Formulas secības un progresijas. Algebriskā progresija

Daži cilvēki vārdu “progresēšana” izturas piesardzīgi, jo tas ir ļoti sarežģīts termins no augstākās matemātikas nozarēm. Tikmēr vienkāršākā aritmētiskā progresija ir taksometra skaitītāja darbs (kur tie joprojām pastāv). Un saprast aritmētiskās secības būtību (un matemātikā nav nekā svarīgāka par “būtības iegūšanu”) nav nemaz tik grūti, analizējot dažus elementārus jēdzienus.

Matemātiskā skaitļu secība

Skaitlisku secību parasti sauc par skaitļu sēriju, no kurām katrai ir savs numurs.

a 1 ir secības pirmais dalībnieks;

un 2 ir secības otrais loceklis;

a 7 ir secības septītais dalībnieks;

un n ir secības n-tais dalībnieks;

Tomēr neviena patvaļīga skaitļu un skaitļu kopa mūs neinteresē. Mēs pievērsīsim uzmanību skaitliskai secībai, kurā n-tā vārda vērtība ir saistīta ar tā kārtas skaitli ar matemātiski skaidri formulējamu sakarību. Citiem vārdiem sakot: n-tā skaitļa skaitliskā vērtība ir kāda n funkcija.

a ir skaitliskās secības locekļa vērtība;

n - viņa sērijas numurs;

f(n) ir funkcija, kur kārtas skaitlis skaitliskā secībā n ir arguments.

Definīcija

Aritmētisko progresiju parasti sauc par ciparu secību, kurā katrs nākamais loceklis ir par tādu pašu skaitli lielāks (mazāks) par iepriekšējo. Aritmētiskās secības n-tā vārda formula ir šāda:

a n - aritmētiskās progresijas pašreizējā locekļa vērtība;

a n+1 - nākamā skaitļa formula;

d - atšķirība (noteikts skaitlis).

Ir viegli noteikt, ka, ja starpība ir pozitīva (d>0), tad katrs nākamais aplūkojamās rindas dalībnieks būs lielāks par iepriekšējo un šāda aritmētiskā progresija pieaugs.

Zemāk esošajā grafikā ir viegli saprast, kāpēc skaitļu secība tiek saukta par “pieaugošu”.

Gadījumos, kad starpība ir negatīva (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Norādītā dalībnieka vērtība

Dažreiz ir nepieciešams noteikt jebkura aritmētiskās progresijas patvaļīga vārda a n vērtību. To var izdarīt, secīgi aprēķinot visu aritmētiskās progresijas dalībnieku vērtības, sākot no pirmā līdz vajadzīgajam. Taču šis ceļš ne vienmēr ir pieņemams, ja, piemēram, ir jāatrod piectūkstošā vai astoņmiljonā termiņa vērtība. Tradicionālie aprēķini prasīs daudz laika. Tomēr konkrētu aritmētisko progresiju var izpētīt, izmantojot noteiktas formulas. Ir arī formula n-tajam vārdam: jebkura aritmētiskās progresijas vārda vērtību var noteikt kā progresijas pirmā vārda summu ar progresijas starpību, kas reizināta ar vēlamā vārda skaitu, kas samazināta ar viens.

Formula ir universāla progresijas palielināšanai un samazināšanai.

Dotā termina vērtības aprēķināšanas piemērs

Atrisināsim šādu aritmētiskās progresijas n-tā vārda vērtības atrašanas uzdevumu.

Nosacījums: ir aritmētiskā progresija ar parametriem:

Secības pirmais loceklis ir 3;

Skaitļu sēriju atšķirība ir 1,2.

Uzdevums: jāatrod 214 terminu vērtība

Risinājums: lai noteiktu dotā termina vērtību, mēs izmantojam formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Aizstājot datus no problēmas paziņojuma izteiksmē, mēs iegūstam:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atbilde: Secības 214. termins ir vienāds ar 258,6.

Šīs aprēķina metodes priekšrocības ir acīmredzamas - viss risinājums aizņem ne vairāk kā 2 rindas.

Noteikta terminu skaita summa

Ļoti bieži noteiktā aritmētiskajā sērijā ir jānosaka dažu tās segmentu vērtību summa. Lai to izdarītu, nav arī jāaprēķina katra termina vērtības un pēc tam tās jāsaskaita. Šo metodi var izmantot, ja terminu skaits, kuru summa jāatrod, ir mazs. Citos gadījumos ērtāk ir izmantot šādu formulu.

Aritmētiskās progresijas vārdu summa no 1 līdz n ir vienāda ar pirmā un n-tā vārda summu, kas reizināta ar vārda n skaitu un dalīta ar divi. Ja formulā n-tā vārda vērtību aizstāj ar izteiksmi no raksta iepriekšējās rindkopas, mēs iegūstam:

Aprēķinu piemērs

Piemēram, atrisināsim problēmu ar šādiem nosacījumiem:

Secības pirmais loceklis ir nulle;

Atšķirība ir 0,5.

Problēma prasa noteikt rindas nosacījumu summu no 56 līdz 101.

Risinājums. Progresijas apjoma noteikšanai izmantosim formulu:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirmkārt, mēs nosakām progresijas 101 vārda vērtību summu, aizstājot mūsu problēmas dotos nosacījumus formulā:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Acīmredzot, lai noskaidrotu progresijas terminu summu no 56. uz 101., no S 101 ir jāatņem S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Tādējādi šī piemēra aritmētiskās progresijas summa ir:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Aritmētiskās progresijas praktiskā pielietojuma piemērs

Raksta beigās atgriezīsimies pie pirmajā rindkopā dotā aritmētiskās secības piemēra - taksometra skaitītāja (taksometra skaitītājs). Apskatīsim šo piemēru.

Iekāpšana taksometrā (kas ietver 3 km braucienu) maksā 50 rubļus. Par katru nākamo kilometru maksā 22 rubļi/km. Brauciena attālums ir 30 km. Aprēķiniet ceļojuma izmaksas.

1. Atmetīsim pirmos 3 km, kuru cena ir iekļauta nosēšanās izmaksās.

30 - 3 = 27 km.

2. Tālākais aprēķins nav nekas cits kā aritmētisko skaitļu sērijas parsēšana.

Dalībnieka numurs - nobraukto kilometru skaits (atskaitot pirmos trīs).

Dalībnieka vērtība ir summa.

Pirmais termins šajā uzdevumā būs vienāds ar a 1 = 50 rubļiem.

Progresijas starpība d = 22 r.

mūs interesējošais skaitlis ir aritmētiskās progresijas (27+1) vārda vērtība - skaitītāja rādījums 27. kilometra beigās ir 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalendāra datu aprēķini patvaļīgi ilgam periodam ir balstīti uz formulām, kas apraksta noteiktas skaitliskās secības. Astronomijā orbītas garums ir ģeometriski atkarīgs no debess ķermeņa attāluma līdz zvaigznei. Turklāt dažādas skaitļu rindas tiek veiksmīgi izmantotas statistikā un citās lietišķās matemātikas jomās.

Cits skaitļu secības veids ir ģeometrisks

Ģeometrisko progresiju raksturo lielāks izmaiņu ātrums, salīdzinot ar aritmētisko progresiju. Nav nejaušība, ka politikā, socioloģijā un medicīnā, lai parādītu kādas konkrētas parādības, piemēram, slimības epidēmijas laikā, lielo izplatības ātrumu, mēdz teikt, ka process attīstās ģeometriskā progresijā.

Ģeometrisko skaitļu sērijas N-tais loceklis atšķiras no iepriekšējā ar to, ka tas tiek reizināts ar kādu konstantu skaitli - saucējs, piemēram, pirmais loceklis ir 1, saucējs attiecīgi ir vienāds ar 2, tad:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ģeometriskās progresijas pašreizējā termiņa vērtība;

b n+1 - ģeometriskās progresijas nākamā vārda formula;

q ir ģeometriskās progresijas saucējs (konstants skaitlis).

Ja aritmētiskās progresijas grafiks ir taisna līnija, tad ģeometriskā progresija veido nedaudz atšķirīgu attēlu:

Tāpat kā aritmētikas gadījumā, ģeometriskajai progresijai ir patvaļīga vārda vērtības formula. Jebkurš ģeometriskās progresijas n-tais loceklis ir vienāds ar pirmā vārda un progresijas saucēja reizinājumu līdz pakāpei n, kas samazināts par vienu:

Piemērs. Mums ir ģeometriskā progresija, kuras pirmais loceklis ir vienāds ar 3 un progresijas saucējs ir vienāds ar 1,5. Atradīsim progresijas 5. terminu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Izmantojot īpašu formulu, tiek aprēķināta arī noteikta terminu skaita summa. Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar starpību starp progresijas n-tā vārda un tā saucēja reizinājumu un progresijas pirmo daļu, kas dalīta ar saucēju, kas samazināts ar vienu:

Ja b n tiek aizstāts, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, aplūkojamās skaitļu sērijas pirmo n vārdu summas vērtība būs šāda:

Piemērs. Ģeometriskā progresija sākas ar pirmo vārdu, kas vienāds ar 1. Saucējs ir iestatīts uz 3. Atradīsim pirmo astoņu vārdu summu.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Instrukcijas

Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresēšanu.Ir skaidrs, ka aritmētikas patvaļīga n-tā termina vispārīgais progresēšanu ir šāda forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresēšanu, biedrs progresēšanu un soli progresēšanu, varat, tas ir, progresa dalībnieka numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.

Lai tagad ir zināms m-tais termins progresēšanu un vēl viens biedrs progresēšanu- nth, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt progresēšanu var aprēķināt, izmantojot formulu: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.

Ja ir zināma aritmētiskā vienādojuma vairāku elementu summa progresēšanu, kā arī tā pirmo un pēdējo, tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summu progresēšanu būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) - chdenov progresēšanu. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No tā mēs varam izteikt n, atrisinot kvadrātvienādojumu.

Aritmētiskā secība ir sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo nemainīgo vērtību sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas nosacījumiem.

Instrukcijas

Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo terminu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo no nākamā termina. Rezultātā iegūtā vērtība var būt pozitīvs vai negatīvs skaitlis — tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. Vispārīgā formā uzrakstiet atrisinājumu patvaļīgam progresijas blakus terminu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Šādas progresijas terminu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var arī izveidot formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības dalībnieka sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet iegūto rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas skaitli, kas samazināts par vienu. Parasti rakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējās darbības formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar to kārtas skaitļu starpību: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūst nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumi dod tā pirmā locekļa vērtību (a₁) un aritmētiskās secības pirmo daļu dotā skaitļa (i) summu (Sᵢ). Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Vispārīgi rakstiet formulu diskriminanta aprēķināšanai šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

I. V. Jakovļevs | Matemātikas materiāli | MathUs.ru

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija ir īpašs secības veids. Tāpēc pirms aritmētiskās (un pēc tam ģeometriskās) progresijas definēšanas mums īsi jāapspriež svarīgais skaitļu secības jēdziens.

Secība

Iedomājieties ierīci, kuras ekrānā viens pēc otra tiek parādīti noteikti cipari. Teiksim, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Šī skaitļu kopa ir tieši secības piemērs.

Definīcija. Ciparu virkne ir skaitļu kopa, kurā katram skaitlim var piešķirt unikālu skaitli (tas ir, saistīt ar vienu naturālu skaitli)1. Skaitli n sauc par secības n-to daļu.

Tātad iepriekš minētajā piemērā pirmais skaitlis ir 2, tas ir pirmais secības dalībnieks, ko var apzīmēt ar a1; skaitlim pieci ir skaitlis 6, kas ir secības piektais loceklis, ko var apzīmēt ar a5. Pavisam, n-tais termiņš sekvences tiek apzīmētas ar an (vai bn, cn utt.).

Ļoti ērta situācija ir tad, kad pēc kādas formulas var norādīt secības n-to vārdu. Piemēram, formula an = 2n 3 norāda secību: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n nosaka secību: 1; 1; 1; 1; : : :

Ne katra skaitļu kopa ir secība. Tādējādi segments nav secība; tajā ir "pārāk daudz" skaitļu, lai tos pārnumurētu. Arī visu reālo skaitļu kopa R nav secība. Šie fakti tiek pierādīti matemātiskās analīzes gaitā.

Aritmētiskā progresija: pamatdefinīcijas

Tagad mēs esam gatavi definēt aritmētisko progresiju.

Definīcija. Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs termins (sākot no otrā) ir vienāds ar iepriekšējā termina un noteikta skaitļa (ko sauc par aritmētiskās progresijas starpību) summu.

Piemēram, secība 2; 5; 8; vienpadsmit; : : : ir aritmētiskā progresija ar pirmo 2. terminu un 3. starpību. 7. secība; 2; 3; 8; : : : ir aritmētiskā progresija ar pirmo terminu 7 un starpību 5. Secība 3; 3; 3; : : : ir aritmētiskā progresija ar starpību, kas vienāda ar nulli.

Ekvivalenta definīcija: secību an sauc par aritmētisko progresiju, ja starpība an+1 an ir nemainīga vērtība (neatkarīga no n).

Aritmētisko progresiju sauc par pieaugošu, ja tās starpība ir pozitīva, un par samazinošu, ja tās atšķirība ir negatīva.

1 Šeit ir precīzāka definīcija: secība ir funkcija, kas definēta kopā naturālie skaitļi. Piemēram, reālu skaitļu secība ir funkcija f: N ! R.

Pēc noklusējuma secības tiek uzskatītas par bezgalīgām, tas ir, satur bezgalīgu skaitu skaitļu. Bet neviens mūs netraucē apsvērt ierobežotas secības; faktiski jebkuru ierobežotu skaitļu kopu var saukt par ierobežotu secību. Piemēram, beigu secība ir 1; 2; 3; 4; 5 sastāv no pieciem cipariem.

Aritmētiskās progresijas n-tā vārda formula

Ir viegli saprast, ka aritmētisko progresiju pilnībā nosaka divi skaitļi: pirmais loceklis un starpība. Tāpēc rodas jautājums: kā, zinot pirmo terminu un atšķirību, atrast patvaļīgu aritmētiskās progresijas terminu?

Nav grūti iegūt nepieciešamo formulu aritmētiskās progresijas n-tajam vārdam. Ļaujiet an

aritmētiskā progresija ar starpību d. Mums ir:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Jo īpaši mēs rakstām:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
un tagad kļūst skaidrs, ka an formula ir:
an = a1 + (n 1)d:

1. uzdevums. Aritmētiskajā progresijā 2; 5; 8; vienpadsmit; : : : atrodiet n-tā termina formulu un aprēķiniet simto.

Risinājums. Saskaņā ar formulu (1) mums ir:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmētiskās progresijas īpašība un zīme

Aritmētiskās progresijas īpašība. Aritmētiskajā progresijā an jebkurai

Citiem vārdiem sakot, katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks (sākot no otrās) ir blakus esošo locekļu vidējais aritmētiskais.

	Pierādījums. Mums ir:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

kas arī bija vajadzīgs.

Vispārīgāk, aritmētiskā progresija an apmierina vienlīdzību

a n = a n k+ a n+k

jebkuram n > 2 un jebkuram dabiskajam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izrādās, ka formula (2) kalpo ne tikai kā nepieciešams, bet arī kā pietiekams nosacījums, lai secība būtu aritmētiskā progresija.

Aritmētiskās progresijas zīme. Ja vienādība (2) attiecas uz visiem n > 2, tad secība an ir aritmētiskā progresija.

Pierādījums. Pārrakstīsim formulu (2) šādi:

a na n 1= a n+1a n:

No tā mēs redzam, ka starpība an+1 an nav atkarīga no n, un tas precīzi nozīmē, ka secība an ir aritmētiskā progresija.

Aritmētiskās progresijas īpašību un zīmi var formulēt viena apgalvojuma veidā; Ērtības labad mēs to darīsim trim cipariem (šī ir situācija, kas bieži rodas problēmu gadījumā).

Aritmētiskās progresijas raksturojums. Veidojas trīs skaitļi a, b, c aritmētiskā progresija tad un tikai tad, ja 2b = a + c.

2. uzdevums (MSU, Ekonomikas fakultāte, 2007) Trīs skaitļi 8x, 3 x2 un 4 norādītajā secībā veido dilstošu aritmētisko progresiju. Atrodiet x un norādiet šīs progresijas atšķirību.

Risinājums. Pēc aritmētiskās progresijas īpašībām mums ir:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Ja x = 1, tad iegūstam dilstošu progresiju 8, 2, 4 ar starpību 6. Ja x = 5, tad iegūstam pieaugošu progresiju 40, 22, 4; šis gadījums nav piemērots.

Atbilde: x = 1, atšķirība ir 6.

Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa

Leģenda vēsta, ka kādu dienu skolotāja lika bērniem atrast skaitļu summu no 1 līdz 100 un klusi apsēdās lasīt avīzi. Tomēr dažu minūšu laikā viens zēns teica, ka ir atrisinājis problēmu. Tas bija 9 gadus vecais Karls Frīdrihs Gauss, vēlāk viens no izcilākajiem matemātiķiem vēsturē.

Mazā Gausa ideja bija šāda. Ļaujiet

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ierakstīsim šo summu apgrieztā secībā:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

un pievienojiet šīs divas formulas:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Katrs termins iekavās ir vienāds ar 101, un tāpēc kopā ir 100 šādu terminu

2S = 101 100 = 10100;

Mēs izmantojam šo ideju, lai iegūtu summas formulu

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Noderīga formulas (3) modifikācija tiek iegūta, ja tajā aizstājam n-tā vārda formulu an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

3. uzdevums. Atrodiet visu pozitīvo trīsciparu skaitļu summu, kas dalās ar 13.

Risinājums. Trīsciparu skaitļi, reizināti ar 13, veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru 104 un starpību 13; Šīs progresēšanas n-tajam vārdam ir šāda forma:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Noskaidrosim, cik terminu satur mūsu progresija. Lai to izdarītu, mēs atrisinām nevienlīdzību:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Tātad mūsu progresā ir 69 dalībnieki. Izmantojot formulu (4), mēs atrodam nepieciešamo summu:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmētiskā progresija nosauciet skaitļu virkni (progresijas nosacījumus)

Kurā katrs nākamais termins atšķiras no iepriekšējā ar jaunu terminu, ko arī sauc soļa vai progresa atšķirība.

Tādējādi, norādot progresēšanas soli un tā pirmo terminu, jūs varat atrast jebkuru no tā elementiem, izmantojot formulu

Aritmētiskās progresijas īpašības

1) Katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot no otrā skaitļa, ir progresijas iepriekšējā un nākamā locekļa vidējais aritmētiskais

Arī otrādi ir taisnība. Ja progresijas blakus esošo nepāra (pāra) vārdu vidējais aritmētiskais ir vienāds ar vārdu, kas atrodas starp tiem, tad šī skaitļu virkne ir aritmētiskā progresija. Izmantojot šo paziņojumu, ir ļoti viegli pārbaudīt jebkuru secību.

Arī pēc aritmētiskās progresijas īpašību iepriekš minēto formulu var vispārināt šādi

To ir viegli pārbaudīt, rakstot vārdus pa labi no vienādības zīmes

To bieži izmanto praksē, lai vienkāršotu aprēķinus uzdevumos.

2) Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summu aprēķina, izmantojot formulu

Labi atcerieties aritmētiskās progresijas summas formulu, tā ir neaizstājama aprēķinos un diezgan bieži sastopama vienkāršās dzīves situācijās.

3) Ja jums ir jāatrod nevis visa summa, bet daļa no secības, sākot no tās k-tā vārda, tad jums noderēs šāda summas formula

4) Praktiski interesants ir aritmētiskās progresijas n vārdu summas atrašana, sākot no k-tā skaitļa. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu

Tas noslēdz teorētisko materiālu un pāriet uz kopīgu problēmu risināšanu praksē.

Piemērs 1. Atrodiet aritmētiskās progresijas 4;7 četrdesmito daļu;...

Risinājums:

Atbilstoši mūsu stāvoklim

Noteiksim progresēšanas posmu

Izmantojot labi zināmu formulu, mēs atrodam progresijas četrdesmito termiņu

2. piemērs. Aritmētiskā progresija tiek dota ar tās trešo un septīto terminu. Atrodiet progresijas pirmo biedru un summu desmit.

Risinājums:

Pierakstīsim dotos progresijas elementus, izmantojot formulas

Mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma, kā rezultātā mēs atrodam progresēšanas soli

Atrasto vērtību aizstājam ar jebkuru no vienādojumiem, lai atrastu aritmētiskās progresijas pirmo terminu

Mēs aprēķinām progresijas pirmo desmit vārdu summu

Neizmantojot sarežģītus aprēķinus, mēs atradām visus nepieciešamos daudzumus.

3. piemērs. Aritmētisko progresiju uzrāda saucējs un viens no tā vārdiem. Atrodiet progresijas pirmo daļu, tā 50 vārdu summu, sākot no 50, un pirmo 100 summu.

Risinājums:

Pierakstīsim progresijas simtā elementa formulu

un atrodi pirmo

Pamatojoties uz pirmo, mēs atrodam progresijas 50. termiņu

Progresijas daļas summas atrašana

un pirmo 100 summu

Progresēšanas summa ir 250.

4. piemērs.

Atrodiet aritmētiskās progresijas vārdu skaitu, ja:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Risinājums:

Uzrakstīsim vienādojumus pirmā vārda un progresēšanas soļa izteiksmē un noteiksim tos

Mēs aizvietojam iegūtās vērtības summas formulā, lai noteiktu terminu skaitu summā

Mēs veicam vienkāršojumus

un atrisiniet kvadrātvienādojumu

No divām atrastajām vērtībām tikai skaitlis 8 atbilst problēmas apstākļiem. Tādējādi progresijas pirmo astoņu terminu summa ir 111.

5. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu

1+3+5+...+x=307.

Risinājums: Šis vienādojums ir aritmētiskās progresijas summa. Izrakstīsim tā pirmo termiņu un noskaidrosim progresēšanas atšķirību

Pirmais līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam noteikt, kurš ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu tuvāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:

Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu – iekļausim to vispārējā forma un mēs iegūstam:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums tiek dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresa vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts, pārbaudot skolēnu darbu citās klasēs, klasē uzdeva šādu uzdevumu: "Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (pēc citiem avotiem līdz) ieskaitot." Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.

Vai esat to mēģinājuši? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, sākot no th, un skaitļu summa, kas sākas no th.

Cik tu dabūji?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākais būvprojekts - piramīdas celtniecība... Bildē redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.

Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, virzot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrs augšējais slānis satur par vienu žurnālu mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
(nedēļas = dienas).
Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.
Pirmkārt nepāra skaitlis, pēdējais numurs.
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:
Cipari satur nepāra skaitļus.
Aizstāsim pieejamos datus formulā:
Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.
Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
Aizstāsim datus formulā:
Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

- skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:

, kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais vārds šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

n-tā termina formula

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th terminu, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļauj tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka summa pirmo un pēdējais datums ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda utt. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs šāda:

Piemērs:
Atrodiet visu summu divciparu skaitļi, daudzkārtēji.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde: .

Tagad izlemiet paši:

Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, cik daudz ledusskapja cena samazinājās katru gadu, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
.
Atbilde:
Šeit ir dots: , jāatrod.
Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
.
Aizstāt vērtības:
Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
(km).
Atbilde:
Ņemot vērā:. Atrast: .
Tas nevar būt vienkāršāk:
(berzēt).
Atbilde: