Varbūtību teorija un matemātiskā statistika.

Izmērs: px

Sāciet rādīt no lapas:

Atšifrējums

1 1 Kombinatorikas pamatjēdzieni 1 Pielikums Definīcija Visu naturālo skaitļu reizinājumu no 1 līdz n ieskaitot sauc par n-faktoriālu un raksta Piemērs Aprēķini 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Piemērs Aprēķiniet! 7! 5! 5!! Lai doti trīs šo burtu burti: 7 1! Permutācijas 5 3 A, B, C Izveidosim visas iespējamās ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC kombinācijas (kopējās kombinācijas) Redzam, ka tās viena no otras atšķiras tikai burtu secībā Definīcija n elementu kombinācijas, kas atšķiras viens no otra tikai pēc elementu secības, sauc par permutācijām.Permutācijas apzīmē ar simbolu n, kur n ir katrā permutācijā iekļauto elementu skaits 3 3! Permutāciju skaitu var aprēķināt, izmantojot formulu n vai izmantojot faktoriālu: n n 1 n 3 1 n n! Tātad trīs elementu permutāciju skaits pēc formulas ir, kas sakrīt ar iepriekš aplūkotā piemēra rezultātu 5 0 Piemērs Aprēķināt,! ! !- 5! 5! -15! 5! 150! ! 1! Piemērs Cik dažādu piecciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1, 3, 4, 5, ja ciparā neatkārtojas neviens cipars?

25! Piemērs Sacensībās piedalījās četras komandas Cik ir iespējami vietu sadales varianti starp tām? 4! Izvietojumi Lai ir četri burti A, B, C, D Sastādiet visas kombinācijas tikai no diviem burtiem, mēs iegūstam: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Mēs redzam, ka viss iegūtās kombinācijas atšķiras vai nu pēc burtiem, vai to secībā (kombinācijas BA un AB tiek uzskatītas par dažādām) Definīcija n elementu m elementu kombinācijas, kas atšķiras viena no otras vai nu ar pašiem elementiem, vai elementu secībā, sauc par izvietojumiem. Izvietojumi tiek apzīmēti ar n A m n elementu skaitu katrā kombinācijā , kur m ir visu pieejamo elementu skaits, A n m m! (mn)! Piemērs Cik ir iespējas sadalīt trīs balvas, ja izlozē piedalās 7 komandas? 37! 7! A! 4! 10 Piemērs Cik dažādu četrciparu skaitļus var izveidot no cipariem 0, 1, 8, 9? 4 10! 10! A!! Piemērs Cik grafika opciju var izveidot vienai dienai, ja kopā ir 8? izglītības priekšmeti, un tikai trīs no tiem var iekļaut dienas grafikā? 38! 8! A! 5! Piemērs Cik variantu trīs kuponu sadalei dažāda profila sanatorijām var sastādīt pieciem pretendentiem? 35! 5! A!!

3 Kombinācijas Definīcija Kombinācijas ir visas iespējamās m elementu kombinācijas ar n, kas atšķiras viena no otras ar vismaz vienu elementu (šeit m un n veseli skaitļi, un n

4 Nejaušu parādību var raksturot ar tās rašanās gadījumu skaita attiecību pret testu skaitu, kuros katrā pie vienādiem visu testu nosacījumiem tā varētu notikt vai nenotikt Varbūtību teorija ir matemātikas nozare g. kuras nejaušās parādības (notikumi) tiek pētītas un modeļi tiek identificēti to masveida atkārtošanās laikā.Lai fiksētu un izpētītu šos modeļus, iepazīstināsim ar dažiem pamatjēdzieniem un definīcijām Definīcija: Jebkura darbība, parādība, novērojums ar vairākiem dažādiem rezultātiem, kas realizēts saskaņā ar dotā nosacījumu kopa, tiks saukta par testu. Piemēram, atkārtota monētas mešana, jebkuras daļas izgatavošanas process ir testi. Definīcija Šīs darbības vai novērojuma rezultāts tiks saukts par nejaušu notikumu. Piemēram, izskats skaitļa, kad monētas mešana ir nejaušs notikums, jo tas var būt noticis vai nenotikt Definīcija Ja mūs interesē kāds konkrēts notikums no visiem iespējamiem notikumiem, tad mēs to sauksim par vēlamo notikumu (vai vēlamo rezultātu) Definīcija Visi apskatāmie notikumi tiks uzskatīti par vienlīdz iespējamiem, tiem, kuriem ir vienādas izredzes notikt. Tātad, metot kauliņu, var parādīties 1 punkts, 3, 4, 5 vai punkti un šie testa rezultāti ir vienlīdz iespējami. Citiem vārdiem sakot, , vienlīdzīgas iespējas nozīmē vienlīdzību, atsevišķu pārbaudes rezultātu simetriju, ievērojot noteiktus nosacījumus.Notikumi parasti tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem: A, B, C, D Definīcija Notikumus sauc par nesaderīgiem, ja divi no tiem nevar notikt kopā dots eksperiments.Pretējā gadījumā notikumus sauc par saderīgiem.Tātad, metot monētas, skaitļa izskats izslēdz vienlaicīgu ģerboņa parādīšanos; šis ir nesaderīgu notikumu piemērs 4

5 Apskatīsim vēl vienu piemēru Uzzīmēsim mērķī apli, rombu un trijstūri.Tiks veikts viens šāviens.Notikums A trāpa apli, notikums B trāpa rombā, notikums C trāpa trīsstūrī. Tad notikumi A un B, A un C, C un B ir nekonsekventi Definīcija Notikums tiek saukts par uzticamu, ja tas noteikti notiek dotajā testā Piemēram, laimēt loterijas biļeti, kurā ir uzvarētājs, ir uzticams notikums Uzticami notikumi tiek apzīmēti ar burtu U Definīcija Notikums tiek saukts par neiespējamu, ja tas nevar notikt dotajā eksperimentā Piemēram, metot kauliņu nav iespējams iegūt 7 punktus Neiespējams notikums, ko apzīmē ar burtu V Definīcija Pilna notikumu sistēma A 1, A, A 3, A n ir nesaderīgu notikumu kopa , no kuriem vismaz viena rašanās ir obligāta noteiktā testa laikā.Tātad viena, divu, trīs, četru, piecu, sešu punktu zaudējums, metot spēles kauli, ir pilnīga notikumu sistēma, jo visi šie notikumi ir nesavienojams un vismaz viena no tiem rašanās ir obligāta Definīcija Ja pilnīga sistēma sastāv no diviem notikumiem, tad šādus notikumus sauc par pretējiem un apzīmē ar A un A Piemērs Ir viena loterijas biļete “b no 45” Notikums A ir viņš ir uzvarētājs, un notikums B ir tāds, ka viņš nav uzvarētājs. Vai šie notikumi nav savienojami? Piemērs Kastītē ir 30 numurētas bumbiņas Nosakiet, kurš no šiem notikumiem ir neiespējams, ticams, pretējs: tika izņemta numurēta bumbiņa (; izņemta bumbiņa ar pāra skaitli (bumba tika izņemta ar nepāra skaitli (C); bumbiņa tika izņemta bez skaitļa (D) Kuri no viņiem veido pilnu grupu? Piemērs Vai ir droši vai neiespējami, ka kauliņš tiks izmests vienu reizi: 5 punkti; 7 punkti; 1 uz punktiem? Kādi notikumi vai šis izmēģinājums veido pilnīgu grupu? 5

6 Definīcija Vairāku notikumu summa ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no tiem iestāšanās testa rezultātā Notikumu A un B summu apzīmē ar (A+ un nozīmē, ka notikums A, vai B, vai A un B notika kopā. Definīcija Vairāku notikumu reizinājums ir notikums , kas sastāv no visu šo notikumu kopīgas iestāšanās testa rezultātā Notikumu A un B reizinājums apzīmē: AB 3 Notikuma varbūtības noteikšana Nejauši notikumi tiek realizēti ar dažādām iespējām Daži notiek biežāk, citi retāk Lai kvantitatīvi noteiktu notikuma īstenošanas iespējas, tiek ieviests notikuma varbūtības jēdziens Definīcija Notikuma A varbūtība ir labvēlīgo iznākumu skaita M attiecība pret kopējo. vienādi iespējamo iznākumu skaits N, veidojot pilnīgu grupu: ticama notikuma varbūtība ir 1, neiespējama 0, nejaušība: 0 (1 Tā ir klasiskā varbūtības definīcija. Notikuma relatīvais biežums A ir mēģinājumu skaita m attiecība kurā notikums noticis ar kopējo n mēģinājumu skaitu: M N * (Piemērs Viens burts ir nejauši izvēlēts no vārda “klīnika”) Kāda ir varbūtība, ka tas ir patskanis? Kas ir burts K? Vai tas ir patskanis vai burts K? Kopā burti 11 Notikums A eksperimenta rezultātā parādījās patskaņa burts Notikums B parādījās burts K. Notikumam A labvēlīgi ir pieci notikumi (5 patskaņi), notikums B divi m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Pamatteorēmas un varbūtības teorijas formulas Varbūtību saskaitīšanas teorēma Viena no nesaderīgajiem notikumiem iestāšanās varbūtība ir vienāda ar to varbūtību summu:

7 A A A A A 1 n 1 A n Divu kopīgu notikumu summas varbūtība A A Pretēju notikumu varbūtību summa (1 Definīcija Lai A un B ir divi nejauši viena izmēģinājuma notikumi. Notikuma A nosacītā varbūtība vai notikuma A A varbūtība ar nosacījumu, ka notiek notikums B, ir skaitlis Apzīmējums: A B A Varbūtības reizināšanas teorēma Divu neatkarīgu notikumu vienlaicīgas iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu A 7

Matemātika (BkPl-100) M.P. Harlamovs 2011./2012.mācību gads, 1.semestris Lekcija 5. Tēma: Kombinatorika, ievads varbūtību teorijā 1 Tēma: Kombinatorika Kombinatorika ir matemātikas nozare, ko pēta.

Matemātikas un datorzinātņu katedra Matemātika Izglītības un metodiskais komplekss vidējās profesionālās izglītības audzēkņiem, kuri mācās, izmantojot distances tehnoloģijas 6. modulis Varbūtību teorijas un matemātiskās statistikas elementi

TĒMA. IESPĒJAMĪBU SADALĪŠANAS UN REIZINĀŠANAS TEORMAS Operācijas uz nejaušiem notikumiem. Notikumu algebra. Notikumu saderības jēdziens. Pilnīga pasākumu grupa. Nejaušo notikumu atkarība un neatkarība. Nosacīti

Lekcija Varbūtības teorija Pamatjēdzieni Eksperiments Biežums Varbūtības Varbūtības teorija ir matemātikas nozare, kas pēta nejaušu parādību modeļus.Nejauši notikumi ir notikumi, kas, kad

3. NODARBĪBA IEVADS VARBŪTĪBU TEORIJAS METODOLOĢISKIE IETEIKUMI MISS 2013 ES APSTIPRINĀJU: D.E. Kaputkin Izglītības un metodiskās komisijas priekšsēdētājs līguma ar pilsētu Izglītības departamentu īstenošanai.

1 I DAĻA. VARBŪTĪBU TEORIJA 1. NODAĻA. 1. Kombinatorikas elementi Definīcija 1. Piemēri: Definīcija. -faktoriāls ir skaitlis, ko apzīmē ar!, un! = 1** * visiem naturālajiem skaitļiem 1, ; Turklāt,

1) Cik ir trīsciparu naturālu skaitļu, kuriem ir tikai divi cipari mazāki par pieciem? Ir tikai pieci cipari, kas ir mazāki par 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Atlikušie pieci cipari ir vismaz 5: ( ; ; ; ; ) 1. risinājuma metode

3. lekcija Tēma Varbūtību teorijas pamatteorēmas un formulas Tēmas saturs Notikumu algebra. Varbūtību saskaitīšanas teorēmas. Nosacītā varbūtība. Varbūtību reizināšanas teorēmas. Kopējās varbūtības formula.

Lekcijas tēma: NOTIKUMU ALGEBRAS PAMATTEORMAS PAR VARBŪTĪBU Notikumu algebra Notikumu summa ir notikums S = +, kas sastāv no vismaz viena no tiem iestāšanās Notikumu reizinājumu sauc

Augstākās matemātikas katedra Lekcijas par varbūtību teoriju un matemātisko statistiku Sadaļa. Varbūtību teorija Varbūtību teorijas priekšmets ir specifisku homogēnu masu modeļu izpēte

SATURS III TĒMA. IEVADS VARBŪTĪBU TEORIJĀ... 2 1. LITERATŪRAS... 2 1.1. PAMATJĒDZIENI UN DEFINĪCIJAS... 2 1.2. DARBĪBAS ATTIECĪBĀ UZ NEJAUŠIEM NOTIKUMIEM... 4 1.3. KLASISKĀ DEFINĪCIJA

2. lekcija. Varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas Notikuma summa un reizinājums Vairāku notikumu summa vai savienojums ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem gadījumiem.

FEDERĀLĀS VALSTS BUDŽETA IZGLĪTĪBAS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "Čeļabinskas Valsts kultūras un mākslas akadēmija" Informātikas katedra VARBŪTĪBU TEORIJAS

NEJAUŠA NOTIKUMA IESPĒJAMĪBA Kolmogorova aksiomas 1933. gadā A. N. Kolmogorovs savā grāmatā “Varbūtību teorijas pamatjēdzieni” sniedza aksiomātisku pamatojumu varbūtības teorijai. "Tas nozīmē, ka pēc

ZIEMEĻU RAJONA IZGLĪTĪBAS NODAĻAS DARBA PROGRAMMA Varbūtību teorijas un statistikas stunda Izmantotie mācību līdzekļi: Mācību grāmata: Tyurin Yu.N. un citi.Varbūtību teorija un statistika. M., MTsNMO: AS

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde "VALSTS PĒTNIECĪBA TOMSKAS POLITEHNIKAS UNIVERSITĀTE" LEKCIJA PAR TEORiju

KOMBINATORIJAS VARBŪTĪBA 5. tēma Tulkošana veikta ar IT atbalstu Akadeemia Lekcijas saturs 1 Ievads 2 3 4 Nākamā rindkopa 1 Ievads 2 3 4 Problēma... Problēma... Problēma... ... un risinājums: Meitene

LEKCIJA NOTIKUMA IESPĒJAMĪBAS NOTEIKŠANA Notikuma varbūtība attiecas uz varbūtības teorijas pamatjēdzieniem un izsaka notikuma objektīvās iestāšanās iespējamības mēru.Tas ir svarīgi praktiskajai darbībai

I Varbūtības definīcija un tās aprēķināšanas pamatnoteikumi Varbūtības eksperiments Varbūtības teorijas priekšmets Eksperimenta rezultāti vienā vai otrā pakāpē ir atkarīgi no apstākļu kopuma, kurā

Čudesenko problēmu grāmata, varbūtības teorija, variants Tiek mesti divi kauliņi. Noteikt varbūtību, ka: a punktu skaita summa nepārsniedz N; b punktu skaita reizinājums nepārsniedz N; V

Sastādījis: Medicīnas un bioloģiskās fizikas katedras asociētais profesors Romanova N.Yu. Varbūtību teorija 1 lekcija Ievads. Varbūtību teorija ir matemātikas zinātne, kas pēta nejaušu parādību modeļus.

MVDubatovskaja Varbūtību teorija un matemātiskā statistika 3. lekcija Varbūtību noteikšanas metodes 0 Klasiskā varbūtību noteikšana Jebkuru no iespējamiem eksperimenta rezultātiem sauksim par elementāru

3. lekcija Tēma Varbūtību teorijas pamatteorēmas un formulas Tēmas saturs Notikumu algebra. Varbūtību saskaitīšanas teorēmas. Nosacītā varbūtība. Varbūtību reizināšanas teorēmas. Algebras pamatkategorijas

Lekcija 1. Tēma: VARBŪTĪBAS NOTEIKŠANAS PAMATPIEEJAS Varbūtību teorijas priekšmets. Vēsturiskais pamatojums Varbūtību teorijas priekšmets ir tādu modeļu izpēte, kas rodas masveida, viendabīgu

M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Piezīmes Varbūtību teorija un matemātiskā statistika Īsas piezīmes par pirmo daļu (jautājumi un atbildes) Fizikas un matemātikas doktors. Zinātņu profesors Mihails Pavlovičs Kharlamovs

Varbūtību teorija Lekcijas plāns P Par varbūtību teoriju kā zinātni P Varbūtības teorijas pamatdefinīcijas P Nejaušs notikuma biežums Varbūtības definīcija P 4 Kombinatorikas pielietojums skaitīšanā

Varbūtību teorijas elementi Nejauši notikumi Deterministiski procesi Zinātnē un tehnoloģijā tiek aplūkoti procesi, kuru iznākumu var droši paredzēt: Ja vadītāja galiem tiek piemērota starpība

1. TĒMA Kombinatorika Varbūtību aprēķināšana 1.B uzdevums Nacionālās futbola kausa izcīņā piedalās 17 komandas Cik dažādos veidos ir zelta, sudraba un bronzas medaļu sadale? Tāpēc ka

( σ-algebra - nejaušu notikumu lauks - pirmā Kolmogorova aksiomu grupa - otrā Kolmogorova aksiomu grupa - varbūtības teorijas pamatformulas - varbūtības saskaitīšanas teorēma - nosacītā varbūtība

Varbūtību teorijas pamati 2. lekcija Saturs 1. Nosacītā varbūtība 2. Notikumu reizinājuma varbūtība 3. Notikumu summas varbūtība 4. Kopējās varbūtības formula Atkarīgie un neatkarīgi notikumi Definīcija

N. G. TAKTAROVS VARBŪTĪBU TEORIJA UN MATEMĀTISKĀ STATISTIKA: ĪSS KURSS AR PIEMĒRIEM UN RISINĀJUMIEM Teksts ir labots un papildināts KOPSAVILKUMS Grāmata ir mācību grāmata, kurā tā ir īsi vienkārša un pieejama

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Saratovas Valsts sociāli ekonomiskā universitāte"

Problēmas varbūtību teorijā un matemātiskajā statistikā. Nejauši notikumi Uzdevums. N preču partijā produktiem ir slēpts defekts. Kāda ir varbūtība, ka no k produktiem, kas ņemti nejauši

VARBŪTĪBU TEORIJA. UZDEVUMI. Satura rādītājs (pa tēmām) 1. Formula klasiskajai varbūtības noteikšanai. Kombinatorikas elementi. Ģeometriskā varbūtība 4. Operācijas ar notikumiem. Saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas

Kombinatoriskās formulas Lai ir kopa, kas sastāv no n elementiem. Apzīmēsim to ar U n. n elementu permutācija ir noteikta secība kopā U n. Permutāciju piemēri: 1) sadalījums

5. NODAĻA VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI 5 Varbūtību teorijas aksiomas Dažādus notikumus var klasificēt šādi:) Neiespējams notikums, notikums, kas nevar notikt) Noteikts notikums

PRAKTISKĀS Kombinatorikas pamatformulas Notikumu veidi Darbības uz notikumiem Klasiskā varbūtība Ģeometriskā varbūtība Kombinatorikas pamatformulas Kombinatorika pēta kombināciju skaitu,

Kopējās varbūtības formula. Lai ir notikumu grupa H 1, H 2,..., H n, kurai ir šādas īpašības: 1) Visi notikumi ir pa pāriem nesavietojami: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Viņu savienības formas

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS MINISTRIJA IVANOVSKAS VALSTS ENERĢĒTIKAS UNIVERSITĀTE AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS KATEGORIJA VARBŪTĪBU TEORIJAS METODISKIE NORĀDĪJUMI Sastādīja:

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS KULTŪRAS MINISTRIJA FEDERĀLĀS VALSTS BUDŽETA IZGLĪTĪBAS IESTĀDE AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "SANKTPETERBURGAS VALSTS KINO UNIVERSITĀTE

Varbūtību teorija un matemātiskā statistika Fizikas un matemātikas doktors. Zinātņu profesora Mihaila Pavloviča Harlamova “Lapa” ar mācību materiāliem http://inter.vags.ru/hmp RANEPA (FGOU) Volgogradas filiāle

Vorobjevs V.V. Omskas apgabala Kalačinskas "licejs" Seminārs par problēmu risināšanu varbūtību teorijā un matemātiskajā statistikā. Svarīga loma varbūtību teorijas un statistikas tēmu izpētē ir

Varbūtību teorija un matemātiskā statistika Fizikas un matemātikas doktors. Zinātņu profesora Mihaila Pavloviča Harlamova “Lapa” ar mācību materiāliem http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp RANEPA Volgogradas filiāle

VARBŪTĪBU TEORIJA. NEJAUŠU MAINĪGO SADAĻA Piešķiršana. Izvēlies pareizo atbildi:. Nejauša notikuma A relatīvais biežums ir vērtība, kas vienāda ar... a) labvēlīgo gadījumu skaita attiecību

VARBŪTĪBU TEORIJAS PAMATJĒDZIENI. 3.1. Nejauši notikumi. Katra zinātne, pētot materiālās pasaules parādības, darbojas ar noteiktiem jēdzieniem, starp kuriem noteikti ir fundamentāli;

Augstākā profesionālā izglītība Bakalaura grāds V. S. Mkhitarjans, V. F. Šišovs, A. Ju. Kozlovs Varbūtību teorija un matemātiskā statistika Mācību grāmata Iesaka Izglītības un metodiskā apvienība par izglītību

SATURS I SADAĻA. VARBŪTĪBU TEORIJA Priekšvārds................................................ ........ ......... 6 I DAĻA. NEJAUŠI NOTIKUMI........................ ........ 7 1. NODAĻA. Elementu kombinatoriskā analīze........................

Varbūtību teorija un matemātiskā statistika Fizikas un matemātikas doktors. Zinātņu profesors Mihails Pavlovičs Kharlamovs Interneta resurss ar mācību materiāliem http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgogradas filiāle

S izteiksmē notikumu, ka sistēma nav slēgta, var uzrakstīt: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Līdzīgi kā risinot uzdevumus 2.5, 2.6, iegūstam S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija FEDERĀLĀS VALSTS BUDŽETA AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "KAZĀŅAS NACIONĀLĀS PĒTNIECĪBAS TEHNIKA

VARBŪTĪBU TEORIJA Kombinatorika, reizinājumu un summu likumi Kombinatorika kā zinātne Kombinatorika ir matemātikas nozare, kas pēta no galīga elementu apakškopas kombinācijas.

Federālā izglītības aģentūra Tomskas Valsts vadības sistēmu un radioelektronikas universitāte N. E. Lugina PRAKTIKUMS VARBŪTĪBU TEORIJAS Mācību grāmata Tomsk 2006 Recenzenti: Ph.D.

Lekcija Nejauši notikumi Definīcija. Elementārs iznākums (vai elementārs notikums) ir jebkurš visvienkāršākais (t.i., nedalāms konkrētas pieredzes ietvaros) pieredzes iznākums. Visu elementāro rezultātu kopums

FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde Uļjanovskas Valsts tehniskā universitāte S. G. Valeev S. V. Kurkina Testi

4. Varbūtību teorija Pārbaudē par šo tēmu ir četri uzdevumi. Iesniegsim to īstenošanai nepieciešamos varbūtības teorijas pamatjēdzienus. Lai atrisinātu problēmas 50 50, ir nepieciešamas zināšanas par tēmu

Sadaļa “Varbūtība un statistika” E.M. Udalova. Primorskas rajons, skola 579 Varbūtību teorija ir matemātikas zinātne, kas ļauj atrast citu nejaušu notikumu varbūtības no dažu nejaušu notikumu varbūtībām

1. uzdevums. Urnā ir 40 bumbiņas. Varbūtība, ka 2 izvilktas bumbiņas būs baltas, ir 7 60. Cik balto bumbiņu ir urnā? Veidu skaits, kādos k vienumus var atlasīt no n, ir C k

4 Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrijas Valsts augstākās profesionālās izglītības iestādes "Habarovskas Valsts Ekonomikas un tiesību akadēmijas" nodaļa

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJAS FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA GOUVPO "Permas Valsts universitāte" Asoc. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Augstākās matemātikas teorijas katedra

FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde "Tomskas Politehniskā universitāte" L. I. Konstantinova VARBŪTĪBU TEORIJA UN MATEMĀTIKA

Federālā dzelzceļa transporta aģentūra, federālās valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestādes "Sibīrijas Valsts universitāte" filiāle

Matricas determinanta definīcija Kvadrātveida matrica sastāv no viena elementa A = (a). Šādas matricas determinants ir vienāds ar A = det(a) = a. () a a Kvadrātmatrica 2 2 sastāv no četriem elementiem A =

TOMSKAS DZELZCEĻA TRANSPORTA TEHNIKA SGUPS INDIVIDUĀLO UZDEVUMU KOLEKCIJA “Kombinatorikas elementi. Varbūtību teorijas pamati” disciplīna Varbūtību teorija un matemātiskā statistika

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

KRIEVIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJAS federālās valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestādes "Uhtas Valsts tehniskā universitāte" (USTU) Seminārs par disciplīnu

MVDubatovskaja Varbūtību teorija un matemātiskā statistika 4. lekcija Varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas Kopējās varbūtības formula Beijesa formula Ļaut un B ir nesavienojami notikumi un varbūtības

UZDEVUMI: 1. Izmantojot cirtainās figūriekavas, pierakstiet naturālo skaitļu kopu, kas atrodas uz stara starp skaitļiem 10 un 15. Kurš no skaitļiem ir 0; 10; vienpadsmit; 12; 15; Vai 50 ietilpst šajā komplektā? 2. Pierakstiet komplektu

FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNIC UNIVERSITY" L.I. KONSTANTINOVS

5. lekcija Tēma Bernulli shēma. Tēmas saturs Bernulli shēma. Bernulli formula. Visticamākais panākumu skaits Bernulli shēmā. Binomiālais gadījuma lielums. Ņūtona binoma pamatkategorijas, diagramma

Problēmas, kas jāatrisina jauna materiāla konsolidēšanai

Uzdevums Nr.1. Cik dažādos veidos var izkārtot 5 fināla dalībniekus?

skrējiens uz 5 skrejceliņiem?

Risinājums: P 5 = 5! = 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 veidi.

Uzdevums Nr.2. Cik trīsciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1,2,3, ja katrs

vai cipars skaitļa attēlā parādās tikai vienu reizi?

Risinājums: visu trīs elementu permutāciju skaits ir vienāds ar P 3 =3!, kur 3!=1 * 2 * 3=6

Tas nozīmē, ka ir seši trīsciparu skaitļi, kas sastāv no skaitļiem 1,2,3.

Uzdevums Nr.3. Cik daudzos veidos četri jauni vīrieši var uzaicināt četrus no sešiem

meitenes dejot?

Risinājums: divi zēni nevar uzaicināt vienu un to pašu meiteni vienlaikus. UN

iespējas, kurās vienas un tās pašas meitenes dejo ar dažādiem zēniem,

tiek uzskatīti par atšķirīgiem, tāpēc:

Problēma Nr.4. Cik dažādu trīsciparu skaitļu var izveidot no skaitļiem 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, ar nosacījumu, ka rakstot numuru katrs cipars tiek izmantots tikai

vienreiz?

Risinājums: Problēmas izklāstā tiek piedāvāts saskaitīt iespējamo kombināciju skaitu no

trīs cipari, kas ņemti no pieņemtajiem deviņiem cipariem, un secība

skaitļu izkārtojumam kombinācijā ir nozīme (piemēram, skaitlim 132)

un 231 dažāds). Citiem vārdiem sakot, jums ir jāatrod izvietojumu skaits no deviņiem

trīs elementi katrā.

Izmantojot formulu izvietojumu skaitam, mēs atrodam:

Atbilde: 504 trīsciparu skaitļi.

Problēma #5 Cik daudzos veidos var izvēlēties komiteju 3 cilvēku sastāvā no 7 cilvēkiem?

Risinājums: Lai apsvērtu visas iespējamās komisijas, jums ir jāapsver visas

iespējamās 3 elementu apakškopas kopai, kas sastāv no 7

Cilvēks. Nepieciešamais veidu skaits ir

Uzdevums Nr.6. Sacensībās piedalās 12 komandas. Cik daudz iespēju ir?

godalgoto (1, 2, 3) vietu sadalījums?

Risinājums: Un 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 balvas vietu sadales iespējas.

Atbilde: 1320 iespējas.

Uzdevums Nr.7. Vieglatlētikas sacensībās mūsu skolu pārstāvēja komanda no

10 sportisti. Cik daudzos veidos treneris var noteikt, kurš no tiem

skries 4x100m stafeti pirmajā, otrajā, trešajā un ceturtajā posmā?

Risinājums: Izvēle no 10 līdz 4, ņemot vērā pasūtījumu:
veidus.

Atbilde: 5040 veidi.

Uzdevums Nr.8. Cik daudzos veidos var sarkanā, melnā, zilā un

zaļumballes?

Risinājums: Jūs varat ievietot jebkuru no četrām bumbiņām pirmajā vietā (4 veidos), uz

otrā - jebkura no trim atlikušajām (3 metodēm), trešā vieta - jebkura no

atlikušie divi (2 ceļi), par ceturto vietu - atlikušā pēdējā bumba.

Kopā 4 · 3 · 2 · 1 = 24 veidi.

P 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Atbilde: 24 veidi.

Problēma Nr.9. Skolēniem tika dots saraksts ar 10 grāmatām, kuras ieteicams izlasīt

atvaļinājuma laiks. Cik daudzos veidos skolēns var izvēlēties no tām 6 grāmatas?

Risinājums: Izvēle 6 no 10 neatkarīgi no pasūtījuma:
veidus.

Atbilde: 210 veidi.

Problēma Nr.10. 9. klasē mācās 7 skolēni, 10. klasē – 9 skolēni, bet 11. klasē – 8 skolēni. Priekš

darbs skolas vietā, nepieciešams piešķirt divus skolēnus no 9. klases,

trīs no 10 un viens no 11. Cik daudz veidu var izvēlēties?

skolēni strādāt skolas teritorijā?

Risinājums: Izvēle no trim komplektiem neatkarīgi no pasūtījuma, katra izvēle no

pirmo komplektu (C 7 2) var kombinēt ar katru izvēli no

otrais (C 9 3)) un ar katru trešo izvēli (C 8 1) saskaņā ar noteikumu

reizināšanu mēs iegūstam:

Atbilde: 14 112 veidi.

Uzdevums Nr.11. Pieskrēja devītās klases skolnieces Žeņa, Serjoža, Koļa, Nataša un Oļa

pārejam uz tenisa galdu, kur spēle jau ritēja. Cik daudz

veidi, kā pieci devītklasnieki pieskrien pie galda

rinda uz galda tenisu?

Risinājums: Ikviens devītās klases skolnieks varēja būt pirmais rindā, un jebkurš skolēns varēja būt otrais.

atlikušie trīs, trešais - jebkurš no atlikušajiem diviem un ceturtais -

devītklasnieks, kurš uzskrēja priekšpēdējais, un piektklasnieks, kurš uzskrēja pēdējā. Autors

Reizināšanas noteikumam pieciem skolēniem ir 5 4321=120 veidi

Sekcijas apguves rezultātā studentam ir:

zināt:

¾ kombinatorikas pamatjēdzieni;

¾ klasiskā varbūtības definīcija;

¾ nejauša lieluma definīcija;

¾ gadījuma lieluma matemātiskie raksturlielumi: matemātiskā cerība un dispersija;

būt spējīgam:

¾ atrisināt uzdevumus, lai atrastu notikuma iespējamību;

¾ atrisināt uzdevumus, lai atrastu gadījuma lieluma matemātisko cerību un dispersiju.

Kombinatorikas pamatjēdzieni

Matemātikas nozarē, ko sauc par kombinatoriku, tiek risinātas dažas problēmas, kas saistītas ar kopu izskatīšanu un dažādu šo kopu elementu kombināciju sastāvu. Piemēram, ja ņemsim 10 dažādus skaitļus 0, 1, 2, ..., 9 un izveidosim no tiem kombinācijas, iegūsim dažādus skaitļus, piemēram, 345, 534, 1036, 5671, 45 utt.

Redzam, ka dažas no šīm kombinācijām atšķiras tikai ar ciparu secību (345 un 534), citas - ar tajās iekļautajiem cipariem (1036, 5671), bet citas arī atšķiras ar ciparu skaitu (345 un 45).

Tādējādi iegūtās kombinācijas atbilst dažādiem nosacījumiem. Atkarībā no kompozīcijas noteikumiem var izdalīt trīs veidu kombinācijas: izvietojumu, permutāciju un kombināciju. Tomēr vispirms mēs iepazīsimies ar faktoriāla jēdzienu.

Visu naturālo skaitļu reizinājumu no 1 līdz n (ieskaitot) sauc par n - faktoriālu.

1. Izvietojumi . Katra m elementu n elementu izkārtojumi ir tie savienojumi, kas atšķiras viens no otra vai nu ar pašiem elementiem, vai pēc to izkārtojuma secības.

Piemērs. Cik divciparu skaitļus var izveidot no pieciem cipariem 1, 2, 3, 4, 5, ja neviens no tiem neatkārtojas?

Risinājums. Tā kā divciparu skaitļi atšķiras viens no otra vai nu ar pašiem skaitļiem, vai to secībā, nepieciešamais daudzums ir vienāds ar piecu elementu izvietojumu skaitu pa diviem:

Vingrinājums. Cik daudzos veidos no astoņiem kandidātiem uz trim amatiem var izvēlēties trīs cilvēkus?

Atbilde: 336.

2. Pārkārtojumi . n elementu permutācijas ir tādas visu n elementu kombinācijas, kas atšķiras viena no otras elementu secībā.

Piemērs. Doti trīs burti A, B, C. Cik kombinācijas var izveidot no šiem burtiem?

Risinājums. Trīs elementu permutāciju skaitu var aprēķināt, izmantojot formulu: 3! = = 6.

Vingrinājums. Cik daudzos veidos var sēdēt 7 cilvēki 7 vietās?

Risinājums. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Atbilde: 5040.

3. Kombinācijas . Katra m elementa n elementu kombinācijas ir tie savienojumi, kas atšķiras viens no otra vismaz ar vienu elementu.

Piemērs.Cik veidos var izvēlēties trīs dežurantus, ja klasē ir 30 skolēni?

Risinājums. Tā kā no 30 skolēniem jāizvēlas 3, var izveidot kombinācijas, kas viena no otras atšķiras vismaz vienā elementā, t.i. kombinācijas no 30 līdz 3:

Atbilde: 4060.

Vingrinājums. Cik daudzos veidos var izmantot 15 darbiniekus, lai izveidotu 5 cilvēku komandas katrā?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Atbilde: 3003.

Jautājumi paškontrolei

1. Uzskaitiet kombinatorikas galvenos uzdevumus.

2. Ko sauc par permutācijām?

3. Pierakstiet n elementu permutāciju formulu.

4. Kā sauc izvietojumus?

5. Pierakstiet formulu n elementu izvietojumu skaitam ar m.

6. Kā sauc kombinācijas?

7. Pierakstiet m n elementu kombināciju skaita formulu.

Pārbaudes uzdevums

PRAKTISKIE UZDEVUMI PAŠKONTROLEI
Kombinatorika
Cik dažādu piecciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1, 3, 5, 7, 9, ja ciparā neatkārtojas neviens cipars?

Cik ir iespējas sadalīt trīs balvas, ja izlozē piedalās 7 komandas?

Cik daudzos veidos var izvēlēties divus studentus konferencei, ja grupā ir 33 cilvēki?

Atrisiniet vienādojumus
a) 13 EMBED vienādojums.3 1415. b) 13 EMBED vienādojums.3 1415.
Cik četrciparu skaitļus, kas dalās ar 5, var izveidot no cipariem 0, 1, 2, 5, 7, ja katrā ciparā nedrīkst būt vienādi cipari?

No 15 cilvēku grupas jāizvēlas brigadieris un 4 komandas dalībnieki. Cik daudzos veidos to var izdarīt?

Morzes koda burti sastāv no simboliem (punktiem un domuzīmēm). Cik burtus varat uzzīmēt, ja nepieciešams, lai katrs burts nesatur vairāk par piecām rakstzīmēm?

Cik daudzos veidos var izgatavot četru krāsu lentes no septiņām dažādu krāsu lentēm?

Cik daudzos veidos no deviņiem kandidātiem uz četriem dažādiem amatiem var izvēlēties četras personas?

Cik daudzos veidos jūs varat izvēlēties 3 no 6 kartēm?

Pirms izlaiduma 30 skolēnu grupa apmainījās ar fotogrāfijām. Cik foto kartītes tika izdalītas?

Cik daudzos veidos pie svētku galda var sēdināt 10 viesus desmit vietās?

Cik spēles viena apļa čempionātā ir jāaizvada 20 futbola komandām?

Cik daudzos veidos starp komandām var sadalīt 12 cilvēkus, ja katrā komandā ir 6 cilvēki?

Varbūtību teorija
Urnā ir 7 sarkanas un 6 zilas bumbiņas. No urnas vienlaikus tiek izvilktas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir sarkanas (notikums A)?

Vienā plauktā nejauši izkārtotas deviņas dažādas grāmatas. Atrodiet varbūtību, ka četras konkrētas grāmatas tiks novietotas blakus viena otrai (notikums C).

No 10 biļetēm uzvar 2. Nosaki varbūtību, ka no 5 nejauši paņemtajām biļetēm uzvar viena.

No kāršu klāja (52 kārtis) pēc nejaušības principa tiek izvilktas 3 kārtis. Atrodiet varbūtību, ka tas ir trīs, septiņi, dūzis.

Bērns spēlējas ar pieciem sadalītā alfabēta burtiem A, K, R, Sh, Y. Kāda ir varbūtība, ka burtus nejauši izkārtojot pēc kārtas, viņš iegūs vārdu “Jumts”.

Kastītē ir 6 baltas un 4 sarkanas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek paņemtas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka tie būs vienā krāsā?

Pirmajā urnā ir 6 melnas un 4 baltas bumbiņas, otrajā urnā ir 5 melnas un 7 baltas bumbiņas. No katras urnas tiek izvilkta viena bumbiņa. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir baltas?

Nejaušais mainīgais, gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un dispersija
Sastādiet sadales likumu trāpījumu skaitam mērķī ar sešiem šāvieniem, ja trāpījuma iespējamība ar vienu šāvienu ir 0,4.

Varbūtība, ka skolēns bibliotēkā atradīs sev nepieciešamo grāmatu, ir 0,3. Sastādiet izplatīšanas likumu par bibliotēku skaitu, kuras viņš apmeklēs, ja pilsētā ir četras bibliotēkas.

Mednieks izšauj medījumu līdz pirmajam sitienam, bet izdodas izšaut ne vairāk kā četrus šāvienus. Atrodiet garām sitienu skaita dispersiju, ja varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,7.

Atrodiet nejauša lieluma X matemātisko cerību, ja tā sadalījuma likums ir dots tabulā:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

Rūpnīcā darbojas četras automātiskās līnijas. Varbūtība, ka darba maiņas laikā pirmā rinda nebūs jākoriģē, ir 0,9, otrā – 0,8, trešā – 0,75, ceturtā – 0,7. atrodiet matemātisko paredzamo rindu skaitu, kuras darba maiņas laikā nebūs jāpielāgo.
Atrodiet nejaušā lieluma X dispersiju, zinot tā sadalījuma likumu:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. ATBILDES

Kombinatorika
1. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 2. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 3. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 4. a) 13 EMBED vienādojums.3 1415, 5; b) 13 EMBED vienādojums.3 1415. 5. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 6.13 EMBED vienādojums.3 1415. 7. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 8. 13 EMBED vienādojums.3 1413.MBED 1413.3 1415. 10.13 EMBED vienādojums.3 1415. 11. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 12. 13 EMBED vienādojums.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Varbūtību teorija
1. 13 EMBED vienādojums.3 1415 2.13 EMBED vienādojums.3 1415 3. 13 EMBED vienādojums.3 1415 4. 13 EMBED vienādojums.3 14155. 13 EMBED vienādojums.3 14156 EMBED vienādojums.3 14156 EMBED vienādojums.3 14156 13.13. 1415. gads

Nejaušais mainīgais, gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un dispersija.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 EMBED vienādojums.3 1415 4. 13 EMBED vienādojums.3 1415 5.13 EMBED vienādojums.3 1415 6.13 EMBED vienādojums.3 1415.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation tīvs

Kombinatorika

1. Cik dažādu piecciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1, 3, 5, 7, 9, ja ciparā neatkārtojas neviens cipars?

2. Cik ir iespējas sadalīt trīs balvas, ja izlozē piedalās 7 komandas?

3. Cik daudzos veidos var izvēlēties divus studentus konferencei, ja grupā ir 33 cilvēki?

4. Atrisiniet vienādojumus

5. Cik četrciparu skaitļus, kas dalās ar 5, var izveidot no cipariem 0, 1, 2, 5, 7, ja katrā ciparā nedrīkst būt vienādi cipari?

6. No 15 cilvēku grupas jāizvēlas brigadieris un 4 komandas dalībnieki. Cik daudzos veidos to var izdarīt?

7. Morzes koda burti sastāv no simboliem (punktiem un domuzīmēm). Cik burtus varat uzzīmēt, ja nepieciešams, lai katrs burts nesatur vairāk par piecām rakstzīmēm?

8. Cik daudzos veidos var izgatavot četru krāsu lentes no septiņām dažādu krāsu lentēm?

9. Cik daudzos veidos no deviņiem kandidātiem uz četriem dažādiem amatiem var izvēlēties četras personas?

10. Cik daudzos veidos jūs varat izvēlēties 3 no 6 kartēm?

11. Pirms izlaiduma 30 skolēnu grupa apmainījās ar fotogrāfijām. Cik foto kartītes tika izdalītas?

12. Cik daudzos veidos pie svētku galda var sēdināt 10 viesus desmit vietās?

13. Cik spēles viena apļa čempionātā ir jāaizvada 20 futbola komandām?

14. Cik daudzos veidos starp komandām var sadalīt 12 cilvēkus, ja katrā komandā ir 6 cilvēki?

Varbūtību teorija

1. Urnā ir 7 sarkanas un 6 zilas bumbiņas. No urnas vienlaikus tiek izvilktas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir sarkanas (notikums A)?

2. Vienā plauktā nejauši izkārtotas deviņas dažādas grāmatas. Atrodiet varbūtību, ka četras konkrētas grāmatas tiks novietotas blakus viena otrai (notikums C).

3. No 10 biļetēm uzvar 2. Nosaki varbūtību, ka no 5 nejauši paņemtajām biļetēm uzvar viena.

4. No kāršu klāja (52 kārtis) pēc nejaušības principa tiek izvilktas 3 kārtis. Atrodiet varbūtību, ka tas ir trīs, septiņi, dūzis.

5. Bērns spēlējas ar pieciem sadalītā alfabēta burtiem A, K, R, Sh, Y. Kāda ir varbūtība, ka burtus nejauši izkārtojot pēc kārtas, viņš iegūs vārdu “Jumts”.

6. Kastītē ir 6 baltas un 4 sarkanas bumbiņas. Pēc nejaušības principa tiek paņemtas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka tie būs vienā krāsā?

7. Pirmajā urnā ir 6 melnas un 4 baltas bumbiņas, otrajā urnā ir 5 melnas un 7 baltas bumbiņas. No katras urnas tiek izvilkta viena bumbiņa. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir baltas?

Nejaušais mainīgais, gadījuma lieluma matemātiskā prognoze un dispersija

1. Sastādiet sadales likumu trāpījumu skaitam mērķī ar sešiem šāvieniem, ja trāpījuma iespējamība ar vienu šāvienu ir 0,4.

2. Varbūtība, ka skolēns bibliotēkā atradīs sev nepieciešamo grāmatu, ir 0,3. Sastādiet izplatīšanas likumu par bibliotēku skaitu, kuras viņš apmeklēs, ja pilsētā ir četras bibliotēkas.

3. Mednieks izšauj medījumu līdz pirmajam sitienam, bet izdodas izšaut ne vairāk kā četrus šāvienus. Atrodiet garām sitienu skaita dispersiju, ja varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,7.

4. Atrodiet nejauša lieluma matemātisko cerību X , ja tā sadalījuma likums ir dots tabulā:

5. Rūpnīcā darbojas četras automātiskās līnijas. Varbūtība, ka darba maiņas laikā pirmā rinda nebūs jākoriģē, ir 0,9, otrā – 0,8, trešā – 0,75, ceturtā – 0,7. atrodiet matemātisko paredzamo rindu skaitu, kuras darba maiņas laikā nebūs jāpielāgo.