Divu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir tieši saistīts ar šo skaitļu lielāko kopīgo dalītāju. Šis savienojums starp GCD un NOC tiek noteikts ar sekojošu teorēmu.

Teorēma.

Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b mazākais kopīgais daudzkārtnis ir vienāds ar a un b reizinājumu, kas dalīts ar a un b lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Pierādījums.

Ļaujiet M ir daži skaitļu a un b daudzkārtņi. Tas ir, M dalās ar a, un pēc dalāmības definīcijas ir kāds vesels skaitlis k, kurā vienādība M=a·k ir patiesa. Bet M arī dalās ar b, tad a·k dalās ar b.

Apzīmēsim gcd(a, b) kā d. Tad varam uzrakstīt vienādības a=a 1 ·d un b=b 1 ·d, un a 1 =a:d un b 1 =b:d būs nosacīti pirmskaitļi. Līdz ar to iepriekšējā punktā iegūto nosacījumu, ka a · k dalās ar b, var pārformulēt šādi: a 1 · d · k dala ar b 1 · d , un tas dalāmības īpašību dēļ ir līdzvērtīgs nosacījums, ka a 1 · k dalās ar b 1 .

Jums arī jāpieraksta divas svarīgas teorēmas sekas.

Divu skaitļu kopējie reizinātāji ir tādi paši kā to mazākā kopīgā reizinājuma reizinājumi.

Tā tas tiešām ir, jo jebkuru skaitļu a un b kopējo M daudzkārtni nosaka ar vienādību M=LMK(a, b)·t kādai veselai skaitļa vērtībai t.

Vismazākais kopskaita daudzkārtnis pozitīvi skaitļi a un b ir vienādi ar to reizinājumu.

Šī fakta pamatojums ir diezgan acīmredzams. Tā kā a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad gcd(a, b)=1, tāpēc GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Trīs vai vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums

Trīs vai vairāku skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašanu var reducēt līdz divu skaitļu LCM secīgai atrašanai. Kā tas tiek darīts, ir norādīts sekojošā teorēmā a 1 , a 2 , …, a k sakrīt ar skaitļu m k-1 kopējiem reizinātājiem, un a k sakrīt ar skaitļa m k kopējiem daudzkārtņiem. Un tā kā skaitļa m k mazākais pozitīvais daudzkārtnis ir pats skaitlis m k, tad skaitļu a 1, a 2, ..., a k mazākais kopīgais daudzkārtnis ir m k.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. un citi. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ya. un citi algebras un skaitļu teorijas uzdevumu apkopojums: Apmācība fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.

Kā atrast LCM (vismazāk izplatītais daudzkārtnis)

Divu veselu skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem dotajiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.

Divu veselu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir mazākais no visiem veselajiem skaitļiem, kas dalās ar abiem dotajiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.

1. metode. Savukārt LCM var atrast katram no dotajiem skaitļiem, augošā secībā izrakstot visus skaitļus, kas iegūti, tos reizinot ar 1, 2, 3, 4 utt.

Piemērs skaitļiem 6 un 9.
Mēs reizinām skaitli 6 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 6, 12, 18 , 24, 30
Mēs reizinām skaitli 9 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 9, 18 , 27, 36, 45
Kā redzat, LCM skaitļiem 6 un 9 būs vienāds ar 18.

Šī metode ir ērta, ja abi skaitļi ir mazi un tos ir viegli reizināt ar veselu skaitļu secību. Tomēr ir gadījumi, kad ir jāatrod LCM divciparu vai trīsciparu skaitļi, kā arī tad, ja ir trīs vai pat vairāk sākuma skaitļi.

2. metode. Jūs varat atrast LCM, ierēķinot sākotnējos skaitļus primārajos faktoros.
Pēc sadalīšanas ir jāizsvītro identiski skaitļi no iegūtās primāro faktoru sērijas. Atlikušie pirmā skaitļa skaitļi būs otrā reizinātāji, bet atlikušie otrā skaitļi būs pirmā reizinātāji.

Piemērs numuriem 75 un 60.
Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizināto var atrast, nepierakstot šo skaitļu reizinātājus pēc kārtas. Lai to izdarītu, koeficientu 75 un 60 vienkāršos faktoros:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kā redzat, faktors 3 un 5 parādās abās rindās. Mēs viņus garīgi “izsvītrojam”.
Pierakstīsim atlikušos faktorus, kas iekļauti katra no šiem skaitļiem. Sadalot skaitli 75, mums paliek skaitlis 5, un, sadalot skaitli 60, mums paliek 2 * 2
Tas nozīmē, ka, lai noteiktu LCM skaitļiem 75 un 60, mums jāreizina atlikušie skaitļi no 75 izvērsuma (tas ir 5) ar 60 un jāreizina skaitļi, kas paliek no izvēršanas 60 (tas ir 2). * 2) ar 75. Tas ir, lai būtu vieglāk saprast, mēs sakām, ka mēs reizinām “šķērsām”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Šādi mēs atradām LCM skaitļiem 60 un 75. Šis ir skaitlis 300.

Piemērs. Nosakiet LCM skaitļiem 12, 16, 24
Šajā gadījumā mūsu darbības būs nedaudz sarežģītākas. Bet vispirms, kā vienmēr, faktorizēsim visus skaitļus
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Lai pareizi noteiktu LCM, mēs izvēlamies mazāko no visiem skaitļiem (tas ir skaitlis 12) un secīgi izejam cauri tā faktoriem, tos izsvītrojot, ja vismaz vienā no pārējām skaitļu rindām sastopam to pašu faktoru, kas vēl nav ir izsvītrots.

1. darbība. Mēs redzam, ka 2 * 2 notiek visās skaitļu sērijās. Izsvītrosim tos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. solis. Skaitļa 12 pirmfaktoros paliek tikai skaitlis 3, bet tas ir skaitļa 24 pirmfaktoros. Skaitli 3 nosvītrojam no abām rindām, savukārt skaitļam 16 nekādas darbības nav gaidāmas. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kā redzat, sadalot skaitli 12, mēs “izsvītrojām” visus skaitļus. Tas nozīmē, ka LOC atrašana ir pabeigta. Atliek tikai aprēķināt tā vērtību.
Skaitlim 12 ņemiet atlikušos skaitļa 16 faktorus (nākamie augošā secībā)
12 * 2 * 2 = 48
Šis ir NOC

Kā redzat, šajā gadījumā LCM atrašana bija nedaudz grūtāka, taču, ja jums tas jāatrod trīs vai vairāk cipariem, šī metodeļauj to izdarīt ātrāk. Tomēr abas LCM atrašanas metodes ir pareizas.

Apskatīsim trīs veidus, kā atrast vismazāko kopskaitu.

Meklēšana pēc faktorizācijas

Pirmā metode ir atrast mazāko kopējo reizni, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrod skaitļu LCM: 99, 30 un 28. Lai to izdarītu, iekļausim katru no šiem skaitļiem galvenajos faktoros:

Lai vēlamais skaitlis dalītos ar 99, 30 un 28, ir nepieciešams un pietiekami, lai tajā būtu iekļauti visi šo dalītāju pirmfaktori. Lai to izdarītu, mums ir jāņem visi šo skaitļu galvenie faktori pēc iespējas lielākā mērā un jāreizina kopā:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tādējādi LCM (99, 30, 28) = 13 860 neviens cits skaitlis, kas ir mazāks par 13 860, nedalās ar 99, 30 vai 28.

Lai atrastu doto skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu, tie jāieskaita to primārajos faktoros, pēc tam jāņem katrs galvenais koeficients ar lielāko eksponentu, kurā tas parādās, un šie faktori tiek reizināti kopā.

Tā kā relatīvi pirmskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu. Piemēram, trīs skaitļi: 20, 49 un 33 ir relatīvi pirmskaitļi. Tāpēc

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tas pats jādara, meklējot atšķirīgo mazāko kopīgo daudzkārtni pirmskaitļi. Piemēram, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Meklēšana pēc atlases

Otrā metode ir pēc atlases atrast mazāko kopējo daudzkārtni.

1. piemērs. Ja lielāko no dotajiem skaitļiem dala ar citu doto skaitli, tad šo skaitļu LCM ir vienāds ar lielāko no tiem. Piemēram, doti četri skaitļi: 60, 30, 10 un 6. Katrs no tiem dalās ar 60, tāpēc:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Citos gadījumos, lai atrastu vismazāko kopskaitu, tiek izmantota šāda procedūra:

1. No dotajiem skaitļiem nosaki lielāko skaitli.
2. Tālāk mēs atrodam skaitļus, kas ir lielākā skaitļa reizinājumi, reizinot to ar veseli skaitļi augošā secībā un pārbaudot, vai atlikušie skaitļi dalās ar iegūto reizinājumu.

Piemērs 2. Doti trīs skaitļi 24, 3 un 18. Nosakām lielāko no tiem - tas ir skaitlis 24. Tālāk atrodam skaitļus, kas ir 24 reizinātāji, pārbaudot, vai katrs no tiem dalās ar 18 un 3:

24 · 1 = 24 - dalās ar 3, bet nedalās ar 18.

24 · 2 = 48 - dalās ar 3, bet nedalās ar 18.

24 · 3 = 72 — dalās ar 3 un 18.

Tādējādi LCM (24, 3, 18) = 72.

Meklēšana, secīgi atrodot LCM

Trešā metode ir atrast mazāko kopējo daudzkārtni, secīgi atrodot LCM.

Divu doto skaitļu LCM ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu, kas dalīts ar to lielāko kopīgo dalītāju.

1. piemērs. Atrodiet divu doto skaitļu LCM: 12 un 8. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: GCD (12, 8) = 4. Reiziniet šos skaitļus:

Mēs sadalām produktu ar to gcd:

Tādējādi LCM (12, 8) = 24.

Lai atrastu trīs vai vairāk skaitļu LCM, izmantojiet šādu procedūru:

1. Vispirms atrodiet jebkuru divu no šiem skaitļiem LCM.
2. Pēc tam LCM no atrastā mazākā kopīgā reizinājuma un trešā dotā skaitļa.
3. Pēc tam iegūtā mazākā kopīgā reizinājuma un ceturtā skaitļa LCM utt.
4. Līdz ar to LCM meklēšana turpinās tik ilgi, kamēr ir skaitļi.

2. piemērs. Atradīsim trīs doto skaitļu LCM: 12, 8 un 9. Mēs jau atradām skaitļu 12 un 8 LCM iepriekšējā piemērā (tas ir skaitlis 24). Atliek atrast skaitļa 24 un trešā dotā skaitļa mazāko kopīgo reizinātāju - 9. Nosakiet to lielāko kopīgo dalītāju: GCD (24, 9) = 3. Reiziniet LCM ar skaitli 9:

Mēs sadalām produktu ar to gcd:

Tādējādi LCM (12, 8, 9) = 72.

5. klasē tiek apgūta tēma “Daudzkārtņi”. vidusskola. Tās mērķis ir pilnveidot rakstiskās un mutiskās matemātisko aprēķinu prasmes. Šajā nodarbībā tiek ieviesti jauni jēdzieni - “vairāki skaitļi” un “dalītāji”, tiek praktizēta naturāla skaitļa dalītāju un reizinātāju atrašanas tehnika un spēja dažādos veidos atrast LCM.

Šī tēma ir ļoti svarīga. Zināšanas par to var pielietot, risinot piemērus ar daļskaitļiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopsaucējs, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).

A daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma.

Katram naturālajam skaitlim ir bezgalīgs skaits tā daudzkārtņu. Tas pats par sevi tiek uzskatīts par mazāko. Daudzkārtējs nevar būt mazāks par pašu skaitli.

Jums jāpierāda, ka skaitlis 125 ir skaitļa 5 reizināts. Lai to izdarītu, pirmais skaitlis ir jāsadala ar otro. Ja 125 dalās ar 5 bez atlikuma, tad atbilde ir jā.

Šī metode ir piemērota maziem skaitļiem.

Aprēķinot LOC, ir īpaši gadījumi.

1. Ja jums ir jāatrod 2 skaitļu kopīgs daudzkārtnis (piemēram, 80 un 20), kur viens no tiem (80) dalās ar otru (20), tad šis skaitlis (80) ir mazākais skaitļu reizinājums. divi cipari.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ja diviem nav kopīga dalītāja, tad varam teikt, ka to LCM ir šo divu skaitļu reizinājums.

LCM(6, 7) = 42.

Apskatīsim pēdējo piemēru. 6 un 7 attiecībā pret 42 ir dalītāji. Viņi dala skaitļa daudzkārtni bez atlikuma.

Šajā piemērā 6 un 7 ir pārī savienoti faktori. Viņu reizinājums ir vienāds ar lielāko skaitli (42).

Skaitli sauc par pirmskaitli, ja tas dalās tikai ar sevi vai ar 1 (3:1=3; 3:3=1). Pārējos sauc par saliktiem.

Vēl viens piemērs ietver noteikšanu, vai 9 ir 42 dalītājs.

42:9=4 (atlikušais 6)

Atbilde: 9 nav 42 dalītājs, jo atbildē ir atlikums.

Dalītājs atšķiras no daudzskaitļa ar to, ka dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīti naturālie skaitļi, un pats reizinātājs tiek dalīts ar šo skaitli.

Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b, reizināts ar to mazāko reizinājumu, iegūs pašu skaitļu reizinājumu a Un b.

Proti: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Sarežģītāku skaitļu kopējie reizinātāji ir atrodami šādi.

Piemēram, atrodiet LCM 168, 180, 3024.

Mēs iedalām šos skaitļus vienkāršos faktoros un ierakstām tos kā pilnvaru reizinājumu:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Matemātiskās izteiksmes un uzdevumi prasa daudz papildu zināšanu. NOC ir viens no galvenajiem, īpaši bieži lietots Tēma tiek apgūta vidusskolā, un cilvēkam, kurš pārzina spēkus un reizināšanas tabulu, nebūs grūtības noteikt nepieciešamos skaitļus un atklāt rezultāts.

Definīcija

Kopējais reizinātājs ir skaitlis, ko var pilnībā sadalīt divos skaitļos vienlaikus (a un b). Visbiežāk šo skaitli iegūst, reizinot sākotnējos skaitļus a un b. Skaitlim jābūt dalītam ar abiem skaitļiem uzreiz, bez novirzēm.

NOC ir pieņemtais apzīmējums īss vārds, savākts no pirmajiem burtiem.

Veidi, kā iegūt numuru

Ciparu reizināšanas metode ne vienmēr ir piemērota LCM atrašanai, tā ir daudz labāk piemērota vienkāršiem viencipara vai divciparu skaitļiem. Ir pieņemts sadalīt faktoros, jo lielāks skaits, jo vairāk faktoru būs.

Piemērs Nr.1

Vienkāršākajam piemēram, skolās parasti tiek izmantoti pirmskaitļi, viena vai divciparu skaitļi. Piemēram, jums jāatrisina šāds uzdevums, jāatrod mazākais kopīgs skaitļu 7 un 3 daudzkārtnis, risinājums ir diezgan vienkāršs, vienkārši tos reiziniet. Rezultātā ir skaitlis 21, mazāka skaitļa vienkārši nav.

Piemērs Nr.2

Otrā uzdevuma versija ir daudz grūtāka. Doti skaitļi 300 un 1260, LOC atrašana ir obligāta. Lai atrisinātu problēmu, tiek pieņemtas šādas darbības:

Pirmā un otrā skaitļa sadalīšana vienkāršos faktoros. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pirmais posms ir pabeigts.

Otrais posms ietver darbu ar jau iegūtajiem datiem. Katram no saņemtajiem cipariem jāpiedalās gala rezultāta aprēķināšanā. Katram reizinātājam visvairāk liels skaitlis gadījumiem. NOC ir kopējais skaits, tāpēc tajā ir jāatkārto faktori no skaitļiem, katrs atsevišķi, pat tie, kas ir vienā eksemplārā. Abi sākotnējie skaitļi satur skaitļus 2, 3 un 5, in dažādas pakāpes, 7 ir tikai vienā gadījumā.

Lai aprēķinātu gala rezultātu, vienādojumā ir jāņem katrs skaitlis ar lielāko no attēlotajām pakāpēm. Atliek tikai reizināt un iegūt atbildi, ja tas ir pareizi aizpildīts, uzdevums ietilpst divos posmos bez paskaidrojumiem:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Tā ir visa problēma, ja jūs mēģināt aprēķināt nepieciešamo skaitli, reizinot, tad atbilde noteikti nebūs pareiza, jo 300 * 1260 = 378 000.

Pārbaude:

6300 / 300 = 21 - pareizi;

6300 / 1260 = 5 - pareizi.

Iegūtā rezultāta pareizību nosaka pārbaudot – LCM dalot ar abiem sākotnējiem skaitļiem, ja abos gadījumos skaitlis ir vesels, tad atbilde ir pareiza.

Ko matemātikā nozīmē NOC?

Kā zināms, matemātikā nav nevienas bezjēdzīgas funkcijas, šī nav izņēmums. Visizplatītākais šī skaitļa mērķis ir samazināt daļskaitļus līdz kopsaucējam. Ko parasti mācās 5.-6.klasē vidusskola. Tas ir arī kopīgs dalītājs visiem reizinātājiem, ja šādi nosacījumi pastāv problēmā. Šāda izteiksme var atrast ne tikai divu, bet arī daudzu skaitļu reizinājumus vairāk- trīs, pieci un tā tālāk. Kā vairāk skaitļu- jo vairāk darbību uzdevumā, bet sarežģītība nepalielinās.

Piemēram, ņemot vērā skaitļus 250, 600 un 1500, jums ir jāatrod to kopīgais LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 — šajā piemērā ir sīki aprakstīta faktorizēšana bez samazināšanas.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Lai sastādītu izteiksmi, ir jāmin visi faktori, šajā gadījumā ir doti 2, 5, 3 - visiem šiem skaitļiem ir jānosaka maksimālā pakāpe.

Uzmanību: visi faktori ir pilnībā jāvienkāršo, ja iespējams, jāsadala līdz viencipara līmenim.

Pārbaude:

1) 3000 / 250 = 12 - pareizi;

2) 3000 / 600 = 5 - patiess;

3) 3000 / 1500 = 2 - pareizi.

Šī metode neprasa nekādus trikus vai ģeniāla līmeņa spējas, viss ir vienkārši un skaidri.

Vēl viens veids

Matemātikā daudzas lietas ir saistītas, daudzas lietas var atrisināt divos vai vairākos veidos, tas pats attiecas uz mazākā kopskaita atrašanu LCM. Vienkāršu divciparu un viencipara skaitļu gadījumā var izmantot šādu metodi. Tiek sastādīta tabula, kurā reizinātājs tiek ievadīts vertikāli, reizinātājs horizontāli, un reizinājums tiek norādīts kolonnas krustošanās šūnās. Jūs varat atspoguļot tabulu, izmantojot līniju, ņemt skaitli un pierakstīt rezultātus, reizinot šo skaitli ar veseliem skaitļiem, no 1 līdz bezgalībai, dažreiz pietiek ar 3-5 punktiem, otrajam un nākamajiem skaitļiem tiek veikts tāds pats skaitļošanas process. Viss notiek, līdz tiek atrasts kopīgs daudzkārtnis.

Ņemot vērā skaitļus 30, 35, 42, jums jāatrod LCM, kas savieno visus skaitļus:

1) 30 reizinātāji: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 utt.

2) 35 reizinātāji: 70, 105, 140, 175, 210, 245 utt.

3) 42 reizinātāji: 84, 126, 168, 210, 252 utt.

Manāms, ka visi skaitļi ir diezgan atšķirīgi, vienīgais kopīgais cipars starp tiem ir 210, tātad tas būs NOC. Starp šajā aprēķinā iesaistītajiem procesiem ir arī lielākais kopīgais dalītājs, kas tiek aprēķināts pēc līdzīgiem principiem un bieži sastopams blakus problēmās. Atšķirība ir neliela, bet diezgan nozīmīga, LCM ietver skaitļa aprēķināšanu, kas tiek dalīts ar visām dotajām sākotnējām vērtībām, un GCD ietver aprēķināšanu augstākā vērtība ar ko tiek dalīti sākotnējie skaitļi.