Dažu risinājumu risinājums matemātiskas problēmas ietver krustojuma un savienības atrašanu numuru komplekti. Tālāk esošajā rakstā mēs detalizēti apsvērsim šīs darbības, tostarp konkrētus piemērus. Iegūtā prasme būs pielietojama nevienādību ar vienu mainīgo un nevienādību sistēmu risināšanā.

Vienkāršākie gadījumi

Runājot par vienkāršākajiem gadījumiem aplūkojamajā tēmā, mēs domājam skaitļu kopu krustpunkta un savienības atrašanu, kas ir atsevišķu skaitļu kopa. Šādos gadījumos būs pietiekami izmantot kopu krustojuma un savienības definīciju.

1. definīcija

Divu komplektu savienība ir kopa, kurā katrs elements ir vienas no sākotnējās kopas elements.

Daudzu krustojums ir komplekts, kas sastāv no visa kopīgi elementi oriģinālie komplekti.

No šīm definīcijām loģiski izriet šādi noteikumi:

Lai izveidotu divu skaitlisko kopu savienību ar ierobežotu elementu skaitu, ir nepieciešams pierakstīt visus vienas kopas elementus un pievienot tiem trūkstošos elementus no otrās kopas;

Lai izveidotu divu skaitlisko kopu krustpunktu, ir nepieciešams pa vienam pārbaudīt pirmās kopas elementus, lai redzētu, vai tie pieder otrajai kopai. Tie, kas izrādīsies piederīgi abām kopām, veidos krustojumu.

Kopā, kas iegūta saskaņā ar pirmo noteikumu, tiks iekļauti visi elementi, kas pieder vismaz vienai no sākotnējām kopām, t.i. pēc definīcijas kļūs par šo kopu savienību.

Kopā, kas iegūta saskaņā ar otro noteikumu, tiks iekļauti visi oriģinālo komplektu kopējie elementi, t.i. kļūs par oriģinālo komplektu krustpunktu.

Apskatīsim iegūto noteikumu piemērošanu, izmantojot praktiskus piemērus.

1. piemērs

Sākotnējie dati: skaitļu kopas A = (3, 5, 7, 12) un B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Ir jāatrod oriģinālo kopu savienība un krustpunkts.

Risinājums

1. Definēsim sākotnējo kopu savienību. Pierakstīsim visus elementus, piemēram, kopai A: 3, 5, 7, 12. Pievienosim tiem trūkstošos kopas B elementus: 2, 8, 11 un 13. Galu galā mums ir skaitļu kopa: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Sakārtosim iegūtās kopas elementus un iegūsim vajadzīgo savienojumu: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. Definēsim sākotnējo kopu krustpunktu. Saskaņā ar likumu mēs pa vienam iziesim cauri visiem pirmās kopas A elementiem un pārbaudīsim, vai tie ir iekļauti kopā B. Apskatīsim pirmo elementu - skaitli 3: tas nepieder kopai B, kas nozīmē, ka tas nebūs vēlamā krustojuma elements. Pārbaudīsim kopas A otro elementu, t.i. numurs 5: tas pieder kopai B, kas nozīmē, ka tas kļūs par vēlamā krustojuma pirmo elementu. Trešais kopas A elements ir skaitlis 7. Tas nav kopas B elements un tāpēc nav krustojuma elements. Apsveriet kopas A pēdējo elementu: skaitli 1. Tas pieder arī kopai B un attiecīgi kļūs par vienu no krustojuma elementiem. Tādējādi sākotnējo kopu krustpunkts ir kopa, kas sastāv no diviem elementiem: 5 un 12, t.i. A ∩ B = (5, 12).

Atbilde: oriģinālo kopu savienojums – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); sākotnējo kopu krustpunkts - A ∩ B = (5, 12).

Viss iepriekš minētais attiecas uz darbu ar diviem komplektiem. Kas attiecas uz trīs vai vairāku kopu krustpunkta un savienojuma atrašanu, šīs problēmas risinājumu var reducēt uz divu kopu krustpunkta un savienības secīgu atrašanu. Piemēram, lai noteiktu trīs kopu A, B un C krustpunktu, vispirms ir iespējams noteikt A un B krustpunktu un pēc tam atrast iegūtā rezultāta krustpunktu ar kopu C. Izmantojot piemēru, tas izskatās šādi: ļaujiet skaitliskās kopas dot: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) un C = (7, 9) , 1, 3) . Pirmo divu kopu krustpunkts būs: A ∩ B = (9, 21), un iegūtās kopas krustpunkts ar kopu A ∩ B = (9, 21). Rezultātā: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Tomēr praksē, lai atrastu trīs vai vairāku vienkāršu skaitļu kopu savienību un krustpunktu, kas sastāv no ierobežota skaita atsevišķu skaitļu, ir ērtāk piemērot noteikumus, kas ir līdzīgi iepriekš norādītajiem.

Tas ir, lai atrastu trīs vai vairāk norādītā tipa kopu savienību, pirmās kopas elementiem jāpievieno trūkstošie otrās kopas elementi, pēc tam trešā utt. Skaidrības labad ņemsim skaitliskās kopas: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Cipars 3 no komplekta B tiks pievienots pirmās kopas A elementiem, bet pēc tam trūkstošie skaitļi 4 un 5 no komplekta C. Tādējādi sākotnējo kopu savienība: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Kas attiecas uz trīs vai vairāku skaitļu kopu, kas sastāv no ierobežota skaita atsevišķu skaitļu, krustpunkta atrašanas problēmu, ir nepieciešams pa vienam iziet cauri pirmās kopas skaitļiem un soli pa solim pārbaudīt, vai attiecīgais skaitlis pieder katram no atlikušajiem komplektiem. Skaidrības labad apsveriet skaitļu kopas:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Atradīsim sākotnējo kopu krustpunktu. Acīmredzot komplektā B ir vismazāk elementu, tāpēc mēs pārbaudīsim tos, lai noteiktu, vai tie ir iekļauti atlikušajās kopās. Kopas B numurs 1 ir citu kopu elements, un tāpēc tas ir vēlamā krustojuma pirmais elements. Kopas B otrais cipars — skaitlis 0 — nav kopas A elements, un tāpēc tas nekļūs par krustojuma elementu. Mēs turpinām pārbaudīt: kopas B numurs 2 ir citu kopu elements un kļūst par vēl vienu krustojuma daļu. Visbeidzot, kopas B pēdējais elements — skaitlis 12 — nav kopas D elements un nav krustojuma elements. Tādējādi iegūstam: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Koordinātu līnijas un skaitļu intervāli kā to daļu savienība

Atzīmēsim patvaļīgu punktu uz koordinātu līnijas, piemēram, ar koordinātām - 5, 4. Norādītais punkts sadalīs koordinātu līniju divos ciparu intervālos - divos atvērtos staros (-∞, -5,4) un (-5,4, +∞) un pašā punktā. Ir viegli redzēt, ka saskaņā ar kopu savienības definīciju jebkurš reāls skaitlis piederēs savienībai (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). Tie. visu reālo skaitļu kopu R = (- ∞ ; + ∞) var attēlot iepriekš iegūtās savienības formā. Un otrādi, iegūtā savienība būs visu reālo skaitļu kopa.

Ņemiet vērā, ka ir iespējams pievienot doto punktu jebkuram no atvērtajiem stariem, tad tas kļūs vienkārši ciparu stars(- ∞ , - 5 , 4 ] vai [ - 5 , 4 , + ∞) . Šajā gadījumā kopa R tiks aprakstīta ar šādām savienībām: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) vai (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Līdzīga argumentācija ir derīga ne tikai attiecībā uz punktu uz koordinātu līnijas, bet arī attiecībā uz punktu jebkurā skaitliskā intervālā. Tas ir, ja mēs ņemam jebkuru patvaļīga intervāla iekšējo punktu, to var attēlot kā tā daļu savienību, kas iegūta pēc dalīšanas dots punkts, un pats punkts. Piemēram, tiek dots šim skaitliskajam intervālam piederošs pusintervāls (7, 32] un punkts 13. Tad doto pusintervālu var attēlot kā savienojumu (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] un otrādi Mēs varam iekļaut skaitli 13 jebkurā no intervāliem, un tad doto kopu (7, 32 ] var attēlot kā (7, 13 ] ∪ (13, 32 ] vai (7, 13 ) ∪ 13). , 32 ] Var ņemt arī nevis dotā pusintervāla iekšējo punktu, bet tā beigas (punktu ar koordinātu 32), tad doto pusintervālu var attēlot kā intervāla (7, 32) savienojumu. un viena elementa kopa (32) Tādējādi: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Vēl viena iespēja: kad koordinātu taisnē vai skaitliskā intervālā tiek ņemts nevis viens, bet vairāki punkti. Šie punkti sadalīs koordinātu līniju vai skaitlisko intervālu vairākos ciparu intervālos, un šo intervālu savienība veidos sākotnējās kopas. Piemēram, punkti uz koordinātu līnijas tiek doti ar koordinātām - 6, 0, 8, kas to sadalīs intervālos: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞) . Šajā gadījumā visu reālo skaitļu kopu, kuras iemiesojums ir koordinātu līnija, var attēlot kā iegūto intervālu un norādīto skaitļu kombināciju:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Kopu krustpunkta un savienības atrašanas tēmu var skaidri saprast, ja izmantojat doto kopu attēlus uz koordinātu līnijas (ja vien mēs nerunājam par vienkāršākajiem gadījumiem, kas apspriesti pašā raksta sākumā).

Mēs aplūkosim vispārīgu pieeju, kas ļauj noteikt divu skaitļu kopu krustošanās un savienojuma rezultātu. Aprakstīsim pieeju algoritma veidā. Mēs apsvērsim tās darbības pakāpeniski, katru reizi minot nākamo konkrēta piemēra risināšanas posmu.

2. piemērs

Sākotnējie dati: dotās skaitliskās kopas A = (7, + ∞) un B = [ - 3, + ∞). Ir jāatrod šo kopu krustpunkts un savienība.

Risinājums

1. Dotās skaitliskās kopas attēlosim uz koordinātu līnijām. Tie ir jānovieto viens virs otra. Ērtības labad ir vispārpieņemts, ka doto kopu sākuma punkti sakrīt, un punktu atrašanās vieta attiecībā pret otru paliek saglabāta: atrodas jebkurš punkts ar lielāku koordinātu. pa labi no punkta ar mazāku koordinātu. Turklāt, ja mūs interesē kopu savienība, tad koordinātu līnijas kreisajā pusē apvieno kopas kvadrātiekava; ja interesē krustojums, tad izmantojiet sistēmas cirtaino kronšteinu.

Mūsu piemērā, lai uzrakstītu ciparu kopu krustpunktu un savienību, mums ir: un

Nozīmēsim vēl vienu koordinātu līniju, novietojot to zem esošajām. Tas būs nepieciešams, lai parādītu vēlamo krustojumu vai savienību. Uz šīs koordinātu līnijas ir atzīmēti visi sākotnējo skaitļu kopu robežpunkti: vispirms ar domuzīmēm, bet vēlāk, pēc punktu būtības noskaidrošanas ar šīm koordinātām, domuzīmes tiks aizstātas ar caurdurtiem vai nepārdurtiem punktiem. Mūsu piemērā tie ir punkti ar koordinātām - 3 un 7.

Un

Punkti, kas ir attēloti uz apakšējās koordinātu līnijas algoritma iepriekšējā solī, ļauj uzskatīt koordinātu līniju par skaitlisku intervālu un punktu kopu (par to mēs runājām iepriekš). Mūsu piemērā mēs attēlojam koordinātu līniju kā piecu ciparu kopu kopu: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Tagad jums ir jāpārbauda pa vienam, vai katra no rakstītajām kopām pieder vēlamajam krustojumam vai savienībai. Iegūtie secinājumi tiek atzīmēti pa posmiem apakšējā koordinātu līnijā: kad sprauga ir krustojuma vai savienojuma daļa, virs tās tiek uzvilkta lūka. Kad punkts ieiet krustojumā vai savienojumā, gājiens tiek aizstāts ar cieto punktu; ja punkts nav krustojuma vai savienojuma daļa, tas ir caurdurts. Veicot šīs darbības, jums jāievēro šādi noteikumi:

Atstarpe kļūst par daļu no krustojuma, ja tā vienlaikus ir daļa no kopas A un kopas B (vai citiem vārdiem sakot, ja virs šīs spraugas ir ēnojums abās koordinātu līnijās, kas attēlo kopas A un B);

Punkts kļūst par daļu no krustojuma, ja tas vienlaikus ir daļa no katras kopas A un B (citiem vārdiem sakot, ja punkts ir necaurdurts vai iekšējais punkts jebkurā abu skaitlisko kopu A un B intervālā);

Atstarpe kļūst par savienojuma daļu, ja tā ir daļa no vismaz vienas kopas A vai B (citiem vārdiem sakot, ja pār šo atstarpi ir ēnojums vismaz vienā no koordinātu līnijām, kas attēlo kopas A un B.

Punkts kļūst par savienības daļu, ja tas ir daļa no vismaz vienas kopas A un B (citiem vārdiem sakot, punkts ir necaurdurts vai iekšējais punkts jebkurā intervālā no vismaz vienas kopas A un B) .

Īsi apkopojot: skaitļu kopu A un B krustpunkts ir visu kopu A un B ciparu intervālu krustpunkts, pār kuriem vienlaikus ir ēnojums, un visu atsevišķo punktu, kas pieder gan kopai A, gan kopai B. Skaitlisko kopu A savienība. un B ir visu skaitlisko intervālu savienība, pār kuriem vismaz vienai no kopām A vai B ir ēnojums, kā arī visi nepārpunktētie atsevišķie punkti.

1. Atgriezīsimies pie piemēra un definēsim doto kopu krustpunktu. Lai to izdarītu, pārbaudīsim kopas pa vienai: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Sāksim ar komplektu (- ∞, - 3), skaidri izceļot to zīmējumā:

Šī atstarpe netiks iekļauta krustojumā, jo tā neietilpst ne komplektā A, ne komplektā B (bez ēnojuma). Tātad mūsu zīmējums saglabā savu sākotnējo izskatu:

Apsveriet šādu kopu (-3). Skaitlis 3 ir daļa no kopas B (nav pārdurts punkts), bet nav daļa no kopas A, un tāpēc tas nekļūs par daļu no vēlamā krustojuma. Attiecīgi apakšējā koordinātu līnijā mēs izveidojam punktu ar koordinātu - 3:

Mēs novērtējam šādu komplektu (- 3, 7).

Tā ir daļa no kopas B (ir ēnojums virs intervāla), bet nav iekļauts komplektā A (nav ēnojuma virs intervāla): tas netiks iekļauts vēlamajā krustojumā, kas nozīmē, ka tajā neparādās jaunas atzīmes. apakšējā koordinātu līnija:

Nākamais pārbaudāmais komplekts ir (7). Tā ir daļa no kopas B (punkts ar koordinātu 7 ir intervāla [ - 3, + ∞) iekšējais punkts), bet nav daļa no kopas A (punktētais punkts), tādējādi attiecīgais intervāls nebūs kļūt par daļu no vēlamā krustojuma Ļaujiet mums atzīmēt punktu ar koordinātu 7 kā izspiestu:

Un visbeidzot mēs pārbaudām atlikušo atstarpi (7, + ∞).

Atstarpe ir iekļauta abās kopās A un B (virs spraugas ir izšķilšanās), tāpēc tā kļūst par krustojuma daļu. Mēs ēnojam vietu virs aplūkotās spraugas:

Galu galā uz apakšējās koordinātu līnijas tika izveidots doto kopu vēlamā krustojuma attēls. Acīmredzot tā ir visu reālo skaitļu kopa vairāk numuru 7, t.i.: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Nākamais solis Definēsim doto kopu A un B savienību. Secīgi pārbaudīsim kopas (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), konstatējot to iekļaušanas vai neiekļaušanas faktu vēlamajā savienība.

Pirmā kopa (- ∞, - 3) neietilpst nevienā no oriģinālajām kopām A un B (virs intervāliem nav ēnojumu), tāpēc kopa (- ∞, - 3) netiks iekļauta vēlamajā. savienība:

Komplekts (-3) ir iekļauts komplektā B, kas nozīmē, ka tas tiks iekļauts vēlamajā komplektu A un B savienojumā:

Komplekts (- 3 , 7) ir neatņemama sastāvdaļa kopa B (izvēlējums ir virs intervāla) un kļūst par kopu A un B savienības elementu:

Komplekts 7 ir iekļauts skaitļu komplektā B, tāpēc tas tiks iekļauts arī vēlamajā savienībā:

Kopa (7, + ∞), kas vienlaikus ir abu kopu A un B elements, kļūst par citu vēlamās savienības daļu:

Pamatojoties uz sākotnējo kopu A un B savienojuma galīgo attēlu, iegūstam: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Ņemot zināmu praktisku pieredzi krustojumu un kopu savienojumu atrašanas noteikumu piemērošanā, aprakstītās pārbaudes ir viegli veikt mutiski, kas ļauj ātri pierakstīt gala rezultātu. Parādīsim ar praktisku piemēru, kā izskatās tā risinājums bez detalizētiem paskaidrojumiem.

3. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) un B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2, 3) ​∪ (17). Nepieciešams noteikt doto kopu krustpunktu un savienojumu.

Risinājums

Atzīmēsim dotās skaitļu kopas uz koordinātu taisnēm, lai varētu iegūt vajadzīgā krustojuma un savienojuma ilustrāciju:

Atbilde: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10 ) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ).

Ir arī skaidrs, ka, pietiekami izprotot procesu, norādīto algoritmu var optimizēt. Piemēram, krustpunkta atrašanas procesā nav jātērē laiks, pārbaudot visus intervālus un kopas, kas attēlo atsevišķus skaitļus, aprobežojoties ar to intervālu un skaitļu ievērošanu, kas veido kopu A vai B. Citi intervāli nekādā gadījumā netiks iekļauts krustojumā, t.i., uz. nav daļa no oriģinālajiem komplektiem. Ilustrēsim teikto, izmantojot praktisku piemēru.

4. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] un B = [ - 4 , 3 ] .

Ir nepieciešams noteikt sākotnējo kopu krustpunktu.

Risinājums

Attēlosim skaitliskās kopas A un B ģeometriski:

Sākotnējo kopu robežpunkti sadalīs skaitļu līniju vairākās kopās:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Ir viegli saprast, ka skaitļu kopu A var uzrakstīt, apvienojot dažas no uzskaitītajām kopām, proti: ( - 2), (1, 3), (3) un (3, 5). Pietiks pārbaudīt šo kopu iekļaušanu arī komplektā B, lai atrastu vēlamo krustojumu. Tie, kas tiks iekļauti kopā B un kļūs par krustojuma elementiem. Pārbaudīsim.

Ir pilnīgi skaidrs, ka ( - 2) ir daļa no kopas B, jo punkts ar koordinātu - 2 ir nogriežņa [ - 4, 3) iekšējais punkts. Intervāls (1, 3) un kopa (3) ir iekļauti arī kopā B (virs intervāla ir ēnojums, un punkts ar koordinātu 3 ir robeža un nav caurdurts kopai B). Kopa (3, 5) nebūs krustojuma elements, jo nav iekļauts komplektā B (virs tā nav ēnojuma). Atzīmēsim visu iepriekš minēto zīmējumā:

Rezultātā vēlamais divu doto kopu krustpunkts būs kopu savienība, ko rakstīsim šādi: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] ).

Atbilde: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Raksta beigās mēs arī apspriedīsim, kā atrisināt vairāku kopu (vairāk nekā 2) krustojuma un savienojuma atrašanas problēmu. Samazināsim to, kā ieteikts iepriekš, līdz vajadzībai noteikt pirmo divu kopu krustpunktu un savienojumu, pēc tam iegūto rezultātu ar trešo kopu un tā tālāk. Vai arī varat izmantot iepriekš aprakstīto algoritmu ar vienīgo atšķirību, ka intervālu un kopu, kas attēlo atsevišķus skaitļus, rašanās pārbaude jāveic nevis diviem, bet gan visām dotajām kopām. Apskatīsim piemēru.

5. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Nepieciešams noteikt doto kopu krustpunktu un savienojumu.

Risinājums

Dotās skaitļu kopas attēlojam uz koordinātu līnijām un to kreisajā pusē ievietojam cirtainu iekava, kas apzīmē krustojumu, kā arī kvadrātiekava, kas apzīmē savienojumu. Zemāk tiek parādītas koordinātu līnijas ar skaitļu kopu robežpunktiem, kas atzīmēti ar svītrām:

Tādējādi koordinātu līniju attēlo šādas kopas: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40) ), ( 40 ), (40 , + ∞) .

Sākam meklēt krustojumus, pārmaiņus pārbaudot rakstītās kopas, vai tās pieder katrai no sākotnējām. Visas trīs dotās kopas ietver intervālu (- 3, 12) un kopu (- 12): tie kļūs par vēlamā krustojuma elementiem. Tādējādi iegūstam: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Doto kopu savienība veidos šādas kopas: (- ∞ , - 3) - kopas A elements; ( - 3 ) – kopas A elements; (- 3, 12) – kopas A elements; ( 12 ) – kopas A elements; (12, 25) – kopas B elements; (25) ir kopas B elements un (40) ir kopas D elements. Tādējādi iegūstam: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Atbilde: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ).

Ņemiet vērā arī to, ka vēlamais skaitļu kopu krustpunkts bieži ir tukšā kopa. Tas notiek gadījumos, kad dotajās kopās nav iekļauti elementi, kas vienlaikus pieder pie visām.

6. piemērs

Sākotnējie dati: A = [ - 7 , 7 ] ; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ); D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞); E = (0, 27) . Nosakiet doto kopu krustpunktu.

Risinājums

Oriģinālās kopas attēlosim uz koordinātu līnijām un šo kopu robežpunktus uz papildu taisnes ar triepieniem.

Atzīmētie punkti sadalīs skaitļu līniju kopās: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , (-7) , (-7, 0), (0) , (0, 5), (5) , (5, 7), (7) , (7, 10), (10), (10, 27), (27), (27, + ∞) .

Neviena no tām vienlaikus nav visu sākotnējo kopu elements, tāpēc doto kopu krustpunkts ir tukšā kopa.

Atbilde: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Kopas ir ērti attēlot apļu formā, ko sauc par Eilera apļiem.

Attēlā kopu X un Y krustpunktu kopa ir iekrāsota oranžā krāsā.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Darbība ar kopām ir noteikums, kā rezultātā no dotajām kopām tiek unikāli iegūta jauna kopa.

Apzīmēsim patvaļīgu darbību ar *. Komplekts iegūts no dotajiem komplektiem A un B, rakstīts formā A*B. Iegūto kopu un pašu darbību parasti sauc par vienu terminu.

komentēt. Ciparu pamatoperācijām tiek izmantoti divi termini: viens apzīmē pašu darbību kā darbību, otrs apzīmē skaitli, kas iegūts pēc darbības veikšanas. Piemēram, darbību, kas apzīmēta ar +, sauc par saskaitīšanu, bet saskaitīšanas rezultātā iegūto skaitli sauc par skaitļu summu. Līdzīgi, reizināšanas darbības zīme un rezultāts a b - skaitļu reizinājums a un b. Tomēr retāk šī atšķirība netiek ņemta vērā, un viņi saka "Apsveriet skaitļu summu", kas nozīmē nevis konkrētu rezultātu, bet gan pašu darbību.

Krustojuma darbība.Kopu A un B krustpunkts AglV, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder abām kopām A Un IN vienlaikus.

Citiem vārdiem sakot, AsV - ir kopums visu.g tāds, ka heA Un heV:

Apvienošanas darbība.A un B kopu savienība sauc par kopu, ko apzīmē ar A" un B, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai kopai A vai IN.

Savienojuma darbība dažreiz tiek apzīmēta ar + zīmi, un to sauc par komplekta pievienošanu.

Atšķirības operācijas.Atšķirība starp komplektiem A un B sauc par kopu, ko apzīmē ar AB, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs atrodas A, bet nemelo IN.

Izteiksme ApV lasīt "A krustojumā ar IN», AkjB- “Un kopā ar B", AB - "A bez IN".

Piemērs 7.1.1.Ļaujiet A = {1, 3,4, 5, 8,9}, IN = {2,4, 6, 8}.

Tad AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YAL = (2,6).”

Pamatojoties uz šīm operācijām, var identificēt vēl divas svarīgas operācijas.

Papildināšanas darbība.Ļaujiet AQS. Tad atšķirība S.A. sauca komplekta A pievienošana S un ir norādīts A s .

Lai jebkura apskatāmā kopa būtu kādas kopas apakškopa U. Papildinājums šādai fiksētai (konkrētas problēmas risināšanas kontekstā) kopai U vienkārši nozīmē A. Tiek izmantots arī apzīmējums SA, Ar A, A."

Piemērs 7.1.2. Kopas (1, 3,4, 5, 8, 9) papildinājums visu decimālo ciparu kopai ir (0, 2, 6, 7).

Kopas Q papildināšana kopai R ir komplekts pa 1.

Kvadrātu kopas papildinājums taisnstūru kopai ir visu taisnstūru kopa ar nevienādām blakus malām.

Mēs redzam, ka kopu savienošanas, krustojuma un papildinājuma darbības atbilst disjunkcijas, konjunkcijas un noliegšanas loģiskajām operācijām.

Simetriskas atšķirības darbība.Kopu A un B simetriskā atšķirība sauc par kopu, ko apzīmē ar A®B, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder tieši vienai no kopām A un B:

Ir viegli redzēt, ka simetriskā atšķirība ir divu kopu savienība AB Un VA. To pašu komplektu var iegūt, ja vispirms apvienosim komplektus A Un IN, un pēc tam noņemiet kopējos elementus no kopas.

Piemērs 7.1.3. Ļaujiet dot reālus skaitļus a Tad attiecīgajiem skaitliskiem intervāliem mums ir:

Ņemiet vērā, ka kopš segmenta [A; b] satur skaitli c> un intervāls (c;d) punktu Ar nesatur th numuru Ar slēpjas atšķirībā [A; b] bez [ar; sk. Bet atšķirība, piemēram, (2;5), nesatur skaitli 3, jo tā atrodas segmentā. Mums ir (2;5)=(2;3).

Dotas nesavienotas kopas A Un IN. Tā kā n ir krustojuma darbības zīme, tad ieraksts A(bb nepareizi. Ir arī nepareizi teikt, ka kopām nav krustojuma. Jebkurām kopām vienmēr ir krustojums. Tas, ka kopas nekrustojas, nozīmē, ka to krustpunkts ir tukšs (tas ir, veicot norādīto darbību, iegūstam tukšu kopu). Ja kopas krustojas, tad to krustpunkts nav tukšs. Mēs secinām:

Vispārināsim krustojuma savienojuma darbības uz gadījumu, kad ir vairāk nekā divas kopas.

Lai sistēma ir dota UZ komplekti. Dotās sistēmas kopu krustpunkts ir visu elementu kopa, no kuriem katrs atrodas visās to kopās. UZ.

Dotās sistēmas kopu savienība ir visu elementu kopa, no kuriem katrs atrodas vismaz vienā no tiem UZ.

Ļaujiet sistēmas komplektiem UZ numurētas pēc kādas indeksu saimes elementiem /. Tad jebkurš komplekts UZ var norādīt A,-, Kur iel. Ja kopa ir ierobežota, tad pirmo naturālo skaitļu kopa (1,2,...,u) tiek izmantota kā /. Kopumā / var būt bezgalīgs.

Tad vispārējā gadījumā kopu savienība A visiem iel apzīmē (J A( , un krustojums - f]A i .

Ļaujiet kopumam UZ tad galīgi K=Šajā gadījumā

rakstīt AyjA 2 v...KjA„ Un AG4 2 (^---G4p-

Piemērs 7.1.4. Apskatīsim skaitļu līnijas А| intervālus = [-oo; 2], L2 = H°; 3], L 3 = u

Abas telpas ir ierāmētas ar kvadrātiekavām, kas nozīmē, ka to robežas pieder tām.

Skaidrības labad mēs uzskaitām visus veselos skaitļus, kas pieder intervāliem [−2; 3] un:

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

Redzams, ka skaitliskie intervāli [−2; 3] un nav kopējie skaitļi. Tāpēc to krustpunkts būs tukšā kopa:

[−2; 3] ∩ = Ø

Ja attēlojam skaitliskos intervālus [−2; 3] un uz koordinātu līnijas var redzēt, ka tie nekur nekrustojas:

7. piemērs. Dota viena elementa kopa (2). Atrodiet tā krustpunktu ar intervālu (-3; 4)

Kopa, kas sastāv no viena elementa (2), ir attēlota uz koordinātu līnijas kā aizpildīts aplis, un skaitliskais intervāls (-3; 4) ir intervāls, kura robežas tam nepieder. Tas nozīmē, ka robežas −3 un 4 tiks attēlotas kā tukši apļi:

Kopas (2) un skaitliskā intervāla (-3; 4) krustpunkts būs kopa, kas sastāv no viena elementa (2), jo elements 2 pieder gan kopai (2), gan skaitliskajam intervālam (-3; 4). )

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

Faktiski, risinot sistēmas, mēs jau esam pievērsušies skaitlisko intervālu krustojumam lineārās nevienādības. Atcerieties, kā mēs tos atrisinājām. Pirmkārt, mēs atradām daudzus risinājumus pirmajai nevienlīdzībai, pēc tam daudzus risinājumus otrajai. Tad mēs atradām daudzus risinājumus, kas apmierina abas nevienlīdzības.

Būtībā risinājumu kopa, kas apmierina abas nevienādības, ir pirmās un otrās nevienādības risinājumu kopu krustpunkts. Šo kopu lomu uzņemas skaitliskie intervāli.

Piemēram, lai atrisinātu nevienādību sistēmu, vispirms jāatrod katras nevienlīdzības atrisinājumu kopas, pēc tam jāatrod šo kopu krustpunkts.

IN šajā piemērā pirmās nevienlīdzības atrisināšana x≥ 3 ir visu skaitļu kopa, kas ir lielāki par 3 (ieskaitot pašu skaitli 3). Citiem vārdiem sakot, nevienlīdzības risinājums ir skaitliskais intervāls

A vispārējs lēmums sistēma būs pirmās un otrās nevienādības risinājumu kopu krustpunkts, tas ir, skaitlisko intervālu krustpunkts

Ja sistēmas atrisinājumu kopu attēlosim uz koordinātu taisnes, redzēsim, ka šie atrisinājumi pieder pie intervāla, kas savukārt ir intervālu krustpunkts

Tāpēc kā atbildi mēs norādījām, ka mainīgā vērtības x pieder skaitliskajam intervālam, tas ir, pirmās un otrās nevienādības risinājumu kopu krustpunktam

x ∈

2. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

Visas sistēmā ietvertās nevienlīdzības jau ir atrisinātas. Ir tikai jānorāda tie risinājumi, kas ir kopīgi visām nevienlīdzībām.

Pirmās nevienādības risinājums ir skaitliskais intervāls (−∞; −1) .

Otrās nevienādības risinājums ir skaitliskais intervāls (−∞; −5) .

Trešās nevienādības risinājums ir skaitliskais intervāls (−∞; 4) .

Sistēmas risinājums būs skaitlisko intervālu krustpunkts (−∞; −1), (−∞; −5) un (−∞; 4). Šajā gadījumā šis krustpunkts ir intervāls (−∞; −5) .

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

Attēlā parādīti skaitliskie intervāli un nevienādības, ar kurām šie skaitliskie intervāli tiek definēti. Redzams, ka intervālam (−∞; −5) piederošie skaitļi vienlaikus pieder pie visiem sākotnējiem intervāliem.

Ierakstīsim atbildi sistēmai, izmantojot skaitlisko intervālu:

x ∈ (−∞; −5)

3. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

Pirmās nevienlīdzības atrisināšana y> 7 ir skaitliskais intervāls (7; +∞) .

Otrās nevienlīdzības atrisināšana y< 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

Sistēmas risinājums būs skaitlisko intervālu (7; +∞) un (−∞; 4) krustpunkts.

Šajā gadījumā skaitlisko intervālu (7; +∞) un (−∞; 4) krustpunkts ir tukša kopa, jo šiem skaitliskiem intervāliem nav kopīgu elementu:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Ja uz koordinātu līnijas attēlojat skaitliskos intervālus (7; +∞) un (−∞; 4), jūs varat redzēt, ka tie nekur nekrustojas:

Komplektu savienība

Divu (vai vairāku) oriģinālo komplektu apvienojums ir komplekts, kas sastāv no elementiem, kas pieder vismaz vienai no oriģinālajām kopām.

Praksē kopu savienība sastāv no visiem elementiem, kas pieder sākotnējām kopām. Tāpēc viņi saka, ka šādas komplekta elementi pieder vismaz vienam no oriģinālajiem komplektiem.

Apsveriet komplektu A ar elementiem 1, 2, 3 un komplektu B ar elementiem 4, 5, 6.

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

Definēsim jaunu kopu C A un visi komplekta elementi B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Šajā gadījumā apvienošana komplekti A Un B ir komplekts C un tiek apzīmēts šādi:

A∪B=C

Simbols ∪ nozīmē savienību un aizstāj savienojumu VAI. Tad izteiksme A∪B=C var lasīt šādi:

Elementi, kas pieder A kopai VAI kopa B, ir elementi, kas pieder kopai C.

Apvienības definīcija nosaka, ka šādas kopas elementi pieder vismaz vienai no sākotnējām kopām. Šī frāze var uztvert burtiski.

Atgriezīsimies pie mūsu izveidotās kopas C, kas ietver visus komplektu elementus A Un B. Kā piemēru ņemsim elementu 5 no šīs kopas. Ko jūs varat teikt par to?

Ja 5 ir kopas elements C, un komplekts AR ir kopu savienība A Un B, tad varam droši apgalvot, ka 5. elements pieder vismaz vienai no kopām A Un B. Kā tas ir:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5 , 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

Ņemsim vēl vienu elementu no komplekta AR, piemēram, elements 2. Ko jūs varat teikt par to?

Ja 2 ir kopas elements C, un komplekts AR ir kopu savienība A Un B, tad varam droši apgalvot, ka 2. elements pieder vismaz vienai no kopām A Un B. Kā tas ir:

A = {1, 2 , 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

Ja mēs vēlamies apvienot divas vai vairākas kopas un pēkšņi atklāt, ka katrai no šīm kopām pieder viens vai vairāki elementi, tad atkārtotie elementi apvienojumā tiks iekļauti tikai vienu reizi.

Piemēram, apsveriet komplektu A ar elementiem 1, 2, 3, 4 un komplektu B ar elementiem 2, 4, 5, 6.

A = {1, 2 , 3, 4 }

B = {2 , 4 , 5, 6}

Mēs redzam, ka elementi 2 un 4 vienlaikus pieder kopai A, un daudzi B. Ja gribam apvienot komplektus A Un B, tad jaunais komplekts C elementi 2 un 4 būs ietverti tikai vienu reizi. Tas izskatīsies šādi:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Lai izvairītos no kļūdām apvienojot, viņi parasti dara šādi: vispirms pievieno visus pirmās kopas elementus jaunajai kopai, pēc tam pievieno otrās kopas elementus, kas nepieder pirmajai kopai. Mēģināsim izveidot šādu savienību ar komplektiem A Un B .

Tātad, mums ir šādas sākotnējās kopas:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Definēsim jaunu kopu AR un pievienojiet tai visus komplekta elementus A

C = { 1, 2, 3, 4,

Tagad pievienosim elementus no komplekta B, kas neietilpst komplektā A. Daudziem A elementi 5 un 6 nepieder. Pievienosim tos sarakstam C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. piemērs. Džona draugi ir Toms, Freds, Makss un Džordžs. Un Maikla draugi ir Leo, Toms, Freds un Evans. Atrodiet Džona un Maikla draugu kopu savienību.

Vispirms definēsim divas kopas: Jāņa draugu kopu un Maikla draugu kopu.

Definēsim jaunu kopu ar nosaukumu "Visi Džona un Maikla draugi" un pievienojiet tai visus Džona un Maikla draugus.

Ņemiet vērā, ka Toms un Freds abi ir Džona un Maikla draugi, tāpēc viņus jaunajam komplektam pievienosim tikai vienu reizi, jo uzreiz nevar būt divi Tomi un divi Fredi.

Šajā gadījumā visu Džona un Maikla draugu kopums ir Jāņa un Maikla draugu kopu savienība.

Jāņa draugi ∪ Maikla draugi = Visi Jāņa un Maikla draugi

3. piemērs. Doti divi skaitliski intervāli: [−7; 0] un [−3; 5] . Atrodi viņu savienību.

Abas telpas ir ierāmētas ar kvadrātiekavām, kas nozīmē, ka to robežas pieder tām.

Skaidrības labad mēs uzskaitām visus veselos skaitļus, kas pieder šiem intervāliem:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Kombinējot skaitliskos intervālus [−7; 0] un [−3; 5] būs skaitliskais intervāls [−7; 5] , kurā ir visi skaitļi intervālā [−7; 0] un [−3; 5], neatkārtojot dažus skaitļus

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitļi −3, −2, −1 piederēja gan pirmajam, gan otrajam intervālam. Bet, tā kā šādus elementus savienībā var iekļaut tikai vienu reizi, mēs tos iekļāvām vienreiz.

Tas nozīmē, ka, apvienojot skaitliskos intervālus [−7; 0] un [−3; 5] būs skaitliskais intervāls [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

Atveidosim intervālus [−7; 0] un [−3; 5] . Augšējā apgabalā atzīmējam skaitlisko intervālu [−7; 0], apakšā - intervāls [−3; 5]

Iepriekš mēs noskaidrojām, ka intervāls [−7; 5] ir intervālu savienība [−7; 0] un [−3; 5] . Šeit ir lietderīgi atgādināt kopu savienības definīciju, kas tika dota pašā sākumā. Savienība tiek interpretēta kā kopa, kas sastāv no visiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no sākotnējām kopām.

Patiešām, ja ņemam jebkuru skaitli no intervāla [−7; 5], tad izrādās, ka tas pieder vismaz vienam no intervāliem: vai nu intervāls [−7; 0] vai intervāls [−3; 5] .

Ņemsim no intervāla [−7; 5] jebkurš skaitlis, piemēram, skaitlis 2. Kopš intervāla [−7; 5] ir intervālu savienība [−7; 0] un [−3; 5], tad skaitlis 2 piederēs vismaz vienam no šiem intervāliem. Šajā gadījumā skaitlis 2 pieder intervālam [−3; 5]

Paņemsim citu numuru. Piemēram, skaitlis -4. Šis skaitlis piederēs vismaz vienam no intervāliem: [−7; 0] vai [−3; 5] . Šajā gadījumā tas pieder intervālam [−7; 0]

Paņemsim citu numuru. Piemēram, skaitlis -2. Tas pieder gan intervālam [−7; 0] un intervāls [−3; 5] . Bet uz koordinātu līnijas tas tiek norādīts tikai vienu reizi, jo vienā punktā nav divu skaitļu −2.

Ne katra skaitļu intervālu savienība ir skaitļu intervāls. Piemēram, mēģināsim atrast skaitlisko intervālu savienību [−2; −1] un .

Ideja paliek nemainīga - skaitlisko intervālu savienība [−2;−1] un būs kopa, kas sastāv no elementiem, kas pieder vismaz vienam no intervāliem: [−2; −1] vai . Bet šis komplekts nebūs skaitlisks intervāls. Skaidrības labad mēs uzskaitām visus veselos skaitļus, kas pieder šai savienībai:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Mēs saņēmām komplektu (-2, -1, 4, 5, 6, 7). Šī kopa nav skaitlisks intervāls, jo skaitļi, kas atrodas starp −1 un 4, nav iekļauti iegūtajā kopā

Skaitliskajā diapazonā ir jāietver visi skaitļi no kreisās malas līdz labajai. Ja trūkst kāda no cipariem, tad skaitliskais intervāls kļūst bezjēdzīgs. Pieņemsim, ka ir lineāls 15 cm garš

Šī rinda ir skaitļu diapazons, jo tajā ir visi skaitļi no 0 līdz 15 ieskaitot. Tagad iedomājieties, ka uz lineāla pēc skaitļa 9 uzreiz seko skaitlis 12.

Šis lineāls nav 15 cm lineāls, un to nav ieteicams izmantot mērīšanai. To nevar saukt arī par skaitļu intervālu, jo tajā nav ietverti visi skaitļi, kuriem tajā vajadzētu būt.

Nevienādību atrisināšana, kas satur zīmi ≠

Dažas nevienlīdzības satur zīmi ≠ (nav vienāds). Piemēram, 2 x≠ 8. Lai atrisinātu šādu nevienlīdzību, jums jāatrod mainīgā vērtību kopa x, kam kreisā puse nav vienāds labā puse.

Atrisināsim nevienlīdzību 2 x≠ 8. Sadaliet abas šīs nevienlīdzības puses ar 2, tad iegūstam:

Mēs saņēmām līdzvērtīgu nevienlīdzību x≠ 4. Šīs nevienlīdzības risinājums ir visu skaitļu kopa, nevienlīdzīgi 4. Tas ir, ja mēs aizvietojam ar nevienlīdzību x≠ 4 ir jebkurš skaitlis, kas nav vienāds ar 4, tad mēs iegūstam pareizo nevienādību.

Aizstāsim, piemēram, skaitli 5

5 ≠ 4 ir patiesa nevienlīdzība, jo 5 nav vienāds ar 4

Aizstāsim ar 7

7 ≠ 4 ir patiesa nevienlīdzība, jo 7 nav vienāds ar 4

Un kopš nevienlīdzības x≠ 4 ir ekvivalents sākotnējai nevienādībai 2 x≠ 8, tad nevienādības risinājumi x≠ 4 attieksies arī uz 2. nevienlīdzību x≠ 8. Aizstāsim tās pašas testa vērtības 5 un 7 ar nevienādību 2 x≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

x≠ 4 uz koordinātu līnijas. Lai to izdarītu, mēs izgriezīsim punktu 4 uz koordinātu līnijas un ar sitieniem iezīmēsim visu atlikušo laukumu abās pusēs:

Tagad rakstīsim atbildi skaitliskā intervāla formā. Lai to izdarītu, mēs izmantosim komplektu savienību. Jebkurš skaitlis, kas ir nevienlīdzības 2 risinājums x≠ 8 piederēs vai nu intervālam (−∞; 4), vai intervālam (4; +∞). Tātad mēs rakstām, ka mainīgā vērtības x pieder (-∞; 4) vai (4; +∞) . Atgādināsim to par vārdu "vai" tiek izmantots simbols ∪

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

x, pieder intervālam (-∞; 4) vai intervāls (4; +∞).

Nevienādības, kas satur zīmi ≠ , var atrisināt arī kā parastos vienādojumus. Šai zīmei ≠ aizstāts ar zīmi = . Tad jūs iegūstat parasto vienādojumu. Risinājuma beigās no risinājumu kopas jāizslēdz atrastā mainīgā x vērtība.

Atrisināsim iepriekšējo nevienādību 2 x≠ 8 kā parasti vienādojums. Nomainiet zīmi ≠ ar vienādības zīmi = , iegūstam vienādojumu 2 x = 8 . Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar 2, mēs iegūstam x= 4 .

Mēs to redzam, kad x, vienāds ar 4, vienādojums pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību. Citām vērtībām vienlīdzība netiks ievērota. Šīs citas nozīmes mūs interesē. Un, lai to izdarītu, pietiek ar atrasto četrinieku izslēgt no risinājumu kopas.

2. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību 3x− 5 ≠ 1 − 2x

Pārcelsimies −2 x no labās puses uz kreiso pusi, mainot zīmi, un pārvietojiet −5 no kreisās puses uz labo pusi, vēlreiz mainot zīmi:

Iesniegsim līdzīgus terminus abās daļās:

Sadaliet abas iegūtās nevienādības puses ar 5

Nevienlīdzības atrisināšana x≠ 1,2 ir visu skaitļu kopa, nevienlīdzīgi 1,2 .

Attēlosim nevienlīdzības risinājumu kopu x≠ 1,2 uz koordinātu līnijas un uzrakstiet atbildi skaitliskā intervāla veidā:

x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

Šī izteiksme norāda, ka mainīgā pieņemtās vērtības x pieder intervālam (-∞; 1,2) vai intervāls (1,2; +∞)

Nevienādību kopu risināšana

Apskatīsim cita veida nevienlīdzības, ko sauc nevienlīdzību kopums. Jūs varat reti atrisināt šāda veida nevienlīdzības, bet vispārējai attīstībai ir lietderīgi tās izpētīt.

Nevienlīdzību kopums ir ļoti līdzīgs nevienlīdzību sistēmai. Atšķirība ir tāda, ka nevienlīdzību sistēmā ir jāatrod daudzi risinājumi, kas apmierina katru nevienlīdzību, kas veido šo sistēmu.

Un nevienlīdzību kopas gadījumā jums ir jāatrod daudzi risinājumi, kas apmierina vismaz viens nevienlīdzības, kas veido šo agregātu.

Nevienādību kopa ir norādīta ar kvadrātiekavām. Piemēram, šāds divu nevienādību apzīmējums ir kopa:

Atrisināsim šo komplektu. Vispirms ir jāatrisina katra nevienlīdzība atsevišķi.

Pirmās nevienlīdzības atrisināšana x≥ 3 ir skaitlisks intervāls.

Vairākas nozīmes x, par ko tā ir taisnība vismaz viens no nevienādībām, piederēs intervālam . Tāpēc mēs to pierakstām:

x ∈

Šī izteiksme saka, ka mainīgais x, iekļauts
kolekcija ņem visas vērtības, kas pieder intervālam . Un tas ir tas, kas mums vajadzīgs. Galu galā, atrisināt kopumu nozīmē atrast risinājumu kopumu, kas apmierina vismaz viens nevienlīdzības, kas veido šo agregātu. Un jebkurš skaitlis šajā intervālā apmierinās vismaz vienu nevienādību.

Piemēram, skaitlis 9 no intervāla apmierina otro nevienādību x≤ 6.

Uzmanīgi apskatiet izteiksmi x∈ , proti, labajā pusē. Galu galā izteiksme ir skaitlisku intervālu savienība. Precīzāk, pirmās un otrās nevienlīdzības risinājumu kopu savienība.

Tas ir, nevienādību kopas risinājums ir kopu savienība pirmās un otrās nevienādības risinājumi.

Citiem vārdiem sakot, risinājums populācijai būs skaitlisko intervālu savienība

Skaitlisko intervālu savienība ir intervāls (−∞; +∞) . Precīzāk, skaitlisko intervālu savienība ir visa koordinātu līnija. Un visa koordinātu līnija ir visi skaitļi, kas var būt

= (−∞; +∞)

x∈

x∈ (−∞; +∞)

Ņemsim jebkuru skaitli no iegūtās kombinācijas un pārbaudīsim, vai tas apmierina vismaz vienu nevienādību.

Ņemsim par piemēru skaitli 8. Tas apmierina pirmo nevienlīdzību x≥ 3.

8 ≥ 3

Ņemsim citu skaitli, piemēram, skaitli 1. Tas apmierina otro nevienādību x≤ 6

Ņemsim citu skaitli, piemēram, skaitli 5. Tas arī apmierina pirmo nevienlīdzību x≥ 3 un otrais x≤ 6

2. piemērs

Lai atrisinātu šo kopu, jāatrod risinājumu kopa, kas apmierina vismaz vienu nevienādību, kas veido šo kopu.

Pirmkārt, atradīsim daudz risinājumu pirmajai nevienlīdzībai x< −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

x≥ −7 ir skaitliskais intervāls [−7; +∞).

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

Citiem vārdiem sakot, risinājums populācijai būs skaitlisko intervālu savienība (−∞; −0,25) un [−7; +∞)

Apvienojot skaitliskos intervālus (−∞; −0,25) un [−7; +∞) ir visa koordinātu līnija. Un visa koordinātu līnija ir visi skaitļi, kas var būt

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

Atbildi var atstāt tā, kā mēs to rakstījām iepriekš:

x∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

vai nomainiet to ar īsāku:

x∈ (−∞; +∞)

3. piemērs. Atrisiniet nevienādību kopu

Atrisināsim katru nevienlīdzību atsevišķi:

Pirmās nevienlīdzības risinājumu kopa x < −3 является числовой промежуток (−∞; −3) .

Otrās nevienādības risinājumu kopa x≤ 0 ir skaitliskais intervāls (-∞; 0] .

Nevienādību kopas risinājums būs pirmās un otrās nevienādības risinājumu kopu savienība.

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

Citiem vārdiem sakot, populācijas risinājums būs skaitlisko intervālu (−∞; −3) un (−∞; 0) savienojums.

Skaitlisko intervālu (−∞; −3) un (−∞; 0] savienojums ir skaitliskais intervāls (−∞; 0]).

(−∞; −3) ∪ (−∞; 0] = (−∞; 0]

Atbildi var atstāt tā, kā mēs to rakstījām iepriekš:

x∈ (−∞; −3) ∪ (−∞; 0]

vai nomainiet to ar īsāku:

x∈ (−∞; 0]

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Vai jums patika nodarbība?
Pievienojieties mūsu jauna grupa VKontakte un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām

1 JAUTĀJUMS:Daudzi ir dažu elementu kopums, ko vieno kāda kopīga iezīme. Kopas elementi var būt skaitļi, figūras, objekti, jēdzieni utt.

Kopas tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem, un kopas elementi tiek apzīmēti ar mazajiem burtiem. Komplektu elementi ir ietverti krokainās lencēs.

Ja elements x pieder komplektam X, tad raksti x ∈ X (∈ - pieder). Ja kopa A ir daļa no kopas B, tad rakstiet A⊂ IN (⊂ - ietverts).

1. definīcija (kopu vienādības definīcija). Komplekti A un B ir vienādi, ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, tas ir, ja x  A nozīmē x  B un otrādi, x  B nozīmē x  A.

Formāli divu kopu vienādību raksta šādi:

(A=B):= x((xA)  (xB)),

tas nozīmē, ka jebkuram objektam x attiecības x A un x B ir līdzvērtīgas.

Šeit  ir universālais kvantētājs ( x skan "visiem" x").

Apakškopa

Definīcija: Komplekts X ir apakškopa Y, ja kāds kopas X elements pieder kopai Y. To arī sauc nestingra iekļaušana.Daži apakškopas rekvizīti:

1. ХХ - atstarošanās spēja

2. X  Y & YZ  X  Z - tranzitivitāte

3.   X t.i. tukšā kopa ir jebkuras universālās kopas apakškopa Definīcija: Universāls komplekts- šī ir kopa, kas sastāv no visiem elementiem, kā arī objektu kopas apakškopām pētāmajā apgabalā, t.i.

1. Ja M  es , Tas M  es

2. Ja M  es , Tas Ώ(M)  es, kur zem Ώ(M) - visas iespējamās M apakškopas jeb Būla M apakškopas ir saprotamas.

Parasti tiek apzīmēts universālais komplekts es .

Universālo komplektu var izvēlēties neatkarīgi, atkarībā no apskatāmā komplekta un risināmajiem uzdevumiem.

Kopu noteikšanas metodes:

1. uzskaitot tā elementus. Parasti ierobežotas kopas tiek definētas ar uzskaitījumu.

2. aprakstot īpašības, kas ir kopīgas visiem šīs kopas elementiem un tikai šai kopai. Šo īpašumu sauc raksturīga īpašība, un šis kopas norādīšanas veids apraksts. Tādējādi jūs varat norādīt gan ierobežotas, gan bezgalīgas kopas. Ja mēs definējam kopu ar kādu īpašību, tad var izrādīties, ka šī īpašība ir tikai vienam objektam vai arī tāda objekta nav vispār. Šis fakts var nebūt acīmredzams.

2.3. tēma Operācijas ar komplektiem.

Tagad definēsim darbības ar kopām.

1. Kopu krustpunkts.

Definīcija: Kopu X un Y krustpunkts ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder gan kopai X, gan kopai Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) krustojums (2,4)

Definīcija: Kopas sauc par nesavienotām, ja tām nav kopīgu elementu, t.i. to krustpunkts ir vienāds ar tukšo kopu.

Piemēram : nesavienotās kopas ir izcilnieku un nesekmīgo studentu kopas.

Šo darbību var paplašināt līdz vairāk nekā diviem komplektiem. Šajā gadījumā tā būs elementu kopa, kas vienlaikus pieder visām kopām.

Krustojuma īpašības:

1. X∩Y = Y∩X — komutativitāte

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — asociativitāte

3. X∩ = 

4. X∩ es = X

2. Komplektu savienība

Definīcija: Divu kopu savienība ir kopa, kas sastāv no visiem un tikai tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām X vai Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6), apvienojot (1,2,3,4,6)

Šo darbību var paplašināt līdz vairāk nekā diviem komplektiem. Šajā gadījumā tā būs elementu kopa, kas pieder vismaz vienai no šīm kopām.

Pievienošanās rekvizīti:

1. XUY= YUY — komutativitāte

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ — asociativitāte

4.XU es = es

No krustojuma un savienojuma operāciju īpašībām ir skaidrs, ka tukšā kopa skaitļu algebrā ir līdzīga nullei.

3. Iestatiet atšķirību

Definīcija: Šī darbība, atšķirībā no krustojuma un savienojuma operācijām, ir definēta tikai divām kopām. Atšķirība starp kopām X un Y ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder X un nepieder Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) atšķirība (1,3)

Kā mēs jau redzējām, nulles lomu kopas algebrā spēlē tukšā kopa. Definēsim kopu, kas kopu algebrā spēlēs vienības lomu

4. Iestatiet pabeigšanu

Kopas X papildinājums ir starpība starp I un X.

Papildinājuma īpašības:

1. Kopai X un tās papildinājumam nav kopīgu elementu

2. Jebkurš elements I pieder vai nu kopai X, vai tās papildinājumam.

2. JAUTĀJUMS Ciparu kopas

Veseli skaitļi- skaitļi, ko izmanto, saskaitot (uzskaitot) vienumus: N=(1,2,3,…)

Dabiskie skaitļi ar nulli iekļauti- skaitļi, ko izmanto, lai norādītu vienību skaitu: N0=(0,1,2,3,…)

Veseli skaitļi− ietver veseli skaitļi, skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem (t.i. ar negatīvu zīmi) un nulle. Pozitīvi veseli skaitļi: Z+=N=(1,2,3,…) Negatīvi veseli skaitļi: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

Racionālie skaitļi− skaitļi, kas attēloti kā parasta daļa a/b, kur a un b ir veseli skaitļi un b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Pārvēršot decimālzīme racionāls skaitlis tiek attēlots ar ierobežotu vai bezgalīgu periodisku daļu.

Iracionāli skaitļi− skaitļi, kas tiek attēloti kā bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa.

Reāli skaitļi− racionālo un iracionālo skaitļu savienība: R

Kompleksie skaitļi C=(x+iy∣x∈R иy∈R), kur i ir iedomātā vienība.

Reālā skaitļa modulis un īpašības

Reāla skaitļa modulis-Šo absolūtā vērtībašis numurs.

Vienkārši sakot, ņemot moduli, jums ir jānoņem tā zīme no skaitļa.

Skaitļa absolūtā vērtība a apzīmē ar |a|. Lūdzu, ņemiet vērā: skaitļa modulis vienmēr nav negatīvs: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45