Uzrakstiet skaitļus trigonometriskā un eksponenciālā formā. Lekcija par tēmu: "Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma"

2.3. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Ļaujiet vektoru kompleksajā plaknē norādīt ar skaitli .

Ar φ apzīmēsim leņķi starp pozitīvo pusasi Ox un vektoru (leņķi φ uzskata par pozitīvu, ja to mēra pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un negatīvu pretējā gadījumā).

Apzīmēsim vektora garumu ar r. Tad . Mēs arī apzīmējam

Nenulles kompleksā skaitļa z ierakstīšana formā

sauc par kompleksā skaitļa z trigonometrisko formu. Skaitli r sauc par kompleksā skaitļa z moduli, bet skaitli φ par šī kompleksā skaitļa argumentu un apzīmē ar Arg z.

Trigonometriskā kompleksa skaitļa rakstīšanas forma - (Eilera formula) - kompleksā skaitļa rakstīšanas eksponenciāla forma:

Kompleksajam skaitlim z ir bezgala daudz argumentu: ja φ0 ir jebkurš skaitļa z arguments, tad visus pārējos var atrast, izmantojot formulu

Kompleksam skaitlim arguments un trigonometriskā forma nav definēti.

Tādējādi kompleksa skaitļa, kas nav nulle, arguments ir jebkurš vienādojumu sistēmas risinājums:

(3)

Kompleksā skaitļa z argumenta vērtību φ, kas apmierina nevienādības, sauc par galveno vērtību un apzīmē ar arg z.

Argumenti Arg z un arg z ir saistīti ar

, (4)

Formula (5) ir sistēmas (3) sekas, tāpēc visi kompleksā skaitļa argumenti apmierina (5) vienādību, bet ne visi (5) vienādojuma atrisinājumi φ ir skaitļa z argumenti.

Nenulles kompleksā skaitļa argumenta galvenā vērtība tiek atrasta pēc formulām:

Formulas komplekso skaitļu reizināšanai un dalīšanai trigonometriskā formā ir šādas:

. (7)

Palielinot komplekso skaitli līdz naturālajam pakāpēm, tiek izmantota Moivre formula:

Iegūstot kompleksa skaitļa sakni, tiek izmantota formula:

, (9)

kur k=0, 1, 2, …, n-1.

54. uzdevums. Aprēķināt, kur .

Iesniegsim šīs izteiksmes atrisinājumu eksponenciālā formā, rakstot kompleksu skaitli: .

Ja tad.

Tad, . Tāpēc, tad Un , Kur.

Atbilde: , plkst.

55. uzdevums. Uzrakstiet kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; un) .

Tā kā kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir , tad:

a) Kompleksā skaitā: .

,

Tāpēc

b) , Kur,

G) , Kur,

e) .

un) , A , Tas.

Tāpēc

Atbilde: ; 4; ; ; ; ; .

56. uzdevums. Atrodi kompleksa skaitļa trigonometrisko formu

.

Ļaujiet, .

Tad, , .

Kopš un , , pēc tam , un

Tāpēc, , tāpēc

Atbilde: , Kur.

57. uzdevums. Izmantojot kompleksā skaitļa trigonometrisko formu, veic šādas darbības: .

Iedomāsimies skaitļus un trigonometriskā formā.

1), kur Tad

Atrodiet galvenā argumenta vērtību:

Aizstāsim vērtības un izteiksmē, mēs iegūstam

2) , kur tad

Tad

3) Atradīsim koeficientu

Pieņemot, ka k = 0, 1, 2, mēs iegūstam trīs dažādas vēlamās saknes vērtības:

Ja tad

ja tad

ja tad .

Atbilde: :

:

: .

58. uzdevums. Lai , , , ir dažādi kompleksie skaitļi un . Pierādiet to

skaitlis ir reāls pozitīvs skaitlis;

b) vienlīdzība ir spēkā:

a) attēlosim šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

Jo .

Izliksimies tā. Tad

.

Pēdējā izteiksme ir pozitīvs skaitlis, jo sinusa zīmēs ir skaitļi no intervāla.

kopš numura patiesi un pozitīvi. Patiešām, ja a un b ir kompleksi skaitļi un ir reāli un lielāki par nulli, tad .

Turklāt,

tāpēc nepieciešamā vienlīdzība ir pierādīta.

59. uzdevums. Uzrakstiet skaitli algebriskā formā .

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā un pēc tam atradīsim tā algebrisko formu. Mums ir . Priekš mēs iegūstam sistēmu:

Tas nozīmē vienlīdzību: .

Lietojot Moivre formulu: ,

mēs saņemam

Tiek atrasta dotā skaitļa trigonometriskā forma.

Tagad ierakstīsim šo skaitli algebriskā formā:

.

Atbilde: .

60. uzdevums. Atrodiet summu , ,

Apsvērsim summu

Izmantojot Moivre formulu, mēs atrodam

Šī summa ir ģeometriskās progresijas ar saucēju n vārdu summa un pirmais dalībnieks .

Piemērojot formulu šādas progresijas terminu summai, mums ir

Izolējot iedomāto daļu pēdējā izteiksmē, mēs atrodam

Izolējot reālo daļu, iegūstam arī šādu formulu: , , .

61. uzdevums. Atrodiet summu:

A) ; b) .

Saskaņā ar Ņūtona kāpināšanas formulu mums ir

Izmantojot Moivre formulu, mēs atrodam:

Pielīdzinot iegūto izteiksmju reālās un iedomātās daļas, mēs iegūstam:

Un .

Šīs formulas kompaktā formā var uzrakstīt šādi:

,

, kur ir skaitļa a veselā daļa.

62. uzdevums. Atrast visus , kuriem .

Tāpēc ka , pēc tam, izmantojot formulu

, Lai iegūtu saknes, mēs iegūstam ,

Tāpēc , ,

, .

Skaitļiem atbilstošie punkti atrodas kvadrāta virsotnēs, kas ierakstītas aplī ar rādiusu 2 ar centru punktā (0;0) (30. att.).

Atbilde: , ,

, .

63. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu , .

Pēc nosacījuma; tāpēc šim vienādojumam nav saknes, un tāpēc tas ir līdzvērtīgs vienādojumam.

Lai skaitlis z būtu šī vienādojuma sakne, skaitlim ir jābūt skaitļa 1 saknei.

No šejienes mēs secinām, ka sākotnējam vienādojumam ir saknes, kas noteiktas no vienādībām

,

Tādējādi

,

t.i. ,

Atbilde: .

64. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu komplekso skaitļu kopā.

Tā kā skaitlis nav šī vienādojuma sakne, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

Tas ir, vienādojums.

Visas šī vienādojuma saknes iegūst no formulas (skat. 62. uzdevumu):

; ; ; ; .

65. uzdevums. Uzzīmējiet kompleksajā plaknē punktu kopu, kas apmierina nevienādības: . (otrais veids, kā atrisināt 45. problēmu)

Ļaujiet .

Kompleksie skaitļi ar identiskiem moduļiem atbilst punktiem plaknē, kas atrodas uz apļa, kura centrs ir sākuma punktā, tāpēc nevienlīdzība apmierina visus punktus atvērtam gredzenam, ko ierobežo apļi ar kopīgu centru sākuma punktā un rādiusos un (31. att.). Lai kāds kompleksās plaknes punkts atbilst skaitlim w0. Numurs , modulis ir vairākas reizes mazāks par moduli w0 un arguments ir lielāks par argumentu w0. No ģeometriskā viedokļa punktu, kas atbilst w1, var iegūt, izmantojot homotētiju ar centru sākumā un koeficientu, kā arī rotāciju attiecībā pret izcelsmi leņķī pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Šo divu pārveidojumu piemērošanas rezultātā gredzena punktiem (31. att.), pēdējais pārveidosies par gredzenu, ko ierobežo apļi ar vienādu centru un rādiusiem 1 un 2 (32. att.).

Pārvēršana īstenots, izmantojot paralēlu pārsūtīšanu uz vektoru. Pārnesot gredzenu ar centru punktā uz norādīto vektoru, iegūstam tāda paša izmēra gredzenu ar centru punktā (22. att.).

Piedāvātā metode, kas izmanto ideju par plaknes ģeometriskām transformācijām, iespējams, ir mazāk ērti aprakstāma, taču tā ir ļoti eleganta un efektīva.

Problēma 66. Atrast, ja .

Ļaujiet , tad un . Sākotnējai vienlīdzībai būs forma . No divu komplekso skaitļu vienādības nosacījuma iegūstam , , no kura , . Tādējādi,.

Uzrakstīsim skaitli z trigonometriskā formā:

, Kur,. Saskaņā ar Moivre formulu mēs atrodam .

Atbilde: - 64.

67. uzdevums. Kompleksam skaitlim atrodiet visus tādus kompleksos skaitļus, ka , un .

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā:

. No šejienes, . Iegūtajam skaitlim var būt vienāds ar vai .

Pirmajā gadījumā , otrajā

.

Atbilde: , .

68. uzdevums. Atrodi tādu skaitļu summu, kas . Lūdzu, norādiet vienu no šiem numuriem.

Ņemiet vērā, ka no paša problēmas formulējuma var saprast, ka vienādojuma sakņu summu var atrast, neaprēķinot pašas saknes. Patiešām, vienādojuma sakņu summa ir koeficients priekš , kas ņemts ar pretēju zīmi (vispārināta Vietas teorēma), t.i.

Skolēni, skolas dokumentācija, izdara secinājumus par šī jēdziena meistarības pakāpi. Apkopojiet matemātiskās domāšanas pazīmju izpēti un kompleksā skaitļa jēdziena veidošanās procesu. Metožu apraksts. Diagnostika: I posms. Saruna notika ar matemātikas skolotāju, kura 10. klasē māca algebru un ģeometriju. Saruna notika pēc tam, kad bija pagājis kāds laiks kopš sākuma...

Rezonanse" (!)), kurā ietverts arī savas uzvedības novērtējums. 4. Kritisks situācijas izpratnes novērtējums (šaubas). 5. Visbeidzot, juridiskās psiholoģijas ieteikumu izmantošana (jurists ņem vērā psiholoģisko). veikto profesionālo darbību aspekti - profesionālā psiholoģiskā sagatavotība. Tagad apskatīsim juridisko faktu psiholoģisko analīzi...

Trigonometriskās aizstāšanas matemātika un izstrādātās mācību metodikas efektivitātes pārbaude. Darba posmi: 1. Izvēles kursa izstrāde par tēmu: “Trigonometriskās aizstāšanas pielietošana algebrisko uzdevumu risināšanā” ar skolēniem padziļinātās matemātikas klasēs. 2. Izstrādātā izvēles kursa vadīšana. 3. Diagnostikas pārbaudes veikšana...

Kognitīvie uzdevumi ir paredzēti tikai esošo mācību līdzekļu papildināšanai, un tiem jābūt atbilstošā kombinācijā ar visiem tradicionālajiem izglītības procesa līdzekļiem un elementiem. Izglītības problēmas humanitāro zinātņu mācīšanā atšķiras no eksaktajām, no matemātiskajām problēmām ir tikai tā, ka vēsturiskajos uzdevumos nav formulu, stingru algoritmu utt., kas sarežģī to risinājumu. ...

3.1. Polārās koordinātas

Bieži izmanto lidmašīnā polāro koordinātu sistēma . To nosaka, ja dots punkts O, izsaukts stabs, un stars, kas izplūst no pola (mums tā ir ass Vērsis) – polārā ass. Punkta M atrašanās vieta ir noteikta ar diviem cipariem: rādiuss (vai rādiusa vektors) un leņķis φ starp polāro asi un vektoru. Leņķi φ sauc polārais leņķis; mēra radiānos un skaita pretēji pulksteņrādītāja virzienam no polārās ass.

Punkta atrašanās vietu polāro koordinātu sistēmā nosaka sakārtots skaitļu pāris (r; φ). Pie pola r = 0, un φ nav definēts. Par visiem pārējiem punktiem r > 0, un φ ir definēts līdz terminam, kas ir 2π daudzkārtnis. Šajā gadījumā skaitļu pāri (r; φ) un (r 1 ; φ 1) ir saistīti ar vienu un to pašu punktu, ja .

Taisnstūra koordinātu sistēmai xOy Punkta Dekarta koordinātas ir viegli izteiktas ar tā polārajām koordinātām šādi:

3.2. Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija

Apskatīsim Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē xOy.

Jebkurš kompleksais skaitlis z=(a, b) ir saistīts ar punktu plaknē ar koordinātām ( x, y), Kur koordināte x = a, t.i. kompleksā skaitļa reālā daļa, un koordināte y = bi ir iedomātā daļa.

Plakne, kuras punkti ir kompleksie skaitļi, ir kompleksa plakne.

Attēlā kompleksais skaitlis z = (a, b) atbilst punktam M(x, y).

Vingrinājums.Uzzīmējiet kompleksos skaitļus koordinātu plaknē:

3.3. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Kompleksam skaitlim plaknē ir punkta koordinātas M(x;y). Kurā:

Kompleksā skaitļa rakstīšana - kompleksa skaitļa trigonometriskā forma.

Tiek izsaukts cipars r modulis kompleksais skaitlis z un ir apzīmēts. Modulis ir nenegatīvs reāls skaitlis. Priekš .

Modulis ir nulle tad un tikai tad z = 0, t.i. a = b = 0.

Tiek izsaukts skaitlis φ arguments z un ir norādīts. Arguments z ir definēts neviennozīmīgi, tāpat kā polārais leņķis polāro koordinātu sistēmā, proti, līdz terminam, kas ir 2π daudzkārtnis.

Tad mēs pieņemam: , kur φ ir argumenta mazākā vērtība. Ir skaidrs, ka

.

Apgūstot tēmu dziļāk, tiek ieviests palīgarguments φ*, lai

1. piemērs. Atrodiet kompleksā skaitļa trigonometrisko formu.

Risinājums. 1) apsveriet moduli: ;

2) meklē φ: ;

3) trigonometriskā forma:

2. piemērs. Atrodiet kompleksā skaitļa algebrisko formu .

Šeit pietiek aizstāt trigonometrisko funkciju vērtības un pārveidot izteiksmi:

3. piemērs. Atrast kompleksā skaitļa moduli un argumentu;

1) ;

2) ; φ – 4 ceturkšņos:

3.4. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā

· Saskaitīšana un atņemšanaĒrtāk to darīt ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā:

· Reizināšana– izmantojot vienkāršas trigonometriskās transformācijas, var parādīt, ka Reizinot, tiek reizināti skaitļu moduļi un pievienoti argumenti: ;

KOMPLEKSIE NUMURI XI

§ 256. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Ļaujiet kompleksajam skaitlim a + bi atbilst vektoram O.A.> ar koordinātām ( a, b ) (sk. 332. att.).

Apzīmēsim šī vektora garumu ar r , un leņķi, ko tas veido ar asi X , cauri φ . Pēc sinusa un kosinusa definīcijas:

a / r = cos φ , b / r = grēks φ .

Tāpēc A = r cos φ , b = r grēks φ . Bet šajā gadījumā kompleksais skaitlis a + bi var rakstīt šādi:

a + bi = r cos φ + ir grēks φ = r (cos φ + i grēks φ ).

Kā jūs zināt, jebkura vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā koordinātu kvadrātu summu. Tāpēc r 2 = a 2 + b 2, no kurienes r = √a 2 + b 2

Tātad, jebkurš kompleksais skaitlis a + bi var attēlot formā :

a + bi = r (cos φ + i grēks φ ), (1)

kur r = √a 2 + b 2 un leņķis φ tiek noteikts no nosacījuma:

Šo komplekso skaitļu rakstīšanas veidu sauc trigonometrisks.

Numurs r formulā (1) sauc modulis, un leņķi φ - arguments, kompleksais skaitlis a + bi .

Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā modulis ir pozitīvs; ja a + bi = 0, tad a = b = 0 un pēc tam r = 0.

Jebkura kompleksā skaitļa modulis ir unikāli noteikts.

Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā argumentu nosaka formulas (2) noteikti līdz leņķim, kas dalās ar 2 π . Ja a + bi = 0, tad a = b = 0. Šajā gadījumā r = 0. No formulas (1) to var viegli saprast kā argumentu φ šajā gadījumā jūs varat izvēlēties jebkuru leņķi: galu galā jebkuram φ

0 (maks φ + i grēks φ ) = 0.

Tāpēc nulles arguments nav definēts.

Kompleksa skaitļa modulis r dažreiz apzīmē | z |, un arguments arg z . Apskatīsim dažus piemērus komplekso skaitļu attēlošanai trigonometriskā formā.

Piemērs. 1. 1 + i .

Atradīsim moduli r un arguments φ šis numurs.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Tāpēc grēks φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, no kurienes φ = π / 4 + 2nπ .

Tādējādi

1 + i = √ 2 ,

Kur P - jebkurš vesels skaitlis. Parasti no kompleksā skaitļa argumenta bezgalīgās vērtību kopas tiek izvēlēts viens, kas ir no 0 līdz 2 π . Šajā gadījumā šī vērtība ir π / 4 . Tāpēc

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i grēks π / 4)

2. piemērs. Uzrakstiet kompleksu skaitli trigonometriskā formā √ 3 - i . Mums ir:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, grēks φ = - 1 / 2

Tāpēc līdz leņķim, kas dalās ar 2 π , φ = 11 / 6 π ; tātad,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i grēks 11/6 π ).

3. piemērs Uzrakstiet kompleksu skaitli trigonometriskā formā i.

Komplekss skaitlis i atbilst vektoram O.A.> , kas beidzas ass punktā A plkst ar 1. ordinātu (333. att.). Šāda vektora garums ir 1, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir vienāds ar π / 2. Tāpēc

i = cos π / 2 + i grēks π / 2 .

4. piemērs. Uzrakstiet komplekso skaitli 3 trigonometriskā formā.

Kompleksais skaitlis 3 atbilst vektoram O.A. > X abscisa 3 (334. att.).

Šāda vektora garums ir 3, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir 0. Tāpēc

3 = 3 (cos 0 + i grēks 0),

5. piemērs. Uzrakstiet komplekso skaitli -5 trigonometriskā formā.

Kompleksais skaitlis -5 atbilst vektoram O.A.> beidzas ass punktā X ar abscisu -5 (335. att.). Šāda vektora garums ir 5, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir vienāds ar π . Tāpēc

5 = 5 (maks π + i grēks π ).

Vingrinājumi

2047. Uzrakstiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Norādiet uz plaknes punktu kopu, kas attēlo kompleksos skaitļus, kuru moduļi r un argumenti φ atbilst nosacījumiem:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Vai skaitļi vienlaikus var būt kompleksa skaitļa modulis? r Un - r ?

2050. Vai kompleksa skaitļa arguments vienlaikus var būt leņķi? φ Un - φ ?

Norādiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:

2051*. 1 + cos α + i grēks α . 2054*. 2 (cos 20° - i grēks 20°).

2052*. grēks φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15°- i grēks 15°).

Lekcija

Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Plānot

1. Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

2. Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

3. Darbības uz kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā.

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

a) Kompleksie skaitļi tiek attēloti ar punktiem plaknē saskaņā ar šādu noteikumu: a + bi = M ( a ; b ) (1. att.).

1. attēls

b) Kompleksu skaitli var attēlot ar vektoru, kas sākas punktāPAR un beigas dotajā punktā (2. att.).

2. attēls

7. piemērs. Konstruējiet punktus, kas attēlo kompleksos skaitļus:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3. att.).

3. attēls

Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

Komplekss skaitlisz = a + bi var norādīt, izmantojot rādiusa vektoru ar koordinātām( a ; b ) (4. att.).

4. attēls

Definīcija . Vektora garums , kas apzīmē kompleksu skaitliz , sauc par šī skaitļa moduli un tiek apzīmēts vair .

Jebkuram kompleksam skaitlimz tā modulisr = | z | tiek unikāli noteikts pēc formulas .

Definīcija . Leņķa lielums starp reālās ass pozitīvo virzienu un vektoru , kas apzīmē kompleksu skaitli, sauc par šī kompleksā skaitļa argumentu un tiek apzīmētsA rg z vaiφ .

Komplekso skaitļu argumentsz = 0 nenoteikts. Komplekso skaitļu argumentsz≠ 0 – daudzvērtību lielums un tiek noteikts termiņā2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z – intervālā ietvertā argumenta galvenā vērtība(-π; π] , tas ir-π < arg z ≤ π (dažreiz vērtība, kas pieder intervālam, tiek uzskatīta par argumenta galveno vērtību .

Šī formula, kadr =1 bieži saukta par Moivre formulu:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. piemērs: Aprēķiniet(1 + i ) 100 .

Uzrakstīsim kompleksu skaitli1 + i trigonometriskā formā.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +es grēkoju )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + es grēkoju ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) kompleksa skaitļa kvadrātsaknes izvilkšana.

Ņemot kvadrātsakni no kompleksā skaitļaa + bi mums ir divi gadījumi:

Jab >o , Tas ;