Cilindra pamatnes augstuma sānu virsmas ģenerators. Cilindrs kā ģeometriska figūra

To norobežo cilindriska virsma un divas paralēlas plaknes, kas to krusto.

Saistītās definīcijas

Cilindriska virsma- virsma, kas iegūta, pārvietojot taisnu līniju (ģeneratoru), kas ir paralēla jebkurai noteiktai, krustojot izliektu līniju (virzienu), kas atrodas neparallijā noteiktai taisnai plaknei. Tiek sauktas plaknes figūras, kuras veido cilindriskas virsmas krustošanās ar divām paralēlām plaknēm cilindru pamatnes. Cilindrisko virsmu starp pamatu plaknēm sauc sānu virsma cilindrs. Ja pamatnes plakne un vadotnes plakne ir paralēlas, pamatnes robeža pēc formas sakritīs ar vadotni.

Veidi

Vairumā gadījumu cilindrs nozīmē taisnu apļveida cilindru, kura vadotne ir aplis un pamatnes ir perpendikulāras ģenerātoram. Šādam cilindram ir simetrijas ass.

Cita veida cilindri - (atbilstoši ģenerātora slīpumam) slīpi vai slīpi (ja ģenerātors nepieskaras pamatnei taisnā leņķī); (pēc pamatnes formas) eliptisks, hiperbolisks, parabolisks.

Prizma ir arī cilindra veids - ar daudzstūra formas pamatni.

Cilindra virsmas laukums

Sānu virsmas laukums

Cilindra sānu virsmas laukums ir vienāds ar ģeneratora garumu, kas reizināts ar cilindra sekcijas perimetru ar plakni, kas ir perpendikulāra ģeneratoram.

Taisna cilindra sānu virsmas laukums tiek aprēķināts pēc tā attīstības. Cilindra attīstība ir taisnstūris ar augstumu $h$ un garums $P$, vienāds ar pamatnes perimetru. Tāpēc cilindra sānu virsmas laukums ir vienāds ar tā attīstības laukumu un tiek aprēķināts pēc formulas:

$S\_b\; =\; P\; h$

Jo īpaši labajam apļveida cilindram:

$P\; =\; 2\backslash pi\; R$, Un $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Slīpam cilindram sānu virsmas laukums ir vienāds ar ģeneratora garumu, kas reizināts ar sekcijas perimetru, kas ir perpendikulāra ģeneratoram:

$S\_b\; =\; P\_(\backslash perp)\; h$

Atšķirībā no tilpuma, nav vienkāršas formulas, kas izteiktu slīpā cilindra sānu virsmas laukumu, izmantojot pamatnes un augstuma parametrus. Slīpam apļveida cilindram varat izmantot aptuvenas elipses perimetra formulas un pēc tam iegūto vērtību reizināt ar ģenerātora garumu.

Kopējais virsmas laukums

Cilindra kopējais virsmas laukums ir vienāds ar tā sānu virsmas un pamatnes laukumu summu.

Taisnam apļveida cilindram: $S\_(p)\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +\; 2\; \backslash \; pi\; R^\; 2\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R\; (h+R)$

Cilindra tilpums

Slīpam cilindram ir divas formulas:

• Tilpums ir vienāds ar ģeneratora garumu, kas reizināts ar cilindra šķērsgriezuma laukumu ar plakni, kas ir perpendikulāra ģeneratoram. $V=S\_(\backslash perp)l$,
• Apjoms vienāds ar laukumu pamatne reizināta ar augstumu (attālums starp plaknēm, kurās atrodas pamatnes): $V=Sh=Sl\backslash sin(\backslash varphi)$,

Kur $l$ ir ģenerātora garums, un $\backslash varphi$- leņķis starp ģenerātoru un pamatnes plakni. Taisnajam cilindram $h=l$.

Taisnam cilindram $\backslash sin(\backslash varphi)=1$, $l=h$ Un $S\_(\backslash perp)=S$, un skaļums ir vienāds ar:

• $V=Sl=Sh$

Apļveida cilindram:

$V=\backslash pi\; R^(2)h=\backslash pi\; \backslash frac(d^(2))(4)h$

Kur d- pamatnes diametrs.

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Cilindrs"

Piezīmes

Cilindru raksturojošs fragments

"Paris la capitale du monde... [Parīze ir pasaules galvaspilsēta...]," sacīja Pjērs, pabeidzot savu runu.
Kapteinis paskatījās uz Pjēru. Viņam bija ieradums sarunas vidū apstāties un vērīgi skatīties ar smejošām, sirsnīgām acīm.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce... [Nu, ja tu man nebūtu teicis, ka esi krievs, es būtu saderējis, ka tu esi parīzietis. Tevī ir kaut kas, šis...] — un, pateicis šo komplimentu, viņš atkal klusi paskatījās.
"J"ai ete a Paris, j"y ai passe des annees, [Es biju Parīzē, es pavadīju tur veselus gadus," sacīja Pjērs.
– Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se nosūtīja deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards" un pamanījis, ka secinājums ir vājāks nekā iepriekšējais, viņš steidzīgi piebilda: "Il n"y a qu"un Paris au monde a Paris et vous etese Busse, je ne vous en pas moins [Oh, it’s nyilvánvaló Paris! , bulvāri... Visā pasaulē ir tikai viena Parīze, tu biji un paliki krievs.
Vīna dzeršanas iespaidā un pēc vientulībā pavadītām dienām ar viņu tumšas domas Pjērs piedzīvoja netīšu baudu sarunā ar šo dzīvespriecīgo un labsirdīgo vīrieti.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d"aller s"enterrer dans les les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle random elles ont manque celles la. Vos moujiks c"est autre chose, mais voua autres gens civilises vous devriez nouxnaiquereez . Nous avons pris Vienne, Berlīne, Madride, Neapole, Roma, Varsovie, toutes les capitales du monde... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l "Empereur! [Bet atgriezīsimies pie jūsu dāmām: viņas saka, ka viņas ir ļoti skaistas. Kāda stulba doma iet un apglabāt stepē, kad franču armija ir Maskavā! Viņi palaida garām brīnišķīgu iespēju. Jūsu vīrieši , es saprotu, bet jūs esat izglītoti cilvēki - viņiem vajadzēja mūs pazīt labāk par šo Mēs paņēmām Vīni, Berlīni, Madridi, Neapoli, Romu, Varšavu, visas pasaules galvaspilsētas no mums baidās, bet tas nesāpēs. lai mūs labāk iepazītu...] - viņš iesāka, bet Pjērs viņu pārtrauca.
"L"Empereur," Pjērs atkārtoja, un viņa seja pēkšņi ieguva skumju un apmulsušu izteiksmi. "Est ce que l"Empereur?.. [Imperators... Kas ir imperators?..]
- L"Empereur? C"est la generosite, la clemence, la justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n"ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui Eh, oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles passes et a venir. [Imperators? Tas ir dāsnums, žēlsirdība, taisnīgums, kārtība, ģēnijs - tas ir imperators! To tev saku es, Rambal. Kā jūs mani redzat, es biju viņa ienaidnieks pirms astoņiem gadiem. Mans tēvs bija grāfs un emigrants. Bet viņš uzvarēja mani, šo cilvēku. Viņš pārņēma mani savā īpašumā. Es nevarēju pretoties varenības un slavas skatam, ar kādu viņš pārklāja Franciju. Kad sapratu, ko viņš vēlas, kad ieraudzīju, ka viņš mums gatavo lauru gultni, teicu sev: lūk, valdnieks, un nodevu sevi viņam. Un tā! Ak jā, mans mīļais, tas ir visvairāk lielisks cilvēks pagātnē un nākamajos gadsimtos.] kýlindros, rullītis, veltnis) - ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo cilindriska virsma (to sauc par cilindra sānu virsmu) un ne vairāk kā divas virsmas (cilindra pamatnes); Turklāt, ja ir divas bāzes, tad vienu no otras iegūst, paralēli pārnesot pa cilindra sānu virsmas ģenerātoru; un bāze krusto katru sānu virsmas ģenerātoru tieši vienu reizi.

Tiek saukts bezgalīgs ķermenis, ko ierobežo slēgta bezgalīga cilindriska virsma bezgalīgs cilindrs, ko ierobežo slēgts cilindrisks stars un tā pamatne, sauc atvērts cilindrs. Cilindriskā sijas pamatni un ģeneratorus sauc attiecīgi par atvērta cilindra pamatni un ģeneratoriem.

Tiek saukts ierobežots ķermenis, ko ierobežo slēgta ierobežota cilindriska virsma un divas daļas, kas to atdala. gala cilindrs, vai patiesībā cilindrs. Sekcijas sauc par cilindra pamatnēm. Pēc ierobežotas cilindriskas virsmas definīcijas cilindra pamatnes ir vienādas.

Acīmredzot cilindra sānu virsmas ģenerātri ir vienādi garumā (saukti augstums cilindrs) segmenti, kas atrodas uz paralēlām līnijām, un to gali atrodas uz cilindra pamatnēm. Matemātiskie kuriozi ietver jebkuras ierobežotas trīsdimensiju virsmas definīciju bez paškrustojumiem kā nulles augstuma cilindru ( dotā virsmaņem vērā vienlaikus abas gala cilindra pamatnes). Cilindra pamatnes kvalitatīvi ietekmē cilindru.

Ja cilindra pamatnes ir plakanas (un tāpēc tās saturošās plaknes ir paralēlas), tad cilindru sauc stāvot lidmašīnā. Ja uz plaknes stāvoša cilindra pamatnes ir perpendikulāras ģenerātoram, tad cilindru sauc par taisnu.

Jo īpaši, ja plaknē stāvoša cilindra pamatne ir aplis, tad mēs runājam par apļveida (apaļas) cilindru; ja tā ir elipse, tad tā ir eliptiska.

Galīgā cilindra tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma integrāli gar ģeneratoru. Jo īpaši labā apļveida cilindra tilpums ir vienāds ar

,

(kur ir pamatnes rādiuss, ir augstums).

Cilindra sānu virsmas laukumu aprēķina, izmantojot šādu formulu:

.

Cilindra kopējais virsmas laukums ir sānu virsmas laukuma un pamatņu laukuma summa. Taisnam apļveida cilindram:

.

Wikimedia fonds.

2010. gads.

Skatiet, kas ir “Cilindrs (ģeometrija)” citās vārdnīcās: Matemātikas nozare, kas nodarbojas ar dažādu figūru (punktu, līniju, leņķu, divdimensiju un trīsdimensiju objektu) īpašību, to izmēru un relatīvā pozīcija . Mācīšanas atvieglošanai ģeometrija ir sadalīta planimetrijā un stereometrijā. IN……

- (γήμετρώ zeme, μετρώ mērs). Telpas, pozīcijas un formas jēdzieni ir vieni no tiem oriģinālajiem jēdzieniem, ar kuriem cilvēks bija pazīstams jau senos laikos. Pirmos soļus Grieķijā spēra ēģiptieši un haldieši. Grieķijā G. tika ieviests...... Enciklopēdiskā vārdnīca F. Brokhauss un I.A. Efrons

BEZMAKSAS VIRSMAS ĢEOMETRIJA- brīvās virsmas forma, kas rotācijas laikā veidojas gravitācijas un centrbēdzes spēka ietekmē šķidrs metāls ap rotācijas asi. Ar horizontālu rotācijas asi brīvā virsma ir apļveida cilindrs ar vertikālu ... Metalurģijas vārdnīca

Ģeometrijas sadaļa, kurā ar metodēm tiek pētīti ģeometriskie attēli matemātiskā analīze. Dinamiskās ģeometrijas galvenie objekti ir patvaļīgas diezgan gludas līknes (līnijas) un Eiklīda telpas virsmas, kā arī līniju un...

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Pyramidatsu (nozīmes). Šīs raksta sadaļas ticamība ir apšaubīta. Jums ir jāpārbauda šajā sadaļā norādīto faktu pareizība. Sarunu lapā var būt paskaidrojumi... Vikipēdija

Teorija, kas pēta ārējo ģeometriju un ārējās un iekšējās attiecības. Eiklīda vai Rīmaņa telpas apakškolektoru ģeometrija. P. m ir klasiskā vispārinājums. virsmu diferenciālā ģeometrija Eiklīda telpā.... Matemātiskā enciklopēdija

Dekarta koordinātu sistēma Analītiskā ģeometrija ir ģeometrijas nozare, kurā ... Wikipedia

Ģeometrijas sadaļa, kurā tiek pētīta ģeometrija. attēlus, galvenokārt līknes un virsmas, izmantojot matemātiskās metodes. analīze. Parasti dinamiskajās ģeometrijās tiek pētītas līkņu un virsmu īpašības mazajās, tas ir, patvaļīgi mazu to gabalu īpašības. Turklāt iekšā… Matemātiskā enciklopēdija

Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet sadaļu Apjoms (nozīmes). Tilpums ir komplekta (mēra) papildfunkcija, kas raksturo tās aizņemtās telpas platības ietilpību. Sākotnēji radās un tika piemērots bez stingras... ... Wikipedia

Daļa no ģeometrijas, kas iekļauta elementārajā matemātikā (sk. Elementārā matemātika). Elementārās matemātikas robežas, tāpat kā elementārajai matemātikai kopumā, nav stingri noteiktas. Viņi saka, ka, piemēram, ir tā ģeometrijas daļa, kas tiek pētīta ... Lielā padomju enciklopēdija

Grāmatas

• Ģeometrija. 10-11 klases. Tehnoloģisko nodarbību kartes (CD). Federālais valsts izglītības standarts, Marina Gennadievna Gilyarova. Interaktīvā tāfele vidusskolas stundās - moderns elektronisks rīks, kas ievērojami paātrina piekļuvi nepieciešamo informāciju, atvieglojot tās uztveri un veicinot...

Zinātnes nosaukums “ģeometrija” tiek tulkots kā “zemes mērījums”. Tā radās pirmo seno zemes apsaimniekotāju pūliņiem. Un notika tā: svētās Nīlas plūdu laikā ūdens straumes dažkārt izskaloja zemnieku zemes gabalu robežas, un jaunās robežas varēja nesakrist ar vecajām. Nodokļus zemnieki maksāja faraona kasē proporcionāli zemes piešķīruma lielumam. Aramzemes platību mērīšanā jaunajās robežās pēc noplūdes tika iesaistīti īpaši cilvēki. Tas bija viņu darbības rezultātā jauna zinātne, kas tika izstrādāts gadā Senā Grieķija. Tur tas saņēma savu nosaukumu un praktiski ieguva moderns izskats. Pēc tam šis termins kļuva par starptautisku nosaukumu plakano un trīsdimensiju figūru zinātnei.

Planimetrija ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar plakņu figūru izpēti. Vēl viena zinātnes nozare ir stereometrija, kas pēta telpisko (tilpuma) figūru īpašības. Šādi skaitļi ietver šajā rakstā aprakstīto - cilindru.

Cilindrisku objektu klātbūtnes piemēri ikdienas dzīve daudz. Gandrīz visām rotējošām daļām - vārpstām, buksēm, kakliņiem, asis utt. - ir cilindriska (daudz retāk - koniska) forma. Cilindrs tiek plaši izmantots arī celtniecībā: torņos, atbalsta kolonnas, dekoratīvās kolonnas. Un arī trauki, daži iepakojuma veidi, dažāda diametra caurules. Un visbeidzot - slavenās cepures, kas jau sen kļuvušas par vīriešu elegances simbolu. Saraksts turpinās un turpinās.

Cilindra kā ģeometriskas figūras definīcija

Par cilindru (apļveida cilindru) parasti sauc figūru, kas sastāv no diviem apļiem, kurus, ja vēlas, apvieno, izmantojot paralēlo tulkojumu. Šie apļi ir cilindra pamatnes. Bet līnijas (taisnus segmentus), kas savieno atbilstošos punktus, sauc par “ģeneratoriem”.

Ir svarīgi, lai cilindra pamatnes vienmēr būtu vienādas (ja šis nosacījums nav izpildīts, tad mums ir nošķelts konuss, kaut kas cits, bet ne cilindrs) un atrodas paralēlās plaknēs. Segmenti, kas savieno atbilstošos punktus uz apļiem, ir paralēli un vienādi.

Bezgalīgi daudzu sastāvdaļu kopums ir nekas vairāk kā sānu virsma cilindrs - viens no šīs ģeometriskās figūras elementiem. Tā cita svarīga sastāvdaļa ir iepriekš apspriestie apļi. Tos sauc par bāzēm.

Cilindru veidi

Vienkāršākais un visizplatītākais cilindru veids ir apļveida. To veido divi regulāri apļi, kas darbojas kā pamatnes. Bet to vietā var būt citi skaitļi.

Cilindru pamatnes var veidot (papildus apļiem) elipses un citas slēgtas figūras. Bet cilindram var nebūt slēgta forma. Piemēram, cilindra pamatne var būt parabola, hiperbola vai cita atvērta funkcija. Šāds cilindrs būs atvērts vai izvērsts.

Atbilstoši pamatus veidojošo cilindru slīpuma leņķim tie var būt taisni vai slīpi. Taisnajam cilindram ģenerātri ir stingri perpendikulāri pamatnes plaknei. Ja šis leņķis atšķiras no 90°, cilindrs ir slīps.

Kas ir revolūcijas virsma

Taisnais apļveida cilindrs, bez šaubām, ir visizplatītākā rotējošā virsma, ko izmanto inženierzinātnēs. Dažkārt tehnisku apsvērumu dēļ tiek izmantotas koniskas, sfēriskas un vēl dažu veidu virsmas, bet 99% no visām rotējošām vārpstām, asīm utt. ir izgatavoti cilindru formā. Lai labāk izprastu, kas ir apgriezienu virsma, varam apsvērt, kā veidojas pats cilindrs.

Pieņemsim, ka ir noteikta taisna līnija a, kas atrodas vertikāli. ABCD ir taisnstūris, kura viena no malām (AB segments) atrodas uz taisnes a. Ja mēs pagriežam taisnstūri ap taisnu līniju, kā parādīts attēlā, tilpums, ko tas aizņems rotācijas laikā, būs mūsu apgriezienu korpuss - taisns apļveida cilindrs ar augstumu H = AB = DC un rādiusu R = AD = BC.

Šajā gadījumā figūras - taisnstūra - pagriešanas rezultātā tiek iegūts cilindrs. Pagriežot trīsstūri, var iegūt konusu, griežot pusloku - lodi utt.

Cilindra virsmas laukums

Lai aprēķinātu parastā labā apļveida cilindra virsmas laukumu, ir jāaprēķina pamatņu un sānu virsmu laukumi.

Vispirms apskatīsim, kā tiek aprēķināts sānu virsmas laukums. Tas ir cilindra apkārtmēra un cilindra augstuma reizinājums. Savukārt apļa apkārtmērs ir vienāds ar universālā skaitļa divkāršu reizinājumu P pēc apļa rādiusa.

Ir zināms, ka apļa laukums ir vienāds ar produktu P uz kvadrāta rādiusu. Tātad, pievienojot sānu virsmas laukuma noteikšanas formulas ar divkāršo pamatnes laukuma izteiksmi (tādas ir divas) un veicot vienkāršas algebriskās transformācijas, mēs iegūstam galīgo izteiksmi cilindra virsmas laukuma noteikšanai.

Figūras tilpuma noteikšana

Cilindra tilpumu nosaka pēc standarta shēmas: pamatnes virsmas laukums tiek reizināts ar augstumu.

Tādējādi galīgā formula izskatās šādi: vēlamā vērtība tiek definēta kā ķermeņa augstuma reizinājums ar universālo skaitli P un ar pamatnes rādiusa kvadrātu.

Jāsaka, ka iegūtā formula ir piemērojama visnegaidītāko problēmu risināšanai. Tādā pašā veidā kā, piemēram, cilindra tilpums, tiek noteikts elektrisko vadu apjoms. Tas var būt nepieciešams, lai aprēķinātu vadu masu.

Vienīgā atšķirība formulā ir tāda, ka viena cilindra rādiusa vietā ir vadu pavediena diametrs, kas dalīts uz pusēm, un izteiksmē parādās vadu virkņu skaits. N. Tāpat augstuma vietā tiek izmantots stieples garums. Tādā veidā “cilindra” tilpumu aprēķina ne tikai pēc viena, bet pēc vadu skaita bizē.

Šādi aprēķini praksē bieži ir nepieciešami. Galu galā ievērojama daļa ūdens konteineru ir izgatavoti caurules veidā. Un bieži vien ir nepieciešams aprēķināt cilindra tilpumu pat mājsaimniecībā.

Tomēr, kā jau minēts, cilindra forma var būt atšķirīga. Un dažos gadījumos ir jāaprēķina, kāds ir slīpā cilindra tilpums.

Atšķirība ir tāda, ka pamatnes virsmas laukums netiek reizināts ar ģenerātora garumu, kā tas ir taisna cilindra gadījumā, bet gan ar attālumu starp plaknēm - starp tām izveidoto perpendikulāru segmentu.

Kā redzams attēlā, šāds segments ir vienāds ar ģeneratora garuma un ģenerātora slīpuma leņķa pret plakni sinusa reizinājumu.

Kā izveidot cilindru attīstību

Dažos gadījumos ir nepieciešams izgriezt cilindra sviru. Zemāk esošajā attēlā parādīti noteikumi, saskaņā ar kuriem tiek konstruēta sagatave, lai izgatavotu cilindru ar noteiktu augstumu un diametru.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka zīmējums ir parādīts bez šuvēm.

Atšķirības starp slīpu cilindru

Iedomāsimies noteiktu taisnu cilindru, kuru no vienas puses ierobežo plakne, kas ir perpendikulāra ģeneratoriem. Bet plakne, kas ierobežo cilindru otrā pusē, nav perpendikulāra ģeneratoriem un nav paralēla pirmajai plaknei.

Attēlā parādīts slīps cilindrs. Lidmašīna A noteiktā leņķī, kas atšķiras no 90° pret ģeneratoriem, šķērso figūru.

Šī ģeometriskā forma praksē biežāk sastopama cauruļvadu savienojumu (elkoņu) veidā. Bet ir pat ēkas, kas celtas slīpa cilindra formā.

Slīpā cilindra ģeometriskie raksturlielumi

Vienas no slīpā cilindra plaknēm slīpums nedaudz maina gan šādas figūras virsmas laukuma, gan tilpuma aprēķināšanas procedūru.

Cilindrs

Def. Cilindrs ir korpuss, kas sastāv no diviem apļiem, kas ir apvienoti

paralēlā tulkošana un visi segmenti, kas savieno atbilstošos punktus

šie apļi.

Apļus sauc par cilindra pamatnēm, un segmentus, kas savieno šo apļu atbilstošos punktus, sauc par cilindra ģeneratoriem (1. att.)

rīsi. 1 bilde. 2 att. 3 att. 4

Cilindra īpašības:

1) Cilindra pamati ir vienādi un atrodas paralēlās plaknēs.

2) Cilindra ģeneratori ir vienādi un paralēli.

Def. Cilindra rādiuss ir tā pamatnes rādiuss.

Def. Cilindra augstums ir attālums starp tā pamatu plaknēm.

Def. Cilindra šķērsgriezumu ar plakni, kas iet caur cilindra asi, sauc par aksiālo griezumu.

Cilindra aksiālā daļa ir taisnstūris ar malām 2R un l(taisnā cilindrā l= N) att. 2

Cilindra šķērsgriezums, kas ir paralēls tā asij, ir taisnstūri (3. att.).

Cilindra griezums pa plakni, kas ir paralēla pamatnēm - aplis, kas vienāds ar pamatnēm (4. att.)

Cilindra virsmas laukums.

Cilindra sānu virsmu veido ģenerātri.

Pilna cilindra virsma sastāv no pamatnēm un sānu virsmas.

S pilns = 2 S pamata + S pusē ; S pamata = P ∙ R 2 ; S pusē = 2 P ∙ R ∙HS pilns = 2PR ∙(R + N)

Praktiskā daļa:

№1. Cilindra rādiuss ir 3 cm, un tā augstums ir 5 cm. Atrodiet aksiālās sekcijas laukumu un pusapgabala laukumu

uz cilindra virsmas.

№2. Cilindra aksiālās sekcijas diagonāle ir slīpa pret pamatnes plakni leņķī
un ir vienāds ar 20 cm. Atrodiet cilindra sānu virsmas laukumu.

№3. Cilindra rādiuss ir 2 cm, un tā augstums ir 3 cm. Atrodiet cilindra aksiālās sekcijas diagonāli.

№4. Cilindra aksiālās sekcijas diagonāle ir vienāda ar
, veido leņķi ar pamatnes plakni
. Atrodiet cilindra sānu virsmas laukumu.

№5. Cilindra sānu virsmas laukums ir 15 . Atrodiet aksiālo šķērsgriezuma laukumu.

№6. Atrodiet cilindra augstumu, ja tā pamatnes laukums ir 1 un S puse =
.

№7. Cilindra aksiālās sekcijas diagonāle ir 8 cm gara un ir slīpa pret pamatnes plakni leņķī
. Atrodiet cilindra kopējo virsmas laukumu.

Cilindriskam skurstenim ar diametru 65cm ir 18m augstums. Cik daudz lokšņu metāla nepieciešams, lai to izgatavotu, ja kniedei tiek iztērēti 10% materiāla?

Zinātnes nosaukums “ģeometrija” tiek tulkots kā “zemes mērījums”. Tā radās pirmo seno zemes apsaimniekotāju pūliņiem. Un notika tā: svētās Nīlas plūdu laikā ūdens straumes dažkārt izskaloja zemnieku zemes gabalu robežas, un jaunās robežas varēja nesakrist ar vecajām. Nodokļus zemnieki maksāja faraona kasē proporcionāli zemes piešķīruma lielumam. Aramzemes platību mērīšanā jaunajās robežās pēc noplūdes tika iesaistīti īpaši cilvēki. Tieši viņu darbības rezultātā radās jauna zinātne, kas tika izstrādāta Senajā Grieķijā. Tur tas saņēma savu nosaukumu un ieguva gandrīz modernu izskatu. Pēc tam šis termins kļuva par starptautisku nosaukumu plakano un trīsdimensiju figūru zinātnei.

Planimetrija ir ģeometrijas nozare, kas nodarbojas ar plakņu figūru izpēti. Vēl viena zinātnes nozare ir stereometrija, kas pēta telpisko (tilpuma) figūru īpašības. Šādi skaitļi ietver šajā rakstā aprakstīto - cilindru.

Ir daudz piemēru par cilindrisku priekšmetu klātbūtni ikdienas dzīvē. Gandrīz visām rotējošām daļām - vārpstām, buksēm, kakliņiem, asis utt. - ir cilindriska (daudz retāk - koniska) forma. Cilindrs tiek plaši izmantots arī celtniecībā: torņos, atbalsta kolonnas, dekoratīvās kolonnas. Un arī trauki, daži iepakojuma veidi, dažāda diametra caurules. Un visbeidzot - slavenās cepures, kas jau sen kļuvušas par vīriešu elegances simbolu. Saraksts turpinās un turpinās.

Cilindra kā ģeometriskas figūras definīcija

Par cilindru (apļveida cilindru) parasti sauc figūru, kas sastāv no diviem apļiem, kurus, ja vēlas, apvieno, izmantojot paralēlo tulkojumu. Šie apļi ir cilindra pamatnes. Bet līnijas (taisnus segmentus), kas savieno atbilstošos punktus, sauc par “ģeneratoriem”.

Ir svarīgi, lai cilindra pamatnes vienmēr būtu vienādas (ja šis nosacījums nav izpildīts, tad mums ir nošķelts konuss, kaut kas cits, bet ne cilindrs) un atrodas paralēlās plaknēs. Segmenti, kas savieno atbilstošos punktus uz apļiem, ir paralēli un vienādi.

Bezgalīgi daudzu veidojošo elementu kopums ir nekas cits kā cilindra sānu virsma - viens no dotās ģeometriskās figūras elementiem. Tā cita svarīga sastāvdaļa ir iepriekš apspriestie apļi. Tos sauc par bāzēm.

Cilindru veidi

Vienkāršākais un visizplatītākais cilindru veids ir apļveida. To veido divi regulāri apļi, kas darbojas kā pamatnes. Bet to vietā var būt citi skaitļi.

Cilindru pamatnes var veidot (papildus apļiem) elipses un citas slēgtas figūras. Bet cilindram var nebūt slēgta forma. Piemēram, cilindra pamatne var būt parabola, hiperbola vai cita atvērta funkcija. Šāds cilindrs būs atvērts vai izvērsts.

Atbilstoši pamatus veidojošo cilindru slīpuma leņķim tie var būt taisni vai slīpi. Taisnajam cilindram ģenerātri ir stingri perpendikulāri pamatnes plaknei. Ja šis leņķis atšķiras no 90°, cilindrs ir slīps.

Kas ir revolūcijas virsma

Taisnais apļveida cilindrs, bez šaubām, ir visizplatītākā rotējošā virsma, ko izmanto inženierzinātnēs. Dažkārt tehnisku apsvērumu dēļ tiek izmantotas koniskas, sfēriskas un vēl dažu veidu virsmas, bet 99% no visām rotējošām vārpstām, asīm utt. ir izgatavoti cilindru formā. Lai labāk izprastu, kas ir apgriezienu virsma, varam apsvērt, kā veidojas pats cilindrs.

Pieņemsim, ka ir noteikta taisna līnija a, kas atrodas vertikāli. ABCD ir taisnstūris, kura viena no malām (AB segments) atrodas uz taisnes a. Ja mēs pagriežam taisnstūri ap taisnu līniju, kā parādīts attēlā, tilpums, ko tas aizņems rotācijas laikā, būs mūsu apgriezienu korpuss - taisns apļveida cilindrs ar augstumu H = AB = DC un rādiusu R = AD = BC.

Šajā gadījumā figūras - taisnstūra - pagriešanas rezultātā tiek iegūts cilindrs. Pagriežot trīsstūri, var iegūt konusu, griežot pusloku - lodi utt.

Cilindra virsmas laukums

Lai aprēķinātu parastā labā apļveida cilindra virsmas laukumu, ir jāaprēķina pamatņu un sānu virsmu laukumi.

Vispirms apskatīsim, kā tiek aprēķināts sānu virsmas laukums. Tas ir cilindra apkārtmēra un cilindra augstuma reizinājums. Savukārt apļa apkārtmērs ir vienāds ar universālā skaitļa divkāršu reizinājumu P pēc apļa rādiusa.

Ir zināms, ka apļa laukums ir vienāds ar produktu P uz kvadrāta rādiusu. Tātad, pievienojot sānu virsmas noteikšanas laukuma formulas ar pamatnes laukuma dubulto izteiksmi (tās ir divas) un veicot vienkāršas algebriskas transformācijas, iegūstam galīgo izteiksmi virsmas noteikšanai. cilindra laukums.

Figūras tilpuma noteikšana

Cilindra tilpumu nosaka pēc standarta shēmas: pamatnes virsmas laukums tiek reizināts ar augstumu.

Tādējādi galīgā formula izskatās šādi: vēlamā vērtība tiek definēta kā ķermeņa augstuma reizinājums ar universālo skaitli P un ar pamatnes rādiusa kvadrātu.

Jāsaka, ka iegūtā formula ir piemērojama visnegaidītāko problēmu risināšanai. Tādā pašā veidā kā, piemēram, cilindra tilpums, tiek noteikts elektrisko vadu apjoms. Tas var būt nepieciešams, lai aprēķinātu vadu masu.

Vienīgā atšķirība formulā ir tāda, ka viena cilindra rādiusa vietā ir vadu pavediena diametrs, kas dalīts uz pusēm, un izteiksmē parādās vadu virkņu skaits. N. Tāpat augstuma vietā tiek izmantots stieples garums. Tādā veidā “cilindra” tilpumu aprēķina ne tikai pēc viena, bet pēc vadu skaita bizē.

Šādi aprēķini praksē bieži ir nepieciešami. Galu galā ievērojama daļa ūdens konteineru ir izgatavoti caurules veidā. Un bieži vien ir nepieciešams aprēķināt cilindra tilpumu pat mājsaimniecībā.

Tomēr, kā jau minēts, cilindra forma var būt atšķirīga. Un dažos gadījumos ir jāaprēķina, kāds ir slīpā cilindra tilpums.

Atšķirība ir tāda, ka pamatnes virsmas laukums netiek reizināts ar ģenerātora garumu, kā tas ir taisna cilindra gadījumā, bet gan ar attālumu starp plaknēm - starp tām izveidoto perpendikulāru segmentu.

Kā redzams attēlā, šāds segments ir vienāds ar ģeneratora garuma un ģenerātora slīpuma leņķa pret plakni sinusa reizinājumu.

Kā izveidot cilindru attīstību

Dažos gadījumos ir nepieciešams izgriezt cilindra sviru. Zemāk esošajā attēlā parādīti noteikumi, saskaņā ar kuriem tiek konstruēta sagatave, lai izgatavotu cilindru ar noteiktu augstumu un diametru.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka zīmējums ir parādīts bez šuvēm.

Atšķirības starp slīpu cilindru

Iedomāsimies noteiktu taisnu cilindru, kuru no vienas puses ierobežo plakne, kas ir perpendikulāra ģeneratoriem. Bet plakne, kas ierobežo cilindru otrā pusē, nav perpendikulāra ģeneratoriem un nav paralēla pirmajai plaknei.

Attēlā parādīts slīps cilindrs. Lidmašīna A noteiktā leņķī, kas atšķiras no 90° pret ģeneratoriem, šķērso figūru.

Šī ģeometriskā forma praksē biežāk sastopama cauruļvadu savienojumu (elkoņu) veidā. Bet ir pat ēkas, kas celtas slīpa cilindra formā.

Slīpā cilindra ģeometriskie raksturlielumi

Vienas no slīpā cilindra plaknēm slīpums nedaudz maina gan šādas figūras virsmas laukuma, gan tilpuma aprēķināšanas procedūru.