1 6 uz koordinātu līnijas. Koordinātu līnija (skaitļu līnija), koordinātu stars

Ieslēgts šī nodarbība Mēs iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu un atvasināsim tās galvenos raksturlielumus un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenās problēmas. Atrisināsim vairākus šo problēmu apvienošanas piemērus.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu līniju?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta regulāra līnija, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līnija ir līnija l, uz kuras ir izvēlēts sākuma punkts O - atskaites sākumpunkts, skala ir vienības segments, tas ir, segments, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar vienu, un pozitīvs virziens.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Noskaidrosim, kāpēc koordinātu līnija ir nepieciešama, lai to izdarītu, mēs definēsim tās galveno īpašību. Koordinātu līnija nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp visu skaitļu kopu un visu punktu kopu šajā taisnē. Šeit ir daži piemēri:

Ir doti divi skaitļi: (zīme “+”, modulis ir trīs) un (zīme “-”, modulis ir trīs).

Šeit skaitli sauc par koordinātu A, skaitli sauc par koordinātu B.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt numurs pēc dots punkts. Apskatīsim otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Lai noteiktu skaitli no dotā punkta, vispirms ir jānosaka attālums no sākuma līdz punktam. Šajā gadījumā attālums ir divi. Tagad jums ir jānosaka skaitļa zīme, tas ir, kurā taisnes starā atrodas punkts M. Šajā gadījumā punkts atrodas pa labi no sākuma, pozitīvā starā, kas nozīmē skaitli ir “+” zīme.

Ņemsim vēl vienu punktu un izmantosim to, lai noteiktu skaitli:

Attālums no sākuma līdz punktam ir līdzīgs iepriekšējā piemērā, vienāds ar divi, bet šajā gadījumā punkts atrodas pa kreisi no sākuma uz negatīvā stara, kas nozīmē, ka punkts N raksturo skaitli

Visas tipiskās problēmas, kas saistītas ar koordinātu līniju, vienā vai otrā veidā ir saistītas ar tās galveno īpašību un divām galvenajām problēmām, kuras mēs formulējām un atrisinājām.

UZ tipiski uzdevumi attiecas:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. dosim divus punktus:

Tad attālums starp tiem būs vienāds ar:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitļu kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad, mums ir dota punktu kopa, kas atrodas uz koordinātu ass. Aprakstīsim skaitļu kopu, ko raksturo šī punktu kopa. Šādu skaitļu un punktu ir neskaitāmi, tāpēc šis ieraksts izskatās šādi:

Paskaidrosim: otrajā ierakstīšanas opcijā, ja ievietojat iekavas “(”, tad galējais skaitlis - šajā gadījumā skaitlis 3, komplektā neietilpst, bet, ja ievietojat kvadrātiekava "[ ”, tad galējais skaitlis ir iekļauts komplektā.

Tātad, mēs rakstījām analītiski numuru komplekts, kas raksturo doto punktu kopu. analītiskā pierakstīšana, kā jau teicām, tiek veikta vai nu nevienādības, vai intervāla formā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekavas vienmēr tiek ievietotas aiz vai pirms bezgalības zīmes, jo mēs nekad nesasniegsim bezgalību, un blakus ciparam var būt iekava vai kvadrātiekava atkarībā no uzdevuma nosacījumiem.

Apskatīsim apgrieztas problēmas piemēru.

Tiek dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

Koordinātu līnija nosaka vienu pret vienu atbilstību starp jebkuru punktu un skaitli, un tādējādi starp skaitliskām kopām un punktu kopām. Mēs apskatījām starus, kas vērsti gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, iekļaujot to virsotni un neiekļaujot to. Tagad apskatīsim segmentus.

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Tiek dota numuru kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrast mazākais skaitlis no starp:

Atrast lielākais skaitlis no intervāla, ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs vislielākais liels skaits, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies, tā ka nav iespējams atrast lielāko skaitli šajā intervālā.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams izvēlēties tuvāko skaitli jebkuram skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr ir vēl tuvāks skaitlis.

Cik daudz naturālie skaitļi ietverti noteiktā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Šis raksts ir veltīts tādu jēdzienu kā koordinātu stars un koordinātu līnija analīzei. Mēs pakavēsimies pie katra jēdziena un detalizēti aplūkosim piemērus. Pateicoties šim rakstam, jūs varat atsvaidzināt savas zināšanas vai iepazīties ar tēmu bez skolotāja palīdzības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lai definētu koordinātu staru jēdzienu, jums ir jābūt priekšstatam par to, kas ir stars.

1. definīcija

Rejs-Šo ģeometriskā figūra, kam ir koordinātu stara izcelsme un kustības virziens. Taisnā līnija parasti tiek attēlota horizontāli, norādot virzienu pa labi.

Piemērā redzam, ka O ir stara sākums.

1. piemērs

Koordinātu stars ir attēlots pēc vienas un tās pašas shēmas, taču ievērojami atšķiras. Mēs nosakām sākuma punktu un izmērām vienu segmentu.

2. piemērs

2. definīcija

Vienības segments ir attālums no 0 līdz mērīšanai izvēlētajam punktam.

3. piemērs

No viena segmenta beigām jums jāievieto daži sitieni un jāveic atzīmes.

Pateicoties manipulācijām, ko veicām ar staru, tas kļuva koordinēts. Apzīmējiet sitienus ar naturāliem skaitļiem secībā no 1 - piemēram, 2, 3, 4, 5...

4. piemērs

3. definīcija

– tas ir mērogs, kas var ilgt bezgalīgi.

Tas bieži tiek attēlots kā stars, kas sākas punktā O, un tiek uzzīmēts vienas vienības segments. Piemērs ir parādīts attēlā.

5. piemērs

Jebkurā gadījumā mēs varēsim turpināt mērogu līdz vajadzīgajam skaitam. Ciparus var rakstīt pēc iespējas ērtāk – zem sijas vai virs tā.

6. piemērs

Lai parādītu staru koordinātas, var izmantot gan lielos, gan mazos burtus.

Koordinātu līnijas attēlošanas princips praktiski neatšķiras no stara attēlošanas. Tas ir vienkārši - uzzīmējiet staru un pievienojiet to taisnei, piešķirot tam pozitīvu virzienu, ko norāda bultiņa.

7. piemērs

Zīmējiet staru pretējā virzienā, pagarinot to līdz taisnai līnijai

8. piemērs

Atlieciet atsevišķus segmentus saskaņā ar iepriekš minēto piemēru

Kreisajā pusē pierakstiet naturālos skaitļus 1, 2, 3, 4, 5...s pretējā zīme. Pievērsiet uzmanību piemēram.

9. piemērs

Varat atzīmēt tikai izcelsmi un atsevišķus segmentus. Skatiet piemēru, kā tas izskatīsies.

10. piemērs

4. definīcija

- tā ir taisna līnija, kas ir attēlota ar noteiktu atskaites punktu, kas tiek pieņemts kā 0, vienības segments un noteikts kustības virziens.

Atbilstība starp punktiem uz koordinātu līnijas un reāliem skaitļiem

Koordinātu līnijā var būt daudz punktu. Tie ir tieši saistīti ar reāliem skaitļiem. To var definēt kā savstarpēju saraksti.

5. definīcija

Katrs koordinātu līnijas punkts atbilst vienam reālam skaitlim, un katrs reālais skaitlis atbilst vienam punktam koordinātu taisnē.

Lai labāk izprastu noteikumu, jāatzīmē punkts uz koordinātu līnijas un jāskatās, kāds naturālais skaitlis atbilst atzīmei. Ja šis punkts sakrīt ar izcelsmi, tas tiks atzīmēts ar nulli. Ja punkts nesakrīt ar sākuma punktu, mēs atlikam nepieciešamo vienību segmentu skaitu, līdz sasniedzam norādīto atzīmi. Zem tā rakstītais skaitlis atbildīs šim punktam. Izmantojot tālāk sniegto piemēru, mēs skaidri parādīsim šo noteikumu.

11. piemērs

Ja mēs nevaram atrast punktu, uzzīmējot vienības segmentus, jāatzīmē arī punkti, kas veido vienu desmito, simto vai tūkstošdaļu no vienības segmenta. Lai detalizēti izpētītu šo noteikumu, var izmantot piemēru.

Atliekot malā vairākus līdzīgus segmentus, varam iegūt ne tikai veselu, bet arī daļskaitli – gan pozitīvu, gan negatīvu.

Atzīmētie segmenti palīdzēs mums atrast vajadzīgo punktu uz koordinātu līnijas. Tie var būt veseli vai daļskaitļi. Tomēr taisnā līnijā ir punkti, kurus ir ļoti grūti atrast, izmantojot atsevišķus segmentus. Šie punkti atbilst decimāldaļas. Lai meklētu šādu punktu, jums būs jāatliek vienības segments, desmitā daļa, simtdaļa, tūkstošdaļa, desmittūkstošdaļa un citas tā daļas. Viens punkts koordinātu taisnē atbilst iracionālajam skaitlim π (= 3, 141592...).

Reālo skaitļu kopa ietver visus skaitļus, kurus var uzrakstīt kā daļu. Tas ļauj mums noteikt noteikumu.

6. definīcija

Katrs koordinātu līnijas punkts atbilst noteiktam reālam skaitlim. Dažādi punkti nosaka dažādus reālos skaitļus.

Šī atbilstība ir unikāla – katrs punkts atbilst noteiktam reālam skaitlim. Bet tas darbojas arī pretējā virzienā. Mēs varam arī norādīt konkrētu punktu koordinātu taisnē, kas attieksies uz konkrētu reālo skaitli. Ja skaitlis nav vesels skaitlis, mums ir jāatzīmē vairāki vienību segmenti, kā arī desmitdaļas un simtdaļas noteiktā virzienā. Piemēram, skaitlis 400350 atbilst punktam uz koordinātu līnijas, kuru var sasniegt no sākuma, uzzīmējot pozitīvā virzienā 400 vienību segmentus, 3 segmentus, kas veido vienības desmito daļu, un 5 segmentus, kas veido tūkstošdaļu.

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu, atvasināsim tās galvenās īpašības un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenās problēmas. Atrisināsim vairākus šo problēmu apvienošanas piemērus.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu līniju?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta regulāra līnija, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Ir doti divi skaitļi: (zīme “+”, modulis ir trīs) un (zīme “-”, modulis ir trīs).

Šeit skaitli sauc par koordinātu A, skaitli sauc par koordinātu B.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt skaitlis pēc noteikta punkta. Apskatīsim otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Ņemsim vēl vienu punktu un izmantosim to, lai noteiktu skaitli:

Tipiski uzdevumi ietver:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. dosim divus punktus:

Tad attālums starp tiem būs vienāds ar:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitļu kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad, mēs esam analītiski uzrakstījuši skaitlisku kopu, kas raksturo noteiktu punktu kopu. analītiskā pierakstīšana, kā jau teicām, tiek veikta vai nu nevienādības, vai intervāla formā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Apskatīsim apgrieztas problēmas piemēru.

Tiek dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Tiek dota numuru kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrodiet mazāko skaitli no intervāla:

Atrodiet lielāko skaitli intervālā, ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs lielākais skaitlis, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies tā, ka nav iespējams atrast lielāko skaitli. šis intervāls.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams izvēlēties tuvāko skaitli jebkuram skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr ir vēl tuvāks skaitlis.

Cik naturālu skaitļu ir dotajā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir “Ahileja un bruņurupuča” aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ...diskusijas turpinās līdz pat šai dienai zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību...bija iesaistīti jautājuma izpētē; matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. AR fiziskais punkts No perspektīvas izskatās, ka laiks palēninās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nesteidzieties abpusēji. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss to var pārvarēt ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika momentā dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Uz ko vēlos norādīt Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Atšķirības starp kopu un multikopu ir ļoti labi aprakstītas Vikipēdijā. Paskatīsimies.

Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējs inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai drīzāk, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Piemērojams matemātiskā teorija kopas pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Pēc tam mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un dodam matemātiķim viņa "matemātisko algas kopu". Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: tas ir uz dažādām monētām dažādi daudzumi netīrumi, kristāla struktūra un katras monētas atomu izvietojums ir unikāls...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautāt: kur ir līnija, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet tāpēc viņi ir šamaņi, lai mācītu saviem pēcnācējiem prasmes un gudrību, pretējā gadījumā šamaņi vienkārši izmirs.

Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, ar kuru var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var viegli izdarīt.

Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tātad, pieņemsim skaitli 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.

1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli grafiskā skaitļa simbolā. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs izgriezām vienu iegūto attēlu vairākos attēlos, kas satur atsevišķus skaitļus. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Pārvērtiet atsevišķus grafiskos simbolus skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.

4. Pievienojiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir “griešanas un šūšanas kursi”, kurus māca šamaņi un kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.

No matemātiskā viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā rakstām skaitli. Tātad dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma ir norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar lielo skaitli 12345 es nevēlos mānīt galvu, ņemsim vērā skaitli 26 no raksta par. Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli zem mikroskopa, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat kā, ja jūs noteiktu taisnstūra laukumu metros un centimetros, jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments par labu tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek apzīmēts kaut kas, kas nav skaitlis? Matemātiķiem nekas neeksistē, izņemot skaitļus? Es to varu atļauties šamaņiem, bet ne zinātniekiem. Realitāte nav tikai skaitļi.

Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša daudzuma mērvienībām noved pie dažādi rezultāti pēc to salīdzināšanas tas nozīmē, ka tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa lieluma, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.

Pieraksts uz durvīm Viņš atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu indefiliskā svētuma izpētei to pacelšanās debesīs laikā! Halo virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete... Oreols augšpusē un bultiņa uz leju ir vīriešu kārtas.

Ja šāds dizaina mākslas darbs jūsu acu priekšā pazib vairākas reizes dienā,

Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:

Es personīgi cenšos saskatīt mīnus četrus grādus kakājošā cilvēkā (viena bilde) (vairāku bilžu kompozīcija: mīnusa zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es nedomāju, ka šī meitene ir muļķe, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir spēcīgs stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.

1A nav “mīnus četri grādi” vai “viens a”. Tas ir "kakājošs vīrietis" vai skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālajā apzīmējumā. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.

Nodarbības tēma:

« Tiešās koordinātas»

Nodarbības mērķis:

Iepazīstiniet skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši: iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīvajiem skaitļiem.

Izglītība: attīstība loģiskā domāšana, paplašinot redzesloku.

Izglītība: attīstība kognitīvā interese, informācijas kultūras izglītība.

Nodarbības plāns:

Org moments. Skolēnu un viņu gatavības stundai pārbaude.

Atjaunināt priekšzināšanas. Mutiska aptauja skolēni par aplūkoto tēmu.

Jaunā materiāla skaidrojums.

4. Apgūtā materiāla nostiprināšana.

5. Apkopojot. Kopsavilkums par nodarbībā apgūto. Studentu jautājumi.

6. Secinājumi. Nodarbības galveno punktu apkopošana. Zināšanu novērtēšana. Atzīmju veidošana.

7. Mājasdarbs . Patstāvīgs darbs studenti ar pētīto materiālu.

Aprīkojums: krīts, dēlis, slaidi.

Detalizēts kontūrplāns

Skatuves nosaukums un saturs

Aktivitāte

studenti

I posms

Org moments. Sveicieni.

Žurnāla aizpildīšana.

sveic klasi, klases vadītājs iedod sarakstu ar tiem, kas nav klāt.

Sasveicinies ar

skolotājs

II posms

Pamatzināšanu atjaunināšana.

Sengrieķu zinātnieks Pitagors ir teicis: "Cipari valda pār pasauli." Jūs un es dzīvojam šajā skaitļu pasaulē un iekšā skolas gadi mācīšanās strādāt ar dažādi skaitļi.

1 Kādus skaitļus mēs jau zinām šodienas nodarbībai?

2 Kādas problēmas mums palīdz atrisināt šie skaitļi?

Šodien mēs pārejam uz mūsu mācību grāmatas otrās nodaļas izpēti " Racionālie skaitļi“, kurā paplašināsim zināšanas par skaitļiem un pēc visas nodaļas “Racionālie skaitļi” izpētīšanas iemācīsimies ar tiem veikt visas jums zināmās darbības un sāksim ar tēmu par koordinātu līniju.

1.dabiskās, parastās daļskaitļi, decimāldaļas

2. saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, daļskaitļu atrašana no skaitļa un skaitļa no tā daļskaitļa, dažādu vienādojumu un uzdevumu risināšana

III posms

Jaunā materiāla skaidrojums.

Ņemsim taisni AB un sadalīsim to ar punktu O divos papildu staros - OA un OB. Izvēlēsimies vienību segmentu uz taisnes un par sākumpunktu un virzienu pieņemsim punktu O.

Definīcijas:

Taisni ar atskaites punktu, vienības segmentu un uz tās izvēlēto virzienu sauc par koordinātu līniju.

Skaitli, kas parāda punkta pozīciju uz līnijas, sauc par šī punkta koordinātu.

Kā izveidot koordinātu līniju?

veikt tiešu

iestatīt vienības segmentu

norādīt virzienu

Koordinātu līniju var attēlot dažādos veidos: horizontāli, vertikāli un jebkurā citā leņķī pret horizontu, un tai ir sākums, bet nav beigu.

1. vingrinājums. Kuras no šīm rindām nav koordinātu līnijas (slaids)

Nozīmēsim koordinātu līniju, atzīmēsim izcelsmi, vienības segmentu un uzzīmēsim punktus 1,2,3,4 un tā tālāk pa kreisi un pa labi.

Apskatīsim iegūto koordinātu līniju. Kāpēc šāda taisna līnija ir neērta?

Virzienu pa labi no sākuma sauc par pozitīvu, un virzienu uz taisnes norāda ar bultiņu. Skaitļus, kas atrodas pa labi no punkta O, sauc par pozitīviem. Pa kreisi no punkta O atrodas negatīvi skaitļi, un virzienu pa kreisi no punkta O sauc par negatīvu (negatīvais virziens nav norādīts). Ja koordinātu līnija atrodas vertikāli, tad skaitļi virs sākuma ir pozitīvi, bet skaitļi zem sākuma ir negatīvi. Negatīvie skaitļi tiek rakstīti ar “-” zīmi. Tajos rakstīts: “Mīnus viens”, “Mīnus divi”, “Mīnus trīs” utt. Skaitlis 0 – izcelsme nav ne pozitīvs, ne negatīvs skaitlis. Tas atdala pozitīvos no negatīvajiem skaitļiem.

Vienādojumu atrisināšana un jēdziens “parāds” tirdzniecības aprēķinos noveda pie negatīvu skaitļu parādīšanās.

Negatīvie skaitļi parādījās daudz vēlāk nekā naturālie skaitļi un parastās daļskaitļi. Pirmo informāciju par negatīvajiem skaitļiem ķīniešu matemātiķi atrada 2. gadsimtā. BC e. Pozitīvi skaitļi tad tie tika interpretēti kā īpašums, bet negatīvie - kā parāds, trūkums. Eiropā atpazīstamība nāca tūkstoš gadus vēlāk, un pat tad ilgu laiku negatīvos skaitļus sauca par "viltus", "iedomātiem" vai "absurdiem". 17. gadsimtā negatīvie skaitļi saņēma vizuālu ģeometrisku attēlojumu uz skaitļu ass

Varat arī sniegt piemērus koordinātu līnijai: termometrs, kalnu virsotņu un ieplaku salīdzinājums (jūras līmenis tiek ņemts par nulli), attālums kartē, lifta šahta, mājas, celtņi.

Padomājiet Vai jūs zināt citus koordinātu līniju piemērus?

Uzdevumi.

2. uzdevums. Nosauciet punktu koordinātas.

3. uzdevums. Atzīmējiet punktus uz koordinātu līnijas

4. uzdevums . Uzzīmējiet horizontālu līniju un atzīmējiet uz tās punktu A, B, C, K, ja zināt, ka:

A ir 9 šūnas pa labi no O;

B atrodas pa kreisi no O par 6,5 šūnām;

C ir 3½ kvadrāti pa labi no O;

K ir 3 kvadrāti pa kreisi no O .

Ierakstīts atbalsta piezīmes.

Viņi klausās un papildina.

Viņi pabeidz uzdevumu savā piezīmju grāmatiņā un pēc tam skaļi paskaidro savas atbildes.