Parastās un decimāldaļas un darbības ar tām. Decimālzīmes, definīcijas, apzīmējumi, piemēri, darbības ar decimāldaļām

Ja viņi zina sēriju teoriju, tad bez tās nevar ieviest metamātiskus jēdzienus. Turklāt šie cilvēki uzskata, ka ikviens, kurš to nelieto plaši, ir neziņā. Atstāsim šo cilvēku uzskatus uz viņu sirdsapziņas. Labāk sapratīsim, kas ir bezgalīgā periodiskā daļa un kā mums, neizglītotiem cilvēkiem, kas nepazīst robežas, ar to būtu jātiek galā.

Dalīsim 237 ar 5. Nē, jums nav jāpalaiž kalkulators. Labāk atcerēsimies vidusskolu (vai pat pamatskolu?) un vienkārši sadalīsim to kolonnā:

Nu vai atceries? Tad jūs varat ķerties pie lietas.

Jēdzienam “daļdaļa” matemātikā ir divas nozīmes:

1. Skaitlis, kas nav vesels skaitlis.
2. Nevesela skaitļa forma.

Ir divu veidu daļskaitļi - savā ziņā divi skaitļu, kas nav veseli, rakstīšanas veidi:

1. Vienkāršs (vai vertikāli) daļas, piemēram, 1/2 vai 237/5.
2. Decimāldaļas, piemēram, 0,5 vai 47,4.

Ņemiet vērā, ka kopumā pats daļskaitļa apzīmējuma lietojums nenozīmē, ka rakstītais ir daļskaitlis, piemēram, 3/3 vai 7,0 - nevis daļskaitļi vārda pirmajā nozīmē, bet, protams, otrajā nozīmē. , frakcijas.

Matemātikā kopumā decimālā skaitīšana vienmēr ir pieņemta, un tāpēc decimāldaļasērtāk nekā vienkāršie, t.i., daļskaitlis ar decimāldaļu (Vladimirs Dal. Vārdnīca dzīvo Lielo krievu valodu. "Desmit").

Un ja tā, tad es vēlos katru vertikālo daļskaitli padarīt par decimāldaļu (“horizontālu”). Un, lai to izdarītu, jums vienkārši jāsadala skaitītājs ar saucēju. Ņemsim, piemēram, daļu 1/3 un mēģināsim no tās izveidot decimāldaļu.

Pat pilnīgi neizglītots cilvēks pamanīs: lai cik ilgi tas prasītu, tas neatdalīsies: trīnīši turpinās parādīties bezgalīgi. Tātad pierakstīsim: 0,33... Mēs domājam "skaitli, kas tiek iegūts, dalot 1 ar 3" vai, īsi sakot, "vienu trešdaļu". Protams, viena trešdaļa ir daļskaitlis vārda pirmajā nozīmē, un “1/3” un “0,33...” ir daļskaitļi vārda otrajā nozīmē, tas ir, ieejas veidlapas skaitlis, kas atrodas uz skaitļu līnijas tādā attālumā no nulles, ka, trīs reizes noliekot malā, iegūst vienu.

Tagad mēģināsim dalīt 5 ar 6:

Pierakstīsim vēlreiz: 0,833... Mēs domājam "skaitli, ko iegūstat, dalot 5 ar 6" vai, īsi sakot, "piecas sestās daļas". Tomēr šeit rodas neskaidrības: vai tas nozīmē 0,83333 (un pēc tam tripleti atkārtojas) vai 0,833833 (un pēc tam atkārtojas 833). Tāpēc apzīmējums ar elipsi mums neder: nav skaidrs, kur sākas atkārtojošā daļa (to sauc par “periodu”). Tāpēc punktu iekavās liksim šādi: 0,(3); 0.8(3).

0,(3) nav viegli vienāds viena trešdaļa, tā Ir viena trešdaļa, jo mēs speciāli izgudrojām šo apzīmējumu, lai attēlotu šo skaitli kā decimāldaļskaitli.

Šo ierakstu sauc bezgalīga periodiska daļa, vai vienkārši periodiska daļa.

Ikreiz, kad mēs dalām vienu skaitli ar citu, ja mēs nesaņemam galīgu daļu, mēs iegūstam bezgalīgu periodisku daļu, tas ir, kādreiz skaitļu virknes noteikti sāks atkārtot. Kāpēc tas tā ir, var saprast tikai spekulatīvi, rūpīgi aplūkojot kolonnu dalīšanas algoritmu:

Vietās, kas atzīmētas ar rūtiņām, ne vienmēr var iegūt dažādus skaitļu pārus (jo principā šādu pāru ir ierobežots skaits). Un, tiklīdz tur parādīsies šāds pāris, kas jau pastāvēja, arī atšķirība būs tāda pati - un tad viss process sāks atkārtoties. Tas nav jāpārbauda, ​​jo ir pilnīgi skaidrs, ka, atkārtojot tās pašas darbības, rezultāti būs tādi paši.

Tagad, kad mēs labi saprotam būtība periodiska daļa, mēģināsim reizināt vienu trešdaļu ar trīs. Jā, protams, jūs to iegūsit, bet rakstīsim šo daļskaitli decimāldaļā un reizinim kolonnā (neskaidrība šeit nerodas elipses dēļ, jo visi skaitļi aiz komata ir vienādi):

Un atkal mēs pamanām, ka devītnieki, devītnieki un devītnieki visu laiku parādīsies aiz komata. Tas ir, izmantojot apgriezto iekavu apzīmējumu, mēs iegūstam 0, (9). Tā kā mēs zinām, ka vienas trešdaļas un trīs reizinājums ir viens, tad 0.(9) ir tik izdomāts veids, kā rakstīt vienu. Tomēr nav pareizi izmantot šo ierakstīšanas veidu, jo vienību var lieliski uzrakstīt, neizmantojot punktu, piemēram: 1.

Kā redzat, 0,(9) ir viens no tiem gadījumiem, kad veselais skaitlis tiek rakstīts daļskaitļa formā, piemēram, 3/3 vai 7,0. Tas ir, 0, (9) ir daļskaitlis tikai vārda otrajā nozīmē, bet ne pirmajā.

Tātad, bez ierobežojumiem vai sērijām, mēs izdomājām, kas ir 0.(9) un kā ar to rīkoties.

Bet atcerēsimies, ka patiesībā mēs esam gudri un pētījuši analīzi. Patiešām, ir grūti noliegt, ka:

Bet, iespējams, neviens neapstrīdēs to, ka:

Tas viss, protams, ir taisnība. Patiešām, 0, (9) ir gan reducētās sērijas summa, gan norādītā leņķa dubultsinuss, un naturālais logaritms Eilera skaitļi.

Bet ne viens, ne otrs, ne trešais nav definīcija.

Teikt, ka 0, (9) ir bezgalīgas rindas 9/(10 n) summa, kur n ir vienāds ar vienu, ir tas pats, kas teikt, ka sinuss ir bezgalīgās Teilora sērijas summa:

Šis pilnīgi pareizi, un tas ir vissvarīgākais fakts Priekš skaitļošanas matemātika, bet tā nav definīcija, un, pats galvenais, tā netuvina cilvēku izpratnei būtībā sinusa Noteikta leņķa sinusa būtība ir tāda tikai viss leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Tātad, periodiska daļa ir tikai viss decimāldaļdaļa, ko iegūst, kad dalot ar kolonnu tiks atkārtota tā pati skaitļu kopa. Šeit nav nekādas analīzes pēdas.

Un šeit rodas jautājums: no kurienes tas nāk? vispār vai mēs ņēmām skaitli 0, (9)? Ko mēs dalām ar ko ar kolonnu, lai to iegūtu? Patiešām, nav tādu skaitļu, kurus sadalot kolonnā, mēs bezgalīgi parādītos devītnieki. Bet mums izdevās iegūt šo skaitli, reizinot 0,(3) ar 3 ar kolonnu? Nav īsti. Galu galā, lai pareizi ņemtu vērā ciparu pārsūtīšanu, jums jāreizina no labās uz kreiso pusi, un mēs to darījām no kreisās puses uz labo, viltīgi izmantojot to, ka pārsūtīšanas tik un tā nenotiek. Tāpēc 0,(9) rakstīšanas likumība ir atkarīga no tā, vai mēs atzīstam šādas reizināšanas ar kolonnu likumību vai nē.

Tāpēc mēs parasti varam teikt, ka apzīmējums 0,(9) ir nepareizs - un zināmā mērā tam ir taisnība. Tomēr, tā kā apzīmējums a ,(b ) ir pieņemts, ir vienkārši neglīti no tā atteikties, ja b = 9; Labāk ir izlemt, ko šāds ieraksts nozīmē. Tātad, ja mēs parasti pieņemam apzīmējumu 0,(9), tad šis apzīmējums, protams, nozīmē skaitli viens.

Atliek vien piebilst, ka, ja mēs izmantotu, teiksim, trīskāršo skaitļu sistēmu, tad, dalot ar kolonnu viens (1 3) ar trīs (10 3), mēs iegūtu 0,1 3 (lasiet “nulle komats viena trešdaļa”), un, dalot vienu ar divi, būtu 0, (1) 3.

Tātad daļskaitļa periodiskums nav kaut kāda objektīva daļskaitļa īpašība, bet gan tikai blakusparādība izmantojot vienu vai otru skaitļu sistēmu.

Ir zināms, ka, ja saucējs n nereducējamai daļai tās kanoniskajā izvērsumā ir galvenais koeficients, kas nav vienāds ar 2 un 5, tad šo daļu nevar attēlot kā galīgu decimālo daļu. Ja šajā gadījumā mēģinām sākotnējo nesamazināmo datni pierakstīt kā decimāldaļu, dalot skaitītāju ar saucēju, tad dalīšanas procesu nevar pabeigt, jo ja tas tiktu pabeigts pēc ierobežota soļu skaita, mēs iegūtu galīgu decimāldaļskaitli, kas ir pretrunā ar iepriekš pierādīto teorēmu. Tātad šajā gadījumā pozitīva racionālā skaitļa decimālais apzīmējums ir A= šķiet, ka tā ir bezgalīga daļa.

Piemēram, frakcija = 0,3636... . Ir viegli pamanīt, ka atlikumi, dalot 4 ar 11, periodiski atkārtojas, tāpēc periodiski atkārtosies decimālzīmes, t.i. izrādās bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa, ko var uzrakstīt kā 0, (36).

Periodiski atkārtojot skaitļus 3 un 6, veido punktu. Var izrādīties, ka starp decimālzīmi un pirmā perioda sākumu ir vairāki cipari. Šie skaitļi veido pirmsperiodu. Piemēram,

0.1931818... 17 dalīšanas ar 88 process ir bezgalīgs. Cipari 1, 9, 3 veido pirmsperiodu; 1, 8 – periods. Mūsu aplūkotie piemēri atspoguļo modeli, t.i. jebkurš pozitīvs racionāls skaitlis attēlojama kā ierobežota vai bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa.

1. teorēma. Lai parastā daļdaļa ir nereducējama saucēja kanoniskajā izvērsumā n ir galvenais koeficients, kas atšķiras no 2 un 5. Tad parasto daļskaitli var attēlot kā bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli.

Pierādījums. Mēs jau zinām, ka naturāla skaitļa dalīšanas process m uz naturālu skaitli n būs bezgalīgs. Parādīsim, ka tas būs periodisks. Patiesībā, sadalot m ieslēgts n iegūtie atlikumi būs mazāki n, tie. skaitļi formā 1, 2, ..., ( n– 1), no kura ir skaidrs, ka dažādu atlieku skaits ir ierobežots un tāpēc, sākot no noteikta soļa, tiks atkārtots kāds atlikums, kas nozīmē koeficienta decimāldaļu atkārtošanos un bezgalīgo decimāldaļskaitli. kļūst periodisks.

Vēl divas teorēmas ir spēkā.

2. teorēma. Ja nereducējamās daļskaitļa saucēja izvēršana pirmfaktoros neietver skaitļus 2 un 5, tad, šo daļskaitli pārvēršot bezgalīgā decimāldaļskaitlī, tiks iegūta tīra periodiska daļa, t.i. daļskaitlis, kura punkts sākas tūlīt aiz komata.

3. teorēma. Ja saucēja izvērsumā ir iekļauti faktori 2 (vai 5) vai abi, tad bezgalīgā periodiskā daļa tiks sajaukta, t.i. starp komatu aiz komata un perioda sākumu būs vairāki cipari (pirmsperiods), proti, tik daudz, cik lielākais no koeficientu 2 un 5 eksponentiem.

2. un 3. teorēma tiek piedāvāta lasītājam patstāvīgi pierādīt.

28. Pārejas metodes no bezgalīgas periodiskas
no decimāldaļskaitļiem līdz parastajiem daļskaitļiem

Dodiet periodisku daļu A= 0,(4), t.i. 0,4444... .

Reizināsim A līdz 10, mēs saņemam

10A= 4,444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….

Tie. 10 A = 4 + A, mēs ieguvām vienādojumu A, to atrisinot, iegūstam: 9 A= 4 Þ A = .

Mēs atzīmējam, ka 4 ir gan iegūtās daļdaļas skaitītājs, gan daļdaļas 0, (4) periods.

Noteikums tīras periodiskas daļas pārvēršana parastā daļskaitlī tiek formulēta šādi: daļdaļas skaitītājs ir vienāds ar periodu, un saucējs sastāv no tāda paša skaitļa devītniekiem, cik cipariem ir daļas periods.

Tagad pierādīsim šo noteikumu daļai, kuras periods sastāv no n

A= . Reizināsim A līdz 10 n, mēs iegūstam:

10n × A = = + 0, ;

10n × A = + a;

(10n – 1) A = Þ a = = .

Tātad iepriekš formulētais noteikums ir pierādīts jebkurai tīrai periodiskai daļai.

Tagad dosim daļu A= 0,605(43) – jaukta periodiska. Reizināsim A pa 10 ar to pašu rādītāju, cik ciparu ir pirmsperiodā, t.i. līdz 10 3, mēs saņemam

10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = ,

tie. 10 3 × A= .

Noteikums jauktas periodiskas daļas pārvēršana parastā daļskaitlī tiek formulēta šādi: daļdaļas skaitītājs ir vienāds ar starpību starp skaitli, kas uzrakstīts ar cipariem pirms otrā perioda sākuma, un skaitli, kas uzrakstīts ar cipariem pirms pirmā perioda sākuma , saucējs sastāv no deviņu skaitļu, kas vienāds ar ciparu skaitu periodā, un no tāda nulles skaita, cik ciparu ir pirms pirmā perioda sākuma.

Tagad pierādīsim šo noteikumu daļai, kuras priekšperiods sastāv no n cipariem, un periods ir no Uz cipariem Dodiet periodisku daļu

Apzīmēsim V= ; r= ,

Ar= ; Tad Ar=in × 10k + r.

Reizināsim A ar 10 ar šādu eksponentu, cik ciparu ir priekšperiodā, t.i. līdz 10 n, mēs iegūstam:

A×10 n = + .

Ņemot vērā iepriekš ieviestos apzīmējumus, mēs rakstām:

a× 10n= V+ .

Tātad iepriekš formulētais noteikums ir pierādīts jebkurai jauktai periodiskai daļai.

Katra bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa ir kāda racionāla skaitļa rakstīšanas forma.

Konsekvences labad dažkārt ierobežots decimālskaitlis tiek uzskatīts arī par bezgalīgu periodisku decimāldaļu ar punktu "nulle". Piemēram, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3000... .

Tagad kļūst patiess šāds apgalvojums: katru racionālo skaitli var (un unikālā veidā) izteikt kā bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli, un katra bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa izsaka tieši vienu racionālu skaitli (periodiskās decimāldaļas ar periodu 9 netiek ņemtas vērā ).

Fakts, ka daudzi kvadrātsaknes ir iracionāli skaitļi, īpaši nemazina to nozīmi, cipars $\sqrt2$ ļoti bieži tiek izmantots dažādos inženiertehniskos un zinātniskos aprēķinos. Šo skaitli var aprēķināt ar katrā konkrētajā gadījumā nepieciešamo precizitāti. Varat iegūt šo skaitli līdz tik daudzām zīmēm aiz komata, cik vien jums ir pacietība.

Piemēram, skaitli $\sqrt2$ var noteikt ar precizitāti līdz sešām zīmēm aiz komata: $\sqrt2=1.414214$. Šī vērtība ļoti neatšķiras no patiesās vērtības, jo $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Šī atbilde atšķiras no 2 tikai par vienu miljono daļu. Tāpēc $\sqrt2$ vērtība, kas vienāda ar $1.414214$, tiek uzskatīta par diezgan pieņemamu, lai atrisinātu lielāko daļu praktisko problēmu. Gadījumos, kad nepieciešama lielāka precizitāte, nav grūti iegūt tik daudz nozīmīgi skaitļi aiz komata, kā nepieciešams šajā gadījumā.

Tomēr, ja jūs izrādāt retu spītību un mēģināt iegūt kvadrātsakne no skaitļa $\sqrt2$, līdz sasniegsiet precīzu rezultātu, jūs nekad nepabeigsit savu darbu. Tas ir nebeidzams process. Neatkarīgi no tā, cik ciparu aiz komata jūs iegūstat, vienmēr paliks vēl dažas.

Šis fakts var jūs pārsteigt tikpat ļoti kā $\frac13$ pārvēršana bezgalīgā decimāldaļā $0,333333333…$ un tā uz nenoteiktu laiku, vai $\frac17$ pārvēršana par $0,142857142857142857…$ un tā tālāk uz nenoteiktu laiku. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka šīs bezgalīgās un iracionālās kvadrātsaknes ir tādas pašas kārtas parādības, taču tas tā nebūt nav. Galu galā šīm bezgalīgajām daļām ir daļskaitlis ekvivalents, savukārt $\sqrt2$ šāda ekvivalenta nav. Kāpēc tieši? Fakts ir tāds, ka decimāldaļas $\frac13$ un $\frac17$ ekvivalents, kā arī bezgalīgs skaits citu daļskaitļu ir periodiskas bezgalīgas daļas.

Tajā pašā laikā decimāldaļas $\sqrt2$ ekvivalents ir neperiodiska daļa. Šis apgalvojums attiecas arī uz jebkuru iracionālu skaitli.

Problēma ir tāda, ka jebkura decimāldaļa, kas ir 2 kvadrātsaknes tuvinājums, ir neperiodiskā daļa. Neatkarīgi no tā, cik tālu mēs ejam savos aprēķinos, jebkura iegūtā daļa būs neperiodiska.

Iedomājieties daļu ar lielu skaitu neperiodisku ciparu aiz komata. Ja pēkšņi pēc miljonā cipara atkārtojas visa decimālzīmju secība, tas nozīmē decimālzīme- periodisks, un tam ir ekvivalents veselu skaitļu attiecības veidā. Ja daļskaitlī ar milzīgu skaitu (miljardiem vai miljoniem) neperiodisku zīmju aiz komata kādā brīdī ir bezgalīga atkārtotu ciparu virkne, piemēram, $...55555555555...$, tas arī nozīmē, ka šī daļa ir periodiska un tam ir ekvivalents veselu skaitļu skaitļu attiecības veidā.

Tomēr, ja to decimāldaļas ekvivalenti ir pilnīgi neperiodiski un nevar kļūt par periodiskiem.

Protams, var uzdot šādu jautājumu: “Kurš gan var zināt un droši pateikt, kas notiek ar daļu, teiksim, pēc triljona zīmes? Kurš var garantēt, ka daļa nekļūs periodiska? Ir veidi, kā pārliecinoši pierādīt, ka iracionālie skaitļi ir neperiodiski, taču šādiem pierādījumiem ir nepieciešama sarežģīta matemātika. Bet, ja pēkšņi izrādījās, ka iracionālais skaitlis kļūst periodiska daļa, tas nozīmētu pilnīgu matemātikas zinātņu pamatu sabrukumu. Un patiesībā tas diez vai ir iespējams. Jums nav viegli mest to no vienas puses uz otru uz saviem pirkstiem, šeit ir sarežģīta matemātiskā teorija.

Atcerieties, kā pašā pirmajā nodarbībā par decimāldaļām es teicu, ka ir skaitļu daļas, kuras nevar attēlot kā decimāldaļas (skatiet nodarbību “ Decimāldaļas”)? Mēs arī uzzinājām, kā faktorēt daļskaitļu saucējus, lai redzētu, vai ir citi skaitļi, izņemot 2 un 5.

Tātad: es meloju. Un šodien mēs uzzināsim, kā pārvērst absolūti jebkuru skaitlisko daļu decimāldaļā. Tajā pašā laikā mēs iepazīsimies ar veselu daļskaitļu klasi ar bezgalīgi nozīmīgu daļu.

Periodiska decimāldaļa ir jebkura decimāldaļa, kas:

1. Nozīmīgo daļu veido bezgalīgs skaits ciparu;
2. Noteiktos intervālos skaitļi nozīmīgajā daļā tiek atkārtoti.

Atkārtotu ciparu kopu, kas veido nozīmīgo daļu, sauc par daļdaļas periodisko daļu, un ciparu skaitu šajā kopā sauc par daļdaļas periodu. Atlikušo nozīmīgās daļas segmentu, kas neatkārtojas, sauc par neperiodisko daļu.

Tā kā definīciju ir daudz, ir vērts detalizēti apsvērt vairākas no šīm daļām:

Šī daļa visbiežāk parādās problēmās. Neperiodiskā daļa: 0; periodiskā daļa: 3; perioda garums: 1.

Neperiodiskā daļa: 0,58; periodiskā daļa: 3; perioda garums: atkal 1.

Neperiodiskā daļa: 1; periodiskā daļa: 54; perioda garums: 2.

Neperiodiskā daļa: 0; periodiskā daļa: 641025; perioda garums: 6. Ērtības labad atkārtotas daļas ir atdalītas viena no otras ar atstarpi - šajā risinājumā tas nav nepieciešams.

Neperiodiskā daļa: 3066; periodiskā daļa: 6; perioda garums: 1.

Kā redzat, periodiskas daļas definīcijas pamatā ir jēdziens nozīmīga skaitļa daļa. Tāpēc, ja esat aizmirsis, kas tas ir, iesaku to atkārtot - skatiet nodarbību “”.

Pāreja uz periodisku decimāldaļu

Apsveriet parasto daļskaitli no formas a /b. Faktorizēsim tā saucēju primārajos faktoros. Ir divas iespējas:

1. Izvērsumā ir tikai koeficienti 2 un 5. Šīs daļskaitļus var viegli pārvērst decimāldaļās — skatiet nodarbību “Decimāldaļas”. Tādi cilvēki mūs neinteresē;
2. Izvērsumā ir kas cits, nevis 2 un 5. Šajā gadījumā daļskaitli nevar attēlot kā decimāldaļu, bet to var pārvērst periodiskā decimāldaļā.

Lai definētu periodisku decimālo daļu, jāatrod tās periodiskās un neperiodiskās daļas. Kā? Pārveidojiet daļu par nepareizu daļskaitli un pēc tam sadaliet skaitītāju ar saucēju, izmantojot stūri.

Notiks sekojošais:

1. Vispirms sadalīsies visa daļa , ja tāda pastāv;
2. Aiz komata var būt vairāki skaitļi;
3. Pēc kāda laika sāksies skaitļi atkārtojiet.

Tas arī viss! Atkārtotos skaitļus aiz komata apzīmē ar periodisko daļu, bet priekšā esošos ar neperiodisko daļu.

Uzdevums. Pārvērst parastās daļskaitļus par periodiskām decimāldaļām:

Visas daļas bez vesela skaitļa daļas, tāpēc mēs vienkārši sadalām skaitītāju ar saucēju ar “stūri”:

Kā redzat, atlikumi tiek atkārtoti. Daļskaitli ierakstīsim “pareizajā” formā: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultāts ir daļa: 0,5833 ... = 0,58(3).

Mēs to rakstām parastā formā: 4.0909 ... = 4,(09).

Iegūstam daļskaitli: 0,4141 ... = 0.(41).

Pāreja no periodiskas decimāldaļas uz parasto daļu

Apsveriet periodisko decimālo daļu X = abc (a 1 b 1 c 1). Tas ir jāpārvērš par klasisku "divstāvu". Lai to izdarītu, veiciet četras vienkāršas darbības:

1. Atrodiet daļdaļas periodu, t.i. saskaitiet, cik ciparu ir periodiskajā daļā. Lai tas ir skaitlis k;
2. Atrodiet izteiksmes X · 10 k vērtību. Tas ir līdzvērtīgs decimāldaļas pārvietošanai pa labi pilnu periodu — skatiet nodarbību "Komata reizināšana un dalīšana";
3. Sākotnējā izteiksme ir jāatņem no iegūtā skaitļa. Šajā gadījumā periodiskā daļa tiek “sadedzināta” un paliek kopējā frakcija;
4. Atrodiet X iegūtajā vienādojumā. Mēs pārvēršam visas decimāldaļas par parastajām daļām.

Uzdevums. Pārvērtiet skaitli par parastu nepareizo daļskaitli:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Mēs strādājam ar pirmo daļskaitli: X = 9, (6) = 9,666 ...

Iekavās ir tikai viens cipars, tāpēc periods ir k = 1. Tālāk mēs reizinām šo daļu ar 10 k = 10 1 = 10. Mums ir:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Atņemiet sākotnējo daļu un atrisiniet vienādojumu:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Tagad apskatīsim otro daļu. Tātad X = 32, (39) = 32,393939...

Periods k = 2, tāpēc visu reiziniet ar 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Vēlreiz atņemiet sākotnējo daļu un atrisiniet vienādojumu:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pārejam pie trešās daļas: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagramma ir tāda pati, tāpēc es sniegšu tikai aprēķinus:

Periods k = 1 ⇒ reizināt visu ar 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Visbeidzot, pēdējā daļa: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Atkal ērtības labad periodiskās daļas viena no otras ir atdalītas ar atstarpēm. Mums ir:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Šis raksts ir par decimāldaļas. Šeit mēs sapratīsim daļskaitļu decimālo apzīmējumu, iepazīstināsim ar decimāldaļskaitļa jēdzienu un sniegsim decimāldaļskaitļu piemērus. Tālāk mēs runāsim par decimāldaļskaitļu cipariem un norādīsim ciparu nosaukumus. Pēc tam mēs pievērsīsimies bezgalīgām decimāldaļām, parunāsim par periodiskām un neperiodiskām daļām. Tālāk mēs uzskaitām pamatdarbības ar decimāldaļskaitļiem. Noslēgumā noteiksim decimāldaļskaitļu pozīciju koordinātu starā.

Lapas navigācija.

Daļēja skaitļa decimālais apzīmējums

Decimālzīmju lasīšana

Teiksim dažus vārdus par decimāldaļskaitļu lasīšanas noteikumiem.

Decimāldaļas, kas atbilst parastajām daļskaitļiem, tiek nolasītas tāpat kā šīs parastās daļas, tikai vispirms tiek pievienots “nulle vesels skaitlis”. Piemēram, decimāldaļdaļa 0,12 atbilst parastajai daļdaļai 12/100 (lasīt “divpadsmit simtdaļas”), tāpēc 0,12 tiek lasīta kā “nulles komata divpadsmit simtdaļas”.

Decimāldaļas, kas atbilst jauktiem skaitļiem, tiek nolasītas tieši tāpat kā šie jauktie skaitļi. Piemēram, decimāldaļdaļa 56.002 atbilst jaukts numurs, tādēļ decimāldaļdaļa 56.002 tiek lasīta kā "piecdesmit sešas komata divas tūkstošdaļas".

Vietas decimāldaļās

Decimāldaļu rakstīšanā, kā arī rakstveidā naturālie skaitļi, katra cipara nozīme ir atkarīga no tā atrašanās vietas. Patiešām, skaitlis 3 decimāldaļdaļā 0,3 nozīmē trīs desmitdaļas, decimāldaļdaļā 0,0003 - trīs desmit tūkstošdaļas, bet decimāldaļdaļā 30 000,152 - trīs desmit tūkstošdaļas. Tātad mēs varam runāt par decimālzīmes, kā arī par cipariem naturālajos skaitļos.

Ciparu nosaukumi decimāldaļdaļā līdz komatam pilnībā sakrīt ar ciparu nosaukumiem naturālajos skaitļos. Un aiz komata esošo zīmju nosaukumus var redzēt no nākamās tabulas.

Piemēram, decimāldaļdaļā 37.051 cipars 3 atrodas desmitdaļās, 7 ir vienību vietā, 0 ir desmitās, 5 ir simtdaļas un 1 ir tūkstošdaļās.

Vietām decimāldaļās atšķiras arī prioritāte. Ja, rakstot decimāldaļskaitli, mēs virzāmies no cipara uz ciparu no kreisās puses uz labo, tad mēs virzīsimies no seniori Uz junioru ierindas. Piemēram, simtnieku vieta ir vecāka par desmito vietu, un miljonā vieta ir zemāka par simto vietu. Noteiktā pēdējā decimāldaļdaļā mēs varam runāt par galvenajiem un mazajiem cipariem. Piemēram, decimāldaļdaļā 604,9387 vecākais (augstākais) vieta ir simtiem vieta, un juniors (zemākais)- desmittūkstošdaļu cipars.

Decimāldaļskaitļiem notiek izvēršana ciparu formātā. Tas ir līdzīgs naturālu skaitļu paplašināšanai. Piemēram, 45.6072 izvēršana zīmēs aiz komata ir šāda: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. Un saskaitīšanas īpašības no decimāldaļas sadalīšanas cipariem ļauj pāriet uz citiem šīs decimāldaļas attēlojumiem, piemēram, 45.6072=45+0.6072 vai 45.6072=40.6+5.007+0.0002 vai 45.6072=7. 0.6.

Beigu decimālzīmes

Līdz šim ir runāts tikai par decimāldaļskaitļiem, kuru pierakstā aiz komata ir noteikts ciparu skaits. Šādas daļas sauc par galīgajām decimāldaļām.

Definīcija.

Beigu decimālzīmes- Tās ir decimāldaļdaļas, kuru ierakstos ir ierobežots skaits rakstzīmju (ciparu).

Šeit ir daži pēdējo decimāldaļu piemēri: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Tomēr ne katru daļu var attēlot kā pēdējo decimāldaļu. Piemēram, daļu 5/13 nevar aizstāt ar vienādu daļskaitli ar vienu no saucējiem 10, 100, ..., tāpēc to nevar pārvērst par pēdējo decimāldaļskaitli. Par to vairāk runāsim teorijas sadaļā, pārvēršot parastās daļskaitļus decimāldaļās.

Bezgalīgas decimāldaļas: periodiskas daļas un neperiodiskas daļas

Rakstot decimāldaļu aiz komata, varat pieņemt bezgalīga ciparu skaita iespēju. Šajā gadījumā mēs apsvērsim tā sauktās bezgalīgās decimāldaļas.

Definīcija.

Bezgalīgas decimāldaļas- Tās ir decimāldaļas, kurās ir bezgalīgs skaits ciparu.

Ir skaidrs, ka mēs nevaram pierakstīt bezgalīgas decimāldaļas pilnā formā, tāpēc to rakstīšanā mēs aprobežojamies ar tikai noteiktu ierobežotu ciparu skaitu aiz komata un ievietojam elipsi, kas norāda uz bezgalīgi nepārtrauktu ciparu secību. Šeit ir daži bezgalīgu decimāldaļu piemēri: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ja vērīgi paskatās uz pēdējām divām bezgalīgām decimāldaļām, tad daļā 2.111111111... skaidri redzams bezgalīgi atkārtojošais skaitlis 1, bet daļā 69.74152152152..., sākot no trešās decimāldaļas, atkārtojas skaitļu grupa. 1, 5 un 2 ir skaidri redzami. Šādas bezgalīgas decimāldaļas sauc par periodiskām.

Definīcija.

Periodiskas decimāldaļas(vai vienkārši periodiskas frakcijas) ir bezgalīgas decimāldaļas, kuru ierakstīšanā, sākot no noteiktas decimāldaļas, bezgalīgi atkārtojas kāds skaitlis vai skaitļu grupa, kas tiek saukta daļas periods.

Piemēram, periodiskās daļdaļas 2.111111111... periods ir cipars 1, bet daļas 69.74152152152... periods ir 152. formas ciparu grupa.

Bezgalīgām periodiskām decimāldaļdaļām tiek pieņemta īpaša apzīmējuma forma. Īsuma labad vienojāmies vienu reizi pierakstīt punktu, pievienojot to iekavās. Piemēram, periodiskā daļa 2.111111111... tiek uzrakstīta kā 2,(1) , bet periodiskā daļa 69.74152152152... tiek rakstīta kā 69.74(152) .

Ir vērts atzīmēt, ka vienai un tai pašai periodiskajai decimāldaļai var norādīt dažādus periodus. Piemēram, periodisko decimāldaļdaļu 0,73333... var uzskatīt par daļskaitli 0,7(3) ar periodu 3, kā arī kā daļu 0,7(33) ar periodu 33 un tā tālāk 0,7(333), 0,7 (3333), ... Varat arī apskatīt periodisko daļu 0,73333 ... šādi: 0,733(3), vai šādi 0,73(333) utt. Šeit, lai izvairītos no neskaidrībām un neatbilstībām, mēs piekrītam uzskatīt par decimāldaļdaļas periodu īsāko no visām iespējamām atkārtotu ciparu secībām, sākot no tuvākās pozīcijas līdz komatam. Tas ir, decimāldaļas 0,73333... periods tiks uzskatīts par viena cipara 3 secību, un periodiskums sākas no otrās pozīcijas aiz komata, tas ir, 0,73333...=0,7(3). Cits piemērs: periodiskajai daļai 4.7412121212... ir periods 12, periodiskums sākas no trešā cipara aiz komata, tas ir, 4.7412121212...=4.74(12).

Bezgalīgas decimāldaļskaitļus iegūst, pārvēršot decimāldaļdaļās parastās daļskaitļus, kuru saucējos ir primārie koeficienti, kas nav 2 un 5.

Šeit ir vērts pieminēt periodiskas frakcijas ar periodu 9. Sniegsim šādu daļskaitļu piemērus: 6.43(9) , 27,(9) . Šīs frakcijas ir vēl viens apzīmējums periodiskām daļām ar periodu 0, un tās parasti aizstāj ar periodiskām daļām ar periodu 0. Lai to izdarītu, periods 9 tiek aizstāts ar periodu 0, un nākamā augstākā cipara vērtība tiek palielināta par vienu. Piemēram, veidlapas 7.24(9) daļskaitlis ar 9. punktu tiek aizstāts ar periodisku daļskaitli ar 0. punktu veidlapā 7.25(0) vai ar līdzvērtīgu pēdējo decimāldaļu 7.25. Vēl viens piemērs: 4, (9) = 5, (0) = 5. Daļas ar periodu 9 un tai atbilstošās daļdaļas ar periodu 0 vienlīdzību var viegli noteikt pēc tam, kad šīs decimāldaļdaļas ir aizstātas ar vienādām parastajām daļām.

Visbeidzot, aplūkosim tuvāk bezgalīgas decimāldaļskaitļus, kas nesatur bezgalīgi atkārtotu ciparu secību. Tos sauc par neperiodiskiem.

Definīcija.

Neatkārtotas decimāldaļas(vai vienkārši neperiodiskās daļas) ir bezgalīgas decimāldaļas, kurām nav punkta.

Dažkārt neperiodiskām daļskaitļiem ir līdzīga forma kā periodiskajām daļām, piemēram, 8.02002000200002... ir neperiodiska daļa. Šādos gadījumos jums jābūt īpaši uzmanīgiem, lai pamanītu atšķirību.

Ņemiet vērā, ka neperiodiskās daļskaitļi nepārvēršas par parastajām daļskaitļiem.

Darbības ar decimāldaļām

Viena no operācijām ar decimāldaļskaitļiem ir salīdzināšana, un ir definētas arī četras aritmētiskās pamatfunkcijas darbības ar decimāldaļām: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Apskatīsim atsevišķi katru darbību ar decimāldaļskaitļiem.

Decimāldaļu salīdzinājums būtībā balstās uz parasto daļskaitļu salīdzināšanu, kas atbilst salīdzināmajām decimāldaļdaļām. Taču decimāldaļskaitļu pārvēršana parastās daļskaitļos ir diezgan darbietilpīgs process, un bezgalīgas neperiodiskas daļdaļas nevar attēlot kā parastu daļskaitli, tāpēc ir ērti izmantot decimāldaļskaitļu salīdzinājumu pa vietām. Decimāldaļu salīdzināšana pēc vietas ir līdzīga naturālo skaitļu salīdzināšanai. Lai iegūtu sīkāku informāciju, mēs iesakām izpētīt rakstu: decimāldaļu salīdzinājums, noteikumi, piemēri, risinājumi.

Pārejam uz nākamo soli - reizinot decimāldaļas. Galīgo decimālo daļu reizināšana tiek veikta līdzīgi kā decimāldaļu atņemšana, noteikumi, piemēri, reizināšanas risinājumi ar naturālu skaitļu kolonnu. Periodisku daļskaitļu gadījumā reizināšanu var reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai. Savukārt bezgalīgo neperiodisko decimālo daļu reizinājums pēc to noapaļošanas tiek reducēts līdz galīgo decimālo daļu reizināšanai. Mēs iesakām tālākai izpētei rakstā iekļauto materiālu: decimāldaļskaitļu reizināšanu, noteikumus, piemērus, risinājumus.

Decimālzīmes uz koordinātu stara

Starp punktiem un decimāldaļām ir viena pret vienu.

Izdomāsim, kā koordinātu starā tiek konstruēti punkti, kas atbilst noteiktai decimāldaļai.

Mēs varam aizstāt ierobežotas decimāldaļas un bezgalīgas periodiskas decimāldaļas ar vienādām parastajām daļām un pēc tam izveidot atbilstošās parastās daļas uz koordinātu stara. Piemēram, decimāldaļdaļa 1,4 atbilst parastajai daļdaļai 14/10, tāpēc punkts ar koordinātu 1,4 tiek noņemts no sākuma pozitīvā virzienā par 14 segmentiem, kas vienādi ar vienības segmenta desmitdaļu.

Decimāldaļas var atzīmēt uz koordinātu stara, sākot no dotās decimāldaļas sadalīšanas ciparos. Piemēram, izveidosim punktu ar koordinātu 16.3007, jo 16.3007=16+0.3+0.0007, tad šis punkts jūs varat nokļūt, secīgi atlaižot no sākotnējās 16 vienības segmentus, 3 segmentus, kuru garums ir vienāds ar vienības segmenta desmitdaļu, un 7 segmentus, kuru garums ir vienāds ar vienības segmenta desmit tūkstošdaļu.

Šis veidošanas veids decimālskaitļi uz koordinātu stara ļauj pietuvoties pēc iespējas tuvāk punktam, kas atbilst bezgalīgai decimāldaļai.

Dažreiz ir iespējams precīzi uzzīmēt punktu, kas atbilst bezgalīgai decimāldaļai. Piemēram, , tad šī bezgalīgā decimāldaļdaļa 1.41421... atbilst punktam koordinātu stars, kas noņemts no sākuma par kvadrāta diagonāles garumu, kura mala ir 1 segmenta vienība.

Decimāldaļas iegūšanas process, kas atbilst noteiktam koordinātu stara punktam, ir t.s. segmenta decimālais mērījums. Izdomāsim, kā tas tiek darīts.

Ļaujiet mūsu uzdevumam nokļūt no sākuma līdz noteiktam punktam uz koordinātu līnijas (vai bezgalīgi tuvoties tam, ja mēs nevaram nokļūt). Izmantojot segmenta decimālo mērījumu, mēs varam secīgi atdalīt no sākuma jebkuru vienības segmentu skaitu, pēc tam segmentus, kuru garums ir vienāds ar vienības desmitdaļu, pēc tam segmentus, kuru garums ir vienāds ar vienības simtdaļu utt. Reģistrējot katra malā atstāto segmentu skaitu, mēs iegūstam decimāldaļu, kas atbilst konkrētajam koordinātu stara punktam.

Piemēram, lai iepriekš attēlā nokļūtu punktā M, ir jāatliek 1 vienības segments un 4 segmenti, kuru garums ir vienāds ar vienības desmito daļu. Tādējādi punkts M atbilst decimāldaļai 1.4.

Ir skaidrs, ka koordinātu staru punkti, kurus nevar sasniegt decimālās mērīšanas procesā, atbilst bezgalīgām decimāldaļām.

Atsauces.

• Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība iestādes / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matemātika. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai institūcijas / [N. Jā, Vilenkins un citi]. - 22. izd., red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.