Pakāpju īpašības ar dažādām bāzēm un eksponentiem. Grāds un tā īpašības

Viens no galvenajiem raksturlielumiem algebrā un visā matemātikā ir grāds. Protams, 21. gadsimtā visus aprēķinus var veikt tiešsaistes kalkulatorā, bet smadzeņu attīstībai labāk ir iemācīties to izdarīt pats.

Šajā rakstā mēs aplūkosim svarīgākos jautājumus saistībā ar šo definīciju. Proti, sapratīsim, kas tas vispār ir un kādas ir tā galvenās funkcijas, kādas īpašības piemīt matemātikā.

Apskatīsim piemērus, kā izskatās aprēķins un kādas ir pamatformulas. Apskatīsim galvenos daudzumu veidus un kā tie atšķiras no citām funkcijām.

Ļaujiet mums saprast, kā atrisināt dažādas problēmas, izmantojot šo daudzumu. Ar piemēriem parādīsim, kā paaugstināt līdz nulles jaudai, iracionāli, negatīvi utt.

Tiešsaistes kāpināšanas kalkulators

Kas ir skaitļa pakāpe

Ko nozīmē izteiciens “paaugstināt skaitli līdz pakāpei”?

Skaitļa jauda n ir a lieluma faktoru reizinājums n reizes pēc kārtas.

Matemātiski tas izskatās šādi:

a n = a * a * a * …a n .

Piemēram:

• 2 3 = 2 trešajā pakāpē. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 uz soli. divi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 uz soli. četri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 soļos. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 soļos. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Zemāk ir kvadrātu un kubu tabula no 1 līdz 10.

Pakāpju tabula no 1 līdz 10

Zemāk ir naturālo skaitļu paaugstināšanas rezultāti līdz pozitīvajiem pakāpēm - “no 1 līdz 100”.

Ch-lo	2. st.	3. posms
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Pakāpju īpašības

Kas ir raksturīgs šādai matemātiskai funkcijai? Apskatīsim pamata īpašības.

Zinātnieki ir konstatējuši sekojošo visām pakāpēm raksturīgās pazīmes:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Pārbaudīsim ar piemēriem:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. No otras puses, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Līdzīgi: 2 3: 2 2 = 8/4 =2. Citādi 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ko darīt, ja tas atšķiras? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kā redzat, noteikumi darbojas.

Bet par ko ar saskaitīšanu un atņemšanu? Tas ir vienkārši. Vispirms tiek veikta kāpināšana, pēc tam saskaitīšana un atņemšana.

Apskatīsim piemērus:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Lūdzu, ņemiet vērā: noteikums nedarbosies, ja vispirms atņemsiet: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Bet šajā gadījumā vispirms ir jāaprēķina pievienošana, jo iekavās ir darbības: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kā ražot aprēķini sarežģītākos gadījumos? Pasūtījums ir tāds pats:

• ja ir iekavas, jāsāk ar tām;
• tad eksponenci;
• pēc tam veic reizināšanas un dalīšanas darbības;
• pēc saskaitīšanas, atņemšanas.

Ir īpašas īpašības, kas nav raksturīgas visām pakāpēm:

1. Skaitļa a n-tā sakne līdz m pakāpei tiks uzrakstīta šādi: a m / n.
2. Palielinot daļskaitli līdz pakāpei: šī procedūra ir pakļauta gan skaitītājam, gan tā saucējam.
3. Paceļot dažādu skaitļu reizinājumu pakāpē, izteiksme atbildīs šo skaitļu reizinājumam ar doto pakāpi. Tas ir: (a * b) n = a n * b n .
4. Palielinot skaitli negatīvā pakāpē, jums ir jādala 1 ar skaitli tajā pašā gadsimtā, bet ar “+” zīmi.
5. Ja daļskaitļa saucējs ir negatīvā pakāpē, tad šī izteiksme būs vienāda ar skaitītāja un saucēja reizinājumu ar pozitīvu pakāpju.
6. Jebkurš skaitlis pakāpē 0 = 1 un pakāpē. 1 = sev.

Šie noteikumi ir svarīgi dažos gadījumos, mēs tos aplūkosim sīkāk.

Grāds ar negatīvu eksponentu

Ko darīt ar mīnus grādu, t.i., ja rādītājs ir negatīvs?

Pamatojoties uz 4. un 5. rekvizītu(skatīt punktu iepriekš), izrādās:

A (- n) = 1/A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Un otrādi:

1/A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Ko darīt, ja tā ir daļa?

(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Grāds ar dabisko indikatoru

To saprot kā pakāpi, kuras eksponenti ir vienādi ar veseliem skaitļiem.

Lietas, kas jāatceras:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... utt.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... utt.

Turklāt, ja (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...tad rezultāts būs ar “+” zīmi. Ja negatīvs skaitlis tiek paaugstināts līdz nepāra pakāpei, tad otrādi.

Viņiem raksturīgas arī vispārīgās īpašības un visas iepriekš aprakstītās īpašās iezīmes.

Frakcionēta pakāpe

Šo tipu var uzrakstīt kā shēmu: A m / n. Lasīt kā: skaitļa A n-tā sakne pakāpei m.

Ar daļskaitļa indikatoru varat darīt visu, ko vēlaties: samazināt to, sadalīt daļās, pacelt uz citu jaudu utt.

Grāds ar iracionālu eksponentu

Lai α ir iracionāls skaitlis un A ˃ 0.

Lai saprastu grāda būtību ar šādu rādītāju, Apskatīsim dažādus iespējamos gadījumus:

• A = 1. Rezultāts būs vienāds ar 1. Tā kā ir aksioma - 1 visos pakāpēs ir vienāds ar vienu;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionālie skaitļi;

• 0˂А˂1.

Šajā gadījumā tas ir otrādi: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ar tādiem pašiem nosacījumiem kā otrajā rindkopā.

Piemēram, eksponents ir skaitlis π. Tas ir racionāli.

r 1 – šajā gadījumā vienāds ar 3;

r 2 – būs vienāds ar 4.

Tad, ja A = 1, 1 π = 1.

A = 2, tad 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tad (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.

Šādas pakāpes raksturo visas iepriekš aprakstītās matemātiskās darbības un specifiskās īpašības.

Secinājums

Apkoposim – kam šie daudzumi nepieciešami, kādas ir šādu funkciju priekšrocības? Protams, pirmkārt, tie vienkāršo matemātiķu un programmētāju dzīvi, risinot piemērus, jo ļauj samazināt aprēķinus, saīsināt algoritmus, sistematizēt datus un daudz ko citu.

Kur vēl šīs zināšanas var noderēt? Jebkurā darba specialitātē: medicīnā, farmakoloģijā, zobārstniecībā, celtniecībā, tehnoloģijā, inženierzinātnēs, dizainā utt.

Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?

Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:

1) ja grādiem ir vienādas bāzes;

2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze jāatstāj nemainīga un jāsaskaita eksponenti:

Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt no iekavām:

Apskatīsim, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.

Mērvienība nav rakstīta eksponentā, bet, reizinot pakāpes, tiek ņemta vērā:

Reizinot, var būt jebkurš pakāpju skaits. Jāatceras, ka reizināšanas zīme pirms burta nav jāraksta:

Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.

Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic kāpināšana un tikai pēc tam reizināšana:

www.algebraclass.ru

Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana

Pakāpju saskaitīšana un atņemšana

Ir skaidrs, ka skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos vienu pēc otra ar to zīmēm.

Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2.
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.

Likmes vienādi identisku mainīgo lielumi var pievienot vai atņemt.

Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2.

Ir arī skaidrs, ka, ja ņemat divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.

Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāsastāda, pievienojot tos ar to zīmēm.

Tātad 2 un 3 summa ir 2 + 3 summa.

Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divkāršu a kvadrātu, bet gan ar divkāršu a kubu.

A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšrindu zīmes.

Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 — 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Jaudas reizināšana

Skaitļus ar pakāpēm var reizināt, tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīme starp tiem.

Tādējādi rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.

Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g

Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot identiskus mainīgos.
Izteiksme būs šādā formā: a 5 b 5 y 3.

Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.

Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, ​​kas ir vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summu.

Tātad a n .a m = a m+n .

Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik n jauda;

Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;

Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot pakāpju eksponentus.

Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir negatīvs.

1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir

Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.

Ja reizinat divu skaitļu summu un starpību, kas palielināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grādiem.

Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4.
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8.

Pakāpju dalījums

Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dividendes vai ievietojot tos daļskaitļu formā.

Tādējādi a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.

Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.

Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..

Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tas ir, $\frac = y$.

Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.

Vai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.

Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm

1. Samaziniet eksponentus par $\frac $ Atbilde: $\frac $.

2. Samaziniet eksponentus par $\frac$. Atbilde: $\frac$ vai 2x.

3. Samaziniet eksponentus a 2 /a 3 un a -3 /a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .

4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 /5a 7 un 5a 5 /5a 7 vai 2a 3 /5a 2 un 5/5a 2.

5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.

6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).

7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .

8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/y.

Pakāpju īpašības

Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs sapratīsim grādu īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem eksponentiem un to īpašības tiks apspriestas stundās 8. klasei.

Pakāpei ar dabisku eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus piemēros ar pakāpēm.

Īpašums Nr.1
Spēku produkts

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un tiek pievienoti pakāpju eksponenti.

a m · a n = a m + n, kur “a” ir jebkurš skaitlis, un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

Šī pakāpju īpašība attiecas arī uz trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu.

Vienkāršojiet izteiksmi.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Pasniedziet to kā grādu.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Pasniedziet to kā grādu.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru reizināšanu ar vienādām bāzēm. Tas neattiecas uz to pievienošanu.

Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
skaitīt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243

Īpašums Nr.2
Daļēji grādi

Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.

Uzrakstiet koeficientu kā pakāpju
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Aprēķināt.

11 3–2 4 2–1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam koeficientu pakāpju īpašību.
3 8: t = 3 4

Atbilde: t = 3 4 = 81

Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot eksponentu īpašības.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru sadali ar vienādām bāzēm.

Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4

Īpašums Nr.3
Paaugstināt grādu līdz spēkam

Paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.

(a n) m = a n · m, kur “a” ir jebkurš skaitlis un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka īpašība Nr. 4, tāpat kā citas grādu īpašības, tiek piemērota arī apgrieztā secībā.

(a n b n)= (a b) n

Tas ir, lai reizinātu jaudas ar tiem pašiem eksponentiem, var reizināt bāzes, bet atstāt eksponentu nemainīgu.

Piemērs. Aprēķināt.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Piemērs. Aprēķināt.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Sarežģītākos piemēros var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pa pakāpēm ar dažādu bāzi un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā mēs iesakām rīkoties šādi.

Piemēram, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Piemērs decimāldaļas palielināšanai līdz pakāpei.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Īpašības 5
Koeficienta spēks (daļdaļa)

Lai palielinātu koeficientu līdz pakāpei, jūs varat palielināt dividendi un dalītāju atsevišķi līdz šai pakāpei un dalīt pirmo rezultātu ar otro.

(a: b) n = a n: b n, kur “a”, “b” ir jebkuri racionāli skaitļi, b ≠ 0, n – jebkurš naturāls skaitlis.

Piemērs. Parādiet izteiksmi kā spēku koeficientu.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.

Spēki un saknes

Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,

nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes.

Darbības ar grādiem.

1. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek pievienoti to eksponenti:

a m · a n = a m + n .

2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to eksponenti tiek atskaitīti .

3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.

4. Attiecības (daļdaļas) pakāpe ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:

(a/b) n = a n / b n .

5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, to eksponenti tiek reizināti:

Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.

PIEMĒRS (2 3 5/15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).

1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:

2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un dalītāja sakņu attiecību:

3. Paceļot sakni līdz spēkam, pietiek ar paaugstināt līdz šim spēkam radikāls skaitlis:

4. Ja jūs palielinat saknes pakāpi par m reizes un vienlaikus paaugstināsit radikālo skaitli līdz mth pakāpei, tad saknes vērtība nemainīsies:

5. Ja saknes pakāpi samazina par m reizes un vienlaikus izņem radikālā skaitļa m-to sakni, tad saknes vērtība nemainīsies:

Paplašinot grāda jēdzienu. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālajiem eksponentiem; bet operācijas ar pilnvarām un saknēm var arī novest pie negatīvs, nulle Un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.

Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa ar negatīvu (veselu) eksponentu jaudu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar negatīvā eksponenta absolūto vērtību:

Tagad formula a m : a n = a m - n var izmantot ne tikai m, vairāk par n, bet arī ar m, mazāk nekā n .

PIEMĒRS a 4: a 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Ja mēs vēlamies formulu a m : a n = a m — n bija godīgi, kad m = n, mums ir nepieciešama nulles pakāpes definīcija.

Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle, ar eksponentu nulle, pakāpe ir 1.

PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālo skaitli a līdz pakāpei m / n, jums ir jāizvelk šī skaitļa a m-tā pakāpē n-tā sakne:

Par izteicieniem, kuriem nav nozīmes. Ir vairāki šādi izteicieni.

Kur a ≠ 0 , neeksistē.

Patiesībā, ja pieņemam, ka x ir noteikts skaitlis, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: a = 0· x, t.i. a= 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu: a ≠ 0

— jebkurš skaitlis.

Faktiski, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 · x. Bet šī vienlīdzība notiek tad, kad jebkurš skaitlis x, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

0 0 — jebkurš skaitlis.

Risinājums Apskatīsim trīs galvenos gadījumus.

1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu

2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x= 1, t.i. 1 = 1, kas nozīmē

Kas x– jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to, ka iekš

mūsu gadījumā x> 0, atbilde ir x > 0 ;

Noteikumi pilnvaru reizināšanai ar dažādiem pamatiem

GRĀDS AR RACIONĀLO INDIKATORU,

JAUDAS FUNKCIJA IV

69.§ Pilnvaru pavairošana un dalīšana ar vienādiem pamatiem

1. teorēma. Lai reizinātu jaudas ar vienādām bāzēm, pietiek pievienot eksponentus un atstāt bāzi to pašu, tas ir

Pierādījums. Pēc grāda definīcijas

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Mēs apskatījām divu spēku reizinājumu. Faktiski pierādītais īpašums ir patiess jebkuram skaitam pilnvaru ar vienādām bāzēm.

2. teorēma. Lai dalītu pilnvaras ar vienādām bāzēm, kad dividendes indekss ir lielāks par dalītāja indeksu, pietiek atņemt dalītāja indeksu no dividendes indeksa un atstāt bāzi to pašu, tas ir plkst t > lpp

(a =/= 0)

Pierādījums. Atcerieties, ka viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients ir skaitlis, kuru reizinot ar dalītāju, tiek iegūta dividende. Tāpēc pierādi formulu kur a =/= 0, tas ir tas pats, kas pierādīt formulu

Ja t > lpp , tad numurs t - lpp būs dabiski; tāpēc pēc 1. teorēmas

2. teorēma ir pierādīta.

Jāatzīmē, ka formula

mēs to esam pierādījuši tikai ar pieņēmumu, ka t > lpp . Tāpēc no pierādītā vēl nav iespējams izdarīt, piemēram, šādus secinājumus:

Turklāt mēs vēl neesam apsvēruši grādus ar negatīviem eksponentiem un mēs vēl nezinām, kādu nozīmi var piešķirt izteiksmei 3 - 2 .

3. teorēma. Lai paaugstinātu pakāpi līdz pakāpei, pietiek reizināt eksponentus, atstājot pakāpes bāzi to pašu, tas ir

Pierādījums. Izmantojot pakāpes definīciju un šīs sadaļas 1. teorēmu, mēs iegūstam:

Q.E.D.

Piemēram, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Mutiski) Noteikt X no vienādojumiem:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Komplekta nr.) Vienkāršot:

520. (Komplekta nr.) Vienkāršot:

521. Uzrāda šīs izteiksmes grādu formā ar vienādām bāzēm:

1) 32. un 64.; 3) 8 5 un 16 3; 5) 4 100 un 32 50;

2) -1000 un 100; 4) -27 un -243; 6) 81 75 8 200 un 3 600 4 150.

Pēdējā video nodarbībā uzzinājām, ka noteiktas bāzes pakāpe ir izteiksme, kas attēlo pašas bāzes reizinājumu, kas ņemts daudzumā, kas vienāds ar eksponentu. Tagad izpētīsim dažas no svarīgākajām spēku īpašībām un darbības.

Piemēram, sareizināsim divas dažādas jaudas ar vienu un to pašu bāzi:

Iesniegsim šo darbu pilnībā:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Aprēķinot šīs izteiksmes vērtību, iegūstam skaitli 32. No otras puses, kā redzams no šī paša piemēra, 32 var attēlot kā vienas bāzes (divu) reizinājumu, ņemot 5 reizes. Un patiešām, ja jūs to saskaitāt, tad:

Tādējādi mēs varam droši secināt, ka:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Šis noteikums veiksmīgi darbojas jebkādu rādītāju un iemeslu dēļ. Šī jaudas reizināšanas īpašība izriet no noteikuma, ka izteiksmju nozīme tiek saglabāta produktā pārveidojot. Jebkurai bāzei a divu izteiksmju (a)x un (a)y reizinājums ir vienāds ar a(x + y). Citiem vārdiem sakot, kad tiek izveidotas izteiksmes ar vienu un to pašu bāzi, iegūtajam monomālam ir kopējā pakāpe, kas veidojas, saskaitot pirmās un otrās izteiksmes pakāpes.

Iesniegtais noteikums lieliski darbojas arī, reizinot vairākas izteiksmes. Galvenais nosacījums, lai visiem būtu vienādas bāzes. Piemēram:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nav iespējams pievienot pakāpes un patiešām veikt jebkādas uz varu balstītas kopīgas darbības ar diviem izteiksmes elementiem, ja to pamati ir atšķirīgi.
Kā liecina mūsu video, reizināšanas un dalīšanas procesu līdzības dēļ reizinājuma jaudu pievienošanas noteikumi ir lieliski pārnesti uz dalīšanas procedūru. Apsveriet šo piemēru:

Pārveidosim izteiksmi pēc vārda pilnā formā un samazinām tos pašus elementus dividendē un dalītājā:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Šī piemēra gala rezultāts nav tik interesants, jo jau tā risināšanas procesā ir skaidrs, ka izteiksmes vērtība ir vienāda ar kvadrātu divi. Un tas ir divi, ko iegūst, atņemot otrās izteiksmes pakāpi no pirmās pakāpes.

Lai noteiktu koeficienta pakāpi, no dividendes pakāpes ir jāatņem dalītāja pakāpe. Noteikums darbojas ar vienu un to pašu pamatu visām tā vērtībām un visiem dabiskajiem spēkiem. Abstrakcijas veidā mums ir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

No noteikuma par identisku bāzu sadalīšanu ar grādiem izriet nulles pakāpes definīcija. Acīmredzot šāda izteiksme izskatās šādi:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

No otras puses, ja dalīšanu veicam vizuālākā veidā, mēs iegūstam:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Samazinot visus redzamos daļas elementus, vienmēr tiek iegūta izteiksme 1/1, tas ir, viens. Tāpēc ir vispāratzīts, ka jebkura bāze, kas paaugstināta līdz nullei, ir vienāda ar vienu:

Neatkarīgi no a vērtības.

Tomēr būtu absurdi, ja 0 (kas joprojām dod 0 jebkurai reizināšanai) kaut kādā veidā ir vienāds ar vienu, tāpēc formas (0) 0 (nulles līdz nulles pakāpei) izteiksmei vienkārši nav jēgas, un formulai ( a) 0 = 1 pievienojiet nosacījumu: "ja a nav vienāds ar 0."

Atrisināsim uzdevumu. Noskaidrosim izteiksmes vērtību:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Tā kā bāze visur ir vienāda un vienāda ar 34, galīgajai vērtībai būs tāda pati bāze ar pakāpi (saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem):

Citiem vārdiem sakot:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Atbilde: izteiksme ir vienāda ar vienu.

Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs sapratīsim grādu īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem eksponentiem un to īpašības tiks apspriestas stundās 8. klasei.

Pakāpei ar dabisku eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus piemēros ar pakāpēm.

Īpašums Nr.1
Spēku produkts

Atcerieties!

Reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un tiek pievienoti pakāpju eksponenti.

a m · a n = a m + n, kur “a” ir jebkurš skaitlis, un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

Šī pakāpju īpašība attiecas arī uz trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu.

• Vienkāršojiet izteiksmi.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Pasniedziet to kā grādu.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Pasniedziet to kā grādu.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Svarīgs!

Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru reizināšanu ar uz tiem pašiem pamatiem . Tas neattiecas uz to pievienošanu.

Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
skaitīt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243

Īpašums Nr.2
Daļēji grādi

Atcerieties!

Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.

= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam koeficientu pakāpju īpašību.
3 8: t = 3 4

T = 3 8–4

Atbilde: t = 3 4 = 81

Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.

• Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot eksponentu īpašības.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Svarīgs!

  Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašumā mēs runājām tikai par pilnvaru sadali ar vienādām bāzēm.

  Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja paskaita (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , un 4 1 = 4

  Esi uzmanīgs!

  Īpašums Nr.3
  Paaugstināt grādu līdz spēkam

  Atcerieties!

  Paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.

  (a n) m = a n · m, kur “a” ir jebkurš skaitlis un “m”, “n” ir jebkuri naturāli skaitļi.

  
  

  Īpašības 4
  Produkta jauda

  Atcerieties!

  Paaugstinot produktu līdz pakāpei, katrs no faktoriem tiek paaugstināts līdz pakāpei. Pēc tam iegūtie rezultāti tiek reizināti.

  (a b) n = a n b n, kur “a”, “b” ir jebkuri racionāli skaitļi; "n" ir jebkurš naturāls skaitlis.

  • 1. piemērs.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • 2. piemērs.
    (-x 2 g) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Svarīgs!

  Lūdzu, ņemiet vērā, ka īpašība Nr. 4, tāpat kā citas grādu īpašības, tiek piemērota arī apgrieztā secībā.

  (a n b n)= (a b) n

  Tas ir, lai reizinātu jaudas ar tiem pašiem eksponentiem, var reizināt bāzes, bet atstāt eksponentu nemainīgu.

  • Piemērs. Aprēķināt.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Piemērs. Aprēķināt.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Sarežģītākos piemēros var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pa pakāpēm ar dažādu bāzi un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā mēs iesakām rīkoties šādi.

  Piemēram, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Piemērs decimāldaļas palielināšanai līdz pakāpei.

  4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

  Īpašības 5
  Koeficienta spēks (daļdaļa)

  Atcerieties!

  Lai palielinātu koeficientu līdz pakāpei, jūs varat palielināt dividendi un dalītāju atsevišķi līdz šai pakāpei un dalīt pirmo rezultātu ar otro.

  (a: b) n = a n: b n, kur “a”, “b” ir jebkuri racionāli skaitļi, b ≠ 0, n ir jebkurš naturāls skaitlis.

  • Piemērs. Parādiet izteiksmi kā spēku koeficientu.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.

Ja mēs ignorējam astoto spēku, ko mēs šeit redzam? Atcerēsimies 7. klases programmu. Tātad, vai atceries? Šī ir saīsinātās reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība! Mēs iegūstam:

Uzmanīgi apskatīsim saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Noteikumu secība ir nepareiza. Ja tie tiktu mainīti, noteikums varētu tikt piemērots.

Bet kā to izdarīt? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.

Maģiski termini mainījās vietām. Šis "parādība" vienmērīgā mērā attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam viegli mainīt iekavās esošās zīmes.

Bet ir svarīgi atcerēties: visas pazīmes mainās vienlaicīgi!

Atgriezīsimies pie piemēra:

Un atkal formula:

Vesels mēs saucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi " ") un skaitli.

pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.

Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:

Kā vienmēr, jautāsim sev: kāpēc tas tā ir?

Apskatīsim zināmu pakāpi ar bāzi. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:

Tātad, mēs reizinājām skaitli ar, un mēs saņēmām to pašu, kas bija - . Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.

Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:

Atkārtosim noteikumu:

Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.

Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).

No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemsit nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim ar nulles pakāpi, tam ir jābūt vienādam. Tātad, kas no tā ir patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs nevaram ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.

Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver arī negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvs spēks, darīsim kā pēdējo reizi: reiziniet kādu normālu skaitli ar to pašu skaitli līdz negatīvam pakāpei:

Šeit ir viegli izteikt to, ko meklējat:

Tagad paplašināsim iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:

Tātad, formulēsim noteikumu:

Skaitlis ar negatīvu jaudu ir tā paša skaitļa ar pozitīvu pakāpju apgrieztais skaitlis. Bet tajā pašā laikā Bāze nevar būt nulle:(jo nevar dalīt ar).

Apkoposim:

I. Lietā izteiksme nav definēta. Ja tad.

II. Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu: .

III. Skaitlis, kas nav vienāds ar nulli negatīvā pakāpē, ir tāda paša skaitļa apgrieztais skaitlis pozitīvajam pakāpēm: .

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Kā parasti, neatkarīgu risinājumu piemēri:

Problēmu analīze neatkarīgam risinājumam:

Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet vienotajā valsts eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumus, ja nevarat tos atrisināt, un eksāmenā jūs iemācīsities ar tiem viegli tikt galā!

Turpināsim paplašināt skaitļu diapazonu, kas “piemērots” kā eksponents.

Tagad apsvērsim racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?

Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, un.

Lai saprastu, kas tas ir "daļēja pakāpe", apsveriet daļu:

Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:

Tagad atcerēsimies noteikumu par "no pakāpes līdz pakāpei":

Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?

Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.

Atgādināšu: skaitļa () th pakāpju sakne ir skaitlis, kas, palielinot līdz pakāpei, ir vienāds ar.

Tas ir, th pakāpju sakne ir apgrieztā darbība, palielinot pakāpē: .

Izrādās, ka. Acīmredzot šo īpašo gadījumu var paplašināt: .

Tagad mēs pievienojam skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas-jaudas noteikumu:

Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar izvilkt no visiem skaitļiem.

Nekādu!

Atcerieties noteikumu: jebkurš skaitlis, kas palielināts līdz pāra pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams izvilkt pat saknes!

Tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļējai pakāpei ar pāra saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.

Kā ar izteiksmi?

Bet šeit rodas problēma.

Skaitli var attēlot kā citas, reducējamas daļas, piemēram, vai.

Un izrādās, ka tā pastāv, bet neeksistē, bet tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.

Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, ja indikatoru pierakstīsim savādāk, tad atkal iedzīvosimies nepatikšanās: (tas ir, ieguvām pavisam citu rezultātu!).

Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, mēs uzskatām tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.

Tātad ja:

• - naturālais skaitlis;
• - vesels skaitlis;

Piemēri:

Racionālie eksponenti ir ļoti noderīgi, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:

5 piemēri praksē

5 apmācības piemēru analīze

1. Neaizmirstiet par parastajām grādu īpašībām:

2. . Šeit mēs atceramies, ka mēs aizmirsām iemācīties grādu tabulu:

galu galā - tas ir vai. Risinājums tiek atrasts automātiski: .

Nu, tagad nāk grūtākā daļa. Tagad mēs to izdomāsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.

Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādam ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu

Galu galā pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).

Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.

Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes;

...skaitlis līdz nullei- tas it kā ir skaitlis, kas vienreiz reizināts ar sevi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs skaitlis” , proti, skaitlis;

...negatīva vesela skaitļa pakāpe- it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis netika reizināts ar sevi, bet dalīts.

Starp citu, zinātnē bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis.

Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja iemācīsies risināt šādus piemērus :))

Piemēram:

Izlemiet paši:

Risinājumu analīze:

1. Sāksim ar mums jau ierasto varas paaugstināšanas noteikumu:

Tagad apskatiet indikatoru. Vai viņš tev neko neatgādina? Atcerēsimies formulu kvadrātu starpības saīsinātai reizināšanai:

Šajā gadījumā,

Izrādās, ka:

Atbilde: .

2. Mēs samazinām daļskaitļus eksponentos līdz tādai pašai formai: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram:

Atbilde: 16

3. Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:

PAPILDINĀJUMS

Pakāpes noteikšana

Grāds ir formas izteiksme: , kur:

• — grādu bāze;
• - eksponents.

Grāds ar naturālo rādītāju (n = 1, 2, 3,...)

Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:

Pakāpe ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)

Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:

Būvniecība līdz nulles grādiem:

Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.

Ja eksponents ir negatīvs vesels skaitlis numurs:

(jo nevar dalīt ar).

Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja tad.

Piemēri:

Jauda ar racionālo eksponentu

• - naturālais skaitlis;
• - vesels skaitlis;

Piemēri:

Pakāpju īpašības

Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.

Apskatīsim: kas ir un?

A-prioritāte:

Tātad šīs izteiksmes labajā pusē mēs iegūstam šādu produktu:

Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:

Q.E.D.

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : .

Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt tādiem pašiem iemesliem. Tāpēc mēs apvienojam pilnvaras ar bāzi, bet tas paliek atsevišķs faktors:

Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku reizinājumam!

Nekādā gadījumā to nevar rakstīt.

Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:

Pārkārtosim šo darbu šādi:

Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi reizes, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:

Būtībā to var saukt par "rādītāja izņemšanu no iekavām". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopā: !

Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā galu galā nav taisnība.

Jauda ar negatīvu bāzi.

Līdz šim mēs esam runājuši tikai par to, kādam tam vajadzētu būt rādītājs grādiem. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Pilnvarās dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .

Patiešām, mēs varam reizināt jebkurus skaitļus ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim par to, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu spēks?

Piemēram, vai skaitlis ir pozitīvs vai negatīvs? A? ?

Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.

Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Mēs atceramies vienkāršo likumu no 6. klases: "mīnus par mīnusu dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam - .

Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Var formulēt šādus vienkāršus noteikumus:

1. pat grāds, - numurs pozitīvs.
2. Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
3. Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
4. Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.

Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.

Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: galu galā nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Bāze nav vienāda, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).

6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja mēs to atceramies, tas kļūst skaidrs, kas nozīmē, ka bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.

Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:

Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:

Pirms aplūkojam pēdējo noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

Aprēķiniet izteiksmes:

Risinājumi :

Ja mēs ignorējam astoto spēku, ko mēs šeit redzam? Atcerēsimies 7. klases programmu. Tātad, vai atceries? Šī ir saīsinātās reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība!

Mēs iegūstam:

Uzmanīgi apskatīsim saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Noteikumu secība ir nepareiza. Ja tie tiktu mainīti, varētu piemērot 3. noteikumu. Bet kā? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.

Ja reizināt ar, nekas nemainās, vai ne? Bet tagad tas izrādās šādi:

Maģiski termini mainījās vietām. Šis "parādība" vienmērīgā mērā attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam viegli mainīt iekavās esošās zīmes. Bet ir svarīgi atcerēties: Visas zīmes mainās vienlaicīgi! Jūs to nevarat aizstāt ar, mainot tikai vienu trūkumu, kas mums nepatīk!

Atgriezīsimies pie piemēra:

Un atkal formula:

Tātad tagad pēdējais noteikums:

Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim to:

Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu ir kopā? reizes ar reizinātājiem — ko tas jums atgādina? Tas nav nekas vairāk kā darbības definīcija reizināšana: Tur bija tikai reizinātāji. Tas ir, tas pēc definīcijas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:

Piemērs:

Grāds ar iracionālu eksponentu

Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu eksponentu. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , iracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos skaitļus).

Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts pats ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā skaitlis, kas reizināts ar sevi vienu reizi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl nav pat parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs numurs”, proti, numurs; grāds ar veselu negatīvu eksponentu - it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.

Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Tas drīzāk ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi radīja, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.

Starp citu, zinātnē bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.

Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)

Piemēram:

Izlemiet paši:

1)

2)

3)

Atbildes:

1. Atcerēsimies kvadrātu formulas atšķirību. Atbilde: .
2. Mēs samazinām daļskaitļus līdz tādai pašai formai: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram: .
3. Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:

SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:

Pakāpe ar veselu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).

Jauda ar racionālo eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir negatīvi un daļskaitļi.

Grāds ar iracionālu eksponentu

pakāpe, kuras eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.

Pakāpju īpašības

Pakāpju pazīmes.

• Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
• Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
• Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
• Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
• Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.

TAGAD JUMS IR VĀRDS...

Kā jums patīk raksts? Rakstiet zemāk komentāros, vai jums tas patika vai nē.

Pastāstiet mums par savu pieredzi, izmantojot grāda rekvizītus.

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Raksti komentāros.

Un veiksmi eksāmenos!