Divīzija un to daļskaitļa skaitītājs un saucējs kopīgs dalītājs , kas atšķiras no viena, sauc samazinot daļu.

Lai samazinātu kopējo daļskaitli, tā skaitītājs un saucējs jāsadala ar to pašu dabiskais skaitlis.

Šis skaitlis ir dotās daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs.

Ir iespējami šādi lēmumu ierakstīšanas veidlapas Piemēri parasto frakciju samazināšanai.

Studentam ir tiesības izvēlēties jebkuru ieraksta veidu.

Piemēri. Vienkāršojiet frakcijas.

Samaziniet daļu par 3 (daliet skaitītāju ar 3;

daliet saucēju ar 3).

Samaziniet daļu par 7.

Norādītās darbības veicam daļskaitļa skaitītājā un saucējā.

Iegūto daļu samazina par 5.

Samazināsim šo daļu 4) ieslēgts 5,7³- skaitītāja un saucēja lielākais kopējais dalītājs (GCD), kas sastāv no skaitītāja un saucēja kopējiem faktoriem, kas ņemti pakāpē ar mazāko eksponentu.

Ieskaitīsim šīs daļskaitļa skaitītāju un saucēju primārajos faktoros.

Mēs iegūstam: 756=2²·3³·7 Un 1176=2³·3·7².

Nosakiet daļskaitļa skaitītāja un saucēja GCD (lielāko kopīgo dalītāju) 5) .

Tas ir kopīgu faktoru rezultāts ar zemākajiem eksponentiem.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Mēs dalām šīs daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar to gcd, t.i., ar 2²·3·7 mēs iegūstam nesamazināmu daļu 9/14 .

Vai arī bija iespējams uzrakstīt skaitītāja un saucēja dekompozīcijas pirmfaktoru reizinājuma formā, neizmantojot jaudas jēdzienu, un pēc tam samazināt daļu, izsvītrojot tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Kad nav palicis identisks koeficients, atlikušos faktorus reizinām atsevišķi skaitītājā un atsevišķi saucējā un izrakstām iegūto daļu 9/14 .

Un, visbeidzot, šo daļu bija iespējams samazināt 5) pakāpeniski, piemērojot skaitļu dalīšanas zīmes gan daļskaitļa skaitītājam, gan saucējam. Mēs domājam šādi: skaitļi 756 Un 1176 beidzas ar pāra skaitli, kas nozīmē, ka abi dalās ar 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Jaunās frakcijas skaitītājs un saucējs ir skaitļi 378 Un 588 sadalīts arī 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Mēs pamanām, ka numurs 294 - pat, un 189 ir nepāra, un samazināšana par 2 vairs nav iespējama. Pārbaudīsim skaitļu dalāmību 189 Un 294 ieslēgts 3 .

(1+8+9)=18 dalās ar 3 un (2+9+4)=15 dalās ar 3, tātad paši skaitļi 189 Un 294 tiek sadalīti 3 . Mēs samazinām daļu par 3 . Tālāk, 63 dalās ar 3 un 98 - Nē. Apskatīsim citus galvenos faktorus. Abi skaitļi dalās ar 7 . Mēs samazinām daļu par 7 un mēs iegūstam nesamazināmo daļu 9/14 .

Šajā rakstā mēs apskatīsim pamatdarbības ar algebriskajām daļām:

• samazināšanas frakcijas
• reizināšanas daļas
• dalīšanas daļas

Sāksim ar algebrisko daļu samazināšana.

Šķiet, ka algoritms acīmredzams.

Uz samazināt algebriskās daļas , vajag

1. Nosakiet daļskaitļa skaitītāju un saucēju.

2. Samaziniet vienādus faktorus.

Tomēr skolēni bieži pieļauj kļūdu, “samazinot” nevis faktorus, bet gan terminus. Piemēram, ir amatieri, kuri “samazina” daļskaitļus un rezultātā iegūst , kas, protams, nav taisnība.

Apskatīsim piemērus:

1. Samazināt daļu:

1. Faktorizēsim skaitītāju, izmantojot summas kvadrāta formulu, un saucēju, izmantojot kvadrātu starpības formulu.

2. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

2. Samazināt daļu:

1. Faktorizēsim skaitītāju. Tā kā skaitītājs satur četrus vārdus, mēs izmantojam grupēšanu.

2. Faktorizēsim saucēju. Varam izmantot arī grupēšanu.

3. Pierakstīsim iegūto daļu un samazinām tos pašus faktorus:

Algebrisko daļu reizināšana.

Reizinot algebriskās daļskaitļus, mēs reizinām skaitītāju ar skaitītāju, bet saucēju – ar saucēju.

Svarīgi! Nav jāsteidzas reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju. Pēc tam, kad esam pierakstījuši daļskaitļu skaitītāju reizinājumu skaitītājā un saucēju reizinājumu saucējā, mums ir jāaprēķina katrs faktors un jāsamazina daļa.

Apskatīsim piemērus:

3. Vienkāršojiet izteicienu:

1. Ierakstīsim daļskaitļu reizinājumu: skaitītājā skaitītāju reizinājumu, bet saucējā saucēju reizinājumu:

2. Katru iekavu faktorizēsim:

Tagad mums ir jāsamazina tie paši faktori. Ņemiet vērā, ka izteicieni un atšķiras tikai pēc zīmes: un pirmās izteiksmes dalīšanas ar otro rezultātā iegūstam -1.

Tātad,

Mēs sadalām algebriskās daļas saskaņā ar šādu noteikumu:

Tas ir Lai dalītu ar daļu, jums jāreizina ar "apgriezto".

Mēs redzam, ka daļskaitļu dalīšana nozīmē reizināšanu un Reizināšana galu galā ir saistīta ar daļskaitļu samazināšanu.

Apskatīsim piemēru:

4. Vienkāršojiet izteicienu:

Mērķi:

1. Izglītojoši- nostiprināt iegūtās zināšanas un prasmes algebrisko daļu samazināšanā, risinot sarežģītākus uzdevumus, dažādos veidos izmantojot polinoma faktorizāciju, un attīstīt iemaņas algebrisko daļu samazināšanā. Atkārtojiet saīsinātās reizināšanas formulas: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =a 2-2ab+b 2,a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) grupēšanas metode, kopējo faktoru izliekot iekavās.

2. Attīstošais – loģiskās domāšanas attīstība apzinātai uztverei izglītojošs materiāls, uzmanība, skolēnu aktivitāte stundā.

3. Izglītošana - kognitīvās darbības izglītība, personisko īpašību veidošana: domu verbālās izpausmes precizitāte un skaidrība; koncentrācija un uzmanība; neatlaidība un atbildība, pozitīva motivācija apgūt priekšmetu, precizitāte, apzinīgums un atbildības sajūta.

Uzdevumi:

1. Nostipriniet pētīto materiālu, mainot darba veidus par šo tēmu “Algebriskā daļa. Frakciju samazināšana."

2. Attīstīt prasmes un iemaņas algebrisko daļskaitļu samazināšanā dažādos veidos skaitītāja un saucēja faktorizēšana, izstrādāt loģiskā domāšana, pareizu un kompetentu matemātisku runu, neatkarības un pārliecības par savām zināšanām un prasmēm attīstīšanu izpildes laikā dažādi veidi darbojas

3. Audzināt interesi par matemātiku, ieviešot dažādus materiālu konsolidācijas veidus: mutvārdu darbs, darbs ar mācību grāmatu, darbs pie tāfeles, matemātiskais diktāts, kontroldarbs, patstāvīgais darbs, spēle “Math Tournaments”; stimulēt un iedrošināt studentu aktivitātes.

Plāns:
es Organizatoriskais brīdis.
II . Mutisks darbs.
III. Matemātiskais diktāts.
IV.
1.Strādāt pēc mācību grāmatas un pie tāfeles.
2. Darbs grupās, izmantojot kārtis - spēli “Math Tournament”.
3. Patstāvīgs darbs pēc līmeņiem (A, B, C).
V. Apakšējā līnija.
1. Pārbaude (savstarpēja pārbaude).
VI. Mājas darbs.

Nodarbības progress:

I. Organizatoriskais moments.

Skolotāja un skolēnu emocionālais noskaņojums un gatavība stundai. Studenti izvirza mērķus un uzdevumus - šī nodarbība, pamatojoties uz skolotāja vadošajiem jautājumiem, nosakiet stundas tēmu.

II. Mutisks darbs.

1. Samaziniet frakcijas:

2. Atrodiet algebriskās daļas vērtību:
pie c = 8, c = -13, c = 11.
Atbilde: 6; -1; 3.

3. Atbildiet uz jautājumiem:

1) Kāda ir lietderīgā secība, kas jāievēro, faktorējot polinomus?
(Veicot polinomu faktorināciju, ir lietderīgi ievērot šādu secību: a) iekavās izlikt kopējo koeficientu, ja tāds ir; b) mēģināt faktorēt polinomu, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas; c) mēģināt pielietot grupēšanas metodi, ja iepriekšējās metodes nav novedušas pie mērķa).

2) Kāds ir summas kvadrāts?
(Divu skaitļu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu plus divreiz pirmā skaitļa reizinājums un otrais plus otrā skaitļa kvadrāts).

3) Kāds ir starpības kvadrāts?
(Divu skaitļu starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu, no kura atņemts divkāršs pirmā skaitļa reizinājums un otrais plus otrā skaitļa kvadrāts).

4) Kāda ir atšķirība starp divu skaitļu kvadrātiem?
(Atšķirība starp divu skaitļu kvadrātiem ir vienāda ar šo skaitļu un to summas starpības reizinājumu).

5) Kas jādara, izmantojot grupēšanas metodi? (Lai faktorētu polinomu, izmantojot grupēšanas metodi, nepieciešams: a) apvienot polinoma dalībniekus grupās, kurām ir kopīgs faktors polinoma formā; b) izņemiet šo kopējo faktoru iekavās).
6) Lai izņemtu kopējo faktoru no iekavām, jums ir nepieciešams......?
(Atrodiet šo kopējo faktoru; 2. izlieciet to iekavās).

7) Kādas metodes jūs zināt polinoma faktorinēšanai?
(Kopējā faktora izlikšana iekavās, grupēšanas metode, saīsinātās reizināšanas formulas).

8) Kas nepieciešams, lai samazinātu daļu?
(Lai samazinātu daļu, daliet skaitītāju un saucēju ar to kopējo koeficientu.)

III. Matemātiskais diktāts.

1. Pasvītrot algebriskās daļas:

I variants:

II variants:

1. Vai ir iespējams iedomāties izteiksmi

I variants:

II variants:

kā polinoms? Vai varat iedomāties?

3. Kādas burtu vērtības ir pieņemamas izteiksmei:
I variants:

II variants:
(x-5) (x+7).

4. Uzrakstiet algebrisko daļu ar skaitītāju
I variants:
3x2.
II variants:
5 g.
un saucējs

I variants:
x(x+3).
II variants:
y 2 (y+7).
un saīsiniet to.

IV. Tēmas konsolidācija: “Algebriskā daļa. Samazinošas frakcijas":

1.Strādāt pēc mācību grāmatas un pie tāfeles.

Nosakiet daļskaitļa skaitītāju un saucēju un samaziniet to.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Darbs grupās, izmantojot kārtis - spēli “Math Tournament”.

(Spēles uzdevumi - “1.pielikums”.)
Prasmju nostiprināšana un pārbaude piemēru risināšanā par šo tēmu tiek veikta turnīra veidā. Klase ir sadalīta grupās un tām tiek doti uzdevumi uz kārtīm (dažāda līmeņa kārtis).
Pēc noteikta laika katram skolēnam piezīmju grāmatiņā jāpieraksta savas komandas uzdevumu risinājums un jāprot tos izskaidrot.
Ir atļautas konsultācijas komandas iekšienē (vada kapteinis).
Tad sākas turnīrs: katrai komandai ir tiesības izaicināt citus, bet tikai vienu reizi. Piemēram, pirmās komandas kapteinis izsauc otrās komandas studentus piedalīties turnīrā; Otrās komandas kapteinis dara to pašu, iet pie borta, apmaina kārtis un risina problēmas utt.

3. Patstāvīgs darbs līmeņos (A, B, C)

“Didaktiskais materiāls” L.I. Zvavich et al., 95. lpp., C-52 (grāmata pieejama visiem studentiem).
A . №1: I variants-1) a, b; 2) a, c; 5) a.
II variants-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: I variants – a.
II variants – b.
IN . №3: I variants – a.
II variants – b.

V. Apakšējā līnija.

1. Pārbaude (savstarpēja pārbaude).
(Pārbaudes uzdevumi - “2.pielikums”.)
(uz kartēm katram skolēnam, pēc iespējām)

VI. Mājas darbs.

1) "D.M." 95.lpp Nr.1. (3,4,6);
2) Nr.447 (pāra);
3) 24.§, atkārto 19.§ - 23.§.

Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim algebrisko daļu samazināšana. Vispirms noskaidrosim, ko nozīmē termins “algebriskās daļas samazināšana” un noskaidrosim, vai algebriskā daļa vienmēr ir reducējama. Zemāk mēs piedāvājam noteikumu, kas ļauj veikt šo transformāciju. Visbeidzot, mēs apsvērsim tipisku piemēru risinājumus, kas ļaus mums izprast visas procesa sarežģītības.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē algebriskās daļas samazināšana?

Studējot runājām par to samazināšanu. mēs saucām tā skaitītāja un saucēja dalīšanu ar kopīgu koeficientu. Piemēram, parasto daļskaitli 30/54 var samazināt par 6 (tas ir, tā skaitītāju un saucēju dalīt ar 6), kas mūs noved pie daļskaitļa 5/9.

Ar algebriskās daļas samazināšanu mēs domājam līdzīga darbība. Samaziniet algebrisko daļu- tas nozīmē, ka tā skaitītājs un saucējs jādala ar kopīgu koeficientu. Bet ja skaitītāja un saucēja kopīgais faktors kopējā frakcija var būt tikai skaitlis, tad algebriskās daļas skaitītāja un saucēja kopējais faktors var būt polinoms, jo īpaši monoms vai skaitlis.

Piemēram, algebrisko daļu var samazināt par skaitli 3, dodot daļu . Ir iespējams arī veikt saraušanos mainīgajam x, kā rezultātā tiek iegūta izteiksme . Sākotnējo algebrisko daļu var reducēt uz monomālu 3 x, kā arī uz jebkuru no polinomiem x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y vai 3 x 2 +6 x y.

Algebriskās daļas samazināšanas galvenais mērķis ir iegūt vienkāršākas formas daļu, labākajā gadījumā nereducējamu daļu.

Vai var samazināt jebkuru algebrisko daļu?

Mēs zinām, ka parastās daļskaitļus iedala . Nereducējamām daļām skaitītājā un saucējā nav citu kopīgu faktoru kā viens, un tāpēc tās nevar samazināt.

Algebriskajām daļām var būt vai var nebūt kopīgu faktoru skaitītājā un saucējā. Ja ir kopīgi faktori, ir iespējams samazināt algebrisko daļu. Ja nav kopīgu faktoru, algebriskās daļas vienkāršošana, to samazinot, nav iespējama.

Kopumā saskaņā ar izskats algebrisko daļu, ir diezgan grūti noteikt, vai to var samazināt. Protams, dažos gadījumos skaitītāja un saucēja kopējie faktori ir acīmredzami. Piemēram, ir skaidri redzams, ka algebriskās daļas skaitītājam un saucējam ir kopīgs koeficients 3. Ir arī viegli pamanīt, ka algebrisko daļu var samazināt par x, par y vai tieši ar x·y. Bet daudz biežāk algebriskās daļas skaitītāja un saucēja kopējais faktors nav uzreiz redzams, un vēl biežāk tas vienkārši nepastāv. Piemēram, ir iespējams samazināt daļu par x−1, bet šis kopīgais faktors apzīmējumā nav skaidri redzams. Un algebriskā daļa to nav iespējams samazināt, jo tā skaitītājam un saucējam nav kopīgu faktoru.

Kopumā jautājums par algebriskās daļas reducējamību ir ļoti grūts. Un dažreiz ir vieglāk atrisināt problēmu, strādājot ar algebrisko daļskaitli tās sākotnējā formā, nekā noskaidrot, vai šo daļu var vispirms samazināt. Bet joprojām ir transformācijas, kas dažos gadījumos ļauj ar salīdzinoši nelielu piepūli atrast skaitītāja un saucēja kopējos faktorus, ja tādi ir, vai secināt, ka sākotnējā algebriskā daļa ir nereducējama. Šī informācija tiks atklāta nākamajā rindkopā.

Algebrisko daļu samazināšanas noteikums

Iepriekšējos punktos sniegtā informācija ļauj dabiski uztvert sekojošo algebrisko daļskaitļu samazināšanas noteikums, kas sastāv no diviem posmiem:

• pirmkārt, tiek atrasti sākotnējās daļas skaitītāja un saucēja kopējie faktori;
• ja tādi ir, tad šie faktori samazina.

Ir jāprecizē paziņotā noteikuma norādītās darbības.

Lielākā daļa ērts veids kopīgu atrašana ir polinomu faktorēšana, kas atrodas sākotnējās algebriskās daļas skaitītājā un saucējā. Šajā gadījumā uzreiz kļūst redzami skaitītāja un saucēja kopējie faktori vai arī kļūst skaidrs, ka kopīgu faktoru nav.

Ja nav kopīgu faktoru, tad varam secināt, ka algebriskā daļa ir nereducējama. Ja tiek atrasti kopīgi faktori, tad otrajā solī tie tiek samazināti. Rezultāts ir jauna vienkāršākas formas daļa.

Algebrisko daļskaitļu samazināšanas noteikums ir balstīts uz algebriskās daļas pamatīpašību, ko izsaka ar vienādību, kur a, b un c ir daži polinomi, bet b un c nav nulle. Pirmajā solī sākotnējā algebriskā daļa tiek reducēta līdz formai, no kuras kļūst redzams kopējais faktors c, un otrajā solī tiek veikta samazināšana - pāreja uz daļu.

Pāriesim pie piemēru risināšanas, izmantojot no šī noteikuma. Uz tiem mēs analizēsim visas iespējamās nianses, kas rodas, iedalot algebriskās daļas skaitītāju un saucēju faktoros un pēc tam samazinot.

Tipiski piemēri

Pirmkārt, mums ir jārunā par algebrisko daļu samazināšanu, kuru skaitītājs un saucējs ir vienādi. Šādas daļas ir identiski vienādas ar vienu uz visu tajā iekļauto mainīgo lielumu ODZ, piemēram,
utt.

Tagad nav slikti atcerēties, kā samazināt parastās daļskaitļus - galu galā tie ir īpašs algebrisko daļskaitļu gadījums. Dabiskie skaitļi kopējās daļskaitļa skaitītājā un saucējā, pēc kura kopējie faktori tiek atcelti (ja tādi ir). Piemēram, . Identisku pirmkoeficientu reizinājumu var uzrakstīt pakāpju veidā un izmantot saīsinot. Šajā gadījumā risinājums izskatītos šādi: , šeit mēs dalījām skaitītāju un saucēju ar kopējo koeficientu 2 2 3. Vai arī lielākas skaidrības labad, pamatojoties uz reizināšanas un dalīšanas īpašībām, risinājums tiek parādīts formā.

Absolūti līdzīgi principi tiek izmantoti, lai samazinātu algebriskās daļas, kuru skaitītājs un saucējs satur monomālus ar veselu skaitļu koeficientiem.

Piemērs.

Atcelt algebrisko daļu .

Risinājums.

Sākotnējās algebriskās daļas skaitītāju un saucēju varat attēlot kā galveno faktoru un mainīgo reizinājumu un pēc tam veikt samazināšanu:

Bet racionālāk ir rakstīt risinājumu izteiksmes veidā ar grādiem:

Atbilde:

.

Kas attiecas uz algebrisko daļu samazināšanu, kuru skaitītājā un saucējā ir daļskaitliskie koeficienti, varat veikt divas lietas: vai nu sadalīt šos daļskaitļu koeficientus atsevišķi, vai arī vispirms atbrīvoties no daļskaitļu koeficientiem, reizinot skaitītāju un saucēju ar kādu naturālu skaitli. Mēs runājām par pēdējo transformāciju rakstā, kas ienesa algebrisko daļu jaunā saucējā, to var veikt algebriskās daļas pamata īpašības dēļ. Sapratīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Veiciet frakciju samazināšanu.

Risinājums.

Jūs varat samazināt daļu šādi: .

Un vispirms bija iespējams atbrīvoties no daļskaitļa koeficientiem, reizinot skaitītāju un saucēju ar šo koeficientu saucējiem, tas ir, ar LCM(5, 10)=10. Šajā gadījumā mums ir .

Atbilde:

.

Mēs varam pāriet uz algebriskajām daļām vispārējs skats, kurā skaitītājs un saucējs var saturēt gan skaitļus, gan monomālus, gan polinomus.

Samazinot šādas daļas, galvenā problēma ir tā, ka ne vienmēr ir redzams skaitītāja un saucēja kopīgais faktors. Turklāt tas ne vienmēr pastāv. Lai atrastu kopīgu faktoru vai pārbaudītu tā neesamību, ir jāaprēķina algebriskās daļas skaitītājs un saucējs.

Piemērs.

Samaziniet racionālo daļu .

Risinājums.

Lai to izdarītu, faktorējiet polinomus skaitītājā un saucējā. Sāksim, ievietojot to iekavās: . Acīmredzot iekavās esošās izteiksmes var pārveidot, izmantojot

Ieejas līmenis

Izteiksmju konvertēšana. Detalizēta teorija (2019)

Izteiksmju konvertēšana

Mēs bieži dzirdam šo nepatīkamo frāzi: “vienkāršo izteicienu”. Parasti mēs redzam šādu briesmoni:

"Tas ir daudz vienkāršāk," mēs sakām, taču šāda atbilde parasti nedarbojas.

Tagad es iemācīšu jums nebaidīties no šādiem uzdevumiem. Turklāt nodarbības beigās jūs pats vienkāršosit šo piemēru līdz (tikai!) parastam skaitlim (jā, pie velna ar šiem burtiem).

Bet, pirms sākat šo nodarbību, jums ir jāspēj apstrādāt daļskaitļus un faktoru polinomus. Tāpēc, pirmkārt, ja iepriekš neesat to izdarījis, noteikti apgūstiet tēmas “” un “”.

Vai esi izlasījis? Ja jā, tad tagad esat gatavs.

Galvenās vienkāršošanas darbības

Tagad apskatīsim pamata metodes, kas tiek izmantotas izteiksmju vienkāršošanai.

Vienkāršākais ir

1. Atnest līdzīgu

Kas ir līdzīgi? Jūs to paņēmāt 7. klasē, kad matemātikā pirmo reizi parādījās burti ciparu vietā. Līdzīgi ir termini (monomiāli) ar vienādu burtu daļu. Piemēram, summā līdzīgi termini ir un.

Vai atceries?

Saņemt līdzīgus nozīmē pievienot vairākus līdzīgus terminus un iegūt vienu terminu.

Kā mēs varam burtus apvienot? - tu jautā.

To ir ļoti viegli saprast, ja iedomājaties, ka burti ir kaut kādi objekti. Piemēram, vēstule ir krēsls. Tad ar ko izteiksme ir vienāda? Divi krēsli plus trīs krēsli, cik tas būs? Tieši tā, krēsli: .

Tagad izmēģiniet šo izteicienu: .

Lai izvairītos no neskaidrībām, ļaujiet dažādi burti attēlo dažādus objektus. Piemēram, - ir (kā parasti) krēsls un - ir galds. Pēc tam:

krēsli galdi krēsli galdi krēsli krēsli galdi

Tiek saukti skaitļi, ar kuriem tiek reizināti burti šādos terminos koeficienti. Piemēram, monomālā koeficients ir vienāds. Un tajā ir līdzvērtīgs.

Tātad, noteikums līdzīgu ievešanai ir šāds:

Piemēri:

Dodiet līdzīgus:

Atbildes:

2. (un līdzīgi, jo tāpēc šiem terminiem ir viena burta daļa).

2. Faktorizācija

Parasti šī ir vissvarīgākā daļa izteiksmju vienkāršošanā. Pēc tam, kad esat norādījis līdzīgus, visbiežāk iegūtā izteiksme ir jāfaktorizē, tas ir, jāuzrāda kā produkts. Īpaši svarīgi tas ir daļskaitļos: lai varētu samazināt daļskaitli, skaitītājs un saucējs ir jāatspoguļo kā reizinājums.

Jūs detalizēti izpētījāt izteiksmju faktoringa metodes tēmā “”, tāpēc šeit jums vienkārši jāatceras, ko apguvāt. Lai to izdarītu, izlemiet dažus piemēri(jāveic faktorinizācija):

Risinājumi:

3. Daļas samazināšana.

Nu, kas var būt patīkamāks, kā izsvītrot daļu skaitītāja un saucēja un izmest tos no savas dzīves?

Tas ir štata samazināšanas skaistums.

Tas ir vienkārši:

Ja skaitītājs un saucējs satur vienādus faktorus, tos var samazināt, tas ir, noņemt no daļskaitļa.

Šis noteikums izriet no daļskaitļa pamatīpašības:

Tas ir, samazināšanas darbības būtība ir tāda Daļas skaitītāju un saucēju mēs dalām ar vienu un to pašu skaitli (vai ar to pašu izteiksmi).

Lai samazinātu daļu, jums ir nepieciešams:

1) skaitītājs un saucējs faktorizēt

2) ja skaitītājs un saucējs satur kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

Princips, manuprāt, ir skaidrs?

Es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vienu lietu tipiska kļūda slēdzot līgumu. Lai gan šī tēma ir vienkārša, daudzi cilvēki visu dara nepareizi, to nesaprotot samazināt- tas nozīmē sadalīt skaitītājs un saucējs ir viens un tas pats skaitlis.

Nav saīsinājumu, ja skaitītājs vai saucējs ir summa.

Piemēram: mums ir jāvienkāršo.

Daži cilvēki to dara: kas ir absolūti nepareizi.

Vēl viens piemērs: samaziniet.

“Gudrākais” darīs to: .

Pastāsti man, kas šeit ir nepareizi? Šķiet: - tas ir reizinātājs, kas nozīmē, ka to var samazināt.

Bet nē: - tas ir tikai viena vārda faktors skaitītājā, bet pats skaitītājs kopumā nav faktorizēts.

Šeit ir vēl viens piemērs: .

Šī izteiksme ir faktorizēta, kas nozīmē, ka varat to samazināt, tas ir, dalīt skaitītāju un saucēju ar un pēc tam ar:

Jūs varat to nekavējoties sadalīt:

Lai izvairītos no šādām kļūdām, atcerieties viegls veids kā noteikt, vai izteiksme ir faktorizēta:

Aritmētiskā darbība, kas tiek veikta pēdējā, aprēķinot izteiksmes vērtību, ir “galvenā” darbība. Tas ir, ja burtu vietā aizstājat dažus (jebkurus) ciparus un mēģināt aprēķināt izteiksmes vērtību, tad, ja pēdējā darbība ir reizināšana, tad mums ir reizinājums (izteiksme ir faktorizēta). Ja pēdējā darbība ir saskaitīšana vai atņemšana, tas nozīmē, ka izteiksme nav faktorizēta (un tāpēc to nevar samazināt).

Lai konsolidētu, atrisiniet dažus pats piemēri:

Atbildes:

1. Ceru, ka uzreiz nesteidzies griezt un? Joprojām nebija pietiekami, lai “samazinātu” šādas vienības:

Pirmajam solim jābūt faktorizācijai:

4. Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam.

Saskaitīšana un atņemšana parastās frakcijas- darbība ir labi zināma: mēs meklējam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus. Atcerēsimies:

Atbildes:

1. Saucēji un ir relatīvi pirmie, tas ir, tiem nav kopīgu faktoru. Tāpēc šo skaitļu LCM ir vienāds ar to reizinājumu. Šis būs kopsaucējs:

2. Šeit kopsaucējs ir:

3. Pirmā lieta šeit jauktas frakcijas mēs tos pārvēršam par nepareiziem un pēc tam sekojam parastajam modelim:

Tas ir pavisam cits jautājums, ja daļskaitļos ir burti, piemēram:

Sāksim ar kaut ko vienkāršu:

a) saucēji nesatur burtus

Šeit viss ir tāpat kā ar parastajām skaitliskām daļām: atrodam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām/atņemam skaitītājus:

Tagad skaitītājā varat norādīt līdzīgus, ja tādi ir, un faktorēt tos:

Izmēģiniet to pats:

b) saucēji satur burtus

Atcerēsimies principu atrast kopsaucēju bez burtiem:

· vispirms nosakām kopējos faktorus;

· pēc tam izrakstām visus kopīgos faktorus pa vienam;

· un reizināt tos ar visiem citiem neparastajiem faktoriem.

Lai noteiktu saucēju kopīgos faktorus, mēs vispirms tos iekļaujam galvenajos faktoros:

Uzsvērsim kopīgos faktorus:

Tagad rakstīsim pa vienam izplatītākos faktorus un pievienosim tiem visus neparastos (nepasvītrotos) faktorus:

Tas ir kopsaucējs.

Atgriezīsimies pie burtiem. Saucēji tiek norādīti tieši tādā pašā veidā:

· faktorēt saucējus;

· noteikt kopīgus (identiskus) faktorus;

· vienu reizi izrakstīt visus izplatītos faktorus;

· reizināt tos ar visiem citiem neparastajiem faktoriem.

Tātad, secībā:

1) faktorējiet saucējus:

2) noteikt kopīgus (identiskus) faktorus:

3) vienu reizi uzrakstiet visus kopīgos faktorus un reiziniet tos ar visiem pārējiem (nepasvītrotiem) faktoriem:

Tātad šeit ir kopsaucējs. Pirmā daļa jāreizina ar, otrā - ar:

Starp citu, ir viens triks:

Piemēram:.

Mēs redzam tos pašus faktorus saucējos, tikai visi ar dažādi rādītāji. Kopsaucējs būs:

līdz pakāpei

līdz pakāpei

līdz pakāpei

līdz pakāpei.

Sarežģīsim uzdevumu:

Kā panākt, lai daļskaitļiem būtu vienāds saucējs?

Atcerēsimies daļskaitļa pamatīpašību:

Nekur nav teikts, ka vienu un to pašu skaitli var atņemt (vai pievienot) no daļskaitļa skaitītāja un saucēja. Jo tā nav taisnība!

Skatieties paši: ņemiet, piemēram, jebkuru daļskaitli un pievienojiet skaitītājam un saucējam kādu skaitli, piemēram, . Ko tu iemācījies?

Tātad, vēl viens nesatricināms noteikums:

Samazinot daļskaitļus līdz kopsaucējam, izmantojiet tikai reizināšanas darbību!

Bet ar ko jāreizina, lai iegūtu?

Tātad reiziniet ar. Un reiziniet ar:

Izteiksmes, kuras nevar faktorizēt, sauksim par elementārajiem faktoriem. Piemēram, - tas ir elementārs faktors. - Tas pats. Bet nē: to var faktorizēt.

Kā ar izteiksmi? Vai tas ir elementāri?

Nē, jo to var faktorizēt:

(par faktorizēšanu jūs jau lasījāt tēmā “”).

Tātad elementārie faktori, kuros jūs sadalāt izteiksmi ar burtiem, ir analogi vienkāršiem faktoriem, kuros jūs sadalāt skaitļus. Un mēs ar viņiem tiksim galā tāpat.

Mēs redzam, ka abiem saucējiem ir reizinātājs. Tas nonāks pie kopsaucēja līdz pakāpei (atcerieties, kāpēc?).

Koeficients ir elementārs, un tiem nav kopēja faktora, kas nozīmē, ka pirmā daļa būs vienkārši jāreizina ar to:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Pirms panikā reizināt šos saucējus, jums ir jādomā, kā tos faktorēt? Viņi abi pārstāv:

Lieliski! Pēc tam:

Vēl viens piemērs:

Risinājums:

Kā parasti, faktorizēsim saucējus. Pirmajā saucējā mēs to vienkārši ievietojam iekavās; otrajā - kvadrātu atšķirība:

Šķiet, ka nav kopīgu faktoru. Bet, ja paskatās uzmanīgi, tie ir līdzīgi... Un tā ir taisnība:

Tātad rakstīsim:

Tas ir, tas izrādījās šādi: iekavas iekšpusē mēs samainījām terminus, un tajā pašā laikā zīme daļskaitļa priekšā mainījās uz pretējo. Ņemiet vērā, ka jums tas būs jādara bieži.

Tagad pievedīsim to pie kopsaucēja:

Vai sapratāt? Tagad pārbaudīsim.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Atbildes:

Šeit mums jāatceras vēl viena lieta - kubu atšķirība:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrās daļdaļas saucējs nesatur formulu “summas kvadrāts”! Summas kvadrāts izskatītos šādi: .

A ir tā sauktais summas nepilnīgais kvadrāts: otrais loceklis tajā ir pirmā un pēdējā reizinājums, nevis to dubultreizinājums. Summas daļējais kvadrāts ir viens no faktoriem, kas palielina kubu starpību:

Ko darīt, ja jau ir trīs frakcijas?

Jā, tas pats! Vispirms par to pārliecināsimies maksimālais daudzums saucēju faktori bija vienādi:

Lūdzu, ņemiet vērā: ja maināt zīmes vienā iekavas iekšpusē, zīme daļskaitļa priekšā mainās uz pretējo. Mainot zīmes otrajā iekavā, zīme daļskaitļa priekšā atkal mainās uz pretējo. Rezultātā tā (zīme daļskaitļa priekšā) nav mainījusies.

Mēs ierakstām visu pirmo saucēju kopsaucējā un pēc tam pievienojam tam visus vēl neuzrakstītos faktorus, sākot no otrā un pēc tam no trešā (un tā tālāk, ja ir vairāk daļskaitļu). Tas ir, tas izrādās šādi:

Hmm... Ir skaidrs, ko darīt ar daļskaitļiem. Bet kā ir ar abiem?

Tas ir vienkārši: jūs zināt, kā pievienot daļskaitļus, vai ne? Tātad, mums jāpanāk, lai divi kļūtu par daļu! Atcerēsimies: daļskaitlis ir dalīšanas darbība (skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, ja esat aizmirsis). Un nav nekā vieglāk, kā dalīt skaitli ar. Šajā gadījumā pats skaitlis nemainīsies, bet pārvērtīsies par daļu:

Tieši tas, kas jums nepieciešams!

5. Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Nu, tagad grūtākā daļa ir beigusies. Un mums priekšā ir visvienkāršākais, bet tajā pašā laikā vissvarīgākais:

Procedūra

Kāda ir skaitīšanas procedūra? skaitliskā izteiksme? Atcerieties, aprēķinot šīs izteiksmes nozīmi:

Vai skaitījāt?

Tam vajadzētu strādāt.

Tātad, ļaujiet man jums atgādināt.

Pirmais solis ir aprēķināt grādu.

Otrais ir reizināšana un dalīšana. Ja vienlaikus ir vairākas reizināšanas un dalīšanas, tās var veikt jebkurā secībā.

Visbeidzot, mēs veicam saskaitīšanu un atņemšanu. Atkal, jebkurā secībā.

Bet: izteiksme iekavās tiek vērtēta ārpus kārtas!

Ja vairākas iekavas tiek reizinātas vai dalītas viena ar otru, mēs vispirms aprēķinām izteiksmi katrā iekavā un pēc tam tās reizinām vai sadalām.

Ko darīt, ja iekavās ir vairāk iekavu? Nu, padomāsim: iekavās ir ierakstīts kāds izteiciens. Kas vispirms jādara, aprēķinot izteiksmi? Tieši tā, aprēķiniet iekavas. Nu, mēs to izdomājām: vispirms mēs aprēķinām iekšējās iekavas, pēc tam visu pārējo.

Tātad iepriekš minētās izteiksmes procedūra ir šāda (pašreizējā darbība ir iezīmēta sarkanā krāsā, tas ir, darbība, kuru es veicu šobrīd):

Labi, viss ir vienkārši.

Bet tas nav tas pats, kas izteiksme ar burtiem, vai ne?

Nē, tas pats! Tikai tā vietā aritmētiskās darbības jums ir jāveic algebriskā, tas ir, darbības, kas aprakstītas iepriekšējā sadaļā: atnesot līdzīgu, frakciju pievienošana, frakciju samazināšana utt. Vienīgā atšķirība būs faktoringa polinomu darbība (mēs to bieži izmantojam, strādājot ar daļām). Visbiežāk, lai veiktu faktorizāciju, ir jāizmanto I vai vienkārši iekavās jāizliek kopējais faktors.

Parasti mūsu mērķis ir attēlot izteiksmi kā produktu vai koeficientu.

Piemēram:

Vienkāršosim izteicienu.

1) Pirmkārt, mēs vienkāršojam izteiksmi iekavās. Tur mums ir daļskaitļu atšķirība, un mūsu mērķis ir to parādīt kā reizinājumu vai koeficientu. Tātad, mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam un pievienojam:

Šo izteicienu vairs nav iespējams vienkāršot; visi faktori šeit ir elementāri (vai jūs joprojām atceraties, ko tas nozīmē?).

2) Mēs iegūstam:

Daļskaitļu reizināšana: kas var būt vienkāršāks.

3) Tagad jūs varat saīsināt:

Nu, tas arī viss. Nekas sarežģīts, vai ne?

Vēl viens piemērs:

Vienkāršojiet izteiksmi.

Vispirms mēģiniet to atrisināt pats, un tikai tad skatieties risinājumu.

Vispirms noteiksim darbību secību. Vispirms pievienosim iekavās esošās daļskaitļus, tāpēc divu daļskaitļu vietā iegūsim vienu. Tad mēs veiksim daļu dalīšanu. Nu, pievienosim rezultātu ar pēdējo daļu. Es shematiski numurēšu soļus:

Tagad es jums parādīšu procesu, tonējot pašreizējo darbību sarkanā krāsā:

Visbeidzot, es jums sniegšu divus noderīgus padomus:

1. Ja ir līdzīgas, tās nekavējoties jāatved. Jebkurā brīdī, kad mūsu valstī rodas līdzīgi, ieteicams tos nekavējoties audzināt.

2. Tas pats attiecas uz frakciju samazināšanu: tiklīdz parādās iespēja samazināt, tā ir jāizmanto. Izņēmums attiecas uz daļskaitļiem, ko pievienojat vai atņemat: ja tām tagad ir vienādi saucēji, samazinājums jāatstāj vēlākam laikam.

Šeit ir daži uzdevumi, kas jums jāatrisina pašam:

Un tas, kas tika solīts pašā sākumā:

Risinājumi (īsi):

Ja esat ticis galā vismaz ar pirmajiem trim piemēriem, uzskatiet, ka esat apguvis tēmu.

Tagad uz mācīšanos!

IZTEIKSMES KONVERTĒŠANA. KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

Galvenās vienkāršošanas darbības:

• Atvedot līdzīgu: lai pievienotu (samazinātu) līdzīgus terminus, jāpievieno to koeficienti un jāpiešķir burta daļa.
• Faktorizācija: kopējā faktora izlikšana iekavās, pielietošana utt.
• Daļas samazināšana: Daļas skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli, kas nav nulle, kas nemaina daļskaitļa vērtību.
  1) skaitītājs un saucējs faktorizēt
  2) ja skaitītājam un saucējam ir kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

  SVARĪGI: samazināt var tikai reizinātājus!

• Daļskaitļu pievienošana un atņemšana:
  ;
• Daļskaitļu reizināšana un dalīšana:
  ;