuriem šajā brīdī ir attīstījusies vizuāli figurālā domāšana. Viņi vēl nav spējīgi uz abstraktiem modeļiem.

Ko mēs saprotam ar prasību – atrisināt problēmu. Tas nozīmē, ka jāatrod darbību secība, kas stāvokļa analīzes rezultātā radīs atbildi uz problēmā uzdoto jautājumu. Lai nonāktu pie atbildes, jāiet tāls ceļš, sākot no brīža, kad saproti tekstu, jāmāk izcelt galveno, “pārtulkot” uzdevumu matemātikas valodā, aizstājot vārdus “ātrāk”, “ lēnāk” ar “mazāk” vai “vairāk”, sastādiet grafisku modeli vai tabulu, kas ļauj vieglāk saprast problēmas apstākļus, salīdzināt vērtības, noteiktloģiskās attiecības starp datiem atbilstoši stāvoklim un nepieciešamajiem. Un bērniem tas ir ļoti grūti.

Svarīgi atzīmēt, ka uzdevumu teksts ir jāsastāda tā, lai bērns saprastu un iztēlotos, ko mēs runājam par. Bieži vien pirms problēmas risināšanas daudz laika tiek pavadīts stāvokļa analīzē, kad skolēniem jāskaidro, kas ir čuguna sagatave, ar ko tā atšķiras no detaļas, kā arī dzelzsbetona balsts, automāts, dzīvojamā platība utt. Uzdevuma tekstam jāatbilst viņa uztveres līmenim. Protams, ir jātuvina problēmas tekstam īstā dzīve lai jūs varētu redzēt praktisks pielietojumsšis modelis.

Uzsākot problēmas risināšanu, ir nepieciešams ne tikai iztēloties attiecīgo situāciju, bet arī attēlot to zīmējumā, diagrammā vai tabulā. Problēmu nav iespējams kvalitatīvi atrisināt bez īsa stāvokļa pieraksta. Tieši nosacījuma shematiska sastādīšana ļauj, apspriežot risinājumu, identificēt visas darbības, kas jāveic, lai atbildētu uz problēmas jautājumu.

Apskatīsim dažus teksta uzdevumu risināšanas piemērus

Kustību uzdevumi

Šāda veida problēmas ir plaši izplatītas skolu matemātikas kursos. Viņi uzrunā dažādi veidi kustības: virzienā, iekšā pretējos virzienos, vienā virzienā (viens panāk otru).

Lai saprastu šos uzdevumus, ir ērti uzzīmēt diagrammu. Bet, ja skolēns taisa galdu, viņu par to nevajag pārliecināt šī metodeĪss apstākļu apraksts nav īpaši labs. Mēs informāciju uztveram dažādi. Varbūt bērns labāk “redz” uzdevumu šajā displejā.

1. piemērs. Divi velosipēdisti vienlaikus brauca viens otram pretī no diviem ciemiem un satikās pēc 3 stundām. Pirmais velosipēdists brauca ar ātrumu 12 km/h, bet otrs – ar 14 km/h. Cik tālu ir ciemati?

Izveidosim problēmas diagrammu, kas pietiekami pilnībā atspoguļo stāvokli (norādīti kustības virzieni, velosipēdistu ātrumi, brauciena laiks līdz sanāksmei, jautājums ir skaidrs):

Apskatīsim divus veidus, kā atrisināt šo problēmu:

1 ceļš:

Tradicionāli mums patīk šīs problēmas risināt, ieviešot jēdzienu “aizvēršanās ātrums” un atrodot to kā kustības dalībnieku ātrumu summu (vai starpību). Virzoties viens otram, mēs summējam ātrumus:

1)12 + 14 = 26 (km/h) – tuvošanās ātrums

Zinot, ka kustības laiks ir vienāds, otrā darbība ļauj izmantot ceļa formulu (S = vt) aprēķiniet nepieciešamo attālumu un atbildiet uz uzdevumā uzdoto jautājumu.

2) 26 3 = 78 (km)

Izteiksim izteiksmi:

3 (12 + 14) = 78 (km)

Atbilde : 78 km.

Bet ne visi bērni saprot, kas ir šis abstraktais lielums – pieejas ātrums. Kāpēc ir iespējams saskaitīt un citos gadījumos atņemt ātrumus no diviem dažādi dalībnieki kustības, tās apvienojot parastais nosaukums. Ja jūsu skolēni šo problēmu risina citādi, nemēģiniet viņus piesaistīt savā pusē. Dažiem vēl nav pienācis laiks to saprast, un citiem pirmā metode vispār nebūs pieejama.

2. metode:

1)12 3 = 36 (km) – pirmā riteņbraucēja ceļš uz tikšanos

2)14 3 = 42 (km) – otrā riteņbraucēja distance līdz sapulcei

3)36 + 42 = 78 (km) – attālums starp ciemiem

Izteiksim izteiksmi:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Atbilde : 78 km.

Pamazām, kad bērns iemācās saprast šādus uzdevumus, salīdzinot skaitliskās izteiksmes, mēs varam parādīt, ka abas metodes ir savstarpēji saistītas, un tajā pašā laikā atgādināt reizināšanas sadales īpašību:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

2. piemērs. Divos iepakojumos bija 54 piezīmju grāmatiņas. Kad no pirmās pakas tika izņemtas 10 klades, bet no otrās – 14 klades, tad abās pakās bija vienāds piezīmju grāmatiņu skaits. Cik piezīmju grāmatiņu sākotnēji bija katrā iepakojumā?

Kā es varu parādīt nosacījumu?

1. Izveidojiet tabulu:

Bija

Noņemts

Tā kļuva

1 iepakojums - ? 54 tet.

2 iepakojumi - ?

10 tet.

14 tet.

vienādi

2. Izveidojiet zīmējumu

Viņi paņēma 14 gabalus.

Viņi paņēma 10 gabalus.

Vienlīdzīgi

Kopā 54 gab.

Analizēsim problēmas risinājumu, pievēršot uzmanību tam, uz kādiem jautājumiem mēs atbildam, veicot katru aritmētisko darbību:

1) Cik piezīmju grāmatiņas tika izņemtas no abām pakām?

10 + 14 = 24 (gab.);

2) Cik piezīmju grāmatiņu ir divās pakās?

– 24 = 30 (gab.);

3) Cik daudz ir katrā piezīmju grāmatiņu iepakojumā?

30: 2 = 15 (gab.);

4) Cik piezīmju grāmatiņu sākotnēji bija pirmajā iepakojumā?

10 = 25 (gab.);

5) Cik piezīmju grāmatiņu sākotnēji bija otrajā iepakojumā?

54 – 25 = 29 (gab.).

5. klasē, visticamāk, skolēns izvēlēsies tieši šādu problēmas risināšanas metodi. Aiciniet viņu atrisināt šo problēmu 6. vai 7. klasē. Iespējams, situācija mainīsies un skolēns to atrisinās, izmantojot vienādojumu. Veicot vienas un tās pašas darbības, viņš nedomās par daudziem jautājumiem. Izvēloties vienādojumu kā problēmas risināšanas līdzekli, jūs ļoti ātri nonāksit pie vienas un tās pašas atbildes.

Kā tad izskatītos risinājums?

Lai pēc pārkārtošanas katrā iepakojumā būtu x piezīmju grāmatiņas,

tad (x + 10) piezīmju grāmatiņas sākotnēji bija pirmajā iepakojumā, un

(x + 14) piezīmjdatori sākotnēji bija otrajā iepakojumā.

Zinot, ka divās pakās bija 54 piezīmju grāmatiņas, varam izveidot vienādojumu:

x + 10 + x + 14 = 54

Vienādojums izseko visas tās pašas darbības, kas tiek veiktas problēmas risināšanas aritmētiskajā metodē.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 aritmētiskās metodes darbība)

2x = 54–24; (2. darbība)

x = 30:2; (3. darbība)

15 + 10 = 25 (gab.) (4 darbības)

15 + 14 = 29 (gab.) (5 darbības)

Atbilde: 25 klades, 29 klades.

Bet neviens neuzdod nekādus jautājumus par to, ko mēs atrodam, veicot katru soli.

Es saviem skolēniem vienmēr rādu, ka 5. vai 9. klases uzdevumu teksts pēc nozīmes bieži vien ir vienāds. Un prakse rāda, ka piektās klases skolēni spēj izdomāt nosacījumu no problēmu grāmatas 9. klasei un pat izveidot vienādojumu. Protams, joprojām nav pietiekami daudz zināšanu, lai atrisinātu šādu vienādojumu. Bet tajā pašā laikā ne katram devītklasniekam izdodas ar aritmētisko metodi atrisināt kādu uzdevumu 5. klasei.

Skolēni teksta uzdevumu risināšanai parasti izvēlas algebrisko metodi, viņi gandrīz nekad neatgriežas pie aritmētikas. Viņi vienkārši pārstāj redzēt šo metodi, aizraujoties ar mainīgo lielumu ieviešanu un vienādojumu sastādīšanu.

Kāpēc mēs augstu vērtējam tekstuālo uzdevumu risināšanas aritmētisko metodi? Pirmais un vissvarīgākais ir tas, ka, veicot katru aritmētisko darbību, students domā par jautājumu: "Ko es atklāju rezultātā?" Viņš iedomājas, par ko ir problēma, jo katrai darbībai ir skaidra un konkrēta interpretācija. Tā rezultātā tas aktīvi attīstās loģiskā domāšana. Aprēķinu, mērījumu un problēmu risinājumu meklēšanas procesā skolēns attīsta kognitīvo universālo mācību aktivitātes, kuras veidošanās irsvarīgākais uzdevums moderna sistēma pamata vispārējā izglītība.

Visā tiek pētītas vārdu problēmas skolas kurss matemātika. Taču 5.-6.klasē ir jāmāca izprast problēmas, analizēt nosacījumus, argumentēt un rast racionālus risinājumus, kamēr to sarežģītības līmenis ir zems, un pati problēma ir viena no svarīgākajām kategorijām. Grūto var saprast ar vieglo.

Aritmētisko metožu izmantošana problēmu risināšanā attīsta atjautību un inteliģenci, spēju uzdot jautājumus un uz tiem atbildēt, tas ir, attīsta dabiskā valoda, sagatavo skolēnus tālākizglītībai.

Teksta uzdevumu risināšanas aritmētiskās metodes ļauj izveidot risinājuma plānu, ņemot vērā zināmo un nezināmo lielumu attiecības (ņemot vērā problēmas veidu), interpretēt katras darbības rezultātu problēmas nosacījumu ietvaros, pārbaudīt pareizību. risinājumu, izstrādājot un risinot apgriezto problēmu, tas ir, veidot un attīstīt svarīgas vispārizglītojošas prasmes.

Ja skolēns tiek galā ar teksta uzdevumiem matemātikas stundās, tas ir, viņš prot izsekot un izskaidrot sava risinājuma loģisko ķēdi, dot visu lielumu aprakstu, tad viņš var arī veiksmīgi atrisināt uzdevumus fizikā un ķīmijā, viņš var salīdzināt un analizēt. , pārveidot informāciju par visu akadēmiskie priekšmeti skolas kurss.

Lielais D. Poļa teica: "Ja vēlaties iemācīties peldēt, tad drosmīgi kāpiet ūdenī, un, ja vēlaties iemācīties risināt problēmas, tad risiniet tās."Ja mēs mācīsim bērniem risināt problēmas, mēs ne tikai palielināsim interesi par pašu mācību priekšmetu, mēs būtiski ietekmēsim viņu matemātiskās domāšanas veidošanos, kas veicina veiksmīgu jaunu zināšanu attīstību citās jomās.

Analizējot šīs problēmas, vērojot, kas tām ir kopīgs no matemātikas viedokļa, kādas ir atšķirības, atrast neparastu problēmu risināšanas veidu, izveidot problēmu risināšanas paņēmienu krājkasīti, uzzināt, kā atrisināt vienu uzdevumu dažādos veidos.Tās pašas tēmas “Aritmētiskās metodes uzdevumu risināšanai” uzdevumu simulators, uzdevumi darbam grupā un individuālajam darbam.

“uzdevumi simulatora rokasgrāmatai”

Treneris: “Aritmētiskās metodes uzdevumu risināšanai”

"Ciparu salīdzināšana pēc summas un starpības."

Divos grozos ir 80 baravikas. Pirmajā grozā ir par 10 baravikas mazāk nekā otrajā. Cik baravikas ir katrā grozā?

Šūšanas studija saņēma 480 m džinsa auduma un drapējumu. Džinsa audums tika piegādāts par 140 m vairāk nekā drapējums. Cik metrus džinsa auduma studija saņēma?

TV torņa modelis sastāv no diviem blokiem. Apakšējais bloks ir par 130 cm īsāks nekā augšējais. Kāds ir augšējo un apakšējo bloku augstums, ja torņa augstums ir 4 m 70 cm?

Divās kastītēs ir 16 kg cepumu. Atrodiet cepumu masu katrā kastē, ja vienā no tām ir par 4 kg vairāk cepumu.

Uzdevums no L. N. Tolstoja “Aritmētikas”.

a) Diviem vīriešiem ir 35 aitas. Vienai ir par 9 aitām vairāk nekā otrai. Cik aitu ir katram cilvēkam?

b) Diviem vīriešiem ir 40 aitas, un vienam ir par 6 aitām mazāk nekā otram. Cik aitu ir katram cilvēkam?

Garāžā atradās 23 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem. Automašīnām un motocikliem ir 87 riteņi. Cik motociklu ir garāžā, ja katram blakusvāģim ir rezerves ritenis?

"Eulera apļi".

Mājā dzīvo 120 iemītnieku, no kuriem daļai ir suņi un kaķi. Attēlā ir aplis AR attēlo iemītniekus ar suņiem, apli UZ – iedzīvotāji ar kaķiem. Cik īrniekiem ir gan suņi, gan kaķi? Cik īrniekiem ir tikai suņi? Cik īrniekiem ir tikai kaķi? Cik īrniekiem nav ne suņu, ne kaķu?

No 52 skolēniem 23 spēlē volejbolu un 35 basketbolu, bet 16 spēlē gan volejbolu, gan basketbolu. Pārējie nespēlē nevienu no šiem sporta veidiem. Cik daudz skolēnu nenodarbojas ar kādu no šiem sporta veidiem?

Attēlā ir aplis A attēlo visus universitātes darbiniekus, kuri zina angļu valoda, aplis N – kas prot vācu valodu un apli F - franču valoda. Cik augstskolu darbinieki zina: a) 3 valodas; b) angļu un vācu valoda; c) franču valoda? Cik augstskolu darbinieku ir? Cik daudzi no viņiem nerunā franču valodā?

IN starptautiskā konferencē Piedalījās 120 cilvēki. No tiem 60 runā krieviski, 48 runā angliski, 32 runā vāciski, 21 runā krieviski un vāciski, 19 runā angliski un vāciski, 15 runā krieviski un angliski, bet 10 cilvēki runā visās trīs valodās. Cik konferences dalībnieku nerunā nevienā no šīm valodām?

Korī dzied un dejojot praktizē 82 audzēkņi. ritmiskā vingrošana Mācās 32 skolēni, korī dzied un ritmisko vingrošanu nodarbojas 78 skolēni. Cik skolēnu atsevišķi dzied korī, dejo un ritmisko vingrošanu, ja zināms, ka katrs skolēns dara tikai vienu lietu?

Katra ģimene, kas dzīvo mūsu mājā, abonē vai nu avīzi, vai žurnālu, vai abus. 75 ģimenes abonē avīzi, bet 27 ģimenes abonē žurnālu, un tikai 13 ģimenes abonē gan žurnālu, gan laikrakstu. Cik ģimeņu dzīvo mūsu mājā?

"Datu korekcijas metode".

Ir 29 ziedi 3 mazos un 4 lielos pušķos un 35 ziedi 5 mazos un 4 lielos pušķos. Cik ziedu ir katrā pušķī atsevišķi?

2 šokolādes tāfelīšu – lielo un mazo – masa ir 120 g, bet 3 lielo un 2 mazo – 320 g.

5 āboli un 3 bumbieri sver 810 g, un 3 āboli un 5 bumbieri sver 870 g. Cik sver viens ābols? Viens bumbieris?

Četri pīlēni un pieci zoslēni sver 4 kg 100 g, pieci pīlēni un četri zoslēni sver 4 kg. Cik sver viens pīlēns?

Par vienu zirgu un divām govīm dienā tiek doti 34 kg siena, bet par diviem zirgiem un vienu govi - 35 kg siena. Cik siena dod vienam zirgam un cik vienai govij?

3 sarkani kubi un 6 zili kubi maksā 165 tengu rubļus. Turklāt pieci sarkanie ir par 95 tengām dārgāki nekā divi zilie. Cik maksā katrs kubs?

2 skiču burtnīcas un 3 pastmarku albumi kopā maksā 160 rubļus, bet 3 skiču burtnīcas maksā 45 rubļus. dārgāki par diviem pastmarku albumiem.

"Grāfi".

Seryozha nolēma savai mātei dzimšanas dienā uzdāvināt ziedu pušķi (rozes, tulpes vai neļķes) un ievietot tos vai nu vāzē, vai krūzē. Cik daudzos veidos viņš to var izdarīt?

Cik daudz trīsciparu skaitļi vai no skaitļiem var izveidot 0, 1, 3, 5, ja skaitļi neatkārtojas?

Trešdien 5. klasē ir piecas stundas: matemātika, fizkultūra, vēsture, krievu valoda un dabaszinības. Cik daudz dažādas iespējas Vai varat sastādīt grafiku trešdienai?

"Sens veids, kā atrisināt problēmas, kas saistītas ar vielu sajaukšanu."

Kā sajaukt eļļas? Kādai personai bija pārdošanā divu veidu eļļa: viena par spaini bija 10 grivnas, otra par spaini bija 6 grivnas. Viņš gribēja no šīm divām eļļām pagatavot eļļu, tās sajaucot, maksājot 7 grivnas par spaini. Kādas šo divu eļļu daļas ir jāņem, lai iegūtu eļļas spaini 7 grivnu vērtībā?

Cik daudz karameles jāņem par cenu 260 tenges par 1 kg un 190 tenges par 1 kg, lai pagatavotu 21 kg maisījuma par cenu 210 tenges par kilogramu?

Kādam ir trīs tējas šķirnes – Ceilonas par 5 grivnām par mārciņu, Indijas par 8 grivnām par mārciņu un ķīniešu par 12 grivnām par mārciņu. Kādās proporcijās šīs trīs šķirnes jāsajauc, lai iegūtu tēju, kuras vērtība ir 6 grivnas par mārciņu?

Kādam ir dažādu standartu sudrabs: viens ir 12. standarts, cits ir 10. standarts, trešais ir 6. standarts. Cik daudz sudraba jāņem, lai iegūtu 1 mārciņu 9. standarta sudraba?

Tirgotājs nopirka 138 aršinus melnu un zilu audumu par 540 rubļiem. Jautājums, cik aršinus viņš nopirka par abiem, ja zilais maksāja 5 rubļus? par aršinu un melno - 3 rubļi?

Dažādi uzdevumi.

Jaungada dāvanām nopirkām 87 kg augļu, un ābolu bija par 17 kg vairāk nekā apelsīnu. Cik ābolus un apelsīnus nopirkāt?

Pie Jaungada eglītes bērniem karnevāla tērpos sniegpārsliņu bija 3 reizes vairāk nekā Pētersīļu tērpos. Cik bērnu bija Pētersīļu tērpos, ja viņu bija par 12 mazāk?

Maša saņēma 2 reizes mazāk Jaungada apsveikumu nekā Koļa. Cik apsveikumu saņēma katrs, ja kopā bija 27 (9 un 18).

Jaungada balvām tika iegādāti 28 kg saldumu. Konfektes “Swallow” sastāvēja no 2 daļām, “Mūza” - 3 daļām, “Romashka” - 2 daļām. Cik katra veida saldumus iegādājāties (8, 8, 12).

Noliktavā ir 2004 kg miltu. Vai to var ievietot maisos, kas sver 9 kg un 18 kg?

Veikalā "Viss tējai" ir 5 dažādas krūzes un 3 dažādas apakštasītes. Cik daudzos veidos var iegādāties krūzīti un apakštasīti?

Zirgs siena kaudzi apēd 2 dienās, govs – 3, aita – 6. Cik dienas viņiem vajadzēs, lai apēstu siena kaudzi, ja viņi to ēd kopā?

Skatīt dokumenta saturu
"nodarbības kopsavilkums arif sp"

"Aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai."

Matemātikas studentam bieži vien ir lietderīgāk vienu un to pašu uzdevumu atrisināt trīs dažādos veidos, nevis atrisināt trīs vai četrus dažādus uzdevumus. Risinot vienu problēmu dažādos veidos, salīdzinājumam var noskaidrot, kurš no tiem ir īsāks un efektīvāks. Tā tiek attīstīta pieredze.

V. V. Sojers

Nodarbības mērķis: izmantojiet iepriekšējās nodarbībās iegūtās zināšanas, parādiet iztēli, intuīciju, iztēli un atjautību, lai dažādos veidos atrisinātu pārbaudes uzdevumus.

Nodarbības mērķi: izglītojošs: analizējot šīs problēmas, vērojot, kas tām ir kopīgs no matemātiķa viedokļa, kādas ir atšķirības, atrodot neparastu problēmu risināšanas veidu, veidojot uzdevumu risināšanas paņēmienu krājkasīti, mācoties atrisināt vienu uzdevumu dažādos veidos.

Attīstošs: izjūt vajadzību pēc pašrealizācijas, nonākot noteiktā lomu situācijā.

Izglītojoši: attīstīt personiskās īpašības, veidot komunikatīvo kultūru.

Mācību rīki: vienā tēmā sagrupētu uzdevumu simulators “Uzdevumu risināšanas aritmētiskās metodes”, uzdevumi darbam grupā un individuālajam darbam.

NODARBĪBAS NORISE.

es Organizatoriskais brīdis

Sveiki puiši. Apsēdies. Šodien mums ir nodarbība par tēmu “Aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai”.

II. Zināšanu atjaunināšana.

Matemātika ir viena no senākajām un svarīgākajām zinātnēm. Cilvēki ļoti daudz matemātikas zināšanu izmantoja senatnē – pirms tūkstošiem gadu. Tie bija nepieciešami tirgotājiem un celtniekiem, karotājiem un mērniekiem, priesteriem un ceļotājiem.

Un mūsdienās ne viens vien nevar iztikt dzīvē bez labām matemātikas zināšanām. Labas matemātikas izpratnes pamatā ir spēja skaitīt, domāt, spriest un rast veiksmīgus problēmu risinājumus.

Šodien mēs apskatīsim aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai, mēs analizēsim senās problēmas, kas mums radušās no dažādās valstīs un laiki, uzdevumi par izlīdzināšanu, salīdzināšanu pēc summas un starpības un citi.

Nodarbības mērķis ir iesaistīt jūs tajā apbrīnojama pasaule skaistums, bagātība un daudzveidība – interesantu izaicinājumu pasaule. Un tāpēc iepazīstināsim jūs ar dažām aritmētiskām metodēm, kas noved pie ļoti elegantiem un pamācošiem risinājumiem.

Uzdevums gandrīz vienmēr ir meklējumi, kādu īpašību un sakarību atklāšana, un tā risināšanas līdzekļi ir intuīcija un minējumi, erudīcija un matemātisko metožu meistarība.

Galvenās matemātikā ir aritmētiskās un algebriskās uzdevumu risināšanas metodes.

Uzdevuma risināšana ar aritmētisko metodi nozīmē atbildes atrašanu uzdevuma prasībai, izpildot aritmētiskās darbības pāri cipariem.

Ar algebrisko metodi atbilde uz uzdevuma jautājumu tiek atrasta vienādojuma sastādīšanas un atrisināšanas rezultātā.

Nav noslēpums, ka cilvēks, kuram pieder dažādi instrumenti un kurš tos izmanto atkarībā no veicamā darba rakstura, sasniedz ievērojami labākus rezultātus nekā cilvēks, kuram pieder tikai viens universāls instruments.

Problēmu risināšanai ir daudz aritmētisko metožu un nestandarta paņēmienu. Šodien es vēlos jūs iepazīstināt ar dažiem no tiem.

1. Teksta uzdevumu risināšanas metode “Ciparu salīdzināšana pēc summas un starpības”.

Uzdevums : Vecmāmiņa rudenī ar vasarnīca savāca 51 kg burkānu un kāpostu. Kāpostu bija par 15 kg vairāk nekā burkānu. Cik kilogramus burkānu un cik kilogramus kāpostu savāca vecmāmiņa?

Jautājumi, kas atbilst šīs klases uzdevumu risināšanas algoritma punktiem.

1. Uzziniet, kādi daudzumi tiek apspriesti uzdevumā

Par burkānu un kāpostu skaitu, ko vecmāmiņa savāca kopā un atsevišķi.

2. Norādiet, kuru lielumu vērtības ir jāatrod uzdevumā.

Cik kilogramus burkānu un cik kilogramus kāpostu savāca vecmāmiņa?

3. Nosauciet sakarību starp daudzumiem uzdevumā.

Problēma runā par daudzumu summu un starpību.

4. Nosauciet lielumu vērtību summu un starpību.

Summa – 51 kg, starpība – 15 kg.

5. Izlīdzinot daudzumus, atrodiet mazākā daudzuma dubulto vērtību (no daudzumu summas atņemiet lielumu starpību).

51 – 15 = 36 (kg) – dubultā burkānu daudzums.

6. Zinot dubultoto vērtību, atrodiet mazāko vērtību (dalītu dubultoto vērtību ar diviem).

36: 2 = 18 (kg) – burkāni.

7. Izmantojot starpību starp daudzumiem un mazākā daudzuma vērtību, atrodiet lielākā daudzuma vērtību.

18 + 15 = 33 (kg) – kāposti. Atbilde: 18 kg, 33 kg. Uzdevums.Būrī ir fazāni un truši. Kopā 6 galvas un 20 kājas. Cik trušu un cik fazānu ir būrī ?
1. metode. Atlases metode:
2 fazāni, 4 truši.
Pārbaude: 2 + 4 = 6 (vārti); 4 4 + 2 2 = 20 (pēdas).
Šī ir atlases metode (no vārda “izvēlēties”). Šīs risinājuma metodes priekšrocības un trūkumi (grūti izvēlēties, ja skaitļi ir lieli) Līdz ar to rodas stimuls meklēt ērtākas risinājuma metodes.
Diskusijas rezultāti: atlases metode ir ērta, strādājot ar maziem skaitļiem, kad vērtības palielinās, tas kļūst neracionāls un darbietilpīgs.
2. metode. Pabeigt opciju meklēšanu.

Tiek sastādīta tabula:

Atbilde: 4 truši, 2 fazāni.
Šīs metodes nosaukums ir “pilns”. Diskusijas rezultāti: izsmeļošā meklēšanas metode ir ērta, bet lielām vērtībām tā ir diezgan darbietilpīga.
3. metode. Uzminēšanas metode.

Ņemsim vecu ķīniešu problēmu:

Būrī ir nezināms skaits fazānu un trušu. Ir zināms, ka visā šūnā ir 35 galvas un 94 kājas. Uzziniet fazānu skaitu un trušu skaitu.(Problēma no ķīniešu matemātikas grāmatas “Kiu-Chang”, kas sastādīta 2600. gadā pirms mūsu ēras).

Šeit ir dialogs, kas atrodams matemātikas vecmeistaros. - Iedomāsimies, ka mēs uzliekam burkānu uz būra, kurā sēž fazāni un truši. Visi truši stāvēs uz pakaļkājām, lai sasniegtu burkānu. Cik pēdu šajā brīdī atradīsies uz zemes?

Bet problēmas izklāstā ir dotas 94 kājas, kur pārējās?

Atlikušās kājas netiek skaitītas - tās ir trušu priekšējās kājas.

Cik tādu ir?

24 (94 – 70 = 24)

Cik trušu tur ir?

12 (24: 2 = 12)

Kā ar fazāniem?

23 (35- 12 = 23)

Šīs metodes nosaukums ir “deficītu uzminēšanas metode”. Mēģiniet pats izskaidrot šo nosaukumu (būrī sēdošajiem ir 2 vai 4 kājas, un mēs pieņēmām, ka katram ir mazākais no šiem cipariem - 2 kājas).

Vēl viens veids, kā atrisināt to pašu problēmu. - Mēģināsim atrisināt šo problēmu, izmantojot “pārpalikuma pieņēmuma metodi”: iedomāsimies, ka fazāniem tagad ir vēl divas kājas, tad būs visas kājas 35 × 4 =140.

Bet pēc problēmas apstākļiem ir tikai 94 kājas, t.i. 140 – 94= 46 papildu kājas, kas tās ir? Tās ir fazānu kājas, tās ir papildu pāris kājas nozīmē, fazāni gribu 46: 2 = 23, tad truši 35 -23 = 12.
Diskusijas rezultāti: pieņēmumu metodei ir divi varianti- Pēc trūkums un pārmērība; Salīdzinot ar iepriekšējām metodēm, tas ir ērtāk, jo ir mazāk darbietilpīgs.
Uzdevums. Pa tuksnesi lēnām soļo kamieļu karavāna, kuru kopā ir 40 Ja saskaitīsi visus kupri uz šiem kamieļiem, sanāk 57 kupri. Cik daudz ir šajā karavānā dromedāri kamieļi? 1 veids. Atrisiniet, izmantojot vienādojumu.

Kupru skaits uz cilvēku Kamieļu skaits Kopējais kupris

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

2. metode.

- Cik kupri var būt kamieļiem?

(var būt divi vai viens)

Piestiprināsim pie katra kamieļa kupris pa puķi.

- Cik ziedu tev vajadzēs? (40 kamieļi - 40 ziedi)

– Cik kupru paliks bez ziediem?

(Būs tādi 57-40=17 . Šis otrās kupras Baktrijas kamieļi).

Cik daudz Baktrijas kamieļi? (17)

Cik daudz dromedāri kamieļi? (40-17=23)

Kāda ir atbilde uz problēmu? ( 17 un 23 kamieļi).

Uzdevums.Garāžā atradās automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem, no tiem 18 automašīnām un motocikliem kopā bija 65 riteņi. Cik motociklu ar blakusvāģiem atradās garāžā, ja automašīnām ir 4 riteņi un motocikliem ir 3 riteņi?

1 veids. Izmantojot vienādojumu:

Riteņu skaits 1 Kopējo riteņu skaits

Mash. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Pārformulēsim problēmu : Laupītāji, kuri ieradās garāžā, kur bija novietotas 18 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem, katrai automašīnai un motociklam noņēma trīs riteņus un aizveda tos. Cik riteņu ir palicis garāžā, ja tie būtu 65? Vai tie pieder automašīnai vai motociklam?

3×18=54 – tik daudz riteņu laupītāji atņēma,

65- 54 = 11 – atlikuši tik daudz riteņu (mašīnas garāžā),

18 - 11 = 7 motocikli.

Atbilde: 7 motocikli.

Viens pats:

Garāžā atradās 23 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem. Automašīnām un motocikliem ir 87 riteņi. Cik motociklu ir garāžā, ja katram blakusvāģim ir rezerves ritenis?

- Cik riteņu kopā ir automašīnām un motocikliem? (4×23=92)

- Cik rezerves riteņus jūs ievietojāt katrā ratiņā? (92–87 = 5)

- Cik automašīnu ir garāžā? (23 - 5=18).

Uzdevums.Mūsu klasē varat mācīties angļu vai franču valodas(pēc izvēles). Zināms, ka angļu valodu mācās 20, bet franču valodu – 17 Kopumā klasē mācās 32 skolēni. Cik studentu mācās gan angļu, gan franču valodu?

Zīmēsim divus apļus. Vienā fiksēsim to skolēnu skaitu, kuri mācās angļu valodu, otrā - franču valodu apgūstošos skolēnus. Tā kā atbilstoši problēmas apstākļiem tur mācās studentiabas valodas: angļu un franču, tad apļiem būs kopīgā daļa.Šīs problēmas nosacījumus nav tik viegli saprast. Ja saskaita 20 un 17, sanāk vairāk nekā 32. Tas izskaidrojams ar to, ka dažus skolēnus šeit saskaitījām divas reizes – proti, tos, kuri mācās abas valodas: angļu un franču. Tātad (20 + 17) – 32 = 5 Studenti apgūst abas valodas: angļu un franču.

angļu valoda Fran.

20 nodarbības 17 skolā

(20 + 17) – 32 = 5 (studenti).

Shēmas, kas līdzīgas tai, ko izmantojām problēmas risināšanai, sauc matemātikā Eilera apļi (vai diagrammas). Leonhards Eilers (1736) dzimis Šveicē. Bet daudzus gadus dzīvoja un strādāja Krievijā.

Uzdevums.Katra ģimene, kas dzīvo mūsu mājā, abonē vai nu avīzi, vai žurnālu, vai abus. 75 ģimenes abonē avīzi, bet 27 ģimenes abonē žurnālu, un tikai 13 ģimenes abonē gan žurnālu, gan laikrakstu. Cik ģimeņu dzīvo mūsu mājā?

Laikraksti Žurnāli

Attēlā redzams, ka mājā dzīvo 89 ģimenes.

Uzdevums.Starptautiskajā konferencē piedalījās 120 cilvēki. No tiem 60 runā krieviski, 48 runā angliski, 32 runā vāciski, 21 runā krieviski un vāciski, 19 runā angliski un vāciski, 15 runā krieviski un angliski, bet 10 cilvēki runā visās trīs valodās. Cik konferences dalībnieku nerunā nevienā no šīm valodām?

krievu 15 angļu

21 10 19

vācu

Risinājums: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (personas).

Uzdevums. Trīs kaķēni un divi kucēni sver 2 kg 600 g, un divi kaķēni un trīs kucēni sver 2 kg 900 g. Cik sver kucēns?

3 kaķēni un 2 kucēni – 2kg 600 g

2 kaķēni un 3 kucēni – 2 kg 900 g.

No nosacījuma izriet, ka 5 kaķēni un 5 kucēni sver 5 kg 500 g Tas nozīmē, ka 1 kaķēns un 1 kucēns sver 1 kg 100 g

2 kaķi un 2 kucēni. sver 2 kg 200 g

Salīdzināsim nosacījumus -

2 kaķēni + 3 kucēni = 2kg 900 g

2 kaķēni + 2 kucēni = 2 kg 200 g, redzam, ka kucēns sver 700 g.

Uzdevums.Par vienu zirgu un divām govīm dienā tiek doti 34 kg siena, bet par diviem zirgiem un vienu govi - 35 kg siena. Cik siena dod vienam zirgam un cik vienai govij?

Pierakstīsim īsu problēmas izklāstu:

1 zirgs un 2 govis -34kg.

2 zirgi un 1 govs -35kg.

Vai ir iespējams uzzināt, cik daudz siena nepieciešams 3 zirgiem un 3 govīm?

(3 zirgiem un 3 govīm – 34+35=69 kg)

Vai ir iespējams uzzināt, cik siena nepieciešams vienam zirgam un vienai govij? (69: 3–23 kg)

Cik daudz siena vajag vienam zirgam? (35–23 = 12 kg)

Cik siena vajag vienai govij? (23–13 = 11 kg)

Atbilde: 12kg un 11kg.

Uzdevums.Madina nolēma ieturēt brokastis skolas kafejnīcā. Izpēti ēdienkarti un atbildi, cik daudzos veidos viņa var izvēlēties dzērienu un konditorejas izstrādājumu?

	Konditorejas izstrādājumi
	Siera kūka

Pieņemsim, ka Madina kā dzērienu izvēlas tēju. Kādu konditorejas izstrādājumu viņa var izvēlēties tējai? (tēja - siera kūka, tēja - cepumi, tēja - bulciņa)

Cik veidos? (3)

Ja nu tas ir kompots? (arī 3)

Kā jūs zināt, cik daudz veidu Madina var izmantot, lai izvēlētos pusdienas? (3+3+3=9)

Jā, tev taisnība. Bet, lai mums būtu vieglāk atrisināt šo problēmu, mēs izmantosim grafikus. Vārds "grafiks" matemātikā nozīmē attēlu ar vairākiem uzzīmētiem punktiem, no kuriem daži ir savienoti ar līnijām. Dzērienus un konditorejas izstrādājumus apzīmēsim ar punktiem un savienosim to ēdienu pārus, kurus izvēlas Madina.

tējas piena kompots

siera kūku cepumu bulciņa

Tagad saskaitīsim rindu skaitu. No tiem ir 9 Tas nozīmē, ka ir 9 veidi, kā izvēlēties ēdienus.

Uzdevums.Seryozha nolēma savai mātei dzimšanas dienā uzdāvināt ziedu pušķi (rozes, tulpes vai neļķes) un ievietot tos vai nu vāzē, vai krūzē. Cik daudzos veidos viņš to var izdarīt?

Cik daudz veidu jūs domājat? (3)

Kāpēc? (3 krāsas)

Jā. Taču ir arī dažādu veidu trauki: vai nu vāze, vai krūze. Mēģināsim izpildīt uzdevumu grafiski.

vāzes krūze

rozes tulpes neļķes

Skaitīt līnijas. Cik tādu ir? (6)

Tātad, cik daudz veidu Seryozha ir jāizvēlas? (6)

Nodarbības kopsavilkums.

Šodien mēs atrisinājām vairākas problēmas. Bet darbs nav pabeigts, ir vēlme to turpināt, un es ceru, ka tas palīdzēs veiksmīgi atrisināt teksta uzdevumus.

Ir zināms, ka problēmu risināšana ir praktiskā māksla, līdzīgi peldēšanai vai klavierspēlei. To var iemācīties tikai atdarinot labi piemēri, pastāvīgi praktizējot.

Šīs ir tikai visvienkāršākās problēmas, kas ir turpmākās izpētes priekšmets. Taču to joprojām ir daudz vairāk, nekā mēs varētu atrisināt. Un, ja nodarbības beigās jūs varat atrisināt problēmas “aiz mācību materiāla lapām”, tad mēs varam uzskatīt, ka esmu izpildījis savu uzdevumu.

Matemātikas zināšanas palīdz atrisināt noteiktus dzīves problēma. Dzīvē jums būs regulāri jāatrisina noteiktas problēmas, tāpēc jums ir jāattīstās intelektuālās spējas, pateicoties kam attīstās iekšējais potenciāls, attīstās spēja paredzēt situāciju, izteikt prognozes, pieņemt nestandarta lēmumus.

Nodarbību vēlos noslēgt ar vārdiem: “Katrs labi atrisināts matemātikas uzdevums sniedz garīgu baudu." (G. Hese).

Vai jūs piekrītat šim apgalvojumam?

Mājas darbs .

Mājās tiks dots šāds uzdevums: izmantojot atrisināto uzdevumu tekstus kā paraugu, atrisināt uzdevumus Nr. 8, 17, 26 ar mūsu pētītajām metodēm.

Vispārīgas piezīmes par uzdevumu risināšanu, izmantojot aritmētisko metodi.

Problēmas atrast nezināmo, pamatojoties uz darbību rezultātiem.

Proporcionālās dalīšanas problēmas.

Problēmas, kas saistītas ar procentiem un daļām.

Problēmas atrisinātas otrādi.

1. Aritmētiskā metode ir galvenā teksta uzdevumu risināšanas metode pamatskola. Tas atrod savu pielietojumu arī vidējā līmeņa vadībā. vidusskola. Šī metode ļauj labāk izprast un novērtēt katra uzdevuma darba posma svarīgumu un nozīmi.

Dažos gadījumos problēmas risināšana, izmantojot aritmētisko metodi, ir daudz vienkāršāka nekā izmantojot citas metodes.

Lai gan aritmētiskā metode valdzina ar savu vienkāršību un pieejamību, tajā pašā laikā tā ir diezgan sarežģīta, un problēmu risināšanas paņēmienu apguve, izmantojot šo metodi, prasa nopietnu un rūpīgu darbu. Problēmu veidu daudzveidība neļauj veidot universālu pieeju problēmu analīzei un to risināšanas veidu atrašanai: problēmām, pat apvienotām vienā grupā, ir pilnīgi atšķirīgi risināšanas veidi.

2 . Uz uzdevumiem nezināmo atrašana pēc to atšķirības un attiecības Tie ietver problēmas, kurās, izmantojot zināmo atšķirību un divu noteikta daudzuma vērtību koeficientu, ir jāatrod šīs vērtības.

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Piemērs.Ātrvilciena rezervētajos sēdvagonos ir par 432 pasažieriem vairāk nekā kupejas vagonos. Cik pasažieru ir rezervētajos sēdvietas un kupejas vagonos atsevišķi, ja nodalījuma vagonos ir 4 reizes mazāk pasažieru nekā rezervētajos sēdvietu vagonos?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis ir parādīts attēlā. 4.

Rīsi. 4

Pasažieru skaitu kupejas automašīnās ņemsim kā 1 daļu. Pēc tam jūs varat uzzināt, cik detaļu ir uz pasažieru skaitu rezervētajās automašīnās, un pēc tam, cik detaļu ir uz 432 pasažieriem. Pēc tam jūs varat noteikt pasažieru skaitu, kas veido 1 daļu (atrodas nodalījuma automašīnās). Zinot, ka rezervētajos sēdvietu vagonos ir 4 reizes vairāk pasažieru, varam noskaidrot viņu skaitu.

1  4 = 4 (stundas) – uzskaita pasažierus rezervētajos sēdvietu vagonos;

4 – 1 = 3 (st.) – atspoguļo starpību starp pasažieru skaitu rezervētajos sēdvietas un nodalījuma vagonos;

432: 3 = 144 (p.) – nodalījuma vagonos;

144  4 = 576 (p.) – rezervētajos sēdvietu ratiņos.

Šo problēmu var pārbaudīt, atrisinot to citā veidā, proti:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (lpp.);

144 + 432 = 576 (lpp.).

Atbilde: nodalījuma vagonos ir 144 pasažieri, bet rezervētajos sēdvietu vagonos - 576 pasažieri.

Uz uzdevumiem nezināmo atrašana no diviem vai diviem atlikumiem atšķirības, ietver problēmas, kurās tiek ņemti vērā divi tieši vai apgriezti proporcionāli lielumi tā, ka ir zināmas viena daudzuma divas vērtības un cita lieluma atbilstošo vērtību starpība, un ir jāatrod šī lieluma vērtības. daudzums paši.

Algebriskais modelis:

Atbildes var atrast, izmantojot formulas:

Piemērs. Divi vilcieni brauca ar vienādu ātrumu - viens 837 km, otrs 248 km, un pirmais ceļā bija 19 stundas ilgāk nekā otrs. Cik stundas brauca katrs vilciens?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis parādīts 5. attēlā.

Rīsi. 5

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, cik stundas bija ceļā tas vai cits vilciens, jāzina tā nobrauktais attālums un ātrums. Attālums norādīts stāvoklī. Lai uzzinātu ātrumu, ir jāzina attālums un laiks, kurā šī distance veikta. Nosacījums vēsta, ka pirmais vilciens braucis par 19 stundām ilgāk, un šajā laikā nobraukto attālumu var noskaidrot. Viņš soļoja papildu 19 stundas - acīmredzot, šajā laikā viņš veica arī papildu distanci.

837 – 248 = 589 (km) – pirmais vilciens nobrauca tik kilometrus vairāk;

589: 19 = 31 (km/h) – pirmā vilciena ātrums;

837: 31 = 27 (stundas) – pirmais vilciens bija ceļā;

4) 248: 31 = 8 (stundas) – otrs vilciens bija ceļā.

Pārbaudīsim problēmas risinājumu, nosakot atbilstību starp datiem un skaitļiem, kas iegūti, risinot uzdevumu.

Noskaidrojot, cik ilgi katrs vilciens atradās ceļā, mēs uzzināsim, cik stundu ilgāk pirmais vilciens bija ceļā nekā otrais: 27 – 8 = 19 (stundas). Šis numurs atbilst nosacījumā norādītajam. Tāpēc problēma tika atrisināta pareizi.

Šo problēmu var pārbaudīt, risinot to citā veidā. Visi četri jautājumi un pirmās trīs darbības paliek nemainīgas.

4) 27–19 = 8 (stundas).

Atbilde: pirmais vilciens brauca 31 stundu, otrais vilciens aizņēma 8 stundas.

Uzdevumi atrast trīs nezināmos no trim šo nezināmo summām, kas ņemti pa pāriem:

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

x =(A -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + Ar -a)/ 2.

Piemērs. angļu un vācu valodas Vācu valodu mācās 116 skolēni un spāņu valodas Mācās 46 skolēni, bet angļu un spāņu valodu – 90 studenti. Cik studentu atsevišķi mācās angļu, vācu un spāņu valodu, ja ir zināms, ka katrs students mācās tikai vienu valodu?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis parādīts 6. attēlā.

Cik studentu mācās katru valodu?

Problēmas grafiskais modelis parāda: ja saskaita nosacījumā norādīto skolēnu skaitu (116 + 90 + 46), iegūstam divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās angļu, vācu un spāņu valodu. Sadalot to ar divi, mēs atrodam kopējais skaits skolēni. Lai noskaidrotu to skolēnu skaitu, kuri mācās angļu valodu, pietiek no šī skaitļa atņemt to skolēnu skaitu, kuri mācās vācu un spāņu valodu. Līdzīgi mēs atrodam atlikušos nepieciešamos skaitļus.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

116 + 90 + 46 = 252 (skolēni) – divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās valodas;

252: 2 = 126 (skola) – mācību valodas;

126 – 46 = 80 (skola) – mācīties angļu valodu;

126 – 90 = 36 (skola) – mācās vācu valodu;

126 – 116 = 10 (skola) – mācies spāņu valodu.

Šo problēmu var pārbaudīt, risinot to citā veidā.

116 – 46 = 70 (skolēni) – tik daudz vairāk skolēnu mācās angļu valodu nekā spāņu valodu;

90 + 70 = 160 (skolēni) – divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās angļu valodu;

160: 2 = 80 (skola) – mācīties angļu valodu;

90 – 80 = 10 (skola) – mācies spāņu valodu;

116 – 80 = 36 (skola) – mācies vācu valodu.

Atbilde: 80 skolēni mācās angļu valodu, 36 skolēni mācās vācu valodu, bet 10 skolēni mācās spāņu valodu.

3. Proporcionālās dalīšanas problēmas ietver problēmas, kurās noteikta daudzuma dotā vērtība ir jāsadala daļās, kas ir proporcionālas dotajiem skaitļiem. Dažās no tām daļas ir norādītas skaidri, savukārt citās šīs daļas ir jānošķir, ņemot vienu no šī daudzuma vērtībām kā vienu daļu un nosakot, cik daudz šādu daļu veido tās pārējās vērtības.

Ir pieci proporcionālās dalīšanas problēmu veidi.

1) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa tiešu sadalīšanu daļāsproporcionāla veselu vai daļskaitļu virknei

Šāda veida problēmas ietver uzdevumus, kuros numurs A X 1, X 2 , x 3, ..., X n tieši proporcionāli skaitļiem A 1 , A 2 , A 3 , ..., A n .

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Piemērs. Tūrisma kompānijai ir četri atpūtas centri, kuros ir tādas pašas jaudas ēkas. 1.atpūtas centra teritorijā atrodas 6 ēkas, 2. - 4 ēkas, 3. - 5 ēkas, 4. - 7 ēkas. Cik kemperu var izmitināt katrā bāzē, ja visās 4 bāzēs var izmitināt 2112 cilvēkus?

Risinājums. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 7. attēlā.

Rīsi. 7

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, cik atpūtnieku var izmitināt katrā bāzē, ir jāzina, cik atpūtnieku var izmitināt vienā ēkā un cik ēkas atrodas katras bāzes teritorijā. Ēku skaits uz katras bāzes ir norādīts stāvoklī. Lai uzzinātu, cik atpūtnieku var izmitināt vienā ēkā, ir jāzina, cik atpūtnieku var izmitināt visās 4 bāzēs (tas norādīts nosacījumā) un cik ēku atrodas visu 4 bāzu teritorijā. Pēdējo var noteikt, pēc stāvokļa zinot, cik ēku atrodas katras bāzes teritorijā.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) – atrodas 4 bāzu teritorijā;

2112: 22 = 96 (stundas) – var novietot vienā ēkā;

96  6 = 576 (h) – var novietot uz pirmās pamatnes;

96  4 = 384 (h) – var novietot uz otrās pamatnes;

96  5 = 480 (h) – var novietot uz trešās pamatnes;

96  7 = 672 (h) – var novietot uz ceturtās pamatnes.

Pārbaude. Mēs aprēķinām, cik daudz atpūtnieku var izmitināt 4 bāzēs: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (stundas). Nav neatbilstību uzdevuma nosacījumiem. Problēma tika atrisināta pareizi.

Atbilde: pirmajā bāzē var izmitināt 576 atpūtniekus, otrajā - 384 atpūtniekus, trešajā - 480 atpūtniekus, bet ceturtajā - 672 atpūtniekus.

2) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kas ir apgriezti proporcionāla veselu skaitļu vai daļu sērijai

Tie ietver uzdevumus, kuros numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., X" apgriezti proporcionāls skaitļiem A 1b A 2 , A 3 ,..., A n .

Algebriskais modelis:

vai

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...A n :A 1 A 3 ...A n :A 1 A 2 A 4 ...A n :...:A 1 A 2 ...A n -1

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Kur S = A 2 A 3 ...a„ +a l a i ... a n + a ] A 2 A 4 ...A n + ... + a 1 A 2 ...A n -1.

Piemērs.Četru mēnešu laikā kažokzvēru fermas ienākumi no kažokādu pārdošanas bija 1 925 000 rubļu, un pa mēnešiem saņemtā nauda tika sadalīta apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4. Kādi ir fermas ienākumi katrā mēnesī atsevišķi?

Risinājums. Nosacījumā minēto ienākumu noteikšanai tiek doti četru mēnešu kopējie ienākumi, tas ir, četru nepieciešamo skaitļu summa, kā arī nepieciešamo skaitļu attiecība. Nepieciešamie ienākumi ir apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4.

Apzīmēsim nepieciešamie ienākumi attiecīgi caur x, X 2 , X 3 , X 4 . Pēc tam problēmu var īsi uzrakstīt, kā parādīts 8. attēlā.

Rīsi. 8

Zinot detaļu skaitu uz katru no nepieciešamajiem skaitļiem, mēs atradīsim to summā ietverto detaļu skaitu. Pamatojoties uz dotajiem četru mēnešu kopējiem ienākumiem, tas ir, pamatojoties uz nepieciešamo skaitļu summu un šajā summā ietverto daļu skaitu, mēs noskaidrojam vienas daļas vērtību un pēc tam nepieciešamos ienākumus.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

1. Nepieciešamie ienākumi ir apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4, kas nozīmē, ka tie ir tieši proporcionāli skaitļiem, kas ir apgriezti datiem, tas ir, pastāv attiecības . Aizstāsim šīs attiecības daļskaitļos ar veselu skaitļu attiecībām:

2. Zinot to X satur 30 vienādas daļas, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, noskaidrosim, cik daļu ir to summā:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (stundas).

3. Cik rubļu ir vienai daļai?

1 925 000: 77 = 25 000 (r.).

4. Kādi ir saimniecības ienākumi pirmajā mēnesī?

25 000 30 = 750 000 (r.).

5. Kādi ir saimniecības ienākumi otrajā mēnesī?

25 000 20 = 500 000 (r.).

6. Kādi ir saimniecības ienākumi trešajā mēnesī?

25 000–12 = 300 000 (r.).

7. Kādi ir saimniecības ienākumi ceturtajā mēnesī?

25 000–15 = 375 000 (r.).

Atbilde: pirmajā mēnesī saimniecības ienākumi bija 750 000 rubļu, otrajā – 500 000 rubļu, trešajā – 300 000 rubļu, ceturtajā – 375 000 rubļu.

3) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kad katram nepieciešamo skaitļu pārim ir norādītas atsevišķas attiecības

Šāda veida problēmas ietver tos uzdevumus, kuros numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās x 1, X 2 , x 3, ..., X", kad vajadzīgajiem skaitļiem ir dota relāciju sērija, kas ņemta pa pāriem. Algebriskais modelis:

x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .

n = 4. Algebriskais modelis:

X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= A 2 : b 2, X 3 : X 4 = a 3: b 3 .

Tātad, X 1: X 2 : x 3: X 4 = A 1 A 2 A 3 : b 1 A 2 A 3 : b 1 b 2 A 3 : b 1 b 2 b 3 .

Kur S = A 1 A 2 A 3 + b 1 A G A 3 + b 1 b 2 A 3 + b 1 b 2 b 3

Piemērs. Trīs pilsētās dzīvo 168 000 iedzīvotāju. Pirmās un otrās pilsētas iedzīvotāju skaits ir proporcijā , bet otrā un trešā pilsēta – attiecībā uz . Cik iedzīvotāju ir katrā pilsētā?

Risinājums. Apzīmēsim nepieciešamos iedzīvotāju skaitu attiecīgi ar X 1 , X 2 , X 3 . Pēc tam problēmu var īsi uzrakstīt, kā parādīts 9. attēlā.

Rīsi. 9

Iedzīvotāju skaita noteikšanai tiek doti iedzīvotāju skaitļi trijās pilsētās, tas ir, trīs nepieciešamo skaitļu summa, kā arī individuālas sakarības starp nepieciešamajiem skaitļiem. Aizstājot šīs attiecības ar attiecību virkni, mēs izsakām trīs pilsētu iedzīvotāju skaitu vienādās daļās. Zinot detaļu skaitu uz katru no nepieciešamajiem skaitļiem, mēs atradīsim to summā ietverto detaļu skaitu. No dotā iedzīvotāju kopskaita trīs pilsētās, tas ir, no nepieciešamo skaitļu summas un šajā summā ietverto daļu skaita, mēs noskaidrojam vienas daļas lielumu un pēc tam nepieciešamos iedzīvotāju skaitu.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem.

1. Aizstāt daļskaitļu attiecību ar veselu skaitļu attiecību:

Otrās pilsētas iedzīvotāju skaitu salīdzinām ar skaitli 15 (skaitļu 3 un 5 mazāko kopīgo daudzkārtni).

Mēs attiecīgi mainām iegūtās attiecības:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

No individuālajām attiecībām mēs izveidojam virkni attiecību:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – skaitlis 168 000 atbilst tik daudzām vienādām daļām;

3. 168 000: 56 = 3000 (f.) – par daļu;

4. 3000 20 = 60 000 (f.) – pirmajā pilsētā;

5. 3000 15 = 45 000 (f.) – otrajā pilsētā;

3000 21 = 63 000 (f.) - trešajā pilsētā.

Atbilde: 60 000 iedzīvotāju; 45 000 iedzīvotāju; 63 000 iedzīvotāju.

4) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kas ir proporcionālas diviem, trīs un tā tālāk skaitļu rindām

Šāda veida problēmas ietver problēmas, kurās numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proporcionāls diviem, trīs, ..., N skaitļu rindas.

Problēmas risināšanas formulu apgrūtinības dēļ vispārējs skats Apskatīsim īpašu gadījumu, kad n = 3 un N = 2.Ļaujiet X 1 X 2 , X 3 tieši proporcionāls skaitļiem A 1 , A 2 , A 3 un apgriezti proporcionāls skaitļiem b 1 , b 2 , b 3 .

Algebriskais modelis:

(skatīt šīs daļas 1. punktu),

Piemērs. Divi strādnieki saņēma 1800 rubļu. Viens strādāja 3 dienas pa 8 stundām, otrs 6 dienas pa 6 stundām cik katrs nopelnīja, ja par 1 stundu saņēma vienādi?

Risinājums. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 10. attēlā.

Rīsi.10

Lai uzzinātu, cik katrs strādnieks saņēma, jums jāzina, cik rubļu viņi samaksāja par 1 darba stundu un cik stundas katrs strādnieks strādāja. Lai uzzinātu, cik rubļu tika samaksāts par 1 darba stundu, jums jāzina, cik viņi samaksāja par visu darbu (norādīts stāvoklī) un cik stundas abi darbinieki strādāja kopā. Lai uzzinātu kopējo nostrādāto stundu skaitu, ir jāzina, cik stundas katrs nostrādāja, un šim nolūkam ir jāzina, cik dienas katrs strādāja un cik stundas dienā. Šie dati ir iekļauti nosacījumā.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

8  3 = 24 (stundas) – strādāja pirmais strādnieks;

6  6 = 36 (stundas) – strādāja otrais strādnieks;

24 + 36 = 60 (stundas) – abi strādnieki strādāja kopā;

1800: 60 = 30 (r.) – strādnieki saņem par 1 stundu darbu;

30  24 = 720 (r.) – nopelnījis pirmais strādnieks;

30  36 = 1080 (r.) - nopelnījis otrais strādnieks.

Atbilde: 720 rub.; 1080 rubļi.5) Vairāku skaitļu atrašanas uzdevumi

Piemērs. pēc to attiecībām un summas vai starpības (dažu no tām summa vai starpība)

Risinājums Spēļu laukuma, siltumnīcas un sporta zāles aprīkojuma iegādei skolas administrācija iztērēja 49 000 rubļu. Rotaļu laukuma aprīkošana maksā uz pusi mazāk nekā siltumnīcas, un siltumnīcas maksā 3 reizes mazāk nekā sporta zāle un rotaļu laukums kopā. Cik daudz naudas tika iztērēts aprīkojuma iegādei katrā no šīm iekārtām?

. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 11. attēlā.

Rīsi. 11

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem.

Lai uzzinātu naudas summu, kas iztērēta katra objekta aprīkojumam, ir jāzina, cik daļas no visas iztērētās naudas bija katra objekta aprīkojumam un cik rubļi bija katrai daļai. Katra objekta aprīkojumam iztērēto naudas daļu skaits tiek noteikts no problēmas apstākļiem. Nosakot detaļu skaitu katra objekta aprīkojumam atsevišķi un pēc tam atrodot to summu, mēs aprēķinām vienas daļas vērtību (rubļos).

Kā 1 daļu ņemam naudas summu, kas iztērēta rotaļu laukuma aprīkojuma iegādei. Atbilstoši nosacījumam siltumnīcu aprīkojumam iztērēts 2 reizes vairāk, tas ir, 1  2 = 2 (h); Rotaļu laukuma un sporta halles aprīkojuma iegādei tika iztērēts 3 reizes vairāk nekā siltumnīcai, tas ir, 2  3 = 6 (stundas), līdz ar to sporta halles aprīkojuma iegādei tika iztērēti 6 – 1 = 5 (stundas). .

1 daļa tika iztērēta rotaļu laukuma aprīkojuma iegādei, 2 daļas siltumnīcām un 5 daļas sporta zālei.

Viss plūsmas ātrums bija 1 + 2 + + 5 = 8 (h).

8 daļas ir vienādas ar 49 000 rubļu, viena daļa ir 8 reizes mazāka par šo summu: 49 000: 8 = 6 125 (rub.). Līdz ar to rotaļu laukuma aprīkojuma iegādei tika iztērēti 6125 rubļi.

Siltumnīcu aprīkojumam iztērēts divreiz vairāk: 6 125  2 = 12 250 (r.).

Trenažieru zāles aprīkojuma iegādei tika iztērētas 5 daļas: 6 125  5 = 30 625 (r.).

Atbilde: 6 125 rubļi; RUR 12 250; RUR 30 625

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Šīs problēmas risina ar datu izlīdzināšanas metodi, datu un nepieciešamo izlīdzināšanas metodi, datu aizstāšanas metodi, kā arī tā saukto “pieņēmumu” metodi.

Piemērs. Apģērbu fabrikā 24 mēteļiem un 45 uzvalkiem tika izmantoti 204 m auduma, bet 24 mēteļiem un 30 uzvalkiem — 162 m. Cik daudz auduma tiek izlietots vienam uzvalkam un cik vienam mētelim?

Risinājums. Atrisināsim problēmu, izmantojot datu pielāgošanas metodi. Īss uzdevuma apraksts.

Pamatojoties uz matemātiskās nozīmes līdzību un dažādu risinājumu metožu savstarpējo aizstājamību, visas aritmētiskās metodes var apvienot šādās grupās:

• 1) reducēšanas metode līdz vienotībai, reducēšana uz vispārēju mēru, apgriezta reducēšana uz vienotību, attiecību metode;
• 2) veids, kā atrisināt problēmas no “gala”;
• 3) nezināmo izslēgšanas metodi (viena nezināmā aizstāšana ar citu, nezināmo salīdzināšana, datu salīdzināšana, divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu, divu nosacījumu apvienošana vienā); uzminēšanas veids;
• 4) daļu proporcionālais dalījums, līdzība vai atrašana;
• 5) metode vienas problēmas pārveidošanai citā (sarežģītas problēmas sadalīšana vienkāršās, sagatavojošās; nezināmo pārvietošana uz tādām vērtībām, par kurām kļūst zināma to saistība; metode, kā noteikt patvaļīgu skaitli vienam no nezināmajiem lielumiem).

Papildus iepriekšminētajām metodēm vēlams ņemt vērā arī vidējā aritmētiskā metode, pārpalikuma metode, zināmā un nezināmā pārkārtošanas metode un “viltus” noteikumu metode.

Tā kā parasti nav iespējams iepriekš noteikt, kura no metodēm ir racionāla, paredzēt, kura no tām novedīs pie vienkāršākā un studentam saprotamākā risinājuma, tad studenti ir jāiepazīstina ar dažādos veidos un dot viņiem iespēju izvēlēties, kuru izmantot, risinot konkrētu problēmu.

Nezināmo izslēgšanas metode

Šo metodi izmanto, ja problēmā ir vairāki nezināmie. Šo problēmu var atrisināt, izmantojot vienu no pieciem paņēmieniem: 1) vienu nezināmo aizstājot ar citu; 2) nezināmo salīdzināšana; 3) divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu; 4) datu salīdzināšana; 5) vairāku nosacījumu apvienošana vienā.

Kā rezultātā, izmantojot vienu no uzskaitītās tehnikas vairāku nezināmo vietā var atrast tikai vienu. Aprēķinot to, viņi izmanto datus atkarības stāvoklī, lai atrastu citus nezināmos.

Sīkāk apskatīsim dažus paņēmienus.

1. Viena nezināmā aizstāšana ar citu

Tehnikas nosaukums atklāj tās ideju: balstoties uz atkarībām (vairākkārtējām vai atšķirībām), kas tiek dotas atbilstoši problēmas nosacījumiem, caur vienu no tiem ir jāizsaka viss nezināmais.

Uzdevums. Sergejam un Andrejam ir tikai 126 pastmarkas. Sergejam par 14 atzīmēm vairāk nekā Andrejam. Cik pastmarku bija katram zēnam?

Īss stāvokļa apraksts:

Sergejs -? atzīmes, vēl 14 markas

Andrejs -? pastmarkas

Kopā -- 126 pastmarkas

1. risinājums.

• (lielāka nezināmā aizstāšana ar mazāku)
• 1) Lai Sergejam ir tikpat daudz pastmarku, cik Andrejam. Tad kopējais daudzums būtu 126 atzīmes - 14 = 112 (atzīmes).
• 2) Tā kā zēniem tagad ir vienāds atzīmju skaits, mēs noskaidrosim, cik atzīmes bija Andrejam sākumā: 112: 2 = 56 (markas).
• 3) Ņemot vērā, ka Sergejam ir par 14 atzīmēm vairāk nekā Andrejam, mēs iegūstam: 56 + 14 = 70 (atzīmes).

2. risinājums.

• (mazāku nezināmo aizstājot ar lielāku)
• 1) Lai Andrejam ir tikpat daudz pastmarku kā Sergejam. Tad kopējais pastmarku skaits būtu 126 + 14 = 140 (markas).
• 2) Tā kā zēniem tagad ir vienāds punktu skaits, noskaidrosim, cik atzīmju sākumā bija Sergejam: 140: 2 = 70 (atzīmes).
• 3) Ņemot vērā, ka Andrejam bija par 14 atzīmēm mazāk nekā Sergejam, iegūstam: 70 - 14 = 56 (atzīmes).

Atbilde: Sergejam bija 70, bet Andrejam 56.

Lai studenti labāk asimilētu metodi, kā aizstāt mazāku nezināmo ar lielāku, pirms tās izskatīšanas ir nepieciešams ar studentiem noskaidrot šādu faktu: ja skaitlis A vairāk numuru B ar C vienībām, tad, lai salīdzinātu skaitļus A un B, jums ir nepieciešams:

• a) no skaitļa A atņem skaitli C (tad abi skaitļi ir vienādi ar skaitli B);
• b) pievienojiet skaitlim C skaitlim B (tad abi skaitļi ir vienādi ar skaitli A).

Skolēnu spēja aizstāt lielāku nezināmo ar mazāku un otrādi, vēl vairāk veicina spēju izvēlēties nezināmo un izteikt ar to citus lielumus, veidojot vienādojumu.

2. Nezināmo salīdzinājums

Uzdevums. Četros plauktos bija 188 grāmatas. Otrajā plauktā bija par 16 grāmatām mazāk nekā pirmajā, trešajā - par 8 vairāk nekā otrajā, bet ceturtajā - par 12 mazāk nekā trešajā plauktā. Cik grāmatu ir katrā plauktā?

Uzdevuma analīze

Lai labāk izprastu atkarības starp četriem nezināmiem daudzumiem (grāmatu skaits katrā plauktā), mēs izmantojam šādu diagrammu:

es_____________________________________

II________________________________

III___________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Salīdzinot segmentus, kas shematiski attēlo grāmatu skaitu katrā plauktā, mēs nonākam pie šādiem secinājumiem: pirmajā plauktā ir par 16 grāmatām vairāk nekā otrajā; trešajā ir par 8 vairāk nekā otrajā; ceturtajā - 12 - 8 = 4 (grāmatas) mazāk nekā otrajā. Tāpēc problēmu var atrisināt, salīdzinot grāmatu skaitu katrā plauktā. Lai to izdarītu, noņemiet 16 grāmatas no pirmā plaukta, 8 grāmatas no trešā un ievietojiet 4 grāmatas ceturtajā plauktā. Tad visos plauktos būs vienāds skaits grāmatu, proti, kā sākumā bija otrajā.

• 1) Cik grāmatu ir visos plauktos pēc problēmu analīzē aprakstītajām darbībām?
• 188 - 16 - 8 + 4 = 168 (grāmatas)
• 2) Cik grāmatu bija otrajā plauktā?
• 168: 4 = 42 (grāmatas)
• 3) Cik grāmatu bija pirmajā plauktā?
• 42 + 16 = 58 (grāmatas)
• 4) Cik grāmatu bija trešajā plauktā?
• 42 + 8 = 50 (grāmatas)
• 5) Cik grāmatu bija ceturtajā plauktā?
• 50–12 = 38 (grāmatas)

Atbilde: Katrā no četriem plauktiem bija 58, 42, 50 un 38 grāmatas.

komentēt. Varat aicināt skolēnus atrisināt šo problēmu citos veidos, salīdzinot nezināmo grāmatu skaitu, kas atradās pirmajā, otrajā vai ceturtajā plauktā.

3. Divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu

Problēmas sižets, kas tiek atrisināts ar šo paņēmienu, bieži ietver divus proporcionālus lielumus (preču daudzums un tā izmaksas, darbinieku skaits un viņu veiktais darbs utt.). Nosacījums dod divas viena daudzuma vērtības un tām proporcionālu divu starpību skaitliskās vērtības cita izmēra.

Uzdevums. Par 4 kg apelsīnu un 5 kg banānu viņi maksāja 620 rubļus, bet nākamajā reizē par 4 kg apelsīnu un 3 kg banānu, kas tika nopirkti par tādām pašām cenām, viņi maksāja 500 rubļus. Cik maksā 1kg apelsīnu un 1kg banānu?

Īss stāvokļa apraksts:

• 4 kg lietotne. un 5 kg aizliegums. - 620 rubļi,
• 4 kg lietotne. un 3 kg aizliegums. - 500 rubļi.

• 1) Salīdzināsim divu pirkumu izmaksas. Gan pirmajā, gan otrajā reizē nopirka vienādu skaitu apelsīnu par vienādu cenu. Pirmajā reizē maksājām vairāk, jo nopirkām vairāk banānu. Noskaidrosim, cik kilogramus vairāk banānu iegādājās pirmajā reizē: 5 - 3 = 2 (kg).
• 2) Noskaidrosim, cik vairāk samaksājām pirmajā reizē nekā otrajā (tas ir, noskaidrosim, cik maksāja 2 kg banānu): 620 - 500 = 120 (rub.).
• 3) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 120: 2 = 60 (rub.).
• 4) Zinot pirmā un otrā pirkuma pašizmaksu, varam atrast 1 kg apelsīnu cenu. Lai to izdarītu, vispirms atrodiet iegādāto banānu izmaksas, pēc tam apelsīnu izmaksas un pēc tam 1 kg cenu. Mums ir: (620 - 60*5): 4 = 80 (berzēt).

Atbilde: 1 kg apelsīnu cena ir 80 rubļi, bet 1 kg banānu cena ir 60 rubļi.

4. Datu salīdzināšana

Šīs metodes izmantošana ļauj salīdzināt datus un izmantot atņemšanas metodi. Varat salīdzināt datu vērtības:

• 1) izmantojot reizināšanu (salīdzinot tos ar mazāko kopējo daudzkārtni);
• 2) izmantojot dalījumu (salīdzinot tos ar lielāko kopīgs dalītājs).

Parādīsim to ar piemēru.

Uzdevums. Par 4 kg apelsīnu un 5 kg banānu viņi maksāja 620 rubļus, bet nākamajā reizē par 6 kg apelsīnu un 3 kg banānu, kas tika nopirkti par tādām pašām cenām, viņi maksāja 660 rubļus. Cik maksā 1kg apelsīnu un 1kg banānu?

Īss stāvokļa apraksts:

• 4 kg lietotne. un 5 kg aizliegums. - 620 rubļi,
• 6 kg aplikācija. un 3 kg aizliegums. - 660 rubļi.

Izlīdzināsim apelsīnu un banānu skaitu, salīdzinot tos ar mazāko kopējo reizinājumu: LCM(4;6) = 12.

Risinājums 1.

• 1) Palielināsim iegādāto augļu skaitu un to izmaksas pirmajā gadījumā 3 reizes, bet otrajā - 2 reizes. Mēs saņemam šādu īsu nosacījuma paziņojumu:
• 12 kg aplikācija. un 15 kg aizliegums. - 1860 rubļi,
• 12 kg aplikācija. un 6 kg aizliegums. - 1320 rubļi.
• 2) Uzziniet, cik vēl banānu iegādājāties pirmajā reizē: 15-6 = 9 (kg).
• 3) Cik maksā 9kg banānu? 1860 - 1320 = 540 (berzēt).
• 4) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 540: 9 = 60 (berzēt).
• 5) Atrodiet 3 kg banānu izmaksas: 60 * 3 = 180 (berzēt).
• 6) Atrodiet 6 kg apelsīnu izmaksas: 660 - 180 = 480 (berzēt).
• 7) Atrodiet 1 kg apelsīnu cenu: 480: 6 = 80 (berzēt).

Risinājums2.

Izlīdzināsim apelsīnu un banānu skaitu, salīdzinot tos ar lielāko kopīgo dalītāju: GCD (4; 6) = 2.

• 1) Lai izlīdzinātu pirmajā un otrajā reizē iegādāto apelsīnu skaitu, mēs samazinām iegādātās preces daudzumu un tās pašizmaksu pirmajā gadījumā 2 reizes, otrajā - 3 reizes. Iegūsim problēmu, kurai ir šāda īsa nosacījuma forma:
• 2 kg lietotne. un 2,5 kg aizliegums. - 310 rubļi,
• 2 kg lietotne. un 1 kg aizliegums. - 220 rubļi.
• 2) Cik daudz banānu viņi vēl tagad pērk: 2,5 — 1 = 1,5 kg.
• 3) Noskaidrosim, cik maksā 1,5 kg banānu: 310 - 220 = 90 (berzēt).
• 4) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 90: 1,5 = 60 (berzēt).
• 5) Atrodiet 1 kg apelsīnu cenu: (660 - 60*3) : 6 = 80 (berzēt).

Atbilde: 1 kg apelsīnu cena ir 80 rubļi, 1 kg banānu ir 60 rubļi.

Risinot problēmas, izmantojot datu salīdzināšanas paņēmienu, jūs nevarat veikt tik detalizētu analīzi un ierakstus, bet tikai reģistrēt veiktās izmaiņas salīdzināšanai un pierakstīt tās tabulas veidā.

5. Vairāku nosacījumu apvienošana vienā

Dažreiz jūs varat atbrīvoties no nevajadzīgiem nezināmajiem, apvienojot vairākus nosacījumus vienā.

Uzdevums. Tūristi pameta nometni un vispirms 4 stundas gāja kājām, bet pēc tam vēl 4 stundas brauca ar velosipēdiem ar noteiktu nemainīgu ātrumu un pārvietojās 60 km attālumā no nometnes. Otrajā reizē viņi atstāja nometni un vispirms 7 stundas brauca ar velosipēdiem ar tādu pašu ātrumu, bet pēc tam pagriezās pretējā virzienā un, ejot 4 stundas, atradās 50 km attālumā no nometnes. Cik ātri tūristi brauca ar velosipēdiem?

Problēmā ir divi nezināmie: ātrums, ar kādu tūristi brauca ar velosipēdiem, un ātrums, ar kādu viņi gāja. Lai izslēgtu vienu no tiem, varat apvienot divus nosacījumus vienā. Tad attālums, ko tūristi veiks 4 stundās, pirmo reizi virzoties uz priekšu kājām, ir vienāds ar attālumu, ko viņi veica 4 stundās, otrreiz virzoties atpakaļ. Tāpēc mēs nepievēršam uzmanību šiem attālumiem. Tas nozīmē, ka attālums, ko tūristi veiks 4 + 7 = 11 (stundās) ar velosipēdu, būs vienāds ar 50 + 60 = 110 (km).

Tad tūristu ātrums uz velosipēdiem ir: 110: 11 = 10 (km/h).

Atbilde: Velosipēdu ātrums ir 10 km/h.

6. Pieņēmuma metode

Pieņēmumu metodes izmantošana problēmu risināšanā lielākajai daļai skolēnu nesagādā grūtības. Tāpēc, lai studenti nevarētu mehāniski iegaumēt šīs metodes soļu diagrammu un neizprastu ar katru no tiem veikto darbību būtību, studentiem vispirms jāparāda izmēģinājuma metode (“viltus noteikums” un “seno babiloniešu likums” ).

Izmantojot paraugu ņemšanas metodi, jo īpaši “viltus noteikumu”, vienam no nezināmajiem lielumiem tiek dota (“atļauta”) noteikta vērtība. Pēc tam, izmantojot visus nosacījumus, viņi atrod cita lieluma vērtību. Iegūtā vērtība tiek salīdzināta ar nosacījumu, kas norādīta. Ja iegūtā vērtība atšķiras no nosacījumā dotās, tad pirmā norādītā vērtība nav pareiza un tā jāpalielina vai jāsamazina par 1, un atkal jāatrod citas vērtības vērtība. Tas jādara, līdz iegūstam cita daudzuma vērtību, piemēram, problēmas paziņojumā.

Uzdevums. Kasierei ir 50 monētas 50 kapeikas un 10 kapeikas, kopā 21 rublis. Uzziniet, cik atsevišķu 50 000 monētu bija kasierim. un katrs pa 10k.

Risinājums 1. (izlases metode)

Izmantosim “seno” babiloniešu likumu. Pieņemsim, ka kasierim ir vienāds katra nomināla monētu skaits, tas ir, katrā 25 gab. Tad naudas summa būs 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), jeb 15 rubļi. Bet stāvoklī 21 rublis, tas ir, 21 UAH vairāk nekā saņemts - 15 rubļi = 6 rubļi. Tas nozīmē, ka ir jāpalielina 50 kapeiku monētu skaits un jāsamazina 10 kapeiku monētu skaits, līdz mēs kopā iegūstam 21 rubli. Monētu skaita un kopējās summas izmaiņas fiksēsim tabulā.

Monētu skaits	Monētu skaits	Naudas summa	Naudas summa	Kopējā summa	Mazāk vai vairāk nekā stāvoklī
					Par 6 rubļiem mazāk.
					Par 5 rubļiem 60 tūkst
					Kā stāvoklī

Kā redzams no tabulas, kasierei bija 40 monētas pa 50 kapeikām un 10 monētas pa 10 kapeikām.

Kā izrādījās 1. risinājumā, ja kasierim būtu vienāds skaits 50k monētu. un katrs pa 10k, tad kopā viņam bija 15 rubļi naudas. Ir viegli pamanīt, ka katra monētas nomaiņa ir 10k. par monētu 50k. palielina kopējo summu par 40k. Tas nozīmē, ka mums ir jāatrod, cik daudz šādu nomaiņu ir jāveic, lai to izdarītu, vispirms noskaidrosim, cik daudz naudas mums ir nepieciešams, lai palielinātu kopējo summu:

21 rublis - 15 rubļi. = 6 rub. = 600 k.

Noskaidrosim, cik reizes ir jāveic šāda nomaiņa: 600 k : 40 k.

Tad 50 kapeikas būs 25 +15 = 40 (monētas), un 10 kapeiku monētas paliks 25 - 15 = 10.

Čeks apliecina, ka kopējā naudas summa šajā gadījumā ir 21 rublis.

Atbilde: Kasierei bija 40 monētas pa 50 kapeikām un 10 monētas pa 10 kapeikām.

Lūdzot studentiem pašiem izvēlēties dažādas nozīmes 50 kapeiku monētu skaitu, nepieciešams tās novest pie domas, ka no racionalitātes viedokļa vislabākais ir pieņēmums, ka kasierim bija tikai viena nomināla monētas (piemēram, visas 50 50 kapeikas vai visas 50 monētas pa 10 kapeikām katra). Sakarā ar to viens no nezināmajiem tiek izslēgts un aizstāts ar citu nezināmo.

7. Atlikumu metode

Šai metodei ir dažas līdzības ar domāšanu, risinot problēmas, izmantojot izmēģinājuma un minēšanas metodes. Atlieku metodi izmantojam, risinot uzdevumus, kas saistīti ar kustību vienā virzienā, proti, kad ir jāatrod laiks, kurā pirmais objekts, kas aizbrauc ar lielāku ātrumu, panāks otru objektu, kuram ir mazāks ātrums. 1 stundas laikā pirmais objekts tuvojas otrajam tādā attālumā, kas ir vienāds ar to ātrumu starpību, tas ir, vienāds ar ātruma “atlikumu”, kas tam ir salīdzinājumā ar otrā ātruma ātrumu. Lai atrastu laiku, kas nepieciešams, lai pirmais objekts pārvarētu attālumu, kas kustības sākumā bija starp to un otro, ir jānosaka, cik reižu “atlikums” tiek novietots šajā attālumā.

Ja mēs abstrahējamies no sižeta un ņemam vērā tikai problēmas matemātisko struktūru, tad tas runā par diviem faktoriem (abu objektu kustības ātrumu) vai atšķirību starp šiem faktoriem un diviem produktiem (attālumiem, ko tie veic) vai to atšķirību. Nezināmie faktori (laiks) ir vienādi, un tie ir jāatrod. No matemātiskā viedokļa nezināmais faktors parāda, cik reižu zināmo faktoru starpība ir ietverta produktu starpībā. Tāpēc problēmas, kas tiek atrisinātas, izmantojot atlikumu metodi, sauc par skaitļu atrašanas problēmām pēc divām atšķirībām.

Uzdevums. Skolēni nolēma albumā ielīmēt fotogrāfijas no svētkiem. Ja viņi uzlīmēs 4 fotoattēlus uz katras lapas, albumā nepietiks vietas 20 fotoattēliem. Ja katrā lapā ielīmēsiet 6 fotoattēlus, 5 lapas paliks bez maksas. Cik fotoattēlu skolēni plāno ievietot albumā?

Uzdevuma analīze

Pirmajai un otrajai līmēšanas iespējai fotoattēlu skaits paliek nemainīgs. Atbilstoši problēmas apstākļiem tā nav zināma, taču to var atrast, ja ir zināms fotogrāfiju skaits, kas ievietotas vienā lapā, un lappušu skaits albumā.

Ir zināms vienā lappusē ielīmēto fotogrāfiju skaits (pirmais reizinātājs). Albuma lappušu skaits nav zināms un paliek nemainīgs (otrais reizinātājs). Tā kā ir zināms, ka 5 albuma lappuses otrreiz paliek brīvas, varat uzzināt, cik vēl fotoattēlus var ielīmēt albumā: 6 * 5 = 30 (foto).

Tas nozīmē, ka, palielinot fotoattēlu skaitu vienā lapā par 6 - 4 = 2, ielīmēto fotoattēlu skaits palielinās par 20 + 30 = 50.

Tā kā otrreiz uz katras lapas viņi ielīmēja vēl divas fotogrāfijas un kopā vēl 50 fotogrāfijas, tad albuma lappušu skaitu atradīsim: 50: 2 = 25 (lappuses).

Līdz ar to kopā bija 4*25 + 20 = 120 (foto).

Atbilde: albumā bija 25 lappuses un 120 fotogrāfijas.