Pozitīvo un negatīvo skaitļu reizināšana. Daļskaitļu reizināšana ar dažādām zīmēm

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē Šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķi.

Temats:

formulējiet reizināšanas likumu negatīvi skaitļi un cipari ar dažādas zīmes,
iemācīt studentiem piemērot šo noteikumu.

Metasubjekts:

attīstīt spēju strādāt saskaņā ar piedāvāto algoritmu, sastādīt savu darbību plānu,
attīstīt paškontroles prasmes.

Personīgi:

attīstīt komunikācijas prasmes,
formā kognitīvā interese studenti.

Aprīkojums: dators, ekrāns, multivides projektors, PowerPoint prezentācija, izdales materiāls: tabula ierakstīšanas noteikumiem, testiem.

(N.Ya. Viļenkina mācību grāmata “Matemātika. 6. klase”, M: “Mnemosyne”, 2013.)

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

Stundas tēmas komunikācija un studentu tēmas ierakstīšana kladēs.

II. Motivācija.

Slaids numur 2. (Nodarbības mērķis. Nodarbības plāns).

Šodien mēs turpināsim pētīt svarīgu aritmētisko īpašību - reizināšanu.

Jūs jau zināt, kā reizināt naturālus skaitļus - verbāli un kolonniski,

Iemācījās reizināt decimāldaļas un parastās daļskaitļus. Šodien jums būs jāformulē reizināšanas noteikums negatīviem skaitļiem un skaitļiem ar dažādām zīmēm. Un ne tikai formulēt to, bet arī iemācīties to pielietot.

III. Zināšanu atjaunināšana.

1) 3. slaids.

Atrisiniet vienādojumus: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Students pie tāfeles)

Secinājums: lai atrisinātu šādus vienādojumus, jums jāspēj reizināt dažādus skaitļus.

2) Mājas pārbaude patstāvīgs darbs. Pārskatiet noteikumus par decimāldaļu, daļskaitļu un reizināšanas kārtību jaukti skaitļi. (Slaidi Nr. 4 un Nr. 5).

IV. Noteikuma formulēšana.

Apsveriet 1. uzdevumu (6. slaids).

Apsveriet 2. uzdevumu (7. slaids).

Uzdevumu risināšanas procesā mums bija jāreizina skaitļi ar dažādām zīmēm un negatīviem skaitļiem. Apskatīsim šo reizinājumu un tā rezultātus tuvāk.

Reizinot skaitļus ar dažādām zīmēm, iegūstam negatīvu skaitli.

Apskatīsim citu piemēru. Atrodiet reizinājumu (–2) * 3, reizinājumu aizstājot ar identisku vārdu summu. Līdzīgi atrodiet produktu 3 * (–2). (Pārbaude - slaids Nr. 8).

Jautājumi:

1) Kāda ir rezultāta zīme, reizinot skaitļus ar dažādām zīmēm?

2) Kā tiek iegūts rezultātu modulis? Mēs formulējam noteikumu skaitļu reizināšanai ar dažādām zīmēm un ierakstām noteikumu tabulas kreisajā kolonnā. (9. slaids un 1. pielikums).

Noteikums negatīvu skaitļu un skaitļu ar dažādām zīmēm reizināšanai.

Atgriezīsimies pie otrā uzdevuma, kurā sareizinājām divus negatīvus skaitļus. Citādi šādu reizināšanu ir diezgan grūti izskaidrot.

Izmantosim skaidrojumu, ko tālajā 18. gadsimtā sniedza izcilais krievu zinātnieks (dzimis Šveicē), matemātiķis un mehāniķis Leonhards Eilers. (Leonards Eilers atstāja ne tikai zinātniskie darbi, bet arī sarakstījis vairākas matemātikas mācību grāmatas, kas paredzētas akadēmiskās ģimnāzijas skolēniem).

Tāpēc Eilers rezultātu izskaidroja aptuveni šādi. (10. slaids).

Skaidrs, ka –2 · 3 = – 6. Līdz ar to reizinājums (–2) · (–3) nevar būt vienāds ar –6. Tomēr tam ir jābūt kaut kā saistītam ar skaitli 6. Paliek viena iespēja: (–2) · (–3) = 6. .

Jautājumi:

1) Kāda ir produkta zīme?

2) Kā tika iegūts produkta modulis?

Mēs formulējam negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu un aizpildām tabulas labo kolonnu. (Slaids Nr. 11).

Lai reizināšanas laikā būtu vieglāk atcerēties zīmju likumu, varat izmantot tā formulējumu pantā. (Slaids Nr. 12).

Plus ar mīnus, reizinot,
Ielikām mīnusu bez žāvāšanās.
Reiziniet mīnusu ar mīnusu
Atbildot ieliksim plusu!

V. Prasmju veidošanās.

Uzzināsim, kā piemērot šo noteikumu aprēķiniem. Šodien nodarbībā veiksim aprēķinus tikai ar veseliem skaitļiem un decimāldaļskaitļiem.

1) Rīcības plāna sastādīšana.

Tiek izstrādāta noteikuma piemērošanas shēma. Uz tāfeles tiek veiktas piezīmes. Aptuvenā diagramma uz slaida Nr.13.

2) Darbību veikšana saskaņā ar shēmu.

Risinām no mācību grāmatas Nr.1121 (b, c, i, j, p, p). Mēs veicam risinājumu saskaņā ar sastādīto shēmu. Katru piemēru paskaidro kāds no studentiem. Vienlaikus risinājums ir parādīts slaidā Nr.14.

3) Darbs pa pāriem.

Uzdevums 15. slaidā.

Studenti strādā pie iespējām. Vispirms skolēns no 1. varianta atrisina un izskaidro 2. varianta risinājumu, 2. varianta skolēns uzmanīgi klausās, palīdz un vajadzības gadījumā labo, un tad skolēni maina lomas.

Papildus uzdevums tiem pāriem, kuri darbu beidz agrāk: Nr.1125.

Darba beigās tiek veikta pārbaude, izmantojot gatavu risinājumu, kas atrodas uz slaida Nr. 15 (tiek izmantota animācija).

Ja daudziem izdevās atrisināt Nr.1125, tad tiek secināts, ka skaitļa zīme mainās, reizinot ar (?1).

4) Psiholoģiskā atvieglošana.

5) Patstāvīgais darbs.

Patstāvīgais darbs - teksts uz slaida Nr.17. Pēc darba izpildes - pašpārbaude, izmantojot gatavu risinājumu (slaids Nr.17 - animācija, hipersaite uz slaidu Nr.18).

VI. Pētītā materiāla asimilācijas līmeņa pārbaude. Atspulgs.

Studenti kārto testu. Uz tās pašas lapiņas novērtējiet savu darbu klasē, aizpildot tabulu.

Pārbaude “Reizināšanas noteikums”. 1. iespēja.

1) –13 * 5

A. –75. B. – 65. V. 65. D. 650.

2) –5 * (–33)

A. 165. B. –165. V. 350 G. –265.

3) –18 * (–9)

A. –162. B. 180. C. 162. D. 172.

4) –7 * (–11) * (–1)

A. 77. B. 0. C.–77. G. 72.

Pārbaude “Reizināšanas noteikums”. 2. iespēja.

A. 84. B. 74. C. –84. G. 90.

2) –15 * (–6)

A. 80. B. –90. V. 60. D. 90.

A. 115. B. –165. V. 165. G. 0.

4) –6 * (–12) * (–1)

A. 60. B. –72. V. 72. G. 54.

VII. Mājasdarbs.

35.punkts, noteikumi, Nr.1143 (a – h), Nr.1145 (c).

Literatūra.

1) Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. “Matemātika 6. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm”, - M: “Mnemosyne”, 2013.g.

2) Česnokovs A.S., Ņeškovs K.I. “Didaktiskie materiāli matemātikā 6. klasei”, M: “Prosveščenie”, 2013.

3) Nikolskis S.M. un citi “Aritmētika 6”: mācību grāmata izglītības iestādēm, M: “Prosveshchenie”, 2010. g.

4) Eršova A.P., Goloborodko V.V. “Neatkarīga un pārbaudes darbi matemātikā 6. klasei.” M: “Ilexa”, 2010. gads.

5) “365 uzdevumi atjautībai”, sastādītāja G. Golubkova, M: “AST-PRESS”, 2006.g.

6) “Lieliska enciklopēdija Kirils un Metodijs 2010”, 3 CD.

Šajā rakstā mēs sapratīsim procesu negatīvu skaitļu reizināšana. Pirmkārt, mēs formulējam noteikumu negatīvu skaitļu reizināšanai un pamatojam to. Pēc tam mēs pāriesim pie tipisku piemēru risināšanas.

Lapas navigācija.

Mēs to tūlīt paziņosim negatīvu skaitļu reizināšanas noteikums: lai reizinātu divus negatīvus skaitļus, jums jāreizina to absolūtās vērtības.

Uzrakstīsim šo noteikumu, izmantojot burtus: jebkuriem negatīviem reāliem skaitļiem −a un −b (šajā gadījumā skaitļi a un b ir pozitīvi), ir patiesa šāda vienādība: (-a)·(-b)=a·b .

Pierādīsim negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu, tas ir, pierādīsim vienādību (−a)·(−b)=a·b.

Rakstā par skaitļu reizināšanu ar dažādām zīmēm pamatojām vienādības a·(−b)=−a·b pamatotību, līdzīgi parādīts, ka (−a)·b=−a·b. Šie rezultāti un pretējo skaitļu īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. Tas pierāda negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu.

No iepriekš minētā reizināšanas noteikuma ir skaidrs, ka divu negatīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis. Patiešām, tā kā jebkura skaitļa modulis ir pozitīvs, moduļu reizinājums ir arī pozitīvs skaitlis.

Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka aplūkoto noteikumu var izmantot, lai reizinātu reālus skaitļus, racionālie skaitļi un veseli skaitļi.

Ir pienācis laiks to sakārtot divu negatīvu skaitļu reizināšanas piemēri, risinot izmantosim iepriekšējā punktā iegūto noteikumu.

Reiziniet divus negatīvus skaitļus –3 un –5.

Reizināmo skaitļu moduļi ir attiecīgi 3 un 5. Šo skaitļu reizinājums ir 15 (ja nepieciešams, skatiet naturālo skaitļu reizinājumu), tātad sākotnējo skaitļu reizinājums ir 15.

Viss sākotnējo negatīvo skaitļu reizināšanas process ir īsi uzrakstīts šādi: (−3)·(−5)= 3·5=15.

Reizinot negatīvus racionālos skaitļus, izmantojot izjaukto kārtulu, var reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai, jauktu skaitļu reizināšanai vai decimāldaļu reizināšanai.

Aprēķiniet reizinājumu (−0,125)·(−6) .

Saskaņā ar negatīvo skaitļu reizināšanas noteikumu mums ir (−0,125)·(−6)=0,125·6. Atliek tikai pabeigt aprēķinus, veiksim reizināšanu decimālzīme ieslēgts dabiskais skaitlis kolonna:

Visbeidzot, ņemiet vērā, ka, ja viens vai abi faktori ir iracionāli skaitļi, kas norādīti sakņu, logaritmu, pakāpju utt. veidā, tad to reizinājums bieži ir jāraksta kā skaitliska izteiksme. Iegūtās izteiksmes vērtību aprēķina tikai nepieciešamības gadījumā.

Reiziniet negatīvu skaitli ar negatīvu skaitli.

Vispirms atradīsim reizināmo skaitļu moduļus: un (skat. logaritma īpašības). Tad saskaņā ar negatīvo skaitļu reizināšanas likumu mums ir. Iegūtais produkts ir atbilde.

Varat turpināt tēmas izpēti, atsaucoties uz sadaļu reālo skaitļu reizināšana.

Ar zināmu izstiepumu tas pats skaidrojums attiecas uz preci 1-5, ja pieņemam, ka “summa” ir no viena vienīga

termins ir vienāds ar šo terminu. Bet reizinājumu 0 5 vai (-3) 5 nevar izskaidrot šādi: ko nozīmē nulles vai mīnus trīs vārdu summa?

Tomēr jūs varat pārkārtot faktorus

Ja mēs vēlamies, lai reizinājums nemainītos, kad faktori tiek pārkārtoti (kā tas bija pozitīviem skaitļiem), tad mums jāpieņem, ka

Tagad pāriesim pie produkta (-3) (-5). Ar ko tas ir vienāds: -15 vai +15? Abām iespējām ir iemesls. No vienas puses, mīnuss vienā faktorā jau padara produktu negatīvu - vēl jo vairāk tam vajadzētu būt negatīvam, ja abi faktori ir negatīvi. No otras puses, tabulā. 7 jau ir divi mīnusi, bet tikai viens pluss, un “taisnības labad” (-3)-(-5) jābūt vienādam ar +15. Tātad, kuram vajadzētu dot priekšroku?

Protams, jūs nemulsināsit šādas runas: no skolas kurss matemātiķi Jūs esat stingri iemācījušies, ka mīnus ar mīnusu dod plusu. Bet iedomājieties, ka jūsu jaunākais brālis vai māsa jums jautā: kāpēc? Kas tas ir - skolotāja kaprīze, augstāku iestāžu rīkojums vai teorēma, ko var pierādīt?

Parasti negatīvu skaitļu reizināšanas noteikums tiek izskaidrots ar piemēriem, piemēram, tabulā sniegtajiem piemēriem. 8.

To var izskaidrot dažādi. Rakstīsim skaitļus pēc kārtas

Negatīvo skaitļu saskaitīšana Pozitīvo un negatīvo skaitļu saskaitīšanu var analizēt, izmantojot skaitļu līniju. Ciparu pievienošana, izmantojot koordinātu līniju Mazus moduļu skaitļus ir ērti pievienot, izmantojot [...]
Vārda nozīme Paskaidrojiet vārdu nozīmi: likums, augļotājs, vergs-parādnieks. Paskaidrojiet vārdu nozīmi: likums, augļotājs, vergs-parādnieks. GARDĀS ZEMENES (Viesu) Skolas Jautājumi par tēmu 1. Kādus 3 veidus var iedalīt […]
Vienotā nodokļa likme - 2018 Vienotā nodokļa likme - 2018 pirmās un otrās grupas uzņēmējiem-fiziskām personām tiek aprēķināta procentos no lieluma iztikas minimums un 1. janvārī noteiktā minimālā alga […]
Vai jums ir nepieciešama atļauja izmantot radio automašīnā? kur es to varu izlasīt? Jebkurā gadījumā radiostacija ir jāreģistrē. Rācijas, kas darbojas ar frekvenci 462MHz, ja neesat Iekšlietu ministrijas pārstāvis, nav […]
Eksāmenu biļetes Satiksmes noteikumu kategorija SD 2018 Eksāmenu biļetes CD STSI 2018 Oficiālās SD kategorijas 2018 eksāmenu biļetes. Biļetes un komentāri ir balstīti uz satiksmes noteikumiem no 2018. gada 18. jūlija […]
Kursi svešvalodas Kijevā "Eiropas izglītība" angļu itāļu holandiešu norvēģu islandiešu vjetnamiešu birmiešu bengāļu singāļu tagalogu nepālas malagasu visur, kur jūs […]

Tagad rakstīsim tos pašus skaitļus, kas reizināti ar 3:

Ir viegli pamanīt, ka katrs skaitlis ir par 3 vairāk nekā iepriekšējais. Tagad ierakstīsim tos pašus skaitļus apgrieztā secībā (sākot, piemēram, ar 5 un 15):

Turklāt zem skaitļa -5 bija skaitlis -15, tātad 3 (-5) = -15: plus ar mīnusu dod mīnusu.

Tagad atkārtosim to pašu procedūru, reizinot skaitļus 1,2,3,4,5. ar -3 (mēs jau zinām, ka plus ar mīnus dod mīnusu):

Katrs nākamais skaitlis apakšējā rindā ir par 3 mazāks nekā iepriekšējais Ierakstiet skaitļus apgrieztā secībā

Zem skaitļa -5 ir 15, tātad (-3) (-5) = 15.

Varbūt šie skaidrojumi jūs apmierina jaunākais brālis vai māsa. Bet jums ir tiesības jautāt, kā patiesībā ir, un vai ir iespējams pierādīt, ka (-3) (-5) = 15?

Atbilde šeit ir tāda, ka mēs varam pierādīt, ka (-3) (-5) ir jābūt vienādam ar 15, ja mēs vēlamies, lai parastās saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas īpašības paliktu patiesas visiem skaitļiem, ieskaitot negatīvos. Šī pierādījuma izklāsts ir šāds.

Vispirms pierādīsim, ka 3 (-5) = -15. Kas ir -15? Tas ir pretējs skaitlis 15, tas ir, skaitlis, kuru pievienojot 15, iegūst 0. Tātad mums ir jāpierāda, ka

(Izņemot no iekavas 3, mēs izmantojām sadalījuma likumu ab + ac = a(b + c) priekš - galu galā mēs pieņemam, ka tas paliek patiess visiem skaitļiem, ieskaitot negatīvos.) Tātad, (Skrupulais lasītājs mums jautās, kāpēc mēs godīgi atzīstam: mēs izlaižam šī fakta pierādīšanu, kā arī vispārīgu diskusiju par to, kas ir nulle.)

Tagad pierādīsim, ka (-3) (-5) = 15. Lai to izdarītu, mēs rakstām

un reiziniet abas vienādības puses ar -5:

Atvērsim iekavas kreisajā pusē:

i., (-3) (-5) + (-15) = 0. Tādējādi skaitlis ir pretējs skaitlim -15, t.i., vienāds ar 15. (Šajā argumentācijā ir arī nepilnības: būtu jāpierāda ka ir tikai viens skaitlis, kas ir pretējs -15.)

Noteikumi negatīvu skaitļu reizināšanai

Vai pareizi saprotam reizināšanu?

“A un B sēdēja uz caurules. A nokrita, B pazuda, kas palicis uz caurules?
"Jūsu vēstule es paliek."

(No filmas “Jaunieši Visumā”)

Kāpēc, reizinot skaitli ar nulli, tiek iegūta nulle?

Kāpēc, reizinot divus negatīvus skaitļus, tiek iegūts pozitīvs skaitlis?

Skolotāji nāk klajā ar visu iespējamo, lai sniegtu atbildes uz šiem diviem jautājumiem.

Bet nevienam nav drosmes atzīt, ka reizināšanas formulējumā ir trīs semantiskās kļūdas!

Vai pamata aritmētikā var kļūdīties? Galu galā matemātika sevi pozicionē kā eksakto zinātni.

Skolas matemātikas mācību grāmatas nesniedz atbildes uz šiem jautājumiem, skaidrojumus aizstājot ar noteikumu kopumu, kas jāiegaumē. Varbūt vidusskolā šo tēmu uzskata par grūti izskaidrojamu? Mēģināsim izprast šos jautājumus.

7 ir reizinātājs. 3 ir reizinātājs. 21-darbs.

Saskaņā ar oficiālo formulējumu:

reizināt skaitli ar citu skaitli nozīmē pievienot tik daudz reizinātāju, cik reizinātājs nosaka.

Saskaņā ar pieņemto formulējumu koeficients 3 norāda, ka vienādības labajā pusē jābūt trim septiņiem.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Taču šis reizināšanas formulējums nevar izskaidrot iepriekš uzdotos jautājumus.

Labosim reizināšanas formulējumu

Parasti matemātikā ir daudz kas domāts, bet par to nerunā un nepieraksta.

Tas attiecas uz plus zīmi pirms pirmajiem septiņiem vienādojuma labajā pusē. Pierakstīsim šo plusiņu.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Bet kam pieskaita pirmos septiņus? Tas, protams, nozīmē nulli. Pierakstīsim nulli.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Ko darīt, ja mēs reizinām ar trīs mīnus septiņi?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Mēs rakstām reizinātāja -7 pievienošanu, bet patiesībā mēs vairākas reizes atņemam no nulles. Atvērsim iekavas.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Tagad mēs varam sniegt rafinētu reizināšanas formulējumu.

Reizināšana ir process, kurā atkārtoti pieskaita (vai atņem no nulles) reizinātāju (-7) tik reižu, cik reizinātājs norāda. Reizinātājs (3) un tā zīme (+ vai -) norāda darbību skaitu, kas tiek pievienotas nullei vai atņemtas no tās.

Izmantojot šo precizēto un nedaudz pārveidoto reizināšanas formulējumu, ir viegli izskaidroti “zīmju noteikumi” reizināšanai, ja reizinātājs ir negatīvs.

7 * (-3) - aiz nulles ir jābūt trim mīnus zīmēm = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - atkal ir jābūt trim mīnusa zīmēm aiz nulles =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Reiziniet ar nulli

7 * 0 = 0 + . nav pieskaitīšanas nullei darbību.

Ja reizināšana ir nulles saskaitīšana un reizinātājs parāda saskaitīšanas ar nulli darbību skaitu, tad reizinātājs nulle parāda, ka nullei nekas netiek pievienots. Tāpēc tā paliek nulle.

Tātad esošajā reizināšanas formulējumā mēs atradām trīs semantiskās kļūdas, kas bloķē izpratni par diviem “zīmju likumiem” (kad reizinātājs ir negatīvs) un skaitļa reizināšanu ar nulli.

Jums nav jāpievieno reizinātājs, bet jāpievieno nullei.
Reizināšana ir ne tikai saskaitīšana ar nulli, bet arī atņemšana no nulles.
Reizinātājs un tā zīme parāda nevis vārdu skaitu, bet gan plusa vai mīnusa zīmju skaitu, sadalot reizinājumu terminos (vai atņemtajos).

Nedaudz precizējot formulējumu, mēs varējām izskaidrot zīmju noteikumus skaitļa reizināšanai un skaitļa reizināšanai ar nulli bez komutatīva reizināšanas likuma, bez sadales likuma, bez analoģijas ar skaitļa taisni, bez vienādojumiem. , bez pierādījumiem no apgrieztā u.c.

Zīmju noteikumi precīzai reizināšanas formulēšanai ir atvasināti ļoti vienkārši.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Reizinātājs un tā zīme (+3 vai -3) norāda “+” vai “-” zīmju skaitu vienādojuma labajā pusē.

Modificētais reizināšanas formulējums atbilst skaitļa paaugstināšanas darbībai pakāpē.

2^0 = 1 (viens netiek reizināts vai dalīts ar neko, tāpēc tas paliek viens)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matemātiķi ir vienisprātis, ka skaitļa paaugstināšana līdz pozitīvam pakāpēm nozīmē viena reizināšanu atkal un atkal. Un skaitļa paaugstināšana līdz negatīva pakāpe ir daudzkārtējs vienības dalījums.

Reizināšanas darbībai jābūt līdzīgai eksponenciālajai darbībai.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nullei nekas netiek pievienots un no nulles nekas netiek atņemts)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Modificētais reizināšanas formulējums matemātikā neko nemaina, bet atgriež reizināšanas darbības sākotnējo nozīmi, izskaidro “zīmju likumus”, reizinot skaitli ar nulli, un saskaņo reizināšanu ar kāpināšanu.

Pārbaudīsim, vai mūsu reizināšanas formulējums atbilst dalīšanas operācijai.

15: 5 = 3 (reizināšanas apgrieztā vērtība 5 * 3 = 15)

Koeficients (3) atbilst nulles (+3) saskaitīšanas operāciju skaitam reizināšanas laikā.

Skaitļa 15 dalīšana ar 5 nozīmē noteikt, cik reižu jums ir jāatņem 5 no 15. To veic ar secīgu atņemšanu, līdz tiek iegūts nulles rezultāts.

Lai atrastu dalīšanas rezultātu, jāsaskaita mīnusa zīmju skaits. Tādas ir trīs.

15: 5 = 3 darbības, atņemot piecus no 15, lai iegūtu nulli.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (dalījums 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (reizinot ar 5 * 3)

Sadaliet ar atlikumu.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 un 2 atlikums

Ja ir dalīšana ar atlikumu, kāpēc ne reizināt ar pielikumu?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Apskatīsim kalkulatora formulējuma atšķirību

Esošais reizināšanas formulējums (trīs termini).

10 + 10 + 10 = 30

Labots reizināšanas formulējums (trīs papildinājumi nulles darbībām).

0 + 10 = = = 30

(Trīs reizes nospiediet “vienāds”.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Reizinātājs 3 norāda, ka reizinātājs 10 trīs reizes jāpievieno nullei.

Mēģiniet reizināt (-10) * (-3), saskaitot terminu (-10) mīnus trīs reizes!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Ko nozīmē mīnusa zīme trīs? Varbūt tā?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Ops. Produktu nav iespējams sadalīt terminu summā (vai starpībā) (-10).

Pārskatītais formulējums to dara pareizi.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Reizinātājs (-3) norāda, ka reizinātājs (-10) trīs reizes jāatņem no nulles.

Saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi

Iepriekš mēs parādījām vienkāršu veidu, kā iegūt zīmju noteikumus reizināšanai, mainot reizināšanas formulējuma nozīmi.

Bet secinājumam mēs izmantojām saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumus. Tie ir gandrīz tādi paši kā reizināšanai. Veidosim saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumu vizualizāciju, lai to saprastu pat pirmklasnieks.

Kas ir “mīnus”, “negatīvs”?

Dabā nav nekā negatīva. Nē negatīva temperatūra, nav negatīva virziena, nav negatīvas masas, nav negatīvu lādiņu. Pat sinuss pēc savas būtības var būt tikai pozitīvs.

Bet matemātiķi nāca klajā ar negatīviem skaitļiem. Par ko? Ko nozīmē “mīnuss”?

Mīnuss nozīmē pretējs virziens. Pa kreisi pa labi. Augšējā apakšā. Pulksteņrādītāja virzienā - pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Uz priekšu un atpakaļ. Auksts - karsts. Viegli smags. Lēni - ātri. Ja padomājat, varat minēt daudzus citus piemērus, kur to ir ērti lietot negatīvas vērtības daudzumus

Pasaulē, ko mēs zinām, bezgalība sākas no nulles un iet uz plus bezgalību.

"Mīnus bezgalība" iekšā īstā pasaule neeksistē. Šī ir tāda pati matemātiskā vienošanās kā jēdziens “mīnuss”.

Tātad “mīnuss” apzīmē pretējo virzienu: kustību, rotāciju, procesu, reizināšanu, saskaitīšanu. Analizēsim dažādos virzienos saskaitot un atņemot pozitīvos un negatīvos (palielinot otrā virzienā) skaitļus.

Grūtības saprast saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumus ir saistītas ar to, ka šie noteikumi parasti tiek izskaidroti uz skaitļu līnijas. Uz skaitļu līnijas tiek sajaukti trīs dažādi komponenti, no kuriem tiek iegūti noteikumi. Un apjukuma dēļ, dažādu jēdzienu saplūšanas dēļ vienā kaudzē, rodas izpratnes grūtības.

Lai saprastu noteikumus, mums ir jāsadala:

pirmais termins un summa (tie būs uz horizontālās ass);
otrais termins (tas būs uz vertikālās ass);
saskaitīšanas un atņemšanas darbību virziens.

Šis sadalījums ir skaidri parādīts attēlā. Garīgi iedomājieties, ka vertikālā ass var griezties, pārklājoties ar horizontālo asi.

Pievienošanas darbība vienmēr tiek veikta, pagriežot vertikālo asi pulksteņrādītāja virzienā (plus zīme). Atņemšanas darbība vienmēr tiek veikta, pagriežot vertikālo asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam (mīnusa zīme).

Piemērs. Diagramma apakšējā labajā stūrī.

Var redzēt, ka divām blakus esošām mīnusa zīmēm (atņemšanas darbības zīmei un skaitļa 3 zīmei) ir atšķirīga nozīme. Pirmais mīnuss parāda atņemšanas virzienu. Otrais mīnuss ir skaitļa zīme uz vertikālās ass.

Atrodiet pirmo terminu (-2) uz horizontālās ass. Atrodiet otro terminu (-3) uz vertikālās ass. Garīgi pagrieziet vertikālo asi pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz (-3) sakrīt ar skaitli (+1) uz horizontālās ass. Skaitlis (+1) ir saskaitīšanas rezultāts.

dod tādu pašu rezultātu kā pievienošanas darbība diagrammā augšējā labajā stūrī.

Tāpēc divas blakus esošās mīnusa zīmes var aizstāt ar vienu plusa zīmi.

Mēs visi esam pieraduši izmantot gatavus aritmētikas noteikumus, nedomājot par to nozīmi. Tāpēc mēs bieži pat nepamanām, kā saskaitīšanas (atņemšanas) zīmju noteikumi atšķiras no reizināšanas (dalīšanas) zīmju noteikumiem. Vai tie šķiet vienādi? Gandrīz. Nākamajā attēlā var redzēt nelielu atšķirību.

Tagad mums ir viss, kas nepieciešams, lai iegūtu zīmju noteikumus reizināšanai. Izvades secība ir šāda.

Mēs uzskatāmi parādām, kā tiek iegūti saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi.
Mēs veicam semantiskas izmaiņas esošajā reizināšanas formulējumā.
Pamatojoties uz modificēto reizināšanas formulējumu un saskaitīšanas zīmju noteikumiem, mēs atvasinām zīmju reizināšanas noteikumus.

Zemāk ir rakstīts Saskaitīšanas un atņemšanas zīmju noteikumi, kas iegūts no vizualizācijas. Un sarkanā krāsā salīdzinājumam tie paši zīmju noteikumi no matemātikas mācību grāmatas. Pelēks pluss iekavās ir neredzams pluss, kas nav rakstīts pozitīvam skaitlim.

Starp terminiem vienmēr ir divas zīmes: darbības zīme un skaitļa zīme (mēs nerakstām plusu, bet mēs to domājam). Zīmju noteikumi paredz viena zīmju pāra aizstāšanu ar citu pāri, nemainot saskaitīšanas (atņemšanas) rezultātu. Patiesībā ir tikai divi noteikumi.

1. un 3. noteikums (vizualizācijai) - dublē 4. un 2. noteikumus.. 1. un 3. noteikums skolas interpretācijā nesakrīt ar vizuālo shēmu, tāpēc uz pievienošanas zīmju noteikumiem neattiecas. Tie ir daži citi noteikumi.

Skolas noteikums 1. (sarkans) ļauj aizstāt divus plusus pēc kārtas ar vienu plusu. Noteikums neattiecas uz saskaitīšanas un atņemšanas zīmju aizstāšanu.

Skolas noteikums 3. (sarkans) ļauj nerakstīt plus zīmi pozitīvam skaitlim pēc atņemšanas darbības. Noteikums neattiecas uz saskaitīšanas un atņemšanas zīmju aizstāšanu.

Zīmju pievienošanas noteikumu nozīme ir viena rakstzīmju PĀRA aizstāšana ar citu rakstzīmju PĀRI, nemainot pievienošanas rezultātu.

Skolas metodiķi sajauca divus noteikumus vienā noteikumā:

— divi zīmju noteikumi, saskaitot un atņemot pozitīvos un negatīvos skaitļus (viena zīmju pāra aizstāšana ar citu zīmju pāri);

- divi noteikumi, saskaņā ar kuriem jūs nevarat rakstīt plus zīmi pozitīvam skaitlim.

Divas dažādi noteikumi, sajaukti vienā, ir līdzīgi zīmju reizināšanas noteikumiem, kur divas zīmes rada trešo. Viņi izskatās tieši līdzīgi.

Liels apjukums! Atkal tas pats, labākai atšķetināšanai. Izcelsim darbības zīmes sarkanā krāsā, lai tās atšķirtu no ciparu zīmēm.

1. Saskaitīšana un atņemšana. Divi zīmju noteikumi, saskaņā ar kuriem tiek apmainīti zīmju pāri starp terminiem. Operācijas zīme un numura zīme.

2. Divi noteikumi, pēc kuriem plus zīmi pozitīvam skaitlim atļauts nerakstīt. Šie ir pieteikšanās veidlapas noteikumi. Neattiecas uz pievienošanu. Pozitīvam skaitlim raksta tikai darbības zīmi.

3. Četri zīmju likumi reizināšanai. Ja divas faktoru pazīmes rada trešo produkta pazīmi. Reizināšanas zīmju noteikumi satur tikai skaitļu zīmes.

Tagad, kad esam atdalījuši formas noteikumus, ir jābūt skaidram, ka saskaitīšanas un atņemšanas zīmju likumi nepavisam nav līdzīgi reizināšanas zīmju likumiem.

"Noteikums negatīvu skaitļu un skaitļu ar dažādām zīmēm reizināšanai." 6. klase

Prezentācija nodarbībai

Lejupielādēt prezentāciju (622,1 kB)

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķi.

Temats:

formulēt noteikumu negatīvu skaitļu un skaitļu reizināšanai ar dažādām zīmēm,
iemācīt studentiem piemērot šo noteikumu.

Metasubjekts:

attīstīt spēju strādāt saskaņā ar piedāvāto algoritmu, sastādīt savu darbību plānu,
attīstīt paškontroles prasmes.

Personīgi:

attīstīt komunikācijas prasmes,
veidot skolēnu izziņas interesi.

Aprīkojums: dators, ekrāns, multimediju projektors, PowerPoint prezentācija, izdales materiāli: ierakstīšanas noteikumu tabula, testi.

(N.Ya. Viļenkina mācību grāmata “Matemātika. 6. klase”, M: “Mnemosyne”, 2013.)

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

Stundas tēmas komunikācija un studentu tēmas ierakstīšana kladēs.

II. Motivācija.

Slaids numur 2. (Nodarbības mērķis. Nodarbības plāns).

Šodien mēs turpināsim pētīt svarīgu aritmētisko īpašību - reizināšanu.

Jūs jau zināt, kā reizināt naturālus skaitļus - verbāli un kolonniski,

III. Zināšanu atjaunināšana.

Atrisiniet vienādojumus: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Students pie tāfeles)

Secinājums: lai atrisinātu šādus vienādojumus, jums jāspēj reizināt dažādus skaitļus.

2) Patstāvīgi mājasdarbu pārbaude. Pārskatiet noteikumus decimāldaļu, daļskaitļu un jauktu skaitļu reizināšanai. (Slaidi Nr. 4 un Nr. 5).

IV. Noteikuma formulēšana.

Apsveriet 1. uzdevumu (6. slaids).

Apsveriet 2. uzdevumu (7. slaids).

Uzdevumu risināšanas procesā mums bija jāreizina skaitļi ar dažādām zīmēm un negatīviem skaitļiem. Apskatīsim šo reizinājumu un tā rezultātus tuvāk.

Reizinot skaitļus ar dažādām zīmēm, iegūstam negatīvu skaitli.

Apskatīsim citu piemēru. Atrodiet reizinājumu (–2) * 3, reizinājumu aizstājot ar identisku vārdu summu. Līdzīgi atrodiet produktu 3 * (–2). (Pārbaude - slaids Nr. 8).

Jautājumi:

1) Kāda ir rezultāta zīme, reizinot skaitļus ar dažādām zīmēm?

2) Kā tiek iegūts rezultātu modulis? Mēs formulējam noteikumu skaitļu reizināšanai ar dažādām zīmēm un ierakstām noteikumu tabulas kreisajā kolonnā. (9. slaids un 1. pielikums).

Noteikums negatīvu skaitļu un skaitļu ar dažādām zīmēm reizināšanai.

Atgriezīsimies pie otrā uzdevuma, kurā sareizinājām divus negatīvus skaitļus. Citādi šādu reizināšanu ir diezgan grūti izskaidrot.

Izmantosim skaidrojumu, ko tālajā 18. gadsimtā sniedza izcilais krievu zinātnieks (dzimis Šveicē), matemātiķis un mehāniķis Leonhards Eilers. (Leonards Eilers atstāja aiz sevis ne tikai zinātniskos darbus, bet arī uzrakstīja vairākas matemātikas mācību grāmatas, kas paredzētas akadēmiskās ģimnāzijas skolēniem).

Tāpēc Eilers rezultātu izskaidroja aptuveni šādi. (10. slaids).

Jautājumi:

1) Kāda ir produkta zīme?

2) Kā tika iegūts produkta modulis?

Mēs formulējam negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu un aizpildām tabulas labo kolonnu. (Slaids Nr. 11).

Lai reizināšanas laikā būtu vieglāk atcerēties zīmju likumu, varat izmantot tā formulējumu pantā. (Slaids Nr. 12).

Plus ar mīnus, reizinot,
Ielikām mīnusu bez žāvāšanās.
Reiziniet mīnusu ar mīnusu
Atbildot ieliksim plusu!

V. Prasmju veidošanās.

Uzzināsim, kā piemērot šo noteikumu aprēķiniem. Šodien nodarbībā veiksim aprēķinus tikai ar veseliem skaitļiem un decimāldaļskaitļiem.

1) Rīcības plāna sastādīšana.

Tiek izstrādāta noteikuma piemērošanas shēma. Uz tāfeles tiek veiktas piezīmes. Aptuvenā diagramma uz slaida Nr.13.

2) Darbību veikšana saskaņā ar shēmu.

3) Darbs pa pāriem.

Uzdevums 15. slaidā.

Papildus uzdevums tiem pāriem, kuri darbu beidz agrāk: Nr.1125.

Darba beigās tiek veikta pārbaude, izmantojot gatavu risinājumu, kas atrodas uz slaida Nr. 15 (tiek izmantota animācija).

Ja daudziem izdevās atrisināt Nr.1125, tad tiek secināts, ka skaitļa zīme mainās, reizinot ar (?1).

4) Psiholoģiskā atvieglošana.

5) Patstāvīgais darbs.

Patstāvīgais darbs - teksts uz slaida Nr.17. Pēc darba izpildes - pašpārbaude, izmantojot gatavu risinājumu (slaids Nr.17 - animācija, hipersaite uz slaidu Nr.18).

VI. Pētītā materiāla asimilācijas līmeņa pārbaude. Atspulgs.

Studenti kārto testu. Uz tās pašas lapiņas novērtējiet savu darbu klasē, aizpildot tabulu.

Pārbaude “Reizināšanas noteikums”. 1. iespēja.

Negatīvu skaitļu reizināšana: noteikums, piemēri

Šajā rakstā mēs formulēsim negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu un sniegsim tam skaidrojumu. Negatīvo skaitļu reizināšanas process tiks detalizēti apspriests. Piemēri parāda visus iespējamos gadījumus.

Negatīvo skaitļu reizināšana

Noteikums negatīvu skaitļu reizināšanai ir tas, ka, lai reizinātu divus negatīvus skaitļus, ir jāreizina to moduļi. Šis noteikums raksta šādi: jebkuriem negatīviem skaitļiem – a, – b, šī vienādība tiek uzskatīta par patiesu.

Iepriekš ir noteikums divu negatīvu skaitļu reizināšanai. Pamatojoties uz to, pierādām izteiksmi: (— a) · (— b) = a · b. Rakstā skaitļu reizināšana ar dažādām zīmēm saka, ka ir spēkā vienādības a · (- b) = - a · b, kā arī (- a) · b = - a · b. Tas izriet no pretējo skaitļu īpašības, kuru dēļ vienādības tiks uzrakstītas šādi:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Šeit jūs varat skaidri redzēt negatīvu skaitļu reizināšanas noteikuma pierādījumu. Pamatojoties uz piemēriem, ir skaidrs, ka divu negatīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis. Reizinot skaitļu moduļus, rezultāts vienmēr ir pozitīvs skaitlis.

Šis noteikums ir piemērojams reālu skaitļu, racionālu skaitļu un veselu skaitļu reizināšanai.

Negatīvu skaitļu reizināšanas piemēri

Tagad sīkāk aplūkosim divu negatīvu skaitļu reizināšanas piemērus. Aprēķinot, jums jāizmanto iepriekš rakstītais noteikums.

Reiziniet skaitļus - 3 un - 5.

Risinājums.

Divu reizināmo skaitļu absolūtā vērtība ir vienāda ar pozitīvajiem skaitļiem 3 un 5. Viņu produkts iegūst 15. No tā izriet, ka doto skaitļu reizinājums ir 15

Īsi pierakstīsim pašu negatīvo skaitļu reizinājumu:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Atbilde: (- 3) · (- 5) = 15.

Reizinot negatīvos racionālos skaitļus, izmantojot apspriesto noteikumu, var mobilizēties, lai reizinātu daļdaļas, reizinātu jauktos skaitļus, reizinātu decimāldaļas.

Aprēķiniet reizinājumu (— 0 , 125) · (— 6) .

Izmantojot negatīvu skaitļu reizināšanas noteikumu, iegūstam, ka (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Lai iegūtu rezultātu, decimāldaļdaļa jāreizina ar naturālo kolonnu skaitu. Tas izskatās šādi:

Mēs noskaidrojām, ka izteiksme būs formā (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Atbilde: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

Gadījumā, ja faktori ir iracionāli skaitļi, tad to reizinājumu var ierakstīt formā skaitliskā izteiksme. Vērtība tiek aprēķināta tikai nepieciešamības gadījumā.

Negatīvo - 2 nepieciešams reizināt ar nenegatīvo log 5 1 3 .

Doto skaitļu moduļu atrašana:

- 2 = 2 un log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Ievērojot negatīvo skaitļu reizināšanas noteikumus, iegūstam rezultātu - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Šis izteiciens ir atbilde.

Atbilde: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Lai turpinātu tēmas izpēti, jums jāatkārto sadaļa par reālo skaitļu reizināšanu.

1. uzdevums. Punkts kustas taisnā līnijā no kreisās uz labo pusi ar ātrumu 4 dm. sekundē un šobrīd iet caur punktu A. Kur būs kustīgais punkts pēc 5 sekundēm?

Nav grūti izdomāt, ka punkts būs pie 20 dm. pa labi no A. Rakstīsim šīs problēmas risinājumu relatīvos skaitļos. Lai to izdarītu, mēs vienojamies par šādiem simboliem:

1) ātrums pa labi tiks apzīmēts ar zīmi +, bet pa kreisi ar zīmi –, 2) kustības punkta attālums no A pa labi tiks apzīmēts ar zīmi + un pa kreisi ar zīmi + zīme –, 3) laika periods pēc tagadnes brīža ar zīmi + un pirms tagadnes brīža ar zīmi –. Mūsu uzdevumā ir doti šādi skaitļi: ātrums = + 4 dm. sekundē, laiks = + 5 sekundes un izrādījās, kā aritmētiski noskaidrojām, skaitlis + 20 dm., kas izsaka kustīgā punkta attālumu no A pēc 5 sekundēm. Pamatojoties uz problēmas nozīmi, mēs redzam, ka tā ir saistīta ar reizināšanu. Tāpēc ir ērti uzrakstīt problēmas risinājumu:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

2. uzdevums. Punkts kustas taisnā līnijā no kreisās uz labo pusi ar ātrumu 4 dm. sekundē un šobrīd iet caur punktu A. Kur šis punkts bija pirms 5 sekundēm?

Atbilde ir skaidra: punkts bija pa kreisi no A 20 dm attālumā.

Risinājums ir ērts, atbilstoši nosacījumiem par zīmēm, un, paturot prātā, ka problēmas nozīme nav mainījusies, rakstiet šādi:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

3. uzdevums. Punkts kustas taisnā līnijā no labās uz kreiso ar ātrumu 4 dm. sekundē un šobrīd iet caur punktu A. Kur būs kustīgais punkts pēc 5 sekundēm?

Atbilde ir skaidra: 20 dm. pa kreisi no A. Tāpēc saskaņā ar tiem pašiem nosacījumiem attiecībā uz zīmēm mēs varam uzrakstīt šīs problēmas risinājumu šādi:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

4. uzdevums. Punkts virzās taisnā līnijā no labās uz kreiso ar ātrumu 4 dm. sekundē un šobrīd iet caur punktu A. Kur bija kustīgais punkts pirms 5 sekundēm?

Atbilde ir skaidra: 20 dm attālumā. pa labi no A. Tāpēc šīs problēmas risinājums jāraksta šādi:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Aplūkotās problēmas norāda, kā reizināšanas darbība ir jāattiecina uz relatīvajiem skaitļiem. Problēmās mums ir 4 skaitļu reizināšanas gadījumi ar visām iespējamām zīmju kombinācijām:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Visos četros gadījumos šo skaitļu absolūtās vērtības jāreizina ar zīmi +, ja faktoriem ir vienādas zīmes (1. un 4. gadījums); un zīme –, kad faktoriem ir dažādas zīmes(2. un 3. gadījums).

No šejienes mēs redzam, ka reizinājums nemainās no reizinātāja un reizinātāja pārkārtošanas.

Vingrinājumi.

Veiksim vienu aprēķina piemēru, kas ietver saskaitīšanu, atņemšanu un reizināšanu.

Lai nesajauktu darbību secību, pievērsīsim uzmanību formulai

Šeit ir uzrakstīta divu skaitļu pāru reizinājumu summa: tāpēc vispirms skaitlis a jāreizina ar skaitli b, pēc tam skaitlis c jāreizina ar skaitli d un tad jāsaskaita iegūtie reizinājumi. Arī vienād.

Vispirms skaitlis b jāreizina ar c un pēc tam iegūtais reizinājums jāatņem no a.

Ja būtu jāpievieno skaitļu a un b reizinājums ar c un iegūto summu jāreizina ar d, tad jāraksta: (ab + c)d (salīdzināt ar formulu ab + cd).

Ja būtu jāreizina starpība starp skaitļiem a un b ar c, mēs rakstītu (a – b)c (salīdzināt ar formulu a – bc).

Tāpēc vispārīgi noteiksim, ja darbību secība nav norādīta iekavās, tad vispirms ir jāveic reizināšana un pēc tam jāsaskaita vai jāatņem.

Sāksim aprēķināt izteiksmi: vispirms veiksim papildinājumus, kas rakstīti visās mazajās iekavās, mēs iegūstam:

Tagad mums ir jāveic reizināšana kvadrātiekavās un pēc tam jāatņem iegūtais reizinājums no:

Tagad veiksim darbības savītās iekavās: vispirms reizināšanu un pēc tam atņemšanu:

Tagad atliek tikai veikt reizināšanu un atņemšanu:

16. Vairāku faktoru rezultāts. Lai tas tiek prasīts atrast

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Šeit jums jāreizina pirmais skaitlis ar otro, iegūtais reizinājums ar 3. utt. Pamatojoties uz iepriekšējo, nav grūti noteikt, ka visu skaitļu absolūtās vērtības ir jāreizina savā starpā.

Ja visi faktori bija pozitīvi, tad, pamatojoties uz iepriekšējo, mēs atklāsim, ka precei ir jābūt arī + zīmei. Ja kāds faktors bija negatīvs

piemēram, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

tad visu pirms tā esošo faktoru reizinājums dotu + zīmi (mūsu piemērā (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, reizinot iegūto reizinājumu ar negatīvu skaitli (mūsu piemērā + 24 reizināts ar –1), reizinot to ar nākamo pozitīvo koeficientu (mūsu piemērā –24 ar +5), mēs atkal iegūstam negatīvu skaitli, jo visi pārējie faktori tiek pieņemti kā pozitīvi; preces zīme vairs nevar mainīties.

Ja būtu divi negatīvi faktori, tad, spriežot kā iepriekš, mēs konstatētu, ka sākumā, kamēr mēs nesasniegsim pirmo negatīvo faktoru, produkts būtu pozitīvs, reizinot to ar pirmo negatīvo faktoru, jaunais produkts izrādītos būt negatīvam, un tā tas būtu, līdz mēs sasniedzam otro negatīvo faktoru. Tad, reizinot negatīvu skaitli ar negatīvu, jaunais produkts būtu pozitīvs, kas tāds paliks arī turpmāk, ja pārējie faktori būs pozitīvi.

Ja būtu trešais negatīvais faktors, tad iegūtais pozitīvais produkts, to reizinot ar šo trešo negatīvo faktoru, kļūtu negatīvs; tas tā arī paliktu, ja visi pārējie faktori būtu pozitīvi. Bet, ja ir ceturtais negatīvais faktors, tad, reizinot ar to, produkts kļūs pozitīvs. Spriežot tādā pašā veidā, mēs secinām, ka kopumā:

Lai noskaidrotu vairāku faktoru reizinājuma zīmi, ir jāskatās, cik no šiem faktoriem ir negatīvi: ja tādu nav vispār vai ir pāra skaitlis, tad produkts ir pozitīvs: ja faktori ir negatīvi nepāra skaitlis, tad produkts ir negatīvs.

Tāpēc tagad mēs to varam viegli uzzināt

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Tagad nav grūti redzēt, ka darba zīme, kā arī tā absolūtā vērtība, nav atkarīgi no faktoru secības.

Strādājot ar daļskaitļiem, ir ērti nekavējoties atrast produktu:

Tas ir ērti, jo jums nav jāveic bezjēdzīgi reizinājumi, jo iepriekš iegūtais daļēja izteiksme tiek samazināts, cik vien iespējams.

5. tabula

6. tabula

Ar zināmu izstiepumu tas pats skaidrojums attiecas uz preci 1-5, ja pieņemam, ka “summa” ir no viena vienīga

termins ir vienāds ar šo terminu. Bet reizinājumu 0 5 vai (-3) 5 nevar izskaidrot šādi: ko nozīmē nulles vai mīnus trīs vārdu summa?

Tomēr jūs varat pārkārtot faktorus

Ja mēs vēlamies, lai reizinājums nemainītos, kad faktori tiek pārkārtoti (kā tas bija pozitīviem skaitļiem), tad mums jāpieņem, ka

7. tabula

Protams, šādas runas jūs nemulsinās: no skolas matemātikas kursa jūs esat stingri iemācījušies, ka mīnus ar mīnusu dod plusu. Bet iedomājieties, ka jūsu jaunākais brālis vai māsa jums jautā: kāpēc? Kas tas ir - skolotāja kaprīze, augstāku iestāžu rīkojums vai teorēma, ko var pierādīt?

Parasti negatīvu skaitļu reizināšanas noteikums tiek izskaidrots ar piemēriem, piemēram, tabulā sniegtajiem piemēriem. 8.

8. tabula

To var izskaidrot dažādi. Rakstīsim skaitļus pēc kārtas

Tagad rakstīsim tos pašus skaitļus, kas reizināti ar 3:

Ir viegli pamanīt, ka katrs skaitlis ir par 3 vairāk nekā iepriekšējais. Tagad ierakstīsim tos pašus skaitļus apgrieztā secībā (sākot, piemēram, ar 5 un 15):

Turklāt zem skaitļa -5 bija skaitlis -15, tātad 3 (-5) = -15: plus ar mīnusu dod mīnusu.

Tagad atkārtosim to pašu procedūru, reizinot skaitļus 1,2,3,4,5 ... ar -3 (mēs jau zinām, ka plus ar mīnus dod mīnusu):

Katrs nākamais skaitlis apakšējā rindā ir par 3 mazāks nekā iepriekšējais Ierakstiet skaitļus apgrieztā secībā

un turpināt:

Zem skaitļa -5 ir 15, tātad (-3) (-5) = 15.

Varbūt šie paskaidrojumi apmierinātu jūsu jaunāko brāli vai māsu. Bet jums ir tiesības jautāt, kā patiesībā ir, un vai ir iespējams pierādīt, ka (-3) (-5) = 15?

Vispirms pierādīsim, ka 3 (-5) = -15. Kas ir -15? Tas ir pretējs skaitlis 15, tas ir, skaitlis, kuru pievienojot 15, iegūst 0. Tātad mums ir jāpierāda, ka

Tagad tiksim galā ar reizināšana un dalīšana.

Pieņemsim, ka mums ir jāreizina +3 ar -4. Kā to izdarīt?

Apskatīsim šādu gadījumu. Trīs cilvēki ir parādā, un katram ir 4 USD parāds. Kāds ir kopējais parāds? Lai to atrastu, jāsaskaita visi trīs parādi: 4 dolāri + 4 dolāri + 4 dolāri = 12 dolāri. Mēs nolēmām, ka trīs skaitļu 4 pievienošana tiek apzīmēta kā 3x4. Tā kā šajā gadījumā mēs runājam par parādu, pirms 4 ir zīme “-”. Mēs zinām, ka kopējais parāds ir 12 ASV dolāri, tāpēc mūsu problēma tagad kļūst par 3x(-4)=-12.

Mēs iegūsim tādu pašu rezultātu, ja atbilstoši problēmai katram no četriem cilvēkiem ir parāds 3 USD apmērā. Citiem vārdiem sakot, (+4)x(-3)=-12. Un tā kā faktoru secībai nav nozīmes, mēs iegūstam (-4)x(+3)=-12 un (+4)x(-3)=-12.

Apkoposim rezultātus. Reizinot vienu pozitīvu skaitli un vienu negatīvu skaitli, rezultāts vienmēr būs negatīvs skaitlis. Atbildes skaitliskā vērtība būs tāda pati kā pozitīvu skaitļu gadījumā. Produkts (+4)x(+3)=+12. Zīmes “-” klātbūtne ietekmē tikai zīmi, bet neietekmē skaitlisko vērtību.

Kā reizināt divus negatīvus skaitļus?

Diemžēl par šo tēmu ir ļoti grūti izdomāt piemērotu piemēru no dzīves. Ir viegli iedomāties 3 vai 4 dolāru parādu, bet ir absolūti neiespējami iedomāties -4 vai -3 cilvēkus, kas iekļuvuši parādos.

Varbūt mēs iesim citu ceļu. Reizinot, mainoties kāda no faktoriem zīmei, mainās reizinājuma zīme. Ja mainām abu faktoru pazīmes, mums ir jāmaina divas reizes darba zīme, vispirms no pozitīvas uz negatīvu, un pēc tam otrādi, no negatīva uz pozitīvu, tas ir, produktam būs sākotnējā zīme.

Tāpēc ir diezgan loģiski, kaut arī nedaudz dīvaini, ka (-3) x (-4) = +12.

Zīmes pozīcija reizinot, tas mainās šādi:

pozitīvs skaitlis x pozitīvs skaitlis = pozitīvs skaitlis;
negatīvs skaitlis x pozitīvs skaitlis = negatīvs skaitlis;
pozitīvs skaitlis x negatīvs skaitlis = negatīvs skaitlis;
negatīvs skaitlis x negatīvs skaitlis = pozitīvs skaitlis.

Citiem vārdiem sakot, reizinot divus skaitļus ar vienādām zīmēm, iegūstam pozitīvu skaitli. Reizinot divus skaitļus ar dažādām zīmēm, iegūstam negatīvu skaitli.

Tas pats noteikums attiecas uz darbību, kas ir pretēja reizināšanai - par.

To var viegli pārbaudīt, palaižot apgrieztās reizināšanas darbības. Katrā no iepriekš minētajiem piemēriem, ja jūs reizinat koeficientu ar dalītāju, jūs iegūsit dividendi un pārliecinieties, vai tai ir tāda pati zīme, piemēram, (-3)x(-4)=(+12).

Tā kā tuvojas ziema, laiks padomāt, pret ko nomainīt dzelzs zirga kurpes, lai neslīdētu uz ledus un justos pārliecināti uz ziemas ceļiem. Jūs varat, piemēram, iegādāties Yokohama riepas vietnē: mvo.ru vai dažas citas, galvenais, lai tās būtu augstas kvalitātes, vairāk informācijas un cenas varat uzzināt vietnē Mvo.ru.