Aritmētiskā progresija nosauciet skaitļu virkni (progresijas nosacījumus)

Kurā katrs nākamais termins atšķiras no iepriekšējā ar jaunu terminu, ko arī sauc soļa vai progresa atšķirība.

Tādējādi, norādot progresēšanas soli un tā pirmo terminu, jūs varat atrast jebkuru no tā elementiem, izmantojot formulu

Aritmētiskās progresijas īpašības

1) Katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot no otrā skaitļa, ir progresijas iepriekšējā un nākamā locekļa vidējais aritmētiskais

Arī otrādi ir taisnība. Ja progresijas blakus esošo nepāra (pāra) vārdu vidējais aritmētiskais ir vienāds ar vārdu, kas atrodas starp tiem, tad šī skaitļu virkne ir aritmētiskā progresija. Izmantojot šo paziņojumu, ir ļoti viegli pārbaudīt jebkuru secību.

Arī pēc aritmētiskās progresijas īpašību iepriekšminēto formulu var vispārināt šādi

To ir viegli pārbaudīt, rakstot vārdus pa labi no vienādības zīmes

To bieži izmanto praksē, lai vienkāršotu aprēķinus uzdevumos.

2) Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summu aprēķina, izmantojot formulu

Labi atcerieties aritmētiskās progresijas summas formulu, tā ir neaizstājama aprēķinos un diezgan bieži sastopama vienkāršās dzīves situācijās.

3) Ja jums ir jāatrod nevis visa summa, bet daļa no secības, sākot no tās k-tā vārda, tad jums noderēs šāda summas formula

4) Praktiski interesants ir aritmētiskās progresijas n vārdu summas atrašana, sākot no k-tā skaitļa. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu

Tas noslēdz teorētisko materiālu un pāriet uz kopīgu problēmu risināšanu praksē.

Piemērs 1. Atrodiet aritmētiskās progresijas 4;7 četrdesmito daļu;...

Risinājums:

Saskaņā ar mūsu stāvokli

Noteiksim progresēšanas posmu

Izmantojot labi zināmu formulu, mēs atrodam progresijas četrdesmito termiņu

2. piemērs. Aritmētiskā progresija tiek dota ar tās trešo un septīto terminu. Atrodiet progresijas pirmo biedru un summu desmit.

Risinājums:

Pierakstīsim dotos progresijas elementus, izmantojot formulas

Mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma, kā rezultātā mēs atrodam progresēšanas soli

Mēs aizvietojam atrasto vērtību ar jebkuru no vienādojumiem, lai atrastu aritmētiskās progresijas pirmo terminu

Mēs aprēķinām progresijas pirmo desmit vārdu summu

Neizmantojot sarežģītus aprēķinus, mēs atradām visus nepieciešamos daudzumus.

3. piemērs. Aritmētisko progresiju uzrāda saucējs un viens no tā vārdiem. Atrodiet progresijas pirmo daļu, tā 50 vārdu summu, sākot no 50, un pirmo 100 summu.

Risinājums:

Pierakstīsim progresijas simtā elementa formulu

un atrodi pirmo

Pamatojoties uz pirmo, mēs atrodam progresijas 50. termiņu

Progresijas daļas summas atrašana

un pirmo 100 summu

Progresēšanas summa ir 250.

4. piemērs.

Atrodiet aritmētiskās progresijas vārdu skaitu, ja:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Risinājums:

Uzrakstīsim vienādojumus pirmā vārda un progresēšanas soļa izteiksmē un noteiksim tos

Mēs aizvietojam iegūtās vērtības summas formulā, lai noteiktu terminu skaitu summā

Mēs veicam vienkāršojumus

un atrisiniet kvadrātvienādojumu

No divām atrastajām vērtībām tikai skaitlis 8 atbilst problēmas apstākļiem. Tādējādi progresijas pirmo astoņu terminu summa ir 111.

5. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu

1+3+5+...+x=307.

Risinājums: Šis vienādojums ir aritmētiskās progresijas summa. Izrakstīsim tā pirmo terminu un noskaidrosim progresēšanas atšķirību

Tiešsaistes kalkulators.
Aritmētiskās progresijas atrisināšana.
Dots: a n , d, n
Atrodi: a 1

Šis matemātikas programma atrod \(a_1\) no aritmētiskās progresijas, pamatojoties uz lietotāja norādītajiem skaitļiem \(a_n, d\) un \(n\).
Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus. Turklāt daļskaitli var ievadīt decimāldaļskaitļa formā (\(2,5\)) un parastā daļskaitļa formā (\(-5\frac(2) (7)\)).

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma atrašanas procesu.

Šis tiešsaistes kalkulators var būt noderīgs vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.

Ja neesat pazīstams ar ciparu ievadīšanas noteikumiem, iesakām ar tiem iepazīties.

Noteikumi ciparu ievadīšanai

Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus.
Skaitlis \(n\) var būt tikai pozitīvs vesels skaitlis.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Veselas un daļdaļas decimāldaļdaļās var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas tātad 2,5 vai tā 2,5

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: /
Ievade:
Rezultāts: \(-\frac(2) (3)\)

Visa daļa no daļdaļas atdalīts ar & zīmi: &
Ievade:
Rezultāts: \(-1\frac(2) (3)\)

Ievadiet ciparus a n , d, n

Atrodi 1

Tika atklāts, ka daži šīs problēmas risināšanai nepieciešamie skripti netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Skaitļu secība

Ikdienas praksē nereti tiek izmantota dažādu objektu numerācija, lai norādītu, kādā secībā tie ir sakārtoti. Piemēram, mājas katrā ielā ir numurētas. Bibliotēkā lasītāju abonementi tiek numurēti un pēc tam sakārtoti piešķirto numuru secībā speciālos kartotēkos.

Krājbankā, izmantojot noguldītāja personīgo konta numuru, varat viegli atrast šo kontu un redzēt, kāds depozīts tajā atrodas. Lai kontā Nr.1 ​​ir depozīts a1 rublis, kontā Nr.2 ir depozīts a2 rubļi utt.. Izrādās numuru secība
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
kur N ir visu kontu skaits. Šeit katrs naturāls skaitlis n no 1 līdz N ir saistīts ar skaitli a n.

Mācījies arī matemātikā bezgalīgas skaitļu virknes:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tiek izsaukts skaitlis a 1 secības pirmais termins, numurs a 2 - secības otrais termins, numurs a 3 - secības trešais termins utt.
Tiek izsaukts skaitlis a n n-tais (n-tais) secības dalībnieks, un naturālais skaitlis n ir tā numuru.

Piemēram, kvadrātu secībā naturālie skaitļi 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... un 1 = 1 ir secības pirmais loceklis; un n = n 2 ir n-tais termiņš sekvences; a n+1 = (n + 1) 2 ir secības (n + 1) (n plus pirmais) termins. Bieži vien secību var norādīt ar tās n-tā termiņa formulu. Piemēram, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definē secību \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4), \dots,\frac(1)(n), \dots \;

Aritmētiskā progresija

Gada garums ir aptuveni 365 dienas. Vairāk precīza vērtība ir vienāds ar \(365\frac(1)(4)\) dienām, tāpēc ik pēc četriem gadiem uzkrājas vienas dienas kļūda.

Lai ņemtu vērā šo kļūdu, katram ceturtajam gadam tiek pievienota diena, un pagarināto gadu sauc par garo gadu.

Piemēram, trešajā tūkstošgadē garie gadi ir gadi 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Šajā secībā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, pievienots tam pašam skaitlim 4. Šādas secības sauc aritmētiskās progresijas.

Definīcija.
Tiek izsaukta skaitļu secība a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmētiskā progresija, ja visiem dabiskajiem n vienlīdzību
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d ir kāds skaitlis.

No šīs formulas izriet, ka a n+1 - a n = d. Skaitli d sauc par starpību aritmētiskā progresija.

Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas mums ir:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)

Tādējādi katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo terminu vidējo aritmētisko. Tas izskaidro nosaukumu "aritmētiskā" progresija.

Ņemiet vērā, ka, ja ir doti a 1 un d, tad atlikušos aritmētiskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot atkārtotu formulu a n+1 = a n + d. Tādā veidā nav grūti aprēķināt pirmos progresijas nosacījumus, taču, piemēram, 100 jau prasīs daudz aprēķinu. Parasti šim nolūkam tiek izmantota n-tā termina formula. Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
utt.
Pavisam,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
jo n-tais termiņš aritmētisko progresiju iegūst no pirmā vārda, saskaitot (n-1) reizināto skaitli d.
Šo formulu sauc aritmētiskās progresijas n-tā vārda formula.

Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa

Atrodiet visu naturālo skaitļu summu no 1 līdz 100.
Rakstīsim šo summu divos veidos:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Saskaitīsim šīs vienādības pa vārdam:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šajā summā ir 100 termini
Tāpēc 2S = 101 * 100, tātad S = 101 * 50 = 5050.

Tagad aplūkosim patvaļīgu aritmētisko progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Lai S n ir šīs progresijas pirmo n vārdu summa:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tad aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Tā kā \(a_n=a_1+(n-1)d\), tad, aizstājot n šajā formulā, mēs iegūstam citu formulu atrašanai aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem

Daudzi cilvēki ir dzirdējuši par aritmētisko progresiju, taču ne visiem ir labs priekšstats par to, kas tas ir. Šajā rakstā mēs sniegsim atbilstošo definīciju, kā arī apsvērsim jautājumu par to, kā atrast aritmētiskās progresijas atšķirību, un sniegsim vairākus piemērus.

Matemātiskā definīcija

Tātad ja mēs runājam par par aritmētisko vai algebrisko progresiju (šie jēdzieni definē vienu un to pašu), tas nozīmē, ka ir noteikta skaitļu virkne, kas atbilst šādam likumam: katri divi blakus esošie skaitļi rindā atšķiras ar vienu un to pašu vērtību. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi:

Šeit n apzīmē elementa a n skaitu secībā, un skaitlis d ir progresijas starpība (tā nosaukums izriet no uzrādītās formulas).

Ko nozīmē zināt atšķirību d? Par to, cik “tālu” blakus esošie numuri atrodas viens no otra. Tomēr zināšanas par d ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums, lai noteiktu (atjaunotu) visu progresu. Ir jāzina vēl viens skaitlis, kas var būt pilnīgi jebkurš aplūkojamās sērijas elements, piemēram, 4, a10, bet parasti viņi izmanto pirmo skaitli, tas ir, 1.

Formulas progresijas elementu noteikšanai

Kopumā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai pārietu uz konkrētu problēmu risināšanu. Tomēr, pirms tiek dota aritmētiskā progresija un būs jāatrod tās atšķirība, mēs parādīsim pāris noderīgas formulas, tādējādi atvieglojot turpmāko uzdevumu risināšanas procesu.

Ir viegli parādīt, ka jebkuru secības elementu ar numuru n var atrast šādi:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Patiešām, ikviens var pārbaudīt šo formulu ar vienkāršu meklēšanu: ja jūs aizstājat n = 1, jūs iegūstat pirmo elementu, ja aizstājat n = 2, tad izteiksme dod pirmā skaitļa un starpības summu utt.

Daudzu uzdevumu nosacījumi ir sastādīti tā, ka, ņemot vērā zināmu skaitļu pāri, kuru skaitļi arī norādīti secībā, ir nepieciešams rekonstruēt visu skaitļu sēriju (atrast starpību un pirmo elementu). Tagad mēs atrisināsim šo problēmu vispārīgā formā.

Tātad ir doti divi elementi ar skaitļiem n un m. Izmantojot iepriekš iegūto formulu, varat izveidot divu vienādojumu sistēmu:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Lai atrastu nezināmus daudzumus, mēs izmantojam zināmos vienkāršs triksšādas sistēmas risinājumi: atņemiet kreiso un labo pusi pa pāriem, vienādība paliks spēkā. Mums ir:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tādējādi mēs esam izslēguši vienu nezināmo (a 1). Tagad mēs varam uzrakstīt galīgo izteiksmi d noteikšanai:

d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m

Mums sanāca ļoti vienkārša formula: lai aprēķinātu starpību d atbilstoši problēmas nosacījumiem, jums ir jāņem tikai pašu elementu un to sērijas numuru atšķirību attiecība. Jāpievērš uzmanība vienam svarīgs punkts Uzmanību: tiek ņemtas atšķirības starp “augstāko” un “zemāko” locekli, tas ir, n > m (“augstākais” nozīmē to, kas atrodas tālāk no secības sākuma, tā absolūtā vērtība var būt lielāka vai mazāka par “junior” elements).

Progresijas d atšķirības izteiksme ir jāaizvieto ar jebkuru no vienādojumiem problēmas risināšanas sākumā, lai iegūtu pirmā vārda vērtību.

Mūsu attīstības laikmetā datortehnoloģijas Daudzi skolēni mēģina rast risinājumus saviem uzdevumiem internetā, tāpēc bieži rodas šāda veida jautājumi: atrodiet aritmētiskās progresijas atšķirību tiešsaistē. Šādam pieprasījumam meklētājs atgriezīs vairākas tīmekļa lapas, uz kurām dodoties, būs jāievada nosacījumā zināmie dati (tie var būt vai nu divi progresijas termini, vai arī noteikta to skaita summa ) un uzreiz saņem atbildi. Tomēr šāda pieeja problēmas risināšanai ir neproduktīva attiecībā uz studenta attīstību un izpratni par viņam uzticētā uzdevuma būtību.

Risinājums, neizmantojot formulas

Atrisināsim pirmo uzdevumu, neizmantojot nevienu no dotajām formulām. Doti rindas elementi: a6 = 3, a9 = 18. Atrast aritmētiskās progresijas starpību.

Zināmi elementi atrodas tuvu viens otram rindā. Cik reižu starpība d jāpieskaita mazākajai, lai iegūtu lielāko? Trīs reizes (pirmo reizi pievienojot d, mēs iegūstam 7. elementu, otro reizi - astoto, visbeidzot, trešo reizi - devīto). Kāds skaitlis trīs reizes jāpievieno trīs, lai iegūtu 18? Šis ir pieci numurs. Tiešām:

Tādējādi nezināmā atšķirība d = 5.

Protams, risinājumu varēja veikt, izmantojot atbilstošu formulu, taču tas netika darīts ar nolūku. Detalizēts skaidrojums problēmas risinājumam jākļūst skaidram un spilgts piemērs Kas ir aritmētiskā progresija?

Uzdevums līdzīgs iepriekšējam

Tagad atrisināsim līdzīgu problēmu, bet mainīsim ievades datus. Tātad, jums vajadzētu atrast, ja a3 = 2, a9 = 19.

Protams, jūs varat atkal ķerties pie risinājuma metodes “uz priekšu”. Bet, tā kā sērijas elementi ir doti, kas atrodas salīdzinoši tālu viens no otra, šī metode nebūs gluži ērta. Bet, izmantojot iegūto formulu, mēs ātri nonāksim pie atbildes:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83

Šeit mēs esam noapaļojuši galīgo skaitli. To, cik lielā mērā šī noapaļošana radīja kļūdu, var spriest, pārbaudot rezultātu:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Šis rezultāts atšķiras tikai par 0,1% no nosacījumā norādītās vērtības. Tāpēc noapaļošanu līdz tuvākajām simtdaļām var uzskatīt par veiksmīgu izvēli.

Problēmas, kas saistītas ar termina formulas piemērošanu

Apskatīsim klasisku uzdevuma piemēru nezināmā d noteikšanai: atrodiet aritmētiskās progresijas starpību, ja a1 = 12, a5 = 40.

Kad tiek doti divi nezināmā skaitļi algebriskā secība, un viens no tiem ir elements a 1, tad jums nav ilgi jādomā, bet nekavējoties jāpiemēro formula a n dalībniekam. Šajā gadījumā mums ir:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Mēs saņēmām precīzs skaitlis dalot, tāpēc nav jēgas pārbaudīt aprēķinātā rezultāta precizitāti, kā tas tika darīts iepriekšējā punktā.

Atrisināsim vēl vienu līdzīgu uzdevumu: jāatrod aritmētiskās progresijas starpība, ja a1 = 16, a8 = 37.

Mēs izmantojam pieeju, kas ir līdzīga iepriekšējai, un iegūstam:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kas vēl būtu jāzina par aritmētisko progresiju?

Papildus nezināmas atšķirības vai atsevišķu elementu atrašanas problēmām bieži vien ir jāatrisina secības pirmo vārdu summas problēmas. Šo uzdevumu izskatīšana ir ārpus raksta darbības jomas, tomēr sniegtās informācijas pilnīguma labad vispārējā formula n skaitļu summai virknē:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Pirms sākam lemt aritmētiskās progresijas problēmas, apskatīsim, kas ir skaitļu secība, jo aritmētiskā progresija ir īpašs gadījums numuru secība.

Skaitļu secība ir numuru komplekts, kuras katram elementam ir savs sērijas numurs . Šīs kopas elementus sauc par secības dalībniekiem. Secības elementa sērijas numuru norāda indekss:

Pirmais secības elements;

Secības piektais elements;

- secības “n-tais” elements, t.i. elements "stāv rindā" ar numuru n.

Pastāv saistība starp secības elementa vērtību un tā kārtas numuru. Tāpēc secību varam uzskatīt par funkciju, kuras arguments ir secības elementa kārtas numurs. Citiem vārdiem sakot, mēs to varam teikt secība ir dabiskā argumenta funkcija:

Secību var iestatīt trīs veidos:

1 . Secību var norādīt, izmantojot tabulu.Šajā gadījumā mēs vienkārši iestatām katra secības dalībnieka vērtību.

Piemēram, Kāds nolēma uzņemties personīgo laika pārvaldību un sākumā saskaitīt, cik daudz laika viņš nedēļas laikā pavada vietnē VKontakte. Ierakstot laiku tabulā, viņš saņems secību, kas sastāv no septiņiem elementiem:

Tabulas pirmajā rindā ir norādīts nedēļas dienas numurs, otrajā - laiks minūtēs. Mēs redzam, ka, tas ir, pirmdien Kāds VKontakte pavadīja 125 minūtes, tas ir, ceturtdien - 248 minūtes, un tas ir, piektdien tikai 15.

2 . Secību var norādīt, izmantojot n-tā termina formulu.

Šajā gadījumā secības elementa vērtības atkarība no tā skaita tiek izteikta tieši formulas veidā.

Piemēram, ja , tad

Lai atrastu secības elementa vērtību ar noteiktu skaitli, elementa numuru aizstājam n-tā vārda formulā.

Mēs darām to pašu, ja mums ir jāatrod funkcijas vērtība, ja argumenta vērtība ir zināma. Argumenta vērtību aizstājam funkcijas vienādojumā:

Ja, piemēram, , Tas

Ļaujiet man vēlreiz atzīmēt, ka secībā, atšķirībā no patvaļīgas skaitliskās funkcijas, arguments var būt tikai naturāls skaitlis.

3 . Secību var norādīt, izmantojot formulu, kas izsaka secības locekļa numura n vērtības atkarību no iepriekšējo dalībnieku vērtībām. Šajā gadījumā mums nepietiek tikai ar secības locekļa numuru, lai atrastu tā vērtību. Mums jānorāda secības pirmais dalībnieks vai daži pirmie dalībnieki.

Piemēram, apsveriet secību ,

Mēs varam atrast secības dalībnieku vērtības secībā, sākot no trešā:

Tas ir, katru reizi, lai atrastu secības n-tā vārda vērtību, mēs atgriežamies pie iepriekšējiem diviem. Šo secības noteikšanas metodi sauc atkārtojas, no Latīņu vārds recurro- Atgriezies.

Tagad mēs varam definēt aritmētisko progresiju. Aritmētiskā progresija ir vienkāršs skaitļu virknes īpašs gadījums.

Aritmētiskā progresija ir skaitliska secība, kuras katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim.

Numurs tiek izsaukts aritmētiskās progresijas atšķirība. Aritmētiskās progresijas starpība var būt pozitīva, negatīva vai vienāda ar nulli.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} pieaug.

Piemēram, 2; 5; 8; vienpadsmit;...

Ja , tad katrs aritmētiskās progresijas loceklis ir mazāks par iepriekšējo, un progresija ir samazinās.

Piemēram, 2; -1; -4; -7;...

Ja , tad visi progresijas nosacījumi ir vienādi ar vienu un to pašu skaitli, un progresija ir stacionārs.

Piemēram, 2;2;2;2;...

Aritmētiskās progresijas galvenā īpašība:

Apskatīsim zīmējumu.

Mēs to redzam

, un tajā pašā laikā

Saskaitot šīs divas vienādības, mēs iegūstam:

.

Sadalīsim abas vienādības puses ar 2:

Tātad katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo divu vidējo aritmētisko:

Turklāt kopš

, un tajā pašā laikā

, Tas

, un tāpēc

Katrs aritmētiskās progresijas vārds, kas sākas ar title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termina formula.

Mēs redzam, ka aritmētiskās progresijas nosacījumi apmierina šādas attiecības:

un visbeidzot

Mēs saņēmām n-tā termina formula.

SVARĪGS! Jebkuru aritmētiskās progresijas locekli var izteikt ar un. Zinot pirmo terminu un aritmētiskās progresijas atšķirību, varat atrast jebkuru no tā terminiem.

Aritmētiskās progresijas n vārdu summa.

Patvaļīgā aritmētiskā progresijā terminu summas, kas atrodas vienādā attālumā no galējiem, ir vienādas viena ar otru:

Apsveriet aritmētisko progresiju ar n vārdiem. Ļaujiet šīs progresijas n punktu summai būt vienādai ar .

Vispirms sakārtosim progresēšanas nosacījumus skaitļu augošā secībā un pēc tam dilstošā secībā:

Saskaitīsim pa pāriem:

Summa katrā iekavā ir , pāru skaits ir n.

Mēs iegūstam:

Tātad, aritmētiskās progresijas n vārdu summu var atrast, izmantojot formulas:

Apsvērsim aritmētiskās progresijas uzdevumu risināšana.

1 . Secību nosaka ar n-tā vārda formulu: . Pierādiet, ka šī secība ir aritmētiskā progresija.

Pierādīsim, ka starpība starp diviem blakus esošajiem secības vārdiem ir vienāda ar vienu un to pašu skaitli.

Mēs atklājām, ka atšķirība starp diviem blakus esošajiem secības locekļiem nav atkarīga no to skaita un ir konstante. Tāpēc pēc definīcijas šī secība ir aritmētiskā progresija.

2 . Dota aritmētiskā progresija -31; -27;...

a) Atrodi 31 progresijas biedru.

b) Nosakiet, vai skaitlis 41 ir iekļauts šajā progresijā.

A) Mēs to redzam;

Pierakstīsim mūsu progresijas n-tā termiņa formulu.

Vispār

Mūsu gadījumā , Tāpēc