Veseli skaitļi: vispārīgs attēlojums. Izpratne par veseliem skaitļiem

Frāze " numuru komplekti" ir diezgan izplatīts matemātikas mācību grāmatās. Tur jūs bieži varat atrast šādas frāzes:

"Blah blah blah, kur pieder naturālo skaitļu kopai."

Bieži vien frāzes beigu vietā var redzēt kaut ko līdzīgu šim. Tas nozīmē to pašu, ko teksts nedaudz augstāk – skaitlis pieder pie naturālo skaitļu kopas. Daudzi cilvēki diezgan bieži nepievērš uzmanību tam, kurā komplektā tas vai cits mainīgais ir definēts. Rezultātā, risinot uzdevumu vai pierādot teorēmu, tiek izmantotas pilnīgi nepareizas metodes. Tas notiek tāpēc, ka dažādām kopām piederošo skaitļu īpašības var atšķirties.

Skaitlisko kopu nav tik daudz. Zemāk varat redzēt dažādu skaitļu kopu definīcijas.

Dabisko skaitļu kopa ietver visus veselus skaitļus, kas ir lielāki par nulli — pozitīvi veseli skaitļi.

Piemēram: 1, 3, 20, 3057. Komplektā nav iekļauts skaitlis 0.

Tajā numuru komplekts ietver visus veselus skaitļus, kas ir lielāki un mazāki par nulli, un arī nulle.

Piemēram: -15, 0, 139.

Racionālie skaitļi, vispārīgi runājot, ir daļskaitļu kopa, kuru nevar atcelt (ja tiek atcelta daļa, tad tas jau būs vesels skaitlis, un šajā gadījumā nav nepieciešams ieviest citu skaitļu kopu).

Racionālajā kopā iekļauto skaitļu piemērs: 3/5, 9/7, 1/2.

,

kur ir reālo skaitļu kopai piederoša skaitļa veselas daļas ierobežota ciparu virkne. Šī secība ir ierobežota, tas ir, ciparu skaits reālā skaitļa veselajā daļā ir ierobežots.

– bezgalīga skaitļu virkne, kas atrodas reāla skaitļa daļdaļā. Izrādās, ka daļējā daļā ir bezgalīgs skaits skaitļu.

Šādus skaitļus nevar attēlot kā daļskaitli. Pretējā gadījumā šādu skaitli varētu klasificēt kā racionālu skaitļu kopu.

Reālo skaitļu piemēri:

Sīkāk apskatīsim divu saknes nozīmi. Veselā skaitļa daļā ir tikai viens cipars - 1, tāpēc mēs varam rakstīt:

Daļējā daļā (pēc punkta) secīgi parādās skaitļi 4, 1, 4, 2 un tā tālāk. Tāpēc pirmajiem četriem cipariem mēs varam rakstīt:

Es uzdrošinos cerēt, ka tagad reālo skaitļu kopas definīcija ir kļuvusi skaidrāka.

Secinājums

Jāatceras, ka viena un tā pati funkcija var pilnībā izpausties dažādas īpašības atkarībā no tā, kurai kopai mainīgais pieder. Tāpēc atcerieties pamatus – tie noderēs.

Ziņas skatījumi: 5198

Ko nozīmē vesels skaitlis?

Tātad, apskatīsim, kādus skaitļus sauc par veseliem skaitļiem.

Tādējādi šādi skaitļi tiks apzīmēti ar veseliem skaitļiem: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ utt.

Naturālo skaitļu kopa ir veselu skaitļu kopas apakškopa, t.i. Jebkurš naturāls skaitlis būs vesels skaitlis, bet ne katrs vesels skaitlis ir naturāls skaitlis.

Pozitīvi veseli skaitļi un negatīvi veseli skaitļi

2. definīcija

plus.

Skaitļi $3, 78, 569, 10450 $ ir pozitīvi veseli skaitļi.

3. definīcija

ir veseli skaitļi mīnus.

Skaitļi $−3, −78, −569, -10450$ ir negatīvi veseli skaitļi.

1. piezīme

Skaitlis nulle nav ne pozitīvs, ne negatīvs vesels skaitlis.

Pozitīvi veseli skaitļi ir veseli skaitļi, kas lielāki par nulli.

Negatīvi veseli skaitļi ir veseli skaitļi, kas mazāki par nulli.

Dabisko veselo skaitļu kopa ir visu pozitīvo veselo skaitļu kopa, un visu pretējo naturālo skaitļu kopa ir visu veselo skaitļu kopa. negatīvi skaitļi.

Nepozitīvi un nenegatīvi veseli skaitļi

Tiek izsaukti visi pozitīvie veselie skaitļi un nulle nenegatīvi veseli skaitļi.

Nepozitīvi veseli skaitļi visi ir negatīvi veseli skaitļi un skaitlis $0$.

2. piezīme

Tādējādi nenegatīvs vesels skaitlis ir veseli skaitļi, kas lielāki par nulli vai vienādi ar nulli, un nepozitīvs vesels skaitlis– veseli skaitļi, kas mazāki par nulli vai vienādi ar nulli.

Piemēram, nepozitīvi veseli skaitļi: $−32, −123, 0, −5$ un nenegatīvi veseli skaitļi: $54, 123, 0, 856 342.$

Daudzumu izmaiņu aprakstīšana, izmantojot veselus skaitļus

Veselus skaitļus izmanto, lai aprakstītu objektu skaita izmaiņas.

Apskatīsim piemērus.

1. piemērs

Ļaujiet veikalam pārdot noteiktu skaitu produktu nosaukumu. Kad veikals saņem preču vienību $520$, preču skaits veikalā palielināsies, un cipars 520$ parāda skaita izmaiņas pozitīvā puse. Kad veikals pārdod preces 50 $, preču vienību skaits veikalā samazināsies, un skaitlis 50 $ izteiks skaita izmaiņas negatīvā puse. Ja veikals preces nedz piegādā, nedz pārdod, tad preču skaits paliks nemainīgs (t.i., varam runāt par nulles skaita izmaiņām).

Iepriekš minētajā piemērā preču skaita izmaiņas ir aprakstītas, izmantojot attiecīgi veselus skaitļus $520$, $−50$ un $0$. Pozitīva vērtība vesels skaitlis $520$ norāda uz skaitļa izmaiņām pozitīvā virzienā. Vesela skaitļa $−50 $ negatīva vērtība norāda uz skaitļa izmaiņām negatīvā virzienā. Vesels skaitlis $0$ norāda, ka skaitlis ir nemainīgs.

Veseli skaitļi ir ērti lietojami, jo... nav vajadzīga skaidra norāde par skaitļa pieaugumu vai samazinājumu - vesela skaitļa zīme norāda izmaiņu virzienu, bet vērtība norāda kvantitatīvās izmaiņas.

Izmantojot veselus skaitļus, jūs varat izteikt ne tikai daudzuma izmaiņas, bet arī jebkura daudzuma izmaiņas.

Apskatīsim piemēru par produkta izmaksu izmaiņām.

2. piemērs

Vērtības pieaugums, piemēram, par $20$ rubļiem tiek izteikts, izmantojot pozitīvu veselu skaitli $20$. Cenu samazinājums, piemēram, par $5$ rubļiem tiek aprakstīts, izmantojot negatīvu veselu skaitli $−5$. Ja vērtībā nav izmaiņu, tad šādas izmaiņas nosaka, izmantojot veselu skaitli $0$.

Atsevišķi aplūkosim negatīvo veselo skaitļu nozīmi kā parāda summu.

3. piemērs

Piemēram, cilvēkam ir 5000 USD rubļu. Pēc tam, izmantojot pozitīvo veselo skaitli $5000$, varat parādīt viņam piederošo rubļu skaitu. Personai ir jāmaksā īre USD 7000 USD apmērā, bet viņam tādas naudas nav, tādā gadījumā šādu situāciju raksturo negatīvs vesels skaitlis USD–7 000 USD. Šajā gadījumā personai ir USD–7000 USD rubļi, kur “–” norāda parādu, bet skaitlis 7000 USD norāda parāda summu.

Algebriskās īpašības

Saites

Wikimedia fonds. 2010. gads.

• Skūpstās ar policistiem
• Veselas lietas

Skatiet, kas ir “veselie skaitļi” citās vārdnīcās:

Gausa veselie skaitļi- (Gausa skaitļi, veseli skaitļi kompleksie skaitļi) ir kompleksi skaitļi, kuros gan reālā, gan iedomātā daļa ir veseli skaitļi. Ieviesa Gauss 1825. gadā. Saturs 1 Definīcija un darbības 2 Dalāmības teorija ... Wikipedia

AIZPILDĪŠANAS NUMURI- kvantu mehānikā un kvantu statistikā skaitļi, kas norāda kvanta aizņemtības pakāpi. cilvēku kvantu mehāniskie stāvokļi. daudzu identisku daļiņu sistēmas. Sistēmām hc ar pusvesela skaitļa spin (fermions) h.z. var būt tikai divas nozīmes... Fiziskā enciklopēdija

Cukermana skaitļi- Cukermana skaitļi ir šādi veseli skaitļi, kas dalās ar to ciparu reizinājumu. 212. piemērs ir Cukermana numurs, kopš un. Secība Visi veseli skaitļi no 1 līdz 9 ir Cukermana skaitļi. Visi skaitļi, ieskaitot nulli, nav... ... Wikipedia

Algebriski veseli skaitļi- Algebriskie veselie skaitļi ir polinomu kompleksās (un jo īpaši reālās) saknes ar veselu skaitļu koeficientiem un ar vienu. Saistībā ar komplekso skaitļu saskaitīšanu un reizināšanu algebriski veseli skaitļi ... ... Wikipedia

Sarežģīti veseli skaitļi- Gausa skaitļi, skaitļi formā a + bi, kur a un b ir veseli skaitļi (piemēram, 4 7i). Ģeometriski attēlots ar kompleksās plaknes punktiem, kuriem ir veselas koordinātas. C.C.H. ieviesa K. Gauss 1831. gadā saistībā ar pētījumiem par teoriju... ...

Kalena skaitļi- Matemātikā Kalena skaitļi ir naturāli skaitļi formā n 2n + 1 (rakstīts Cn). Kalena skaitļus pirmo reizi pētīja Džeimss Kalens 1905. gadā. Kalena skaitļi ir īpašs veids Prota skaitļi. Īpašumi 1976. gadā Kristofers Hūlijs (Christopher... ... Wikipedia

Fiksētie punktu numuri- Fiksēta punkta numurs ir formāts reāla skaitļa attēlošanai datora atmiņā kā veselu skaitli. Šajā gadījumā pats skaitlis x un tā veselā skaitļa attēlojums x′ ir saistīti ar formulu, kur z ir zemākā cipara cena. Vienkāršākais aritmētikas piemērs ar... ... Wikipedia

Aizpildiet skaitļus- kvantu mehānikā un kvantu statistikā skaitļi, kas norāda kvantu stāvokļu piepildījuma pakāpi ar kvantu daļiņām mehāniskā sistēma daudzas identiskas daļiņas (skatīt identiskas daļiņas). Daļiņu sistēmai ar pusveselu skaitļu Spin... ... Lielā padomju enciklopēdija

Leyland numuri- Leilendas skaitlis ir naturāls skaitlis, kas attēlots kā xy + yx, kur x un y ir veseli skaitļi, kas lielāki par 1. Pirmie 15 Leilendas skaitļi ir: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 secība A076980 OEIS.... ... Wikipedia

Algebriski veseli skaitļi- skaitļi, kas ir vienādojumu saknes formā xn + a1xn ​​1 +... + an = 0, kur a1,..., an ir veseli skaitļi racionālie skaitļi. Piemēram, x1 = 2 + C. a. h., jo x12 4x1 + 1 = 0. Teorija C. a. h. radās 30 40 x gados. 19. gadsimts saistībā ar K. pētījumu... Lielā padomju enciklopēdija

Grāmatas

• Aritmētika: veseli skaitļi. Par skaitļu dalāmību. Daudzumu mērīšana. Metriskā mēru sistēma. Parasts, Kiseļevs, Andrejs Petrovičs. Piedāvājam lasītāju uzmanībai izcilā krievu skolotāja un matemātiķa A.P.Kiseļeva (1852-1940) grāmatu, kurā ietverts sistemātisks aritmētikas kurss. Grāmatā ir sešas sadaļas.…

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat gobbledygook, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss Priekš

Lai padarītu savu dzīvi DAUDZ vieglāku, kad kaut kas jāizrēķina, lai nopelnītu vērtīgo laiku vienotajā valsts eksāmenā vai vienotajā valsts eksāmenā, lai mazāk pieļautu stulbas kļūdas - lasiet šo sadaļu!

Lūk, ko jūs uzzināsiet:

• kā skaitīt ātrāk, vienkāršāk un precīzāk, izmantojotnumuru grupēšanasaskaitot un atņemot,
• kā ātri reizināt un dalīt bez kļūdām, izmantojot reizināšanas noteikumi un dalāmības zīmes,
• kā ievērojami paātrināt aprēķinus, izmantojot mazākais kopīgs daudzkārtnis(NOK) un lielākais kopīgais dalītājs(PIEKRIST).

Šajā sadaļā aprakstīto paņēmienu meistarība var novirzīt svaru kausu vienā vai otrā virzienā... neatkarīgi no tā, vai jūs iestāties savā sapņu universitātē vai nē, jums vai jūsu vecākiem būs jāmaksā daudz naudas par izglītību, vai arī jūs iestāties ar budžetu. .

Iesim tieši iekšā... (Ejam!)

P.S. PĒDĒJAIS VĒRTĪGAIS PADOMS...

ķekars veseli skaitļi sastāv no 3 daļām:

1. veseli skaitļi(mēs tos aplūkosim sīkāk);
2. skaitļi, kas ir pretēji naturālajiem skaitļiem(viss nostāsies savās vietās, tiklīdz uzzināsiet, kas ir naturālie skaitļi);
3. nulle - " " (Kur mēs būtu bez viņa?)

burts Z.

Veseli skaitļi

“Dievs radīja naturālus skaitļus, viss pārējais ir cilvēka roku darbs” (c) Vācu matemātiķis Kronekers.

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kurus izmantojam objektu skaitīšanai un uz to arī balstās to rašanās vēsture - nepieciešamība skaitīt bultas, ādas utt.

1, 2, 3, 4... n

burts N.

Attiecīgi šī definīcija neietver (vai nevar saskaitīt kaut ko, kas tur nav?) un, vēl jo vairāk, neietver negatīvas vērtības(vai ir ābols?).

Turklāt nav iekļauti visi daļskaitļi (mēs arī nevaram teikt "man ir klēpjdators" vai "es pārdevu automašīnas")

Jebkurš dabiskais skaitlis var uzrakstīt, izmantojot 10 ciparus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tātad 14 nav skaitlis. Šis ir numurs. No kādiem skaitļiem tas sastāv? Tieši tā, no cipariem un...

Papildinājums. Grupēšana, pievienojot, lai ātrāk saskaitītu un pieļautu mazāk kļūdu

Ko interesantu jūs varat teikt par šo procedūru? Protams, jūs tagad atbildēsit: "summas vērtība nemainās, pārkārtojot noteikumus." Šķiet, ka tas ir primitīvs noteikums, kas pazīstams no pirmās klases, tomēr, risinot lielus piemērus, tas uzreiz aizmirsts!

Neaizmirsti par viņu -izmantot grupēšanu, lai atvieglotu skaitīšanas procesu sev un samazinātu kļūdu iespējamību, jo jums nebūs Vienotā valsts pārbaudījuma kalkulatora.

Skatiet paši, kuru izteiksmi ir vieglāk salikt?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Protams, ka otrais! Lai gan rezultāts ir tāds pats. Bet! Ņemot vērā otro metodi, jums ir mazāk iespēju kļūdīties un jūs visu izdarīsit ātrāk!

Tātad savā galvā jūs domājat šādi:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Atņemšana. Grupēšana atņemot, lai ātrāk saskaitītu un pieļautu mazāk kļūdu

Atņemot, mēs varam arī grupēt skaitļus, kurus mēs atņemam, piemēram:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Ko darīt, ja piemērā atņemšana mijas ar saskaitīšanu? Varat arī grupēt, atbildēt, un tas ir pareizi. Vienkārši, lūdzu, neaizmirstiet par zīmēm pirms cipariem, piemēram: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Atcerieties: nepareizi novietotas zīmes novedīs pie kļūdaina rezultāta.

Reizināšana. Kā pavairot galvā

Acīmredzot, mainot faktoru vietas, arī preces vērtība nemainīsies:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Es jums neteikšu "izmantojiet to, risinot piemērus" (jūs pats sapratāt mājienu, vai ne?), bet gan es jums pateikšu, kā ātri reizināt dažus skaitļus savā galvā. Tāpēc uzmanīgi apskatiet tabulu:

Un vēl nedaudz par reizināšanu. Protams, jūs atceraties divus īpašiem gadījumiem...Vai varat uzminēt, ko es domāju? Lūk, par to:

Ak jā, paskatīsimies vēlreiz dalāmības pazīmes. Kopumā pēc dalāmības kritērijiem ir 7 noteikumi, no kuriem pirmos 3 tu jau zini!

Bet pārējo nemaz nav grūti atcerēties.

7 skaitļu dalāmības pazīmes, kas palīdzēs ātri saskaitīt galvā!

• Protams, jūs zināt pirmos trīs noteikumus.
• Ceturto un piekto ir viegli atcerēties - dalot ar un mēs skatāmies, vai ciparu summa, kas veido skaitli, dalās ar šo.
• Dalot ar, mēs skatāmies uz skaitļa pēdējos divus ciparus – vai skaitlis, ko tie padara, dalās ar?
• Dalot ar, skaitlim jābūt dalītam gan ar, gan ar. Tā ir visa gudrība.

Vai jūs tagad domājat: "kāpēc man tas viss ir vajadzīgs"?

Pirmkārt, notiek Vienotais valsts eksāmens bez kalkulatora un šie noteikumi palīdzēs orientēties piemēros.

Un, otrkārt, jūs esat dzirdējuši par problēmām GCD Un NOC? Vai šis akronīms ir pazīstams? Sāksim atcerēties un saprast.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) — nepieciešams, lai samazinātu daļskaitļus un veiktu ātrus aprēķinus

Pieņemsim, ka jums ir divi skaitļi: un. Par ko lielākais skaitlis Vai abi skaitļi dalās? Jūs atbildēsit bez vilcināšanās, jo zināt, ka:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Kādi ir izplatītākie skaitļi paplašināšanā? Tieši tā, 2 * 2 = 4. Tā bija jūsu atbilde. Paturot prātā šo vienkāršo piemēru, jūs neaizmirsīsit atrašanas algoritmu GCD. Mēģiniet to "uzbūvēt" savā galvā. Vai notika?

Lai atrastu GCD, jums ir nepieciešams:

1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros (tādos skaitļos, kurus nevar dalīt ne ar ko citu, izņemot sevi vai, piemēram, ar 3, 7, 11, 13 utt.).
2. Reiziniet tos.

Vai jūs saprotat, kāpēc mums bija vajadzīgas dalāmības zīmes? Lai paskatās uz skaitli un var sākt dalīt bez atlikuma.

Piemēram, atradīsim skaitļu 290 un 485 GCD

Pirmais numurs - .

Apskatot to, jūs varat uzreiz pateikt, ka tas dalās ar, pierakstīsim to:

To nav iespējams sadalīt kaut ko citu, bet jūs varat - un mēs iegūstam:

290 = 29 * 5 * 2

Ņemsim vēl vienu skaitli – 485.

Saskaņā ar dalāmības kritērijiem tam jābūt dalāmam ar bez atlikuma, jo tas beidzas ar. Dalīt:

Analizēsim sākotnējo numuru.

• To nevar dalīt ar (pēdējais cipars ir nepāra),
• - nedalās ar, kas nozīmē, ka skaitlis arī nedalās ar,
• ar un ar arī nav dalāms (skaitlī ietverto ciparu summa nedalās ar un ar)
• nav arī dalāms ar, jo tas nav dalāms ar un,
• nav arī dalāms ar, jo tas nav dalāms ar un.
• nevar pilnībā sadalīt

Tas nozīmē, ka skaitli var sadalīt tikai un.

Tagad atradīsim GCDšie skaitļi(-i). Kas tas par numuru? Pa labi, .

Praktizēsimies?

Uzdevums Nr.1. Atrodiet skaitļu 6240 un 6800 gcd

1) Es dalu ar uzreiz, jo abi skaitļi 100% dalās ar:

Uzdevums Nr.2. Atrodiet skaitļu 345 un 324 gcd

Es nevaru ātri atrast vienu šeit kopīgs dalītājs, tāpēc es to vienkārši iekļauju galvenajos faktoros (pēc iespējas mazākos):

Mazāk sastopamais daudzkārtnis (LCM) – ietaupa laiku, palīdz risināt problēmas nestandarta veidā

Pieņemsim, ka jums ir divi skaitļi - un. Kāds ir mazākais skaitlis, ar kuru var dalīt bez pēdām(tas ir, pilnībā)? Grūti iedomāties? Šeit ir vizuāls padoms jums:

Vai atceries, ko apzīmē burts? Tieši tā, vienkārši veseli skaitļi. Nu ko mazākais skaitlis der vietā x? :

Šajā gadījumā.

No šī vienkāršs piemērs Tam seko vairāki noteikumi.

Noteikumi ātrai NOC atrašanai

1. noteikums: ja viens no diviem naturāliem skaitļiem dalās ar citu skaitli, tad lielākais no diviem skaitļiem ir to mazākais kopīgais reizinājums.

Atrodiet šādus skaitļus:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Protams, jūs ar šo uzdevumu tikāt galā bez grūtībām un saņēmāt atbildes - , un.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka noteikumā mēs runājam par DIViem cipariem, ja ir vairāk skaitļu, tad noteikums nedarbojas.

Piemēram, LCM (7;14;21) nav vienāds ar 21, jo tas nav dalāms ar.

2. noteikums. Ja divi (vai vairāk nekā divi) skaitļi ir pirmskaitļi, tad mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar to reizinājumu.

Atrast NOCšādus skaitļus:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Vai skaitījāt? Šeit ir atbildes - , ; .

Kā jūs saprotat, ne vienmēr ir iespējams tik vienkārši uzņemt šo pašu x, tāpēc nedaudz sarežģītākiem skaitļiem ir šāds algoritms:

Praktizēsimies?

Atradīsim mazāko kopējo daudzkārtni - LCM (345; 234)

Atrodiet pats mazāko kopskaitu (LCM).

Kādas atbildes saņēmāt?

Lūk, ko es saņēmu:

Cik daudz laika pavadījāt, lai atrastu NOC? Mans laiks ir 2 minūtes, es tiešām zinu viens triks, kuru iesaku atvērt tūlīt!

Ja esat ļoti uzmanīgs, tad droši vien pamanījāt, ka mēs jau esam meklējuši norādītos numurus GCD un jūs varētu ņemt šo skaitļu faktorizāciju no šī piemēra, tādējādi vienkāršojot savu uzdevumu, bet tas vēl nav viss.

Paskaties uz bildi, varbūt tev radīsies kādas citas domas:

Nu? Es jums došu mājienu: mēģiniet reizināt NOC Un GCD savā starpā un pierakstiet visus faktorus, kas parādīsies reizinot. Vai jums izdevās? Jums vajadzētu iegūt šādu ķēdi:

Apskatiet to tuvāk: salīdziniet reizinātājus ar to, kā un ir izklāstīti.

Kādu secinājumu jūs varat izdarīt no tā? Pa labi! Ja mēs reizinām vērtības NOC Un GCD savā starpā, tad iegūstam šo skaitļu reizinājumu.

Attiecīgi, kam ir skaitļi un nozīme GCD(vai NOC), mēs varam atrast NOC(vai GCD) saskaņā ar šo shēmu:

1. Atrodiet skaitļu reizinājumu:

2. Sadaliet iegūto produktu ar mūsējo GCD (6240; 6800) = 80:

Tas ir viss.

Rakstīsim noteikumu vispārīgā formā:

Mēģini atrast GCD, ja ir zināms, ka:

Vai jums izdevās? .

Negatīvie skaitļi ir “viltus skaitļi”, un tos atpazīst cilvēce.

Kā jūs jau saprotat, tie ir skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem, tas ir:

Negatīvos skaitļus var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt – tāpat kā naturālajos skaitļos. Šķiet, kas tajās ir tik īpašs? Bet fakts ir tāds, ka negatīvie skaitļi “ieņēma” savu īsto vietu matemātikā līdz pat 19. gadsimtam (līdz tam brīdim bija milzīgs strīds par to, vai tie pastāv vai ne).

Pats negatīvais skaitlis radās tādas darbības dēļ ar naturāliem skaitļiem kā “atņemšana”. Patiešām, atņemiet no tā un iegūsit negatīvu skaitli. Tāpēc negatīvo skaitļu kopu bieži sauc par “kopas paplašinājumu naturālie skaitļi».

Negatīvos skaitļus cilvēki neatpazina ilgu laiku. Tātad, Senā Ēģipte, Babilona un Senā Grieķija- sava laika gaismekļi, neatzina negatīvus skaitļus, un gadījumā, ja vienādojumā tika iegūtas negatīvas saknes (piemēram, kā mūsējais), saknes tika noraidītas kā neiespējamas.

Negatīvie skaitļi vispirms ieguva tiesības pastāvēt Ķīnā, bet pēc tam 7. gadsimtā Indijā. Kāds, jūsuprāt, ir šīs atzinības iemesls? Tieši tā, negatīvie skaitļi sāka apzīmēt parādus (pretējā gadījumā deficītu). Tika uzskatīts, ka negatīvie skaitļi ir īslaicīga vērtība, kas rezultātā mainīsies uz pozitīvu (tas ir, nauda joprojām tiks atgriezta aizdevējam). Tomēr Indijas matemātiķis Brahmagupta jau uzskatīja negatīvus skaitļus vienādi ar pozitīvajiem.

Eiropā negatīvo skaitļu lietderība, kā arī tas, ka tie var apzīmēt parādus, tika atklāts daudz vēlāk, iespējams, tūkstošgadi. Pirmo reizi pieminēts 1202. gadā Pizas Leonarda “Abaku grāmatā” (uzreiz teikšu, ka grāmatas autoram nav nekāda sakara ar Pizas torni, bet Fibonači skaitļi ir viņa darbs (Pizas Leonardo segvārds ir Fibonači)). Turklāt eiropieši nonāca pie secinājuma, ka negatīvi skaitļi var nozīmēt ne tikai parādus, bet arī kaut kā trūkumu, lai gan ne visi to atzina.

Tātad 17. gadsimtā Paskāls tam ticēja. Kā jūs domājat, ka viņš to pamatoja? Tā ir taisnība, "nekas nevar būt mazāks par NEKO." Šo laiku atbalss joprojām ir fakts, ka negatīvs skaitlis un atņemšanas darbība tiek apzīmēti ar vienu un to pašu simbolu - mīnus “-”. Un patiesība:. Vai skaitlis “ ” ir pozitīvs, no kura atņemts, vai negatīvs, kas tiek summēts?... Kaut kas no sērijas “Kas vispirms: vista vai ola?” Tā ir tik savdabīga matemātiskā filozofija.

Negatīvie skaitļi nodrošināja savas tiesības pastāvēt ar analītiskās ģeometrijas parādīšanos, citiem vārdiem sakot, kad matemātiķi ieviesa tādu jēdzienu kā skaitļu ass.

No šī brīža nāca vienlīdzība. Tomēr jautājumu joprojām bija vairāk nekā atbilžu, piemēram:

proporcija

Šo proporciju sauc par "Arnaud paradoksu". Padomājiet par to, kas tajā ir šaubīgs?

Strīdēsimies kopā, "" ir vairāk nekā "" vai ne? Tātad, pēc loģikas, proporcijas kreisajai pusei jābūt lielākai par labo, bet tās ir vienādas... Tas ir paradokss.

Rezultātā matemātiķi piekrita, ka Karls Gauss (jā, jā, tas ir tas pats, kurš aprēķināja summu (vai) skaitļus) pielika tam punktu 1831. gadā - viņš teica, ka negatīviem skaitļiem ir tādas pašas tiesības kā pozitīvajiem. vienas, un tas, ka tie neattiecas uz visām lietām, neko nenozīmē, jo arī daļskaitļi neattiecas uz daudzām lietām (nav jau tā, ka racējs rok bedri, nevar nopirkt biļeti uz kino utt. .).

Matemātiķi nomierinājās tikai 19. gadsimtā, kad negatīvo skaitļu teoriju radīja Viljams Hamiltons un Hermanis Grasmans.

Tie ir tik strīdīgi, šie negatīvie skaitļi.

“Tukšuma” rašanās jeb nulles biogrāfija.

Matemātikā tas ir īpašs skaitlis. No pirmā acu uzmetiena tas nav nekas: pievienojiet vai atņemiet - nekas nemainīsies, bet jums tas vienkārši jāpievieno pa labi pie “ ”, un iegūtais skaitlis būs vairākas reizes lielāks nekā sākotnējais. Reizinot ar nulli mēs visu pārvēršam par neko, bet dalot ar “neko”, tas ir, nevaram. Vārdu sakot, maģiskais skaitlis)

Nulles vēsture ir gara un sarežģīta. Ķīniešu rakstos mūsu ēras 2. gadu tūkstotī tika atrasta nulles pēda. un pat agrāk starp maiju. Pirmo reizi nulles simbolu izmantoja grieķu astronomi, kā tas ir mūsdienās.

Ir daudz versiju, kāpēc izvēlēts šis apzīmējums “nekas”. Daži vēsturnieki sliecas uzskatīt, ka tas ir omikrons, t.i. Pirmais burts grieķu vārdam, kas apzīmē neko, ir ouden. Saskaņā ar citu versiju, vārds “obol” (monēta, kurai gandrīz nav vērtības) deva dzīvību nulles simbolam.

Nulle (vai nulle) kā matemātisks simbols pirmo reizi parādās indiešu vidū (ņemiet vērā, ka tur sāka “attīstīties” negatīvi skaitļi). Pirmie ticamie pierādījumi par nulles ierakstīšanu datēti ar 876. gadu, un tajos “ ” ir skaitļa sastāvdaļa.

Arī nulle Eiropā nonāca vēlu - tikai 1600. gadā, un tāpat kā negatīvie skaitļi saskārās ar pretestību (ko tu dari, tādi viņi ir, eiropieši).

"Zero bieži ir nīsts, ilgi baidījies vai pat aizliegts," raksta amerikāņu matemātiķis Čārlzs Safe. Tātad, Turcijas sultāns Abduls Hamids II 19. gadsimta beigās. lika saviem cenzoriem izdzēst ūdens H2O formulu no visām ķīmijas mācību grāmatām, burtu “O” uztverot kā nulli un nevēloties, lai viņa iniciāļus diskreditētu tuvums nicinātajai nullei.

Internetā var atrast frāzi: “Nulle ir visspēcīgākais spēks Visumā, viņš var visu! Nulle rada kārtību matemātikā un arī ievieš tajā haosu. Pilnīgi pareizs punkts :)

Sadaļas kopsavilkums un pamatformulas

Veselo skaitļu kopa sastāv no 3 daļām:

• naturālie skaitļi (mēs tos aplūkosim sīkāk);
• skaitļi, kas ir pretēji naturālajiem skaitļiem;
• nulle - " "

Veselo skaitļu kopa ir apzīmēta burts Z.

1. Naturālie skaitļi

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam objektu skaitīšanai.

Tiek apzīmēta naturālo skaitļu kopa burts N.

Darbībās ar veseliem skaitļiem jums būs nepieciešama iespēja atrast GCD un LCM.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD)

Lai atrastu GCD, jums ir nepieciešams:

1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros (tādos skaitļos, kurus nevar dalīt ne ar ko citu, izņemot sevi vai, piemēram, utt.).
2. Pierakstiet faktorus, kas ir daļa no abiem skaitļiem.
3. Reiziniet tos.

Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)

Lai atrastu NOC, jums ir nepieciešams:

1. Sadaliet skaitļus galvenajos faktoros (jūs jau zināt, kā to izdarīt ļoti labi).
2. Pierakstiet faktorus, kas iekļauti viena no skaitļiem (labāk ir ņemt garāko ķēdi).
3. Pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašinājumiem.
4. Atrodiet iegūto faktoru reizinājumu.

2. Negatīvie skaitļi

Tie ir skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem, tas ir:

Tagad es gribu tevi dzirdēt...

Ceru, ka novērtējāt īpaši noderīgos “trikus” šajā sadaļā un sapratāt, kā tie jums palīdzēs eksāmenā.

Un vēl svarīgāk – dzīvē. Es par to nerunāju, bet ticiet man, šī ir patiesība. Spēja ātri un bez kļūdām skaitīt glābj daudzās dzīves situācijās.

Tagad ir tava kārta!

Uzraksti, vai izmantosi aprēķinos grupēšanas metodes, dalāmības testus, GCD un LCM?

Varbūt esat tos izmantojis iepriekš? Kur un kā?

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Rakstiet komentāros, kā jums patīk raksts.

Un veiksmi eksāmenos!

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, uzņemšanai koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt pašlaik lasāmās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Vienkārši neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Ja mēs pievienojam skaitli 0 pa kreisi no naturālu skaitļu sērijas, mēs iegūstam pozitīvu veselu skaitļu virkne:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatīvi veseli skaitļi

Apskatīsim nelielu piemēru. Kreisajā attēlā redzams termometrs, kas rāda temperatūru 7°C. Ja temperatūra pazeminās par 4°, termometrs rādīs 3° siltumu. Temperatūras pazemināšanās atbilst atņemšanas darbībai:

Ja temperatūra pazeminās par 7°, termometrs rādīs 0°. Temperatūras pazemināšanās atbilst atņemšanas darbībai:

Ja temperatūra pazeminās par 8°, termometrs rādīs -1° (1° zem nulles). Bet rezultātu, atņemot 7 - 8, nevar uzrakstīt, izmantojot naturālus skaitļus un nulli.

Ilustrēsim atņemšanu, izmantojot virkni pozitīvu veselu skaitļu:

1) No skaitļa 7 saskaitiet 4 skaitļus pa kreisi un iegūstiet 3:

2) No skaitļa 7 saskaitiet 7 skaitļus pa kreisi un iegūstiet 0:

Pozitīvu veselu skaitļu virknē nav iespējams saskaitīt 8 skaitļus no skaitļa 7 pa kreisi. Lai 7.–8. darbība būtu iespējama, mēs paplašinām pozitīvo veselo skaitļu diapazonu. Lai to izdarītu, pa kreisi no nulles (no labās uz kreiso) secībā ierakstām visus naturālos skaitļus, katram pievienojot zīmi - , norādot, ka šis skaitlis atrodas pa kreisi no nulles.

Ieraksti -1, -2, -3, ... lasīt mīnus 1, mīnus 2, mīnus 3 utt.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Iegūto skaitļu sēriju sauc veselu skaitļu virkne. Punkti pa kreisi un pa labi šajā ierakstā nozīmē, ka sēriju var turpināt bezgalīgi pa labi un pa kreisi.

Pa labi no skaitļa 0 šajā rindā ir izsauktie skaitļi dabisks vai pozitīvi veseli skaitļi(īsi - pozitīvs).

Pa kreisi no skaitļa 0 šajā rindā ir izsauktie skaitļi vesels skaitlis negatīvs(īsi - negatīvs).

Skaitlis 0 ir vesels skaitlis, bet nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis. Tas atdala pozitīvos un negatīvos skaitļus.

Tāpēc veselu skaitļu virkne sastāv no negatīviem veseliem skaitļiem, nulles un pozitīviem veseliem skaitļiem.

Veselu skaitļu salīdzinājums

Salīdziniet divus veselus skaitļus- nozīmē noskaidrot, kurš no tiem ir lielāks, kurš mazāks, vai noteikt, ka skaitļi ir vienādi.

Jūs varat salīdzināt veselus skaitļus, izmantojot veselu skaitļu rindu, jo, pārvietojoties pa rindu no kreisās puses uz labo, skaitļi tajā tiek sakārtoti no mazākā līdz lielākajam. Tāpēc veselu skaitļu sērijās komatus var aizstāt ar zīmi mazāk nekā:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Tāpēc no diviem veseliem skaitļiem, jo ​​lielāks ir skaitlis, kas atrodas sērijas labajā pusē, un jo mazāks ir tas, kas atrodas pa kreisi, Nozīmē:

1) Jebkurš pozitīvs skaitlis lielāks par nulli un lielāks par jebkuru negatīvu skaitli:

1 > 0; 15 > -16

2) Jebkurš negatīvs skaitlis, kas mazāks par nulli:

7 < 0; -357 < 0

3) No diviem negatīviem skaitļiem tas, kas veselu skaitļu rindā atrodas pa labi, ir lielāks.