Negatīvie skaitļi. Mācība jaunu zināšanu atklāšanā: Kas ir lielāks par mīnus skaitli vai naturāliem skaitļiem?

Formulas programmā Excel palīdzēs aprēķināt ne tikai pozitīvos, bet arī negatīvos skaitļus. Lai uzzinātu, kā rakstīt skaitli ar mīnusu, skatiet rakstu “Kā ievadīt negatīvu skaitli programmā Excel”.
Atrast negatīvo skaitļu summa programmā Excel , vajadzīgs Funkcija "SUMIF" programmā Excel . Piemēram, mums ir šāda tabula.
Iestatiet formulu šūnā A7. Lai to izdarītu, Excel tabulā dodieties uz cilni “Formulas”, atlasiet “Mathematical” un atlasiet Excel funkciju “SUMIF”.
Parādītajā logā aizpildiet rindiņas:
“Diapazons” - mēs norādām visas kolonnas vai rindas šūnas, kurās pievienojam ciparus. Lai iegūtu informāciju par diapazonu tabulā, skatiet rakstu "Kas ir diapazons programmā Excel" .
“Kritērijs” - šeit mēs rakstām “<0» .
Noklikšķiniet uz pogas “OK”.

Tas izrādījās šādi.

Skatiet formulu formulu joslā.Kā formulā iestatīt zīmi “lielāks par” vai “mazāks par”, skatiet rakstu “Kur atrodas tastatūras poga?» .
Programmā Excel summējiet tikai pozitīvos skaitļus.
Formula jāraksta tādā pašā veidā, tikai funkcijas loga rindā “Criteria” ierakstiet “>0” Tas izrādījās šādi.

Funkcija "SUMIF" programmā Excel var saskaitīt šūnu vērtības ne visas pēc kārtas, bet gan selektīvi atbilstoši nosacījumam, ko ierakstām formulā. Šī funkcija ir ērta, lai aprēķinātu datus par konkrētu datumu vai pasūtījumu konkrētam klientam, studentu rezultātus utt. Lasiet vairāk par šīs funkcijas izmantošanu.

Ja mēs pievienojam skaitli 0 pa kreisi no naturālu skaitļu sērijas, mēs iegūstam pozitīvu veselu skaitļu virkne:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatīvi veseli skaitļi

Apskatīsim nelielu piemēru. Kreisajā attēlā redzams termometrs, kas rāda temperatūru 7°C. Ja temperatūra pazeminās par 4°, termometrs rādīs 3° siltumu. Temperatūras pazemināšanās atbilst atņemšanas darbībai:

Ja temperatūra pazeminās par 7°, termometrs rādīs 0°. Temperatūras pazemināšanās atbilst atņemšanas darbībai:

Ja temperatūra pazeminās par 8°, termometrs rādīs -1° (1° zem nulles). Bet rezultātu, atņemot 7 - 8, nevar uzrakstīt, izmantojot naturālus skaitļus un nulli.

Ilustrēsim atņemšanu, izmantojot virkni pozitīvu veselu skaitļu:

1) No skaitļa 7 saskaitiet 4 skaitļus pa kreisi un iegūstiet 3:

2) No skaitļa 7 saskaitiet 7 skaitļus pa kreisi un iegūstiet 0:

Pozitīvu veselu skaitļu virknē nav iespējams saskaitīt 8 skaitļus no skaitļa 7 pa kreisi. Lai 7.–8. darbība būtu iespējama, mēs paplašinām pozitīvo veselo skaitļu diapazonu. Lai to izdarītu, pa kreisi no nulles (no labās uz kreiso) secībā ierakstām visus naturālos skaitļus, katram pievienojot zīmi - , norādot, ka šis skaitlis atrodas pa kreisi no nulles.

Ieraksti -1, -2, -3, ... lasīt mīnus 1, mīnus 2, mīnus 3 utt.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Iegūto skaitļu sēriju sauc veselu skaitļu virkne. Punkti pa kreisi un pa labi šajā ierakstā nozīmē, ka sēriju var turpināt bezgalīgi pa labi un pa kreisi.

Pa labi no skaitļa 0 šajā rindā ir izsauktie skaitļi dabisks vai pozitīvi veseli skaitļi(īsi - pozitīvs).

Pa kreisi no skaitļa 0 šajā rindā ir izsauktie skaitļi vesels skaitlis negatīvs(īsi - negatīvs).

Skaitlis 0 ir vesels skaitlis, bet nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis. Tas atdala pozitīvos un negatīvos skaitļus.

Tāpēc veselu skaitļu virkne sastāv no negatīviem veseliem skaitļiem, nulles un pozitīviem veseliem skaitļiem.

Veselu skaitļu salīdzinājums

Salīdziniet divus veselus skaitļus- nozīmē noskaidrot, kurš no tiem ir lielāks, kurš mazāks, vai noteikt, ka skaitļi ir vienādi.

Jūs varat salīdzināt veselus skaitļus, izmantojot veselu skaitļu rindu, jo skaitļi tajā ir sakārtoti no mazākā uz lielāko, ja pārvietojat rindu no kreisās uz labo pusi. Tāpēc veselu skaitļu sērijās komatus var aizstāt ar zīmi mazāk nekā:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Tāpēc no diviem veseliem skaitļiem, jo ​​lielāks ir skaitlis, kas atrodas sērijas labajā pusē, un jo mazāks ir tas, kas atrodas pa kreisi, Nozīmē:

1) Jebkurš pozitīvs skaitlis ir lielāks par nulli un lielāks par jebkuru negatīvu skaitli:

1 > 0; 15 > -16

2) Jebkurš negatīvs skaitlis, kas mazāks par nulli:

7 < 0; -357 < 0

3) No diviem negatīviem skaitļiem tas, kas veselu skaitļu rindā atrodas pa labi, ir lielāks.

Risinot vienādojumus un nevienādības, kā arī uzdevumus ar moduļiem, atrastās saknes ir jānovieto uz skaitļu līnijas. Kā zināms, atrastās saknes var būt dažādas. Tie var būt šādi: , vai tie var būt šādi: , .

Attiecīgi, ja skaitļi ir nevis racionāli, bet iracionāli (ja esat aizmirsis, kas tie ir, skatieties tēmā), vai arī ir sarežģītas matemātiskas izteiksmes, tad to novietošana uz skaitļu līnijas ir ļoti problemātiska. Turklāt eksāmena laikā jūs nevarat izmantot kalkulatorus, un aptuvenie aprēķini nesniedz 100% garantijas, ka viens skaitlis ir mazāks par citu (ja nu ir atšķirība starp salīdzināmajiem skaitļiem?).

Protams, jūs zināt, ka pozitīvie skaitļi vienmēr ir lielāki par negatīvajiem un, ja mēs iedomājamies skaitļa asi, tad, salīdzinot, lielākie skaitļi būs pa labi nekā mazākie: ; ; utt.

Bet vai vienmēr viss ir tik vienkārši? Kur skaitļu rindā atzīmējam, .

Kā tos var salīdzināt, piemēram, ar skaitli? Šī ir berzēšana...)

Pirmkārt, parunāsim vispārīgi par to, kā un ko salīdzināt.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli un tas ir aizliegts kvadrāts, ja viena no daļām ir negatīva.

Daļskaitļu salīdzinājums

Tātad, mums ir jāsalīdzina divas frakcijas: un.

Ir vairākas iespējas, kā to izdarīt.

1. variants. Samaziniet daļskaitļus līdz kopsaucējam.

Rakstīsim to parastas daļskaitļa formā:

- (kā redzat, samazināju arī skaitītāju un saucēju).

Tagad mums ir jāsalīdzina daļskaitļi:

Tagad mēs varam turpināt salīdzināt divos veidos. Mēs varam:

1. vienkārši apvienojiet visu pie kopsaucēja, uzrādot abas daļas kā nepareizas (skaitītājs ir lielāks par saucēju):

   Kurš skaitlis ir lielāks? Tieši tā, tas, kuram ir lielāks skaitītājs, tas ir, pirmais.

2. “atmetīsim” (ņemam vērā, ka no katras daļdaļas esam atņēmuši vienu, un attiecīgi daļskaitļu attiecība viena pret otru nav mainījusies) un salīdziniet daļas:

   Mēs arī apvienojam tos ar kopsaucēju:

   Mēs saņēmām tieši tādu pašu rezultātu kā iepriekšējā gadījumā - pirmais skaitlis ir lielāks par otro:

   Pārbaudīsim arī, vai vienu atņēmām pareizi? Aprēķināsim skaitītāja starpību pirmajā un otrajā aprēķinā:
   1)
   2)

Tātad, mēs apskatījām, kā salīdzināt daļskaitļus, apvienojot tos līdz kopsaucējam. Pāriesim pie citas metodes – daļskaitļu salīdzināšanu, savešanu pie kopējā... skaitītāja.

2. variants. Daļskaitļu salīdzināšana, reducējot līdz kopējam skaitītājam.

Jā jā. Tā nav drukas kļūda. Šo metodi skolā reti māca, bet ļoti bieži tā ir ļoti ērta. Lai jūs ātri saprastu tā būtību, es jums uzdošu tikai vienu jautājumu - "kādos gadījumos ir vislielākā daļa no vērtības?" Protams, jūs sakāt: “kad skaitītājs ir pēc iespējas lielāks un saucējs pēc iespējas mazāks”.

Piemēram, jūs noteikti varat teikt, ka tā ir taisnība? Ko darīt, ja jāsalīdzina šādas daļskaitļi: ? Es domāju, ka jūs arī uzreiz pareizi uzliksit zīmi, jo pirmajā gadījumā tie ir sadalīti daļās, bet otrajā - veselās, kas nozīmē, ka otrajā gadījumā gabali izrādās ļoti mazi, un attiecīgi: . Kā redzat, saucēji šeit ir atšķirīgi, bet skaitītāji ir vienādi. Taču, lai salīdzinātu šīs divas daļskaitļus, nav jāmeklē kopsaucējs. Lai gan... atrodiet un paskatieties, vai salīdzināšanas zīme joprojām ir nepareiza?

Bet zīme ir tāda pati.

Atgriezīsimies pie sākotnējā uzdevuma - salīdziniet un... Salīdzināsim un... Samazināsim šīs daļskaitļus nevis līdz kopsaucējam, bet gan kopējam skaitītājam. Lai to izdarītu vienkārši skaitītājs un saucējs reiziniet pirmo daļu ar. Mēs iegūstam:

Un. Kura frakcija ir lielāka? Tieši tā, pirmais.

3. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot atņemšanu.

Kā salīdzināt daļskaitļus, izmantojot atņemšanu? Jā, ļoti vienkārši. No vienas daļskaitļa mēs atņemam citu. Ja rezultāts ir pozitīvs, tad pirmā daļa (minuend) ir lielāka par otro (subtrahenda), un, ja negatīva, tad otrādi.

Mūsu gadījumā mēģināsim atņemt pirmo daļu no otrās: .

Kā jūs jau saprotat, mēs arī pārvēršam parastā daļskaitlī un iegūstam tādu pašu rezultātu - . Mūsu izteiksme izpaužas šādā formā:

Tālāk mums joprojām būs jāizmanto samazinājums līdz kopsaucējam. Jautājums ir: pirmajā veidā frakcijas pārveidojot par nepareizām, vai otrajā veidā, it kā “noņemot” vienību? Starp citu, šai darbībai ir pilnīgi matemātisks pamatojums. Skaties:

Man labāk patīk otrais variants, jo skaitītāja reizināšana, samazinot to līdz kopsaucējam, kļūst daudz vienkāršāka.

Savedīsim to pie kopsaucēja:

Šeit galvenais ir neapjukt, no kāda skaitļa mēs atņēmām un kur. Uzmanīgi apskatiet risinājuma gaitu un nejauši nesajauciet zīmes. Mēs no otrā skaitļa atņēmām pirmo skaitli un saņēmām noraidošu atbildi, tātad?.. Tieši tā, pirmais skaitlis ir lielāks par otro.

Sapratu? Mēģiniet salīdzināt daļskaitļus:

Stop, stop. Nesteidzieties pie kopsaucēja vai atņemšanas. Skatieties: varat to viegli pārvērst decimāldaļdaļā. Cik ilgi tas būs? Pa labi. Kas vēl beigās?

Šī ir vēl viena iespēja - daļskaitļu salīdzināšana, pārvēršot decimāldaļās.

4. iespēja: daļskaitļu salīdzināšana, izmantojot dalīšanu.

Jā jā. Un arī tas ir iespējams. Loģika ir vienkārša: sadalot lielāku skaitli ar mazāku, iegūstam skaitli, kas ir lielāks par vienu, un, ja mazāku skaitli dalām ar lielāku, tad atbilde iekrīt intervālā no līdz.

Lai atcerētos šo noteikumu, salīdzināšanai ņemiet jebkurus divus pirmskaitļus, piemēram, un. Vai jūs zināt, kas ir vairāk? Tagad dalīsim ar. Mūsu atbilde ir. Attiecīgi teorija ir pareiza. Ja dalām ar, iegūtais ir mazāks par vienu, kas savukārt apstiprina, ka patiesībā tas ir mazāks.

Mēģināsim piemērot šo noteikumu parastajām daļām. Salīdzināsim:

Sadaliet pirmo daļu ar otro:

Pamazām saīsināsim.

Iegūtais rezultāts ir mazāks, kas nozīmē, ka dividende ir mazāka par dalītāju, tas ir:

Mēs esam izskatījuši visas iespējamās frakciju salīdzināšanas iespējas. Kā jūs tos redzat 5:

• samazināšana līdz kopsaucējam;
• samazinājums līdz kopējam skaitītājam;
• samazinājums līdz decimāldaļai;
• atņemšana;
• nodaļa.

Vai esat gatavs trenēties? Salīdziniet frakcijas optimālā veidā:

Salīdzināsim atbildes:

1. (- konvertēt decimāldaļās)
2. (dala vienu daļskaitli ar otru un samazina ar skaitītāju un saucēju)
3. (izvēlieties visu daļu un salīdziniet daļas, pamatojoties uz viena un tā paša skaitītāja principu)
4. (dalītu daļskaitli ar otru un samazinātu ar skaitītāju un saucēju).

2. Pakāpju salīdzinājums

Tagad iedomājieties, ka mums ir jāsalīdzina ne tikai skaitļi, bet arī izteiksmes, kur ir pakāpe ().

Protams, jūs varat viegli izlikt zīmi:

Galu galā, ja pakāpi aizstājam ar reizināšanu, mēs iegūstam:

No šī mazā un primitīvā piemēra izriet noteikums:

Tagad mēģiniet salīdzināt sekojošo: . Varat arī viegli ievietot zīmi:

Jo, ja mēs kāpināšanu aizstājam ar reizināšanu...

Kopumā jūs visu saprotat, un tas nemaz nav grūti.

Grūtības rodas tikai tad, ja, salīdzinot, grādiem ir dažādas bāzes un rādītāji. Šajā gadījumā ir jācenšas novest pie kopēja pamata. Piemēram:

Protams, jūs zināt, ka šis izteiciens attiecīgi izpaužas šādā formā:

Atvērsim iekavas un salīdzināsim iegūto:

Nedaudz īpašs gadījums ir, ja grāda () bāze ir mazāka par vienu.

Ja, tad no diviem grādiem un lielāka ir tā, kuras indekss ir mazāks.

Mēģināsim pierādīt šo noteikumu. Ļaujiet būt.

Ieviesīsim kādu naturālu skaitli kā atšķirību starp un.

Loģiski, vai ne?

Un tagad vēlreiz pievērsīsim uzmanību nosacījumam - .

Attiecīgi:. Līdz ar to,.

Piemēram:

Kā jūs saprotat, mēs izskatījām gadījumu, kad pilnvaru pamati ir vienādi. Tagad redzēsim, kad bāze atrodas intervālā no līdz, bet eksponenti ir vienādi. Šeit viss ir ļoti vienkārši.

Atcerēsimies, kā to salīdzināt, izmantojot piemēru:

Protams, jūs ātri izdarījāt aprēķinu:

Tāpēc, saskaroties ar līdzīgām problēmām salīdzināšanai, paturiet prātā dažus vienkāršus līdzīgus piemērus, kurus varat ātri aprēķināt, un, pamatojoties uz šo piemēru, novietojiet zīmes sarežģītākā piemērā.

Veicot transformācijas, atceries, ja reizini, saskaiti, atņem vai dala, tad visas darbības jāveic gan ar kreiso, gan labo pusi (ja reizina ar, tad jāreizina abas).

Turklāt ir gadījumi, kad veikt jebkādas manipulācijas ir vienkārši neizdevīgi. Piemēram, jums ir jāsalīdzina. Šajā gadījumā nav tik grūti pacelt spēku un sakārtot zīmi, pamatojoties uz to:

Trenējamies. Salīdziniet grādus:

Vai esat gatavs salīdzināt atbildes? Lūk, ko es saņēmu:

1. - Tāpat kā
2. - Tāpat kā
3. - Tāpat kā
4. - Tāpat kā

3. Skaitļu salīdzināšana ar saknēm

Pirmkārt, atcerēsimies, kas ir saknes? Vai atceries šo ierakstu?

Reāla skaitļa pakāpes sakne ir skaitlis, uz kuru attiecas vienādība.

Saknes nepāra pakāpes pastāv negatīviem un pozitīviem skaitļiem, un pat saknes- tikai pozitīvajiem.

Saknes vērtība bieži vien ir bezgalīgs decimālskaitlis, kas apgrūtina precīzu aprēķinu, tāpēc ir svarīgi spēt salīdzināt saknes.

Ja esat aizmirsis, kas tas ir un ar ko to ēd - . Ja visu atceraties, iemācīsimies soli pa solim salīdzināt saknes.

Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Lai salīdzinātu šīs divas saknes, jums nav jāveic nekādi aprēķini, vienkārši analizējiet pašu “saknes” jēdzienu. Vai jūs saprotat, par ko es runāju? Jā, par to: pretējā gadījumā to var uzrakstīt kā kāda skaitļa trešo pakāpi, kas vienāda ar radikālo izteiksmi.

Kas vēl? vai? Protams, to var salīdzināt bez jebkādām grūtībām. Jo lielāku skaitli mēs palielinām līdz pakāpei, jo lielāka vērtība.

Tātad. Atvasināsim noteikumu.

Ja sakņu eksponenti ir vienādi (mūsu gadījumā tas ir), tad ir jāsalīdzina radikāļu izteiksmes (un) - jo lielāks ir radikāļu skaitlis, jo lielāka ir saknes vērtība ar vienādiem eksponentiem.

Grūti atcerēties? Tad vienkārši paturi piemēru savā galvā un... Tas vairāk?

Sakņu eksponenti ir vienādi, jo sakne ir kvadrātveida. Viena skaitļa () radikālā izteiksme ir lielāka nekā cita (), kas nozīmē, ka noteikums patiešām ir patiess.

Ko darīt, ja radikālās izteiksmes ir vienādas, bet sakņu pakāpes atšķiras? Piemēram: .

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka, izraujot augstākas pakāpes sakni, tiks iegūts mazāks skaitlis. Ņemsim, piemēram:

Apzīmēsim pirmās saknes vērtību kā, bet otrās - kā, tad:

Jūs varat viegli redzēt, ka šajos vienādojumos ir jābūt vairāk, tāpēc:

Ja radikālās izteiksmes ir vienādas(mūsu gadījumā), un sakņu eksponenti ir dažādi(mūsu gadījumā tas ir un), tad ir jāsalīdzina eksponenti(Un) - jo augstāks rādītājs, jo mazāka šī izteiksme.

Mēģiniet salīdzināt šādas saknes:

Salīdzināsim rezultātus?

Mēs to veiksmīgi nokārtojām :). Rodas vēl viens jautājums: ja nu mēs visi esam atšķirīgi? Gan pakāpe, gan radikāla izpausme? Ne viss ir tik sarežģīti, vajag tikai... “atbrīvoties” no saknes. Jā jā. Vienkārši atbrīvojieties no tā)

Ja mums ir dažādas pakāpes un radikālas izteiksmes, sakņu eksponentiem jāatrod mazākais kopīgais daudzkārtnis (lasiet sadaļu par to) un abas izteiksmes jāpaaugstina līdz pakāpei, kas vienāda ar mazāko kopējo daudzkārtni.

Ka mēs visi esam vārdos un vārdos. Šeit ir piemērs:

1. Mēs skatāmies uz sakņu rādītājiem - un. To mazākais kopīgais daudzkārtnis ir .
2. Paaugstināsim abus izteiksmes pakāpē:
3. Pārveidosim izteiksmi un atveram iekavas (sīkāka informācija nodaļā):
4. Saskaitīsim paveikto un uzliksim zīmi:

4. Logaritmu salīdzinājums

Tātad, lēnām, bet noteikti, mēs nonācām pie jautājuma par logaritmu salīdzināšanu. Ja neatceraties, kāda veida dzīvnieks tas ir, iesaku vispirms izlasīt teoriju no sadaļas. Vai esi izlasījis? Pēc tam atbildiet uz dažiem svarīgiem jautājumiem:

1. Kāds ir logaritma arguments un kāda ir tā bāze?
2. Kas nosaka, vai funkcija palielinās vai samazinās?

Ja visu atceraties un esat to lieliski apguvis, sāksim!

Lai salīdzinātu logaritmus savā starpā, jums jāzina tikai 3 paņēmieni:

• samazināšana līdz tādam pašam pamatam;
• samazinājums uz to pašu argumentu;
• salīdzinājums ar trešo numuru.

Sākumā pievērsiet uzmanību logaritma bāzei. Vai atceraties, ja tas ir mazāks, tad funkcija samazinās, un, ja ir vairāk, tad tā palielinās. Uz to balstīsies mūsu spriedumi.

Apskatīsim logaritmu salīdzinājumu, kas jau ir samazināti līdz tādai pašai bāzei vai argumentam.

Sākumā vienkāršosim uzdevumu: ievadiet salīdzinātos logaritmus vienādi pamatojumi. Pēc tam:

1. Funkcija for palielinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“tiešs salīdzinājums”).
2. Piemērs:- pamatojums ir vienāds, attiecīgi salīdzinām argumentus: , tāpēc:
3. Funkcija pie samazinās intervālā no, kas pēc definīcijas nozīmē tad (“apgrieztā salīdzināšana”). - bāzes ir vienādas, attiecīgi salīdzinām argumentus: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”, jo funkcija samazinās: .

Tagad apsveriet gadījumus, kad iemesli ir atšķirīgi, bet argumenti ir vienādi.

1. Pamatne ir lielāka.
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram: - argumenti ir vienādi, un. Salīdzināsim bāzes: tomēr logaritmu zīme būs “apgriezta”:
2. Pamatne a atrodas spraugā.
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “tiešo salīdzinājumu”. Piemēram:
   • . Šajā gadījumā mēs izmantojam “apgriezto salīdzināšanu”. Piemēram:

Pierakstīsim visu vispārīgā tabulas veidā:

, kurā	, kurā

Attiecīgi, kā jūs jau sapratāt, salīdzinot logaritmus, mums ir jānoved pie vienas bāzes jeb argumenta, izmantojot formulu pārejai no vienas bāzes uz otru.

Varat arī salīdzināt logaritmus ar trešo skaitli un, pamatojoties uz to, izdarīt secinājumu par to, kas ir mazāk un kas ir vairāk. Piemēram, padomājiet, kā salīdzināt šos divus logaritmus?

Neliels mājiens - salīdzinājumam jums ļoti palīdzēs logaritms, kura arguments būs līdzvērtīgs.

Domāja? Izlemsim kopā.

Mēs varam viegli salīdzināt šos divus logaritmus ar jums:

Nezinu kā? Skatīt iepriekš. Mēs tikko to nokārtojām. Kāda zīme būs? Pa labi:

Piekrītu?

Salīdzināsim viens ar otru:

Jums vajadzētu iegūt sekojošo:

Tagad apvienojiet visus mūsu secinājumus vienā. Vai notika?

5. Trigonometrisko izteiksmju salīdzinājums.

Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss? Kāpēc mums ir vajadzīgs vienību aplis un kā uz tā atrast trigonometrisko funkciju vērtību? Ja nezināt atbildes uz šiem jautājumiem, ļoti iesaku izlasīt teoriju par šo tēmu. Un, ja jūs zināt, tad salīdzināt trigonometriskās izteiksmes savā starpā jums nav grūti!

Nedaudz atsvaidzināsim atmiņu. Uzzīmēsim vienības trigonometrisko apli un tajā ierakstītu trīsstūri. Vai jums izdevās? Tagad atzīmējiet, kurā pusē mēs attēlojam kosinusu un kurā pusē sinusu, izmantojot trijstūra malas. (jūs, protams, atceraties, ka sinuss ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu, bet kosinuss ir blakus esošā puse?). Vai jūs to uzzīmējāt? Lieliski! Pēdējais pieskāriens ir nolikt, kur mums tas būs, kur un tā tālāk. Vai tu to noliku? Phew) Salīdzināsim to, kas notika ar tevi un mani.

Fu! Tagad sāksim salīdzināšanu!

Pieņemsim, ka jāsalīdzina un. Uzzīmējiet šos leņķus, izmantojot uzvednes lodziņos (kur esam atzīmējuši), novietojot punktus uz vienības apļa. Vai jums izdevās? Lūk, ko es saņēmu.

Tagad nometīsim perpendikulu no punktiem, kurus atzīmējām uz apļa uz asi... Kuru? Kura ass parāda sinusa vērtību? Pa labi, . Tas ir tas, ko jums vajadzētu iegūt:

Skatoties uz šo attēlu, kurš ir lielāks: vai? Protams, jo punkts ir virs punkta.

Līdzīgā veidā mēs salīdzinām kosinusu vērtību. Mēs nolaižam tikai perpendikulu pret asi... Tieši tā, . Attiecīgi mēs skatāmies, kurš punkts ir pa labi (vai augstāks, kā sinusu gadījumā), tad vērtība ir lielāka.

Jūs droši vien jau zināt, kā salīdzināt pieskares, vai ne? Viss, kas jums jāzina, ir tas, kas ir tangenss. Tātad, kas ir tangenss?) Tieši tā, sinusa attiecība pret kosinusu.

Lai salīdzinātu pieskares, mēs zīmējam leņķi tāpat kā iepriekšējā gadījumā. Pieņemsim, ka mums ir jāsalīdzina:

Vai jūs to uzzīmējāt? Tagad mēs atzīmējam arī sinusa vērtības uz koordinātu ass. Vai pamanījāt? Tagad uz koordinātu līnijas norādiet kosinusa vērtības. Vai notika? Salīdzināsim:

Tagad analizējiet to, ko uzrakstījāt. - mēs sadalām lielu segmentu mazā. Atbildē būs vērtība, kas noteikti ir lielāka par vienu. Pa labi?

Un kad sadalām mazo ar lielo. Atbilde būs skaitlis, kas ir tieši mazāks par vienu.

Tātad, kurai trigonometriskajai izteiksmei ir lielāka vērtība?

Pa labi:

Kā jūs tagad saprotat, kotangenšu salīdzināšana ir viena un tā pati lieta, tikai otrādi: mēs skatāmies, kā segmenti, kas nosaka kosinusu un sinusu, ir saistīti viens ar otru.

Mēģiniet pats salīdzināt šādas trigonometriskās izteiksmes:

Piemēri.

Atbildes.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. VIDĒJAIS LĪMENIS.

Kurš skaitlis ir lielāks: vai? Atbilde ir acīmredzama. Un tagad: vai? Vairs nav tik acīmredzami, vai ne? Tātad: vai?

Bieži vien jums jāzina, kura skaitliskā izteiksme ir lielāka. Piemēram, lai, risinot nevienādību, novietotu punktus uz ass pareizā secībā.

Tagad es jums iemācīšu salīdzināt šādus skaitļus.

Ja jums ir jāsalīdzina skaitļi un, starp tiem ievietojam zīmi (atvasināta no latīņu vārda Versus vai saīsināti pret - pret): . Šī zīme aizstāj nezināmo nevienlīdzības zīmi (). Tālāk veiksim identiskas transformācijas, līdz kļūs skaidrs, kura zīme jāievieto starp cipariem.

Skaitļu salīdzināšanas būtība ir šāda: mēs pret zīmi attiecamies tā, it kā tā būtu kāda veida nevienlīdzības zīme. Un ar izteiksmi mēs varam darīt visu, ko mēs parasti darām ar nevienlīdzību:

• pievienojiet jebkuru skaitli abām pusēm (un, protams, mēs varam arī atņemt)
• “pārvietot visu uz vienu pusi”, tas ir, no abām daļām atņemiet vienu no salīdzinātajām izteiksmēm. Atņemtās izteiksmes vietā paliks: .
• reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli. Ja šis skaitlis ir negatīvs, nevienlīdzības zīme tiek apgriezta: .
• paceliet abas puses uz vienādu spēku. Ja šī jauda ir vienmērīga, jums jāpārliecinās, ka abām daļām ir vienāda zīme; ja abas daļas ir pozitīvas, zīme nemainās, paceļot pakāpē, bet, ja tās ir negatīvas, tad mainās uz pretējo.
• no abām daļām izvelciet tādas pašas pakāpes sakni. Ja mēs iegūstam pāra pakāpes sakni, vispirms ir jāpārliecinās, ka abas izteiksmes nav negatīvas.
• jebkuras citas līdzvērtīgas pārvērtības.

Svarīgi: pārveidojumus vēlams veikt tā, lai nevienlīdzības zīme nemainītos! Tas ir, transformāciju laikā nav vēlams reizināt ar negatīvu skaitli, un jūs nevarat to kvadrātā, ja viena no daļām ir negatīva.

Apskatīsim dažas tipiskas situācijas.

1. Paaugstināšana.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Tā kā abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, mēs varam to kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Šeit mēs varam arī to kvadrātā, bet tas tikai palīdzēs mums atbrīvoties no kvadrātsaknes. Šeit tas ir jāpaaugstina līdz tādai pakāpei, lai abas saknes izzustu. Tas nozīmē, ka šīs pakāpes eksponentam ir jādalās gan ar (pirmās saknes pakāpe), gan ar. Tāpēc šis skaitlis tiek palielināts līdz pakāpei:

2. Reizināšana ar tā konjugātu.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Reizināsim un dalīsim katru starpību ar konjugēto summu:

Acīmredzot saucējs labajā pusē ir lielāks nekā saucējs kreisajā pusē. Tāpēc labā frakcija ir mazāka par kreiso:

3. Atņemšana

Atcerēsimies to.

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Protams, mēs varētu visu sadalīt kvadrātā, pārgrupēt un vēlreiz kvadrātā. Bet jūs varat darīt kaut ko gudrāku:

Var redzēt, ka kreisajā pusē katrs termins ir mazāks nekā katrs vārds labajā pusē.

Attiecīgi visu terminu summa kreisajā pusē ir mazāka nekā visu labās puses terminu summa.

Bet esi piesardzīgs! Mums jautāja, kas vēl...

Labā puse ir lielāka.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus un...

Risinājums.

Atcerēsimies trigonometrijas formulas:

Pārbaudīsim, kurās trigonometriskā apļa ceturtdaļās atrodas punkti un meli.

4. Sadalījums.

Šeit mēs izmantojam arī vienkāršu noteikumu: .

Pie vai, tas ir.

Kad zīme mainās: .

Piemērs.

Salīdzināt: .

Risinājums.

5. Salīdziniet skaitļus ar trešo skaitli

Ja un, tad (transitivitātes likums).

Piemērs.

Salīdzināt.

Risinājums.

Salīdzināsim skaitļus nevis savā starpā, bet ar skaitli.

Ir skaidrs, ka.

Citā pusē, .

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Abi skaitļi ir lielāki, bet mazāki. Atlasīsim tādu skaitli, lai tas būtu lielāks par vienu, bet mazāks par otru. Piemēram, . Pārbaudīsim:

6. Ko darīt ar logaritmiem?

Nekas īpašs. Kā atbrīvoties no logaritmiem, ir detalizēti aprakstīts tēmā. Pamatnoteikumi ir:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \bultiņa pa kreisi (\rm( ))\left[ (\begin(masīvs)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \ķīlis (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ķīlis y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Mēs varam arī pievienot noteikumu par logaritmiem ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

To var izskaidrot šādi: jo lielāka ir bāze, jo mazāka pakāpe būs jāpaaugstina, lai iegūtu vienu un to pašu. Ja bāze ir mazāka, tad ir otrādi, jo atbilstošā funkcija monotoni samazinās.

Piemērs.

Salīdziniet skaitļus: un.

Risinājums.

Saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem:

Un tagad formula progresīviem.

Logaritmu salīdzināšanas noteikumu var uzrakstīt īsāk:

Piemērs.

Kas ir vairāk: vai?

Risinājums.

Piemērs.

Salīdziniet, kurš skaitlis ir lielāks: .

Risinājums.

SKAITĻU SALĪDZINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

1. Paaugstināšana

Ja abas nevienlīdzības puses ir pozitīvas, tās var sadalīt kvadrātā, lai atbrīvotos no saknes

2. Reizināšana ar tā konjugātu

Konjugāts ir faktors, kas papildina izteiksmi ar kvadrātu atšķirības formulu: - konjugāts par un otrādi, jo .

3. Atņemšana

4. Sadalījums

Kad vai tas ir

Kad zīme mainās:

5. Salīdzinājums ar trešo numuru

Ja un tad

6. Logaritmu salīdzinājums

Pamatnoteikumi:

Logaritmi ar dažādām bāzēm un vienu un to pašu argumentu:

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt pašlaik lasāmās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Negatīvie un iedomātie skaitļi

Tagad mēs uzdrošināmies pievērsties algebrai. Negatīvu un iedomātu skaitļu izmantošana algebrā apstiprina analīzes četrdaļīgo raksturu un sniedz papildu iespēju izmantot trīsdaļīgu analīzi. Šajā gadījumā mums vēlreiz jābrīdina, ka mēs plānojam izmantot algebras jēdzienus mērķiem, kas ir daudz plašāki par šo jēdzienu parasto pielietojumu, jo daži no algebras atklājumiem sniedz būtisku ieguldījumu mūsu pētījumos.

Matemātikas evolūcija gāja ar lēcieniem un robežām pēc tam, kad tika atklāta iespēja izmantot negatīvus skaitļus ( negatīvie daudzumi). Ja iedomājamies pozitīvos skaitļus kā virkni, kas iet pa labi no nulles, tad pa kreisi no nulles būs negatīvi skaitļi.
utt... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3... utt.

Izmantojot šo grafiku, mēs varam domāt par saskaitīšanu kā pārvietošanos pa labi un atņemšanu kā pārvietošanos pa kreisi. Kļūst iespējams atņemt lielāku skaitli no mazāka; piemēram, ja no 1 atņemam 3, iegūstam -2, kas ir reāls (kaut arī negatīvs) skaitlis.

Nākamais svarīgais jēdziens ir iedomāti skaitļi. Tie netika atklāti, bet gan nejauši. Matemātiķi nonāca pie secinājuma, ka skaitļiem ir saknes, tas ir, skaitļi, kas, reizinot paši ar sevi, dod vēlamo skaitli. Negatīvo skaitļu atklāšana un to salīdzināšana ar saknēm izraisīja paniku zinātnieku aprindās. Kādi ir skaitļi, kurus reizinot viens ar otru, iegūts skaitlis -1? Kādu laiku atbildes nebija. Negatīvā skaitļa kvadrātsakni nebija iespējams aprēķināt. Tāpēc viņi to sauca par iedomātu. Bet, kad Gauss, saukts par “matemātiķu princi”, atklāja iedomātu skaitļu attēlošanas metodi, drīz tos bija iespējams izmantot. Mūsdienās tos izmanto līdzvērtīgi reālajiem skaitļiem. Iedomātu skaitļu attēlošanas metode izmanto Arganda diagrammu, kas attēlo veselumu kā apli, bet šī veseluma saknes - kā apļa sadaļas.

Atcerēsimies, ka virkne negatīvu un pozitīvu skaitļu atšķiras pretējos virzienos no viena punkta - nulles. Tādējādi veselu skaitļu kvadrātsaknes +1 vai -1 var izteikt arī kā līnijas pretējos galus, kuru centrā ir nulle. Šo līniju var attēlot arī kā 180 0 leņķi vai diametru.

Gauss izstrādāja sākotnējo ideju un attēloja kvadrātsakni no -1 kā pusi no attāluma starp +1 un -1 vai kā 90° leņķi starp līniju no -1 līdz +1. Līdz ar to, ja veseluma dalījums plusos un mīnusos ir diametrs jeb 180 0, tad otrais dalījums noved pie citas ass parādīšanās, kas sadala šo diametru uz pusēm, t.i., ar 90 0 leņķi.

Tādējādi mēs iegūstam divas asis - horizontālo, kas attēlo pozitīvo un negatīvo skaitļu bezgalības, un vertikālo, kas attēlo iedomātu pozitīvo un negatīvo skaitļu bezgalības. Rezultāts ir regulāra koordinātu ass, kur ar šo diagrammu un asīm aprakstītais skaitlis ir skaitlis, kuram ir reālas un iedomātas daļas.

Izmantojot Arganda diagrammu (šis aplis ar veseluma rādiusu (rādiuss +1) sarežģītā koordinātu sistēmā), mēs atrodam šādas veseluma saknes (kuba saknes, saknes uz ceturto, piekto pakāpju utt.) sadalot apli trīs, piecos utt. d. Veselas saknes atrašana kļūst par daudzstūru ierakstīšanas procesu aplī: trīsstūris kuba saknei, piecstūris piektajai saknei utt. Saknes kļūst par punktiem uz apļa; to vērtībām ir reālas un iedomātas daļas, un tās tiek aprēķinātas attiecīgi pa horizontālo vai vertikālo koordinātu asīm. Tas nozīmē, ka tie tiek mērīti terminos kvadrātsaknes un saknes līdz ceturtajai pakāpei.

No šīs spēcīgās loģiskās vienkāršošanas kļūst skaidrs, ka analīze ir četru daļu process. Jebkuru situāciju var aplūkot no četru faktoru vai aspektu viedokļa. Tas ne tikai vēl vairāk apstiprina Aristoteļa ideju par četrām kategorijām, bet arī izskaidro, kāpēc kvadrātvienādojumi (citiem vārdiem sakot, "četrstūri") ir tik populāri matemātikā.

Taču secinājums par analīzes būtību kā četrdaļīgu būtībā paredz tās darbību abos virzienos. Analīze parāda gan četrdaļas visaptverošumu, gan tās ierobežojumus. Un arī tas, ka dažkārt pieredzes būtība ir pretrunā jebkurai analīzei.

Atrodoties ģeometriskās metodes “iekšā”, mēs parādījām, ka šie neanalītiskie faktori ietver trīskāršību, piecību un septiņkāršību. Neskatoties uz to, ka mēs varam sniegt to analītisko aprakstu, tas nespēj atklāt to patieso būtību.

Ir daudz veidu skaitļu, viens no tiem ir veseli skaitļi. Šķita, ka veseli skaitļi atvieglo skaitīšanu ne tikai pozitīvā, bet arī negatīvā virzienā.

Apskatīsim piemēru:
Dienā ārā bija 3 grādi. Līdz vakaram temperatūra pazeminājās par 3 grādiem.
3-3=0
Ārā kļuva 0 grādu. Un naktī temperatūra noslīdēja par 4 grādiem un termometrs sāka rādīt -4 grādus.
0-4=-4

Veselu skaitļu virkne.

Mēs nevaram aprakstīt šādu problēmu, izmantojot naturālus skaitļus, mēs izskatīsim šo problēmu koordinātu taisnē.

Mēs saņēmām skaitļu sēriju:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Šo skaitļu sēriju sauc veselu skaitļu virkne.

Pozitīvi veseli skaitļi. Negatīvi veseli skaitļi.

Veselu skaitļu sērija sastāv no pozitīviem un negatīviem skaitļiem. Pa labi no nulles ir naturālie skaitļi, vai arī tos sauc pozitīvi veseli skaitļi. Un pa kreisi no nulles viņi iet negatīvi veseli skaitļi.

Nulle nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis. Tā ir robeža starp pozitīviem un negatīviem skaitļiem.

ir skaitļu kopa, kas sastāv no naturāliem skaitļiem, negatīviem veseliem skaitļiem un nulles.

Veselu skaitļu virkne pozitīvā un negatīvā virzienā ir bezgalīgs skaitlis.

Ja ņemam jebkurus divus veselus skaitļus, tad tiks izsaukti skaitļi starp šiem veseliem skaitļiem ierobežots komplekts.

Piemēram:
Ņemsim veselus skaitļus no -2 līdz 4. Visi skaitļi starp šiem skaitļiem ir iekļauti galīgajā kopā. Mūsu galīgais skaitļu kopums izskatās šādi:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Dabiskos skaitļus apzīmē ar latīņu burtu N.
Veselus skaitļus apzīmē ar latīņu burtu Z. Visu naturālo skaitļu un veselo skaitļu kopu var attēlot attēlā.


Nepozitīvi veseli skaitļi citiem vārdiem sakot, tie ir negatīvi veseli skaitļi.
Nenegatīvi veseli skaitļi ir pozitīvi veseli skaitļi.