Kāds ir nevienlīdzības risinājums. Lineāro nevienādību risināšana

Pirmkārt, nedaudz dziesmu tekstu, lai izjustu problēmu, ko atrisina intervāla metode. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāda nevienlīdzība:

(x – 5) (x + 3) > 0

Kādas ir iespējas? Pirmā lieta, kas nāk prātā lielākajai daļai skolēnu, ir noteikumi “pluss uz plus dod plus” un “mīnus uz mīnusa dod plusu”. Tāpēc pietiek aplūkot gadījumu, kad abas iekavas ir pozitīvas: x − 5 > 0 un x + 3 > 0. Tad arī aplūkojam gadījumu, kad abas iekavas ir negatīvas: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Progresīvāki studenti (varbūt) atcerēsies, ka kreisajā pusē ir kvadrātiskā funkcija, kura grafiks ir parabola. Turklāt šī parabola krusto OX asi punktos x = 5 un x = −3. Priekš turpmākais darbs jums ir jāatver iekavas. Mums ir:

x 2 - 2x - 15 > 0

Tagad ir skaidrs, ka parabolas zari ir vērsti uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Mēģināsim uzzīmēt šīs parabolas diagrammu:

Funkcija ir lielāka par nulli, ja tā iet virs OX ass. Mūsu gadījumā tie ir intervāli (−∞ −3) un (5; +∞) - šī ir atbilde.

Lūdzu, ņemiet vērā: attēlā redzams precīzi funkciju diagramma, nevis viņas grafiks. Jo reālam grafikam ir jāskaita koordinātes, jārēķina nobīdes un citas blēņas, kurām pagaidām mums nav nekāda labuma.

Kāpēc šīs metodes ir neefektīvas?

Tātad, mēs esam apsvēruši divus vienas un tās pašas nevienlīdzības risinājumus. Abi izrādījās diezgan apgrūtinoši. Rodas pirmais lēmums – tikai padomā! — nevienlīdzību sistēmu kopums. Otrais risinājums arī nav īpaši viegls: jums ir jāatceras parabolas grafiks un virkne citu mazu faktu.

Tā bija ļoti vienkārša nevienlīdzība. Tam ir tikai 2 reizinātāji. Tagad iedomājieties, ka būs nevis 2, bet vismaz 4 reizinātāji.

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Kā atrisināt šādu nevienlīdzību? Iziet cauri visām iespējamām plusu un mīnusu kombinācijām? Jā, mēs aizmigsim ātrāk, nekā atradīsim risinājumu. Grafika zīmēšana arī nav iespējama, jo nav skaidrs, kā šāda funkcija darbojas koordinātu plaknē.

Šādām nevienādībām ir nepieciešams īpašs risinājuma algoritms, kuru mēs šodien apsvērsim.

Kas ir intervāla metode

Intervālu metode ir īpašs algoritms, kas izstrādāts, lai atrisinātu sarežģītas formas f (x) > 0 un f (x) nevienādības.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Atrisiniet vienādojumu f (x) = 0. Tādējādi nevienādības vietā iegūstam daudz vienkāršāk atrisināmu vienādojumu;
Atzīmējiet visas iegūtās saknes uz koordinātu līnijas. Tādējādi taisne tiks sadalīta vairākos intervālos;
Noskaidrojiet funkcijas f (x) zīmi (plus vai mīnus) galējā labajā intervālā. Lai to izdarītu, pietiek ar f (x) aizstāt jebkuru skaitli, kas atrodas pa labi no visām atzīmētajām saknēm;
Atzīmējiet zīmes atlikušajos intervālos. Lai to izdarītu, vienkārši atcerieties, ka, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās.

Tas ir viss! Pēc tam atliek tikai pierakstīt mūs interesējošos intervālus. Tos apzīmē ar “+” zīmi, ja nevienādība bija formā f (x) > 0, vai ar zīmi “−”, ja nevienādība bija formā f (x)< 0.

No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka intervāla metode ir kaut kāda niecīga lieta. Bet praksē viss būs ļoti vienkārši. Tikai nedaudz trenējies, un viss kļūs skaidrs. Apskatiet piemērus un pārliecinieties paši:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

(x – 2) (x + 7)< 0

Mēs strādājam, izmantojot intervāla metodi. 1. darbība: aizstājiet nevienlīdzību ar vienādojumu un atrisiniet to:

(x – 2) (x + 7) = 0

Produkts ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Mums ir divas saknes. Pārejam uz 2. soli: atzīmējiet šīs saknes uz koordinātu līnijas. Mums ir:

Tagad 3. darbība: atrodiet funkcijas zīmi galējā labajā intervālā (pa labi no atzīmētā punkta x = 2). Lai to izdarītu, jums ir jāņem jebkurš skaitlis, kas vairāk numuru x = 2. Piemēram, ņemsim x = 3 (bet neviens neaizliedz ņemt x = 4, x = 10 un pat x = 10 000). Mēs iegūstam:

f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Mēs atklājam, ka f (3) = 10 > 0, tāpēc mēs ievietojam plus zīmi galējā labajā intervālā.

Pārejam uz pēdējo punktu - mums ir jāatzīmē zīmes atlikušajos intervālos. Mēs atceramies, ka, izejot cauri katrai saknei, zīmei ir jāmainās. Piemēram, pa labi no saknes x = 2 ir plus (par to mēs pārliecinājāmies iepriekšējā solī), tāpēc pa kreisi ir jābūt mīnusam.

Šis mīnuss attiecas uz visu intervālu (-7; 2), tāpēc pa labi no saknes x = -7 ir mīnuss. Tāpēc pa kreisi no saknes x = −7 ir plus. Atliek atzīmēt šīs zīmes uz koordinātu ass. Mums ir:

Atgriezīsimies pie sākotnējās nevienlīdzības, kurai bija šāda forma:

(x – 2) (x + 7)< 0

Tātad funkcijai jābūt mazākai par nulli. Tas nozīmē, ka mūs interesē mīnusa zīme, kas parādās tikai vienā intervālā: (−7; 2). Šī būs atbilde.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. darbība: iestatiet kreiso pusi uz nulli:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Atcerieties: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc mums ir tiesības katru atsevišķu iekavu pielīdzināt nullei.

2. darbība: atzīmējiet visas saknes uz koordinātu līnijas:

3. solis: noskaidrojiet galējās labās spraugas zīmi. Mēs ņemam jebkuru skaitli, kas ir lielāks par x = 1. Piemēram, mēs varam ņemt x = 10. Mums ir:

f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = –1197< 0.

4. solis: novietojiet atlikušās zīmes. Mēs atceramies, ka, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās. Rezultātā mūsu attēls izskatīsies šādi:

Tas ir viss. Atliek tikai uzrakstīt atbildi. Vēlreiz apskatiet sākotnējo nevienlīdzību:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

Šī ir formas f(x) nevienādība< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Šī ir atbilde.

Piezīme par funkciju zīmēm

Prakse rāda, ka lielākās grūtības intervālu metodē rodas pēdējos divos posmos, t.i. izvietojot zīmes. Daudzi skolēni sāk apjukt: kādus skaitļus ņemt un kur likt zīmes.

Lai beidzot saprastu intervāla metodi, apsveriet divus novērojumus, uz kuriem tā ir balstīta:

Nepārtraukta funkcija maina zīmi tikai tajos punktos kur tas ir vienāds ar nulli. Šādi punkti sadala koordinātu asi gabalos, kuru ietvaros funkcijas zīme nekad nemainās. Tāpēc atrisinām vienādojumu f (x) = 0 un uz taisnes atzīmējam atrastās saknes. Atrastie skaitļi ir “robežas punkti”, kas atdala plusus un mīnusus.
Lai uzzinātu funkcijas zīmi jebkurā intervālā, pietiek ar jebkuru skaitli no šī intervāla aizstāt ar funkciju. Piemēram, intervālam (−5; 6) mums ir tiesības ņemt x = −4, x = 0, x = 4 un pat x = 1,29374, ja mēs vēlamies. Kāpēc tas ir svarīgi? Jā, jo šaubas sāk grauzt daudzus skolēnus. Piemēram, ja x = −4 mēs iegūstam plus, bet x = 0 mēs saņemam mīnusu? Bet nekas tāds nekad nenotiks. Visi punkti vienā un tajā pašā intervālā dod vienu un to pašu zīmi. Atceries šo.

Tas ir viss, kas jums jāzina par intervāla metodi. Protams, mēs to izjaukām vienkārša versija. Ir daudz sarežģītākas nevienlīdzības - ne stingras, daļējas un ar atkārtotām saknēm. Viņiem varat izmantot arī intervāla metodi, taču šī ir atsevišķas lielas nodarbības tēma.

Tagad es vēlētos apskatīt progresīvu tehniku, kas ievērojami vienkāršo intervālu metodi. Precīzāk, vienkāršošana ietekmē tikai trešo soli - zīmes aprēķināšanu līnijas vistālākajā daļā. Šo tehniku nez kāpēc nemāca skolās (vismaz man neviens to nepaskaidroja). Bet velti - jo patiesībā šis algoritms ir ļoti vienkāršs.

Tātad funkcijas zīme atrodas skaitļa līnijas labajā pusē. Šim gabalam ir forma (a ; +∞), kur a ir vienādojuma f (x) = 0 lielākā sakne. Lai nesabojātos, apskatīsim konkrētu piemēru:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mums ir 3 saknes. Uzskaitīsim tos augošā secībā: x = −2, x = 1 un x = 7. Acīmredzot lielākā sakne ir x = 7.

Tiem, kam ir vieglāk argumentēt grafiski, atzīmēšu šīs saknes uz koordinātu līnijas. Paskatīsimies, kas notiks:

Jāatrod funkcijas f (x) zīme galējā labajā intervālā, t.i. uz (7; +∞). Bet, kā mēs jau atzīmējām, lai noteiktu zīmi, varat ņemt jebkuru skaitli no šī intervāla. Piemēram, varat ņemt x = 8, x = 150 utt. Un tagad – tā pati tehnika, ko nemāca skolās: ņemsim bezgalību kā skaitli. Precīzāk, plus bezgalība, t.i. +∞.

“Vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Kā jūs varat aizstāt bezgalību ar funkciju? - jūs varētu jautāt. Bet padomājiet par to: mums nav vajadzīga pašas funkcijas vērtība, mums ir vajadzīga tikai zīme. Tāpēc, piemēram, vērtības f (x) = −1 un f (x) = −938 740 576 215 nozīmē vienu un to pašu: šī intervāla funkcija ir negatīva. Tāpēc viss, kas no jums tiek prasīts, ir atrast zīmi, kas parādās bezgalībā, nevis funkcijas vērtību.

Patiesībā bezgalības aizstāšana ir ļoti vienkārša. Atgriezīsimies pie mūsu funkcijas:

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Iedomājieties, ka x ir ļoti liels skaitlis. Miljards vai pat triljons. Tagad redzēsim, kas notiek katrā iekavā.

Pirmā iekava: (x – 1). Kas notiek, ja no miljarda atņem vienu? Rezultāts būs skaitlis, kas daudz neatšķirsies no miljarda, un šis skaitlis būs pozitīvs. Līdzīgi ar otro iekavu: (2 + x). Ja mēs pieskaitām miljardu pie diviem, mēs iegūstam miljardu un kapeikas - tas ir pozitīvs skaitlis. Visbeidzot, trešā iekava: (7 − x). Te būs mīnus miljards, no kura “nograuzts” nožēlojams gabals septītnieka formā. Tie. iegūtais skaitlis daudz neatšķirsies no mīnus miljarda - tas būs negatīvs.

Atliek tikai atrast visa darba zīmi. Tā kā mums bija pluss pirmajās iekavās un mīnuss pēdējās, mēs iegūstam šādu konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Pēdējā zīme ir mīnuss! Un nav svarīgi, kāda ir pašas funkcijas vērtība. Galvenais, lai šī vērtība būtu negatīva, t.i. galējam labajam intervālam ir mīnusa zīme. Atliek tikai pabeigt intervālu metodes ceturto soli: sakārtot visas zīmes. Mums ir:

Sākotnējā nevienlīdzība bija:

(x - 1) (2 + x ) (7 - x )< 0

Tāpēc mūs interesē intervāli, kas atzīmēti ar mīnusa zīmi. Mēs uzrakstām atbildi:

x ∈ (-2; 1) ∪ (7; +∞)

Tas ir viss triks, ko es gribēju jums pastāstīt. Noslēgumā šeit ir vēl viena nevienlīdzība, ko var atrisināt ar intervāla metodi, izmantojot bezgalību. Lai vizuāli saīsinātu risinājumu, soļu numurus un detalizētus komentārus nerakstīšu. Es rakstīšu tikai to, kas jums patiešām ir jāraksta, risinot reālas problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Nevienādību aizstājam ar vienādojumu un atrisinām:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Mēs atzīmējam visas trīs saknes uz koordinātu līnijas (ar zīmēm vienlaikus):

Koordinātu ass labajā pusē ir pluss, jo funkcija izskatās šādi:

f (x) = x (2x + 8) (x - 3)

Un, ja mēs aizstājam bezgalību (piemēram, miljardu), mēs iegūstam trīs pozitīvas iekavas. Tā kā sākotnējai izteiksmei ir jābūt lielākai par nulli, mūs interesē tikai pozitīvie aspekti. Atliek tikai uzrakstīt atbildi:

x ∈ (–4; 0) ∪ (3; +∞)

Piemēram, nevienlīdzība ir izteiksme \(x>5\).

Nevienlīdzības veidi:

Ja \(a\) un \(b\) ir skaitļi vai , tad tiek izsaukta nevienādība skaitliski. Patiesībā tas ir tikai divu skaitļu salīdzināšana. Šādas nevienlīdzības tiek sadalītas uzticīgs Un neuzticīgs.

Piemēram:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) ir nepareiza skaitliska nevienādība, jo \(17+3=20\) un \(20\) ir mazāka par \(115\) (un nav lielāka vai vienāda ar) .

Ja \(a\) un \(b\) ir izteiksmes, kas satur mainīgo, tad mums ir nevienādība ar mainīgo. Šādas nevienlīdzības tiek iedalītas tipos atkarībā no satura:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Mainīgs tikai līdz pirmajai pakāpei
\(3x^2-x+5>0\)				Otrajā pakāpē (kvadrātā) ir mainīgais, bet nav augstāku pakāpju (trešā, ceturtā utt.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... un tā tālāk.

Kāds ir nevienlīdzības risinājums?

Ja nevienādībā aizstājat skaitli, nevis mainīgo, tas pārvērtīsies par skaitlisko.

Ja dotā vērtība x pārvērš sākotnējo nevienādību par patiesu skaitlisko nevienādību, tad to izsauc nevienlīdzības risinājums. Ja nē, šī vērtība nav risinājums. Un uz atrisināt nevienlīdzību– jāatrod visi tā risinājumi (vai jāparāda, ka tādu nav).

Piemēram, ja aizvietojam skaitli \(7\) lineārajā nevienādībā \(x+6>10\), iegūstam pareizo skaitlisko nevienādību: \(13>10\). Un, ja mēs aizstājam \(2\), būs nepareiza skaitliskā nevienādība \(8>10\). Tas nozīmē, ka \(7\) ir sākotnējās nevienlīdzības risinājums, bet \(2\) nav.

Tomēr nevienādībai \(x+6>10\) ir citi risinājumi. Patiešām, mēs iegūsim pareizās skaitliskās nevienādības, aizstājot \(5\), un \(12\), un \(138\)... Un kā mēs varam atrast visas iespējamie risinājumi? Šim nolūkam viņi izmanto Mūsu gadījumā mums ir:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Tas ir, jebkurš skaitlis, kas lielāks par četriem, mums derēs. Tagad jums ir jāpieraksta atbilde. Nevienādību risinājumus parasti raksta skaitliski, papildus atzīmējot tos uz skaitļa ass ar ēnojumu. Mūsu gadījumā mums ir:

Atbilde: \(x\in(4;+\infty)\)

Kad mainās nevienlīdzības zīme?

Ir viens liels nevienlīdzības slazds, kurā studentiem ļoti patīk iekrist:

Reizinot (vai dalot) nevienādību ar negatīvu skaitli, tā tiek apgriezta (“vairāk” ar “mazāk”, “vairāk vai vienāds” ar “mazāks vai vienāds” un tā tālāk)

Kāpēc tas notiek? Lai to saprastu, apskatīsim skaitliskās nevienādības \(3>1\) transformācijas. Tas ir pareizi, trīs patiešām ir lielāks par vienu. Vispirms mēģināsim to reizināt ar jebkuru pozitīvu skaitli, piemēram, ar diviem:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kā redzam, pēc reizināšanas nevienlīdzība paliek patiesa. Un neatkarīgi no tā, ar kādu pozitīvu skaitli mēs reizinām, mēs vienmēr iegūsim pareizo nevienādību. Tagad mēģināsim reizināt ar negatīvs skaitlis, piemēram, mīnus trīs:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultāts ir nepareiza nevienlīdzība, jo mīnus deviņi ir mazāk nekā mīnus trīs! Tas ir, lai nevienlīdzība kļūtu patiesa (un tāpēc reizināšanas pārveidošana ar negatīvu bija “likumīga”), jums ir jāapgriež salīdzināšanas zīme, piemēram: \(−9<− 3\).
Ar sadalīšanu tas izdosies tāpat, to varat pārbaudīt pats.

Iepriekš rakstītais noteikums attiecas uz visu veidu nevienlīdzībām, ne tikai uz skaitliskām.

Piemērs: Atrisiniet nevienādību \(2(x+1)-1<7+8x\)
Risinājums:


\(2x+2-1<7+8x\)	Pārvietosim \(8x\) pa kreisi un \(2\) un \(-1\) pa labi, neaizmirstot nomainīt zīmes
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Sadalīsim abas nevienādības puses ar \(-6\), neaizmirstot mainīt no “mazāk” uz “vairāk”
	Atzīmēsim uz ass skaitlisko intervālu. Nevienlīdzība, tāpēc mēs “izduram” pašu vērtību \(-1\) un neuztveram to kā atbildi
	Atbildi rakstīsim kā intervālu

Atbilde: \(x\in(-1;\infty)\)

Nevienlīdzība un invaliditāte

Nevienādībām, tāpat kā vienādojumiem, var būt ierobežojumi , tas ir, x vērtībām. Attiecīgi tās vērtības, kas saskaņā ar DZ ir nepieņemamas, ir jāizslēdz no risinājumu klāsta.

Piemērs: Atrisiniet nevienādību \(\sqrt(x+1)<3\)

Risinājums: Ir skaidrs, ka, lai kreisā puse būtu mazāka par \(3\), radikālai izteiksmei jābūt mazākai par \(9\) (galu galā no \(9\) tikai \(3\)). Mēs iegūstam:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Visi? Mums derēs jebkura x vērtība, kas ir mazāka par \(8\)? Nē! Jo, ja mēs, piemēram, ņemam vērtību \(-5\), kas šķietami atbilst prasībai, tas nebūs sākotnējās nevienlīdzības risinājums, jo tas novedīs pie negatīva skaitļa saknes aprēķināšanas.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Tāpēc jāņem vērā arī X vērtības ierobežojumi - tas nevar būt tāds, ka zem saknes ir negatīvs skaitlis. Tādējādi mums ir otrā prasība x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Un, lai x būtu galīgais risinājums, tam ir jāatbilst abām prasībām vienlaikus: tam ir jābūt mazākam par \(8\) (lai tas būtu risinājums) un lielākam par \(-1\) (lai principā būtu pieļaujams). Uzzīmējot to uz skaitļu līnijas, mums ir galīgā atbilde:

Atbilde: \(\left[-1;8\right)\)

Kas jums jāzina par nevienlīdzības ikonām? Nevienlīdzības ar ikonu vairāk (> ), vai mazāk (< ) tiek saukti stingri. Ar ikonām vairāk vai vienādi (≥ ), mazāks vai vienāds (≤ ) tiek saukti nav stingri. Ikona nav vienāds (≠ ) izceļas, taču arī piemēri ar šo ikonu visu laiku jārisina. Un mēs izlemsim.)

Pašai ikonai nav lielas ietekmes uz risinājuma procesu. Bet lēmuma beigās, izvēloties galīgo atbildi, ikonas nozīme parādās pilnā spēkā! Tas ir tas, ko mēs redzēsim tālāk piemēros. Tur ir daži joki...

Nevienlīdzība, tāpat kā vienlīdzība, pastāv uzticīgs un neuzticīgs.Šeit viss ir vienkārši, bez trikiem. Teiksim, 5 > 2 ir patiesa nevienlīdzība. 5 < 2 - nepareizi.

Šī sagatavošana darbojas pret nevienlīdzību jebkāda veida un vienkārši līdz šausmām.) Vajag tikai pareizi veikt divas (tikai divas!) elementāras darbības. Šīs darbības ir zināmas ikvienam. Bet, raksturīgi, kļūdas šajās darbībās ir galvenā kļūda nevienlīdzību risināšanā, jā... Tāpēc šīs darbības ir jāatkārto. Šīs darbības sauc šādi:

Identiskas nevienādību transformācijas.

Identiskas nevienādību transformācijas ir ļoti līdzīgas identiskām vienādojumu transformācijām. Patiesībā šī ir galvenā problēma. Atšķirības iet pāri galvai un... lūk.) Tāpēc šīs atšķirības īpaši izcelšu. Tātad, pirmā identiska nevienlīdzību transformācija:

1. Abām nevienādības pusēm var pievienot (atņemt) vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi. Jebkurš. Tas nemainīs nevienlīdzības zīmi.

Praksē šo noteikumu izmanto kā terminu pārnešanu no nevienlīdzības kreisās puses uz labo (un otrādi) ar zīmes maiņu. Ar termina zīmes maiņu, nevis nevienlīdzību! Viens pret vienu noteikums ir tāds pats kā vienādojumu noteikums. Taču šādas identiskas pārvērtības nevienādībās būtiski atšķiras no vienādojumos veiktajām transformācijām. Tāpēc es tos izceļu sarkanā krāsā:

2. Abas nevienādības puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašupozitīvsnumuru. Jebkurampozitīvs Nemainīsies.

3. Abas nevienlīdzības puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašunegatīvs numuru. Jebkuramnegatīvsnumuru. Nevienlīdzības zīme no šīmainīsies uz pretējo.

Jūs atceraties (es ceru...), ka vienādojumu var reizināt/dalīt ar jebko. Un jebkuram skaitlim un izteiksmei ar X. Ja tikai tā nebūtu nulle. Tas padara viņu, vienādojumu, ne karstu, ne aukstu.) Tas nemainās. Bet nevienlīdzības ir jutīgākas pret reizināšanu/dalīšanu.

Spilgts piemērs garai atmiņai. Uzrakstīsim nevienlīdzību, kas nerada šaubas:

5 > 2

Reiziniet abas puses ar +3, mēs iegūstam:

15 > 6

Ir kādi iebildumi? Nav iebildumu.) Un, ja abas sākotnējās nevienādības puses reizinām ar -3, mēs iegūstam:

15 > -6

Un tie ir klaji meli.) Pilnīgi meli! Tautas maldināšana! Bet, tiklīdz jūs nomaināt nevienlīdzības zīmi uz pretējo, viss nostājas savās vietās:

15 < -6

Es ne tikai zvēru par meliem un maldināšanu.) "Aizmirsu nomainīt vienādības zīmi..."-Šo mājas kļūda nevienādību risināšanā. Šis triviālais un vienkāršais noteikums ir ievainojis tik daudz cilvēku! Ko viņi aizmirsa...) Tāpēc es zvēru. Varbūt atcerēšos...)

Īpaši uzmanīgi cilvēki pamanīs, ka nevienlīdzību nevar reizināt ar izteiksmi ar X. Respekts tiem, kas ir vērīgi!) Kāpēc ne? Atbilde ir vienkārša. Mēs nezinām šīs izteiksmes zīmi ar X. Tas var būt pozitīvs, negatīvs... Tāpēc mēs nezinām, kuru nevienlīdzības zīmi likt pēc reizināšanas. Vai man to mainīt vai nē? Nezināms. Protams, šo ierobežojumu (aizliegumu reizināt/dalīt nevienādību ar izteiksmi ar x) var apiet. Ja jums tas tiešām ir nepieciešams. Bet šī ir citu stundu tēma.

Tās ir visas identiskās nevienlīdzību pārvērtības. Ļaujiet man vēlreiz atgādināt, ka viņi strādā jebkura nevienlīdzības Tagad varat pāriet uz konkrētiem veidiem.

Lineārās nevienādības. Risinājums, piemēri.

Lineārās nevienādības ir nevienādības, kurās x ir pirmajā pakāpē un nav dalīšanas ar x. Veids:

x+3 > 5x-5

Kā šādas nevienlīdzības tiek atrisinātas? Tās ir ļoti viegli atrisināt! Proti: ar palīdzību samazinām mulsinošāko lineāro nevienlīdzību tieši uz atbildi. Tas ir risinājums. Es izcelšu lēmuma galvenos punktus. Lai izvairītos no muļķīgām kļūdām.)

Atrisināsim šo nevienlīdzību:

x+3 > 5x-5

Mēs to atrisinām tieši tāpat kā lineāro vienādojumu. Ar vienīgo atšķirību:

Mēs rūpīgi uzraugām nevienlīdzības zīmi!

Pirmais solis ir visizplatītākais. Ar X - pa kreisi, bez X - pa labi... Šī ir pirmā identiska transformācija, vienkārša un bez problēmām.) Tikai neaizmirstiet nomainīt pārnesto terminu zīmes.

Nevienlīdzības zīme paliek:

x-5x > -5-3

Šeit ir līdzīgi.

Nevienlīdzības zīme paliek:

4x > -8

Atliek piemērot pēdējo identisko transformāciju: sadaliet abas puses ar -4.

Sadalīt ar negatīvs numuru.

Nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo:

X < 2

Šī ir atbilde.

Tādā veidā tiek atrisinātas visas lineārās nevienādības.

Uzmanību! 2. punkts ir uzzīmēts baltā krāsā, t.i. nekrāsots. Tukšs iekšā. Tas nozīmē, ka viņa nav iekļauta atbildē! Es viņu speciāli uzzīmēju tik veselīgu. Tādu punktu (tukšs, neveselīgs!)) matemātikā sauc caurdurts punkts.

Atlikušos skaitļus uz ass var atzīmēt, bet tas nav nepieciešams. Ārēji skaitļi, kas nav saistīti ar mūsu nevienlīdzību, var būt mulsinoši, jā... Tikai jāatceras, ka skaitļi palielinās bultiņas virzienā, t.i. skaitļi 3, 4, 5 utt. ir pa labi ir divi, un skaitļi ir 1, 0, -1 utt. - pa kreisi.

Nevienlīdzība x < 2 - stingrs. X ir stingri mazāks par diviem. Ja rodas šaubas, pārbaude ir vienkārša. Mēs aizstājam apšaubāmo skaitli ar nevienlīdzību un domājam: "Divi ir mazāk nekā divi, protams!" Tieši tā. Nevienlīdzība 2 < 2 nepareizi. Divi pretī nav piemēroti.

Vai viens ir kārtībā? Noteikti. Mazāk... Un nulle ir labi, un -17, un 0,34... Jā, visi skaitļi, kas ir mazāki par diviem, ir labi! Un pat 1,9999.... Vismaz mazliet, bet mazāk!

Tātad atzīmēsim visus šos skaitļus uz skaitļu ass. Kā? Šeit ir iespējas. Pirmais variants ir ēnojums. Pārvietojam peli virs attēla (vai pieskaramies attēlam planšetdatorā) un redzam, ka visu x, kas atbilst nosacījumam x, laukums ir ieēnots. < 2 . Tas ir viss.

Apskatīsim otro iespēju, izmantojot otro piemēru:

X ≥ -0,5

Uzzīmējiet asi un atzīmējiet skaitli -0,5. Kā šis:

Pamanāt atšķirību?) Nu jā, to ir grūti nepamanīt... Šis punkts ir melns! Pārkrāsots. Tas nozīmē -0,5 ir iekļauts atbildē.Šeit, starp citu, pārbaude var kādu sajaukt. Aizstāsim:

-0,5 ≥ -0,5

Kā tā? -0,5 ir ne vairāk kā -0,5! Un ir vēl ikona...

Ir labi. Vājā nevienlīdzībā ir piemērots viss, kas atbilst ikonai. UN vienāds labi, un vairāk labi. Tāpēc atbildē ir iekļauts -0,5.

Tātad uz ass atzīmējām -0,5, atliek atzīmēt visus skaitļus, kas ir lielāki par -0,5. Šoreiz es atzīmēju piemēroto x vērtību apgabalu priekšgala(no vārda loka), nevis ēnojumu. Novietojam kursoru virs zīmējuma un redzam šo loku.

Starp ēnojumu un rokām nav īpašas atšķirības. Dariet, kā skolotājs saka. Ja skolotāja nav, zīmē arkas. Sarežģītākos uzdevumos ēnojums ir mazāk pamanāms. Jūs varat apjukt.

Tādā veidā uz ass tiek uzzīmētas lineārās nevienādības. Pāriesim pie nākamās nevienlīdzības pazīmes.

Atbildes rakstīšana nevienlīdzībām.

Vienādojumi bija labi.) Mēs atradām x un pierakstījām atbildi, piemēram: x=3. Ir divi veidi, kā rakstīt atbildes uz nevienlīdzību. Viens ir galīgās nevienlīdzības formā. Piemērots vienkāršiem gadījumiem. Piemēram:

X< 2.

Šī ir pilnīga atbilde.

Dažkārt vajag pierakstīt vienu un to pašu, bet citā formā, ar ciparu intervāliem. Tad ieraksts sāk izskatīties ļoti zinātnisks):

x ∈ (-∞; 2)

Zem ikonas ∈ vārds ir paslēpts "pieder".

Ieraksts skan šādi: x pieder intervālam no mīnus bezgalības līdz diviem neskaitot. Diezgan loģiski. X var būt jebkurš skaitlis no visiem iespējamiem skaitļiem no mīnus bezgalības līdz diviem. Nevar būt dubultā X, ko mums saka vārds "neieskaitot".

Un kur atbilde ir skaidrs, ka "neieskaitot"? Šis fakts ir atzīmēts atbildē raunds iekavas uzreiz aiz diviem. Ja abi būtu iekļauti, kronšteins būtu kvadrāts. Kā šis: ]. Nākamajā piemērā tiek izmantota šāda iekava.

Pierakstīsim atbildi: x ≥ -0,5 ar intervāliem:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lasa: x pieder intervālam no mīnus 0,5, ieskaitot, līdz plus bezgalībai.

Bezgalību nekad nevar ieslēgt. Tas nav cipars, tas ir simbols. Tāpēc šādos apzīmējumos bezgalība vienmēr atrodas blakus iekavām.

Šis ierakstīšanas veids ir ērts sarežģītām atbildēm, kas sastāv no vairākām atstarpēm. Bet - tikai galīgām atbildēm. Starprezultātos, kur gaidāms tālāks risinājums, labāk izmantot parasto formu vienkāršas nevienādības veidā. Mēs to aplūkosim attiecīgajās tēmās.

Populāri uzdevumi ar nevienlīdzību.

Pašas lineārās nevienādības ir vienkāršas. Tāpēc uzdevumi bieži kļūst grūtāki. Tāpēc bija jādomā. Tas, ja neesat pieradis, nav īpaši patīkami.) Bet tas ir noderīgi. Es parādīšu šādu uzdevumu piemērus. Ne jau tev tās jāmācās, tas ir lieki. Un lai nebūtu jābaidās, satiekot šādus piemērus. Padomājiet mazliet - un tas ir vienkārši!)

1. Atrodiet jebkurus divus atrisinājumus nevienādībai 3x - 3< 0

Ja nav īsti skaidrs, ko darīt, atcerieties galveno matemātikas noteikumu:

Ja nezināt, kas jums nepieciešams, dariet to, ko varat!)

X < 1

Un kas? Nekas īpašs. Ko viņi mums jautā? Mums tiek lūgts atrast divus konkrētus skaitļus, kas ir nevienlīdzības risinājums. Tie. atbilstu atbildei. Divas jebkura cipariem. Patiesībā tas ir mulsinoši.) Ir piemēroti pāris 0 un 0,5. Pāris -3 un -8. Šo pāru ir bezgalīgi daudz! Kura atbilde ir pareizā?!

Es atbildu: viss! Jebkurš skaitļu pāris, no kuriem katrs ir mazāks par vienu, būs pareizā atbilde. Uzrakstiet, kuru vēlaties. Ejam tālāk.

2. Atrisiniet nevienlīdzību:

4x-3 ≠ 0

Uzdevumi šajā formā ir reti. Bet kā palīgnevienādības, piemēram, atrodot ODZ vai atrodot funkcijas definīcijas domēnu, tās rodas visu laiku. Šādu lineāro nevienādību var atrisināt kā parastu lineāru vienādojumu. Tikai visur, izņemot zīmi "=" ( vienāds) ielieciet zīmi " ≠ " (nav vienāds). Lūk, kā jūs pieeja atbildei ar nevienlīdzības zīmi:

X ≠ 0,75

Sarežģītākos piemēros labāk rīkoties citādi. Izveidojiet nevienlīdzību no vienlīdzības. Kā šis:

4x-3 = 0

Mierīgi atrisiniet to, kā mācīts, un saņemiet atbildi:

x = 0,75

Galvenais ir pašās beigās, pierakstot galīgo atbildi, neaizmirstiet, ka mēs atradām x, kas dod vienlīdzība. Un mums vajag - nevienlīdzība. Tāpēc mums šis X īsti nav vajadzīgs.) Un mums tas ir jāpieraksta ar pareizo simbolu:

X ≠ 0,75

Šī pieeja rada mazāk kļūdu. Tie, kas vienādojumus atrisina automātiski. Un tiem, kas neatrisina vienādojumus, nevienlīdzības patiesībā neder...) Vēl viens populāra uzdevuma piemērs:

3. Atrodiet nevienādības mazāko veselo skaitļu risinājumu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Vispirms mēs vienkārši atrisinām nevienlīdzību. Atveram kronšteinus, pabīdām, atnesam līdzīgus... Iegūstam:

X > - 6

Vai tad tā neizdevās!? Vai sekoji zīmēm!? Un aiz biedru zīmēm, un aiz nevienlīdzības zīmes...

Padomāsim vēlreiz. Mums jāatrod konkrēts skaitlis, kas atbilst gan atbildei, gan nosacījumam "mazākais vesels skaitlis". Ja tas jums neparādās uzreiz, varat vienkārši paņemt jebkuru skaitli un izdomāt to. Divi virs mīnus seši? Noteikti! Vai tur piemērots numurs nedaudz mazāk? Protams. Piemēram, nulle ir lielāka par -6. Un vēl mazāk? Mums vajag mazāko iespējamo! Mīnus trīs ir vairāk nekā mīnus seši! Jūs jau varat uztvert modeli un beigt muļķīgi iet cauri skaitļiem, vai ne?)

Paņemsim skaitli, kas ir tuvāks -6. Piemēram, -5. Atbilde ir izpildīta, -5 > - 6. Vai ir iespējams atrast citu skaitli, kas ir mazāks par -5, bet lielāks par -6? Var, piemēram, -5,5... Stop! Mums stāsta vesels risinājums! Neripo -5,5! Kā ar mīnus seši? Uh-u! Nevienlīdzība ir stingra, mīnus 6 nekādā gadījumā nav mazāks par mīnus 6!

Tāpēc pareizā atbilde ir -5.

Ceru, ka ar vērtības izvēli no vispārējā risinājuma viss ir skaidrs. Vēl viens piemērs:

4. Atrisiniet nevienlīdzību:

7 < 3x+1 < 13

Oho! Šo izteiksmi sauc trīskāršā nevienlīdzība. Stingri sakot, šī ir nevienlīdzības sistēmas saīsināta forma. Bet tādas trīskāršās nevienādības dažos uzdevumos vēl ir jāatrisina... To var atrisināt bez jebkādām sistēmām. Saskaņā ar tiem pašiem identiskiem pārveidojumiem.

Mums ir jāvienkāršo, šī nevienlīdzība jāsamazina līdz tīram X. Bet... Kas kur būtu jāpārvieto?! Šeit ir pienācis laiks atcerēties, ka ir jāpārvietojas pa kreisi un pa labi īsā forma pirmā identitātes transformācija.

Un pilna forma izklausās šādi: Jebkuru skaitli vai izteiksmi var pievienot/atņemt abām vienādojuma pusēm (nevienādība).

Šeit ir trīs daļas. Tātad visām trim daļām piemērosim identiskas pārvērtības!

Tātad, tiksim vaļā no nevienlīdzības vidusdaļā esošās. No visas vidusdaļas atņemsim vienu. Lai nevienlīdzība nemainītos, no atlikušajām divām daļām atņemam vienu. Kā šis:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tas ir labāk, vai ne?) Atliek tikai sadalīt visas trīs daļas trīs:

2 < X < 4

Tas ir viss. Šī ir atbilde. X var būt jebkurš skaitlis no diviem (neieskaitot) līdz četriem (neieskaitot). Arī šī atbilde ir rakstīta ar intervāliem; Tur tie ir visizplatītākā lieta.

Nodarbības beigās atkārtošu pašu svarīgāko. Lineāro nevienādību risināšanas panākumi ir atkarīgi no spējas pārveidot un vienkāršot lineāros vienādojumus. Ja tajā pašā laikā skatīties uz nevienlīdzības zīmi, nekādu problēmu nebūs. To es tev novēlu. Nav problēmu.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Rakstā mēs apsvērsim nevienlīdzību risināšana. Mēs jums skaidri pateiksim par kā konstruēt nevienlīdzības risinājumu, ar skaidriem piemēriem!

Pirms aplūkojam nevienlīdzību risināšanu, izmantojot piemērus, sapratīsim pamatjēdzienus.

Vispārīga informācija par nevienlīdzību

Nevienlīdzība ir izteiksme, kurā funkcijas ir savienotas ar relāciju zīmēm >, . Nevienlīdzības var būt gan skaitliski, gan burtiski.
Nevienādības ar divām koeficienta zīmēm sauc par dubultām, ar trīs - trīskāršām utt. Piemēram:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nevienādības, kas satur zīmi > vai vai -, nav stingras.
Nevienlīdzības atrisināšana ir jebkura mainīgā vērtība, kurai šī nevienādība būs patiesa.
"Atrisiniet nevienlīdzību" nozīmē, ka mums ir jāatrod visu tā risinājumu kopa. Ir dažādi nevienlīdzību risināšanas metodes. Priekš nevienlīdzības risinājumi Viņi izmanto skaitļu līniju, kas ir bezgalīga. Piemēram, nevienlīdzības risinājums x > 3 ir intervāls no 3 līdz +, un skaitlis 3 nav iekļauts šajā intervālā, tāpēc tiek apzīmēts punkts uz līnijas tukšs aplis, jo nevienlīdzība ir stingra.
+
Atbilde būs: x (3; +).
Vērtība x=3 nav iekļauta risinājumu kopā, tāpēc iekavas ir apaļas. Bezgalības zīme vienmēr tiek izcelta ar iekavām. Zīme nozīmē "piederēt".
Apskatīsim, kā atrisināt nevienlīdzības, izmantojot citu piemēru ar zīmi:
x 2
-+
Vērtība x=2 ir iekļauta risinājumu kopā, tāpēc iekava ir kvadrātveida un punkts uz līnijas ir norādīts ar aizpildītu apli.
Atbilde būs: x)