Noteikumi daļskaitļu samazināšanai ar nezināmiem. Algebrisko daļu samazināšana

Divīzija un to daļskaitļa skaitītājs un saucējs kopīgs dalītājs , kas atšķiras no viena, sauc samazinot daļu.

Lai samazinātu kopējo daļskaitli, tās skaitītājs un saucējs jāsadala ar to pašu naturālo skaitli.

Šis skaitlis ir dotās daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs.

Ir iespējami šādi lēmumu ierakstīšanas veidlapas Piemēri parasto frakciju samazināšanai.

Studentam ir tiesības izvēlēties jebkuru ieraksta veidu.

Piemēri. Vienkāršojiet frakcijas.

Samaziniet daļu par 3 (daliet skaitītāju ar 3;

daliet saucēju ar 3).

Samaziniet daļu par 7.

Norādītās darbības veicam daļskaitļa skaitītājā un saucējā.

Iegūto daļu samazina par 5.

Samazināsim šo daļu 4) ieslēgts 5,7³- skaitītāja un saucēja lielākais kopējais dalītājs (GCD), kas sastāv no skaitītāja un saucēja kopējiem faktoriem, kas ņemti pakāpē ar mazāko eksponentu.

Ieskaitīsim šīs frakcijas skaitītāju un saucēju primārajos faktoros.

Mēs iegūstam: 756=2²·3³·7 Un 1176=2³·3·7².

Nosakiet daļskaitļa skaitītāja un saucēja GCD (lielāko kopīgo dalītāju) 5) .

Tas ir kopīgu faktoru rezultāts ar zemākajiem eksponentiem.

GCD(756, 1176)= 2²·3·7.

Mēs dalām šīs daļas skaitītāju un saucēju ar to gcd, t.i., ar 2²·3·7 mēs iegūstam nesamazināmu daļu 9/14 .

Vai arī bija iespējams uzrakstīt skaitītāja un saucēja dekompozīcijas pirmfaktoru reizinājuma veidā, neizmantojot jaudas jēdzienu, un pēc tam samazināt daļu, izsvītrojot tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Kad nav palicis identisks koeficients, atlikušos faktorus reizinām atsevišķi skaitītājā un atsevišķi saucējā un izrakstām iegūto daļu 9/14 .

Un visbeidzot, bija iespējams samazināt šo daļu 5) pakāpeniski, piemērojot skaitļu dalīšanas zīmes gan daļskaitļa skaitītājam, gan saucējam. Padomāsim šādi: skaitļi 756 Un 1176 beidzas ar pāra skaitli, kas nozīmē, ka abi dalās ar 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Jaunās frakcijas skaitītājs un saucējs ir skaitļi 378 Un 588 sadalīts arī 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Mēs pamanām, ka numurs 294 - pat, un 189 ir nepāra, un samazināšana par 2 vairs nav iespējama. Pārbaudīsim skaitļu dalāmību 189 Un 294 ieslēgts 3 .

(1+8+9)=18 dalās ar 3 un (2+9+4)=15 dalās ar 3, tātad paši skaitļi 189 Un 294 tiek sadalīti 3 . Mēs samazinām daļu par 3 . Tālāk, 63 dalās ar 3 un 98 - Nē. Apskatīsim citus galvenos faktorus. Abi skaitļi dalās ar 7 . Mēs samazinām daļu par 7 un mēs iegūstam nesamazināmo daļu 9/14 .

Šajā rakstā mēs apskatīsim pamatdarbības ar algebriskajām daļām:

samazināšanas frakcijas
reizināšanas daļas
dalīšanas daļas

Sāksim ar algebrisko daļu samazināšana.

Šķiet, ka, algoritms acīmredzams.

Uz samazināt algebriskās daļas, vajag

1. Nosakiet daļskaitļa skaitītāju un saucēju.

2. Samaziniet vienādus faktorus.

Tomēr skolēni bieži pieļauj kļūdu, “samazinot” nevis faktorus, bet gan terminus. Piemēram, ir amatieri, kuri “samazina” daļskaitļus un rezultātā iegūst , kas, protams, nav taisnība.

Apskatīsim piemērus:

1. Samazināt daļu:

1. Faktorizēsim skaitītāju, izmantojot summas kvadrāta formulu, un saucēju, izmantojot kvadrātu starpības formulu.

2. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

2. Samazināt daļu:

1. Faktorizēsim skaitītāju. Tā kā skaitītājs satur četrus vārdus, mēs izmantojam grupēšanu.

2. Faktorizēsim saucēju. Varam izmantot arī grupēšanu.

3. Pierakstīsim iegūto daļu un samazinām tos pašus faktorus:

Algebrisko daļu reizināšana.

Reizinot algebriskās daļskaitļus, mēs reizinām skaitītāju ar skaitītāju, bet saucēju – ar saucēju.

Svarīgs! Nav jāsteidzas reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju. Pēc tam, kad esam pierakstījuši daļskaitļu skaitītāju reizinājumu skaitītājā un saucēju reizinājumu saucējā, mums ir jāaprēķina katrs faktors un jāsamazina daļa.

Apskatīsim piemērus:

3. Vienkāršojiet izteicienu:

1. Ierakstīsim daļu reizinājumu: skaitītājā skaitītāju reizinājumu, bet saucējā saucēju reizinājumu:

2. Katru iekavu faktorizēsim:

Tagad mums ir jāsamazina tie paši faktori. Ņemiet vērā, ka izteicieni un atšķiras tikai pēc zīmes: un pirmās izteiksmes dalīšanas ar otro rezultātā iegūstam -1.

Tātad,

Mēs sadalām algebriskās daļas saskaņā ar šādu noteikumu:

Tas ir Lai dalītu ar daļu, jums jāreizina ar "apgriezto".

Mēs redzam, ka daļskaitļu dalīšana nozīmē reizināšanu un Reizināšana galu galā ir saistīta ar daļskaitļu samazināšanu.

Apskatīsim piemēru:

4. Vienkāršojiet izteicienu:

Kad students pārceļas uz vidusskola, matemātika ir sadalīta 2 priekšmetos: algebra un ģeometrija. Jēdzienu kļūst arvien vairāk, uzdevumi kļūst arvien grūtāki. Dažiem cilvēkiem ir grūti saprast daļskaitļus. Nokavēju pirmo nodarbību par šo tēmu, un voila. frakcijas? Jautājums, kas mocīs visu manu skolas mūžu.

Algebriskās daļas jēdziens

Sāksim ar definīciju. Zem algebriskā daļa attiecas uz izteiksmēm P/Q, kur P ir skaitītājs un Q ir saucējs. Zem burta ievades var būt paslēpts cipars, skaitliskā izteiksme, ciparu-burtu izteiksme.

Pirms domājat, kā atrisināt algebriskās daļas, vispirms ir jāsaprot, ka šāda izteiksme ir daļa no veseluma.

Parasti vesels skaitlis ir 1. Skaitlis saucējā parāda, cik daļās vienība ir sadalīta. Skaitītājs ir nepieciešams, lai uzzinātu, cik elementu ir ņemti. Daļskaitļu josla atbilst dalījuma zīmei. Ierakstīšana atļauta daļēja izteiksme kā matemātiska darbība "Dalīšana". Šajā gadījumā skaitītājs ir dividende, saucējs ir dalītājs.

Kopējo daļskaitļu pamatnoteikums

Kad skolēni iet garām šī tēma skolā viņiem tiek doti piemēri, kas jāpastiprina. Lai tos pareizi atrisinātu un atrastu dažādus ceļus no sarežģītas situācijas, jums jāpiemēro daļskaitļu pamatīpašība.

Tas notiek šādi: ja reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi (izņemot nulli), tad vērtība kopējā frakcija Nemainīsies. Īpašs gadījums no no šī noteikuma ir izteiksmes abu pušu dalījums ar vienu un to pašu skaitli vai polinomu. Šādas pārvērtības sauc par identiskām vienādībām.

Tālāk apskatīsim, kā atrisināt algebrisko daļskaitļu saskaitīšanu un atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu un reducēšanu.

Matemātiskās darbības ar daļskaitļiem

Apskatīsim, kā atrisināt algebriskās daļas galveno īpašību un kā to pielietot praksē. Ja jums ir jāreizina divas daļdaļas, jāsaskaita, jādala viena ar otru vai jāatņem, jums vienmēr jāievēro noteikumi.

Tātad saskaitīšanas un atņemšanas darbībai ir jāatrod papildu faktors, lai izteiksmes nonāktu pie kopsaucēja. Ja frakcijas sākotnēji tiek dotas ar tie paši izteicieni J, tad šis vienums ir jāizlaiž. Kad kopsaucējs ir atrasts, kā atrisināt algebriskās daļas? Skaitītāji ir jāsaskaita vai jāatņem. Bet! Jāatceras, ka, ja daļskaitļa priekšā ir zīme “-”, visas zīmes skaitītājā tiek apgrieztas. Dažreiz jums nevajadzētu veikt nekādas aizstāšanas vai matemātiskas darbības. Pietiek nomainīt zīmi daļskaitļa priekšā.

Jēdziens bieži tiek izmantots kā samazināšanas frakcijas. Tas nozīmē sekojošo: ja skaitītāju un saucēju dala ar izteiksmi, kas atšķiras no viena (abām daļām vienāda), tad tiek iegūta jauna daļa. Dividende un dalītājs ir mazāki nekā iepriekš, taču daļskaitļu pamatnoteikuma dēļ tie paliek vienādi ar sākotnējo piemēru.

Šīs darbības mērķis ir iegūt jaunu nereducējamu izteiksmi. Šo problēmu var atrisināt, samazinot skaitītāju un saucēju ar lielāko kopējo koeficientu. Darbības algoritms sastāv no diviem punktiem:

Gcd atrašana abām frakcijas pusēm.
Dalot skaitītāju un saucēju ar atrasto izteiksmi un iegūstot nesamazināmu daļu, kas vienāda ar iepriekšējo.

Zemāk ir tabula, kurā parādītas formulas. Ērtības labad varat to izdrukāt un nēsāt līdzi piezīmju grāmatiņā. Taču, lai turpmāk, risinot kontroldarbu vai eksāmenu, nerastos grūtības jautājumā, kā atrisināt algebriskās daļas, šīs formulas jāiemācās no galvas.

Vairāki piemēri ar risinājumiem

No teorētiskā viedokļa tiek apskatīts jautājums par to, kā atrisināt algebriskās daļas. Rakstā sniegtie piemēri palīdzēs labāk izprast materiālu.

1. Pārvērtiet daļskaitļus un apvienojiet tos līdz kopsaucējam.

2. Pārvērtiet daļskaitļus un apvienojiet tos līdz kopsaucējam.

Izpētot teorētisko daļu un apsverot praktiskiem jautājumiem vairāk nevajadzētu būt.

Tas ir balstīts uz to pamatīpašību: ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju dala ar vienu un to pašu polinomu, kas nav nulle, tad tiks iegūta vienāda daļa.

Var tikai samazināt reizinātājus!

Polinomu locekļus nevar saīsināt!

Lai samazinātu algebrisko daļu, polinomi skaitītājā un saucējā vispirms ir jāfaktorizē.

Apskatīsim frakciju samazināšanas piemērus.

Daļas skaitītājs un saucējs satur monomālus. Viņi pārstāv strādāt(skaitļi, mainīgie un to pakāpes), reizinātāji mēs varam samazināt.

Mēs samazinām skaitļus ar to lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, ar lielāko skaitli, ar kuru katrs no šiem skaitļiem ir dalīts. 24 un 36 tas ir 12. Pēc samazināšanas 2 paliek no 24 un 3 no 36.

Mēs samazinām grādus par pakāpi ar zemāko indeksu. Lai samazinātu daļu, nozīmē dalīt skaitītāju un saucēju ar to pašu dalītāju un atņemt eksponentus.

a² un a⁷ tiek reducēti uz a². Šajā gadījumā a² skaitītājā paliek viens (1 rakstām tikai tādā gadījumā, ja pēc samazināšanas nav palicis pāri citiem faktoriem. No 24 paliek 2, tāpēc no a² nerakstam 1, kas paliek). No a⁷ pēc samazināšanas paliek a⁵.

b un b tiek reducēti ar b; iegūtās vienības netiek rakstītas.

c³º un c⁵ ir saīsināti līdz c⁵. No c³º tas, kas paliek, ir c²⁵, no c⁵ ir viens (mēs to nerakstām). Tādējādi

Šīs algebriskās daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi. Jūs nevarat atcelt polinomu nosacījumus! (jūs nevarat samazināt, piemēram, 8x² un 2x!). Lai samazinātu šo daļu, jums ir nepieciešams. Skaitītāja kopīgs koeficients ir 4x. Izņemsim to no iekavām:

Gan skaitītājam, gan saucējam ir vienāds koeficients (2x-3). Mēs samazinām daļu ar šo koeficientu. Skaitītājā saņēmām 4x, saucējā - 1. Saskaņā ar 1 algebrisko daļu īpašību, daļa ir vienāda ar 4x.

Jūs varat tikai samazināt faktorus (jūs nevarat samazināt šo daļu par 25x²!). Tāpēc polinomi frakcijas skaitītājā un saucējā ir jāfaktorizē.

Skaitītājs ir summas pilns kvadrāts, saucējs ir kvadrātu starpība. Pēc sadalīšanas, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas, mēs iegūstam:

Mēs samazinām daļskaitli par (5x+1) (lai to izdarītu, izsvītrojiet divus skaitītājā kā eksponentu, atstājot (5x+1)² (5x+1)):

Skaitītājam ir kopīgs koeficients 2, izņemsim to no iekavām. Saucējs ir kubu atšķirības formula:

Izvēršanas rezultātā skaitītājs un saucējs saņēma vienādu koeficientu (9+3a+a²). Par to mēs samazinām daļu:

Skaitītājā esošais polinoms sastāv no 4 vārdiem. pirmo vārdu ar otro, trešo ar ceturto un noņemiet kopējo koeficientu x² no pirmajām iekavām. Mēs sadalām saucēju, izmantojot kubu summas formulu:

Skaitītājā iekavās izņemam kopējo koeficientu (x+2):

Samaziniet daļu par (x+2):

Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim, kā samazināšanas frakcijas. Vispirms apspriedīsim to, ko sauc par frakcijas samazināšanu. Pēc tam parunāsim par reducējamās daļas samazināšanu līdz nereducējamai formai. Tālāk mēs iegūsim noteikumu par frakciju samazināšanu un, visbeidzot, apsvērsim šī noteikuma piemērošanas piemērus.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē samazināt daļu?

Mēs zinām, ka parastās frakcijas iedala reducējamās un nereducējamās frakcijās. Pēc nosaukumiem var nojaust, ka reducējamās daļas var samazināt, bet nereducējamās frakcijas nevar.

Ko nozīmē samazināt daļu? Samazināt frakciju- tas nozīmē dalītāja skaitītāju un saucēju ar to pozitīvo un atšķirīgo no vienotības. Skaidrs, ka daļskaitļa samazināšanas rezultātā tiek iegūta jauna daļa ar mazāku skaitītāju un saucēju, un, pateicoties daļskaitļa pamatīpašībai, iegūtā daļa ir vienāda ar sākotnējo.

Piemēram, samazināsim parasto daļskaitli 8/24, dalot tās skaitītāju un saucēju ar 2. Citiem vārdiem sakot, samazināsim daļu 8/24 par 2. Tā kā 8:2=4 un 24:2=12, šis samazinājums rada daļskaitli 4/12, kas ir vienāda ar sākotnējo daļskaitli 8/24 (skatīt vienādas un nevienādas daļas). Rezultātā mums ir .

Parasto frakciju samazināšana līdz nereducējamai formai

Parasti frakcijas samazināšanas galīgais mērķis ir iegūt nesamazināmu daļu, kas ir vienāda ar sākotnējo reducējamo daļu. Šo mērķi var sasniegt, samazinot sākotnējo reducējamo daļu ar tās skaitītāju un saucēju. Šādas samazināšanas rezultātā vienmēr tiek iegūta nereducējama daļa. Patiešām, daļa ir nesamazināms, jo tas ir zināms Un - . Šeit mēs teiksim, ka daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais skaits, ar kuru šo daļu var samazināt.

Tātad, kopējās frakcijas samazināšana līdz nereducējamai formai sastāv no sākotnējās reducējamās daļas skaitītāja un saucēja dalīšanas ar to gcd.

Apskatīsim piemēru, kuram mēs atgriežamies pie daļskaitļa 8/24 un samazinām to ar skaitļu 8 un 24 lielāko kopīgo dalītāju, kas ir vienāds ar 8. Tā kā 8:8=1 un 24:8=3, mēs nonākam pie nereducējamās daļas 1/3. Tātad,.

Ņemiet vērā, ka frāze “samazināt daļu” bieži nozīmē sākotnējās daļas samazināšanu līdz tās nesamazināmai formai. Citiem vārdiem sakot, daļskaitļa samazināšana ļoti bieži attiecas uz skaitītāja un saucēja dalīšanu ar to lielāko kopīgo koeficientu (nevis ar jebkuru kopējo faktoru).

Kā samazināt daļu? Daļskaitļu samazināšanas noteikumi un piemēri

Atliek tikai aplūkot frakciju samazināšanas noteikumu, kas izskaidro, kā samazināt noteiktu daļu.

Noteikums frakciju samazināšanai sastāv no diviem posmiem:

pirmkārt, tiek atrasts daļskaitļa skaitītāja un saucēja gcd;
otrkārt, frakcijas skaitītājs un saucējs tiek dalīts ar to gcd, kas dod nereducējamu daļu, kas vienāda ar sākotnējo.

Sakārtosim to daļas samazināšanas piemērs saskaņā ar noteikto noteikumu.

Piemērs.

Samaziniet daļu 182/195.

Risinājums.

Izpildīsim abas daļas, kas noteiktas daļas samazināšanas noteikumā.

Vispirms atrodam GCD(182, 195) . Visērtāk ir izmantot Eiklida algoritmu (skat.): 195=182·1+13, 182=13·14, tas ir, GCD(182, 195)=13.

Tagad mēs dalām daļskaitļa 182/195 skaitītāju un saucēju ar 13, un mēs iegūstam nereducējamo daļu 14/15, kas ir vienāda ar sākotnējo daļu. Tas pabeidz frakcijas samazināšanu.

Īsumā risinājumu var uzrakstīt šādi: .

Atbilde:

Šeit mēs varam pabeigt frakciju samazināšanu. Bet, lai pabeigtu attēlu, apskatīsim vēl divus veidus, kā samazināt frakcijas, kuras parasti izmanto vieglos gadījumos.

Dažreiz samazinātās daļas skaitītājs un saucējs nav grūts. Daļas samazināšana šajā gadījumā ir ļoti vienkārša: no skaitītāja un saucēja vienkārši jānoņem visi izplatītie faktori.

Ir vērts atzīmēt, ka šī metode tieši izriet no daļskaitļu samazināšanas noteikuma, jo visu kopējo skaitītāja un saucēja galveno faktoru reizinājums ir vienāds ar to lielāko kopīgo dalītāju.

Apskatīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Samaziniet daļu 360/2 940.

Risinājums.

Sadalīsim skaitītāju un saucēju vienkāršos faktoros: 360=2·2·2·3·3·5 un 2,940=2·2·3·5·7·7. Tādējādi .

Tagad mēs atbrīvojamies no kopējiem faktoriem skaitītājā un saucējā, mēs tos vienkārši izsvītrojam: .

Visbeidzot, mēs reizinām atlikušos faktorus: , un frakcijas samazināšana ir pabeigta.

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

Apskatīsim citu veidu, kā samazināt daļu, kas sastāv no secīgas samazināšanas. Šeit katrā solī daļa tiek samazināta ar kādu kopīgu skaitītāja un saucēja dalītāju, kas ir acīmredzams vai viegli nosakāms, izmantojot