Kāpēc ir vajadzīga absolūta kļūda? Fizikālo lielumu mērīšana

Fiziskā lieluma mērīšanas rezultāts vienmēr atšķiras no patiesās vērtības par noteiktu daudzumu, ko sauc kļūda

KLASIFIKĀCIJA:

1. Pēc izteiksmes: absolūtais, reducētais un relatīvais

2. Pēc izcelsmes avota: metodiskais un instrumentālais.

3. Atbilstoši rašanās apstākļiem un cēloņiem: galvenais un papildu

4. Pēc izmaiņu būtības: sistemātiskas un nejaušas.

5. Atkarībā no ievades izmērītās vērtības: aditīva un reizināta

6. Atkarībā no inerces: statiskā un dinamiskā.

13. Absolūtās, relatīvās un samazinātās kļūdas.

Absolūta kļūda ir starpība starp izmērītā daudzuma izmērīto un faktisko vērtību:

kur mēra A, A ir izmērītās un faktiskās vērtības; ΔA - absolūta kļūda.

Absolūto kļūdu izsaka izmērītās vērtības vienībās. Absolūto kļūdu, kas pieņemta ar pretēju zīmi, sauc par korekciju.

Radiniekskļūda p ir vienāds ar attiecību absolūta kļūdaΔA līdz izmērītās vērtības faktiskajai vērtībai un tiek izteikta procentos:

Ņemot vērākļūda Mērinstrumenta vērtība ir absolūtās kļūdas attiecība pret nominālo vērtību. Ierīcei ar vienpusēju skalu nominālvērtība ir vienāda ar mērījuma augšējo robežu, ierīcei ar abpusēju skalu (ar nulli vidū) - mērījumu augšējo robežu aritmētisko summu:

pr.nr.

14. Metodiskās, instrumentālās, sistemātiskās un nejaušās kļūdas.

Metodes kļūda ir saistīts ar izmantotās mērīšanas metodes nepilnību, formulu neprecizitāti un matemātiskajām atkarībām, kas raksturo šo mērīšanas metodi, kā arī mērinstrumenta ietekmi uz objektu, kura īpašības mainās.

Instrumentāla kļūda(instrumenta kļūda) ir saistīta ar mērierīces konstrukcijas īpatnībām, kalibrēšanas un skalas neprecizitāti, kā arī nepareizu mērierīces uzstādīšanu.

Instrumentālā kļūda, kā likums, ir norādīta mērinstrumenta pasē, un to var novērtēt skaitliskā izteiksmē.

Sistemātiska kļūda- nemainīga vai dabiski mainīga kļūda, veicot atkārtotus viena un tā paša daudzuma mērījumus tādos pašos mērīšanas apstākļos. Piemēram, kļūdu, kas rodas, mērot pretestību ar ampērvoltmetru, izraisa zems akumulatora uzlādes līmenis.

Izlases kļūda- mērījumu kļūda, kuras raksturs mainās, veicot viena un tā paša daudzuma atkārtotus mērījumus tādos pašos apstākļos, ir nejauša. Piemēram, skaitīšanas kļūda vairāku atkārtotu mērījumu laikā.

Nejaušas kļūdas cēlonis ir daudzu nejaušu faktoru vienlaicīga darbība, katram no kuriem atsevišķi ir maza ietekme.

Gadījuma kļūdu var novērtēt un daļēji samazināt, izmantojot pareizas apstrādes metodes matemātiskā statistika, kā arī varbūtības metodes.

15. Pamata un papildu, statiskās un dinamiskās kļūdas.

Pamata kļūda- kļūda, kas rodas normālos mērinstrumenta lietošanas apstākļos (temperatūra, mitrums, barošanas spriegums u.c.), kas ir standartizēti un norādīti standartos vai tehniskajās specifikācijās.

Papildu kļūda izraisa viena vai vairāku ietekmējošo lielumu novirze no normālās vērtības. Piemēram, temperatūras izmaiņas vidi, mitruma izmaiņas, barošanas sprieguma svārstības. Papildkļūdas vērtība ir standartizēta un norādīta mērinstrumentu tehniskajā dokumentācijā.

Statiskā kļūda- kļūda, mērot laika nemainīgu vērtību. Piemēram, pastāvīga strāvas sprieguma mērījumu kļūda mērīšanas laikā.

Dinamiska kļūda- laikā mainīga lieluma mērījumu kļūda. Piemēram, kļūda pārslēgtā līdzstrāvas sprieguma mērīšanā pārejas procesu dēļ pārslēgšanas laikā, kā arī ierobežots ātrums mērinstruments.

FIZISKO DAUDZUMU MĒRĪŠANA.

IEVADS

K-402.1 komplekss ir nepieciešamo sarakstu izglītības standartā paredzētie laboratorijas darbi un darba programma sadaļā "Dinamika" ciets"Disciplīna "Fizika". Tas ietver laboratorijas iekārtu aprakstu, mērījumu procedūru un algoritmu noteiktu fizikālie lielumi.

Ja skolēns nodarbības laikā sāk iepazīties ar konkrētu darbu klasē, tad viena izpildei atvēlētās divas stundas. laboratorijas darbi, viņam nepietiks un viņš sāks atpalikt no semestra darba grafika. Lai to novērstu, otrās paaudzes izglītības standarts paredz, ka 50% no disciplīnas apguvei atvēlētajām stundām jāpavada patstāvīgam darbam, kas ir nepieciešama mācību procesa sastāvdaļa. Mērķis patstāvīgs darbs ir nostiprināt un padziļināt zināšanas un prasmes, sagatavoties lekcijām, praktiskajām un laboratorijas nodarbībām, kā arī attīstīt studentu patstāvību jaunu zināšanu un prasmju apguvē.

Ir paredzētas dažādu specialitāšu mācību programmas pašmācība disciplīna "Fizika" semestra laikā no 60 līdz 120 stundām. No tām laboratorijas nodarbības ir 20–40 stundas jeb 2–4 stundas vienam darbam. Šajā laikā skolēnam: jāizlasa attiecīgās rindkopas mācību grāmatās; apgūt pamatformulas un likumus; iepazīties ar uzstādīšanas un mērīšanas procedūru. Lai audzēknis varētu veikt darbu pie instalācijas, studentam jāzina iekārtas iekārta, jāprot noteikt mērinstrumenta dalījuma vērtību, jāzina mērījumu secība, jāprot apstrādāt mērījumu rezultātus, novērtēt kļūdu.

Pēc visiem aprēķiniem un atskaites sagatavošanas studentam jāizdara secinājums, konkrēti norādot tos fiziskos likumus, kas tika pārbaudīti darba laikā.

Ir divu veidu mērījumi: tiešie un netiešie.

Tiešie mērījumi ir tie, kuros tiek veikts mēra un objekta salīdzinājums. Piemēram, izmēra cilindra augstumu un diametru, izmantojot suportu.

Netiešos mērījumos fizisko lielumu nosaka, pamatojoties uz formulu, kas nosaka tā saistību ar lielumiem, kas konstatēti tiešos mērījumos.

Mērījumu nevar veikt pilnīgi precīzi. Tās rezultāts vienmēr satur kādu kļūdu.

Mērījumu kļūdas parasti iedala sistemātiskās un nejaušās.

Sistemātiskas kļūdas izraisa faktori, kas darbojas vienādi, ja vienus un tos pašus mērījumus atkārto daudzas reizes.

Ieguldījums sistemātiskajās kļūdās nāk no instrumentāls vai instrumenta kļūda, ko nosaka ierīces jutība. Ja šādu datu par instrumentu nav, par instrumenta kļūdu uzskata cenu vai pusi no instrumenta mazākās skalas daļas cenas.

Nejaušas kļūdas ko izraisa daudzu faktoru vienlaicīga darbība, kurus nevar ņemt vērā. Lielākajai daļai mērījumu ir pievienotas nejaušas kļūdas, kas raksturojas ar to, ka ar katru atkārtotu mērījumu tās iegūst citu, neparedzamu vērtību.

Absolūta kļūda ietvers sistemātiskas un nejaušas kļūdas:

. (1.1)

Izmērītās vērtības patiesā vērtība būs diapazonā:

ko sauc par ticamības intervālu.

Lai noteiktu nejaušo kļūdu, vispirms aprēķiniet visu mērījuma laikā iegūto vērtību vidējo:

, (1.2)

kur ir rezultāts i-th dimensija, - izmēru skaits.

Pēc tam tiek atrastas atsevišķu mērījumu kļūdas

, , …, .

. (1.3)

Apstrādājot mērījumu rezultātus, tiek izmantots Studentu sadalījums. Ņemot vērā Studenta koeficientu, nejauša kļūda

.

1.1. tabula

Studentu koeficientu tabula

n
0,6	0,7	0,9	0,95	0,99
	1,36	2,0	6,3	12,7	636,6
	1,06	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,98	1,3	2,4	3,2	12,9
	0,94	1,2	2,1	2,8	8,7
…	…	…	…	…	…
	0,85	1,0	1,7	2,0	3,5
	0,84	1,0	1,7	2,0	3,4

Studenta koeficients parāda vidējā aritmētiskā novirze no patiesās vērtības, kas izteikta kā vidējās kvadrātiskās kļūdas daļa. Studenta koeficients ir atkarīgs no mērījumu skaita n un par uzticamību, un tas ir norādīts tabulā. 1.1.

Absolūto kļūdu aprēķina, izmantojot formulu

.

Vairumā gadījumu nozīmīgāku lomu spēlē nevis absolūtā, bet gan relatīvā kļūda

Or . (1.4)

Visi aprēķinu rezultāti tiek ievadīti tabulā. 1.2.

1.2. tabula

Mērījumu kļūdas aprēķina rezultāts

Nē.
	mm	mm	mm	mm 2	mm 2	mm	mm	mm	mm	mm	%

Netiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Noteikumi mērījumu kļūda Un mērījumu kļūda tiek lietoti kā sinonīmi.) Šīs novirzes lielumu iespējams novērtēt tikai, piemēram, izmantojot statistikas metodes. Šajā gadījumā par patieso vērtību tiek ņemta vidējā statistiskā vērtība, kas iegūta, statistiski apstrādājot mērījumu sērijas rezultātus. Šī iegūtā vērtība nav precīza, bet tikai visticamākā. Tāpēc mērījumos ir jānorāda, kāda ir to precizitāte. Lai to izdarītu, kopā ar iegūto rezultātu tiek norādīta mērījumu kļūda. Piemēram, ierakstīt T=2,8±0,1 c. nozīmē, ka daudzuma patiesā vērtība T atrodas diapazonā no 2,7 s. pirms tam 2,9 s. kāda noteikta varbūtība (sk. ticamības intervālu, ticamības varbūtību, standarta kļūdu).

2006. gadā plkst starptautiskā līmenī tika pieņemts jauns dokuments, kas diktē nosacījumus mērījumu veikšanai un nosaka jaunus noteikumus valsts standartu salīdzināšanai. Jēdziens “kļūda” kļuva novecojis, un tā vietā tika ieviests jēdziens “mērījumu nenoteiktība”.

Kļūdas noteikšana

Atkarībā no izmērītā daudzuma īpašībām mērīšanas kļūdas noteikšanai tiek izmantotas dažādas metodes.

• Kornfelda metode sastāv no ticamības intervāla izvēles no minimālā līdz maksimālajam mērījuma rezultātam un kļūdu kā pusi no starpības starp maksimālo un minimālo mērījumu rezultātu:

• Vidējā kvadrāta kļūda:

• Vidējā aritmētiskā kvadrātiskā kļūda:

Kļūdu klasifikācija

Saskaņā ar prezentācijas formu

• Absolūta kļūda - Δ X ir absolūtās mērījumu kļūdas novērtējums. Šīs kļūdas lielums ir atkarīgs no tās aprēķināšanas metodes, ko savukārt nosaka nejaušā lieluma sadalījums X meas . Šajā gadījumā vienlīdzība:

Δ X = | X true − X meas | ,

Kur X true ir patiesā vērtība, un X meas - izmērītā vērtība jāizpilda ar noteiktu varbūtību tuvu 1. Ja nejauša vērtība X meas tiek sadalīts saskaņā ar parasto likumu, tad parasti tā standartnovirze tiek uzskatīta par absolūto kļūdu. Absolūto kļūdu mēra tajās pašās vienībās kā pašu daudzumu.

• Relatīvā kļūda- absolūtās kļūdas attiecība pret vērtību, kas tiek pieņemta kā patiesa:

Relatīvā kļūda ir bezizmēra lielums vai izmērīts procentos.

• Samazināta kļūda- relatīvā kļūda, kas izteikta kā mērinstrumenta absolūtās kļūdas attiecība pret parasto kļūdu pieņemtā vērtība vērtība, kas ir nemainīga visā mērījumu diapazonā vai diapazona daļā. Aprēķināts pēc formulas

Kur X n- normalizējošā vērtība, kas ir atkarīga no mērierīces skalas veida un tiek noteikta pēc tās kalibrēšanas:

Ja instrumenta skala ir vienpusēja, t.i. tad apakšējā mērījuma robeža ir nulle X n noteikts vienāds ar mērījuma augšējo robežu;
- ja instrumenta skala ir abpusēja, tad normalizējošā vērtība ir vienāda ar instrumenta mērījumu diapazona platumu.

Dotā kļūda ir bezizmēra lielums (var izmērīt procentos).

Notikuma dēļ

• Instrumentālās/instrumentālās kļūdas- kļūdas, ko nosaka izmantoto mērinstrumentu kļūdas un ko izraisa darbības principa nepilnības, skalas kalibrēšanas neprecizitāte un ierīces redzamības trūkums.
• Metodiskās kļūdas- kļūdas metodes nepilnības dēļ, kā arī metodoloģijas pamatā esošie vienkāršojumi.
• Subjektīvas / operatora / personiskas kļūdas- kļūdas, kas radušās operatora uzmanības, koncentrēšanās, sagatavotības un citu īpašību dēļ.

Tehnoloģijās instrumentus izmanto, lai mērītu tikai ar noteiktu iepriekš noteiktu precizitāti - galveno kļūdu, ko pieļauj parastais normāli apstākļi darbība šai ierīcei.

Ja ierīce darbojas citos apstākļos, nekā parasti, rodas papildu kļūda, kas palielina ierīces kopējo kļūdu. Papildu kļūdas ir: temperatūra, ko izraisa apkārtējās vides temperatūras novirze no normālās, uzstādīšana, ko izraisa ierīces stāvokļa novirze no parastā darbības stāvokļa utt. Aiz muguras normāla temperatūra apkārtējā gaisa temperatūra parasti ir 20°C Atmosfēras spiediens 01,325 kPa.

Mērinstrumentu vispārināts raksturlielums ir precizitātes klase, noteikta robežvērtības pieļaujamās galvenās un papildu kļūdas, kā arī citi parametri, kas ietekmē mērīšanas līdzekļu precizitāti; parametru nozīme noteikta noteikta veida mērinstrumentu standartos. Mērinstrumentu precizitātes klase raksturo to precizitātes īpašības, bet nav tiešs rādītājs ar šiem instrumentiem veikto mērījumu precizitātei, jo precizitāte ir atkarīga arī no mērīšanas metodes un to izpildes nosacījumiem. Mērinstrumentiem, kuru pieļaujamās pamatkļūdas robežas ir norādītas doto pamatkļūdu (relatīvajā) veidā, tiek piešķirtas precizitātes klases, kas izvēlētas no šādiem skaitļiem: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ; 5,0) ; 6,0)*10n, kur n = 1; 0; -1; -2 utt.

Pēc izpausmes būtības

• Izlases kļūda- kļūda, kas atšķiras (pēc lieluma un zīmes) atkarībā no mērījuma. Nejaušas kļūdas var būt saistītas ar instrumentu nepilnībām (berzi mehāniskās ierīcēs u.c.), kratīšanu pilsētas apstākļos, ar mērīšanas objekta nepilnību (piemēram, mērot tievas stieples diametru, kam var nebūt pilnīgi apaļa). šķērsgriezums ražošanas procesa nepilnību rezultātā), ar paša izmērītā daudzuma īpašībām (piemēram, mērot daudzumu elementārdaļiņas iet minūtē caur Geigera skaitītāju).
• Sistemātiska kļūda- kļūda, kas laika gaitā mainās saskaņā ar noteiktu likumu (īpašs gadījums ir pastāvīga kļūda, kas laika gaitā nemainās). Sistemātiskas kļūdas var būt saistītas ar instrumenta kļūdām (nepareiza skala, kalibrēšana utt.), kuras eksperimentētājs nav ņēmis vērā.
• Progresīva (drift) kļūda- neparedzama kļūda, kas laika gaitā mainās lēni. Tas ir nestacionārs nejaušs process.
• Rupja kļūda (nepazīt)- kļūda, kas radusies eksperimentētāja neuzmanības vai iekārtas darbības traucējumu dēļ (piemēram, ja eksperimentētājs nepareizi nolasīja iedalījumu skaitu instrumenta skalā, ja elektriskā ķēdē noticis īssavienojums).

Aprēķinu absolūto kļūdu nosaka pēc formulas:

Moduļa zīme parāda, ka mums ir vienalga, kura vērtība ir lielāka un kura mazāka. Svarīgs, cik tālu aptuvenais rezultāts vienā vai otrā virzienā novirzījās no precīzas vērtības.

Aprēķinu relatīvo kļūdu nosaka pēc formulas:
, vai tas pats:

Relatīvā kļūda parāda par cik procentiem aptuvenais rezultāts atšķīrās no precīzās vērtības. Ir formulas versija bez reizināšanas ar 100%, bet praksē es gandrīz vienmēr redzu iepriekš minēto versiju ar procentiem.

Pēc īsas atsauces atgriezīsimies pie mūsu problēmas, kurā mēs aprēķinājām funkcijas aptuveno vērtību izmantojot diferenciāli.

Aprēķināsim precīzu funkcijas vērtību, izmantojot mikrokalkulatoru:
, stingri runājot, vērtība joprojām ir aptuvena, taču mēs to uzskatīsim par precīzu. Tādas problēmas gadās.

Aprēķināsim absolūto kļūdu:

Aprēķināsim relatīvā kļūda:
, tika iegūtas procentu tūkstošdaļas, tāpēc diferenciālis sniedza tikai lielisku tuvinājumu.

Atbilde: , absolūtā aprēķina kļūda, relatīvā aprēķina kļūda

Šis neatkarīga risinājuma piemērs:

4. piemērs

punktā. Aprēķināt precīzāku funkcijas vērtību dotajā punktā, novērtēt aprēķinu absolūto un relatīvo kļūdu.

Aptuvenais gala noformējuma paraugs un atbilde nodarbības beigās.

Daudzi cilvēki ir pamanījuši, ka saknes parādās visos aplūkotajos piemēros. Tas nav nejaušs; vairumā gadījumu aplūkotā problēma faktiski piedāvā funkcijas ar saknēm.

Bet cietējiem lasītājiem es izraku nelielu piemēru ar arcsīnu:

5. piemērs

Aprēķiniet aptuveni funkcijas vērtību, izmantojot diferenciāli punktā

Šis īsais, bet informatīvais piemērs ir arī jums, lai to atrisinātu pašiem. Un es mazliet atpūtos, lai ar jaunu sparu varētu apsvērt īpašo uzdevumu:

6. piemērs

Aprēķiniet aptuveni, izmantojot diferenciāli, noapaļojiet rezultātu līdz divām zīmēm aiz komata.

Risinājums: Kas jauns uzdevumā? Nosacījums prasa rezultātu noapaļot līdz divām zīmēm aiz komata. Bet ne par to ir runa; es domāju, ka skolas noapaļošanas problēma jums nav grūta. Fakts ir tāds, ka mums ir dota tangensa ar argumentu, kas tiek izteikta grādos. Kas jums jādara, ja jums tiek lūgts atrisināt trigonometrisko funkciju ar grādiem? Piemēram , utt.

Risinājuma algoritms būtībā ir vienāds, tas ir, tāpat kā iepriekšējos piemēros, ir jāpiemēro formula

Uzrakstīsim acīmredzamu funkciju

Vērtība jāuzrāda formā . Sniegs nopietnu palīdzību trigonometrisko funkciju vērtību tabula . Starp citu, tiem, kas to nav izdrukājuši, iesaku to izdarīt, jo tur būs jāmeklē visa augstākās matemātikas studiju kursa garumā.

Analizējot tabulu, mēs novērojam “labu” pieskares vērtību, kas ir tuvu 47 grādiem:

Tādējādi:

Pēc provizoriskā analīze grādi jāpārvērš radiānos. Jā, un tikai šādā veidā!

IN šajā piemērā tieši no trigonometriskās tabulas to var uzzināt. Izmantojot formulu grādu pārvēršanai radiānos: (formulas var atrast tajā pašā tabulā).

Tālāk ir formulēts:

Tādējādi: (mēs izmantojam vērtību aprēķiniem). Rezultāts, kā to prasa nosacījums, tiek noapaļots līdz divām zīmēm aiz komata.

Atbilde:

7. piemērs

Aprēķiniet aptuveni, izmantojot diferenciāli, noapaļojiet rezultātu līdz trim zīmēm aiz komata.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kā redzat, nekas sarežģīts nav, mēs pārvēršam grādus radiānos un pieturamies pie ierastā risinājuma algoritma.

Aptuveni aprēķini, izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli

Viss būs ļoti, ļoti līdzīgi, tāpēc, ja uz šo lapu atnācāt speciāli šim uzdevumam, tad vispirms iesaku apskatīt vismaz pāris iepriekšējās rindkopas piemērus.

Lai izpētītu rindkopu, jums jāspēj atrast otrās kārtas daļēji atvasinājumi , kur mēs būtu bez viņiem? Iepriekš minētajā nodarbībā es apzīmēju divu mainīgo funkciju, izmantojot burtu . Saistībā ar aplūkojamo uzdevumu ērtāk ir izmantot līdzvērtīgu apzīmējumu.

Tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, problēmas nosacījumu var formulēt dažādos veidos, un es mēģināšu aplūkot visus formulējumus, ar kuriem saskaras.

8. piemērs

Risinājums: Neatkarīgi no tā, kā nosacījums ir rakstīts, pašā risinājumā, lai apzīmētu funkciju, es atkārtoju, labāk ir izmantot nevis burtu “zet”, bet gan .

Un šeit ir darba formula:

Patiesībā jau pirms mums vecākā māsa iepriekšējās rindkopas formulas. Mainīgais ir tikai palielinājies. Ko es varu teikt, pats risinājuma algoritms būtībā būs vienāds!

Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod aptuvenā funkcijas vērtība punktā.

Attēlosim skaitli 3,04 kā . Pati bulciņa prasa apēst:
,

Attēlosim skaitli 3,95 kā . Pienākusi kārta Kolobok otrajai pusei:
,

Un neskatieties uz visiem lapsas trikiem, ir Koloboks - jums tas ir jāēd.

Aprēķināsim funkcijas vērtību punktā:

Mēs atrodam funkcijas diferenciāli punktā, izmantojot formulu:

No formulas izriet, ka mums ir jāatrod daļēji atvasinājumi pirmais pasūtījums un aprēķiniet to vērtības punktā .

Aprēķināsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā:

Kopējā atšķirība punktā:

Tādējādi, saskaņā ar formulu, aptuvenā funkcijas vērtība punktā:

Aprēķināsim precīzu funkcijas vērtību punktā:

Šī vērtība ir absolūti precīza.

Kļūdas tiek aprēķinātas, izmantojot standarta formulas, kas jau tika apspriestas šajā rakstā.

Absolūtā kļūda:

Relatīvā kļūda:

Atbilde: , absolūtā kļūda: , relatīvā kļūda:

9. piemērs

Aprēķiniet funkcijas aptuveno vērtību punktā, izmantojot kopējo diferenciāli, novērtējiet absolūto un relatīvo kļūdu.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ikviens, kurš aplūko šo piemēru tuvāk, ievēros, ka aprēķinu kļūdas izrādījās ļoti, ļoti pamanāmas. Tas notika šāda iemesla dēļ: piedāvātajā uzdevumā argumentu pieaugumi ir diezgan lieli: .

Vispārējs modelis tā tas ir a - jo lielāki šie pieaugumi absolūtajā vērtībā, jo zemāka ir aprēķinu precizitāte. Tātad, piemēram, līdzīgam punktam pieaugumi būs nelieli: , un aptuveno aprēķinu precizitāte būs ļoti augsta.

Šī funkcija attiecas arī uz viena mainīgā funkcijas gadījumu (nodarbības pirmā daļa).

10. piemērs

Risinājums: Aprēķināsim šo izteiksmi aptuveni, izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli:

Atšķirība no 8.–9. piemēriem ir tāda, ka vispirms ir jākonstruē divu mainīgo funkcija: . Es domāju, ka visi intuitīvi saprot, kā funkcija tiek veidota.

Vērtība 4,9973 ir tuvu “pieci”, tāpēc: , .
Vērtība 0,9919 ir tuvu “vienam”, tāpēc mēs pieņemam: , .

Aprēķināsim funkcijas vērtību punktā:

Mēs atrodam diferenciālu punktā, izmantojot formulu:

Lai to izdarītu, mēs aprēķinām pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā.

Šeit minētie atvasinājumi nav no vienkāršākajiem, un jums jābūt uzmanīgiem:

;

.

Kopējā atšķirība punktā:

Tādējādi šīs izteiksmes aptuvenā vērtība ir:

Aprēķināsim precīzāku vērtību, izmantojot mikrokalkulatoru: 2.998899527

Atradīsim relatīvo aprēķina kļūdu:

Atbilde: ,

Tikai ilustrācija iepriekšminētajam, aplūkotajā problēmā argumentu pieaugums ir ļoti mazs, un kļūda izrādījās fantastiski niecīga.

11. piemērs

Izmantojot divu mainīgo funkcijas pilno diferenciāli, aprēķiniet aptuveni šīs izteiksmes vērtību. Aprēķiniet to pašu izteiksmi, izmantojot mikrokalkulatoru. Novērtējiet relatīvo aprēķina kļūdu procentos.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Aptuvenais gala dizaina paraugs nodarbības beigās.

Kā jau minēts, visizplatītākais viesis šāda veida uzdevumos ir sava veida saknes. Bet laiku pa laikam ir arī citas funkcijas. Un pēdējais vienkāršs piemērs atpūtai:

12. piemērs

Izmantojot divu mainīgo funkcijas kopējo diferenciāli, aprēķiniet aptuveni funkcijas if vērtību

Risinājums ir tuvāk lapas apakšai. Vēlreiz pievērsiet uzmanību nodarbības uzdevumu formulējumam, in dažādi piemēri praksē formulējumi var būt dažādi, taču tas būtiski nemaina risinājuma būtību un algoritmu.

Godīgi sakot, biju nedaudz noguris, jo materiāls bija mazliet garlaicīgs. Raksta sākumā to teikt nebija pedagoģiski, bet tagad tas jau ir iespējams =) Patiešām, uzdevumi skaitļošanas matemātika parasti nav īpaši sarežģīti, ne īpaši interesanti, vissvarīgākais, iespējams, ir nekļūdīties parastos aprēķinos.

Lai jūsu kalkulatora atslēgas netiek izdzēstas!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs:

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā: , ,

Tādējādi:

Atbilde:

4. piemērs:

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā: , ,

Tādējādi:

Aprēķināsim precīzāku funkcijas vērtību, izmantojot mikrokalkulatoru:

Absolūtā kļūda:

Relatīvā kļūda:

Atbilde: , absolūtā aprēķina kļūda, relatīvā aprēķina kļūda

5. piemērs:

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Šajā gadījumā: , ,

Tādējādi:

Atbilde:

7. piemērs:

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā: , ,

Mūsu laikmetā cilvēks ir izgudrojis un lieto ļoti dažādus un visdažādākos mērinstrumentus. Bet neatkarīgi no tā, cik perfekta ir to ražošanas tehnoloģija, tiem visiem ir lielāka vai mazāka kļūda. Šis parametrs parasti ir norādīts uz paša instrumenta, un, lai novērtētu noteiktās vērtības precizitāti, jums ir jāsaprot, ko nozīmē marķējumā norādītie skaitļi. Turklāt sarežģītu matemātisko aprēķinu laikā neizbēgami rodas relatīvās un absolūtās kļūdas. To plaši izmanto statistikā, rūpniecībā (kvalitātes kontrole) un vairākās citās jomās. Kā šī vērtība tiek aprēķināta un kā interpretēt tās vērtību - tieši tas tiks apspriests šajā rakstā.

Absolūta kļūda

Apzīmēsim ar x aptuveno lieluma vērtību, kas iegūta, piemēram, ar vienu mērījumu, un ar x 0 tā precīzu vērtību. Tagad aprēķināsim šo divu skaitļu starpības lielumu. Absolūtā kļūda ir tieši tā vērtība, ko ieguvām šīs vienkāršās darbības rezultātā. Formulu valodā, šī definīcija var uzrakstīt šādā formā: Δ x = | x - x 0 |.

Relatīvā kļūda

Absolūtajai novirzei ir viens būtisks trūkums – tā neļauj novērtēt kļūdas nozīmīguma pakāpi. Piemēram, mēs pērkam tirgū 5 kg kartupeļu, un kāds negodīgs pārdevējs, mērot svaru, kļūdījās par 50 gramiem par labu. Tas ir, absolūtā kļūda bija 50 grami. Mums tāda neuzmanība būs tīrais sīkums un mēs tam pat nepievērsīsim uzmanību. Iedomājieties, kas notiks, ja līdzīga kļūda notiks, gatavojot zāles? Šeit viss būs daudz nopietnāk. Un, iekraujot kravas vagonu, novirzes, visticamāk, būs daudz lielākas par šo vērtību. Tāpēc pati absolūtā kļūda nav īpaši informatīva. Papildus tam ļoti bieži viņi papildus aprēķina relatīvo novirzi, kas vienāda ar absolūtās kļūdas attiecību pret precīza vērtība cipariem. To raksta pēc šādas formulas: δ = Δ x / x 0 .

Kļūdu rekvizīti

Pieņemsim, ka mums ir divi neatkarīgi lielumi: x un y. Mums jāaprēķina to summas aptuvenās vērtības novirze. Šajā gadījumā mēs varam aprēķināt absolūto kļūdu kā katras no tām iepriekš aprēķināto absolūto noviržu summu. Dažos mērījumos var gadīties, ka kļūdas x un y vērtību noteikšanā viena otru dzēš. Vai arī var gadīties, ka pievienošanas rezultātā novirzes maksimāli pastiprinās. Tāpēc, aprēķinot kopējo absolūto kļūdu, ir jāņem vērā sliktākais scenārijs. Tas pats attiecas uz atšķirību starp vairāku lielumu kļūdām. Šis īpašums ir raksturīga tikai absolūtai kļūdai, un to nevar attiecināt uz relatīvo novirzi, jo tas neizbēgami novedīs pie nepareiza rezultāta. Apskatīsim šo situāciju, izmantojot šādu piemēru.

Pieņemsim, ka mērījumi cilindra iekšpusē parādīja, ka iekšējais rādiuss (R 1) ir 97 mm un ārējais rādiuss (R 2) ir 100 mm. Ir nepieciešams noteikt tā sienas biezumu. Vispirms noskaidrosim atšķirību: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ja problēma nenorāda, kāda ir absolūtā kļūda, tad to ņem kā pusi no mērierīces skalas dalījuma. Tādējādi Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Kopējā absolūtā kļūda ir: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Tagad aprēķināsim visu vērtību relatīvo novirzi:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Kā redzams, kļūda abu rādiusu mērīšanā nepārsniedz 5,2%, un kļūda to starpības - cilindra sieniņas biezuma - aprēķinā bija pat 33.(3)%!

Sekojošie īpašību stāvokļi: vairāku skaitļu reizinājuma relatīvā novirze ir aptuveni vienāda ar atsevišķu faktoru relatīvo noviržu summu:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Turklāt šo noteikumu ir patiess neatkarīgi no novērtējamo vērtību skaita. Trešā un pēdējā relatīvās kļūdas īpašība ir skaitļa relatīvais novērtējums kth pakāpe aptuveni pēc | k | reizes lielāka par sākotnējā skaitļa relatīvo kļūdu.