Kādus skaitļus sauc par pirmskaitļiem? Pirmskaitļi: neatrisinātas mīklas ikdienišķums

pirmskaitlis

naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu un kam nav citu dalītāju kā pats un viens: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.

Pirmskaitlis

vesels pozitīvs skaitlis, lielāks par vienu, kam nav citu dalītāju, izņemot sevi un vienu: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Skaitļa jēdziens ir fundamentāls naturālu (pozitīvu veselu skaitļu) skaitļu dalāmības izpētē; Proti, dalāmības teorijas galvenā teorēma nosaka, ka katrs pozitīvs vesels skaitlis, izņemot 1, tiek unikāli sadalīts vairāku skaitļu reizinājumā (faktoru secība netiek ņemta vērā). Ir bezgala daudz pirmskaitļu (šo ierosinājumu zināja sengrieķu matemātiķi; tā pierādījums ir pieejams Eiklida elementu 9. grāmatā). Grupu izpētē svarīgi ir jautājumi par naturālu skaitļu dalāmību, tātad ar pirmskaitļiem saistītie jautājumi; jo īpaši grupas ar ierobežotu elementu skaitu struktūra ir cieši saistīta ar veidu, kādā šis elementu skaits (grupas secība) tiek sadalīts primārajos faktoros. Algebrisko skaitļu teorija risina algebrisko veselo skaitļu dalāmības jautājumus; Daļēja skaitļa jēdziens izrādījās nepietiekams, lai izveidotu dalāmības teoriju, un tas noveda pie ideāla jēdziena. P. G. L. Dirihlē 1837. gadā konstatēja, ka aritmētiskā progresija a + bx, ja x = 1, 2,... ar veseliem skaitļiem a un b satur bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Noteikt pirmskaitļu sadalījumu naturālajā skaitļu sērijā ir ļoti grūti problēma skaitļu teorijā. Tas ir formulēts kā funkcijas p(x) asimptotiskās uzvedības pētījums, kas apzīmē parciālo skaitļu skaitu, kas nepārsniedz pozitīvu skaitli x. Pirmie rezultāti šajā virzienā pieder P. L. Čebiševam, kurš 1850. gadā pierādīja, ka ir divas konstantes a un A, kas ═.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Pēc tam ievērojamas matemātiķu pūles tika vērstas uz P. skaitļa sadalījuma asimptotiskā likuma noskaidrošanu. Tiek pētīti P. skaitļa sadalījuma jautājumi un elementāras metodes un metodes matemātiskā analīze. Īpaši auglīga ir metode, kuras pamatā ir identitātes izmantošana

(reizinājums attiecas uz visiem P. h. p = 2, 3,...), vispirms norādījis L. Eilers; šī identitāte ir derīga visiem kompleksiem s, kuru reālā daļa ir lielāka par vienotību. Pamatojoties uz šo identitāti, jautājumi par P. skaitļu sadalījumu tiek virzīti uz speciālas funkcijas ≈ zeta funkcijas x(s) izpēti, kas noteikta Res > 1 pēc sērijas.

Šo funkciju Čebiševs izmantoja jautājumos par reālu s pirmskaitļu sadalījumu; B. Rīmans norādīja, cik svarīgi ir pētīt x(s) kompleksām s vērtībām. Rīmans izvirzīja hipotēzi, ka visām vienādojuma x(s) = 0 saknēm, kas atrodas labajā pusplaknē, ir reālā daļa, kas vienāda ar 1/

Šī hipotēze līdz šim nav pierādīta (1975); tā pierādījums daudz noderētu pirmskaitļu sadalījuma problēmas risināšanā. Pirmskaitļu sadalījuma jautājumi ir cieši saistīti ar Goldbaha problēmu, joprojām neatrisināto “dvīņu” problēmu un citām analītiskās skaitļu teorijas problēmām. “Dvīņu” uzdevums ir noskaidrot, vai P. skaitļu skaits, kas atšķiras par 2 (piemēram, 11 un 13), ir galīgs vai bezgalīgs. P. skaitļu tabulas, kas atrodas pirmajos 11 miljonos naturālo skaitļu, parāda ļoti lielu “dvīņu” klātbūtni (piemēram, 10006427 un 10006429), taču tas nav pierādījums to skaita bezgalībai. Ārpus sastādītajām tabulām ir zināmi atsevišķi parciālie skaitļi, kas pieļauj vienkāršu aritmētisku izteiksmi [piemēram, tika konstatēts (1965), ka 211213 ≈1 ir regulārs skaitlis; tajā ir 3376 cipari].

Lit.: Vinogradovs I.M., Skaitļu teorijas pamati, 8. izd., M., 1972; Hasse G., Lekcijas par skaitļu teoriju, tulk. no vācu val., M., 1953; Ingham A. E., Pirmskaitļu sadalījums, tulk. no angļu valodas, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Pirmskaitļu sadalījums, trans. no vācu val., M., 1967; Trosts E., Pirmskaitļi, tulk., no vācu valodas, M., 1959.

Wikipedia

Pirmskaitlis

Pirmskaitlis- naturāls skaitlis, kuram ir tieši divi atšķirīgi dabiskie dalītāji - un pats. Citiem vārdiem sakot, skaitlis x ir pirmskaitlis, ja tas ir lielāks par 1 un bez atlikuma dalās tikai ar 1 un x. Piemēram, 5 ir pirmskaitlis, bet 6 ir salikts skaitlis, jo papildus 1 un 6 tas dalās arī ar 2 un 3.

Dabiskus skaitļus, kas ir lielāki par vienu un nav pirmskaitļi, sauc par saliktiem skaitļiem. Tātad viss naturālie skaitļi ir sadalītas trīs klasēs: vienība. Skaitļu teorija pēta pirmskaitļu īpašības. Gredzena teorijā pirmskaitļi atbilst nereducējamiem elementiem.

Pirmskaitļu secība sākas šādi:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Skaitļi ir dažādi: dabiskie, racionālie, racionālie, veselie un daļskaitļi, pozitīvie un negatīvie, kompleksie un pirmskaitļi, nepāra un pāra, reāli utt. No šī raksta varat uzzināt, kas ir pirmskaitļi.

Kādus skaitļus angļu valodā sauc par “vienkāršiem”?

Ļoti bieži skolēni no pirmā acu uzmetiena nezina, kā atbildēt uz vienu no vienkāršākajiem matemātikas jautājumiem par to, kas ir pirmskaitlis. Viņi bieži jauc pirmskaitļus ar naturāliem skaitļiem (tas ir, skaitļiem, ko cilvēki izmanto, skaitot objektus, savukārt dažos avotos tie sākas ar nulli, bet citos ar vienu). Bet tie ir pilnīgi divi dažādi jēdzieni. Pirmskaitļi ir naturāli skaitļi, tas ir, veseli skaitļi un pozitīvi skaitļi, kas ir lielāki par vienu un kuriem ir tikai 2 dabiskie dalītāji. Turklāt viens no šiem dalītājiem ir dotais skaitlis, bet otrais ir viens. Piemēram, trīs ir pirmskaitlis, jo to nevar dalīt bez atlikuma ar jebkuru citu skaitli, izņemot sevi un vienu.

Saliktie skaitļi

Pirmskaitļu pretstats ir saliktie skaitļi. Tie ir arī dabiski, arī lielāki par vienu, bet tiem nav divi, bet vairāk sadalītāji. Tātad, piemēram, skaitļi 4, 6, 8, 9 utt. ir dabiski, salikti, bet ne pirmskaitļi. Kā redzat, tie galvenokārt ir pāra skaitļi, bet ne visi. Bet “divi” ir pāra skaitlis un “pirmais skaitlis” pirmskaitļu virknē.

Secība

Lai izveidotu pirmskaitļu virkni, ir jāizvēlas no visiem naturālajiem skaitļiem, ņemot vērā to definīciju, tas ir, jums ir jārīkojas ar pretrunu. Ir jāpārbauda katrs pozitīvais naturālais skaitlis, lai redzētu, vai tam ir vairāk nekā divi dalītāji. Mēģināsim izveidot sēriju (secību), kas sastāv no pirmskaitļiem. Saraksts sākas ar diviem, kam seko trīs, jo tas dalās tikai ar sevi un vienu. Apsveriet skaitli četri. Vai tai ir citi dalītāji, nevis četri un viens? Jā, šis skaitlis ir 2. Tātad četri nav pirmskaitlis. Pieci ir arī pirmskaitļi (tas nedalās ne ar vienu citu skaitli, izņemot 1 un 5), bet seši dalās. Un vispār, ja sekojat visiem pāra skaitļiem, pamanīsit, ka, izņemot “divus”, neviens no tiem nav pirmskaitļi. No tā mēs secinām, ka pāra skaitļi, izņemot divus, nav pirmskaitļi. Vēl viens atklājums: visi skaitļi, kas dalās ar trīs, izņemot pašus trīs, neatkarīgi no tā, vai tie ir pāra vai nepāra skaitļi, arī nav pirmskaitļi (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 utt.). Tas pats attiecas uz skaitļiem, kas dalās ar pieci un septiņi. Arī viss viņu daudzums nav vienkāršs. Apkoposim. Tātad vienkārši viencipara skaitļi ietver visus nepāra skaitļus, izņemot vienu un deviņus, un pat “divi” ir pāra skaitļi. Paši desmitnieki (10, 20,... 40 utt.) nav vienkārši. Divciparu, trīsciparu uc pirmskaitļus var noteikt, pamatojoties uz iepriekš minētajiem principiem: ja tiem nav citu dalītāju, izņemot viņu pašu un vienu.

Teorijas par pirmskaitļu īpašībām

Ir zinātne, kas pēta veselu skaitļu īpašības, tostarp pirmskaitļus. Šī ir matemātikas nozare, ko sauc par augstāko. Papildus veselo skaitļu īpašībām viņa nodarbojas arī ar algebriskiem un transcendentāliem skaitļiem, kā arī dažādas izcelsmes funkcijām, kas saistītas ar šo skaitļu aritmētiku. Šajos pētījumos papildus elementārajām un algebriskajām metodēm tiek izmantotas arī analītiskās un ģeometriskās metodes. Konkrēti, “Skaitļu teorija” nodarbojas ar pirmskaitļu izpēti.

Pirmskaitļi ir naturālo skaitļu “būves bloki”.

Aritmētikā ir teorēma, ko sauc par fundamentālo teorēmu. Saskaņā ar to jebkuru naturālu skaitli, izņemot vienu, var attēlot kā reizinājumu, kura faktori ir pirmskaitļi, un faktoru secība ir unikāla, kas nozīmē, ka attēlošanas metode ir unikāla. To sauc par naturāla skaitļa iekļaušanu pirmfaktoros. Šim procesam ir cits nosaukums - skaitļu faktorizācija. Pamatojoties uz to, pirmskaitļus var saukt par " celtniecības materiāls”, “bloki” naturālu skaitļu konstruēšanai.

Meklēt pirmskaitļus. Vienkāršības testi

Daudzi dažādu laiku zinātnieki mēģināja atrast dažus principus (sistēmas), kā atrast pirmskaitļu sarakstu. Zinātne zina sistēmas, ko sauc par Atkin sietu, Sundartham sietu un Eratosthenes sietu. Tomēr tie nesniedz nekādus nozīmīgus rezultātus, un, lai atrastu pirmskaitļus, tiek izmantots vienkāršs tests. Matemātiķi radīja arī algoritmus. Tos parasti sauc par primitātes testiem. Piemēram, ir Rabina un Millera izstrādāts tests. To izmanto kriptogrāfi. Ir arī Kayal-Agrawal-Sasquena tests. Tomēr, neskatoties uz pietiekamu precizitāti, to ir ļoti grūti aprēķināt, kas samazina tā praktisko nozīmi.

Vai pirmskaitļu kopai ir ierobežojums?

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds savā grāmatā “Elementi” rakstīja, ka pirmskaitļu kopa ir bezgalība. Viņš teica: “Uz brīdi iedomāsimies, ka pirmskaitļiem ir ierobežojums. Tad pavairosim tos savā starpā un pievienosim produktam vienu. Šo vienkāršo darbību rezultātā iegūto skaitli nevar dalīt ne ar vienu no pirmskaitļu sērijām, jo ​​atlikums vienmēr būs viens. Tas nozīmē, ka ir kāds cits skaitlis, kas vēl nav iekļauts pirmskaitļu sarakstā. Tāpēc mūsu pieņēmums nav patiess, un šai kopai nevar būt robeža. Papildus Eiklida pierādījumam ir arī modernāka formula, ko sniedza astoņpadsmitā gadsimta Šveices matemātiķis Leonhards Eilers. Saskaņā ar to pirmo n skaitļu summas apgrieztā summa pieaug neierobežoti, pieaugot skaitlim n. Un šeit ir teorijas formula attiecībā uz pirmskaitļu sadalījumu: (n) pieaug kā n/ln (n).

Kāds ir lielākais pirmskaitlis?

Tas pats Leonards Eilers spēja atrast sava laika lielāko pirmskaitli. Tas ir 2 31 - 1 = 2147483647. Tomēr līdz 2013. gadam tika aprēķināts vēl viens visprecīzākais lielākais pirmskaitļu sarakstā - 2 57885161 - 1. To sauc par Mersenna skaitli. Tajā ir aptuveni 17 miljoni decimālciparu. Kā redzat, astoņpadsmitā gadsimta zinātnieka atrastais skaitlis ir vairākas reizes mazāks par šo. Tas bija tā, kā vajadzētu, jo Eilers šo aprēķinu veica manuāli, savukārt mūsu laikabiedram, iespējams, palīdzēja dators. Turklāt šis skaitlis tika iegūts Matemātikas fakultātē vienā no Amerikas fakultātēm. Šī zinātnieka vārdā nosauktie skaitļi iztur Luka-Lemēra pirmatnības testu. Tomēr zinātne nevēlas ar to apstāties. Electronic Frontier Foundation, kas tika dibināts 1990. gadā Amerikas Savienotajās Valstīs (EFF), ir piedāvājis naudas atlīdzību par lielu pirmskaitļu atrašanu. Un ja līdz 2013. gadam balva tiktu piešķirta tiem zinātniekiem, kuri tos atrastu no 1 līdz 10 miljoniem decimālskaitļi, tad šodien šis skaitlis ir sasniedzis no 100 miljoniem līdz 1 miljardam. Balvas svārstās no 150 līdz 250 tūkstošiem ASV dolāru.

Īpašu pirmskaitļu nosaukumi

Tos skaitļus, kas tika atrasti, pateicoties noteiktu zinātnieku izveidotajiem algoritmiem un izturēja vienkāršības pārbaudi, sauc par īpašiem. Šeit ir daži no tiem:

1. Mersens.

4. Kalens.

6. Mills et al.

Šo skaitļu vienkāršība, kas nosaukti iepriekšminēto zinātnieku vārdā, tiek noteikta, izmantojot šādus testus:

1. Lūks-Lemērs.

2. Pepiņa.

3. Rizelis.

4. Bilhārts - Lemērs - Selfridžs un citi.

Mūsdienu zinātne ar to neapstājas, un, iespējams, tuvākajā nākotnē pasaule uzzinās to vārdus, kuri varēja saņemt 250 000 dolāru balvu, atrodot lielāko pirmskaitli.

Dalītāju uzskaitījums. Pēc definīcijas skaitlis n ir galvenais tikai tad, ja tas nedalās vienmērīgi ar 2 un citiem veseliem skaitļiem, izņemot 1 un sevi. Iepriekš minētā formula novērš nevajadzīgas darbības un ietaupa laiku: piemēram, pēc pārbaudes, vai skaitlis dalās ar 3, nav jāpārbauda, ​​vai tas dalās ar 9.

• Funkcija grīdas (x) noapaļo x līdz tuvākajam veselam skaitlim, kas ir mazāks vai vienāds ar x.

Uzziniet par modulāro aritmētiku. Darbība ir "x mod y" (mod ir saīsinājums no Latīņu vārds"modulo" nozīmē "dalīt x ar y un atrast atlikumu". Citiem vārdiem sakot, modulārajā aritmētikā, sasniedzot noteiktu vērtību, ko sauc modulis, skaitļi atkal “pārvēršas” uz nulli. Piemēram, pulkstenis saglabā laiku ar moduli 12: tas rāda pulksteni 10, 11 un 12 un pēc tam atgriežas pie 1.

• Daudziem kalkulatoriem ir mod taustiņš. Šīs sadaļas beigās ir parādīts, kā manuāli aprēķināt šo funkciju lieli skaitļi.

Uzziniet par Fermā mazās teorēmas kļūmēm. Visi skaitļi, kuriem nav izpildīti testa nosacījumi, ir salikti, bet pārējie skaitļi ir tikai iespējams tiek klasificēti kā vienkārši. Ja vēlaties izvairīties no nepareiziem rezultātiem, meklējiet n"Karmihaela skaitļu" sarakstā (saliktie skaitļi, kas apmierina šis tests) un “pseidopirmā Fermā skaitļi” (šie skaitļi atbilst testa nosacījumiem tikai dažām vērtībām a).

Ja ērti, izmantojiet Millera-Rabina testu. Lai gan šo metodi manuāli aprēķināt ir diezgan apgrūtinoši, to bieži izmanto datorprogrammas. Tas nodrošina pieņemamu ātrumu un rada mazāk kļūdu nekā Fermā metode. Salikts skaitlis netiks pieņemts kā pirmskaitlis, ja tiek veikti aprēķini vairāk nekā ¼ no vērtībām a. Ja atlasāt nejauši dažādas nozīmes a un tiem visiem tests dos pozitīvu rezultātu, mēs ar diezgan lielu pārliecības pakāpi varam pieņemt, ka n ir pirmskaitlis.

Lieliem skaitļiem izmantojiet modulāro aritmētiku. Ja jums nav pie rokas kalkulatora ar modifikāciju vai jūsu kalkulators nav paredzēts tik lielu skaitļu apstrādei, izmantojiet pakāpju īpašības un modulāro aritmētiku, lai atvieglotu aprēķinus. Zemāk ir piemērs 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Pārrakstiet izteiksmi ērtākā formā: mod 50. Veicot manuālus aprēķinus, var būt nepieciešami papildu vienkāršojumi.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Šeit mēs ņēmām vērā modulārās reizināšanas īpašību.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle =49).

• Tulkošana

Pirmskaitļu īpašības vispirms pētīja matemātiķi Senā Grieķija. Pitagora skolas matemātiķus (500 - 300 BC) galvenokārt interesēja pirmskaitļu mistiskās un numeroloģiskās īpašības. Viņi bija pirmie, kas nāca klajā ar idejām par perfektiem un draudzīgiem skaitļiem.

Perfektam skaitlim ir savu dalītāju summa, kas ir vienāda ar sevi. Piemēram, pareizie skaitļa 6 dalītāji ir 1, 2 un 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaitļa 28 dalītāji ir 1, 2, 4, 7 un 14. Turklāt 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Skaitļus sauc par draudzīgiem, ja viena skaitļa pareizo dalītāju summa ir vienāda ar citu, un otrādi - piemēram, 220 un 284. Var teikt, ka ideāls skaitlis ir draudzīgs pats sev.

Līdz Eiklida elementiem 300. gadā p.m.ē. vairāki jau ir pierādīti svarīgi fakti attiecībā uz pirmskaitļiem. IX elementu grāmatā Eiklīds pierādīja, ka ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu. Šis, starp citu, ir viens no pirmajiem piemēriem, kā pierādījumu izmanto pretrunīgi. Viņš arī pierāda aritmētikas pamatteorēmu - katru veselu skaitli var unikāli attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu.

Viņš arī parādīja, ka, ja skaitlis 2 n -1 ir pirmais, tad skaitlis 2 n-1 * (2 n -1) būs ideāls. Cits matemātiķis Eilers 1747. gadā spēja parādīt, ka šajā formā var uzrakstīt visus pat ideālos skaitļus. Līdz šai dienai nav zināms, vai pastāv nepāra ideāli skaitļi.

200. gadā pirms mūsu ēras. Grieķis Eratostens nāca klajā ar algoritmu pirmskaitļu atrašanai, ko sauc par Eratostena sietu.

Un tad tas notika lielais pārtraukums pirmskaitļu izpētes vēsturē, kas saistīta ar viduslaikiem.

Šādus atklājumus jau 17. gadsimta sākumā veica matemātiķis Fermā. Viņš pierādīja Alberta Žirāra pieņēmumu, ka jebkuru pirmskaitli formā 4n+1 var unikāli uzrakstīt kā divu kvadrātu summu, kā arī formulēja teorēmu, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā četru kvadrātu summu.

Viņš attīstījās jauna metode lielu skaitļu faktorizāciju un demonstrēja to uz skaitļa 2027651281 = 44021 × 46061. Viņš arī pierādīja Fermā mazo teorēmu: ja p ir pirmskaitlis, tad jebkuram veselam skaitlim a būs taisnība, ka a p = modulo p.

Šis apgalvojums pierāda pusi no tā, kas bija pazīstams kā "ķīniešu minējums", un ir datēts ar 2000 gadiem: vesels skaitlis n ir galvenais tad un tikai tad, ja 2 n -2 dalās ar n. Hipotēzes otrā daļa izrādījās nepatiesa - piemēram, 2341 - 2 dalās ar 341, lai gan skaitlis 341 ir salikts: 341 = 31 × 11.

Fermā mazā teorēma kalpoja par pamatu daudziem citiem skaitļu teorijas rezultātiem un metodēm, lai pārbaudītu, vai skaitļi ir pirmskaitļi, no kuriem daudzi joprojām tiek izmantoti mūsdienās.

Fermā daudz sarakstījās ar saviem laikabiedriem, īpaši ar mūku vārdā Marena Mersenna. Vienā no viņa vēstulēm viņš izvirzīja hipotēzi, ka skaitļi formā 2 n +1 vienmēr būs pirmskaitļi, ja n ir divi. Viņš to pārbaudīja, ja n = 1, 2, 4, 8 un 16, un bija pārliecināts, ka gadījumā, ja n nav pakāpē divi, skaitlis ne vienmēr ir pirmais. Šos skaitļus sauc par Fermā skaitļiem, un tikai 100 gadus vēlāk Eilers parādīja, ka nākamais skaitlis 2 32 + 1 = 4294967297 dalās ar 641 un tāpēc nav pirmskaitļi.

Arī skaitļi formā 2 n - 1 ir bijuši izpētes priekšmets, jo ir viegli pierādīt, ka, ja n ir salikts, tad arī pats skaitlis ir salikts. Šos skaitļus sauc par Mersenna skaitļiem, jo ​​viņš tos plaši pētīja.

Bet ne visi skaitļi formā 2 n - 1, kur n ir pirmskaitļi, ir pirmskaitļi. Piemēram, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmo reizi tas tika atklāts 1536. gadā.

Daudzus gadus šāda veida skaitļi nodrošināja matemātiķiem lielākos zināmos pirmskaitļus. To, ka M 19 pierādīja Cataldi 1588. gadā, un 200 gadus bija lielākais zināmais pirmskaitlis, līdz Eilers pierādīja, ka arī M 31 ir pirmskaitlis. Šis rekords pastāvēja vēl simts gadus, un tad Lūkass parādīja, ka M 127 ir galvenais (un tas jau ir 39 cipari), un pēc tam pētījumi turpinājās līdz ar datoru parādīšanos.

1952. gadā tika pierādīta skaitļu M 521, M 607, M 1279, M 2203 un M 2281 pirmkārtība.

Līdz 2005. gadam tika atrasti 42 Mersenna pirmskaitļi. Lielākais no tiem, M 25964951, sastāv no 7816230 cipariem.

Eilera darbam bija milzīga ietekme uz skaitļu teoriju, tostarp pirmskaitļiem. Viņš paplašināja Fermā mazo teorēmu un ieviesa φ funkciju. Faktorizēts 5. Fermā numurs 2 32 +1, atrasti 60 pāri draudzīgi numuri, un formulēja (bet nevarēja pierādīt) kvadrātiskās savstarpības likumu.

Viņš bija pirmais, kurš ieviesa matemātiskās analīzes metodes un izstrādāja analītisko skaitļu teoriju. Viņš pierādīja, ka ne tikai harmoniku sērija ∑ (1/n), bet arī formas virkne

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultāts, kas iegūts ar pirmskaitļu apgriezto vērtību summu, arī atšķiras. Harmonisko virkņu n vārdu summa pieaug aptuveni kā log(n), un otrā rinda atšķiras lēnāk kā log[ log(n) ]. Tas nozīmē, ka, piemēram, summa abpusēji visiem līdz šim atrastajiem pirmskaitļiem dos tikai 4, lai gan sērija joprojām atšķiras.

No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka pirmskaitļi tiek sadalīti diezgan nejauši starp veseliem skaitļiem. Piemēram, starp 100 skaitļiem tieši pirms 10000000 ir 9 pirmskaitļi, bet starp 100 skaitļiem tūlīt aiz šīs vērtības ir tikai 2. Bet lielos segmentos pirmskaitļi ir sadalīti diezgan vienmērīgi. Leģendre un Gauss nodarbojās ar to izplatīšanas jautājumiem. Gauss reiz draugam teica, ka jebkurās brīvajās 15 minūtēs viņš vienmēr saskaita pirmskaitļus nākamajos 1000 skaitļos. Savas dzīves beigās viņš bija saskaitījis visus pirmskaitļus līdz 3 miljoniem. Legendre un Gauss vienādi aprēķināja, ka lielam n primārais blīvums ir 1/log(n). Legendre aprēķināja pirmskaitļu skaitu diapazonā no 1 līdz n as

π(n) = n/(log(n) — 1,08366)

Un Gauss ir kā logaritmisks integrālis

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Ar integrācijas intervālu no 2 līdz n.

Apgalvojums par primāro blīvumu 1/log(n) ir pazīstams kā primārā sadalījuma teorēma. Viņi centās to pierādīt visu 19. gadsimtu, un progresu panāca Čebiševs un Rīmanis. Viņi to saistīja ar Rīmaņa hipotēzi, joprojām nepierādītu hipotēzi par Rīmaņa zeta funkcijas nulles sadalījumu. Pirmskaitļu blīvumu 1896. gadā vienlaikus pierādīja Hadamards un Vallē-Pousins.

Pirmskaitļu teorijā joprojām ir daudz neatrisinātu jautājumu, daži no tiem ir simtiem gadu veci:

• Dvīņu pirmskaitļu hipotēze ir par bezgalīgu skaitu pirmskaitļu pāru, kas atšķiras viens no otra par 2
• Goldbaha hipotēze: jebkura pāra skaitlis, sākot ar 4, var attēlot kā divu pirmskaitļu summu
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n 2 + 1?
• Vai vienmēr ir iespējams atrast pirmskaitli starp n 2 un (n + 1) 2? (to, ka vienmēr ir pirmskaitlis starp n un 2n, pierādīja Čebiševs)
• Vai Fermā pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs? Vai pēc 4 ir kādi Fermā pirmskaitļi?
• vai tas pastāv aritmētiskā progresija no secīgiem pirmskaitļiem jebkuram noteiktam garumam? piemēram, 4. garumam: 251, 257, 263, 269. Maksimālais atrastais garums ir 26.
• Vai aritmētiskā progresijā ir bezgalīgs skaits trīs secīgu pirmskaitļu kopu?
• n 2 - n + 41 ir pirmskaitlis 0 ≤ n ≤ 40. Vai ir bezgalīgs skaits šādu pirmskaitļu? Tas pats jautājums formulai n 2 - 79 n + 1601. Šie skaitļi ir pirmskaitļi 0 ≤ n ≤ 79.
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n# + 1? (n# ir rezultāts, reizinot visus pirmskaitļus, kas mazāki par n)
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n# -1?
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n? + 1?
• Vai ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu formā n? – 1?
• ja p ir pirmskaitlis, vai 2 p -1 vienmēr starp saviem faktoriem nesatur pirmkvadrātus?
• vai Fibonači secībā ir bezgalīgs skaits pirmskaitļu?

Lielākie dvīņu pirmskaitļi ir 2003663613 × 2 195000 ± 1. Tie sastāv no 58711 cipariem un tika atklāti 2007. gadā.

Lielākais faktoriālais pirmskaitlis (tipa n! ± 1) ir 147855! - 1. Tas sastāv no 142891 cipariem un tika atrasts 2002. gadā.

Lielākais pirmskaitlis (skaitlis formā n# ± 1) ir 1098133# + 1.

Pirmskaitlis ir naturāls (pozitīvs vesels skaitlis), kas bez atlikuma dalās tikai ar diviem naturāliem skaitļiem: ar un pats par sevi. Citiem vārdiem sakot, pirmskaitļam ir tieši divi dabiskie dalītāji: un pats skaitlis.

Pēc definīcijas visu pirmskaitļa dalītāju kopa ir divelementu, t.i. apzīmē komplektu.

Visu pirmskaitļu kopa ir apzīmēta ar simbolu. Tādējādi pirmskaitļu kopas definīcijas dēļ mēs varam rakstīt: .

Pirmskaitļu secība izskatās šādi:

Aritmētikas pamatteorēma

Aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka katru naturālo skaitli, kas ir lielāks par vienu, var attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu un unikālā veidā līdz faktoru secībai. Tādējādi pirmskaitļi ir naturālo skaitļu kopas elementārie "celtniecības bloki".

Dabiskā skaitļa paplašinājums title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonisks:

kur ir galvenais skaitlis un . Piemēram, naturāla skaitļa kanoniskais izvērsums izskatās šādi: .

Tiek saukta arī naturāla skaitļa attēlošana kā pirmskaitļu reizinājums skaitļa faktorizācija.

Pirmskaitļu īpašības

Eratostena siets

Viens no slavenākajiem pirmskaitļu meklēšanas un atpazīšanas algoritmiem ir Eratostena siets. Tātad šis algoritms tika nosaukts grieķu matemātiķa Eratostena no Kirēnas vārdā, kurš tiek uzskatīts par algoritma autoru.

Lai atrastu visus pirmskaitļus, kas ir mazāki par doto skaitli, izmantojot Eratostena metodi, ir jāveic šādas darbības:

1. darbība. Pierakstiet visus naturālos skaitļus no diviem līdz , t.i. .
2. darbība. Piešķiriet mainīgajam vērtību , tas ir, vērtību, kas vienāda ar mazāko pirmskaitli.
3. darbība. Sarakstā izsvītrojiet visus skaitļus no līdz, kas ir reizināti, tas ir, skaitļus: .
4. darbība. Atrodiet sarakstā pirmo nesvītroto skaitli, kas ir lielāks par , un piešķiriet šī skaitļa vērtību mainīgajam.
5. darbība. Atkārtojiet 3. un 4. darbību, līdz tiek sasniegts skaitlis.

Algoritma piemērošanas process izskatīsies šādi:

Visi atlikušie nešķērsotie skaitļi sarakstā algoritma piemērošanas procesa beigās būs pirmskaitļu kopa no līdz .

Goldbaha minējums

Grāmatas “Tēvocis Petross un Goldbaha hipotēze” vāks

Neskatoties uz to, ka pirmskaitļus matemātiķi ir pētījuši diezgan ilgu laiku, daudzas saistītas problēmas joprojām nav atrisinātas. Viena no slavenākajām neatrisinātajām problēmām ir Goldbaha hipotēze, kas ir formulēts šādi:

• Vai tā ir taisnība, ka katru pāra skaitli, kas ir lielāks par diviem, var attēlot kā divu pirmskaitļu summu (binārā Goldbaha hipotēze)?
• Vai tā ir taisnība, ka katrs nepāra skaitlis, lielāks par 5, var attēlot kā summu trīs vienkārši skaitļi (trīskāršā Goldbaha hipotēze)?

Jāteic, ka trīskāršā Goldbaha hipotēze ir īpašs binārās Goldbaha hipotēzes gadījums jeb, kā saka matemātiķi, trīskāršā Goldbaha hipotēze ir vājāka nekā binārā Goldbaha hipotēze.

Goldbaha minējums kļuva plaši pazīstams ārpus matemātikas aprindām 2000. gadā, pateicoties reklāmas mārketinga trikam, ko veica izdevniecības Bloomsbury ASV (ASV) un Faber and Faber (Apvienotā Karaliste). Šie izdevēji, izlaiduši grāmatu “Tēvocis Petros un Goldbaha minējums”, solīja 2 gadu laikā no grāmatas izdošanas dienas izmaksāt balvu 1 miljona ASV dolāru apmērā ikvienam, kurš pierādīs Goldbaha hipotēzi. Dažkārt minētā izdevēju balva tiek sajaukta ar balvām par Tūkstošgades balvu problēmu risināšanu. Nekļūdieties, Māla institūts Goldbaha hipotēzi neklasificē kā “tūkstošgades izaicinājumu”, lai gan tā ir cieši saistīta ar Rīmaņa hipotēze- viens no “tūkstošgades izaicinājumiem”.

Grāmata “Pirmskaitļi. Gars ceļš uz bezgalību"

Vāks grāmatai “Matemātikas pasaule. Pirmskaitļi. Gars ceļš uz bezgalību"

Papildus iesaku izlasīt aizraujošu populārzinātnisku grāmatu, kuras anotācijā teikts: “Pirmskaitļu meklēšana ir viena no paradoksālākajām matemātikas problēmām. Zinātnieki ir mēģinājuši to atrisināt vairākus gadu tūkstošus, taču, pieaugot ar jaunām versijām un hipotēzēm, šis noslēpums joprojām nav atrisināts. Pirmskaitļu parādīšanās nav pakļauta nevienai sistēmai: tie parādās spontāni naturālu skaitļu virknē, ignorējot visus matemātiķu mēģinājumus noteikt modeļus to secībā. Šī grāmata ļaus lasītājam izsekot evolūcijai zinātniskās idejas no seniem laikiem līdz mūsdienām un iepazīstinās jūs ar interesantākajām pirmskaitļu meklēšanas teorijām.

Turklāt es citēšu šīs grāmatas otrās nodaļas sākumu: “Pirmskaitļi ir viena no svarīgākajām tēmām, kas atgriež mūs pie pašiem matemātikas pirmsākumiem un pēc tam, ejot arvien sarežģītākā ceļā, noved pie priekšējā mala mūsdienu zinātne. Tādējādi būtu ļoti noderīgi izsekot pirmskaitļu teorijas aizraujošajai un sarežģītajai vēsturei: tieši tā, kā tā attīstījās, kā tika apkopoti tagad vispārpieņemtie fakti un patiesības. Šajā nodaļā mēs redzēsim, kā matemātiķu paaudzes rūpīgi pētīja naturālos skaitļus, meklējot likumu, kas paredzēja pirmskaitļu parādīšanos — likumu, kas meklēšanas gaitā kļuva arvien nenotveramāks. Detalizēti aplūkosim arī vēsturisko kontekstu: kādos apstākļos strādāja matemātiķi un cik lielā mērā viņu darbs ietvēra mistiskas un daļēji reliģiskas prakses, kas nebūt nav līdzīgas zinātniskās metodes, izmanto mūsdienās. Tomēr lēni un ar grūtībām tika sagatavota augsne jauniem uzskatiem, kas 17. un 18. gadsimtā iedvesmoja Fermā un Eileru.