Nevienlīdzības ar dažādām pakāpēm. Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības

Daudzi cilvēki domā, ka eksponenciālā nevienlīdzība ir kaut kas sarežģīts un nesaprotams. Un ka iemācīties tos atrisināt ir gandrīz liela māksla, kuru aptver tikai Izredzētie...

Pilnīgas muļķības! Eksponenciālās nevienlīdzības ir vienkāršas. Un tie vienmēr tiek atrisināti vienkārši. Nu gandrīz vienmēr :)

Šodien mēs aplūkosim šo tēmu no iekšpuses un ārpuses. Šī nodarbība būs ļoti noderīga tiem, kas tikai sāk saprast šo skolas matemātikas sadaļu. Sāksim ar vienkāršus uzdevumus un mēs pāriesim pie sarežģītākiem jautājumiem. Šodien nebūs nekāda smaga darba, taču ar to, ko grasāties lasīt, pietiks, lai atrisinātu lielāko daļu nevienlīdzību visu veidu pārbaudēs un testos. patstāvīgs darbs. Un arī šajā tavā eksāmenā.

Kā vienmēr, sāksim ar definīciju. Eksponenciālā nevienlīdzība ir jebkura nevienlīdzība, kas satur eksponenciālā funkcija. Citiem vārdiem sakot, to vienmēr var reducēt līdz formas nevienlīdzībai

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kur $b$ loma var būt parasts skaitlis vai varbūt kaut kas stingrāks. Piemēri? Jā, lūdzu:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ četrstūris ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\beigt(līdzināt)\]

Manuprāt, nozīme ir skaidra: ir eksponenciāla funkcija $((a)^(x))$, to ar kaut ko salīdzina un pēc tam lūdz atrast $x$. Īpaši klīniskos gadījumos mainīgā $x$ vietā viņi var ievietot kādu funkciju $f\left(x\right)$ un tādējādi nedaudz sarežģīt nevienlīdzību :)

Protams, dažos gadījumos nevienlīdzība var izrādīties smagāka. Piemēram:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vai pat šis:

Kopumā šādu nevienādību sarežģītība var būt ļoti dažāda, taču galu galā tās tomēr reducējas līdz vienkāršai konstrukcijai $((a)^(x)) \gt b$. Un mēs kaut kā izdomāsim šādu konstrukciju (īpaši klīniskos gadījumos, kad nekas nenāk prātā, mums palīdzēs logaritmi). Tāpēc tagad mēs iemācīsim jums atrisināt šādas vienkāršas konstrukcijas.

Vienkāršu eksponenciālu nevienādību atrisināšana

Apskatīsim kaut ko ļoti vienkāršu. Piemēram, šis:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Acīmredzot skaitli labajā pusē var pārrakstīt kā divu pakāpju: $4=((2)^(2))$. Tādējādi sākotnējo nevienlīdzību var pārrakstīt ļoti ērtā formā:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Un tagad man niez rokas spēku bāzēs “izsvītrot” divniekus, lai iegūtu atbildi $x \gt 2$. Bet pirms kaut ko izsvītrot, atcerēsimies divu spēku:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kā redzam, nekā lielāks skaits ir eksponentā, jo lielāks ir izvades skaitlis. "Paldies, Cap!" - viens no studentiem iesaucas. Vai tas ir savādāk? Diemžēl tā notiek. Piemēram:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ pa labi))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Arī šeit viss ir loģiski: ko vairāk grādu, jo vairāk reižu skaitlis 0,5 tiek reizināts ar sevi (t.i., dalīts uz pusēm). Tādējādi iegūtā skaitļu secība samazinās, un atšķirība starp pirmo un otro secību ir tikai bāzē:

• Ja pakāpes $a \gt 1$ bāze, tad, palielinoties eksponentam $n$, palielināsies arī skaitlis $((a)^(n))$;
• Un otrādi, ja $0 \lt a \lt 1$, tad, pieaugot eksponentam $n$, skaitlis $((a)^(n))$ samazināsies.

Apkopojot šos faktus, mēs iegūstam vissvarīgāko apgalvojumu, uz kuru balstās viss lēmums eksponenciālās nevienlīdzības:

Ja $a \gt 1$, tad nevienādība $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ir ekvivalenta nevienādībai $x \gt n$. Ja $0 \lt a \lt 1$, tad nevienādība $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ir ekvivalenta nevienādībai $x \lt n$.

Citiem vārdiem sakot, ja bāze ir lielāka par vienu, varat to vienkārši noņemt - nevienlīdzības zīme nemainīsies. Un, ja bāze ir mazāka par vienu, tad to var arī noņemt, bet tajā pašā laikā jums būs jāmaina nevienlīdzības zīme.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs neesam apsvēruši opcijas $a=1$ un $a\le 0$. Jo šajos gadījumos rodas nenoteiktība. Teiksim, kā atrisināt nevienādību formā $((1)^(x)) \gt 3$? Viens jebkurai varai atkal dos vienu – mēs nekad nedabūsim trīs vai vairāk. Tie. risinājumu nav.

AR negatīvi iemesli vēl interesantāk. Piemēram, apsveriet šo nevienlīdzību:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

No pirmā acu uzmetiena viss ir vienkāršs:

Pa labi? Bet nē! Pietiek $x$ vietā aizvietot pāris pat vienus un pāris nepāra skaitļi lai pārliecinātos, ka risinājums ir nepareizs. Paskaties:

\[\begin(align) & x=4\labā bultiņa ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Labā bultiņa ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\bultiņa pa labi ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Labā bultiņa ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(līdzināt)\]

Kā redzat, zīmes mainās. Bet ir vairāk daļskaitļi un cita alva. Kā, piemēram, jūs varētu aprēķināt $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (atskaitot divus ar pakāpju septiņi)? Nevar būt!

Tāpēc skaidrības labad mēs pieņemam, ka visās eksponenciālajās nevienādībās (un, starp citu, arī vienādojumos) $1\ne a \gt 0$. Un tad viss tiek atrisināts ļoti vienkārši:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin (līdzināt) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Kopumā vēlreiz atcerieties galveno noteikumu: ja eksponenciālā vienādojuma bāze ir lielāka par vienu, varat to vienkārši noņemt; un ja bāze ir mazāka par vienu, to var arī noņemt, bet nevienlīdzības zīme mainīsies.

Risinājumu piemēri

Tātad, aplūkosim dažas vienkāršas eksponenciālās nevienādības:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\beigt(līdzināt)\]

Primārais uzdevums visos gadījumos ir vienāds: reducēt nevienādības līdz vienkāršākai formai $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tieši to mēs tagad darīsim ar katru nevienādību, un tajā pašā laikā mēs atkārtosim grādu un eksponenciālo funkciju īpašības. Tātad, ejam!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ko jūs šeit varat darīt? Nu pa kreisi mums jau ir indikatīvs izteiciens - nekas nav jāmaina. Bet labajā pusē ir kaut kāda veida švaka: daļskaitlis un pat sakne saucējā!

Tomēr atcerēsimies noteikumus darbam ar daļskaitļiem un pakāpēm:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\beigt(līdzināt)\]

Ko tas nozīmē? Pirmkārt, mēs varam viegli atbrīvoties no daļas, pārvēršot to pakāpē ar negatīvu eksponentu. Un, otrkārt, tā kā saucējam ir sakne, būtu jauki pārvērst to pakāpē – šoreiz ar daļskaitli.

Piemērosim šīs darbības secīgi nevienlīdzības labajā pusē un redzēsim, kas notiek:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \labais))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Neaizmirstiet, ka, paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, šo grādu eksponenti summējas. Un vispār, strādājot ar eksponenciālajiem vienādojumiem un nevienādībām, noteikti jāzina vismaz vienkāršākie noteikumi darbam ar pilnvarām:

\[\begin(līdzināt) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\beigt(līdzināt)\]

Patiesībā mēs tikko piemērojām pēdējo noteikumu. Tāpēc mūsu sākotnējā nevienlīdzība tiks pārrakstīta šādi:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\bultiņa pa labi ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Tagad mēs atbrīvojamies no diviem pie bāzes. Tā kā 2 > 1, nevienlīdzības zīme paliks nemainīga:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(līdzināt)\]

Tas ir risinājums! Galvenās grūtības nepavisam nav eksponenciālajā funkcijā, bet gan kompetentā sākotnējās izteiksmes pārveidošanā: jums rūpīgi un ātri jānovērš tā vienkāršākā forma.

Apsveriet otro nevienlīdzību:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tik-tā. Šeit mūs gaida decimāldaļdaļas. Kā jau daudzkārt esmu teicis, visos izteicienos ar pakāpēm jums vajadzētu atbrīvoties no decimāldaļām - bieži vien tas ir vienīgais veids, kā redzēt ātru un vienkāršu risinājumu. Šeit mēs atbrīvosimies no:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\beigt(līdzināt)\]

Šeit atkal ir visvienkāršākā nevienādība, un pat ar bāzi 1/10, t.i. mazāk par vienu. Nu, mēs noņemam pamatnes, vienlaikus mainot zīmi no “mazāk” uz “vairāk”, un mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs saņēmām galīgo atbildi: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lūdzu, ņemiet vērā: atbilde ir tieši kopa, un nekādā gadījumā nav konstrukcijas $x \lt -1$. Jo formāli šāda konstrukcija nemaz nav kopa, bet gan nevienādība attiecībā pret mainīgo $x$. Jā, tas ir ļoti vienkārši, bet tā nav atbilde!

Svarīga piezīme. Šo nevienlīdzību varētu atrisināt citā veidā – reducējot abas puses līdz varai, kuras bāze ir lielāka par vienu. Paskaties:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Labā bultiņa ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Pēc šādas transformācijas mēs atkal iegūsim eksponenciālu nevienādību, bet ar bāzi 10 > 1. Tas nozīmē, ka varam vienkārši izsvītrot desmitnieku – nevienādības zīme nemainīsies. Mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\beigt(līdzināt)\]

Kā redzat, atbilde bija tieši tāda pati. Tajā pašā laikā mēs izglābām sevi no nepieciešamības mainīt zīmi un vispār atcerēties visus noteikumus :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Tomēr neļaujiet tam jūs nobiedēt. Neatkarīgi no tā, kas ir rādītājos, pati nevienlīdzības risināšanas tehnoloģija paliek nemainīga. Tāpēc vispirms atzīmēsim, ka 16 = 2 4. Pārrakstīsim sākotnējo nevienlīdzību, ņemot vērā šo faktu:

\[\begin(līdzināt) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(līdzināt)\]

Urrā! Mēs saņēmām parasto kvadrātisko nevienlīdzību! Zīme nekur nav mainījusies, jo bāze ir divi - skaitlis, kas ir lielāks par vienu.

Funkcijas nulles uz skaitļa līnijas

Sakārtojam funkcijas $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ zīmes - acīmredzot, tās grafiks būs parabola ar zariem uz augšu, tāpēc būs plusi ” sānos. Mūs interesē reģions, kurā funkcija ir mazāka par nulli, t.i. $x\in \left(2;5 \right)$ ir atbilde uz sākotnējo problēmu.

Visbeidzot, apsveriet citu nevienlīdzību:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Atkal mēs redzam eksponenciālu funkciju ar decimāldaļu bāzē. Pārveidosim šo daļskaitli par parasto daļskaitli:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightbult \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\kreisais(((5)^(-1)) \labais))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(līdzināt)\]

Šajā gadījumā mēs izmantojām iepriekš sniegto piezīmi - samazinājām bāzi līdz skaitlim 5 > 1, lai vienkāršotu tālāko risinājumu. Darīsim to pašu ar labo pusi:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ pa labi))^(2))=((5)^(-1\cpunkts 2))=((5)^(-2))\]

Pārrakstīsim sākotnējo nevienādību, ņemot vērā abas transformācijas:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Arrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Pamatnes abās pusēs ir vienādas un pārsniedz vienu. Labajā un kreisajā pusē nav citu terminu, tāpēc mēs vienkārši “izsvītrojam” pieciniekus un iegūstam ļoti vienkāršu izteiksmi:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(līdzināt)\]

Šeit jums jābūt uzmanīgākam. Daudziem studentiem patīk vienkārši iegūt Kvadrātsakne abām nevienādības pusēm un ierakstiet kaut ko līdzīgu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nekādā gadījumā nevajadzētu to darīt, jo precīza kvadrāta sakne ir modulis un nekādā gadījumā sākotnējais mainīgais:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Tomēr darbs ar moduļiem nav patīkamākā pieredze, vai ne? Tātad mēs nestrādāsim. Tā vietā mēs vienkārši pārvietojam visus terminus pa kreisi un atrisinām parasto nevienlīdzību, izmantojot intervāla metodi:

$\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(līdzināt)$

Mēs vēlreiz atzīmējam iegūtos punktus uz skaitļu līnijas un skatāmies uz zīmēm:

Lūdzu, ņemiet vērā: punkti ir iekrāsoti

Tā kā mēs atrisinājām nevienlīdzību, visi diagrammas punkti ir iekrāsoti. Tāpēc atbilde būs: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nav intervāls, bet gan segments.

Kopumā es vēlos atzīmēt, ka eksponenciālajās nevienādībās nav nekā sarežģīta. Visu šodien veikto transformāciju nozīme ir saistīta ar vienkāršu algoritmu:

• Atrodiet pamatu, līdz kuram samazināsim visus grādus;
• Uzmanīgi veiciet transformācijas, lai iegūtu formas $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ nevienādību. Protams, mainīgo $x$ un $n$ vietā var būt daudz vairāk sarežģītas funkcijas, bet nozīme nemainīsies;
• Izsvītrojiet grādu pamatus. Šajā gadījumā nevienlīdzības zīme var mainīties, ja bāze $a \lt 1$.

Faktiski tas ir universāls algoritms visu šādu nevienlīdzību risināšanai. Un viss pārējais, ko viņi jums pastāstīs par šo tēmu, ir tikai konkrētas metodes un triki, kas vienkāršos un paātrinās transformāciju. Mēs tagad runāsim par vienu no šīm metodēm :)

Racionalizācijas metode

Apskatīsim citu nevienlīdzību kopu:

\[\begin(līdzināt) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \pa labi))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(līdzināt)\]

Tātad, kas viņos ir tik īpašs? Tie ir gaiši. Lai gan, apstājieties! Vai skaitlis π ir palielināts ar kādu pakāpi? Kādas muļķības?

Kā palielināt skaitli $2\sqrt(3)-3$ līdz jaudai? Vai $3-2\sqrt(2)$? Problēmu rakstītāji acīmredzami izdzēra pārāk daudz Hawthorn, pirms sēdās strādāt :)

Patiesībā šajos uzdevumos nav nekā biedējoša. Atgādināšu: eksponenciāla funkcija ir formas $((a)^(x))$ izteiksme, kur bāze $a$ ir jebkura pozitīvs skaitlis, izņemot vienu. Skaitlis π ir pozitīvs – mēs to jau zinām. Arī skaitļi $2\sqrt(3)-3$ un $3-2\sqrt(2)$ ir pozitīvi — to ir viegli saprast, ja tos salīdzināt ar nulli.

Izrādās, ka visas šīs "biedējošās" nevienlīdzības tiek atrisinātas ne ar ko neatšķiras no vienkāršajām, kas tika apspriestas iepriekš? Un vai tie tiek atrisināti vienādi? Jā, tas ir pilnīgi pareizi. Tomēr, izmantojot viņu piemēru, es vēlētos apsvērt vienu paņēmienu, kas ievērojami ietaupa laiku patstāvīgam darbam un eksāmeniem. Mēs runāsim par racionalizācijas metodi. Tātad, uzmanību:

Jebkura eksponenciāla nevienādība formā $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ir ekvivalenta nevienādībai $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ pa labi) \gt 0 $.

Tāda ir visa metode :) Vai tu domāji, ka būs kāda cita spēle? Nekas tamlīdzīgs! Bet šis vienkāršais fakts, kas uzrakstīts burtiski vienā rindā, ievērojami vienkāršos mūsu darbu. Paskaties:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Tātad vairs nav eksponenciālu funkciju! Un jums nav jāatceras, vai zīme mainās vai nē. Bet tas rodas jauna problēma: ko darīt ar sasodīti reizinātāju \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Mēs nezinām, par ko ir runa precīza vērtība skaitļi π. Tomēr šķiet, ka kapteinis dod mājienu uz acīmredzamo:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\apmēram 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Kopumā precīza π vērtība mūs īsti neskar - mums ir svarīgi tikai saprast, ka jebkurā gadījumā $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. šī ir pozitīva konstante, un ar to varam dalīt abas nevienlīdzības puses:

\[\begin(līdzināt) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(līdzināt)\]

Kā redzat, noteiktā brīdī mums bija jādala ar mīnus viens - un nevienlīdzības zīme mainījās. Beigās izvērsu kvadrātisko trinomu, izmantojot Vietas teorēmu - ir skaidrs, ka saknes ir vienādas ar $((x)_(1))=5$ un $((x)_(2))=-1$ . Tad viss tiek atrisināts, izmantojot klasisko intervālu metodi:

Nevienādības risināšana, izmantojot intervālu metodi

Visi punkti tiek noņemti, jo sākotnējā nevienlīdzība ir stingra. Mūs interesē reģions ar negatīvām vērtībām, tāpēc atbilde ir $x\in \left(-1;5 \right)$. Tāds ir risinājums :)

Pāriesim pie nākamā uzdevuma:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Šeit viss parasti ir vienkāršs, jo labajā pusē ir vienība. Un mēs atceramies, ka viens ir jebkurš skaitlis, kas palielināts līdz nullei. Pat ja šis skaitlis ir neracionāla izteiksme apakšējā kreisajā pusē:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \pa labi))^(0)); \\\beigt(līdzināt)\]

Nu, racionalizēsim:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(līdzināt)\ ]

Atliek tikai izdomāt zīmes. Koeficients $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nesatur mainīgo $x$ - tā ir tikai konstante, un mums ir jānoskaidro tā zīme. Lai to izdarītu, ņemiet vērā tālāk norādīto.

\[\begin(matrica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrica)\]

Izrādās, ka otrs faktors nav tikai konstante, bet gan negatīva konstante! Un, dalot ar to, sākotnējās nevienlīdzības zīme mainās uz pretējo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(līdzināt)\]

Tagad viss kļūst pilnīgi skaidrs. Labajā pusē esošā kvadrātveida trinoma saknes ir: $((x)_(1))=0$ un $((x)_(2))=2$. Atzīmējam tos skaitļu rindā un apskatām funkcijas $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ zīmes:

Gadījums, kad mūs interesē sānu intervāli

Mūs interesē intervāli, kas atzīmēti ar plus zīmi. Atliek tikai pierakstīt atbildi:

Pāriesim pie nākamā piemēra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ pa labi))^(16-x))\]

Šeit viss ir pilnīgi acīmredzams: bāzēs ir tāda paša skaitļa pilnvaras. Tāpēc es visu uzrakstīšu īsi:

\[\begin(matrica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\beiga(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ pa kreisi(16-x \pa labi))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(līdzināt)\]

Kā redzat, transformācijas procesā mums bija jāreizina ar negatīvs skaitlis, tātad nevienlīdzības zīme ir mainījusies. Pašās beigās es vēlreiz izmantoju Vietas teorēmu, lai faktorētu kvadrātisko trinomu. Rezultātā atbilde būs šāda: $x\in \left(-8;4 \right)$ - par to var pārliecināties ikviens, novelkot skaitļa līniju, atzīmējot punktus un saskaitot zīmes. Tikmēr mēs pāriesim uz pēdējo nevienlīdzību no mūsu “kopas”:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kā redzat, pie pamatnes atkal ir iracionāls skaitlis, un labajā pusē atkal ir vienība. Tāpēc mēs pārrakstām savu eksponenciālo nevienlīdzību šādi:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ pa labi))^(0))\]

Mēs izmantojam racionalizāciju:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(līdzināt)\ ]

Tomēr ir pilnīgi skaidrs, ka $1-\sqrt(2) \lt 0$, jo $\sqrt(2)\apmēram 1,4... \gt 1$. Tāpēc otrais faktors atkal ir negatīva konstante, ar kuru var sadalīt abas nevienlīdzības puses:

\[\begin(matrica) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\beigas(matrica)\]

\[\begin(līdzināt) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(līdzināt)\]

Pārvietojieties uz citu bāzi

Atsevišķa problēma, risinot eksponenciālās nevienādības, ir “pareizā” pamata meklēšana. Diemžēl ne vienmēr no pirmā acu uzmetiena pie uzdevuma ir skaidrs, ko ņemt par pamatu un ko darīt atbilstoši šī pamata pakāpei.

Bet neuztraucieties: šeit nav burvju vai "slepenu" tehnoloģiju. Matemātikā jebkuras prasmes, kuras nevar algoritmizēt, var viegli attīstīt praksē. Bet šim jums būs jāatrisina problēmas dažādi līmeņi grūtības. Piemēram, šādi:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ beigas (līdzināt)\]

Grūti? Baisi? Tas ir vienkāršāk nekā sist vistu pa asfaltu! Pamēģināsim. Pirmā nevienlīdzība:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Es domāju, ka šeit viss ir skaidrs:

Mēs pārrakstām sākotnējo nevienlīdzību, samazinot visu līdz diviem pamatiem:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Labā bultiņa \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Jā, jā, jūs dzirdējāt pareizi: es tikko izmantoju iepriekš aprakstīto racionalizācijas metodi. Tagad mums ir jāstrādā uzmanīgi: mums ir daļēja un racionāla nevienādība (šī ir tāda, kuras saucējā ir mainīgais), tāpēc, pirms kaut ko pielīdzināt nullei, mums viss ir jāsaved pie kopsaucēja un jāatbrīvojas no nemainīgā faktora. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(līdzināt)\]

Tagad mēs izmantojam standarta intervāla metodi. Skaitītāja nulles: $x=\pm 4$. Saucējs iet uz nulli tikai tad, ja $x=0$. Kopā ir trīs punkti, kas jāatzīmē uz skaitļu līnijas (visi punkti ir izsprausti, jo nevienlīdzības zīme ir stingra). Mēs iegūstam:

Vairāk grūts gadījums: trīs saknes

Kā jūs varētu uzminēt, ēnojums iezīmē tos intervālus, kuros tiek izmantota izteiksme kreisajā pusē negatīvas vērtības. Tāpēc galīgajā atbildē vienlaikus tiks iekļauti divi intervāli:

Intervālu beigas atbildē nav iekļautas, jo sākotnējā nevienlīdzība bija stingra. Turpmāka šīs atbildes pārbaude nav nepieciešama. Šajā sakarā eksponenciālās nevienādības ir daudz vienkāršākas nekā logaritmiskās: nav ODZ, nav ierobežojumu utt.

Pāriesim pie nākamā uzdevuma:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Arī šeit nav problēmu, jo mēs jau zinām, ka $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, tāpēc visu nevienlīdzību var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Arrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Lūdzu, ņemiet vērā: trešajā rindā es nolēmu netērēt laiku sīkumiem un nekavējoties visu sadalīt ar (-2). Minul iekļuva pirmajā iekavās (tagad visur ir plusi), un divi tika samazināti ar nemainīgu koeficientu. Tas ir tieši tas, kas jums jādara, gatavojot reālus displejus neatkarīgos un testiem— nav jāapraksta katra darbība un pārvērtības.

Tālāk tiek izmantota pazīstamā intervālu metode. Skaitītāja nulles: bet tādu nav. Jo diskriminants būs negatīvs. Savukārt saucējs tiek atiestatīts tikai tad, kad $x=0$ - tāpat kā pagājušajā reizē. Ir skaidrs, ka pa labi no $x=0$ tiks ņemta daļa pozitīvas vērtības, un kreisajā pusē ir negatīvi. Tā kā mūs interesē negatīvas vērtības, galīgā atbilde ir: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Ko darīt ar decimāldaļskaitļiem eksponenciālajās nevienādībās? Tieši tā: atbrīvojieties no tiem, pārvēršot tos par parastajiem. Šeit mēs tulkosim:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\bultiņa pa labi ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ pa kreisi(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\bultiņa pa labi ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\pa labi))^(x)). \\\beigt(līdzināt)\]

Tātad, ko mēs ieguvām eksponenciālo funkciju pamatos? Un mēs saņēmām divus savstarpēji apgrieztus skaitļus:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Labā bultiņa ((\left(\frac(25)(4) \ pa labi))^(x))=((\pa kreisi(((\pa kreisi(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ pa kreisi(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Tādējādi sākotnējo nevienlīdzību var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \pa labi))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\beigt(līdzināt)\]

Protams, reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti summējas, kas notika otrajā rindā. Turklāt mēs pārstāvējām vienību labajā pusē, arī kā spēku bāzē 4/25. Atliek tikai racionalizēt:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightbult \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Ņemiet vērā, ka $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, t.i. otrais faktors ir negatīva konstante, un, dalot ar to, mainās nevienlīdzības zīme:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\labā bultiņa x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(līdzināt)\]

Visbeidzot, pēdējā nevienlīdzība no pašreizējās “kopas”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Principā arī risinājuma ideja šeit ir skaidra: visas nevienlīdzībā iekļautās eksponenciālās funkcijas ir jāsamazina līdz bāzei “3”. Bet, lai to izdarītu, jums būs nedaudz jāpielāgojas ar saknēm un spējām:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\beigt(līdzināt)\]

Ņemot vērā šos faktus, sākotnējo nevienlīdzību var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\labais))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\beigt(līdzināt)\]

Pievērsiet uzmanību aprēķinu 2. un 3. rindiņai: pirms kaut ko darāt ar nevienlīdzību, noteikti izveidojiet to formā, par kuru mēs runājām jau nodarbības sākumā: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Kamēr kreisajā vai labajā pusē ir daži kreisi faktori, papildu konstantes utt., nevar veikt pamatojumu racionalizāciju vai “izsvītrošanu”.! Neskaitāmi uzdevumi ir izpildīti nepareizi, jo trūkst izpratnes par to vienkāršs fakts. Es pats pastāvīgi novēroju šo problēmu ar saviem studentiem, kad mēs tikai sākam analizēt eksponenciālās un logaritmiskās nevienādības.

Bet atgriezīsimies pie sava uzdevuma. Mēģināsim šoreiz iztikt bez racionalizācijas. Atcerēsimies: pakāpes bāze ir lielāka par vienu, tāpēc trīskāršus var vienkārši izsvītrot – nevienlīdzības zīme nemainīsies. Mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(līdzināt)\]

Tas ir viss. Galīgā atbilde: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabilas izteiksmes izolēšana un mainīgā aizstāšana

Noslēgumā es ierosinu atrisināt vēl četras eksponenciālas nevienādības, kas jau tā ir diezgan sarežģītas nesagatavotiem studentiem. Lai tiktu galā ar tiem, jums jāatceras noteikumi darbam ar grādiem. Jo īpaši kopējo faktoru izlikšana iekavās.

Bet pats galvenais ir iemācīties saprast, ko tieši var izņemt no iekavām. Šādu izteiksmi sauc par stabilu – to var apzīmēt ar jaunu mainīgo un tādējādi atbrīvoties no eksponenciālās funkcijas. Tātad, aplūkosim uzdevumus:

\[\begin(līdzināt) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(līdzināt)\]

Sāksim no pašas pirmās rindas. Rakstīsim šo nevienlīdzību atsevišķi:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Ņemiet vērā, ka $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tātad labā roka pusē var pārrakstīt:

Ņemiet vērā, ka nevienādībā nav citu eksponenciālu funkciju, izņemot $((5)^(x+1))$. Un vispār mainīgais $x$ nekur citur neparādās, tāpēc ieviesīsim jaunu mainīgo: $((5)^(x+1))=t$. Mēs iegūstam šādu konstrukciju:

\[\begin(līdzināt) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(līdzināt)\]

Mēs atgriežamies pie sākotnējā mainīgā ($t=((5)^(x+1))$), un tajā pašā laikā atceramies, ka 1=5 0 . Mums ir:

\[\begin(līdzināt) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\beigt(līdzināt)\]

Tas ir risinājums! Atbilde: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pāriesim pie otrās nevienlīdzības:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Šeit viss ir vienāds. Ņemiet vērā, ka $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Tad kreiso pusi var pārrakstīt:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\pa labi. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\beigt(līdzināt)\]

Apmēram šādi jums ir jāizstrādā risinājums reāliem testiem un patstāvīgam darbam.

Nu, mēģināsim kaut ko sarežģītāku. Piemēram, šeit ir nevienlīdzība:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Kāda šeit ir problēma? Pirmkārt, kreisās puses eksponenciālo funkciju bāzes ir atšķirīgas: 5 un 25. Tomēr 25 = 5 2, tātad pirmo terminu var pārveidot:

\[\begin(līdzināt) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cpunkts 5. \\\end(līdzināt )\]

Kā redzat, sākumā mēs visu novietojām vienā bāzē, un tad pamanījām, ka pirmo terminu var viegli reducēt uz otro - jums vienkārši jāpaplašina eksponents. Tagad varat droši ieviest jaunu mainīgo: $((5)^(2x+2))=t$, un visa nevienlīdzība tiks pārrakstīta šādi:

\[\begin(līdzināt) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(līdzināt)\]

Un atkal bez grūtībām! Galīgā atbilde: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pārejam pie galīgās nevienlīdzības šodienas nodarbībā:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pirmā lieta, kam jāpievērš uzmanība, protams, ir decimālzīme pirmās pakāpes pamatnē. No tā ir jāatbrīvojas un tajā pašā laikā visas eksponenciālās funkcijas jānovieto vienā bāzē - skaitlis “2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\bultiņa pa labi ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Labā bultiņa ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(līdzināt)\]

Lieliski, mēs esam spēruši pirmo soli — viss ir novedis pie tā paša pamata. Tagad jums ir jāizvēlas stabila izteiksme. Ņemiet vērā, ka $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ja ieviešam jaunu mainīgo $((2)^(4x+6))=t$, tad sākotnējo nevienādību var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\beigt(līdzināt)\]

Protams, var rasties jautājums: kā mēs atklājām, ka 256 = 2 8? Diemžēl šeit jums vienkārši jāzina divu (un tajā pašā laikā trīs un piecu) pilnvaras. Nu, vai sadaliet 256 ar 2 (varat dalīt, jo 256 ir pāra skaitlis), līdz iegūstam rezultātu. Tas izskatīsies apmēram šādi:

\[\begin(līdzināt) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 2 2\cpunkts 2= \\ & =2\cpunkts 2\cpunkts 2\cpunkts 2\cpunkts 2\cpunkts 2\cpunkts 2\cpunkts 2= \\ & =((2)^(8)).\end(līdzināt )\]

Tas pats attiecas uz trim (skaitļi 9, 27, 81 un 243 ir tā grādi) un ar septiņiem (arī skaitļus 49 un 343 būtu jauki atcerēties). Nu, pieciniekam ir arī "skaistas" grādi, kas jums jāzina:

\[\begin(līdzināt) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\beigt(līdzināt)\]

Protams, ja vēlaties, visus šos skaitļus var atjaunot savā prātā, vienkārši tos secīgi reizinot vienu ar otru. Tomēr, ja jums ir jāatrisina vairākas eksponenciālas nevienādības, un katra nākamā ir grūtāka par iepriekšējo, tad pēdējais, par ko vēlaties padomāt, ir dažu skaitļu pakāpes. Un šajā ziņā šīs problēmas ir sarežģītākas nekā “klasiskās” nevienlīdzības, kas tiek atrisinātas ar intervālu metodi.

Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības ir tie, kuru eksponentā ir ietverts nezināmais.

Atrisinot eksponenciālos vienādojumus, bieži vien jāatrisina vienādojums a x = a b, kur a > 0, a ≠ 1, x ir nezināms. Šim vienādojumam ir viena sakne x = b, jo šāda teorēma ir patiesa:

Teorēma. Ja a > 0, a ≠ 1 un a x 1 = a x 2, tad x 1 = x 2.

Pamatosim apsvērto apgalvojumu.

Pieņemsim, ka vienādība x 1 = x 2 nepastāv, t.i. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tad eksponenciālā funkcija y = a x palielinās un tāpēc ir jāizpilda nevienādība a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abos gadījumos mēs saņēmām pretrunu ar nosacījumu a x 1 = a x 2.

Apskatīsim vairākas problēmas.

Atrisiniet vienādojumu 4 ∙ 2 x = 1.

Risinājums.

Vienādojumu rakstīsim formā 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, no kuras iegūstam x + 2 = 0, t.i. x = -2.

Atbilde. x = -2.

Atrisiniet vienādojumu 2 3x ∙ 3 x = 576.

Risinājums.

Tā kā 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, vienādojumu var uzrakstīt kā 8 x ∙ 3 x = 24 2 vai 24 x = 24 2.

No šejienes mēs iegūstam x = 2.

Atbilde. x = 2.

Atrisiniet vienādojumu 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Risinājums.

Izņemot kopējo koeficientu 3 x - 2 no iekavām kreisajā pusē, mēs iegūstam 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

no kurienes 3 x - 2 = 1, t.i. x – 2 = 0, x = 2.

Atbilde. x = 2.

Atrisiniet vienādojumu 3 x = 7 x.

Risinājums.

Tā kā 7 x ≠ 0, vienādojumu var uzrakstīt kā 3 x /7 x = 1, no kurienes (3/7) x = 1, x = 0.

Atbilde. x = 0.

Atrisiniet vienādojumu 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Risinājums.

Aizstājot 3 x = a, šis vienādojums samazinās līdz kvadrātvienādojums a 2 – 4a – 45 = 0.

Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam tā saknes: a 1 = 9 un 2 = -5, no kurienes 3 x = 9, 3 x = -5.

Vienādojumam 3 x = 9 ir sakne 2, un vienādojumam 3 x = -5 nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija nevar iegūt negatīvas vērtības.

Atbilde. x = 2.

Eksponenciālo nevienādību atrisināšana bieži vien ir saistīta ar nevienādību a x > a b vai a x atrisināšanu< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Apskatīsim dažas problēmas.

Atrisiniet nevienādību 3 x< 81.

Risinājums.

Nevienādību rakstīsim formā 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tad funkcija y = 3 x pieaug.

Tāpēc par x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Tādējādi pie x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Atbilde. X< 4.

Atrisiniet nevienādību 16 x +4 x – 2 > 0.

Risinājums.

Apzīmēsim 4 x = t, tad iegūstam kvadrātvienādību t2 + t – 2 > 0.

Šī nevienlīdzība attiecas uz t< -2 и при t > 1.

Tā kā t = 4 x, mēs iegūstam divas nevienādības 4 x< -2, 4 х > 1.

Pirmajai nevienādībai nav atrisinājumu, jo 4 x > 0 visiem x € R.

Otro nevienādību rakstām formā 4 x > 4 0, no kurienes x > 0.

Atbilde. x > 0.

Grafiski atrisiniet vienādojumu (1/3) x = x – 2/3.

Risinājums.

1) Izveidosim grafikus funkcijām y = (1/3) x un y = x – 2/3.

2) Pamatojoties uz mūsu attēlu, varam secināt, ka aplūkoto funkciju grafiki krustojas punktā ar abscisu x ≈ 1. Pārbaude pierāda, ka

x = 1 ir šī vienādojuma sakne:

(1/3) 1 = 1/3 un 1 – 2/3 = 1/3.

Citiem vārdiem sakot, mēs esam atraduši vienu no vienādojuma saknēm.

3) Atradīsim citas saknes vai pierādīsim, ka tādu nav. Funkcija (1/3) x samazinās, un funkcija y = x – 2/3 palielinās. Tāpēc, ja x > 1, pirmās funkcijas vērtības ir mazākas par 1/3, bet otrās - lielākas par 1/3; pie x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 un x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Atbilde. x = 1.

Ņemiet vērā, ka jo īpaši no šīs problēmas risinājuma izriet, ka nevienādība (1/3) x > x – 2/3 ir izpildīta x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ieslēgts šī nodarbība apskatīsim dažādas eksponenciālās nevienādības un uzzināsim, kā tās atrisināt, pamatojoties uz visvienkāršāko eksponenciālo nevienādību risināšanas paņēmienu

1. Eksponenciālās funkcijas definīcija un īpašības

Atcerēsimies eksponenciālās funkcijas definīciju un pamatīpašības. Visu eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risinājums ir balstīts uz šīm īpašībām.

Eksponenciālā funkcija ir formas funkcija , kur bāze ir pakāpe un šeit x ir neatkarīgais mainīgais, arguments; y ir atkarīgais mainīgais, funkcija.

Rīsi. 1. Eksponenciālās funkcijas grafiks

Grafikā parādīti pieaugošie un samazinošie eksponenti, ilustrējot eksponenciālo funkciju ar bāzi, kas ir lielāka par vienu un mazāka par vienu, bet lielāka par nulli.

Abas līknes iet caur punktu (0;1)

Eksponenciālās funkcijas īpašības:

Domēns: ;

Vērtību diapazons: ;

Funkcija ir monotona, palielinās ar, samazinās ar.

Monotoniskai funkcijai katrai vērtībai ir piešķirta viena argumenta vērtība.

Kad , kad arguments palielinās no mīnus līdz plus bezgalībai, funkcija palielinās no nulles ieskaitot līdz plus bezgalībai, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni pieaugoša funkcija (). Gluži pretēji, kad arguments palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai, funkcija samazinās no bezgalības līdz nullei ieskaitot, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni samazinoša funkcija ().

2. Vienkāršākās eksponenciālās nevienādības, risinājuma metode, piemērs

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs piedāvājam metodi vienkāršu eksponenciālu nevienādību risināšanai:

Nevienlīdzību risināšanas tehnika:

Izlīdzināt grādu bāzes;

Salīdziniet metriku, saglabājot vai mainot uz pretēja zīme nevienlīdzības.

Sarežģītu eksponenciālo nevienādību risinājums parasti ir to reducēšana līdz vienkāršākajām eksponenciālajām nevienādībām.

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, kas nozīmē, ka tiek saglabāta nevienlīdzības zīme:

Pārveidosim labo pusi atbilstoši pakāpes īpašībām:

Pakāpes bāze ir mazāka par vienu, nevienlīdzības zīme ir jāapgriež otrādi:

Lai atrisinātu kvadrātvienādību, mēs atrisinām atbilstošo kvadrātvienādojumu:

Izmantojot Vietas teorēmu, mēs atrodam saknes:

Parabolas zari ir vērsti uz augšu.

Tādējādi mums ir risinājums nevienlīdzībai:

Ir viegli uzminēt, ka labo pusi var attēlot kā pakāpju ar nulles eksponentu:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme nemainās, iegūstam:

Atcerēsimies šādu nevienlīdzību risināšanas paņēmienu.

Apsveriet daļēju-racionālo funkciju:

Mēs atrodam definīcijas domēnu:

Funkcijas sakņu atrašana:

Funkcijai ir viena sakne,

Mēs izvēlamies nemainīgas zīmes intervālus un katram intervālam nosakām funkcijas zīmes:

Rīsi. 2. Zīmes noturības intervāli

Tādējādi mēs saņēmām atbildi.

Atbilde:

3. Standarta eksponenciālo nevienādību risināšana

Apskatīsim nevienlīdzības ar vienādiem rādītājiem, bet atšķirīgu bāzi.

Viena no eksponenciālās funkcijas īpašībām ir tāda, ka jebkurai argumenta vērtībai ir vajadzīgas stingri pozitīvas vērtības, kas nozīmē, ka to var iedalīt eksponenciālā funkcijā. Sadalīsim doto nevienādību ar tās labo pusi:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme tiek saglabāta.

Ilustrēsim risinājumu:

6.3. attēlā parādīti funkciju un grafiki. Acīmredzot, ja arguments ir lielāks par nulli, funkcijas grafiks ir augstāks, šī funkcija ir lielāka. Ja argumentu vērtības ir negatīvas, funkcija samazinās, tā ir mazāka. Ja arguments ir vienāds, funkcijas ir vienādas, kas nozīmē dotais punkts ir arī dotās nevienlīdzības risinājums.

Rīsi. 3. Ilustrācija, piemēram, 4

Pārveidosim doto nevienādību atbilstoši pakāpes īpašībām:

Šeit ir daži līdzīgi termini:

Sadalīsim abas daļas:

Tagad mēs turpinām risināt līdzīgi kā 4. piemērā, sadaliet abas daļas ar:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme paliek:

4. Eksponenciālo nevienādību grafiskais risinājums

6. piemērs — atrisiniet nevienādību grafiski:

Apskatīsim funkcijas kreisajā un labajā pusē un izveidosim katrai no tām grafiku.

Funkcija ir eksponenciāla un palielinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.

Funkcija ir lineāra un samazinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.

Ja šīs funkcijas krustojas, tas ir, sistēmai ir risinājums, tad šāds risinājums ir unikāls un viegli uzminams. Lai to izdarītu, atkārtojam veselus skaitļus ()

Ir viegli saprast, ka šīs sistēmas sakne ir:

Tādējādi funkciju grafiki krustojas punktā ar argumentu, kas vienāds ar vienu.

Tagad mums ir jāsaņem atbilde. Dotās nevienādības nozīme ir tāda, ka eksponentam jābūt lielākam vai vienādam ar lineāro funkciju, tas ir, jābūt lielākam vai jāsakrīt ar to. Atbilde ir acīmredzama: (6.4. attēls)

Rīsi. 4. Ilustrācija, piemēram, 6

Tātad, mēs apskatījām dažādu standarta eksponenciālo nevienādību atrisināšanu. Tālāk mēs pārejam pie sarežģītākas eksponenciālās nevienlīdzības apsvēršanas.

Bibliogrāfija

Mordkovičs A. G. Algebra un principi matemātiskā analīze. - M.: Mnemosīne. Muravins G. K., Muravins O. V. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. - M.: Dusis. Kolmogorovs A. N., Abramovs A. M., Dudnitsyn Yu et al. - M.: Apgaismība.

Matemātika. md. Matemātika-atkārtošana. com. Diffur. kemsu. ru.

Mājasdarbs

1. Algebra un analīzes sākums, 10.-11. klase (A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins) 1990, Nr. 472, 473;

2. Atrisiniet nevienlīdzību:

3. Atrisiniet nevienlīdzību.