Kas ir racionāls skaitlis? Kas ir racionālie skaitļi? Kādi vēl tur ir?

Ceturtdaļas

Kārtība. a Un b ir noteikums, kas ļauj unikāli identificēt vienu un tikai vienu no trim attiecībām starp tām: “< », « >" vai " = ". Šo noteikumu sauc pasūtīšanas noteikums un ir formulēts šādi: divi nenegatīvi skaitļi un ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi veseli skaitļi un ; divi nepozitīvi skaitļi a Un b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi nenegatīvi skaitļi un ; ja pēkšņi a nenegatīvs, bet b- tad negatīvi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Daļskaitļu pievienošana
Papildināšanas darbība. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts summēšanas noteikums c. Tajā pašā laikā pats numurs c sauca summa cipariem a Un b un tiek apzīmēts ar , un tiek izsaukts šāda skaitļa atrašanas process summēšana. Summēšanas noteikumam ir nākamais skats: .
Reizināšanas operācija. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts reizināšanas noteikums, kas tiem piešķir kādu racionālu skaitli c. Tajā pašā laikā pats numurs c sauca strādāt cipariem a Un b un tiek apzīmēts ar , un tiek izsaukts arī šāda skaitļa atrašanas process reizināšana. Reizināšanas noteikums izskatās šādi: .
Pasūtījuma attiecības tranzitivitāte. Jebkuram racionālu skaitļu trīskāršam a , b Un c Ja a mazāk b Un b mazāk c, Tas a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, Tas a vienāds c. 6435">Saskaitīšanas komutativitāte. Racionālo terminu vietu maiņa nemaina summu.
Papildinājuma asociativitāte. Trīs racionālo skaitļu saskaitīšanas secība rezultātu neietekmē.
Nulles klātbūtne. Ir racionāls skaitlis 0, kas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to pievieno.
Pretēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, kuru pievienojot iegūst 0.
Reizināšanas komutativitāte. Racionālo faktoru vietu maiņa nemaina produktu.
Reizināšanas asociativitāte. Secība, kādā tiek reizināti trīs racionālie skaitļi, rezultātu neietekmē.
Vienības pieejamība. Ir racionāls skaitlis 1, kas, reizinot, saglabā katru otro racionālo skaitli.
Savstarpēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir apgriezts racionālais skaitlis, kas, reizinot ar, iegūst 1.
Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība tiek saskaņota ar saskaitīšanas darbību, izmantojot sadales likumu:
Pasūtījuma attiecības saistība ar pievienošanas darbību. To pašu racionālo skaitli var pievienot racionālās nevienlīdzības kreisajai un labajā pusē. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, jūs varat ņemt tik daudz vienību, ka to summa pārsniedz a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildu īpašības

Visas pārējās racionālajiem skaitļiem raksturīgās īpašības netiek izdalītas kā pamatīpašības, jo, vispārīgi runājot, tās vairs nav tieši balstītas uz veselu skaitļu īpašībām, bet tās var pierādīt, pamatojoties uz dotajām pamatīpašībām vai tieši ar kāda matemātiska objekta definīciju. . Šādu papildu īpašību ir ļoti daudz. Šeit ir jēga uzskaitīt tikai dažus no tiem.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Komplekta saskaitāmība

Racionālo skaitļu numerācija

Lai novērtētu racionālo skaitļu skaitu, jāatrod to kopas kardinalitāte. Ir viegli pierādīt, ka racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma. Lai to izdarītu, pietiek ar algoritmu, kas uzskaita racionālos skaitļus, t.i., nosaka bijekciju starp racionālo un naturālie skaitļi.

Vienkāršākais no šiem algoritmiem izskatās šādi. Tiek izveidots bezgalīgs galds parastās frakcijas, katrā i-th rinda katrā j th kolonna, kuras daļa atrodas. Precizitātes labad tiek pieņemts, ka šīs tabulas rindas un kolonnas ir numurētas, sākot no viena. Tabulas šūnas tiek apzīmētas ar , kur i- tabulas rindas numurs, kurā atrodas šūna, un j- kolonnas numurs.

Iegūtā tabula tiek šķērsota, izmantojot “čūsku” saskaņā ar šādu formālo algoritmu.

Šie noteikumi tiek meklēti no augšas uz leju, un nākamā pozīcija tiek izvēlēta, pamatojoties uz pirmo sakritību.

Šādas šķērsošanas procesā katrs jauns racionālais skaitlis tiek saistīts ar citu naturālu skaitli. Tas ir, daļskaitlis 1/1 tiek piešķirts skaitlim 1, daļa 2/1 - skaitlim 2 utt. Jāņem vērā, ka numurētas ir tikai nereducējamās daļas. Formāla zīme nereducējamība ir skaitļa skaitītāja un saucēja lielākā kopīgā dalītāja vienādība ar vienu.

Pēc šī algoritma mēs varam uzskaitīt visus pozitīvos racionālos skaitļus. Tas nozīmē, ka pozitīvo racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma. Ir viegli noteikt bijekciju starp pozitīvo un negatīvo racionālo skaitļu kopām, vienkārši piešķirot katram racionālajam skaitlim tā pretējo. Tas. negatīvo racionālo skaitļu kopa arī ir saskaitāma. Viņu savienība ir saskaitāma arī pēc saskaitāmo kopu īpašībām. Racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma arī kā saskaitāmas kopas savienība ar ierobežotu skaitļu kopu.

Apgalvojums par racionālo skaitļu kopas saskaitāmību var radīt zināmu neskaidrību, jo no pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tā ir daudz plašāka nekā naturālo skaitļu kopa. Patiesībā tas tā nav, un ir pietiekami daudz naturālu skaitļu, lai uzskaitītu visus racionālos.

Racionālu skaitļu trūkums

Šāda trīsstūra hipotenūzu nevar izteikt ne ar vienu racionālu skaitli

Racionālie skaitļi formā 1 / n brīvībā n var izmērīt patvaļīgi mazus daudzumus. Šis fakts rada maldinošu iespaidu, ka racionālus skaitļus var izmantot, lai izmērītu jebkādus ģeometriskus attālumus. Ir viegli parādīt, ka tā nav taisnība.

Piezīmes

Literatūra

I. Kušnirs. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. - Kijeva: ASTARTA, 1998. - 520 lpp.
P. S. Aleksandrovs. Ievads kopu teorijā un vispārējā topoloģijā. - M.: nodaļa. ed. fizika un matemātika lit. ed. "Zinātne", 1977
I. L. Hmeļņickis. Ievads algebrisko sistēmu teorijā

Saites

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Numurs- svarīgs matemātisks jēdziens, kas gadsimtu gaitā ir mainījies.

Pirmās idejas par skaitļiem radās, skaitot cilvēkus, dzīvniekus, augļus, dažādus produktus utt. Rezultāts ir naturālie skaitļi: 1, 2, 3, 4, ...

Vēsturiski pirmais skaitļa jēdziena paplašinājums ir daļskaitļu pievienošana dabiskajam skaitlim.

Frakcija sauc par vienības daļu (akciju) vai vairākas vienādas daļas.

Apzīmēja: , kur m, n- veseli skaitļi;

Daļskaitļi ar saucēju 10 n, Kur n- vesels skaitlis, ko sauc decimālzīme: .

Starp cipariem aiz komata īpaša vieta ieņemt periodiskas frakcijas: - tīra periodiskā daļa, - jaukta periodiskā daļa.

Tālāku skaitļa jēdziena paplašināšanos izraisa pašas matemātikas (algebras) attīstība. Dekarts 17. gadsimtā. iepazīstina ar koncepciju negatīvs skaitlis.

Par veseliem skaitļiem (pozitīviem un negatīviem), daļskaitļiem (pozitīviem un negatīviem) un nulli sauc racionālie skaitļi. Jebkuru racionālu skaitli var uzrakstīt kā ierobežotu un periodisku daļu.

Lai pētītu nepārtraukti mainīgus lielumus, izrādījās, ka ir nepieciešams jauns skaitļa jēdziena paplašināšana - reālo (reālo) skaitļu ieviešana, pievienojot racionālajiem skaitļiem iracionālos skaitļus: iracionāli skaitļi ir bezgalīgas decimāldaļas, kas nav periodiskas.

Iracionāli skaitļi parādījās, mērot nesamērojamus segmentus (kvadrāta malu un diagonāli), algebrā - izdalot saknes, pārpasaulīga, iracionāla skaitļa piemērs ir π, e .

Skaitļi dabisks(1, 2, 3,...), vesels(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionāls(attēlojams kā frakcija) un neracionāli(nav attēlojams kā daļskaitlis ) veido komplektu īsts (īsts) cipariem.

Matemātikā atsevišķi izšķir kompleksos skaitļus.

Sarežģīti skaitļi rodas saistībā ar gadījuma kvadrātu risināšanas problēmu D< 0 (здесь D– kvadrātvienādojuma diskriminants). Ilgu laiku šie skaitļi neatrada fizisku pielietojumu, tāpēc tos sauca par “iedomātajiem” skaitļiem. Taču šobrīd tos ļoti plaši izmanto dažādās fizikas un tehnoloģiju jomās: elektrotehnikā, hidro- un aerodinamikā, elastības teorijā u.c.

Sarežģīti skaitļi ir rakstīti šādā formā: z= a+ bi. Šeit a Un b – reāli skaitļi, A i – iedomātā vienība, t.i.e. i 2 = -1. Numurs a sauca abscisa, a b –ordināta kompleksais skaitlis a+ bi. Divi kompleksie skaitļi a+ bi Un a–bi tiek saukti konjugāts kompleksie skaitļi.

Īpašības:

1. Reālais skaitlis A var uzrakstīt arī kompleksā skaitļa formā: a+ 0i vai a – 0i. Piemēram, 5 + 0 i un 5-0 i nozīmē to pašu skaitli 5.

2. Komplekss skaitlis 0 + bi sauca tīri izdomāts numuru. Ieraksts bi nozīmē to pašu, ko 0 + bi.

3. Divi kompleksie skaitļi a+ bi Un c+ di tiek uzskatīti par vienādiem, ja a= c Un b= d. Citādi kompleksie skaitļi nav vienāds.

Darbības:

Papildinājums. Komplekso skaitļu summa a+ bi Un c+ di sauc par komplekso skaitli ( a+ c) + (b+ d)i. Tādējādi Saskaitot kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek pievienotas atsevišķi.

Atņemšana. Divu komplekso skaitļu atšķirība a+ bi(samazināts) un c+ di(apakšdaļu) sauc par komplekso skaitli ( a–c) + (b–d)i. Tādējādi Atņemot divus kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek atņemtas atsevišķi.

Reizināšana. Komplekso skaitļu reizinājums a+ bi Un c+ di sauc par komplekso skaitli:

(ac–bd) + (reklāma+ bc)i. Šī definīcija izriet no divām prasībām:

1) cipari a+ bi Un c+ di jāreizina kā algebriskie binomi,

2) numurs i ir galvenais īpašums: i 2 = –1.

PIEMĒRS ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Tāpēc strādātno diviem konjugātiem kompleksajiem skaitļiem ir vienāds ar pozitīvu reālo skaitli.

Divīzija. Sadaliet komplekso skaitli a+ bi(dalāms) ar citu c+ di (dalītājs) - nozīmē atrast trešo numuru e+ f i(čats), ko reizinot ar dalītāju c+ di, rada dividendes a+ bi. Ja dalītājs nav nulle, dalīšana vienmēr ir iespējama.

PIEMĒRS Atrast (8+ i) : (2 – 3i) .

Risinājums Pārrakstīsim šo attiecību kā daļu:

Reizinot tā skaitītāju un saucēju ar 2 + 3 i un pēc visu pārveidojumu veikšanas mēs iegūstam:

1. uzdevums: saskaita, atņem, reizina un dala z 1 uz z 2

Kvadrātsaknes izvilkšana: Atrisiniet vienādojumu x 2 = -a. Lai atrisinātu šo vienādojumu mēs esam spiesti izmantot jauna veida numurus - iedomāti skaitļi . Tādējādi iedomāts numurs tiek izsaukts kura otrā pakāpe ir negatīvs skaitlis. Saskaņā ar šo iedomāto skaitļu definīciju mēs varam definēt un iedomāts vienība:

Tad par vienādojumu x 2 = – 25 mēs iegūstam divus iedomāts sakne:

2. uzdevums: Atrisiniet vienādojumu:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums. Reālos skaitļus attēlo punkti uz skaitļu līnijas:

Šeit ir runa A nozīmē skaitli –3, punkts B– 2. numurs un O-nulle. Turpretim kompleksos skaitļus attēlo punkti koordinātu plaknē. Šim nolūkam mēs izvēlamies taisnstūra (Dekarta) koordinātas ar vienādām skalām uz abām asīm. Tad kompleksais skaitlis a+ bi tiks attēlots ar punktu P ar abscisuA un ordinētb. Šo koordinātu sistēmu sauc sarežģīta plakne .

Modulis kompleksais skaitlis ir vektora garums OP, kas attēlo kompleksu skaitli uz koordinātas ( aptverošs) lidmašīna. Kompleksa skaitļa modulis a+ bi apzīmēts | a+ bi| vai) vēstule r un ir vienāds ar:

Konjugētajiem kompleksajiem skaitļiem ir vienāds modulis.

Zīmējuma sastādīšanas noteikumi ir gandrīz tādi paši kā zīmējumam Dekarta koordinātu sistēmā. Gar asīm ir jāiestata izmērs, ņemiet vērā:

e
vienība pa reālo asi; Rez

iedomātā vienība pa iedomāto asi. Esmu z

3. uzdevums. Kompleksajā plaknē konstruējiet šādus kompleksos skaitļus: , , , , , , ,

1. Skaitļi ir precīzi un aptuveni. Praksē sastopamie skaitļi ir divu veidu. Daži norāda daudzuma patieso vērtību, citi tikai aptuvenu. Pirmos sauc par precīziem, otro - aptuvenu. Visbiežāk ir ērti izmantot aptuvenu, nevis precīzu skaitli, jo īpaši tāpēc, ka daudzos gadījumos precīzs skaitlis vispār nav iespējams atrast.

Tātad, ja viņi saka, ka klasē ir 29 skolēni, tad skaitlis 29 ir precīzs. Ja viņi saka, ka attālums no Maskavas līdz Kijevai ir 960 km, tad šeit skaitlis 960 ir aptuvens, jo, no vienas puses, mūsu mērinstrumenti nav absolūti precīzi, no otras puses, pašām pilsētām ir zināms apjoms.

Darbību rezultāts ar aptuveniem skaitļiem arī ir aptuvens skaitlis. Veicot dažas darbības ar precīziem skaitļiem (dalīšana, sakņu ekstrakcija), var iegūt arī aptuvenus skaitļus.

Aptuveno aprēķinu teorija ļauj:

1) zinot datu precizitātes pakāpi, novērtēt rezultātu precizitātes pakāpi;

2) ņemt datus ar atbilstošu precizitātes pakāpi, kas ir pietiekama, lai nodrošinātu nepieciešamo rezultāta precizitāti;

3) racionalizēt aprēķinu procesu, atbrīvojot to no tiem aprēķiniem, kas neietekmēs rezultāta precizitāti.

2. Noapaļošana. Viens no aptuveno skaitļu iegūšanas avotiem ir noapaļošana. Gan aptuvenie, gan precīzie skaitļi ir noapaļoti.

Dotā skaitļa noapaļošanu līdz noteiktam ciparam sauc par tā aizstāšanu ar jaunu, ko iegūst no dotā, atmetot visus tā ciparus, kas rakstīti pa labi no šī cipara cipara, vai aizstājot tos ar nullēm. Šīs nulles parasti ir pasvītrotas vai rakstītas mazākas. Lai nodrošinātu, ka noapaļotais skaitlis ir pēc iespējas tuvāks noapaļotajam, izmantojiet šādus noteikumus: lai noapaļotu skaitli līdz vienam no noteikta cipara, jums ir jāatmet visi cipari pēc šī cipara cipara un jāaizstāj tos ar nullēm veselā skaitā. Tiek ņemts vērā:

1) ja pirmais (kreisajā pusē) no izmestajiem cipariem ir mazāks par 5, tad pēdējais atlikušais cipars netiek mainīts (noapaļots uz leju);

2) ja pirmais izmetamais cipars ir lielāks par 5 vai vienāds ar 5, tad pēdējais atlikušais cipars tiek palielināts par vienu (noapaļojot ar pārpalikumu).

Parādīsim to ar piemēriem. Raunds:

a) līdz desmitdaļām 12,34;

b) līdz simtdaļām 3,2465; 1038,785;

c) līdz tūkstošdaļām 3,4335.

d) līdz tūkstoš 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolūtās un relatīvās kļūdas. Atšķirību starp precīzu skaitli un tā aptuveno vērtību sauc par aptuvenā skaitļa absolūto kļūdu. Piemēram, ja precīzu skaitli 1,214 noapaļo līdz tuvākajai desmitdaļai, mēs iegūstam aptuvenu skaitli 1,2. Šajā gadījumā absolūta kļūda aptuvenais skaitlis 1,2 ir vienāds ar 1,214 - 1,2, t.i. 0,014.

Bet vairumā gadījumu precīza vērtība apskatāmais daudzums nav zināms, bet tikai aptuvens. Tad absolūtā kļūda nav zināma. Šajos gadījumos norādiet robežu, kuru tas nepārsniedz. Šo skaitli sauc par ierobežojošo absolūto kļūdu. Viņi saka, ka skaitļa precīzā vērtība ir vienāda ar tā aptuveno vērtību ar kļūdu, kas ir mazāka par robežkļūdu. Piemēram, skaitlis 23,71 ir aptuvenā skaitļa 23,7125 vērtība ar precizitāti 0,01, jo tuvinājuma absolūtā kļūda ir 0,0025 un mazāka par 0,01. Šeit ierobežojošā absolūtā kļūda ir 0,01 *.

Aptuvenā skaitļa robežas absolūtā kļūda A apzīmē ar simbolu Δ a. Ieraksts

x≈a(±Δ a)

jāsaprot šādi: precīza daudzuma vērtība x atrodas starp cipariem A– Δ a Un A+ Δ A, kuras attiecīgi sauc par apakšējo un augšējo robežu X un apzīmē NG x VG X.

Piemēram, ja x≈ 2,3 (±0,1), tad 2,2<x< 2,4.

Un otrādi, ja 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absolūtā vai robežabsolūtā kļūda neraksturo veiktā mērījuma kvalitāti. To pašu absolūto kļūdu var uzskatīt par nozīmīgu un nenozīmīgu atkarībā no skaitļa, ar kuru izmērītā vērtība tiek izteikta. Piemēram, ja mēs izmērām attālumu starp divām pilsētām ar viena kilometra precizitāti, tad šāda precizitāte ir diezgan pietiekama šīm izmaiņām, bet tajā pašā laikā, mērot attālumu starp divām mājām uz vienas ielas, šāda precizitāte būs nepieņemami. Līdz ar to daudzuma aptuvenās vērtības precizitāte ir atkarīga ne tikai no absolūtās kļūdas lieluma, bet arī no izmērītā daudzuma vērtības. Tāpēc precizitātes mērs ir relatīvā kļūda.

Relatīvā kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret aptuvenā skaitļa vērtību. Ierobežojošās absolūtās kļūdas attiecību pret aptuveno skaitli sauc par ierobežojošo relatīvo kļūdu; viņi to apzīmē šādi: . Relatīvās un marginālās relatīvās kļūdas parasti izsaka procentos. Piemēram, ja mērījumi parādīja, ka attālums X starp diviem punktiem ir lielāks par 12,3 km, bet mazāks par 12,7 km, tad par tā aptuveno vērtību tiek ņemts šo divu skaitļu vidējais aritmētiskais, t.i. to pussumma, tad absolūtā robežkļūda ir vienāda ar šo skaitļu pusstarpību. Šajā gadījumā X≈ 12,5 (±0,2). Šeit ierobežojošā absolūtā kļūda ir 0,2 km un ierobežojošā relatīvā kļūda

) ir skaitļi ar pozitīvu vai negatīvu zīmi (veseliem skaitļiem un daļskaitļiem) un nulli. Precīzāks racionālo skaitļu jēdziens izklausās šādi:

Racionāls skaitlis- skaitlis, kas tiek attēlots kā parasta daļdaļa m/n, kur skaitītājs m ir veseli skaitļi un saucējs n- veseli skaitļi, piemēram 2/3.

Bezgalīgas neperiodiskas daļas NAV iekļautas racionālo skaitļu kopā.

a/b, Kur a∈ Z (a pieder pie veseliem skaitļiem), b∈ N (b pieder pie naturāliem skaitļiem).

Racionālu skaitļu izmantošana reālajā dzīvē.

Reālajā dzīvē racionālo skaitļu kopa tiek izmantota, lai saskaitītu dažu veselu skaitļu dalāmu objektu daļas, Piemēram, kūkas vai citi pārtikas produkti, kas tiek sagriezti gabalos pirms patērēšanas vai lai aptuveni novērtētu paplašinātu objektu telpiskās attiecības.

Racionālo skaitļu īpašības.

Racionālo skaitļu pamatīpašības.

1. Kārtība a Un b ir noteikums, kas ļauj nepārprotami identificēt 1 un tikai vienu no 3 attiecībām starp tām: “<», «>" vai "=". Šis noteikums ir - pasūtīšanas noteikums un formulējiet to šādi:

2 pozitīvi skaitļi a=m a /n a Un b = m b / n b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 veseli skaitļi m a⋅ n b Un m b⋅ n a;
2 negatīvi skaitļi a Un b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 pozitīvi skaitļi |b| Un |a|;
Kad a pozitīvs un b- tad negatīvi a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildināšanas darbība. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un b Tur ir summēšanas noteikums, kas tiem piešķir noteiktu racionālu skaitli c. Tajā pašā laikā pats numurs c-Šo summa cipariem a Un b un tas tiek apzīmēts kā (a+b) summēšana.

Summēšanas noteikums izskatās šādi:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ J∃ !(a+b)∈ J

3. Reizināšanas operācija. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un b Tur ir reizināšanas noteikums, tas saista tos ar noteiktu racionālu skaitli c. Tiek izsaukts cipars strādāt cipariem a Un b un apzīmē (a⋅b), un tiek izsaukts šī numura atrašanas process reizināšana.

Reizināšanas noteikums izskatās šādi: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Pasūtījuma attiecības tranzitivitāte. Jebkuriem trim racionāliem skaitļiem a, b Un c Ja a mazāk b Un b mazāk c, Tas a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, Tas a vienāds c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Pievienošanas komutativitāte. Racionālo terminu vietu maiņa nemaina summu.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Papildinājuma asociativitāte. Secība, kādā tiek pievienoti 3 racionālie skaitļi, rezultātu neietekmē.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulles klātbūtne. Ir racionāls skaitlis 0, tas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to pievieno.

∃ 0 ∈ J∀ a∈ Q a+0=a

8. Pretēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, un, tos saskaitot, rezultāts ir 0.

∀ a∈ J∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Reizināšanas komutativitāte. Racionālo faktoru vietu maiņa nemaina produktu.

∀ a,b∈ J a⋅ b=b⋅ a

10. Reizināšanas asociativitāte. Secība, kādā tiek reizināti 3 racionālie skaitļi, neietekmē rezultātu.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (dzim⋅ c)

11. Vienības pieejamība. Ir racionālais skaitlis 1, tas saglabā katru otro racionālo skaitli reizināšanas procesā.

∃ 1 ∈ J∀ a∈ J a⋅ 1=a

12. Pieejamība savstarpējie skaitļi . Katram racionālajam skaitlim, kas nav nulle, ir apgriezts racionālais skaitlis, reizinot ar to, iegūstam 1 .

∀ a∈ J∃ a-1∈ J a⋅ a−1=1

13. Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība ir saistīta ar saskaitīšanu, izmantojot sadales likumu:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Saikne starp secības relāciju un pievienošanas darbību. Tas pats racionālais skaitlis tiek pievienots racionālās nevienādības kreisajā un labajā pusē.

∀ a,b,c∈ J a ⇒ a+c

15. Attiecība starp secības relāciju un reizināšanas operāciju. Racionālās nevienlīdzības kreiso un labo pusi var reizināt ar to pašu nenegatīvo racionālo skaitli.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, ir viegli ņemt tik daudz vienību, ka to summa būs lielāka a.

Racionālie skaitļi

Ceturtdaļas

Kārtība. a Un b ir noteikums, kas ļauj unikāli identificēt vienu un tikai vienu no trim starp tiem attiecības : « < », « >" vai " = ". Šo noteikumu sauc pasūtīšanas noteikums un ir formulēts šādi: divi nenegatīvi skaitļi un ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi veseli skaitļi un ; divi nepozitīvi skaitļi a Un b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi nenegatīvi skaitļi un ; ja pēkšņi a nenegatīvs, bet b- tad negatīvi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Daļskaitļu pievienošana
Papildināšanas darbība. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts summēšanas noteikums c. Tajā pašā laikā pats numurs c sauca summa cipariem a Un b un tiek apzīmēts ar , un tiek izsaukts šāda skaitļa atrašanas process summēšana. Summēšanas noteikumam ir šāda forma: .
Reizināšanas operācija. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts reizināšanas noteikums, kas tiem piešķir kādu racionālu skaitli c. Tajā pašā laikā pats numurs c sauca strādāt cipariem a Un b un tiek apzīmēts ar , un tiek izsaukts arī šāda skaitļa atrašanas process reizināšana. Reizināšanas noteikums izskatās šādi: .
Transitivitāte pasūtījuma attiecības. Jebkuram racionālu skaitļu trīskāršam a , b Un c Ja a mazāk b Un b mazāk c, Tas a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, Tas a vienāds c. 6435">Saskaitīšanas komutativitāte. Racionālo terminu vietu maiņa nemaina summu.
Asociativitāte papildinājums. Trīs racionālo skaitļu saskaitīšanas secība rezultātu neietekmē.
Pieejamība nulle. Ir racionāls skaitlis 0, kas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to pievieno.
Pretēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, kuru pievienojot iegūst 0.
Reizināšanas komutativitāte. Racionālo faktoru vietu maiņa nemaina produktu.
Reizināšanas asociativitāte. Secība, kādā tiek reizināti trīs racionālie skaitļi, rezultātu neietekmē.
Pieejamība vienības. Ir racionāls skaitlis 1, kas, reizinot, saglabā katru otro racionālo skaitli.
Pieejamība savstarpējie skaitļi. Jebkuram racionālam skaitlim ir apgriezts racionālais skaitlis, kas, reizinot ar, iegūst 1.
Izplatība reizināšana attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība tiek saskaņota ar saskaitīšanas darbību, izmantojot sadales likumu:
Pasūtījuma attiecības saistība ar pievienošanas darbību. To pašu racionālo skaitli var pievienot racionālās nevienlīdzības kreisajai un labajā pusē. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, jūs varat ņemt tik daudz vienību, ka to summa pārsniedz a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildu īpašības

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Komplekta saskaitāmība

Racionālo skaitļu numerācija

Lai novērtētu racionālo skaitļu skaitu, jums ir jāatrod jauda tādu ir daudz. Ir viegli pierādīt, ka racionālo skaitļu kopa saskaitāmi. Lai to izdarītu, pietiek ar algoritmu, kas saskaita racionālos skaitļus, t.i., nosaka bijekcija starp racionālo un naturālo skaitļu kopām.

Vienkāršākais no šiem algoritmiem izskatās šādi. Par katru ir sastādīta nebeidzama parasto daļskaitļu tabula i-th rinda katrā j th kolonna, kuras daļa atrodas. Precizitātes labad tiek pieņemts, ka šīs tabulas rindas un kolonnas ir numurētas, sākot no viena. Tabulas šūnas tiek apzīmētas ar , kur i- tabulas rindas numurs, kurā atrodas šūna, un j- kolonnas numurs.

Iegūtā tabula tiek šķērsota, izmantojot “čūsku” saskaņā ar šādu formālo algoritmu.

Šie noteikumi tiek meklēti no augšas uz leju, un nākamā pozīcija tiek izvēlēta, pamatojoties uz pirmo sakritību.

Šādas šķērsošanas procesā katrs jauns racionālais skaitlis tiek saistīts ar citu naturālu skaitli. Tas ir, daļskaitlis 1/1 tiek piešķirts skaitlim 1, daļa 2/1 - skaitlim 2 utt. Jāņem vērā, ka numurētas ir tikai nereducējamās daļas. Formāla nesamazināmības pazīme ir vienlīdzība ar vienu lielākais kopīgais dalītājs daļskaitļa skaitītājs un saucējs.

Racionālu skaitļu trūkums

Šāda trīsstūra hipotenūzu nevar izteikt ne ar vienu racionālu skaitli

Racionālie skaitļi formā 1 / n brīvībā n var izmērīt patvaļīgi mazos daudzumos. Šis fakts rada maldinošu iespaidu, ka racionālie skaitļi var izmērīt jebkuru ģeometrisks attālumos. Ir viegli parādīt, ka tā nav taisnība.

Piezīmes

Literatūra

I. Kušnirs. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. - Kijeva: ASTARTA, 1998. - 520 lpp.
P. S. Aleksandrovs. Ievads kopu teorijā un vispārējā topoloģijā. - M.: nodaļa. ed. fizika un matemātika lit. ed. "Zinātne", 1977
I. L. Hmeļņickis. Ievads algebrisko sistēmu teorijā