Dažu risinājumu risinājums matemātiskas problēmas ietver krustojuma un savienības atrašanu numuru komplekti. Tālāk esošajā rakstā mēs detalizēti apsvērsim šīs darbības, tostarp konkrētus piemērus. Iegūtā prasme būs pielietojama nevienādību ar vienu mainīgo un nevienādību sistēmu risināšanā.

Vienkāršākie gadījumi

Runājot par vienkāršākajiem gadījumiem aplūkojamajā tēmā, mēs domājam skaitļu kopu krustpunkta un savienības atrašanu, kas ir atsevišķu skaitļu kopa. Šādos gadījumos būs pietiekami izmantot kopu krustojuma un savienības definīciju.

1. definīcija

Divu komplektu savienība ir kopa, kurā katrs elements ir vienas no sākotnējās kopas elements.

Daudzu krustojums ir komplekts, kas sastāv no visa kopīgi elementi oriģinālie komplekti.

No šīm definīcijām loģiski izriet šādi noteikumi:

Lai izveidotu divu skaitlisko kopu savienību ar ierobežotu elementu skaitu, ir nepieciešams pierakstīt visus vienas kopas elementus un pievienot tiem trūkstošos elementus no otrās kopas;

Lai izveidotu divu skaitlisko kopu krustpunktu, ir nepieciešams pa vienam pārbaudīt pirmās kopas elementus, lai redzētu, vai tie pieder otrajai kopai. Tie, kas izrādīsies piederīgi abām kopām, veidos krustojumu.

Kopā, kas iegūta saskaņā ar pirmo noteikumu, tiks iekļauti visi elementi, kas pieder vismaz vienai no sākotnējām kopām, t.i. pēc definīcijas kļūs par šo kopu savienību.

Kopā, kas iegūta saskaņā ar otro noteikumu, tiks iekļauti visi oriģinālo komplektu kopējie elementi, t.i. kļūs par oriģinālo komplektu krustpunktu.

Apskatīsim iegūto noteikumu piemērošanu, izmantojot praktiskus piemērus.

1. piemērs

Sākotnējie dati: skaitļu kopas A = (3, 5, 7, 12) un B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Ir jāatrod oriģinālo kopu savienība un krustpunkts.

Risinājums

1. Definēsim sākotnējo kopu savienību. Pierakstīsim visus elementus, piemēram, kopai A: 3, 5, 7, 12. Pievienosim tiem trūkstošos kopas B elementus: 2, 8, 11 un 13. Galu galā mums ir skaitļu kopa: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Sakārtosim iegūtās kopas elementus un iegūsim vajadzīgo savienojumu: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. Definēsim sākotnējo kopu krustpunktu. Saskaņā ar likumu mēs pa vienam iziesim cauri visiem pirmās kopas A elementiem un pārbaudīsim, vai tie ir iekļauti kopā B. Apskatīsim pirmo elementu - skaitli 3: tas nepieder kopai B, kas nozīmē, ka tas nebūs vēlamā krustojuma elements. Pārbaudīsim kopas A otro elementu, t.i. numurs 5: tas pieder kopai B, kas nozīmē, ka tas kļūs par vēlamā krustojuma pirmo elementu. Trešais kopas A elements ir skaitlis 7. Tas nav kopas B elements un tāpēc nav krustojuma elements. Apsveriet kopas A pēdējo elementu: skaitli 1. Tas pieder arī kopai B un attiecīgi kļūs par vienu no krustojuma elementiem. Tādējādi sākotnējo kopu krustpunkts ir kopa, kas sastāv no diviem elementiem: 5 un 12, t.i. A ∩ B = (5, 12).

Atbilde: oriģinālo kopu savienojums – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); sākotnējo kopu krustpunkts - A ∩ B = (5, 12).

Viss iepriekš minētais attiecas uz darbu ar diviem komplektiem. Kas attiecas uz trīs vai vairāku kopu krustpunkta un savienojuma atrašanu, šīs problēmas risinājumu var reducēt uz divu kopu krustpunkta un savienības secīgu atrašanu. Piemēram, lai noteiktu trīs kopu A, B un C krustpunktu, vispirms ir iespējams noteikt A un B krustpunktu un pēc tam atrast iegūtā rezultāta krustpunktu ar kopu C. Izmantojot piemēru, tas izskatās šādi: ļaujiet skaitliskās kopas dot: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) un C = (7, 9) , 1, 3) . Pirmo divu kopu krustpunkts būs: A ∩ B = (9, 21), un iegūtās kopas krustpunkts ar kopu A ∩ B = (9, 21). Rezultātā: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Tomēr praksē, lai atrastu trīs vai vairāku vienkāršu skaitļu kopu savienību un krustpunktu, kas sastāv no ierobežota skaita atsevišķu skaitļu, ir ērtāk piemērot noteikumus, kas ir līdzīgi iepriekš norādītajiem.

Tas ir, lai atrastu trīs vai vairāk norādītā tipa kopu savienību, pirmās kopas elementiem jāpievieno trūkstošie otrās kopas elementi, pēc tam trešā utt. Skaidrības labad ņemsim skaitliskās kopas: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Cipars 3 no komplekta B tiks pievienots pirmās kopas A elementiem, bet pēc tam trūkstošie skaitļi 4 un 5 no komplekta C. Tādējādi sākotnējo kopu savienība: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Kas attiecas uz trīs vai vairāku skaitļu kopu, kas sastāv no ierobežota skaita atsevišķu skaitļu, krustpunkta atrašanas problēmu, ir nepieciešams pa vienam iziet cauri pirmās kopas skaitļiem un soli pa solim pārbaudīt, vai attiecīgais skaitlis pieder katram no atlikušajiem komplektiem. Skaidrības labad apsveriet skaitļu kopas:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Atradīsim sākotnējo kopu krustpunktu. Acīmredzot komplektā B ir vismazāk elementu, tāpēc mēs pārbaudīsim tos, lai noteiktu, vai tie ir iekļauti atlikušajās kopās. Kopas B numurs 1 ir citu kopu elements, un tāpēc tas ir vēlamā krustojuma pirmais elements. Kopas B otrais cipars — skaitlis 0 — nav kopas A elements, un tāpēc tas nekļūs par krustojuma elementu. Mēs turpinām pārbaudīt: kopas B numurs 2 ir citu kopu elements un kļūst par vēl vienu krustojuma daļu. Visbeidzot, kopas B pēdējais elements — skaitlis 12 — nav kopas D elements un nav krustojuma elements. Tādējādi iegūstam: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Koordinātu līnijas un skaitļu intervāli kā to daļu savienība

Atzīmēsim patvaļīgu punktu uz koordinātu līnijas, piemēram, ar koordinātām - 5, 4. Norādītais punkts sadalīs koordinātu līniju divos ciparu intervālos - divos atvērtos staros (-∞, -5,4) un (-5,4, +∞) un pašā punktā. Ir viegli redzēt, ka saskaņā ar kopu savienības definīciju jebkurš reāls skaitlis piederēs savienībai (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). Tie. visu reālo skaitļu kopu R = (- ∞ ; + ∞) var attēlot iepriekš iegūtās savienības formā. Un otrādi, iegūtā savienība būs visu reālo skaitļu kopa.

Ņemiet vērā, ka ir iespējams pievienot doto punktu jebkuram no atvērtajiem stariem, tad tas kļūs vienkārši ciparu stars(- ∞ , - 5 , 4 ] vai [ - 5 , 4 , + ∞) . Šajā gadījumā kopa R tiks aprakstīta ar šādām savienībām: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) vai (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Līdzīga argumentācija ir derīga ne tikai attiecībā uz punktu uz koordinātu līnijas, bet arī attiecībā uz punktu jebkurā skaitliskā intervālā. Tas ir, ja mēs ņemam jebkuru patvaļīga intervāla iekšējo punktu, to var attēlot kā tā daļu savienību, kas iegūta pēc dalīšanas dots punkts, un pats punkts. Piemēram, tiek dots šim skaitliskajam intervālam piederošs pusintervāls (7, 32] un punkts 13. Tad doto pusintervālu var attēlot kā savienojumu (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] un otrādi Mēs varam iekļaut skaitli 13 jebkurā no intervāliem, un tad doto kopu (7, 32 ] var attēlot kā (7, 13 ] ∪ (13, 32 ] vai (7, 13 ) ∪ 13). , 32 ] Var ņemt arī nevis dotā pusintervāla iekšējo punktu, bet tā beigas (punktu ar koordinātu 32), tad doto pusintervālu var attēlot kā intervāla (7, 32) savienojumu. un viena elementa kopa (32) Tādējādi: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Vēl viena iespēja: kad koordinātu taisnē vai skaitliskā intervālā tiek ņemts nevis viens, bet vairāki punkti. Šie punkti sadalīs koordinātu līniju vai skaitlisko intervālu vairākos ciparu intervālos, un šo intervālu savienība veidos sākotnējās kopas. Piemēram, punkti uz koordinātu līnijas tiek doti ar koordinātām - 6, 0, 8, kas to sadalīs intervālos: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞) . Šajā gadījumā visu reālo skaitļu kopu, kuras iemiesojums ir koordinātu līnija, var attēlot kā iegūto intervālu un norādīto skaitļu kombināciju:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Kopu krustpunkta un savienības atrašanas tēmu var skaidri saprast, ja izmantojat doto kopu attēlus uz koordinātu līnijas (ja vien mēs nerunājam par vienkāršākajiem gadījumiem, kas apspriesti pašā raksta sākumā).

Mēs aplūkosim vispārīgu pieeju, kas ļauj noteikt divu skaitļu kopu krustošanās un savienojuma rezultātu. Aprakstīsim pieeju algoritma veidā. Mēs apsvērsim tās darbības pakāpeniski, katru reizi minot nākamo konkrēta piemēra risināšanas posmu.

2. piemērs

Sākotnējie dati: dotās skaitliskās kopas A = (7, + ∞) un B = [ - 3, + ∞). Ir jāatrod šo kopu krustpunkts un savienība.

Risinājums

1. Dotās skaitliskās kopas attēlosim uz koordinātu līnijām. Tie ir jānovieto viens virs otra. Ērtības labad ir vispārpieņemts, ka doto kopu sākuma punkti sakrīt, un punktu atrašanās vieta attiecībā pret otru paliek saglabāta: atrodas jebkurš punkts ar lielāku koordinātu. pa labi no punkta ar mazāku koordinātu. Turklāt, ja mūs interesē kopu savienība, tad koordinātu līnijas kreisajā pusē apvieno kopas kvadrātiekava; ja interesē krustojums, tad izmantojiet sistēmas cirtaino kronšteinu.

Mūsu piemērā, lai uzrakstītu ciparu kopu krustpunktu un savienību, mums ir: un

Nozīmēsim vēl vienu koordinātu līniju, novietojot to zem esošajām. Tas būs nepieciešams, lai parādītu vēlamo krustojumu vai savienību. Uz šīs koordinātu līnijas ir atzīmēti visi sākotnējo skaitļu kopu robežpunkti: vispirms ar domuzīmēm, bet vēlāk, pēc punktu būtības noskaidrošanas ar šīm koordinātām, domuzīmes tiks aizstātas ar caurdurtiem vai nepārdurtiem punktiem. Mūsu piemērā tie ir punkti ar koordinātām - 3 un 7.

Un

Punkti, kas ir attēloti uz apakšējās koordinātu līnijas algoritma iepriekšējā solī, ļauj uzskatīt koordinātu līniju par skaitlisku intervālu un punktu kopu (par to mēs runājām iepriekš). Mūsu piemērā mēs attēlojam koordinātu līniju kā piecu ciparu kopu kopu: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Tagad jums ir jāpārbauda pa vienam, vai katra no rakstītajām kopām pieder vēlamajam krustojumam vai savienībai. Iegūtie secinājumi tiek atzīmēti pa posmiem apakšējā koordinātu līnijā: kad sprauga ir krustojuma vai savienojuma daļa, virs tās tiek uzvilkta lūka. Kad punkts ieiet krustojumā vai savienojumā, gājiens tiek aizstāts ar cieto punktu; ja punkts nav krustojuma vai savienojuma daļa, tas ir caurdurts. Veicot šīs darbības, jums jāievēro šādi noteikumi:

Atstarpe kļūst par daļu no krustojuma, ja tā vienlaikus ir daļa no kopas A un kopas B (vai citiem vārdiem sakot, ja virs šīs spraugas ir ēnojums abās koordinātu līnijās, kas attēlo kopas A un B);

Punkts kļūst par daļu no krustojuma, ja tas vienlaikus ir daļa no katras kopas A un B (citiem vārdiem sakot, ja punkts ir necaurdurts vai iekšējais punkts jebkurā abu skaitlisko kopu A un B intervālā);

Atstarpe kļūst par savienojuma daļu, ja tā ir daļa no vismaz vienas kopas A vai B (citiem vārdiem sakot, ja pār šo atstarpi ir ēnojums vismaz vienā no koordinātu līnijām, kas attēlo kopas A un B.

Punkts kļūst par savienības daļu, ja tas ir daļa no vismaz vienas kopas A un B (citiem vārdiem sakot, punkts ir necaurdurts vai iekšējais punkts jebkurā intervālā no vismaz vienas kopas A un B) .

Īsi apkopojot: skaitļu kopu A un B krustpunkts ir visu kopu A un B ciparu intervālu krustpunkts, pār kuriem vienlaikus ir ēnojums, un visu atsevišķo punktu, kas pieder gan kopai A, gan kopai B. Skaitlisko kopu A savienība. un B ir visu skaitlisko intervālu savienība, pār kuriem vismaz vienai no kopām A vai B ir ēnojums, kā arī visi nepārpunktētie atsevišķie punkti.

1. Atgriezīsimies pie piemēra un definēsim doto kopu krustpunktu. Lai to izdarītu, pārbaudīsim kopas pa vienai: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Sāksim ar komplektu (- ∞, - 3), skaidri izceļot to zīmējumā:

Šī atstarpe netiks iekļauta krustojumā, jo tā neietilpst ne komplektā A, ne komplektā B (bez ēnojuma). Tātad mūsu zīmējums saglabā savu sākotnējo izskatu:

Apsveriet šādu kopu (-3). Skaitlis 3 ir daļa no kopas B (nav pārdurts punkts), bet nav daļa no kopas A, un tāpēc tas nekļūs par daļu no vēlamā krustojuma. Attiecīgi apakšējā koordinātu līnijā mēs izveidojam punktu ar koordinātu - 3:

Mēs novērtējam šādu komplektu (- 3, 7).

Tā ir daļa no kopas B (ir ēnojums virs intervāla), bet nav iekļauts komplektā A (nav ēnojuma virs intervāla): tas netiks iekļauts vēlamajā krustojumā, kas nozīmē, ka tajā neparādās jaunas atzīmes. apakšējā koordinātu līnija:

Nākamais pārbaudāmais komplekts ir (7). Tā ir daļa no kopas B (punkts ar koordinātu 7 ir intervāla [ - 3, + ∞) iekšējais punkts), bet nav daļa no kopas A (punktētais punkts), tādējādi attiecīgais intervāls nebūs kļūt par daļu no vēlamā krustojuma Ļaujiet mums atzīmēt punktu ar koordinātu 7 kā izspiestu:

Un visbeidzot mēs pārbaudām atlikušo atstarpi (7, + ∞).

Atstarpe ir iekļauta abās kopās A un B (virs spraugas ir izšķilšanās), tāpēc tā kļūst par krustojuma daļu. Mēs ēnojam vietu virs aplūkotās spraugas:

Galu galā uz apakšējās koordinātu līnijas tika izveidots doto kopu vēlamā krustojuma attēls. Acīmredzot tā ir visu reālo skaitļu kopa vairāk numuru 7, t.i.: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Nākamais solis Definēsim doto kopu A un B savienību. Secīgi pārbaudīsim kopas (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), konstatējot to iekļaušanas vai neiekļaušanas faktu vēlamajā savienība.

Pirmā kopa (- ∞, - 3) neietilpst nevienā no oriģinālajām kopām A un B (virs intervāliem nav ēnojumu), tāpēc kopa (- ∞, - 3) netiks iekļauta vēlamajā. savienība:

Komplekts (-3) ir iekļauts komplektā B, kas nozīmē, ka tas tiks iekļauts vēlamajā komplektu A un B savienojumā:

Komplekts (- 3 , 7) ir neatņemama sastāvdaļa kopa B (izvēlējums ir virs intervāla) un kļūst par kopu A un B savienības elementu:

Komplekts 7 ir iekļauts skaitļu komplektā B, tāpēc tas tiks iekļauts arī vēlamajā savienībā:

Kopa (7, + ∞), kas vienlaikus ir abu kopu A un B elements, kļūst par citu vēlamās savienības daļu:

Pamatojoties uz sākotnējo kopu A un B savienojuma galīgo attēlu, iegūstam: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Ņemot zināmu praktisku pieredzi krustojumu un kopu savienojumu atrašanas noteikumu piemērošanā, aprakstītās pārbaudes ir viegli veikt mutiski, kas ļauj ātri pierakstīt gala rezultātu. Parādīsim ar praktisku piemēru, kā izskatās tā risinājums bez detalizētiem paskaidrojumiem.

3. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) un B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2, 3) ​∪ (17). Nepieciešams noteikt doto kopu krustpunktu un savienojumu.

Risinājums

Atzīmēsim dotās skaitļu kopas uz koordinātu taisnēm, lai varētu iegūt vajadzīgā krustojuma un savienojuma ilustrāciju:

Atbilde: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10 ) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ).

Ir arī skaidrs, ka, pietiekami izprotot procesu, norādīto algoritmu var optimizēt. Piemēram, krustpunkta atrašanas procesā nav jātērē laiks, pārbaudot visus intervālus un kopas, kas attēlo atsevišķus skaitļus, aprobežojoties ar to intervālu un skaitļu ievērošanu, kas veido kopu A vai B. Citi intervāli nekādā gadījumā netiks iekļauts krustojumā, t.i., uz. nav daļa no oriģinālajiem komplektiem. Ilustrēsim teikto, izmantojot praktisku piemēru.

4. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] un B = [ - 4 , 3 ] .

Ir nepieciešams noteikt sākotnējo kopu krustpunktu.

Risinājums

Attēlosim skaitliskās kopas A un B ģeometriski:

Sākotnējo kopu robežpunkti sadalīs skaitļu līniju vairākās kopās:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Ir viegli saprast, ka skaitļu kopu A var uzrakstīt, apvienojot dažas no uzskaitītajām kopām, proti: ( - 2), (1, 3), (3) un (3, 5). Pietiks pārbaudīt šo kopu iekļaušanu arī komplektā B, lai atrastu vēlamo krustojumu. Tie, kas tiks iekļauti kopā B un kļūs par krustojuma elementiem. Pārbaudīsim.

Ir pilnīgi skaidrs, ka ( - 2) ir daļa no kopas B, jo punkts ar koordinātu - 2 ir nogriežņa [ - 4, 3) iekšējais punkts. Intervāls (1, 3) un kopa (3) ir iekļauti arī kopā B (virs intervāla ir ēnojums, un punkts ar koordinātu 3 ir robeža un nav caurdurts kopai B). Kopa (3, 5) nebūs krustojuma elements, jo nav iekļauts komplektā B (virs tā nav ēnojuma). Atzīmēsim visu iepriekš minēto zīmējumā:

Rezultātā vēlamais divu doto kopu krustpunkts būs kopu savienība, ko rakstīsim šādi: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] ).

Atbilde: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Raksta beigās mēs arī apspriedīsim, kā atrisināt vairāku kopu (vairāk nekā 2) krustojuma un savienojuma atrašanas problēmu. Samazināsim to, kā ieteikts iepriekš, līdz vajadzībai noteikt pirmo divu kopu krustpunktu un savienojumu, pēc tam iegūto rezultātu ar trešo kopu un tā tālāk. Vai arī varat izmantot iepriekš aprakstīto algoritmu ar vienīgo atšķirību, ka intervālu un kopu, kas attēlo atsevišķus skaitļus, rašanās pārbaude jāveic nevis diviem, bet gan visām dotajām kopām. Apskatīsim piemēru.

5. piemērs

Sākotnējie dati: kopas A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Nepieciešams noteikt doto kopu krustpunktu un savienojumu.

Risinājums

Dotās skaitļu kopas attēlojam uz koordinātu līnijām un to kreisajā pusē ievietojam cirtainu iekava, kas apzīmē krustojumu, kā arī kvadrātiekava, kas apzīmē savienojumu. Zemāk tiek parādītas koordinātu līnijas ar skaitļu kopu robežpunktiem, kas atzīmēti ar svītrām:

Tādējādi koordinātu līniju attēlo šādas kopas: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40) ), ( 40 ), (40 , + ∞) .

Sākam meklēt krustojumus, pārmaiņus pārbaudot rakstītās kopas, vai tās pieder katrai no sākotnējām. Visas trīs dotās kopas ietver intervālu (- 3, 12) un kopu (- 12): tie kļūs par vēlamā krustojuma elementiem. Tādējādi iegūstam: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Doto kopu savienība veidos šādas kopas: (- ∞ , - 3) - kopas A elements; ( - 3 ) – kopas A elements; (- 3, 12) – kopas A elements; ( 12 ) – kopas A elements; (12, 25) – kopas B elements; (25) ir kopas B elements un (40) ir kopas D elements. Tādējādi iegūstam: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Atbilde: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ).

Ņemiet vērā arī to, ka vēlamais skaitļu kopu krustpunkts bieži ir tukšā kopa. Tas notiek gadījumos, kad dotajās kopās nav iekļauti elementi, kas vienlaikus pieder pie visām.

6. piemērs

Sākotnējie dati: A = [ - 7 , 7 ] ; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ); D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞); E = (0, 27) . Nosakiet doto kopu krustpunktu.

Risinājums

Oriģinālās kopas attēlosim uz koordinātu līnijām un šo kopu robežpunktus uz papildu taisnes ar triepieniem.

Atzīmētie punkti sadalīs skaitļu līniju kopās: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , (-7) , (-7, 0), (0) , (0, 5), (5) , (5, 7), (7) , (7, 10), (10), (10, 27), (27), (27, + ∞) .

Neviena no tām vienlaikus nav visu sākotnējo kopu elements, tāpēc doto kopu krustpunkts ir tukšā kopa.

Atbilde: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Kopas ir ērti attēlot apļu formā, ko sauc par Eilera apļiem.

Attēlā kopu X un Y krustpunktu kopa ir iekrāsota oranžā krāsā.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

1 JAUTĀJUMS:Daudzi ir dažu elementu kopums, ko vieno kāda kopīga iezīme. Kopas elementi var būt skaitļi, figūras, objekti, jēdzieni utt.

Kopas tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem, un kopas elementi tiek apzīmēti ar mazajiem burtiem. Komplektu elementi ir ietverti krokainās lencēs.

Ja elements x pieder daudziem X, tad raksti x ∈ X (∈ - pieder). Ja kopa A ir daļa no kopas B, tad rakstiet A⊂ IN (⊂ - ietverts).

1. definīcija (kopu vienādības definīcija). Komplekti A un B ir vienādi, ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, tas ir, ja x  A nozīmē x  B un otrādi, x  B nozīmē x  A.

Formāli divu kopu vienādību raksta šādi:

(A=B):= x((xA)  (xB)),

tas nozīmē, ka jebkuram objektam x attiecības x A un x B ir līdzvērtīgas.

Šeit  ir universālais kvantētājs ( x skan "visiem" x").

Apakškopa

Definīcija: Komplekts X ir apakškopa Y, ja kāds kopas X elements pieder kopai Y. To arī sauc nestingra iekļaušana.Daži apakškopas rekvizīti:

1. ХХ - atstarošanās spēja

2. X  Y & YZ  X  Z - tranzitivitāte

3.   X t.i. tukšā kopa ir jebkuras universālās kopas apakškopa Definīcija: Universāls komplekts- šī ir kopa, kas sastāv no visiem elementiem, kā arī objektu kopas apakškopām pētāmajā apgabalā, t.i.

1. Ja M  es , Tas M  es

2. Ja M  es , Tas Ώ(M)  es, kur zem Ώ(M) - visas iespējamās M apakškopas jeb Būla M apakškopas ir saprotamas.

Parasti tiek apzīmēts universālais komplekts es .

Universālo komplektu var izvēlēties neatkarīgi, atkarībā no apskatāmā komplekta un risināmajiem uzdevumiem.

Kopu noteikšanas metodes:

1. uzskaitot tā elementus. Parasti ierobežotas kopas tiek definētas ar uzskaiti.

2. aprakstot īpašības, kas ir kopīgas visiem šīs kopas elementiem un tikai šai kopai. Šo īpašumu sauc raksturīga īpašība, un šis kopas norādīšanas veids apraksts. Tādējādi jūs varat norādīt gan ierobežotas, gan bezgalīgas kopas. Ja mēs definējam kopu ar kādu īpašību, vēlāk var izrādīties, ka šī īpašība ir tikai vienam objektam vai arī tāda objekta nav vispār. Šis fakts var nebūt acīmredzams.

2.3. tēma Operācijas ar komplektiem.

Tagad definēsim darbības ar kopām.

1. Kopu krustpunkts.

Definīcija: Kopu X un Y krustpunkts ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder gan kopai X, gan kopai Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) krustojums (2,4)

Definīcija: Kopas sauc par nesavienotām, ja tām nav kopīgu elementu, t.i. to krustpunkts ir vienāds ar tukšo kopu.

Piemēram : nesavienotās kopas ir izcilnieku un nesekmīgo studentu kopas.

Šo darbību var paplašināt līdz vairāk nekā diviem komplektiem. Šajā gadījumā tā būs elementu kopa, kas vienlaikus pieder visām kopām.

Krustojuma īpašības:

1. X∩Y = Y∩X — komutativitāte

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — asociativitāte

3. X∩ = 

4. X∩ es = X

2. Komplektu savienība

Definīcija: Divu kopu savienība ir kopa, kas sastāv no visiem un tikai tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām X vai Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6), apvienojot (1,2,3,4,6)

Šo darbību var paplašināt līdz vairāk nekā diviem komplektiem. Šajā gadījumā tā būs elementu kopa, kas pieder vismaz vienai no šīm kopām.

Pievienošanās rekvizīti:

1. XUY= YUY — komutativitāte

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ — asociativitāte

4.XU es = es

No krustojuma un savienojuma operāciju īpašībām ir skaidrs, ka tukšā kopa skaitļu algebrā ir līdzīga nullei.

3. Iestatiet atšķirību

Definīcija: Šī darbība, atšķirībā no krustojuma un savienojuma operācijām, ir definēta tikai divām kopām. Atšķirība starp kopām X un Y ir kopa, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder X un nepieder Y.

Piemēram: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) atšķirība (1,3)

Kā mēs jau redzējām, nulles lomu kopas algebrā spēlē tukšā kopa. Definēsim kopu, kas kopu algebrā spēlēs vienības lomu

4. Iestatījuma pabeigšana

Kopas X papildinājums ir starpība starp I un X.

Papildinājuma īpašības:

1. Kopai X un tās papildinājumam nav kopīgu elementu

2. Jebkurš elements I pieder vai nu kopai X, vai tās papildinājumam.

2. JAUTĀJUMS Skaitļu kopas

Veseli skaitļi- skaitļi, ko izmanto, saskaitot (uzskaitot) vienumus: N=(1,2,3,…)

Dabiskie skaitļi ar nulli iekļauti- skaitļi, ko izmanto, lai norādītu vienību skaitu: N0=(0,1,2,3,…)

Veseli skaitļi− ietver veseli skaitļi, skaitļi, kas ir pretēji dabiskajiem (t.i., ar negatīvu zīmi) un nulle. Pozitīvi veseli skaitļi: Z+=N=(1,2,3,…) Negatīvi veseli skaitļi: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…)

Racionālie skaitļi− skaitļi, kas attēloti kā parasta daļa a/b, kur a un b ir veseli skaitļi un b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Pārvēršot decimālzīme racionāls skaitlis tiek attēlots ar ierobežotu vai bezgalīgu periodisku daļu.

Iracionāli skaitļi− skaitļi, kas tiek attēloti kā bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa.

Reāli skaitļi− racionālo un iracionālo skaitļu savienība: R

Sarežģīti skaitļi C=(x+iy∣x∈R иy∈R), kur i ir iedomātā vienība.

Reālā skaitļa modulis un īpašības

Reāla skaitļa modulis-Šo absolūtā vērtībašis numurs.

Vienkārši sakot, ņemot moduli, jums ir jānoņem tā zīme no skaitļa.

Skaitļa absolūtā vērtība a apzīmē ar |a|. Lūdzu, ņemiet vērā: skaitļa modulis vienmēr nav negatīvs: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Kopu teorijas jēdziens; kopu krustpunkts ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas vienlaikus pieder visām dotajām kopām. Kopu A un B krustpunktu apzīmē ar A?B vai AB...

Kopu teorijas jēdziens; kopu krustpunkts ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas vienlaikus pieder visām dotajām kopām. Kopu A un B krustpunktu apzīmē ar A∩B vai AB. * * * KOPAS KRUSTOJUMS KOPAS KRUSTOJUMS… enciklopēdiskā vārdnīca

Kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas vienlaikus pieder visām dotajām kopām. P. m. A un B apzīmē A∩B vai AB; P. m Ak, kas ņemti ar galīgu vai bezgalīgu skaitu, tiek apzīmēti ar Ak. P.m. var būt tukšs, tas ir, ne...... Lielā padomju enciklopēdija

Kopu teorijas jēdziens; P. m ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kuriem tie pieder vienlaikus. visiem dotajiem komplektiem. p.m...

A un B krustpunkts Kopu krustpunkts kopu teorijā ir kopa, kas sastāv no elementiem, kas vienlaikus pieder visām dotajām kopām. Saturs 1 Definīcija 2 Piezīme ... Wikipedia

Matemātikas nozare, kurā viņi mācās vispārīgas īpašības komplekti, galvenokārt bezgalīgi. kopas jēdziens ir visvienkāršākais matemātiskais jēdziens, tas nav definēts, bet tikai izskaidrots ar piemēru palīdzību: daudz grāmatu plauktā, daudz punktu... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas nozare, kas pēta kopu, īpaši bezgalīgo, vispārējās īpašības. Kopas jēdziens ir visvienkāršākais matemātiskais jēdziens, tas nav definēts, bet tikai izskaidrots ar piemēru palīdzību: daudz grāmatu plauktā, daudzas... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātiskā teorija, kas ar precīziem līdzekļiem pēta bezgalības problēmu. Priekšmets M. l. kopu (kolekciju, klašu, ansambļu) īpašības, sk. arr. bezgalīgs. Kopa A ir jebkura definētu un atšķiramu objektu kolekcija... Loģikas terminu vārdnīca

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopu vispārējās īpašības. Kopu teorija ir pamatā lielākajai daļai matemātisko disciplīnu; tam bija liela ietekme uz paša matemātikas priekšmeta izpratni. Saturs 1 Teorija ... ... Wikipedia

Matemātikas nozare, kurā īpaši tiek pētītas kopu vispārīgās īpašības. bezgalīgs. Kopas jēdziens ir vienkāršākā matemātika. jēdziens, tas nav definēts, bet tikai izskaidrots ar piemēru palīdzību: daudz grāmatu plauktā, daudzi punkti uz taisnas līnijas... ... Dabas vēsture. enciklopēdiskā vārdnīca

Grāmatas

• Skaitīšana līdz 20. Darba burtnīca bērniem no 6 - 7 gadiem. Federālais valsts izglītības standarts, Ševeļevs Konstantīns Valerijevičs. Darba burtnīca Paredzēts darbam ar bērniem vecumā no 6-7 gadiem. Veicina Izziņas bloka mērķu sasniegšanu, veidojot elementāru matemātiskie attēlojumi. Metodiskā...