Savstarpēji pirmskaitļi. Kopirma skaitļi
Definīcija1. Veseli skaitļi a 1,a 2,…,a k tiek saukti par kopstrāvu, ja (a 1 , a 2 ,…, a k) =1
2. definīcija. Veseli skaitļi a 1,a 2,…, a k tiek saukti par pāru koprēķinu, ja i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (a i, a s) =1) .
Ja skaitļi atbilst 2. definīcijai, tad tie atbilst 1. definīcijai. Apgrieztais apgalvojums parasti ir nepatiess, piemēram: (15, 21, 19) = 1, bet (15, 21) = 3
Teorēma (kopstrāvas kritērijs)
(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + ar = 1
Pierādījums:
Pierādīsim nepieciešamību. Pieņemsim (a, b) = 1. Iepriekš mēs parādījām, ka, ja d = (a, b), tad x, y Z: d = ax + by.
Jo šajā gadījumā d =1, tad būs x, y Z (noteikts pēc Eiklīda algoritma): 1 = ax + bу.
Atbilstība. Pierādīsim (*) ax + ar = 1, pierādīsim, ka (a, b)=1. Pieņemsim, ka (a, b) = d, tad vienādības (*) kreisajā pusē
(a / d ) & ( b/d ) => (ah + pēc) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.
§4. Veselo skaitļu Nok un tā īpašības.
1. definīcija. Galīgas veselu skaitļu kopas a 1,a 2,…,a k, kas atšķiras no nulles, kopējais daudzkārtnis ir vesels skaitlis m, kas dalās ar visiem skaitļiem a i (i=l, 2,…, k)
2. definīcija. Veselu skaitli (m) sauc par skaitļu a 1, a 2,..., a k mazāko kopējo daudzkārtni, kas atšķiras no nulles, ja:
1 m - ir to kopīgais daudzkārtnis;
2 (m) dala jebkuru citu šo skaitļu kopējo daudzkārtni.
Apzīmējums: m = LCM (a 1, a 2,…, a k) vai m = [a 1, a 2,…, a k]
Piemērs. Skaitļi ir doti: 2, 3, 4, 6, 12.
Skaitļi 12, 24. 48. 96 ir skaitļu 2, 3, 4, 6, 12 kopīgie reizinātāji. Vismazākais kopskaitlis ir skaitlis 12. t.i.
LCM tiek noteikts unikāli atkarībā no faktoru secības. Patiešām, ja pieņemam, ka m 1 = [a, b] & m 2 = (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Pastāv sakarība starp divu veselu skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni un lielāko kopīgo dalītāju, ko izsaka ar formulu: [a, b] = ab/(a, b) (atvasiniet pats)
Šis savienojums ļauj mums apgalvot, ka jebkuram veselu skaitļu pārim, kas nav nulle, ir to mazākais kopīgais reizinājums. Patiešām, (a, b) vienmēr var viennozīmīgi izsecināt no Eiklīda algoritma un pēc definīcijas (a, b) 0, tad daļa ab/(a, b) 0 tiks noteikta unikāli.
Divu veselu skaitļu LCM ir visvieglāk aprēķināt gadījumā, ja (a, b) = 1, tad [a, b] = ab/1 = a b
Piemēram, = 215/1 = 105, jo (21, 5) = 1.
§5. Pirmskaitļi un to īpašības.
1. definīcija. Naturālu skaitli (p) sauc par pirmskaitļu, ja p > 1 un tam nav pozitīva skaitļa. dalītāji, kas nav 1 un p.
2. definīcija. Dabisku skaitli a > 1, kam ir citi pozitīvi dalītāji, izņemot 1, un pašam, sauc par saliktu.
No šīm definīcijām izriet, ka naturālo skaitļu kopu var iedalīt trīs klasēs:
a) saliktie skaitļi;
b) pirmskaitļi;
c) vienība.
Ja a ir salikts, tad a = nq, kur 1 1. uzdevums. Pierādīt, ka, ja aZ un p ir pirmskaitlis, tad (a, p) = 1 v (a / p) Pierādījums. Lai d = (a, p) =>
(a / d) & (p / d), jo p ir pirmskaitlis, tad tam ir divi dalītāji 1 un p. Ja (a, p) = 1, tad a un p ir relatīvi pirmskaitļi, ja (a, p) = p, tad (a/p). 2. uzdevums. Ja vairāku faktoru reizinājums dalās ar p, tad vismaz viens no faktoriem dalās ar p. Risinājums. Ļaujiet produktam (a 1, a 2, ...,
un k)/р, ja visi a i nedalās ar p, tad reizinājums būs kopskaitlis ar p, tāpēc kāds faktors dalās ar p. 3. uzdevums. Pierādīt, ka vesela skaitļa a>1 mazākais dalītājs, kas nav 1, ir pirmskaitlis. Pierādījums. Lai aZ un a ir salikts skaitlis (ja a = p, tad apgalvojums ir pierādīts), tad a = a 1 q. Lai q ir mazākais dalītājs, parādīsim, ka tas būs pirmskaitlis. Ja pieņemam, ka q ir salikts skaitlis, tad q = q 1 k un a = a 1 q 1 k, jo q 1 4. uzdevums. Pierādīt, ka naturāla skaitļa (n) mazākais pirmdalītājs (p) nepārsniedz n. Pierādījums. Pieņemsim, ka n = pn 1 un p< n 1
и р - простое. Тогда n
р 2
=>R<n
. No šī apgalvojuma izriet, ka, ja naturāls skaitlis (n) nedalās ne ar vienu pirmskaitli p n, tad n ir pirmskaitlis, pretējā gadījumā tas būs salikts. 1. piemērs. Uzziniet, vai 137 ir pirmskaitlis? vienpadsmit<137
<12. Pierakstām pirmkoeficientus, kas nepārsniedz 137: 2, 3, 5, 7, 11. Pārbaudām, vai 137 nedalās ar 2, 3, 5, 7, 11. Tāpēc skaitlis 137 ir galvenais. Eiklida teorēma. Pirmskaitļu kopa ir bezgalīga. Pierādījums. Pieņemsim pretējo, pieņemsim p 1 , p 2 , ...,
p k ir visi pirmskaitļi, kur p 1 = 2 un p k ir lielākais pirmskaitlis. Sastādīsim naturālu skaitli = p 1 p 2 ...
p līdz +1, jo p i , tad tam jābūt saliktam, tad tā mazākais dalītājs būs pirmskaitlis (skat. 3. uzdevumu). Tomēr nedalās ne ar p 1, ne p 2,..., vai p k, jo 1 nedalās ne ar vienu p I. Tāpēc mūsu pieņēmums, ka pirmskaitļu kopa ir ierobežota, bija nepareizs. Tomēr ir teorēma, kas apgalvo, ka pirmskaitļi veido tikai nelielu daļu no naturālajiem skaitļiem. Intervālu teorēma. Dabiskajās rindās ir patvaļīgi gari intervāli, kuros nav neviena pirmskaitļa. Pierādījums. Ņemsim patvaļīgu naturālu skaitli (n) un izveidosim naturālu skaitļu secību (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1). Šajā secībā katrs nākamais skaitlis ir par 1 lielāks nekā iepriekšējais, jo visi šie skaitļi ir salikti katram ir vairāk nekā divi dalītāji (piemēram, pirmais skaitlis dalās ar 1, ar 2 un pats ar sevi). Kā n→∞ mēs iegūstam patvaļīgi garu intervālu, kas sastāv tikai no saliktiem skaitļiem. Eiklida teorēma un intervālu teorēma norāda uz pirmskaitļu sadalījuma sarežģīto raksturu naturālajās rindās. Aritmētikas pamatteorēma Jebkuru naturālu skaitli n>1 var unikālā veidā attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu līdz faktoru secībai. Pierādījums. Pierādīsim reprezentācijas iespēju: Pieņemsim nN un n>1, ja n ir pirmskaitlis, tad n = p un teorēma ir pierādīta. Ja n ir salikts, tad tā mazākais dalītājs būs pirmskaitlis un n = p 1 n 1 , kur n 1 Tālāk mēs strīdamies līdzīgi. Ja n 1 ir pirmskaitlis, tad teorēma ir pierādīta, ja n 1 ir salikts skaitlis, tad n 1 = p 2 n 2, kur n 2< n 1
и тогда n
= p 1 p 2 n 2
. На каком-то шаге получим n
= p 1 p 2
…p n
, где все p i
- простые числа. Pierādīsim dekompozīcijas unikalitāti: Pieņemsim, ka skaitļam (n) ir divi dažādi attēlojumi: n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n un n>k. Tad mēs iegūstam, ka p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). Vienādības (1) kreisā puse dalās ar p 1 , tad ar pirmskaitļu īpašību (skat. 2. uzdevumu) vismaz vienam no labās puses faktoriem ir jādalās ar p 1 . Pieņemsim (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1). Sadalot abas vienādības (1) puses ar p 1, iegūstam vienādību p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n. Atkārtojot iepriekšējo argumentāciju vēl (k-1) reizes, iegūstam vienādību 1 = q k +1 q k +2 …q n , jo visi q i >1, tad šī vienādība nav iespējama. Līdz ar to abos izvērsumos faktoru skaits ir vienāds (k=n) un paši faktori ir vienādi. komentēt. Sadalot skaitli (n) vienkāršos faktoros, daži no tiem var atkārtoties. Apzīmējot ar burtiem 1 , 2 ,…, k to sastopamības daudzveidību punktā (n), iegūstam tā saukto skaitļa (n) kanonisko izvērsumu: 2. piemērs. Kanoniskais skaitļa 588000 izvērsums = 2 5 35 3 7 2 Secinājums 1. Ja 3. piemērs. Visi skaitļa 720 = 2 4 3 2 5 dalītāji tiek iegūti, ja izteiksmē Nepieciešamie dalītāji būs vienādi ar: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144; 5; 10; 20; 40; 80; 15; trīsdesmit; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720. Secinājums 2. Ja P 1 1 p 2 2 …p k k, kur i = max( I , i). 4. piemērs. Atrodiet GCD(a, b) un LCM(a, b), izmantojot kanonisko izvēršanu, ja (24,
42) = 23
= 6 Šajā rakstā sniegtā informācija attiecas uz tēmu " pirmskaitļi" Pirmkārt, ir dota divu kopskaitļu definīcija, kā arī trīs vai vairāku kopskaitļu definīcija. Pēc tam ir doti kopskaitļu piemēri un parādīts, kā pierādīt, ka dotie skaitļi ir pirmskaitļi. Tālāk ir uzskaitītas un pierādītas galvenās kopskaitļu īpašības. Visbeidzot, tiek minēti pirmskaitļi pa pāriem, jo tie ir cieši saistīti ar pirmskaitļiem. Lapas navigācija. Bieži vien ir uzdevumi, kuros jums jāpierāda, ka dotie veselie skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi. Pierādījuma pamatā ir doto skaitļu lielākā kopīgā dalītāja aprēķināšana un gcd pārbaude, lai redzētu, vai tas ir vienāds ar vienu. Ir arī lietderīgi pirms gcd aprēķināšanas apskatīt pirmskaitļu tabulu: ja sākotnējie veselie skaitļi ir pirmskaitļi, un mēs zinām, ka lielākais kopīgs dalītājs pirmskaitļi ir vienādi ar vienu. Apskatīsim risinājuma piemēru. Piemērs. Pierādiet, ka skaitļi 84 un 275 ir relatīvi pirmskaitļi. Risinājums. Acīmredzot šie skaitļi nav pirmskaitļi, tāpēc mēs nevaram uzreiz runāt par skaitļu 84 un 275 relatīvo pirmkārtību, un mums būs jāaprēķina gcd. Mēs izmantojam Eiklīda algoritmu, lai atrastu GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, tāpēc gcd(84, 275)=1. Tas pierāda, ka skaitļi 84 un 275 ir salīdzinoši pirmskaitļi. Kopirmā skaitļu definīciju var paplašināt līdz trim un vairāk cipariem. Definīcija. Tiek izsaukti veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k , k>2 savstarpēji galvenais, ja šo skaitļu lielākais kopējais dalītājs ir vienāds ar vienu. No norādītās definīcijas izriet, ka, ja noteiktai veselu skaitļu kopai ir pozitīvs kopējais dalītājs, kas nav viens, tad šie veselie skaitļi nav pirmskaitļi. Sniegsim piemērus. Trīs veseli skaitļi –99, 17 un –27 ir relatīvi pirmskaitļi. Jebkura pirmskaitļu kopa veido kopskaitļu kopu, piemēram, 2, 3, 11, 19, 151, 293 un 677 ir pirmskaitļi. Un četri skaitļi 12, −9, 900 un −72 nav pirmskaitļi, jo tiem ir pozitīvs kopējais dalītājs 3, kas nav 1. Arī skaitļi 17, 85 un 187 nav salīdzinoši pirmskaitļi, jo katrs no tiem dalās ar 17. Parasti nav acīmredzams, ka daži skaitļi ir salīdzinoši pirmskaitļi, un šis fakts ir jāpierāda. Lai noskaidrotu, vai dotie skaitļi ir pirmskaitļi, jāatrod šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs un jāizdara secinājums, pamatojoties uz kopskaitļu definīciju. Piemērs. Vai skaitļi 331, 463 un 733 ir salīdzinoši pirmskaitļi? Risinājums. Aplūkojot pirmskaitļu tabulu, mēs atklāsim, ka katrs no skaitļiem 331, 463 un 733 ir pirmskaitļi. Tāpēc tiem ir viens pozitīvs kopīgs dalītājs – viens. Tādējādi trīs skaitļi 331, 463 un 733 ir salīdzinoši pirmskaitļi. Atbilde: Jā. Piemērs. Pierādīt, ka skaitļi −14 , 105 , −2 107 un −91 nav pirmskaitļi. Risinājums. Lai pierādītu, ka šie skaitļi nav relatīvi pirmskaitļi, varat atrast to gcd un pārliecināties, ka tas nav vienāds ar vienu. To mēs darīsim. Tā kā veselu skaitļu dalītāji negatīvi skaitļi sakrīt ar dalītāji atbilst , Tad GCD(−14, 105, 2 107, −91)= GCD(14, 105, 2 107, 91) . Pievēršoties materiālam rakstā, kas atrod trīs vai vairāk skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, mēs uzzinām, ka GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Tāpēc sākotnējo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir septiņi, tāpēc šie skaitļi nav pirmskaitļi. Kopirma skaitļiem ir vairākas īpašības. Apskatīsim galveno kopskaitļu īpašības. Skaitļi, kas iegūti, dalot veselus skaitļus a un b ar to lielāko kopīgo dalītāju, ir kopskaitlis, tas ir, a:GCD(a, b) un b:GCD(a, b) ir kopskaitlis. Mēs pierādījām šo īpašību, pārbaudot GCD īpašības. Aplūkotā kopskaitļu īpašība ļauj mums atrast kopskaitļu pārus. Lai to izdarītu, pietiek ņemt jebkurus divus veselus skaitļus un dalīt tos ar lielāko kopīgo dalītāju, iegūtie skaitļi būs relatīvi pirmskaitļi. Lai veseli skaitļi a un b būtu relatīvi pirmskaitļi, ir nepieciešams un pietiekami, lai eksistētu veseli skaitļi u 0 un v 0, lai a·u 0 +b·v 0 =1. Vispirms pierādīsim nepieciešamību. Lai skaitļi a un b ir relatīvi pirmskaitļi. Tad pēc kopirmā skaitļu definīcijas gcd(a, b)=1. Un no GCD īpašībām mēs zinām, ka veseliem skaitļiem a un b Bezout sakarība a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) ir patiesa. Tāpēc a·u 0 +b·v 0 =1. Atliek pierādīt pietiekamību. Lai vienādība a·u 0 +b·v 0 =1 ir patiesa. Tā kā GCD(a, b) dala gan a, gan b, tad GCD(a, b) dalāmības īpašību dēļ ir jāsadala summa a·u 0 +b·v 0, tātad vienotība. Un tas ir iespējams tikai tad, ja GCD(a, b)=1. Tāpēc a un b ir relatīvi pirmskaitļi. Nākamā kopskaitļu īpašība ir šāda: ja skaitļi a un b ir pirmskaitļi un reizinājums a·c dalās ar b, tad c dalās ar b. Patiešām, tā kā a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad no iepriekšējās īpašības mums ir vienādība a·u 0 +b·v 0 =1. Reizinot abas šīs vienādības puses ar c, iegūstam a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. Summas a·c·u 0 +b·c·v 0 pirmais loceklis tiek dalīts ar b, jo a·c tiek dalīts ar b atbilstoši nosacījumam, šīs summas otrais loceklis arī tiek dalīts ar b, jo viens no faktoriem ir vienāds ar b, tāpēc visu summu dala ar b. Un tā kā summa a·c·u 0 +b·c·v 0 ir vienāda ar c, tad c dalās ar b. Ja skaitļi a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad gcd(a c, b) = gcd(c, b) . Parādīsim, pirmkārt, ka gcd(a c, b) dala gcd(c, b), un, otrkārt, ka gcd(c, b) dala gcd(a c, b), tas pierādīs vienādību GCD(a c, b) =GCD(c, b) . GCD(a c, b) dala gan a c, gan b, un, tā kā gcd(a c, b) dala b, tas arī dala b c. Tas ir, gcd(a c, b) dala gan a c, gan b c, tāpēc lielākā kopējā dalītāja īpašību dēļ tas sadala arī gcd(a c, b c), kas pēc gcd īpašībām ir vienāds ar c GCD(a, b)=c . Tādējādi gcd(a c, b) dala gan b, gan c, tāpēc dala arī gcd(c, b). No otras puses, GCD(c, b) dala gan c, gan b, un, tā kā tas dala c, tas dala arī a·c. Tādējādi gcd(c, b) dala gan a c, gan b, tāpēc arī dala gcd(a c, b). Tātad mēs parādījām, ka gcd (a c, b) un gcd (c, b) savstarpēji sadala viens otru, kas nozīmē, ka tie ir vienādi. Ja katrs no skaitļiem a 1 , a 2 , …, a k ir koprēķins ar katru no skaitļiem b 1 , b 2 , …, b m (kur k un m ir daži naturāli skaitļi), tad reizinājumi a 1 · a 2 · … · a k un b 1 · b 2 ·…·b m ir pirmskaitļi, jo īpaši, ja a 1 =a 2 =…=a k =a un b 1 =b 2 =…=b m =b, tad a k un b m ir pirmskaitļi. Iepriekšējā kopskaitļu īpašība ļauj uzrakstīt formas vienādību sēriju GCD(a 1 · a 2 ·… · a k , b m)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1, kur ir iespējama pēdējā pāreja, jo a k un b m ir savstarpēji pirmskaitļi pēc nosacījuma. Tātad, GCD(a 1 · a 2 ·… · a k , b m)=1. Tagad, apzīmējot a 1 ·a 2 ·…·a k =A, mums ir Tas noslēdz mūsu kopskaitļu pamatīpašību apskatu. Caur kopirmskaitļiem tas tiek dots pirmskaitļu pāru identificēšana. Definīcija. Tiek saukti veseli skaitļi a 1, a 2, …, a k, kuri katrs ir relatīvi pirmskaitļi attiecībā pret visiem pārējiem. pāru pirmskaitļi.
Sniegsim pāru pirmskaitļu piemēru. Skaitļi 14, 9, 17 un -25 ir pa pāriem pirmskaitļi, jo skaitļu 14 un 9, 14 un 17, 14 un -25, 9 un 17, 9 un -25, 17 un -25 pāri ir pirmskaitļi. Šeit mēs atzīmējam, ka pāru pirmskaitļi vienmēr ir pirmskaitļi. No otras puses, relatīvi pirmskaitļi ne vienmēr ir pirmskaitļi pa pāriem, kā to apstiprina šis piemērs. Skaitļi 8, 16, 5 un 15 nav pāru pirmskaitļi, jo skaitļi 8 un 16 nav pirmskaitļi. Tomēr skaitļi 8, 16, 5 un 15 ir salīdzinoši pirmskaitļi. Tādējādi 8, 16, 5 un 15 ir relatīvi pirmskaitļi, bet ne pāru pirmskaitļi. Īpaši jāizceļ noteikta skaita pirmskaitļu kolekcija. Šie skaitļi vienmēr ir gan relatīvi pirmskaitļi, gan pāru pirmskaitļi. Piemēram, 71, 443, 857, 991 ir gan pāru pirmskaitļi, gan kopskaitļi. Ir arī skaidrs, ka kad mēs runājam par apmēram divi veseli skaitļi, tad tiem sakrīt jēdzieni “pāru pirmskaitlis” un “savstarpēji pirmskaitlis”. Bibliogrāfija. Kas ir pirmskaitļi? Kopskaitļu definīcija: Kopskaitļi ir veseli skaitļi, kuriem nav citu kopīgu faktoru kā viens. Kopirmā skaitļu piemērs: 2 un 3 nav citu kopīgu dalītāju, izņemot vienu. Vēl viens kopskaitļu piemērs: 3 un 7 nav citu kopīgu faktoru, izņemot vienu. Vēl viens kopskaitļu piemērs: 11 un 13 nav citu kopīgu faktoru, izņemot vienu. Tagad mēs varam atbildēt uz jautājumu, ko nozīmē kopskaitļi. Ko nozīmē kopskaitļi? Tie ir veseli skaitļi, kuriem nav citu kopīgu dalītāju, izņemot vienu. Katrs no šiem pāriem ir divi relatīvi pirmskaitļi. 11 un 15 Kopīgie kopskaitļu dalītāji ir tikai viens, kā tas izriet no kopskaitļu definīcijas. Lielākais kopskaitļu kopīgais dalītājs ir viens, kā izriet no kopskaitļu definīcijas. Vai skaitļi 3 un 13 ir pirmskaitļi? Jā, jo tiem nav kopīgu dalītāju, izņemot vienu. Vai skaitļi 3 un 12 ir pirmskaitļi? Nē, jo to kopējie dalītāji ir 1 un 3. Un pēc kopskaitļu definīcijas kopējam dalītājam jābūt tikai vienam. Vai skaitļi 3 un 108 ir pirmskaitļi? Nē, jo to kopējie dalītāji ir 1 un 3. Un pēc kopskaitļu definīcijas kopējam dalītājam jābūt tikai vienam. Vai skaitļi 108 un 5 ir pirmskaitļi? Jā, jo tiem nav kopīgu dalītāju, izņemot vienu. $p$ sauc par pirmskaitli, ja tam ir tikai $2$ dalītāji: $1$ un pats sevi. Dalītājs dabiskais skaitlis$a$ ir naturāls skaitlis, ar kuru sākotnējais skaitlis $a$ dalās bez atlikuma. 1. piemērs Atrodiet skaitļa $6$ dalītājus. Risinājums: jāatrod visi skaitļi, ar kuriem dotais skaitlis $6$ dalās bez atlikuma. Tie būs skaitļi: $1,2,3,6$. Tātad skaitļa $6$ dalītājs būs skaitļi $1,2,3,6.$ Atbilde: $1,2,3,6$. Tas nozīmē, ka, lai atrastu skaitļa dalītājus, jāatrod visi naturālie skaitļi, kuros dotais skaitlis dalās bez atlikuma. Ir viegli redzēt, ka skaitlis $1 $ būs jebkura naturāla skaitļa dalītājs. 2. definīcija Kompozīts Viņi sauc numuru, kuram ir citi dalītāji, izņemot vienu un sevi. Pirmskaitļa piemērs būtu skaitlis $13, bet saliktā skaitļa piemērs būtu $14.$ 1. piezīme Skaitlim $1$ ir tikai viens dalītājs – pats skaitlis, tāpēc tas nav ne pirmskaitļa, ne salikts. 3. definīcija Savstarpēji pirmskaitļi tie ir tie, kuru gcd ir vienāds ar $1$. Tas nozīmē, ka, lai noskaidrotu, vai skaitļi ir salīdzinoši pirmie, jāatrod viņu gcd un jāsalīdzina ar $1$. 4. definīcija Ja skaitļu kopā kādi divi ir pirmskaitļi, tad šādus skaitļus sauc pāru koprime. Diviem skaitļiem jēdzieni “koprime” un “pairwise coprime” sakrīt. 2. piemērs $8, $15 - nav vienkārši, bet salīdzinoši vienkārši. $6, 8, 9$ ir pirmskaitļi, bet ne pāru pirmskaitļi. 8, 15, 49 ASV dolāri ir salīdzinoši lieli. Kā redzam, lai noteiktu, vai skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi, vispirms tie ir jāiekļauj pirmfaktoros. Pievērsīsim uzmanību tam, kā to izdarīt pareizi. Piemēram, iedalīsim skaitli $180 $ primārajos faktoros: 180 $=2\cpunkts 2\cpunkts 3\cpunkts 3\cpunkts 5 $ Izmantosim spēku īpašību, tad iegūsim, 180 $=2^2\cpunkts 3^2\cpunkts 5 $ Šo sadalīšanās pirmfaktoros apzīmējumu sauc par kanonisko, t.i. lai faktorētu skaitli kanoniskā formā, ir jāizmanto pakāpju īpašība un skaitlis jāattēlo kā pakāpju reizinājums ar dažādu iemeslu dēļ Naturāla skaitļa kanoniskais izvērsums iekšā vispārējs skats ir šāda forma: $m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$ kur $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ ir pirmskaitļi, un eksponenti ir naturāli skaitļi. Skaitļa attēlošana kā kanoniska sadalīšana pirmskaitļu kopās ļauj vieglāk atrast lielāko kopējo skaitļu dalītāju, un tas darbojas kā kopskaitļu pierādīšanas vai definīcijas sekas. 3. piemērs Atrodiet skaitļu $180$ un $240$ lielāko kopīgo dalītāju. Risinājums: sadalīsim skaitļus vienkāršās kopās, izmantojot kanonisko sadalīšanu $180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, pēc tam $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ $240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, pēc tam $240=2^4\cdot 3\cdot 5$ Tagad atradīsim šo skaitļu gcd, šim mēs izvēlamies pakāpes ar tādu pašu bāzi un ar mazāko eksponentu, tad $GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$ Sacerēsim algoritms GCD atrašanai, ņemot vērā kanonisko faktorizāciju primārajos faktoros. Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot kanonisko izvēršanu, jums ir nepieciešams: 4. piemērs Nosakiet, vai skaitļi $195$ un $336$ ir pirmskaitļi, pirmskaitļi. 195 ASV dolāri = 3\cdot 5\cdot 13 $ $336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$ $GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$ Mēs redzam, ka šo skaitļu gcd atšķiras no $1$, kas nozīmē, ka skaitļi nav salīdzinoši pirmskaitļi. Mēs arī redzam, ka katrs no skaitļiem ietver faktorus, papildus $1$ un pašam skaitlim, kas nozīmē, ka skaitļi nebūs pirmskaitļi, bet būs salikti. 5. piemērs Nosakiet, vai skaitļi $39$ un $112$ ir pirmskaitļi, pirmskaitļi. Risinājums: izmantosim kanonisko faktorizāciju: $112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$ $GCD\(39;112)=1$ Mēs redzam, ka šo skaitļu gcd ir vienāds ar $1 $, kas nozīmē, ka skaitļi ir salīdzinoši pirmskaitļi. Mēs arī redzam, ka katrs no skaitļiem ietver faktorus, papildus $1$ un pašam skaitlim, kas nozīmē, ka skaitļi nebūs pirmskaitļi, bet būs salikti. 6. piemērs Nosakiet, vai skaitļi $883$ un $997$ ir pirmskaitļi, pirmskaitļi. Risinājums: izmantosim kanonisko faktorizāciju: $883=1\cdot 883$ $997=1\cdot 997$ $GCD\(883;997)=1$ Mēs redzam, ka šo skaitļu gcd ir vienāds ar $1 $, kas nozīmē, ka skaitļi ir salīdzinoši pirmskaitļi. Mēs arī redzam, ka katrs skaitlis ietver tikai faktorus, kas vienādi ar USD 1, un pašu skaitli, kas nozīmē, ka skaitļi būs pirmskaitļi.
tad visiem skaitļa (n) dalītājiem ir šāda forma: 
kur 0 i i (i = 1, 2,…,k).
1, 2, 3 vietā neatkarīgi viena no otras aizvietosim šādas vērtības: 1 =0, 1, 2, 3, 4, 2 =0, 1, 2, 3 = 0, 1.
Un 
tad (a, b) = p 1 1 p 2 2 …p k k , kur i = min( I , i)
Kopskaitļu īpašības
GCD(b 1 · b 2 ·… · b m , a 1 · a 2 ·… · a k)= GCD(b 1 · b 2 ·… · b m , A)=
=GCD(b 2 ·…·b m , A)=… =GCD(b m , A)=1
(pēdējā pāreja ir spēkā, ņemot vērā pēdējo vienādību no iepriekšējās rindkopas). Tā mēs panācām vienlīdzību GCD(b 1 · b 2 ·… · b m , a 1 · a 2 ·… · a k)=1, kas pierāda, ka reizinājumi a 1 ·a 2 ·…·a k un b 1 ·b 2 ·…·b m ir kopskaitļi.Pāru pirmskaitļi - definīcijas un piemēri
Koprime skaitļu definīcija
Kopirma skaitļu piemēri
Divi pirmskaitļi
15 un 16
16 un 23Kopskaitļu kopējie dalītāji
Lielākais kopskaitļu kopīgais dalītājs
Vai skaitļi ir pirmskaitļi?
Kopirma skaitļi
Pāru koprēķins
Galvenā faktorizācija
Naturāla skaitļa kanoniska izvēršana vispārīgā formā
Līdzīgi raksti
Labākie amuleti pret ļauno aci un bojājumiem Amulets pret ļauno aci ar rokām bērniem
Kā pareizi lasīt Psalteri
Gardi ēdieni ar desiņām
Neliels ieskats Bellā. Romantiskā hronika. Paskats ģēniju. Messerers par Akhmadulinu Boriss Meserers ieskats Bella romantiskajā hronikā
Es sapņoju, ka braucu ar laivu pa upi
Kā pannā pagatavot liellopu gaļas entrekotu
Par uzņēmumu Svešvalodu kursi Maskavas Valsts universitātē
Kura pilsēta un kāpēc kļuva par galveno Senajā Mezopotāmijā?
Kāpēc Bukhsoft Online ir labāka par parastu grāmatvedības programmu!
Kurš gads ir garais gads un kā to aprēķināt