Kas ir skaitļu nok. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)

Sāksim pētīt divu vai vairāku skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni. Šajā sadaļā mēs definēsim terminu, aplūkosim teorēmu, kas nosaka saikni starp mazāko kopējo daudzkārtni un lielāko kopīgo dalītāju, un sniegsim uzdevumu risināšanas piemērus.

Kopējie reizinātāji – definīcija, piemēri

Šajā tēmā mūs interesēs tikai kopējie veselo skaitļu reizinātāji, kas nav nulles.

1. definīcija

Kopīgs veselu skaitļu daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas ir visu norādīto skaitļu reizinājums. Faktiski tas ir jebkurš vesels skaitlis, ko var dalīt ar jebkuru no dotajiem skaitļiem.

Kopējo reizinātāju definīcija attiecas uz diviem, trim vai vairākiem veseliem skaitļiem.

1. piemērs

Saskaņā ar iepriekš sniegto definīciju skaitļa 12 kopīgie daudzkārtņi ir 3 un 2. Arī skaitlis 12 būs skaitļu 2, 3 un 4 kopīgs daudzkārtnis. Skaitļi 12 un -12 ir skaitļu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 kopīgie reizinātāji.

Tajā pašā laikā skaitļu 2 un 3 kopīgais daudzkārtnis būs skaitļi 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 un vesela virkne citu.

Ja ņemam skaitļus, kas dalās ar pirmo pāra skaitli un nedalās ar otro, tad šādi skaitļi nebūs kopīgie reizinātāji. Tātad skaitļiem 2 un 3 skaitļi 16, − 27, 5009, 27001 nebūs kopīgie reizinātāji.

0 ir jebkuras veselu skaitļu kopas, kas nav nulle, kopīgs daudzkārtnis.

Ja atceramies dalāmības īpašību attiecībā pret pretējiem skaitļiem, izrādās, ka kāds vesels skaitlis k būs šo skaitļu kopīgs daudzkārtnis, tāpat kā skaitlis - k. Tas nozīmē, ka kopīgie dalītāji var būt gan pozitīvi, gan negatīvi.

Vai ir iespējams atrast LCM visiem numuriem?

Kopējo daudzkārtni var atrast jebkuram veselam skaitlim.

2. piemērs

Pieņemsim, ka mums ir dots k veseli skaitļi a 1 , a 2 , … , a k. Skaitlis, ko iegūstam, reizinot skaitļus a 1 · a 2 · … · a k atbilstoši dalāmības īpašībai tas tiks sadalīts katrā no faktoriem, kas bija iekļauti sākotnējā produktā. Tas nozīmē, ka skaitļu reizinājums a 1 , a 2 , … , a k ir šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.

Cik kopīgu reizinājumu var būt šiem veseliem skaitļiem?

Veselu skaitļu grupai var būt daudz kopīgu reizinātāju. Patiesībā to skaits ir bezgalīgs.

3. piemērs

Pieņemsim, ka mums ir kāds skaitlis k. Tad skaitļu k · z reizinājums, kur z ir vesels skaitlis, būs skaitļu k un z kopīgs daudzkārtnis. Ņemot vērā, ka skaitļu skaits ir bezgalīgs, kopējo daudzkārtņu skaits ir bezgalīgs.

Vismazāk izplatītie (LCM) — definīcija, apzīmējumi un piemēri

Atgādiniet mazākā skaitļa jēdzienu no dotās skaitļu kopas, ko mēs apspriedām sadaļā “Veselu skaitļu salīdzināšana”. Ņemot vērā šo jēdzienu, mēs formulējam mazākā kopskaitlnieka definīciju, kam ir vislielākā praktiskā nozīme starp visiem kopējiem daudzkārtņiem.

2. definīcija

Doto veselo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir šo skaitļu mazākais pozitīvais kopējais daudzkārtnis.

Jebkuram norādīto skaitļu skaitam pastāv mazākais kopējais reizinājums. Visbiežāk izmantotais jēdziena saīsinājums atsauces literatūrā ir NOC. Īss apzīmējums skaitļu mazākajam kopējam reizinājumam a 1 , a 2 , … , a k būs forma LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

4. piemērs

6 un 7 mazākais kopīgais reizinājums ir 42. Tie. LCM(6, 7) = 42. Četru skaitļu 2, 12, 15 un 3 mazākais kopīgais reizinājums ir 60. Īss apzīmējums izskatīsies šādi: LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Vismazāk kopīgais reizinājums nav acīmredzams visām doto skaitļu grupām. Bieži vien tas ir jāaprēķina.

Attiecības starp NOC un GCD

Mazākais kopīgais daudzkārtnis un lielākais kopīgais dalītājs ir saistīti. Attiecības starp jēdzieniem nosaka teorēma.

1. teorēma

Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar a un b reizinājumu, kas dalīts ar a un b lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Pierādījumi 1

Pieņemsim, ka mums ir kāds skaitlis M, kas ir skaitļu a un b daudzkārtnis. Ja skaitlis M dalās ar a, pastāv arī kāds vesels skaitlis z , saskaņā ar kuru vienlīdzība ir patiesa M = a k. Saskaņā ar dalāmības definīciju, ja M dalās ar b, tā tad a · k dalīts ar b.

Ja mēs ieviešam jaunu apzīmējumu gcd (a, b) as d, tad mēs varam izmantot vienādības a = a 1 d un b = b 1 · d. Šajā gadījumā abas vienādības būs relatīvi pirmskaitļi.

Mēs jau esam noteikuši iepriekš a · k dalīts ar b. Tagad šo nosacījumu var uzrakstīt šādi:
a 1 d k dalīts ar b 1 d, kas ir līdzvērtīgs nosacījumam a 1 k dalīts ar b 1 pēc dalāmības īpašībām.

Atbilstoši kopskaitļu īpašībai, ja a 1 Un b 1- pirmskaitļi, a 1 nav dalāms ar b 1 neskatoties uz to ka a 1 k dalīts ar b 1, Tas b 1 ir jādala k.

Šajā gadījumā būtu pareizi pieņemt, ka ir skaitlis t, par kuru k = b 1 t, un kopš b 1 = b: d, Tas k = b: d t.

Tagad tā vietā k aizstāsim ar vienlīdzību M = a k formas izteiksme b: d t. Tas mums ļauj sasniegt vienlīdzību M = a b: d t. Plkst t = 1 mēs varam iegūt vismazāk pozitīvo a un b kopējo daudzkārtni , vienāds a b: d, ja skaitļi a un b pozitīvs.

Tātad mēs pierādījām, ka LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Izveidojot savienojumu starp LCM un GCD, varat atrast vismazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot divu vai vairāku doto skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.

3. definīcija

Teorēmai ir divas svarīgas sekas:

• divu skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma reizinātāji ir tādi paši kā šo divu skaitļu kopīgie reizinātāji;
• savstarpēji pirmskaitļu pozitīvo skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar to reizinājumu.

Šos divus faktus nav grūti pamatot. Jebkuru skaitļu a un b kopējo M daudzkārtni definē ar vienādību M = LCM (a, b) · t kādai veselai skaitļa vērtībai t. Tā kā a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad gcd (a, b) = 1, tāpēc gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Trīs vai vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums

Lai atrastu vairāku skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, ir nepieciešams secīgi atrast divu skaitļu LCM.

2. teorēma

Izliksimies tā a 1 , a 2 , … , a k ir daži pozitīvi veseli skaitļi. Lai aprēķinātu LCM m kšie skaitļi mums ir jāaprēķina secīgi m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Pierādījumi 2

Pirmās šajā tēmā aplūkotās teorēmas pirmais secinājums palīdzēs mums pierādīt otrās teorēmas derīgumu. Pamatojums ir balstīts uz šādu algoritmu:

• kopīgie skaitļu daudzkārtņi a 1 Un a 2 sakrīt ar to LCM daudzkārtņiem, patiesībā tie sakrīt ar skaitļa daudzkārtņiem m 2;
• kopīgie skaitļu daudzkārtņi a 1, a 2 Un a 3 m 2 Un a 3 m 3;
• kopīgie skaitļu daudzkārtņi a 1 , a 2 , … , a k sakrīt ar kopējiem skaitļu daudzkārtņiem m k - 1 Un a k, tāpēc sakrīt ar skaitļa daudzkārtņiem m k;
• sakarā ar to, ka skaitļa mazākais pozitīvais daudzkārtnis m k ir pats skaitlis m k, tad skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis a 1 , a 2 , … , a k ir m k.

Tā mēs pierādījām teorēmu.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Matemātiskās izteiksmes un uzdevumi prasa daudz papildu zināšanu. NOC ir viens no galvenajiem, īpaši bieži lietots Tēma tiek apgūta vidusskolā, un materiālu saprast nav īpaši grūti, cilvēkam, kurš pārzina spēkus un reizināšanas tabulu, nebūs grūtības noteikt nepieciešamos skaitļus un atklāt rezultāts.

Definīcija

Kopējais reizinātājs ir skaitlis, ko var pilnībā sadalīt divos skaitļos vienlaikus (a un b). Visbiežāk šo skaitli iegūst, reizinot sākotnējos skaitļus a un b. Skaitlim jābūt dalītam ar abiem skaitļiem uzreiz, bez novirzēm.

NOC ir apzīmējumam pieņemtais īsais nosaukums, kas savākts no pirmajiem burtiem.

Veidi, kā iegūt numuru

Ciparu reizināšanas metode ne vienmēr ir piemērota LCM atrašanai, tā ir daudz labāk piemērota vienkāršiem viencipara vai divciparu skaitļiem. Ir ierasts sadalīt faktoros; jo lielāks skaitlis, jo vairāk faktoru būs.

1. piemērs

Vienkāršākajam piemēram, skolās parasti tiek izmantoti pirmskaitļi, viena vai divciparu skaitļi. Piemēram, jums jāatrisina šāds uzdevums, jāatrod mazākais kopīgs skaitļu 7 un 3 daudzkārtnis, risinājums ir diezgan vienkāršs, vienkārši tos reiziniet. Rezultātā ir skaitlis 21, mazāka skaitļa vienkārši nav.

Piemērs Nr.2

Otrā uzdevuma versija ir daudz grūtāka. Doti skaitļi 300 un 1260, LOC atrašana ir obligāta. Lai atrisinātu problēmu, tiek pieņemtas šādas darbības:

Pirmā un otrā skaitļa sadalīšana vienkāršos faktoros. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pirmais posms ir pabeigts.

Otrais posms ietver darbu ar jau iegūtajiem datiem. Katram no saņemtajiem cipariem ir jāpiedalās gala rezultāta aprēķināšanā. Katram faktoram lielākais gadījumu skaits tiek ņemts no sākotnējiem skaitļiem. LCM ir vispārīgs skaitlis, tāpēc tajā ir jāatkārto skaitļu faktori, katrs atsevišķi, pat tie, kas ir vienā eksemplārā. Abi sākotnējie skaitļi satur skaitļus 2, 3 un 5 dažādos pakāpēs; 7 ir tikai vienā gadījumā.

Lai aprēķinātu gala rezultātu, vienādojumā ir jāņem katrs skaitlis ar lielāko no attēlotajām pakāpēm. Atliek tikai reizināt un iegūt atbildi; pareizi aizpildīts uzdevums sadalās divos posmos bez paskaidrojumiem:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Tā ir visa problēma, ja jūs mēģināt aprēķināt nepieciešamo skaitli, reizinot, tad atbilde noteikti nebūs pareiza, jo 300 * 1260 = 378 000.

Pārbaude:

6300 / 300 = 21 - pareizi;

6300 / 1260 = 5 - pareizi.

Iegūtā rezultāta pareizību nosaka pārbaudot - dalot LCM ar abiem sākotnējiem skaitļiem, ja skaitlis abos gadījumos ir vesels skaitlis, tad atbilde ir pareiza.

Ko matemātikā nozīmē NOC?

Kā zināms, matemātikā nav nevienas bezjēdzīgas funkcijas, šī nav izņēmums. Visizplatītākais šī skaitļa mērķis ir samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam. Ko parasti mācās vidusskolas 5.-6.klasē. Tas ir arī kopīgs dalītājs visiem reizinātājiem, ja šādi nosacījumi pastāv problēmā. Šāda izteiksme var atrast daudzkārtni ne tikai diviem skaitļiem, bet arī daudz lielākam skaitlim - trīs, pieci utt. Jo vairāk skaitļu, jo vairāk darbību uzdevumā, bet sarežģītība nepalielinās.

Piemēram, ņemot vērā skaitļus 250, 600 un 1500, jums ir jāatrod to kopīgais LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — šajā piemērā ir sīki aprakstīta faktorizēšana bez samazināšanas.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Lai sastādītu izteiksmi, ir jāmin visi faktori, šajā gadījumā ir doti 2, 5, 3 - visiem šiem skaitļiem ir jānosaka maksimālā pakāpe.

Uzmanību: visi faktori ir jānoved līdz pilnīgai vienkāršošanai, ja iespējams, jāsadala līdz viencipara līmenim.

Pārbaude:

1) 3000 / 250 = 12 - pareizi;

2) 3000 / 600 = 5 - patiess;

3) 3000 / 1500 = 2 - pareizi.

Šī metode neprasa nekādus trikus vai ģeniāla līmeņa spējas, viss ir vienkārši un skaidri.

Vēl viens veids

Matemātikā daudzas lietas ir saistītas, daudzas lietas var atrisināt divos vai vairākos veidos, tas pats attiecas uz mazākā kopskaita atrašanu LCM. Vienkāršu divciparu un viencipara skaitļu gadījumā var izmantot šādu metodi. Tiek sastādīta tabula, kurā reizinātājs tiek ievadīts vertikāli, reizinātājs horizontāli, un reizinājums tiek norādīts kolonnas krustošanās šūnās. Jūs varat atspoguļot tabulu, izmantojot līniju, ņemt skaitli un pierakstīt rezultātus, reizinot šo skaitli ar veseliem skaitļiem, no 1 līdz bezgalībai, dažreiz pietiek ar 3-5 punktiem, otrajam un nākamajiem skaitļiem tiek veikts tāds pats skaitļošanas process. Viss notiek, līdz tiek atrasts kopīgs daudzkārtnis.

Ņemot vērā skaitļus 30, 35, 42, jums jāatrod LCM, kas savieno visus skaitļus:

1) 30 reizinātāji: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 utt.

2) 35 reizinātāji: 70, 105, 140, 175, 210, 245 utt.

3) 42 reizinātāji: 84, 126, 168, 210, 252 utt.

Manāms, ka visi skaitļi ir diezgan atšķirīgi, vienīgais kopīgais cipars starp tiem ir 210, tātad tas būs NOC. Starp šajā aprēķinā iesaistītajiem procesiem ir arī lielākais kopīgais dalītājs, kas tiek aprēķināts pēc līdzīgiem principiem un bieži sastopams blakus problēmās. Atšķirība ir neliela, bet diezgan nozīmīga, LCM ietver skaitļa aprēķināšanu, kas tiek dalīts ar visām dotajām sākotnējām vērtībām, un GCD ietver lielākās vērtības aprēķināšanu, ar kuru tiek dalīti sākotnējie skaitļi.

Lai saprastu, kā aprēķināt LCM, vispirms ir jānosaka termina "vairāki" nozīme.

A daudzkārtnis ir naturāls skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma. Tādējādi skaitļus, kas ir 5 reizes, var uzskatīt par 15, 20, 25 utt.

Konkrēta skaitļa dalītāju skaits var būt ierobežots, taču ir bezgalīgs daudzkārtņu skaits.

Dabisku skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas dalās ar tiem, neatstājot atlikumu.

Kā atrast skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni

Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM) (divi, trīs vai vairāk) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Lai atrastu LOC, varat izmantot vairākas metodes.

Maziem skaitļiem ir ērti pierakstīt visus šo skaitļu reizinājumus rindā, līdz atrodat kaut ko kopīgu starp tiem. Vairāki tiek apzīmēti ar lielo burtu K.

Piemēram, skaitļa 4 reizinājumus var uzrakstīt šādi:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Tādējādi var redzēt, ka skaitļu 4 un 6 mazākais kopīgais reizinājums ir skaitlis 24. Šo apzīmējumu veic šādi:

LCM(4, 6) = 24

Ja skaitļi ir lieli, atrodiet trīs vai vairāku skaitļu kopējo daudzkārtni, tad labāk ir izmantot citu LCM aprēķināšanas metodi.

Lai izpildītu uzdevumu, dotie skaitļi ir jāiekļauj pirmfaktoros.

Vispirms jums jāpieraksta lielākā skaitļa sadalījums rindā, bet zem tā - pārējais.

Katra skaitļa dekompozīcija var ietvert dažādu faktoru skaitu.

Piemēram, ieskaitīsim skaitļus 50 un 20 primārajos faktoros.

Mazākā skaitļa izvēršanā jums vajadzētu izcelt faktorus, kas trūkst pirmā lielākā skaitļa izvēršanā, un pēc tam pievienot tos tam. Parādītajā piemērā trūkst divi.

Tagad varat aprēķināt 20 un 50 mazāko kopīgo reizinātāju.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tādējādi lielākā skaitļa pirmfaktoru un otrā skaitļa faktoru reizinājums, kas netika iekļauti lielākā skaitļa izvērsumā, būs mazākais kopskaitlis.

Lai atrastu trīs vai vairāku skaitļu LCM, tie visi jāieskaita primārajos faktoros, tāpat kā iepriekšējā gadījumā.

Piemēram, jūs varat atrast skaitļu 16, 24, 36 mazāko kopējo daudzkārtni.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tādējādi tikai divi divnieki no sešpadsmitnieka paplašināšanas netika iekļauti lielāka skaitļa faktorizācijā (viens ir divdesmit četru paplašināšanā).

Tādējādi tie ir jāpievieno lielāka skaita paplašināšanai.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ir īpaši gadījumi, kā noteikt mazāko kopējo daudzkārtni. Tātad, ja vienu no skaitļiem bez atlikuma var dalīt ar citu, tad lielākais no šiem skaitļiem būs mazākais kopskaitlis.

Piemēram, divpadsmit un divdesmit četru LCM ir divdesmit četri.

Ja nepieciešams atrast vismazāko kopskaitli, kam nav identisku dalītāju, tad to LCM būs vienāds ar to reizinājumu.

Piemēram, LCM (10, 11) = 110.

Divu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir tieši saistīts ar šo skaitļu lielāko kopīgo dalītāju. Šis savienojums starp GCD un NOC tiek noteikts ar sekojošu teorēmu.

Teorēma.

Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b mazākais kopīgais daudzkārtnis ir vienāds ar a un b reizinājumu, kas dalīts ar a un b lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Pierādījums.

Ļaujiet M ir daži skaitļu a un b daudzkārtņi. Tas ir, M dalās ar a, un pēc dalāmības definīcijas ir kāds vesels skaitlis k, kurā vienādība M=a·k ir patiesa. Bet M arī dalās ar b, tad a·k dalās ar b.

Apzīmēsim gcd(a, b) kā d. Tad varam uzrakstīt vienādības a=a 1 ·d un b=b 1 ·d, un a 1 =a:d un b 1 =b:d būs nosacīti pirmskaitļi. Līdz ar to iepriekšējā punktā iegūto nosacījumu, ka a · k dalās ar b, var pārformulēt šādi: a 1 · d · k dala ar b 1 · d , un tas dalāmības īpašību dēļ ir līdzvērtīgs nosacījumam. ka a 1 · k dalās ar b 1 .

Jums arī jāpieraksta divas svarīgas teorēmas sekas.

Divu skaitļu kopējie reizinātāji ir tādi paši kā to mazākā kopīgā reizinājuma reizinājumi.

Tā tas tiešām ir, jo jebkuru skaitļu a un b kopējo M daudzkārtni nosaka ar vienādību M=LMK(a, b)·t kādai veselai skaitļa vērtībai t.

Savstarpēji pirmskaitļu pozitīvo skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar to reizinājumu.

Šī fakta pamatojums ir diezgan acīmredzams. Tā kā a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad gcd(a, b)=1, tāpēc GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Trīs vai vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums

Trīs vai vairāku skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašanu var reducēt līdz divu skaitļu LCM secīgai atrašanai. Kā tas tiek darīts, norādīts sekojošā teorēmā: a 1 , a 2 , …, a k sakrīt ar skaitļu m k-1 kopējiem reizinātājiem un a k , tātad sakrīt ar skaitļa m k kopējiem reizinātājiem. Un tā kā skaitļa m k mazākais pozitīvais daudzkārtnis ir pats skaitlis m k, tad skaitļu a 1, a 2, ..., a k mazākais kopīgais daudzkārtnis ir m k.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. un citi.. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ja. u.c.. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.

Kā atrast mazāko kopīgo reizinātāju?

Mums jāatrod katrs faktors katram no diviem skaitļiem, kuriem mēs atrodam vismazāko kopējo reizni, un pēc tam jāreizina viens ar otru faktori, kas sakrīt pirmajā un otrajā skaitļā. Produkta rezultāts būs nepieciešamais daudzkārtējs.

Piemēram, mums ir skaitļi 3 un 5, un mums ir jāatrod LCM (vismazākais daudzkārtējs). Mēs vajag pavairot un trīs un pieci visiem skaitļiem, sākot no 1 2 3 ... un tā tālāk, līdz mēs redzam vienu un to pašu numuru abās vietās.

Reiziniet trīs un iegūstiet: 3, 6, 9, 12, 15

Reiziniet ar pieci un iegūstiet: 5, 10, 15

Galvenās faktorizācijas metode ir visklasiskākā metode vairāku skaitļu mazākā daudzkārtņa (LCM) atrašanai. Šī metode ir skaidri un vienkārši parādīta šajā videoklipā:

Saskaitīšana, reizināšana, dalīšana, reducēšana līdz kopsaucējam un citas aritmētiskas darbības ir ļoti aizraujoša nodarbe, īpaši aizraujoši ir piemēri, kas aizņem veselu papīra lapu.

Tātad atrodiet divu skaitļu kopējo daudzkārtni, kas būs mazākais skaitlis, ar kuru tiek dalīti divi skaitļi. Es vēlos atzīmēt, ka turpmāk nav nepieciešams ķerties pie formulām, lai atrastu to, ko meklējat, ja jūs varat skaitīt savā galvā (un to var apmācīt), tad paši skaitļi parādās jūsu galvā un tad frakcijas plīst kā rieksti.

Sākumā uzzināsim, ka jūs varat reizināt divus skaitļus vienu ar otru un pēc tam samazināt šo skaitli un dalīt pārmaiņus ar šiem diviem skaitļiem, lai mēs atrastu mazāko daudzkārtni.

Piemēram, divi skaitļi 15 un 6. Reiziniet un iegūstiet 90. Tas nepārprotami ir lielāks skaitlis. Turklāt 15 dalās ar 3 un 6 dalās ar 3, kas nozīmē, ka mēs arī dalām 90 ar 3. Mēs iegūstam 30. Mēģinām 30 dalīt 15 ir vienāds ar 2. Un 30 dalīt 6 ir vienāds ar 5. Tā kā 2 ir robeža, tas pagriežas skaitļu mazākais reizinājums ir 15 un 6 būs 30.

Ar lielākiem skaitļiem tas būs nedaudz grūtāk. bet ja zina, kuri skaitļi dalot vai reizinot dod nulles atlikumu, tad principā lielu grūtību nav.

• Kā atrast NOC

  Šeit ir videoklips, kas sniegs jums divus veidus, kā atrast vismazāko kopskaitu (LCM). Pēc pirmās ieteiktās metodes izmantošanas praktizēšanas varat labāk saprast, kas ir retāk sastopamais daudzkārtnis.

Es piedāvāju vēl vienu veidu, kā atrast vismazāko kopskaitu. Apskatīsim to ar skaidru piemēru.

Vienlaikus jāatrod trīs skaitļu LCM: 16, 20 un 28.

• Mēs attēlojam katru skaitli kā tā galveno faktoru reizinājumu:
• Mēs pierakstām visu galveno faktoru pilnvaras:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Mēs izvēlamies visus galvenos dalītājus (reizinātājus) ar vislielākajām pakāpēm, reizinām tos un atrodam LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Tādējādi aprēķina rezultāts bija skaitlis 560. Tas ir mazākais kopīgais daudzkārtnis, tas ir, dalās ar katru no trim skaitļiem bez atlikuma.

Vismazākais reizinātājs ir skaitlis, ko var sadalīt vairākos dotos skaitļos, neatstājot atlikumu. Lai aprēķinātu šādu skaitli, jums ir jāņem katrs skaitlis un jāsadala vienkāršos faktoros. Tie skaitļi, kas atbilst, tiek noņemti. Atstāj visus pa vienam, reizina tos savā starpā un iegūst vēlamo - mazāko kopīgo daudzkārtni.

NOC vai mazākais kopīgs daudzkārtnis, ir mazākais divu vai vairāku skaitļu naturālais skaitlis, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem bez atlikuma.

Šeit ir piemērs, kā atrast skaitļu 30 un 42 mazāko kopējo daudzkārtni.

• Pirmais solis ir iekļaut šos skaitļus galvenajos faktoros.

Par 30 tas ir 2 x 3 x 5.

Skaitlim 42 tas ir 2 x 3 x 7. Tā kā 2 un 3 atrodas skaitļa 30 izvērsumā, mēs tos izsvītrojam.

• Mēs pierakstām faktorus, kas ir iekļauti skaitļa 30 izvērsumā. Tas ir 2 x 3 x 5.
• Tagad mums tie jāreizina ar trūkstošo koeficientu, kas mums ir, izvēršot 42, kas ir 7. Mēs iegūstam 2 x 3 x 5 x 7.
• Mēs atrodam, ar ko 2 x 3 x 5 x 7 ir vienāds, un iegūstam 210.

Rezultātā mēs atklājam, ka skaitļu 30 un 42 LCM ir 210.

Lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni, jums pēc kārtas jāveic vairākas vienkāršas darbības. Apskatīsim to, piemēram, izmantojot divus skaitļus: 8 un 12

1. Mēs abus skaitļus iekļaujam galvenajos faktoros: 8=2*2*2 un 12=3*2*2
2. Mēs samazinām tos pašus viena skaitļa faktorus. Mūsu gadījumā 2 * 2 sakrīt, samazinām tos līdz skaitlim 12, tad 12 paliks viens faktors: 3.
3. Atrodiet visu atlikušo faktoru reizinājumu: 2*2*2*3=24

Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka 24 dalās gan ar 8, gan ar 12, un tas ir mazākais naturālais skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem. Te nu mēs esam atrada mazāko kopējo daudzkārtni.

Mēģināšu paskaidrot, kā piemēru izmantojot skaitļus 6 un 8. Vismazākais reizinātājs ir skaitlis, kuru var dalīt ar šiem skaitļiem (mūsu gadījumā 6 un 8), un atlikuma nebūs.

Tātad, mēs vispirms sākam reizināt 6 ar 1, 2, 3 utt. un 8 ar 1, 2, 3 utt.