Kā reizināt skaitļus ar dažādiem saucējiem. Noteikumi daļskaitļu reizināšanai un dalīšanai ar veseliem skaitļiem

Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli nav grūts uzdevums. Bet ir smalkumi, kurus jūs, iespējams, sapratāt skolā, bet pēc tam esat aizmirsis.

Kā reizināt veselu skaitli ar daļu - daži termini

Ja atceraties, kas ir skaitītājs un saucējs un kā pareiza daļdaļa atšķiras no nepareizas, izlaidiet šo rindkopu. Tas ir paredzēts tiem, kuri ir pilnībā aizmirsuši teoriju.

Skaitītājs ir daļskaitļa augšējā daļa — tas, ko mēs dalām. Saucējs ir mazāks. Tas ir tas, ar ko mēs dalāmies.
Pareiza daļa ir tā, kuras skaitītājs ir mazāks par tā saucēju. Nepareiza daļdaļa ir tā, kuras skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar tā saucēju.

Kā reizināt veselu skaitli ar daļu

Noteikums vesela skaitļa reizināšanai ar daļskaitli ir ļoti vienkāršs - mēs reizinām skaitītāju ar veselu skaitli, bet nepieskaramies saucējam. Piemēram: divi reizināti ar vienu piektdaļu - mēs iegūstam divas piektdaļas. Četri reizināti ar trim sešpadsmitdaļām ir vienādi ar divpadsmit sešpadsmitdaļām.

Samazinājums

Otrajā piemērā iegūto daļu var samazināt.
Ko tas nozīmē? Lūdzu, ņemiet vērā, ka gan šīs frakcijas skaitītājs, gan saucējs dalās ar četri. Sadaliet abus skaitļus ar kopīgs dalītājs un to sauc par daļas samazināšanu. Mēs saņemam trīs ceturtdaļas.

Nepareizas frakcijas

Bet pieņemsim, ka mēs reizinām četrus ar divām piektdaļām. Izrādījās astoņas piektdaļas. Šī ir nepareiza daļa.
Tas noteikti ir jāieved pareizā formā. Lai to izdarītu, no tā ir jāizvēlas visa daļa.
Šeit jums ir jāizmanto dalīšana ar atlikumu. Mēs iegūstam vienu un trīs kā atlikumu.
Viena vesela un trīs piektdaļas ir mūsu pareizā daļa.

Trīsdesmit piecas astotdaļas ir nedaudz sarežģītāk. Vistuvākais skaitlis trīsdesmit septiņiem, kas dalās ar astoņiem, ir trīsdesmit divi. Sadalot, mēs iegūstam četrus. No trīsdesmit pieci atņem trīsdesmit divus, un mēs iegūstam trīs. Rezultāts: četras veselas un trīs astotdaļas.

Skaitītāja un saucēja vienādība. Un šeit viss ir ļoti vienkārši un skaisti. Ja skaitītājs un saucējs ir vienādi, rezultāts ir vienkārši viens.

Iepriekšējā reizē mēs iemācījāmies saskaitīt un atņemt daļskaitļus (skat. nodarbību “Daļskaitļu pievienošana un atņemšana”). Sarežģītākā šo darbību daļa bija daļskaitļu apvienošana līdz kopsaucējam.

Tagad ir pienācis laiks nodarboties ar reizināšanu un dalīšanu. Labas ziņas ir tas, ka šīs darbības ir pat vienkāršākas nekā saskaitīšana un atņemšana. Vispirms apskatīsim vienkāršāko gadījumu, kad ir divas pozitīvas daļas bez atdalītas vesela skaitļa daļas.

Lai reizinātu divas daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi. Pirmais cipars būs jaunās daļas skaitītājs, bet otrais – saucējs.

Lai sadalītu divas daļas, pirmā daļa jāreizina ar “apgriezto” otro daļu.

Apzīmējums:

No definīcijas izriet, ka daļskaitļu dalīšana tiek samazināta līdz reizināšanai. Lai “apgrieztu” daļskaitli, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Tāpēc visas nodarbības laikā mēs galvenokārt apsvērsim reizināšanu.

Reizināšanas rezultātā var rasties (un bieži vien arī rodas) reducējama daļa - tā, protams, ir jāsamazina. Ja pēc visiem samazinājumiem daļa izrādās nepareiza, ir jāizceļ visa daļa. Taču tas, kas noteikti nenotiks ar reizināšanu, ir samazinājums līdz kopsaucējam: nav krustenisku metožu, lielākie faktori un mazākie kopējie reizinātāji.

Pēc definīcijas mums ir:

Daļskaitļu reizināšana ar veselām daļām un negatīvajām daļām

Ja tas ir frakcijās visa daļa, tie ir jāpārvērš par nepareizajiem - un tikai pēc tam jāreizina saskaņā ar iepriekš aprakstītajām shēmām.

Ja daļskaitļa skaitītājā, saucējā vai tā priekšā ir mīnuss, to var izņemt no reizināšanas vai noņemt pavisam saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Pluss ar mīnusu dod mīnusu;
Divi negatīvi padara apstiprinošu.

Līdz šim ar šiem noteikumiem ir nācies saskarties tikai saskaitot un atņemot. negatīvās daļas kad vajadzēja atbrīvoties no veselas daļas. Darbam tos var vispārināt, lai vienlaikus “sadedzinātu” vairākus trūkumus:

Mēs izsvītrojam negatīvus pa pāriem, līdz tie pilnībā izzūd. Ārkārtējos gadījumos var izdzīvot viens mīnuss - tas, kuram nebija biedra;
Ja mīnusu nav palicis, darbība ir pabeigta - var sākt reizināt. Ja pēdējais mīnuss nav izsvītrots, jo tam nebija pāra, mēs to izņemam ārpus reizināšanas robežām. Rezultāts ir negatīva daļa.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Mēs pārvēršam visas daļskaitļus par nepareizajām un pēc tam no reizināšanas izņemam mīnusus. Mēs reizinām to, kas paliek, saskaņā ar parastajiem noteikumiem. Mēs iegūstam:

Vēlreiz atgādināšu, ka mīnuss, kas parādās pirms daļskaitļa ar izceltu veselo daļu, attiecas tieši uz visu daļu, nevis tikai uz visu tās daļu (tas attiecas uz pēdējiem diviem piemēriem).

Ņemiet vērā arī negatīvi skaitļi: reizinot, tie tiek likti iekavās. Tas tiek darīts, lai atdalītu mīnusus no reizināšanas zīmēm un padarītu visu pierakstu precīzāku.

Frakciju samazināšana lidojuma laikā

Reizināšana ir ļoti darbietilpīga darbība. Skaitļi šeit izrādās diezgan lieli, un, lai vienkāršotu problēmu, varat mēģināt vēl vairāk samazināt daļu pirms reizināšanas. Patiešām, būtībā daļskaitļu skaitītāji un saucēji ir parastie faktori, un tāpēc tos var samazināt, izmantojot daļskaitļa pamatīpašību. Apskatiet piemērus:

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pēc definīcijas mums ir:

Visos piemēros samazinātie skaitļi un pāri palikušie ir atzīmēti ar sarkanu krāsu.

Lūdzu, ņemiet vērā: pirmajā gadījumā reizinātāji tika pilnībā samazināti. To vietā paliek vienības, kuras, vispārīgi runājot, nav jāraksta. Otrajā piemērā nebija iespējams panākt pilnīgu samazinājumu, taču kopējais aprēķinu apjoms joprojām samazinājās.

Tomēr nekad neizmantojiet šo paņēmienu, saskaitot un atņemot daļskaitļus! Jā, dažreiz ir līdzīgi skaitļi, kurus jūs vienkārši vēlaties samazināt. Lūk, paskaties:

Jūs to nevarat darīt!

Kļūda rodas tāpēc, ka, pievienojot daļskaitļa skaitītāju, parādās summa, nevis skaitļu reizinājums. Tāpēc nav iespējams piemērot daļskaitļa pamatīpašību, jo šajā īpašumā mēs runājam parīpaši par skaitļu reizināšanu.

Vienkārši nav citu iemeslu frakciju samazināšanai, tāpēc pareizais lēmums Iepriekšējais uzdevums izskatās šādi:

Pareizs risinājums:

Kā redzat, pareizā atbilde izrādījās ne tik skaista. Kopumā esiet uzmanīgi.

Šajā rakstā mēs apskatīsim jauktu skaitļu reizināšana. Pirmkārt, mēs izklāstīsim jauktu skaitļu reizināšanas noteikumu un apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus. Tālāk mēs runāsim par jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu. Visbeidzot, mēs iemācīsimies reizināt jauktu skaitli un kopējo daļskaitli.

Lapas navigācija.

Jauktu skaitļu reizināšana.

Jauktu skaitļu reizināšana var reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai. Lai to izdarītu, jauktos skaitļus ir pietiekami pārvērst nepareizās daļskaitļos.

Pierakstīsim to jauktu skaitļu reizināšanas noteikums:

Pirmkārt, jauktie skaitļi, kas tiek reizināti, jāaizstāj ar nepareizām daļskaitļiem;
Otrkārt, jums ir jāizmanto noteikums daļskaitļu reizināšanai ar daļām.

Apskatīsim piemērus šī noteikuma piemērošanai, reizinot jauktu skaitli ar jauktu skaitli.

Veikt jauktu skaitļu reizināšanu un .

Vispirms attēlosim jauktos skaitļus, kas tiek reizināti kā nepareizās daļskaitļi: Un . Tagad jauktu skaitļu reizināšanu varam aizstāt ar parasto daļskaitļu reizināšanu: . Piemērojot daļskaitļu reizināšanas noteikumu, mēs iegūstam . Rezultātā iegūtā daļa ir nereducējama (sk. reducējamās un nereducējamās daļas), taču tā ir nepareiza (sk. pareizās un nepareizās daļas), tāpēc, lai iegūtu galīgo atbildi, atliek izolēt visu daļu no nepareizās daļas: .

Rakstīsim visu risinājumu vienā rindā: .

Lai stiprinātu jauktu skaitļu reizināšanas prasmes, apsveriet iespēju atrisināt citu piemēru.

Veiciet reizināšanu.

Smieklīgi skaitļi un ir attiecīgi vienādi ar daļskaitļiem 13/5 un 10/9. Tad . Šajā posmā ir pienācis laiks atcerēties par daļskaitļa samazināšanu: aizstāt visus skaitļus daļā ar to sadalīšanos primārajos faktoros un veikt identisku faktoru samazināšanu.

Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšana

Pēc jaukta skaitļa aizstāšanas ar nepareizu daļskaitli, jaukta skaitļa reizināšana ar naturālu skaitli noved pie parastās daļskaitļa un naturālā skaitļa reizināšanas.

Reiziniet jauktu skaitli un naturālo skaitli 45.

Jaukts skaitlis ir vienāds ar daļskaitli . Aizstāsim skaitļus iegūtajā daļskaitlī ar to sadalīšanos pirmfaktoros, veiksim samazināšanu un pēc tam atlasīsim visu daļu: .

Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu dažreiz ērti var veikt, izmantojot reizināšanas sadalījuma īpašību attiecībā uz saskaitīšanu. Šajā gadījumā jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizinājums ir vienāds ar veselās skaitļa daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli un daļējās daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli, tas ir, .

Aprēķiniet produktu.

Aizstāsim jaukto skaitli ar veselo skaitļu un daļskaitļu daļu, pēc tam piemērojot reizināšanas sadales īpašību: .

Jauktu skaitļu un daļskaitļu reizināšana Visērtāk to reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai, attēlojot jaukto skaitli, kas tiek reizināts kā nepareiza daļa.

Reiziniet jaukto skaitli ar parasto daļskaitli 4/15.

Aizstājot jaukto skaitli ar daļskaitli, mēs iegūstam .

www.cleverstudents.ru

Daļskaitļu reizināšana

§ 140. Definīcijas. 1) Daļas reizināšana ar veselu skaitli tiek definēta tāpat kā veselu skaitļu reizināšana, proti: reizināt skaitli (reizinātāju) ar veselu skaitli (koeficientu) nozīmē sastādīt identisku vārdu summu, kurā katrs vārds ir vienāds ar reizinātāju un vārdu skaits ir vienāds ar reizinātāju.

Tātad reizināšana ar 5 nozīmē summas atrašanu:
2) Skaitļa (reizinātāja) reizināšana ar daļskaitli (koeficientu) nozīmē atrast šo reizinātāja daļu.

Tādējādi dotā skaitļa daļas atrašanu, ko mēs apsvērām iepriekš, mēs sauksim par reizināšanu ar daļu.

3) Skaitli (reizinātāju) reizināt ar jauktu skaitli (koeficientu) nozīmē reizinātāju vispirms ar reizinātāja veselo skaitļu, pēc tam ar reizinātāja daļu un šo divu reizinājumu rezultātus saskaitīt kopā.

Piemēram:

Tiek izsaukts skaitlis, kas iegūts pēc reizināšanas visos šajos gadījumos strādāt, t.i., tāpat kā reizinot veselus skaitļus.

No šīm definīcijām ir skaidrs, ka daļskaitļu reizināšana ir darbība, kas vienmēr ir iespējama un vienmēr ir nepārprotama.

§ 141. Šo definīciju lietderība. Lai saprastu, cik ieteicams aritmētikā ieviest pēdējās divas reizināšanas definīcijas, ņemsim vērā šādu problēmu:

Uzdevums. Vienmērīgi kustīgs vilciens veic 40 km stundā; kā uzzināt, cik kilometru šis vilciens nobrauks noteiktā stundu skaitā?

Ja mēs paliktu pie vienas reizināšanas definīcijas, kas norādīta veselu skaitļu aritmētikā (vienādu vārdu pievienošana), tad mūsu problēmai būtu trīs dažādi risinājumi, proti:

Ja dotais stundu skaits ir vesels skaitlis (piemēram, 5 stundas), tad, lai atrisinātu problēmu, ar šo stundu skaitu jāreizina 40 km.

Ja noteikts stundu skaits ir izteikts kā daļskaitlis (piemēram, stunda), tad šīs daļas vērtība būs jāatrod no 40 km.

Visbeidzot, ja dotais stundu skaits ir sajaukts (piemēram, stundas), tad 40 km būs jāreizina ar jauktajā skaitlī ietverto veselo skaitli un rezultātam jāpievieno vēl viena 40 km daļa, kas ir jauktajā skaitlī. numuru.

Mūsu sniegtās definīcijas ļauj mums sniegt vienu vispārīgu atbildi uz visiem šiem iespējamajiem gadījumiem:

jums jāreizina 40 km ar noteiktu stundu skaitu, lai kāds tas būtu.

Tādējādi, ja problēma ir attēlota vispārējs skats Tātad:

Vienmērīgi kustīgs vilciens stundā nobrauc v km. Cik kilometrus vilciens nobrauks t stundās?

tad, lai kādi būtu skaitļi v un t, mēs varam sniegt vienu atbildi: vēlamo skaitli izsaka ar formulu v · t.

Piezīme. Atrast noteikta skaitļa daļu, saskaņā ar mūsu definīciju, nozīmē to pašu, ko reizināt ar šo skaitļa daļu; tādēļ, piemēram, atrast 5% (t.i., piecas simtdaļas) no dotā skaitļa nozīmē to pašu, ko reizināt ar doto skaitli ar vai ar ; atrast 125% no dotā skaitļa nozīmē to pašu, kas reizināt šo skaitli ar vai ar utt.

§ 142. Piezīme par to, kad skaitlis palielinās un kad samazinās no reizināšanas.

Reizināšana ar pareizu daļskaitli samazina skaitli, un reizināšana ar nepareizo daļu palielina skaitli, ja šī nepareizā daļa ir lielāka par vienu, un paliek nemainīga, ja tā ir vienāda ar vienu.
komentēt. Reizinot daļskaitļus, kā arī veselus skaitļus, reizinājums tiek pieņemts vienāds ar nulli, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli, tātad .

143.§ Reizināšanas noteikumu atvasināšana.

1) Daļas reizināšana ar veselu skaitli. Daļskaitli reizina ar 5. Tas nozīmē palielināt 5 reizes. Lai daļskaitli palielinātu 5 reizes, pietiek palielināt tās skaitītāju vai samazināt saucēju 5 reizes (§ 127).

Tāpēc:
1. noteikums. Lai reizinātu daļu ar veselu skaitli, skaitītājs jāreizina ar šo veselo skaitli, bet saucējs jāatstāj tāds pats; tā vietā jūs varat arī dalīt daļskaitļa saucēju ar doto veselo skaitli (ja iespējams) un atstāt skaitītāju to pašu.

komentēt. Daļas un tās saucēja reizinājums ir vienāds ar tā skaitītāju.

Tātad:
2. noteikums. Lai reizinātu veselu skaitli ar daļskaitli, jums jāreizina veselais skaitlis ar daļskaitļa skaitītāju un jāpadara šis reizinājums par skaitītāju, un kā saucējs jāparaksta šīs daļas saucējs.
3. noteikums. Lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais par reizinājuma saucēju.

komentēt. Šo noteikumu var piemērot arī daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli un veselu skaitli ar daļskaitli, ja tikai mēs uzskatām, ka vesels skaitlis ir daļa ar saucēju viens. Tātad:

Tādējādi trīs tagad izklāstītie noteikumi ir ietverti vienā, ko kopumā var izteikt šādi:
4) Jauktu skaitļu reizināšana.

4. noteikums. Lai reizinātu jauktus skaitļus, tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumiem. Piemēram:
144.§ Samazināšana pavairošanas laikā. Reizinot frakcijas, ja iespējams, ir jāveic iepriekšējs samazinājums, kā redzams no šādiem piemēriem:

Šādu samazinājumu var veikt, jo daļskaitļa vērtība nemainīsies, ja tās skaitītājs un saucējs tiks samazināts par vienādu skaitu reižu.

145.§ Preces maiņa ar mainīgiem faktoriem. Mainoties faktoriem, daļskaitļu reizinājums mainīsies tieši tāpat kā veselu skaitļu reizinājums (§ 53), proti: ja palielināsit (vai samazināsiet) jebkuru koeficientu vairākas reizes, tad reizinājums palielināsies (vai samazināsies) par tādu pašu summu.

Tātad, ja piemērā:
lai reizinātu vairākas daļdaļas, jums jāreizina to skaitītāji savā starpā un saucēji savā starpā un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais par reizinājuma saucēju.

komentēt. Šo noteikumu var attiecināt arī uz tādiem skaitļiem, kuros daži no skaitļa faktoriem ir veseli skaitļi vai jaukti, ja tikai veselo skaitli uzskatām par daļskaitli ar saucēju viens, un jauktos skaitļus pārvēršam nepareizās daļās. Piemēram:
147.§ Reizināšanas pamatīpašības. Tās reizināšanas īpašības, kuras mēs norādījām veseliem skaitļiem (§ 56, 57, 59), attiecas arī uz daļskaitļu reizināšanu. Norādīsim šīs īpašības.

1) Produkts nemainās, mainot faktorus.

Piemēram:

Patiešām, saskaņā ar iepriekšējā punkta noteikumu pirmais produkts ir vienāds ar daļu, bet otrais ir vienāds ar daļu. Taču šīs daļdaļas ir vienādas, jo to vārdi atšķiras tikai veselo skaitļu faktoru secībā, un, mainot faktoru vietas, veselo skaitļu reizinājums nemainās.

2) Produkts nemainīsies, ja kāda faktoru grupa tiks aizstāta ar to preci.

Piemēram:

Rezultāti ir vienādi.

No šīs reizināšanas īpašības var izdarīt šādu secinājumu:

lai reizinātu skaitli ar reizinājumu, varat reizināt šo skaitli ar pirmo koeficientu, iegūto skaitli reizināt ar otro utt.

Piemēram:
3) Sadales reizināšanas likums (attiecībā pret saskaitīšanu). Lai reizinātu summu ar skaitli, varat reizināt katru terminu atsevišķi ar šo skaitli un pievienot rezultātus.

Šo likumu mēs izskaidrojām (59. §) kā attiecinātu uz veseliem skaitļiem. Tas paliek patiess bez izmaiņām daļskaitļiem.

Ļaujiet mums parādīt, patiesībā, ka vienlīdzība

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(reizināšanas sadalījuma likums attiecībā pret saskaitīšanu) paliek patiess pat tad, ja burti apzīmē daļskaitļus. Apskatīsim trīs gadījumus.

1) Vispirms pieņemsim, ka faktors m ir vesels skaitlis, piemēram, m = 3 (a, b, c – jebkuri skaitļi). Saskaņā ar reizināšanas ar veselu skaitli definīciju mēs varam rakstīt (vienkāršības labad ierobežojot sevi ar trim vārdiem):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Pamatojoties uz asociatīvo saskaitīšanas likumu, varam izlaist visas labajā pusē esošās iekavas; Piemērojot komutatīvo saskaitīšanas likumu un pēc tam atkal asociatīvo likumu, mēs acīmredzami varam pārrakstīt labo pusi šādi:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Tas nozīmē, ka šajā gadījumā tiek apstiprināts sadales likums.

Daļskaitļu reizināšana un dalīšana

Iepriekšējā reizē mēs mācījāmies, kā saskaitīt un atņemt daļskaitļus (skat. nodarbību “Daļskaitļu pievienošana un atņemšana”). Sarežģītākā šo darbību daļa bija daļskaitļu apvienošana pie kopsaucēja.

Tagad ir pienācis laiks nodarboties ar reizināšanu un dalīšanu. Labā ziņa ir tā, ka šīs darbības ir pat vienkāršākas nekā saskaitīšana un atņemšana. Vispirms apskatīsim vienkāršāko gadījumu, kad ir divas pozitīvas daļskaitļi bez atdalītas vesela skaitļa daļas.

Lai reizinātu divas daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi. Pirmais cipars būs jaunās daļas skaitītājs, bet otrais – saucējs.

Lai sadalītu divas daļas, pirmā daļa jāreizina ar “apgriezto” otro daļu.

Pēc definīcijas mums ir:

Daļskaitļu reizināšana ar veselām daļām un negatīvajām daļām

Ja daļās ir vesela skaitļa daļa, tās ir jāpārvērš par nepareizām un tikai pēc tam jāreizina saskaņā ar iepriekš aprakstītajām shēmām.

Ja daļskaitļa skaitītājā, saucējā vai tā priekšā ir mīnuss, to var izņemt no reizināšanas vai noņemt pavisam saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Pluss ar mīnusu dod mīnusu;
Divi negatīvi padara apstiprinošu.

Līdz šim ar šiem noteikumiem ir nācies sastapties tikai negatīvo daļskaitļu saskaitīšanā un atņemšanā, kad bija jāatbrīvojas no visas daļas. Darbam tos var vispārināt, lai vienlaikus “sadedzinātu” vairākus trūkumus:

Mēs izsvītrojam negatīvus pa pāriem, līdz tie pilnībā izzūd. Ārkārtējos gadījumos var izdzīvot viens mīnuss - tas, kuram nebija biedra;
Ja mīnusu nav palicis, darbība ir pabeigta - var sākt reizināt. Ja pēdējais mīnuss nav izsvītrots, jo tam nebija pāra, mēs to izņemam ārpus reizināšanas robežām. Rezultāts ir negatīva daļa.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Mēs pārvēršam visas daļskaitļus par nepareizajām un pēc tam no reizināšanas izņemam mīnusus. Mēs reizinām to, kas paliek, saskaņā ar parastajiem noteikumiem. Mēs iegūstam:

Pievērsiet uzmanību arī negatīviem skaitļiem: reizinot, tie tiek likti iekavās. Tas tiek darīts, lai atdalītu mīnusus no reizināšanas zīmēm un padarītu visu pierakstu precīzāku.

Frakciju samazināšana lidojuma laikā

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pēc definīcijas mums ir:

Visos piemēros samazinātie skaitļi un pāri palikušie ir atzīmēti ar sarkanu krāsu.

Tomēr nekad neizmantojiet šo paņēmienu, saskaitot un atņemot daļskaitļus! Jā, dažreiz ir līdzīgi skaitļi, kurus jūs vienkārši vēlaties samazināt. Lūk, paskaties:

Jūs to nevarat darīt!

Kļūda rodas tāpēc, ka, pievienojot daļskaitļa skaitītāju, parādās summa, nevis skaitļu reizinājums. Līdz ar to nav iespējams piemērot daļskaitļa pamatīpašību, jo šī īpašība attiecas tieši uz skaitļu reizināšanu.

Vienkārši nav citu iemeslu frakciju samazināšanai, tāpēc pareizais iepriekšējās problēmas risinājums izskatās šādi:

Kā redzat, pareizā atbilde izrādījās ne tik skaista. Kopumā esiet uzmanīgi.

Daļskaitļu reizināšana.

Lai pareizi reizinātu daļu ar daļskaitli vai daļu ar skaitli, jums jāzina vienkārši noteikumi. Tagad mēs detalizēti analizēsim šos noteikumus.

Parastās daļskaitļa reizināšana ar daļskaitli.

Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāaprēķina skaitītāju reizinājums un šo daļu saucēju reizinājums.

Apskatīsim piemēru:
Pirmās daļdaļas skaitītāju reizinām ar otrās daļdaļas skaitītāju, kā arī pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju.

Daļas reizināšana ar skaitli.

Pirmkārt, atcerēsimies noteikumu, jebkuru skaitli var attēlot kā daļskaitli \(\bf n = \frac \) .

Reizinot izmantosim šo noteikumu.

Nepareizā daļa \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) tika pārveidota par jauktā frakcija.

Citiem vārdiem sakot, Reizinot skaitli ar daļskaitli, skaitli reizinām ar skaitītāju un saucēju atstājam nemainīgu. Piemērs:

Jaukto frakciju reizināšana.

Lai reizinātu jauktās daļskaitļus, vispirms katra jauktā daļa ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļi un pēc tam jāizmanto reizināšanas kārtula. Mēs reizinām skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju.

Apgriezto daļu un skaitļu reizināšana.

Saistītie jautājumi:
Kā reizināt daļu ar daļu?
Atbilde: Parasto daļu reizinājums ir skaitītāja reizinājums ar skaitītāju, saucēja ar saucēju. Lai iegūtu jaukto frakciju reizinājumu, tās jāpārvērš nepareizā frakcijā un jāreizina saskaņā ar noteikumiem.

Kā reizināt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem?
Atbilde: nav nozīmes tam, vai daļskaitļiem ir vienādi vai atšķirīgi saucēji, reizināšana notiek saskaņā ar likuma skaitļa ar skaitītāju, saucēja ar saucēju reizinājumu.

Kā reizināt jauktās frakcijas?
Atbilde: vispirms jauktā daļa jāpārvērš nepareizā daļskaitlī un pēc tam jāatrod reizinājums, izmantojot reizināšanas noteikumus.

Kā reizināt skaitli ar daļskaitli?
Atbilde: mēs reizinām skaitli ar skaitītāju, bet saucēju atstājam to pašu.

1. piemērs:
Aprēķiniet reizinājumu: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

2. piemērs:
Aprēķiniet skaitļa un daļskaitļa reizinājumus: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

3. piemērs:
Uzrakstiet daļskaitļa \(\frac \) apgriezto vērtību?
Atbilde: \(\frac = 3\)

4. piemērs:
Aprēķiniet divu savstarpēji apgrieztu daļu reizinājumu: a) \(\frac \times \frac \)

5. piemērs:
Vai apgrieztās daļas var būt:
a) vienlaikus ar pareizām frakcijām;
b) vienlaikus nepareizas frakcijas;
c) tajā pašā laikā naturālie skaitļi?

Risinājums:
a) lai atbildētu uz pirmo jautājumu, sniegsim piemēru. Daļa \(\frac \) ir pareiza, tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac \) — nepareiza daļa. Atbilde: nē.

b) gandrīz visos daļskaitļu uzskaitījumos šis nosacījums nav izpildīts, bet ir daži skaitļi, kas izpilda nosacījumu, ka tie vienlaikus ir nepareiza daļdaļa. Piemēram, nepareiza daļa ir \(\frac \) , tās apgrieztā daļa ir vienāda ar \(\frac \). Mēs iegūstam divas nepareizās daļas. Atbilde: ne vienmēr noteiktos apstākļos, kad skaitītājs un saucējs ir vienādi.

c) naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot, piemēram, 1, 2, 3, …. Ja ņemam skaitli \(3 = \frac \), tad tā apgrieztā daļa būs \(\frac \). Daļa \(\frac \) nav naturāls skaitlis. Ja mēs ejam cauri visiem skaitļiem, skaitļa apgrieztais skaitlis vienmēr ir daļskaitlis, izņemot 1. Ja ņemam skaitli 1, tad tā apgrieztā daļa būs \(\frac = \frac = 1\). Skaitlis 1 ir naturāls skaitlis. Atbilde: tie vienlaikus var būt naturāli skaitļi tikai vienā gadījumā, ja tas ir skaitlis 1.

6. piemērs:
Veiciet jaukto daļskaitļu reizinājumu: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Risinājums:
a) \(4 \reizes 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

7. piemērs:
Var divi savstarpēji savstarpējie skaitļi būt tajā pašā laikā jaukti skaitļi?

Apskatīsim piemēru. Ņemsim jauktu daļskaitli \(1\frac \), atrodam tās apgriezto daļskaitli, lai to izdarītu, mēs to pārvēršam nepareizā daļskaitlī \(1\frac = \frac \) . Tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac \) . Daļa \(\frac\) ir pareiza daļa. Atbilde: Divas daļdaļas, kas ir savstarpēji apgrieztas, nevar vienlaikus būt sajaukti skaitļi.

Decimāldaļas reizināšana ar naturālu skaitli

Prezentācija nodarbībai

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Jautrā veidā iepazīstiniet skolēnus ar reizināšanas likumu decimālzīme uz naturālo skaitli, uz cipara vienību un noteikums decimāldaļskaitļa izteikšanai procentos. Attīstīt prasmi pielietot iegūtās zināšanas, risinot piemērus un problēmas.
Attīstīt un aktivizēt loģiskā domāšana audzēkņiem, spēju noteikt modeļus un tos vispārināt, stiprināt atmiņu, spēju sadarboties, sniegt palīdzību, novērtēt savu un otra darbu.
Izkopt interesi par matemātiku, aktivitāti, mobilitāti un komunikācijas prasmēm.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele, plakāts ar šifru, plakāti ar matemātiķu izteikumiem.

Organizatoriskais brīdis.
Mutiskā aritmētika – iepriekš apgūtā materiāla vispārināšana, sagatavošanās jauna materiāla apguvei.
Jaunā materiāla skaidrojums.
Mājas darba uzdevums.
Matemātiskā fiziskā izglītība.
Iegūto zināšanu vispārināšana un sistematizēšana in spēles forma izmantojot datoru.
Novērtēšana.

2. Puiši, šodien mūsu nodarbība būs nedaudz neparasta, jo es to nemācīšu viena, bet gan kopā ar savu draugu. Un mans draugs arī ir neparasts, tu viņu tagad redzēsi. (Ekrānā parādās karikatūras dators.) Manam draugam ir vārds un viņš var runāt. Kā tevi sauc, draugs? Kompoša atbild: "Mani sauc Kompoša." Vai esat gatavs man šodien palīdzēt? JĀ! Nu tad sāksim nodarbību.

Šodien saņēmu šifrētu šifru, puiši, kas mums kopā jāatrisina un jāatšifrē. (Plakāts ar verbālā skaitīšana par decimāldaļu saskaitīšanu un atņemšanu, kā rezultātā bērni saņem šādu kodu 523914687. )

Komposha palīdz atšifrēt saņemto kodu. Dekodēšanas rezultāts ir vārds MULTIPLICATION. Reizināšana ir atslēgvārdsšodienas nodarbības tēmas. Nodarbības tēma tiek parādīta monitorā: “Decimāldaļas reizināšana ar naturālu skaitli”

Puiši, mēs zinām, kā reizināt naturālus skaitļus. Šodien mēs aplūkosim reizināšanu decimālskaitļi uz naturālu skaitli. Decimāldaļas reizināšanu ar naturālu skaitli var uzskatīt par terminu summu, no kuriem katrs ir vienāds ar šo decimāldaļskaitli, un vienumu skaits ir vienāds ar šo naturālo skaitli. Piemēram: 5,21 · 3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Tātad, 5,21 · 3 = 15,63. Uzrādot 5,21 kā naturāla skaitļa parastu daļskaitli, mēs iegūstam

Un šajā gadījumā mēs saņēmām tādu pašu rezultātu: 15,63. Tagad, ignorējot komatu, skaitļa 5,21 vietā ņemiet skaitli 521 un reiziniet to ar šo naturālo skaitli. Šeit jāatceras, ka vienā no faktoriem komats ir pārvietots divas vietas pa labi. Reizinot skaitļus 5, 21 un 3, mēs iegūstam reizinājumu, kas vienāds ar 15,63. Tagad šajā piemērā mēs pārvietojam komatu pa kreisi divās vietās. Tādējādi, par cik reizes tika palielināts viens no faktoriem, par cik reižu tika samazināts produkts. Pamatojoties uz šo metožu līdzībām, mēs izdarīsim secinājumu.

Lai decimāldaļu reizinātu ar naturālu skaitli, jums ir nepieciešams:
1) nepievēršot uzmanību komatam, reiziniet naturālos skaitļus;
2) iegūtajā reizinājumā ar komatu atdaliet tik daudz ciparu no labās puses, cik ir decimāldaļdaļā.

Monitorā tiek parādīti šādi piemēri, kurus mēs analizējam kopā ar Komposha un puišiem: 5,21 ·3 = 15,63 un 7,624 ·15 = 114,34. Tad es parādu reizināšanu ar apaļu skaitli 12,6 · 50 = 630. Tālāk es pārietu uz decimāldaļas reizināšanu ar vietas vērtības vienību. Es parādu šādus piemērus: 7,423 · 100 = 742,3 un 5,2 · 1000 = 5200. Tātad, es ieviešu noteikumu decimāldaļas reizināšanai ar cipara vienību:

Lai decimāldaļdaļu reizinātu ar ciparu vienībām 10, 100, 1000 utt., jums ir jāpārvieto decimālpunkts šajā daļā pa labi par tik vietām, cik ciparu vienībā ir nulles.

Pabeidzu savu skaidrojumu, izsakot decimāldaļu procentos. Iepazīstinu ar noteikumu:

Lai izteiktu decimāldaļu procentos, tā jāreizina ar 100 un jāpievieno zīme %.

Es sniegšu piemēru datorā: 0,5 100 = 50 vai 0,5 = 50%.

4. Paskaidrojuma beigās sniedzu puišiem mājasdarbs, kas tiek parādīts arī datora monitorā: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Lai puiši mazliet atpūstos, tēmas nostiprināšanai kopā ar Kompošu veicam matemātiskās fizkultūras nodarbību. Visi pieceļas, parāda klasei atrisinātos piemērus, un viņiem ir jāatbild, vai piemērs tika atrisināts pareizi vai nepareizi. Ja piemērs ir pareizi atrisināts, tad viņi paceļ rokas virs galvas un sit plaukstas. Ja piemērs nav pareizi atrisināts, puiši izstiepj rokas uz sāniem un izstiepj pirkstus.

6. Un tagad esi mazliet atpūties, vari risināt uzdevumus. Atveriet savu mācību grāmatu 205. lappusē, № 1029. Šajā uzdevumā jums jāaprēķina izteiksmju vērtība:

Uzdevumi parādās datorā. Kad tie tiek atrisināti, parādās attēls ar laivas attēlu, kas peld prom, kad tā ir pilnībā samontēta.

Atrisinot šo uzdevumu datorā, raķete pēc pēdējā piemēra atrisināšanas pamazām salokās uz augšu, raķete aizlido. Skolotāja sniedz nelielu informāciju skolēniem: “Katru gadu no Kazahstānas zemes, no Baikonuras kosmodroma, viņi paceļas uz zvaigznēm. kosmosa kuģi. Kazahstāna būvē savu jauno Baiterek kosmodromu netālu no Baikonuras.

Cik tālu vieglā automašīna nobrauks 4 stundās, ja vieglā automobiļa ātrums ir 74,8 km/h.

Dāvanu karte Nezini, ko uzdāvināt savai pusītei, draugiem, darbiniekiem, radiem? Izmantojiet mūsu īpašo piedāvājumu: “Dāvanu sertifikāts viesnīcai Blue Sedge Country Hotel”.

Gāzes skaitītāja nomaiņa: izmaksas un nomaiņas noteikumi, kalpošanas laiks, dokumentu saraksts Katrs īpašuma īpašnieks ir ieinteresēts gāzes skaitītāja kvalitatīvā darbībā. Ja to laikus nenomainīsi, tad [...]

Bērnu pabalsti Krasnodarā un Krasnodaras apgabals 2018. gadā siltās (salīdzinājumā ar daudziem citiem Krievijas reģioniem) Kubanas iedzīvotāju skaits pastāvīgi pieaug migrācijas un dzimstības pieauguma dēļ. Tomēr subjekta iestādes […]

Invaliditātes pensija militārpersonām 2018. gadā Militārais dienests ir ar īpašu veselības apdraudējumu saistīta darbība. Jo likumdošanā Krievijas Federācija ir paredzēti īpaši nosacījumi invalīdu uzturēšanai, [...]

Bērnu pabalsti Samarā un Samaras reģionā 2018. gadā Pabalsti nepilngadīgajiem Samaras reģionā ir paredzēti pilsoņiem, kuri audzina pirmsskolas vecuma bērnus un skolēnus. Piešķirot līdzekļus, ne tikai [...]

Pensiju nodrošināšana Krasnodaras un Krasnodaras apgabals 2018. gadā par tādiem likumā atzītās personas saņem finansiālu atbalstu no valsts. Pieprasīt par budžeta līdzekļi […]

Pensiju nodrošināšana Čeļabinskas iedzīvotājiem un Čeļabinskas apgabals 2018. gadā Pilsoņi likumā noteiktajā vecumā saņem tiesības uz pensiju. Tas var būt atšķirīgs, un iecelšanas nosacījumi atšķiras. Piemēram, […]

Bērnu pabalsti Maskavas reģionā 2018. gadā Maskavas apgabala sociālā politika ir vērsta uz to ģimeņu apzināšanu, kurām nepieciešams papildu atbalsts no valsts kases. Federālā atbalsta pasākumi ģimenēm ar bērniem 2018. gadā […]

Veicot sekundāro un vidusskola Skolēni apguva tēmu “Daļskaitļi”. Tomēr šis jēdziens ir daudz plašāks par mācību procesā doto. Mūsdienās ar daļskaitļa jēdzienu saskaras diezgan bieži, un ne visi var aprēķināt jebkuru izteiksmi, piemēram, reizināt daļskaitļus.

Kas ir daļa?

Vēsturiski daļskaitļi radās nepieciešamības mērīt. Kā liecina prakse, bieži vien ir piemēri segmenta garuma un taisnstūra taisnstūra tilpuma noteikšanai.

Sākotnēji skolēni tiek iepazīstināti ar akcijas jēdzienu. Piemēram, ja jūs sadalāt arbūzu 8 daļās, tad katrs iegūs vienu astoto daļu no arbūza. Šo vienu daļu no astoņām sauc par akciju.

Daļu, kas vienāda ar ½ no jebkuras vērtības, sauc par pusi; ⅓ - trešais; ¼ - ceturtdaļa. Ierakstus formā 5/8, 4/5, 2/4 sauc par parastajām daļām. Kopējo daļskaitli iedala skaitītājā un saucējā. Starp tiem ir frakciju josla vai frakciju josla. Daļējo līniju var novilkt kā horizontālu vai slīpu līniju. Šajā gadījumā tas apzīmē dalījuma zīmi.

Saucējs norāda, cik vienādās daļās daudzums vai objekts ir sadalīts; un skaitītājs ir identisku akciju skaits. Skaitītājs ir rakstīts virs daļskaitļa līnijas, saucējs ir rakstīts zem tās.

Visērtāk ir parādīt parastās daļskaitļus koordinātu stars. Ja vienības segments ir sadalīts 4 vienādās daļās, marķējiet katru daļu Latīņu burts, tad rezultāts var būt lielisks vizuālais palīglīdzeklis. Tātad punkts A parāda daļu, kas vienāda ar 1/4 no visa vienības segmenta, un punkts B atzīmē 2/8 no noteiktā segmenta.

Frakciju veidi

Daļskaitļi var būt parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi. Turklāt frakcijas var iedalīt pareizās un nepareizās. Šī klasifikācija ir vairāk piemērota parastajām frakcijām.

Pareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir mazāks par tā saucēju. Attiecīgi nepareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir lielāks par tā saucēju. Otro veidu parasti raksta kā jauktu skaitli. Šī izteiksme sastāv no vesela skaitļa un daļējas daļas. Piemēram, 1½. 1 ir vesela skaitļa daļa, ½ ir daļēja daļa. Tomēr, ja jums ir jāveic dažas manipulācijas ar izteiksmi (dalot vai reizinot daļskaitļus, samazinot vai pārvēršot tos), jauktais skaitlis tiek pārveidots par nepareizu daļu.

Pareizi daļēja izteiksme vienmēr mazāks par vienu un nepareizi - lielāks vai vienāds ar 1.

Runājot par šo izteiksmi, mēs domājam ierakstu, kurā ir attēlots jebkurš skaitlis, kura daļskaitļa saucēju var izteikt ar vienu ar vairākām nullēm. Ja daļa ir pareiza, tad visa daļa ir pareiza decimālzīme būs vienāds ar nulli.

Lai uzrakstītu decimāldaļu, vispirms ir jāuzraksta visa daļa, jāatdala tā no daļskaitļa, izmantojot komatu, un pēc tam jāieraksta daļskaitļa izteiksme. Jāatceras, ka aiz komata skaitītājā jāsatur tikpat daudz ciparu rakstzīmju, cik saucējā ir nulles.

Piemērs. Izsakiet daļu 7 21/1000 decimāldaļās.

Algoritms nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli un otrādi

Uzdevuma atbildē ir nepareizi uzrakstīt nepareizu daļskaitli, tāpēc tas ir jāpārvērš par jauktu skaitli:

dalīt skaitītāju ar esošo saucēju;
konkrētā piemērā nepilnīgs koeficients ir vesels;
un atlikums ir daļdaļas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs. Pārvērst nepareizo daļskaitli uz jauktu skaitli: 47/5.

Risinājums. 47: 5. Daļējais koeficients ir 9, atlikums = 2. Tātad, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Dažreiz jaukts skaitlis ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļa. Tad jums jāizmanto šāds algoritms:

veselo skaitļu daļu reizina ar daļskaitļa izteiksmes saucēju;
iegūto reizinājumu pievieno skaitītājam;
rezultāts tiek ierakstīts skaitītājā, saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs. Norādiet jaukto skaitli kā nepareizu daļskaitli: 9 8 / 10.

Risinājums. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ir skaitītājs.

Atbilde: 98 / 10.

Daļskaitļu reizināšana

Ar parastajām daļām var veikt dažādas algebriskas darbības. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Turklāt daļskaitļu reizināšana ar dažādiem saucējiem neatšķiras no daļskaitļu reizināšanas ar vienādiem saucējiem.

Gadās, ka pēc rezultāta atrašanas jums ir jāsamazina daļa. Rezultātā iegūtā izteiksme ir obligāti jāvienkāršo, cik vien iespējams. Protams, nevar teikt, ka nepareizā daļskaitlī atbildē ir kļūda, taču arī to ir grūti nosaukt par pareizu atbildi.

Piemērs. Atrodiet divu parasto daļu reizinājumu: ½ un 20/18.

Kā redzams no piemēra, pēc produkta atrašanas tika iegūts reducējams daļskaitļu apzīmējums. Gan skaitītājs, gan saucējs šajā gadījumā tiek dalīti ar 4, un rezultāts ir atbilde 5/9.

Decimāldaļu reizināšana

Decimāldaļskaitļu reizinājums savā principā ir diezgan atšķirīgs no parasto daļskaitļu reizinājuma. Tātad daļskaitļu reizināšana ir šāda:

divas decimāldaļas jāraksta viens zem otra tā, lai galēji labās malas cipari būtu viens zem otra;
rakstītie skaitļi jāreizina, neskatoties uz komatiem, tas ir, kā naturāli skaitļi;
saskaitīt ciparu skaitu aiz komata katrā ciparā;
pēc reizināšanas iegūtajā rezultātā no labās puses jāskaita tik daudz ciparu simbolu, kas ir ietverts summā abos faktoros aiz komata, un jāliek atdalošā zīme;
ja produktā ir mazāk skaitļu, tad tiem priekšā jāraksta tik nulles, lai šis skaitlis aptvertu, jāliek komats un jāpievieno visa daļa, kas vienāda ar nulli.

Piemērs. Aprēķina divu decimāldaļu reizinājumu: 2,25 un 3,6.

Risinājums.

Jaukto frakciju reizināšana

Lai aprēķinātu divu jauktu frakciju reizinājumu, jums jāizmanto frakciju reizināšanas noteikums:

pārvērst jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos;
atrast skaitītāju reizinājumu;
atrast saucēju reizinājumu;
pierakstiet rezultātu;
pēc iespējas vienkāršojiet izteicienu.

Piemērs. Atrodiet reizinājumu 4½ un 6 2/5.

Skaitļa reizināšana ar daļskaitli (daļdaļas ar skaitli)

Papildus divu daļskaitļu un jauktu skaitļu reizinājuma atrašanai ir uzdevumi, kuros jāreizina ar daļskaitli.

Tātad, lai atrastu decimāldaļskaitļa un naturālā skaitļa reizinājumu, jums ir nepieciešams:

ierakstiet skaitli zem daļskaitļa tā, lai galējie labie cipari būtu viens virs otra;
atrast preci, neskatoties uz komatu;
iegūtajā rezultātā atdaliet veselo skaitļu daļu no daļdaļas, izmantojot komatu, no labās puses skaitot ciparu skaitu, kas atrodas aiz komata daļdaļā.

Lai parasto daļskaitli reizinātu ar skaitli, jāatrod skaitītāja un naturālā faktora reizinājums. Ja atbilde rada daļu, kuru var samazināt, tā ir jāpārvērš.

Piemērs. Aprēķiniet reizinājumu no 5/8 un 12.

Risinājums. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atbilde: 7 1 / 2.

Kā redzat no iepriekšējā piemēra, bija jāsamazina iegūtais rezultāts un jāpārvērš neregulārās daļas izteiksme par jauktu skaitli.

Daļskaitļu reizināšana attiecas arī uz skaitļa jauktā formā un naturālā faktora reizinājuma atrašanu. Lai reizinātu šos divus skaitļus, visa jauktā faktora daļa jāreizina ar skaitli, skaitītājs jāreizina ar to pašu vērtību un saucējs jāatstāj nemainīgs. Ja nepieciešams, jums pēc iespējas jāvienkāršo iegūtais rezultāts.

Piemērs. Atrodiet 9 5/6 un 9 reizinājumu.

Risinājums. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Atbilde: 88 1 / 2.

Reizināšana ar koeficientiem 10, 100, 1000 vai 0,1; 0,01; 0,001

No iepriekšējās rindkopas izriet šāds noteikums. Lai decimāldaļu reizinātu ar 10, 100, 1000, 10 000 utt., decimālpunkts jāpārvieto pa labi par tik cipariem, cik faktorā ir nulles aiz viena.

1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 0,065 un 1000.

Risinājums. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atbilde: 65.

2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 3,9 un 1000.

Risinājums. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Atbilde: 3900.

Ja nepieciešams reizināt naturālu skaitli un 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 utt., jums ir jāpārvieto komats iegūtajā produktā pa kreisi par tik ciparu rakstzīmēm, cik nulles ir pirms viena. Ja nepieciešams, pirms naturālā skaitļa tiek ierakstīts pietiekams skaits nulles.

1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 56 un 0,01.

Risinājums. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atbilde: 0,56.

2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 4 un 0,001.

Risinājums. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atbilde: 0,004.

Tātad dažādu frakciju reizinājuma atrašana nedrīkst radīt grūtības, izņemot varbūt rezultāta aprēķināšanu; šajā gadījumā jūs vienkārši nevarat iztikt bez kalkulatora.

Lai pareizi reizinātu daļu ar daļu vai daļu ar skaitli, jums jāzina vienkārši noteikumi. Tagad mēs detalizēti analizēsim šos noteikumus.

Parastās daļskaitļa reizināšana ar daļskaitli.

Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāaprēķina skaitītāju reizinājums un šo daļu saucēju reizinājums.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Apskatīsim piemēru:
Pirmās daļdaļas skaitītāju reizinām ar otrās daļdaļas skaitītāju, kā arī pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ reizes 3) (7 \reizes 3) = \frac(4) (7)\\\)

Daļa \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) tika samazināta par 3.

Daļas reizināšana ar skaitli.

Pirmkārt, atcerēsimies noteikumu, jebkuru skaitli var attēlot kā daļskaitli \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Reizinot izmantosim šo noteikumu.

' (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)

Nepareiza daļa \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pārveidots par jauktu daļu.

Citiem vārdiem sakot, Reizinot skaitli ar daļskaitli, skaitli reizinām ar skaitītāju un saucēju atstājam nemainīgu. Piemērs:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3) (5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Jaukto frakciju reizināšana.

Piemērs:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5) (6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 reizes 6) = \frac(3 reizes \krāsa(sarkans) (3) reizes 23) (4 reizes 2 reizes \krāsa(sarkans) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Apgriezto daļu un skaitļu reizināšana.

Daļa \(\bf \frac(a)(b)\) ir apgrieztā daļa \(\bf \frac(b)(a)\, ja a≠0,b≠0.
Daļskaitļus \(\bf \frac(a)(b)\) un \(\bf \frac(b)(a)\) sauc par reciprokālām daļām. Apgriezto daļu reizinājums ir vienāds ar 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Piemērs:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Kā reizināt jauktās frakcijas?
Atbilde: vispirms jauktā daļa jāpārvērš nepareizā daļskaitlī un pēc tam jāatrod reizinājums, izmantojot reizināšanas noteikumus.

Kā reizināt skaitli ar daļskaitli?
Atbilde: mēs reizinām skaitli ar skaitītāju, bet saucēju atstājam to pašu.

1. piemērs:
Aprēķiniet reizinājumu: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )

Risinājums:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( sarkans) (5)) (3 \reizes \krāsa(sarkans) (5) \reizes 13) = \frac(4) (39)\)

2. piemērs:
Aprēķiniet skaitļa un daļskaitļa reizinājumus: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)

Risinājums:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3) (1) \times \frac(17) (23) = \frac(3 \times 17) (1 \reizes 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2) (3) \times \frac(11) (1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3. piemērs:
Uzrakstiet daļskaitļa \(\frac(1)(3)\) apgriezto vērtību?
Atbilde: \(\frac(3)(1) = 3\)

4. piemērs:
Aprēķiniet divu apgriezto daļu reizinājumu: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Risinājums:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

5. piemērs:
Vai apgrieztās daļas var būt:
a) vienlaikus ar pareizām frakcijām;
b) vienlaikus nepareizas frakcijas;
c) vienlaikus naturālie skaitļi?

Risinājums:
a) lai atbildētu uz pirmo jautājumu, sniegsim piemēru. Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza, tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac(3)(2)\) — nepareiza daļdaļa. Atbilde: nē.

b) gandrīz visos daļskaitļu uzskaitījumos šis nosacījums nav izpildīts, bet ir daži skaitļi, kas izpilda nosacījumu, ka tie vienlaikus ir nepareiza daļdaļa. Piemēram, nepareizā daļa ir \(\frac(3)(3)\), tās apgrieztā daļa ir vienāda ar \(\frac(3)(3)\). Mēs iegūstam divas nepareizās daļas. Atbilde: ne vienmēr noteiktos apstākļos, kad skaitītājs un saucējs ir vienādi.

c) naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot, piemēram, 1, 2, 3, …. Ja ņemam skaitli \(3 = \frac(3)(1)\), tad tā apgrieztā daļa būs \(\frac(1)(3)\). Daļa \(\frac(1)(3)\) nav naturāls skaitlis. Ja mēs ejam cauri visiem skaitļiem, skaitļa apgrieztais skaitlis vienmēr ir daļskaitlis, izņemot 1. Ja ņemam skaitli 1, tad tā atgriezeniskā daļa būs \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaitlis 1 ir naturāls skaitlis. Atbilde: tie vienlaikus var būt naturāli skaitļi tikai vienā gadījumā, ja tas ir skaitlis 1.

6. piemērs:
Veiciet jauktu frakciju reizinājumu: a) \(4 \reizes 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \reizes 3\frac(2) (7)\ )

Risinājums:
a) \(4 \reizes 2\frac(4) (5) = \frac(4) (1) \reizes \frac(14) (5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2) (7) = \frac(5) (4) \times \frac(23) (7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

7. piemērs:
Vai divi apgriezti skaitļi var būt sajaukti skaitļi vienlaikus?

Apskatīsim piemēru. Ņemsim jauktu daļskaitli \(1\frac(1)(2)\, atrodam tās apgriezto daļskaitli, lai to izdarītu, mēs to pārvēršam nepareizā daļskaitlī \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac(2)(3)\) . Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza daļa. Atbilde: Divas daļdaļas, kas ir savstarpēji apgrieztas, nevar vienlaikus būt sajaukti skaitļi.