Pakāpes x vienādojums ar dažādām bāzēm. Eksponenciālo spēku vienādojumu risināšana, algoritmi un piemēri

1º. Eksponenciālie vienādojumi sauc par vienādojumiem, kas satur mainīgo eksponentā.

Risinājums eksponenciālie vienādojumi pamatojoties uz pakāpes īpašību: divas pakāpes ar vienādu bāzi ir vienādas tad un tikai tad, ja to eksponenti ir vienādi.

2º. Pamatmetodes eksponenciālo vienādojumu risināšanai:

1) vienkāršākajam vienādojumam ir risinājums;

2) bāzei logaritmiskas formas vienādojums a samazināt līdz formai;

3) formas vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam ;

4) formas vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam.

5) formas vienādojums tiek reducēts, aizvietojot ar vienādojumu, un pēc tam tiek atrisināta vienkāršu eksponenciālo vienādojumu kopa;

6) vienādojums ar reciprokālu abpusēji ar aizstāšanu tie reducējas līdz vienādojumam un pēc tam atrisina vienādojumu kopu;

7) vienādojumi attiecībā pret a g(x) Un b g(x) Atsaucoties uz laipns ar aizstāšanu tie tiek reducēti līdz vienādojumam, un pēc tam tiek atrisināta vienādojumu kopa.

Eksponenciālo vienādojumu klasifikācija.

1. Vienādojumi atrisināti, dodoties uz vienu bāzi.

18. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums: Izmantosim to, ka visas pakāpju bāzes ir skaitļa 5 pakāpes: .

2. Vienādojumi atrisināti, pārejot uz vienu eksponentu.

Šos vienādojumus atrisina, pārveidojot sākotnējo vienādojumu formā , kas tiek samazināts līdz vienkāršākajam, izmantojot proporcijas īpašību.

19. piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

3. Vienādojumi atrisināti, izņemot kopējo koeficientu no iekavām.

Ja vienādojumā katrs eksponents atšķiras no otra par noteiktu skaitli, tad vienādojumi tiek atrisināti, iekavās liekot eksponentu ar mazāko eksponentu.

Piemērs 20. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: ņemsim grādu ar mazāko eksponentu no iekavām vienādojuma kreisajā pusē:

21. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Risinājums: Sagrupēsim atsevišķi vienādojuma kreisajā pusē terminus, kas satur pakāpes ar 4. bāzi, labajā pusē - ar bāzi 3, pēc tam iekavās izliksim pakāpes ar mazāko eksponentu:

4. Vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātvienādojumiem (vai kubiskiem) vienādojumiem.

Sekojošie vienādojumi tiek reducēti uz kvadrātvienādojumu jaunam mainīgajam y:

a) šajā gadījumā aizstāšanas veids;

b) aizstāšanas veids un .

22. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums: veiksim mainīgā lieluma izmaiņas un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

.

Atbilde: 0; 1.

5. Vienādojumi, kas ir viendabīgi attiecībā uz eksponenciālajām funkcijām.

Formas vienādojums ir viendabīgs vienādojums otrā pakāpe attiecībā pret nezināmajiem a x Un b x. Šādus vienādojumus samazina, vispirms sadalot abas puses ar un pēc tam aizstājot tos kvadrātvienādojumos.

23. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: sadaliet abas vienādojuma puses ar:

Liekot, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu ar saknēm.

Tagad problēma ir saistīta ar vienādojumu kopas atrisināšanu . No pirmā vienādojuma mēs atklājam, ka . Otrajam vienādojumam nav sakņu, jo jebkurai vērtībai x.

Atbilde: -1/2.

6. Racionālie vienādojumi attiecībā uz eksponenciālajām funkcijām.

24. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: Daļas skaitītāju un saucēju sadaliet ar 3 x un divu vietā mēs iegūstam vienu eksponenciālā funkcija:

7. Formu vienādojumi .

Tādi vienādojumi ar kopu pieņemamām vērtībām(ODZ), ko nosaka nosacījums, ņemot logaritmu abām vienādojuma pusēm, tiek reducēti līdz ekvivalentam vienādojumam, kas savukārt ir ekvivalenti divu vienādojumu kopai vai.

Piemērs 25. Atrisiniet vienādojumu: .

.

Didaktiskais materiāls.

Atrisiniet vienādojumus:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Atrast vienādojuma sakņu reizinājumu .

27. Atrodi vienādojuma sakņu summu .

Atrodiet izteiciena nozīmi:

28. , kur x 0- vienādojuma sakne;

29. , kur x 0 – visa sakne vienādojumi .

Atrisiniet vienādojumu:

31. ; 32. .

Atbildes: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tēma Nr.8.

Eksponenciālās nevienlīdzības.

1º. Tiek saukta nevienādība, kas eksponentā satur mainīgo eksponenciālā nevienlīdzība.

2º. Risinājums eksponenciālās nevienlīdzības veids ir balstīts uz šādiem apgalvojumiem:

ja , tad nevienlīdzība ir līdzvērtīga ;

ja , tad nevienlīdzība ir līdzvērtīga .

Risinot eksponenciālās nevienādības, izmantojiet tos pašus paņēmienus kā eksponenciālo vienādojumu risināšanā.

26. piemērs. Atrisiniet nevienādību (pārejas metode uz vienu bāzi).

Risinājums: jo , tad doto nevienādību var uzrakstīt šādi: . Kopš , Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzībai .

Atrisinot pēdējo nevienlīdzību, mēs iegūstam .

27. piemērs. Atrisiniet nevienādību: ( izņemot kopējo faktoru no iekavām).

Risinājums: Izņemsim no iekavām nevienlīdzības kreisajā pusē, nevienlīdzības labajā pusē un sadalīsim abas nevienādības puses ar (-2), mainot nevienādības zīmi uz pretējo:

Kopš , tad pārejot uz rādītāju nevienlīdzību, nevienlīdzības zīme atkal mainās uz pretējo. Mēs saņemam. Tādējādi visu šīs nevienlīdzības risinājumu kopa ir intervāls.

28. piemērs. Atrisiniet nevienādību ( ieviešot jaunu mainīgo).

Risinājums: Ļaujiet. Tad šī nevienlīdzība būs šāda: vai , kura risinājums ir intervāls .

No šejienes. Tā kā funkcija palielinās, tad .

Didaktiskais materiāls.

Norādiet nevienlīdzības risinājumu kopu:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Pie kādām vērtībām x Vai funkcijas diagrammas punkti atrodas zem taisnes?

7. Pie kādām vērtībām x Vai funkcijas diagrammas punkti atrodas vismaz tikpat augstu kā taisne?

Atrisiniet nevienlīdzību:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Norādiet nevienādības lielāko veselo skaitļu risinājumu .

14. Atrast nevienādības lielākā veselā skaitļa un mazākā veselā skaitļa atrisinājumu reizinājumu .

Atrisiniet nevienlīdzību:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Atrodiet funkcijas domēnu:

27. ; 28. .

29. Atrodiet argumentu vērtību kopu, kurai katras funkcijas vērtības ir lielākas par 3:

Un .

Atbildes: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )