Rapporto aureo. Un nuovo sguardo

Una persona distingue gli oggetti che lo circondano in base alla loro forma. L'interesse per la forma di un oggetto può essere dettato da necessità vitali, oppure può essere causato dalla bellezza della forma. La forma, la cui costruzione si basa su una combinazione di simmetria e sezione aurea, contribuisce alla migliore percezione visiva e all'apparenza di una sensazione di bellezza e armonia. Il tutto è sempre costituito da parti, parti di diverse dimensioni sono in un certo rapporto tra loro e con il tutto. Il principio della sezione aurea è la più alta manifestazione della perfezione strutturale e funzionale dell'insieme e delle sue parti nell'arte, nella scienza, nella tecnologia e nella natura.

Sezione aurea - proporzione armonica

In matematica proporzione(lat. proportio) chiama l'uguaglianza di due rapporti: UN : B = C : D.

Segmento dritto AB può essere diviso in due parti nei seguenti modi:

in due parti uguali - AB : AC = AB : Sole;

in due parti disuguali sotto ogni aspetto (tali parti non formano proporzioni);

quindi, quando AB : AC = AC : Sole.

Quest'ultima è la divisione aurea ovvero la divisione di un segmento in rapporto estremo e medio.

La sezione aurea è tale divisione proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento sta alla parte più grande come la parte più grande sta a quella più piccola; o in altre parole, il segmento più piccolo sta al più grande come il più grande sta al tutto

UN : B = B : C O Con : B = B : UN.

Riso. 1. Immagine geometrica della sezione aurea

La conoscenza pratica della sezione aurea inizia con la divisione di un segmento di linea retta nella proporzione aurea utilizzando compasso e righello.

Riso. 2. Dividere un segmento di linea retta utilizzando la sezione aurea. AVANTI CRISTO. = 1/2 AB; CD = AVANTI CRISTO.

Dal punto IN si ripristina una perpendicolare pari alla metà AB. Punto ricevuto CON collegato da una linea ad un punto UN. Sulla linea risultante viene tracciato un segmento Sole terminando con un punto D. Segmento ANNO DOMINI trasferito al diretto AB. Il punto risultante E divide un segmento AB nel rapporto della sezione aurea.

I segmenti della sezione aurea sono espressi come una frazione irrazionale infinita A.E.= 0,618..., se AB prendi come uno ESSERE= 0,382... Per scopi pratici, vengono spesso utilizzati valori approssimativi di 0,62 e 0,38. Se il segmento AB preso come 100 parti, allora la parte più grande del segmento è uguale a 62 e la parte più piccola è 38 parti.

Le proprietà della sezione aurea sono descritte dall'equazione:

X 2 - X - 1 = 0.

Soluzione a questa equazione:

Le proprietà della sezione aurea hanno creato un’aura romantica di mistero e di culto quasi mistico attorno a questo numero.

Seconda sezione aurea

Questa proporzione si trova in architettura e si verifica anche quando si costruiscono composizioni di immagini di formato orizzontale allungato.

Riso. 3. Costruzione della seconda sezione aurea

La divisione viene eseguita come segue (vedi Fig. 3). Segmento AB diviso secondo la sezione aurea. Dal punto CON la perpendicolare viene ripristinata CD. Raggio AB c'è un punto D, che è collegato da una linea a un punto UN. Angolo retto ACDè diviso a metà. Dal punto CON viene tracciata una linea finché non si interseca con la linea ANNO DOMINI. Punto E divide un segmento ANNO DOMINI rispetto a 56:44.

Riso. 4. Dividere un rettangolo con la linea della seconda sezione aurea

Nella fig. La Figura 4 mostra la posizione della linea della seconda sezione aurea. Si trova a metà strada tra la linea del rapporto aureo e la linea mediana del rettangolo.

Triangolo d'oro

Per trovare segmenti della proporzione aurea delle serie ascendente e discendente, puoi utilizzare pentagramma.

Riso. 5. Costruzione di un pentagono regolare e di un pentagramma

Per costruire un pentagramma, devi costruire un pentagono regolare. Il metodo di costruzione fu sviluppato dal pittore e grafico tedesco Albrecht Dürer (1471...1528). Permettere O- centro del cerchio, UN- un punto su un cerchio e E- la metà del segmento OA. Perpendicolare al raggio OA, restaurato al punto DI, interseca il cerchio nel punto D. Usando un compasso, traccia un segmento sul diametro CE = ED. La lunghezza del lato di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza è: DC. Disporre i segmenti sul cerchio DC e otteniamo cinque punti per disegnare un pentagono regolare. Colleghiamo gli angoli del pentagono tra loro con le diagonali e otteniamo un pentagramma. Tutte le diagonali del pentagono si dividono in segmenti collegati dalla sezione aurea.

Ciascuna estremità della stella pentagonale rappresenta un triangolo d'oro. I suoi lati formano all'apice un angolo di 36°, e la base, appoggiata di lato, lo divide nella proporzione della sezione aurea.

Riso. 6. Costruzione del triangolo d'oro

Effettuiamo una diretta AB. Dal punto UN adagiarvi sopra un segmento tre volte DI valore arbitrario, attraverso il punto risultante R traccia una perpendicolare alla linea AB, sulla perpendicolare a destra e a sinistra del punto R mettere da parte i segmenti DI. Punti ricevuti D E D 1 collegarsi con linee rette a un punto UN. Segmento gg metti 1 in linea Anno Domini 1, ottenendo un punto CON. Ha diviso la linea Anno Domini 1 in proporzione alla sezione aurea. Linee Anno Domini 1 e gg 1 viene utilizzato per costruire un rettangolo “aureo”.

Storia della sezione aurea

È generalmente accettato che il concetto di divisione aurea sia stato introdotto nell'uso scientifico da Pitagora, un antico filosofo e matematico greco (VI secolo a.C.). Si presume che Pitagora abbia preso in prestito la sua conoscenza della divisione aurea dagli egiziani e dai babilonesi. In effetti, le proporzioni della piramide di Cheope, dei templi, dei bassorilievi, degli oggetti domestici e dei gioielli della tomba di Tutankhamon indicano che gli artigiani egiziani hanno utilizzato i rapporti della divisione aurea durante la loro creazione. L'architetto francese Le Corbusier ha scoperto che nel rilievo del tempio del faraone Seti I ad Abydos e nel rilievo raffigurante il faraone Ramses, le proporzioni delle figure corrispondono ai valori della divisione aurea. L'architetto Khesira, raffigurato su un rilievo di una tavola di legno proveniente da una tomba a lui intitolata, tiene tra le mani strumenti di misura in cui sono registrate le proporzioni della divisione aurea.

I greci erano abili geometri. Hanno persino insegnato l'aritmetica ai loro figli con l'aiuto di forme geometriche. Il quadrato pitagorico e la diagonale di questo quadrato furono la base per la costruzione di rettangoli dinamici.

Riso. 7. Rettangoli dinamici

La facciata dell'antico tempio greco del Partenone presenta proporzioni dorate. Durante i suoi scavi furono rinvenuti dei compassi utilizzati da architetti e scultori del mondo antico. Anche il compasso pompeiano (museo di Napoli) contiene le proporzioni della divisione aurea.

Riso. 8. Bussola antica con sezione aurea

Nella letteratura antica giunta fino a noi, la divisione aurea viene menzionata per la prima volta negli Elementi di Euclide. Nel 2° libro dei “Principi” viene data una costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, lo studio della divisione aurea fu condotto da Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.) ed altri. Europa medievale Abbiamo conosciuto la divisione aurea dalle traduzioni arabe degli Elementi di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della Divisione d'Oro erano gelosamente custoditi e mantenuti in assoluta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.

Durante il Rinascimento, l'interesse per la divisione aurea aumentò tra scienziati e artisti a causa del suo utilizzo sia nella geometria che nell'arte, soprattutto in architettura. Leonardo da Vinci, artista e scienziato, lo vide Artisti italiani c'è molta esperienza empirica, ma poca conoscenza. Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma a quel tempo apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo i contemporanei e gli storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano nel periodo compreso tra Fibonacci e Galileo. Luca Pacioli era uno studente dell'artista Piero della Franceschi, che scrisse due libri, uno dei quali si intitolava "Sulla prospettiva nella pittura". È considerato il creatore della geometria descrittiva.

Luca Pacioli capì perfettamente l'importanza della scienza per l'arte. Nel 1496, su invito del duca di Moreau, venne a Milano, dove tenne conferenze di matematica. Leonardo da Vinci lavorò in quel periodo anche a Milano alla corte del Moro. Nel 1509, il libro di Luca Pacioli "La Divina Proporzione" fu pubblicato a Venezia con illustrazioni brillantemente eseguite, motivo per cui si ritiene che siano state realizzate da Leonardo da Vinci. Il libro era un inno entusiasta alla sezione aurea. Tra i tanti vantaggi della proporzione aurea, il monaco Luca Pacioli non mancò di nominare la sua “essenza divina” come espressione della trinità divina - Dio figlio, Dio padre e Dio spirito santo (era sottinteso che il piccolo segmento è la personificazione di Dio il figlio, il segmento più grande - Dio il padre e l'intero segmento - Dio dello Spirito Santo).

Anche Leonardo da Vinci prestò molta attenzione allo studio della divisione aurea. Realizzò sezioni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari, e ogni volta ottenne dei rettangoli con proporzioni nella divisione aurea. Ecco perché ha dato il nome a questa divisione rapporto aureo. Quindi rimane ancora il più popolare.

Nello stesso periodo, nel Nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza l'introduzione alla prima versione del trattato sulle proporzioni. Scrive Dürer. “È necessario che qualcuno che sa fare una cosa la insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è ciò che ho deciso di fare”.

A giudicare da una delle lettere di Dürer, mentre era in Italia ha incontrato Luca Pacioli. Albrecht Dürer sviluppa in dettaglio la teoria delle proporzioni del corpo umano. Dürer assegnò alla sezione aurea un posto importante nel suo sistema di relazioni. L'altezza di una persona è divisa in proporzioni auree dalla linea della cintura, nonché da una linea tracciata attraverso la punta del medio delle mani abbassate, la parte inferiore del viso vicino alla bocca, ecc. Il compasso proporzionale di Dürer è ben noto.

Grande astronomo del XVI secolo. Giovanni Keplero definì la sezione aurea uno dei tesori della geometria. Fu il primo a richiamare l'attenzione sull'importanza della proporzione aurea per la botanica (crescita delle piante e loro struttura).

Keplero definì la proporzione aurea autocontinua: “È strutturata in modo tale”, scrisse, “che i due termini più bassi di questa proporzione infinita si sommano al terzo termine, e a due eventuali ultimi termini, se sommati insieme. , si dà il termine successivo, e la stessa proporzione viene mantenuta fino all'infinito."

La costruzione di una serie di segmenti della proporzione aurea può essere fatta sia nel senso di aumento (serie crescente) che in quello di diminuzione (serie discendente).

Se su una linea retta di lunghezza arbitraria, metti da parte il segmento M, inserisci il segmento accanto ad esso M. Sulla base di questi due segmenti, costruiamo una scala di segmenti della proporzione aurea delle serie ascendente e discendente

Riso. 9. Costruzione di una scala di segmenti di proporzione aurea

Nei secoli successivi, la regola della proporzione aurea si trasformò in un canone accademico, e quando, col tempo, iniziò la lotta contro la routine accademica nell’arte, nel calore della lotta “buttarono via il bambino con l’acqua sporca”. La sezione aurea fu nuovamente “scoperta” a metà del XIX secolo. Nel 1855, il ricercatore tedesco della sezione aurea, il professor Zeising, pubblicò la sua opera “Studi estetici”. Ciò che accadde a Zeising fu esattamente ciò che inevitabilmente dovrebbe accadere ad un ricercatore che consideri un fenomeno come tale, senza collegamento con altri fenomeni. Ha assolutizzato la proporzione della sezione aurea, dichiarandola universale per tutti i fenomeni della natura e dell'arte. Zeising aveva numerosi seguaci, ma c’erano anche degli oppositori che dichiaravano la sua dottrina delle proporzioni “estetica matematica”.

Riso. 10. Proporzioni auree in parti del corpo umano

Zeising ha fatto un lavoro straordinario. Misurò circa duemila corpi umani e giunse alla conclusione che la sezione aurea esprime la legge statistica media. La divisione del corpo per il punto dell'ombelico è l'indicatore più importante della sezione aurea. Proporzioni corpo maschile oscillano all'interno del rapporto medio di 13: 8 = 1,625 e sono un po' più vicini alla sezione aurea rispetto alle proporzioni del corpo femminile, rispetto al quale il valore medio della proporzione è espresso nel rapporto 8: 5 = 1,6. In un neonato il rapporto è 1:1, a 13 anni è 1,6, a 21 anni è uguale a quello di un uomo. Le proporzioni della sezione aurea appaiono anche in relazione ad altre parti del corpo: la lunghezza della spalla, dell'avambraccio e della mano, della mano e delle dita, ecc.

Riso. undici. Proporzioni auree nella figura umana

Zeising testò la validità della sua teoria sulle statue greche. Ha sviluppato le proporzioni dell'Apollo Belvedere nel modo più dettagliato. Sono stati studiati vasi greci, strutture architettoniche di varie epoche, piante, animali, uova di uccelli, toni musicali e metri poetici. Zeising diede una definizione alla sezione aurea e mostrò come essa si esprime in segmenti di retta e in numeri. Quando furono ottenuti i numeri che esprimevano le lunghezze dei segmenti, Zeising vide che essi costituivano una serie di Fibonacci, che poteva essere continuata indefinitamente in una direzione o nell'altra. Il suo libro successivo era intitolato “La divisione aurea come legge morfologica fondamentale nella natura e nell’arte”. Nel 1876 in Russia fu pubblicato un piccolo libro, quasi un opuscolo, che descriveva quest'opera di Zeising. L'autore si rifugiò sotto le iniziali Yu.F.V. Questa edizione non menziona una sola opera di pittura.

IN fine XIX- inizio del XX secolo Sono apparse molte teorie puramente formalistiche sull'uso della sezione aurea nelle opere d'arte e nell'architettura. Con lo sviluppo del design e dell'estetica tecnica, la legge della sezione aurea si estese alla progettazione di automobili, mobili, ecc.

Serie di Fibonacci

Il nome del monaco matematico italiano Leonardo da Pisa, meglio conosciuto come Fibonacci (figlio di Bonacci), è indirettamente collegato alla storia della sezione aurea. Ha viaggiato molto in Oriente, ha introdotto l'Europa ai numeri indiani (arabi). Nel 1202 fu pubblicata la sua opera matematica "Il libro dell'abaco" (tavola di conteggio), che raccoglieva tutti i problemi conosciuti a quel tempo. Uno dei problemi diceva: “Quante coppie di conigli nasceranno da una coppia in un anno”. Riflettendo su questo argomento, Fibonacci costruì la seguente serie di numeri:

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. nota come serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza numerica è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, pari alla somma due precedenti 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, ecc., e il rapporto dei numeri adiacenti nella serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21: 34 = 0,617 e 34: 55 = 0,618. Questa relazione è indicata dal simbolo F. Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - dà una divisione continua di un segmento di retta nella proporzione aurea, aumentandola o diminuendola all'infinito, quando il segmento minore sta a quello maggiore come il maggiore sta all'insieme.

Fibonacci si occupò anche delle esigenze pratiche del commercio: qual è il numero più piccolo di pesi che si possono utilizzare per pesare un prodotto? Fibonacci dimostra che il sistema di pesi ottimale è: 1, 2, 4, 8, 16...

Sezione aurea generalizzata

La serie di Fibonacci sarebbe potuta rimanere solo un incidente matematico, se non fosse stato per il fatto che tutti i ricercatori della divisione aurea nel mondo vegetale e animale, per non parlare dell'arte, arrivavano invariabilmente a questa serie come espressione aritmetica della legge dell'oro divisione.

Gli scienziati hanno continuato a sviluppare attivamente la teoria dei numeri di Fibonacci e della sezione aurea. Yu Matiyasevich risolve il decimo problema di Hilbert utilizzando i numeri di Fibonacci. Stanno emergendo metodi eleganti per risolvere una serie di problemi cibernetici (teoria della ricerca, giochi, programmazione) utilizzando i numeri di Fibonacci e la sezione aurea. Negli USA sta nascendo anche la Mathematical Fibonacci Association, che dal 1963 pubblica una rivista speciale.

Uno dei risultati in questo campo è la scoperta dei numeri di Fibonacci generalizzati e delle sezioni auree generalizzate.

La serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) e la serie “binaria” di pesi da lui scoperta 1, 2, 4, 8, 16... a prima vista sono completamente diverse. Ma gli algoritmi per la loro costruzione sono molto simili tra loro: nel primo caso ogni numero è la somma del numero precedente con se stesso 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., nel secondo - questa è la somma dei due numeri precedenti 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... È possibile trovare un valore generale formula matematica da cui si ottiene “serie binaria e serie di Fibonacci? O forse questa formula ce ne darà di nuove insiemi di numeri, in possesso di alcune nuove proprietà uniche?

Anzi, chiediamolo parametro numerico S, che può assumere qualsiasi valore: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Consideriamo una serie di numeri, S+ 1 dei primi termini dei quali sono unità, e ciascuno dei successivi è pari alla somma di due termini del precedente e separati dal precedente da S passi. Se N Indichiamo l'esimo termine di questa serie con φ S ( N), quindi otteniamo formula generaleφ S ( N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

È ovvio che quando S= 0 da questa formula si ottiene una serie “binaria”, con S= 1 - Serie di Fibonacci, con S= 2, 3, 4. nuova serie di numeri, che vengono chiamate S-Numeri di Fibonacci.

IN vista generale d'oro S-la proporzione è la radice positiva dell'equazione aurea S-sezioni x S+1 - x S - 1 = 0.

È facile dimostrarlo quando S= 0, il segmento viene diviso a metà e quando S= 1 - il familiare rapporto aureo classico.

Rapporti tra vicini S- I numeri di Fibonacci coincidono con assoluta precisione matematica nel limite con l'oro S-proporzioni! In questi casi, i matematici dicono che l'oro S-le sezioni sono invarianti numeriche S-Numeri di Fibonacci.

Fatti che confermano l'esistenza dell'oro S-sezioni in natura, cita lo scienziato bielorusso E.M. Soroko nel libro “Armonia strutturale dei sistemi” (Minsk, “Scienza e tecnologia”, 1984). Si scopre, ad esempio, che le leghe binarie ben studiate hanno proprietà funzionali speciali e pronunciate (termostabile, dura, resistente all'usura, resistente all'ossidazione, ecc.) solo se i pesi specifici dei componenti originali sono correlati tra loro da uno d'oro S-proporzioni. Ciò ha permesso all'autore di avanzare l'ipotesi che l'oro S-le sezioni sono invarianti numerici dei sistemi auto-organizzanti. Una volta confermata sperimentalmente, questa ipotesi potrebbe essere di fondamentale importanza per lo sviluppo della sinergetica, un nuovo campo della scienza che studia i processi nei sistemi auto-organizzati.

Utilizzando i codici d'oro S-le proporzioni possono essere espresse da qualsiasi numero reale come somma di potenze dell'oro S-proporzioni a coefficienti interi.

La differenza fondamentale tra questo metodo di codifica dei numeri è che le basi dei nuovi codici, che sono d'oro S-proporzioni, con S> 0 risultano numeri irrazionali. Pertanto, i nuovi sistemi numerici con basi irrazionali sembrano mettere la gerarchia storicamente stabilita delle relazioni tra numeri razionali e irrazionali “dalla testa ai piedi”. Il fatto è che i numeri naturali furono prima “scoperti”; allora i loro rapporti sono numeri razionali. E solo più tardi – dopo la scoperta dei segmenti incommensurabili da parte dei Pitagorici – nacquero i numeri irrazionali. Ad esempio, nei sistemi decimale, quinario, binario e in altri sistemi numerici posizionali classici, i numeri naturali venivano scelti come una sorta di principio fondamentale - 10, 5, 2 - di cui certe regole tutti gli altri numeri naturali, così come i numeri razionali e irrazionali, furono costruiti.

Una sorta di alternativa ai metodi di notazione esistenti è un nuovo sistema irrazionale, come principio fondamentale, il cui inizio è un numero irrazionale (che, ricordiamo, è la radice dell'equazione del rapporto aureo); altri numeri reali sono già espressi attraverso di esso.

In un tale sistema numerico, any numero naturale sempre rappresentabile come finito - e non infinito, come si pensava in precedenza! - la somma dei gradi di qualsiasi oro S-proporzioni. Questo è uno dei motivi per cui l’aritmetica “irrazionale”, dotata di sorprendente semplicità ed eleganza matematica, sembra aver assorbito migliori qualità binaria classica e aritmetica di Fibonacci.

Principi di formazione in natura

Tutto ciò che ha preso una forma si è formato, è cresciuto, ha cercato di prendere posto nello spazio e di preservarsi. Questo desiderio si realizza principalmente in due opzioni: crescere verso l'alto o diffondersi sulla superficie della terra e torcersi a spirale.

Il guscio è attorcigliato a spirale. Se lo apri, ottieni una lunghezza leggermente inferiore alla lunghezza del serpente. Una piccola conchiglia di dieci centimetri ha una spirale lunga 35 cm. Le spirali sono molto comuni in natura. L’idea della sezione aurea sarebbe incompleta senza parlare della spirale.

Riso. 12. Spirale di Archimede

La forma della conchiglia arricciata a spirale attirò l'attenzione di Archimede. Lo studiò e trovò un'equazione per la spirale. La spirale disegnata secondo questa equazione è chiamata con il suo nome. L'aumento del suo passo è sempre uniforme. Attualmente, la spirale di Archimede è ampiamente utilizzata nella tecnologia.

Goethe sottolineò anche la tendenza della natura alla spiralità. La disposizione elicoidale e a spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa. La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, pigne, ananas, cactus, ecc. Collaborazione Botanici e matematici fanno luce su questi sorprendenti fenomeni naturali. Si è scoperto che la serie di Fibonacci si manifesta nella disposizione delle foglie su un ramo (filotassi), dei semi di girasole e delle pigne, e quindi si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno tesse la sua tela seguendo uno schema a spirale. Un uragano gira come una spirale. Gregge spaventato renna si allontana a spirale. La molecola del DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe chiamò la spirale la “curva della vita”.

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Dal gambo principale si è formato un germoglio. La prima foglia si trovava proprio lì.

Riso. 13. Cicoria

Il germoglio fa una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma questa volta è più corta della prima, fa di nuovo un'espulsione nello spazio, ma con meno forza, rilascia una foglia di dimensioni ancora più piccole e viene espulsa di nuovo. Se la prima emissione è considerata pari a 100 unità, la seconda è pari a 62 unità, la terza a 38, la quarta a 24, ecc. Anche la lunghezza dei petali dipende dalla proporzione aurea. Crescendo e conquistando lo spazio, la pianta manteneva determinate proporzioni. Gli impulsi della sua crescita sono gradualmente diminuiti in proporzione alla sezione aurea.

Riso. 14. Lucertola vivipara

A prima vista, la lucertola ha proporzioni piacevoli ai nostri occhi: la lunghezza della sua coda è correlata alla lunghezza del resto del corpo da 62 a 38.

Sia nel mondo vegetale che in quello animale irrompe persistentemente la tendenza formativa della natura: la simmetria riguardo alla direzione della crescita e del movimento. Qui la sezione aurea appare nelle proporzioni delle parti perpendicolari alla direzione di crescita.

La natura ha effettuato la divisione in parti simmetriche e proporzioni auree. Le parti rivelano una ripetizione della struttura dell'insieme.

Riso. 15. uovo di uccello

Il grande Goethe, poeta, naturalista e artista (disegnava e dipingeva ad acquarelli), sognava di creare una dottrina unificata sulla forma, formazione e trasformazione dei corpi organici. Fu lui a introdurre il termine morfologia nell'uso scientifico.

Pierre Curie all'inizio di questo secolo formulò una serie di idee profonde sulla simmetria. Sosteneva che non si può considerare la simmetria di nessun corpo senza tenere conto della simmetria dell'ambiente.

I modelli di simmetria “dorata” si manifestano nelle transizioni energetiche particelle elementari, nella struttura di alcuni composti chimici, in planetario e sistemi spaziali, nelle strutture genetiche degli organismi viventi. Questi modelli, come indicato sopra, esistono nella struttura dei singoli organi umani e del corpo nel suo insieme, e si manifestano anche nei bioritmi e nel funzionamento del cervello e nella percezione visiva.

Sezione aurea e simmetria

La sezione aurea non può essere considerata da sola, separatamente, senza connessione con la simmetria. Il grande cristallografo russo G.V. Wulf (1863...1925) considerava la sezione aurea una delle manifestazioni della simmetria.

La divisione aurea non è una manifestazione di asimmetria, qualcosa di opposto alla simmetria. Secondo le idee moderne, la divisione aurea è una simmetria asimmetrica. La scienza della simmetria include concetti come statico E simmetria dinamica. La simmetria statica caratterizza la pace e l'equilibrio, mentre la simmetria dinamica caratterizza il movimento e la crescita. Così, in natura, la simmetria statica è rappresentata dalla struttura dei cristalli, mentre nell'arte caratterizza la pace, l'equilibrio e l'immobilità. La simmetria dinamica esprime l'attività, caratterizza il movimento, lo sviluppo, il ritmo, è testimonianza della vita. La simmetria statica è caratterizzata da segmenti uguali e valori uguali. La simmetria dinamica è caratterizzata dall'aumento o dalla diminuzione dei segmenti e si esprime nei valori della sezione aurea di una serie crescente o decrescente.

Chiunque abbia incontrato, almeno indirettamente, la geometria degli oggetti spaziali nell'interior design e nell'architettura, probabilmente conosce bene il principio della sezione aurea. Fino a poco tempo fa, diversi decenni fa, la popolarità della sezione aurea era così alta che numerosi sostenitori delle teorie mistiche e della struttura del mondo la chiamano la regola armonica universale.

L'essenza della proporzione universale

Sorprendentemente diverso. La ragione dell'atteggiamento parziale, quasi mistico nei confronti di una dipendenza numerica così semplice era dovuta a diverse proprietà insolite:

Un gran numero di oggetti nel mondo vivente, dai virus agli esseri umani, hanno proporzioni di base del corpo o degli arti molto vicine al valore della sezione aurea;
La dipendenza di 0,63 o 1,62 è tipica solo per le creature biologiche e alcuni tipi di cristalli, dai minerali agli elementi del paesaggio, hanno molto raramente la geometria della sezione aurea;
Le proporzioni auree nella struttura corporea si sono rivelate le più ottimali per la sopravvivenza di oggetti biologici reali.

Oggi, la sezione aurea si trova nella struttura del corpo degli animali, nelle conchiglie e nei gusci dei molluschi, nelle proporzioni di foglie, rami, tronchi e apparati radicali di abbastanza elevato numero arbusti ed erbe aromatiche.

Molti seguaci della teoria dell'universalità della sezione aurea hanno ripetutamente tentato di dimostrare il fatto che le sue proporzioni sono le più ottimali per organismi biologici nelle condizioni della loro esistenza.

Come esempio viene solitamente fornita la struttura della conchiglia dell'Astreae Heliotropium, uno dei molluschi marini. La conchiglia è un guscio di calcite arrotolato con una geometria che praticamente coincide con le proporzioni della sezione aurea.

Un esempio più comprensibile e ovvio è un normale uovo di gallina.

Al rapporto aureo corrisponderà anche il rapporto tra i parametri principali, vale a dire il fuoco grande e quello piccolo, o le distanze dai punti equidistanti della superficie al centro di gravità. Allo stesso tempo, la forma del guscio d'uovo di un uccello è la più ottimale per la sopravvivenza dell'uccello come specie biologica. In questo caso, la forza del guscio non gioca un ruolo importante.

Per vostra informazione! La sezione aurea, chiamata anche proporzione universale della geometria, è stata ottenuta come risultato di un numero enorme di misurazioni pratiche e confronti delle dimensioni di piante, uccelli e animali reali.

Origine della proporzione universale

Gli antichi matematici greci Euclide e Pitagora conoscevano la sezione aurea della sezione. In uno dei monumenti architettura antica- La piramide di Cheope ha un rapporto tra lati e base, i singoli elementi e i bassorilievi murali sono realizzati secondo la proporzione universale.

La tecnica della sezione aurea era ampiamente utilizzata nel Medioevo da artisti e architetti, mentre l'essenza della proporzione universale era considerata uno dei segreti dell'universo ed era accuratamente nascosta all'uomo comune. La composizione di molti dipinti, sculture ed edifici è stata costruita rigorosamente secondo le proporzioni della sezione aurea.

L'essenza della proporzione universale fu documentata per la prima volta nel 1509 dal monaco francescano Luca Pacioli, che aveva brillanti capacità matematiche. Ma il vero riconoscimento ebbe luogo dopo che lo scienziato tedesco Zeising condusse uno studio completo sulle proporzioni e la geometria del corpo umano, delle sculture antiche, delle opere d'arte, degli animali e delle piante.

Nella maggior parte degli oggetti viventi, alcune dimensioni corporee sono soggette alle stesse proporzioni. Nel 1855, gli scienziati conclusero che le proporzioni della sezione aurea sono una sorta di standard per l'armonia del corpo e della forma. Riguarda, prima di tutto, per quanto riguarda gli esseri viventi, per la natura morta, la sezione aurea è molto meno comune.

Come ottenere la sezione aurea

La sezione aurea è più facilmente rappresentabile come il rapporto tra due parti di un oggetto lunghezze diverse, separati da un punto.

In poche parole, quante lunghezze di un segmento piccolo si adatteranno all'interno di uno grande o il rapporto tra la parte più grande e l'intera lunghezza di un oggetto lineare. Nel primo caso il rapporto aureo è 0,63, nel secondo caso il rapporto d'aspetto è 1,618034.

In pratica, la sezione aurea è solo una proporzione, il rapporto tra segmenti di una certa lunghezza, lati di un rettangolo o altre forme geometriche, caratteristiche dimensionali correlate o coniugate di oggetti reali.

Inizialmente, le proporzioni auree venivano derivate empiricamente utilizzando costruzioni geometriche. Esistono diversi modi per costruire o derivare la proporzione armonica:

Per vostra informazione! A differenza della classica sezione aurea, la versione architettonica implica proporzioni di 44:56.

Se la versione standard della sezione aurea per esseri viventi, dipinti, grafica, sculture ed edifici antichi veniva calcolata come 37:63, dalla fine del XVII secolo la sezione aurea in architettura cominciò ad essere sempre più utilizzata come 44:56. La maggior parte degli esperti ritiene che il cambiamento a favore di proporzioni più “quadrate” sia dovuto alla diffusione della costruzione di grattacieli.

Il segreto principale della sezione aurea

Se le manifestazioni naturali della sezione universale nelle proporzioni dei corpi degli animali e degli esseri umani, la base del fusto delle piante possono ancora essere spiegate con l'evoluzione e l'adattabilità all'influenza dell'ambiente esterno, allora la scoperta della sezione aurea nella costruzione delle case dei secoli XII-XIX è stata una certa sorpresa. Inoltre, il famoso Partenone dell'antica Grecia fu costruito nel rispetto delle proporzioni universali: molte case e castelli di ricchi nobili e persone facoltose nel Medioevo furono deliberatamente costruiti con parametri molto vicini alla sezione aurea;

Sezione aurea in architettura

Molti degli edifici sopravvissuti fino ad oggi indicano che gli architetti del Medioevo conoscevano l'esistenza della sezione aurea e, naturalmente, quando costruivano una casa, erano guidati dai loro calcoli e dipendenze primitivi, con l'aiuto di cui hanno cercato di ottenere la massima forza. Il desiderio di costruire le case più belle e armoniose era particolarmente evidente negli edifici delle residenze dei regnanti, nelle chiese, nei municipi e negli edifici di particolare significato sociale nella società.

Ad esempio, la famosa cattedrale di Notre Dame a Parigi ha molte sezioni e catene dimensionali nelle sue proporzioni che corrispondono alla sezione aurea.

Ancor prima della pubblicazione delle sue ricerche nel 1855 da parte del professor Zeising, alla fine del XVIII secolo furono costruiti i famosi complessi architettonici dell'Ospedale Golitsyn e del Palazzo del Senato a San Pietroburgo, della Casa Pashkov e del Palazzo Petrovsky a Mosca utilizzando il metodo proporzioni della sezione aurea.

Naturalmente, le case sono state costruite prima nel rigoroso rispetto della regola del rapporto aureo. Vale la pena menzionare l'antico monumento architettonico della Chiesa dell'Intercessione sul Nerl, mostrato nel diagramma.

Tutti loro sono uniti non solo da un'armoniosa combinazione di forme e alta qualità costruzione, ma anche, prima di tutto, la presenza della sezione aurea nelle proporzioni dell'edificio. La sorprendente bellezza dell'edificio diventa ancora più misteriosa se si tiene conto della sua età. La costruzione della Chiesa dell'Intercessione risale al XIII secolo, ma l'edificio ricevette il suo aspetto architettonico moderno a cavallo del XVII secolo. risultato del restauro e della ricostruzione.

Caratteristiche della sezione aurea per gli esseri umani

L'antica architettura degli edifici e delle case del Medioevo rimane attraente e interessante uomo moderno per molte ragioni:

Individuale stile artistico nel disegno delle facciate evita i cliché e l'ottusità moderni, ogni edificio è un'opera d'arte;
Utilizzo massiccio per decorare e decorare statue, sculture, modanature in stucco, combinazioni insolite di soluzioni costruttive di epoche diverse;
Le proporzioni e la composizione dell'edificio attirano l'attenzione sugli elementi più importanti dell'edificio.

Importante! Quando si progetta una casa e si sviluppa aspetto gli architetti medievali applicavano la regola della sezione aurea, utilizzando inconsciamente le peculiarità della percezione del subconscio umano.

Gli psicologi moderni hanno dimostrato sperimentalmente che la sezione aurea è una manifestazione del desiderio o della reazione inconscia di una persona a una combinazione o proporzione armoniosa di dimensioni, forme e persino colori. È stato condotto un esperimento in cui ad un gruppo di persone che non si conoscevano, non avevano interessi comuni, professioni e categorie di età diverse, venivano proposte una serie di prove, tra cui il compito di piegare un foglio di carta nella maniera più proporzione ottimale dei lati. Dai risultati dei test è emerso che in 85 casi su 100 il foglio è stato piegato dai soggetti quasi esattamente secondo la sezione aurea.

Ecco perché scienza moderna crede che il fenomeno della proporzione universale sia un fenomeno psicologico e non l'azione di alcuna forza metafisica.

Utilizzo del fattore di sezione universale nel design e nell'architettura moderna

I principi dell'utilizzo della proporzione aurea sono diventati estremamente popolari negli ultimi anni nella costruzione di case private. Al posto dell’ecologia e della sicurezza materiali da costruzioneè arrivata l'armonia del design e la corretta distribuzione dell'energia all'interno della casa.

L'interpretazione moderna della regola dell'armonia universale si è diffusa da tempo oltre la consueta geometria e forma di un oggetto. Oggi la regola è soggetta non solo alle catene dimensionali della lunghezza del portico e del frontone, ai singoli elementi della facciata e all'altezza dell'edificio, ma anche all'area delle stanze, alle aperture di finestre e porte e persino al combinazione di colori dell'interno della stanza.

Il modo più semplice per costruire una casa armoniosa è su base modulare. In questo caso, la maggior parte dei dipartimenti e delle stanze sono realizzati sotto forma di blocchi o moduli indipendenti, progettati secondo la regola della sezione aurea. Costruire un edificio sotto forma di un insieme di moduli armoniosi è molto più semplice che costruire una scatola, in cui la maggior parte della facciata e degli interni devono rientrare nel rigoroso quadro delle proporzioni della sezione aurea.

Molte imprese edili che progettano abitazioni private utilizzano i principi e i concetti della sezione aurea per aumentare il preventivo dei costi e dare ai clienti l’impressione che il progetto della casa sia stato elaborato a fondo. Di norma, una casa del genere è dichiarata molto comoda e armoniosa da usare. Un rapporto correttamente selezionato tra le aree della stanza garantisce comfort spirituale e ottima salute dei proprietari.

Se la casa è stata costruita senza tenere conto dei rapporti ottimali della sezione aurea, è possibile ridisegnare le stanze in modo che le proporzioni della stanza corrispondano al rapporto delle pareti nella proporzione 1:1,61. A tale scopo è possibile spostare i mobili o installare ulteriori pareti divisorie all'interno delle stanze. Allo stesso modo, le dimensioni delle aperture di finestre e porte vengono modificate in modo che la larghezza dell'apertura sia 1,61 volte inferiore all'altezza dell'anta. La progettazione dei mobili viene eseguita allo stesso modo, elettrodomestici, finiture di pareti e pavimenti.

È più difficile scegliere una combinazione di colori. In questo caso, invece del consueto rapporto di 63:37, i seguaci della regola d'oro hanno adottato un'interpretazione semplificata - 2/3. Cioè, il colore di sfondo principale dovrebbe occupare il 60% dello spazio della stanza, non più del 30% dovrebbe essere assegnato al colore ombreggiato e il resto è assegnato a vari toni correlati, progettati per migliorare la percezione della combinazione di colori .

Le pareti interne della stanza sono divise da una cintura o bordo orizzontale ad un'altezza di 70 cm; i mobili installati devono essere commisurati all'altezza dei soffitti secondo la sezione aurea. La stessa regola vale per la distribuzione delle lunghezze, ad esempio la dimensione di un divano non deve superare i 2/3 della lunghezza del divisorio, e area totale occupato dai mobili si riferisce all'area della stanza come 1:1,61.

La proporzione aurea è difficile da applicare nella pratica su larga scala a causa di un solo valore trasversale, pertanto, quando si progettano edifici armoniosi, si ricorre spesso a una serie di numeri di Fibonacci. Ciò consente di espandere il numero di possibili opzioni per proporzioni e forme geometriche degli elementi principali della casa. In questo caso, una serie di numeri di Fibonacci collegati tra loro da una chiara relazione matematica è detta armonica o aurea.

Nel metodo moderno di progettazione delle abitazioni basato sul principio della sezione aurea, oltre alla serie di Fibonacci, è ampiamente utilizzato il principio proposto dal famoso architetto francese Le Corbusier. In questo caso, l'altezza del futuro proprietario o l'altezza media di una persona viene scelta come unità di misura iniziale in base alla quale vengono calcolati tutti i parametri dell'edificio e degli interni. Questo approccio ti consente di progettare una casa non solo armoniosa, ma anche veramente individuale.

Conclusione

In pratica, secondo le recensioni di chi ha deciso di costruire una casa secondo la regola della sezione aurea, un edificio ben costruito risulta in realtà abbastanza comodo da vivere. Ma il costo dell'edificio dovuto alla progettazione individuale e all'uso di materiali da costruzione di dimensioni non standard aumenta del 60-70%. E non c'è nulla di nuovo in questo approccio, dal momento che la maggior parte degli edifici del secolo scorso sono stati costruiti appositamente caratteristiche individuali futuri proprietari.

Sezione aurea - matematica

Sezione aurea - proporzione armonica

In matematica, la proporzione (lat. proportio) è l'uguaglianza di due rapporti: a: b = c: d.
Un segmento di retta AB può essere diviso in due parti nei seguenti modi:
in due parti uguali – AB: AC = AB: BC;
in due parti disuguali sotto ogni aspetto (tali parti non formano proporzioni);
quindi, quando AB: AC = AC: BC.
Quest'ultima è la divisione aurea ovvero la divisione di un segmento in rapporto estremo e medio.
La sezione aurea è tale divisione proporzionale di un segmento in parti disuguali, in cui l'intero segmento sta alla parte più grande come la parte più grande sta a quella più piccola; o in altre parole, il segmento più piccolo sta al più grande come il più grande sta al tutto

a: b = b: c oppure c: b = b: a.

Riso. 1. Immagine geometrica della sezione aurea

La conoscenza pratica della sezione aurea inizia con la divisione di un segmento di linea retta nella proporzione aurea utilizzando compasso e righello.

Riso. 2. Divisione di un segmento di retta secondo la sezione aurea. BC = 1/2 AB; CD = BC

Dal punto B si ripristina una perpendicolare pari alla metà AB. Il punto C risultante è collegato da una linea al punto A. Sulla linea risultante viene tracciato un segmento BC, che termina con il punto D. Il segmento AD viene trasferito sulla retta AB. Il punto E risultante divide il segmento AB nella proporzione aurea.

I segmenti della proporzione aurea sono espressi dalla frazione irrazionale infinita AE = 0,618..., se AB viene preso come uno, BE = 0,382... Per scopi pratici, vengono spesso utilizzati valori approssimativi di 0,62 e 0,38. Se il segmento AB è composto da 100 parti, la parte più grande del segmento è 62 e la parte più piccola è 38 parti.

Le proprietà della sezione aurea sono descritte dall'equazione:
x2 – x – 1 = 0.

Soluzione a questa equazione:

Le proprietà della sezione aurea hanno creato un’aura romantica di mistero e di culto quasi mistico attorno a questo numero.

Seconda sezione aurea

La rivista bulgara "Fatherland" (n. 10, 1983) ha pubblicato un articolo di Tsvetan Tsekov-Karandash "Sulla seconda sezione aurea", che segue dalla sezione principale e fornisce un altro rapporto di 44: 56.
Questa proporzione si trova in architettura e si verifica anche quando si costruiscono composizioni di immagini di formato orizzontale allungato.

La divisione viene effettuata come segue. Il segmento AB è diviso secondo la sezione aurea. Dal punto C, viene ripristinato un CD perpendicolare. Il raggio AB è il punto D, collegato da una linea al punto A. L'angolo retto ACD è diviso a metà. Viene tracciata una linea dal punto C all'intersezione con la linea AD. Il punto Divide il segmento AD nel rapporto 56:44.

Riso. 3. Costruzione della seconda sezione aurea

Riso. 4. Dividere un rettangolo con la linea della seconda sezione aurea

La figura mostra la posizione della linea della seconda sezione aurea. Si trova a metà strada tra la linea del rapporto aureo e la linea mediana del rettangolo.

Triangolo d'oro

Per trovare segmenti della proporzione aurea delle serie ascendente e discendente, puoi utilizzare il pentagramma.

Riso. 5. Costruzione di un pentagono e di un pentagramma regolari

Per costruire un pentagramma, devi costruire un pentagono regolare. Il metodo di costruzione fu sviluppato dal pittore e grafico tedesco Albrecht Dürer (1471...1528). Sia O il centro della circonferenza, A un punto sulla circonferenza ed E il punto medio del segmento OA. La perpendicolare al raggio OA, ripristinata nel punto O, interseca il cerchio nel punto D. Utilizzando un compasso, tracciare sul diametro il segmento CE = ED. La lunghezza del lato di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza è pari a DC. Tracciamo i segmenti DC sul cerchio e otteniamo cinque punti per disegnare un pentagono regolare. Colleghiamo gli angoli del pentagono tra loro con le diagonali e otteniamo un pentagramma. Tutte le diagonali del pentagono si dividono in segmenti collegati dalla sezione aurea.
Ciascuna estremità della stella pentagonale rappresenta un triangolo d'oro. I suoi lati formano all'apice un angolo di 36°, e la base, appoggiata di lato, lo divide nella proporzione della sezione aurea.

Disegniamo la retta AB. Dal punto A poniamo su di esso un segmento di dimensione arbitraria tre volte, attraverso il punto risultante P tracciamo una perpendicolare alla linea AB, sulla perpendicolare a destra e a sinistra del punto P poniamo i segmenti O. Colleghiamo i punti risultanti d e d1 con linee rette fino al punto A. Posiamo il segmento dd1 sulla linea Ad1 , ottenendo il punto C. Ha diviso la linea Ad1 in proporzione alla sezione aurea. Le linee Ad1 e dd1 vengono utilizzate per costruire un rettangolo “aureo”.

Riso. 6. Costruzione del triangolo d'oro

Storia della sezione aurea

Riso. 7. Rettangoli dinamici

Anche Platone (427...347 aC) conosceva la divisione aurea. Il suo dialogo “Timeo” è dedicato alle visioni matematiche ed estetiche della scuola pitagorica e, in particolare, alle questioni della divisione aurea.
La facciata dell'antico tempio greco del Partenone presenta proporzioni dorate. Durante i suoi scavi furono rinvenuti dei compassi utilizzati da architetti e scultori del mondo antico. Anche il compasso pompeiano (museo di Napoli) contiene le proporzioni della divisione aurea.

Riso. 8. Bussola antica con sezione aurea

Nella letteratura antica giunta fino a noi, la divisione aurea viene menzionata per la prima volta negli Elementi di Euclide. Nel 2° libro dei “Principi” viene data la costruzione geometrica della divisione aurea. Dopo Euclide, lo studio della divisione aurea fu condotto da Ipsicle (II secolo a.C.), Pappo (III secolo d.C.), ed altri l’Europa medievale, con la divisione aurea che abbiamo conosciuto attraverso le traduzioni arabe degli Elementi di Euclide. Il traduttore J. Campano di Navarra (III secolo) ha commentato la traduzione. I segreti della Divisione d'Oro erano gelosamente custoditi e mantenuti in assoluta segretezza. Erano conosciuti solo dagli iniziati.
Durante il Rinascimento, l'interesse per la divisione aurea aumentò tra scienziati e artisti a causa del suo utilizzo sia nella geometria che nell'arte, soprattutto nell'architettura. Leonardo da Vinci, artista e scienziato, vide che gli artisti italiani avevano molta esperienza empirica, ma poca conoscenza . Concepì e iniziò a scrivere un libro sulla geometria, ma a quel tempo apparve un libro del monaco Luca Pacioli e Leonardo abbandonò la sua idea. Secondo i contemporanei e gli storici della scienza, Luca Pacioli fu un vero e proprio luminare, il più grande matematico italiano nel periodo compreso tra Fibonacci e Galileo. Luca Pacioli era uno studente dell'artista Piero della Franceschi, che scrisse due libri, uno dei quali si intitolava "Sulla prospettiva nella pittura". È considerato il creatore della geometria descrittiva.
Luca Pacioli capì perfettamente l'importanza della scienza per l'arte. Nel 1496, su invito del duca di Moreau, venne a Milano, dove tenne conferenze di matematica. Leonardo da Vinci lavorò in quel periodo anche a Milano alla corte del Moro. Nel 1509, il libro di Luca Pacioli "La Divina Proporzione" fu pubblicato a Venezia con illustrazioni brillantemente eseguite, motivo per cui si ritiene che siano state realizzate da Leonardo da Vinci. Il libro era un inno entusiasta alla sezione aurea. Tra i tanti vantaggi della proporzione aurea, il monaco Luca Pacioli non mancò di nominare la sua “essenza divina” come espressione della trinità divina - Dio figlio, Dio padre e Dio spirito santo (era sottinteso che il piccolo il segmento è la personificazione di Dio Figlio, il segmento più grande è il Dio del Padre e l'intero segmento è il Dio dello Spirito Santo).
Anche Leonardo da Vinci prestò molta attenzione allo studio della divisione aurea. Realizzò sezioni di un corpo stereometrico formato da pentagoni regolari, e ogni volta ottenne dei rettangoli con proporzioni nella divisione aurea. Pertanto, ha dato a questa divisione il nome sezione aurea. Quindi rimane ancora il più popolare.
Nello stesso periodo, nel Nord Europa, in Germania, Albrecht Dürer lavorava sugli stessi problemi. Abbozza l'introduzione alla prima versione del trattato sulle proporzioni. Scrive Dürer. “È necessario che qualcuno che sa fare una cosa la insegni ad altri che ne hanno bisogno. Questo è ciò che ho deciso di fare”.
A giudicare da una delle lettere di Dürer, mentre era in Italia ha incontrato Luca Pacioli. Albrecht Dürer sviluppa in dettaglio la teoria delle proporzioni del corpo umano. Dürer assegnò alla sezione aurea un posto importante nel suo sistema di relazioni. L'altezza di una persona è divisa in proporzioni auree dalla linea della cintura, nonché da una linea tracciata attraverso la punta del medio delle mani abbassate, la parte inferiore del viso vicino alla bocca, ecc. Il compasso proporzionale di Dürer è ben noto.
Grande astronomo del XVI secolo. Giovanni Keplero definì la sezione aurea uno dei tesori della geometria. Fu il primo a richiamare l'attenzione sull'importanza della proporzione aurea per la botanica (crescita delle piante e loro struttura).
Keplero definì la proporzione aurea autocontinua: “È strutturata in modo tale”, scrisse, “che i due termini più bassi di questa proporzione infinita si sommano al terzo termine, e a due eventuali ultimi termini, se sommati insieme. , si dà il termine successivo, e la stessa proporzione viene mantenuta fino all'infinito."
La costruzione di una serie di segmenti della proporzione aurea può essere fatta sia nel senso di aumento (serie crescente) che in quello di diminuzione (serie discendente).
Se mettiamo da parte il segmento m su una retta di lunghezza arbitraria, mettiamo da parte il segmento M accanto ad esso. Sulla base di questi due segmenti costruiamo una scala di segmenti della proporzione aurea della serie ascendente e discendente

Riso. 9. Costruzione di una scala di segmenti della sezione aurea

Riso. 10. Proporzioni auree in parti del corpo umano

Zeising ha fatto un lavoro straordinario. Misurò circa duemila corpi umani e giunse alla conclusione che la sezione aurea esprime la legge statistica media. La divisione del corpo per il punto dell'ombelico è l'indicatore più importante della sezione aurea. Le proporzioni del corpo maschile oscillano all'interno del rapporto medio di 13: 8 = 1,625 e sono un po' più vicine alla sezione aurea rispetto alle proporzioni del corpo femminile, rispetto al quale il valore medio della proporzione è espresso nel rapporto 8: 5 = 1,6. In un neonato il rapporto è 1:1, a 13 anni è 1,6, a 21 anni è uguale a quello di un uomo. Le proporzioni della sezione aurea appaiono anche in relazione ad altre parti del corpo: la lunghezza della spalla, dell'avambraccio e della mano, della mano e delle dita, ecc.

Riso. 11. Proporzioni auree nella figura umana

Alla fine del XIX – inizio del XX secolo. Sono apparse molte teorie puramente formalistiche sull'uso della sezione aurea nelle opere d'arte e nell'architettura. Con lo sviluppo del design e dell'estetica tecnica, la legge della sezione aurea si estese alla progettazione di automobili, mobili, ecc.

Serie di Fibonacci

Una serie di numeri 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc. nota come serie di Fibonacci. La particolarità della sequenza di numeri è che ciascuno dei suoi membri, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due precedenti 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, ecc., e il rapporto dei numeri adiacenti nella serie si avvicina al rapporto della divisione aurea. Quindi, 21: 34 = 0,617 e 34: 55 = 0,618. Questo rapporto è indicato con il simbolo F. Solo questo rapporto - 0,618: 0,382 - dà una divisione continua di un segmento di retta nella proporzione aurea, aumentandolo o diminuendolo all'infinito, quando il segmento più piccolo è correlato a quello più grande come quello più grande è per tutto.

Sezione aurea generalizzata

Uno dei risultati in questo campo è la scoperta dei numeri di Fibonacci generalizzati e delle sezioni auree generalizzate.

La serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) e la serie “binaria” di pesi da lui scoperta 1, 2, 4, 8, 16... a prima vista sono completamente diverse. Ma gli algoritmi per la loro costruzione sono molto simili tra loro: nel primo caso ogni numero è la somma del numero precedente con se stesso 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, nel secondo è la somma dei due numeri precedenti 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. È possibile trovare una formula matematica generale da cui si ottengano sia la serie “binaria” che la serie di Fibonacci? O forse questa formula ci fornirà nuovi insiemi numerici con alcune nuove proprietà uniche?

Infatti, impostiamo il parametro numerico S, che può assumere qualsiasi valore: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Consideriamo una serie di numeri, S+ 1 dei primi termini dei quali sono unità, e ciascuno dei successivi è pari alla somma di due termini del precedente e separati dal precedente da S passi. Se N Indichiamo l'esimo termine di questa serie con φ S (N), allora otteniamo la formula generale φ S ( N) = φ S ( N– 1) + φS (N – S – 1).

È ovvio che quando S= 0 da questa formula si ottiene una serie “binaria”, con S= 1 – Serie di Fibonacci, con S= 2, 3, 4. nuova serie di numeri, che vengono chiamate S-Numeri di Fibonacci.

Nel complesso dorato S-la proporzione è la radice positiva dell'equazione aurea S-sezioni x S+1 – x S – 1 = 0.

È facile dimostrare che per S = 0 il segmento è diviso a metà, e per S = 1 si ottiene la familiare sezione aurea classica.

I rapporti dei numeri S di Fibonacci vicini coincidono con assoluta precisione matematica nel limite delle proporzioni S auree! I matematici in questi casi affermano che i rapporti S aurei sono invarianti numerici dei numeri S di Fibonacci.

I fatti che confermano l'esistenza delle sezioni S auree in natura sono forniti dallo scienziato bielorusso E.M. Soroko nel libro “Armonia strutturale dei sistemi” (Minsk, “Scienza e tecnologia”, 1984). Si scopre, ad esempio, che le leghe binarie ben studiate hanno proprietà funzionali speciali e pronunciate (termostabile, dura, resistente all'usura, resistente all'ossidazione, ecc.) solo se i pesi specifici dei componenti originali sono correlati tra loro da una delle proporzioni S auree. Ciò ha permesso all'autore di avanzare l'ipotesi che le sezioni S auree siano invarianti numerici di sistemi auto-organizzati. Una volta confermata sperimentalmente, questa ipotesi potrebbe essere di fondamentale importanza per lo sviluppo della sinergetica, un nuovo campo della scienza che studia i processi nei sistemi auto-organizzati.

Usando i codici della proporzione S aurea, puoi esprimere qualsiasi numero reale come somma di potenze di proporzioni S auree con coefficienti interi.

La differenza fondamentale tra questo metodo di codifica dei numeri è che le basi dei nuovi codici, che sono le proporzioni S auree, risultano essere numeri irrazionali quando S> 0. Pertanto, i nuovi sistemi numerici con basi irrazionali sembrano mettere la gerarchia storicamente stabilita delle relazioni tra numeri razionali e irrazionali “dalla testa ai piedi”. Il fatto è che i numeri naturali furono prima “scoperti”; allora i loro rapporti sono numeri razionali. E solo più tardi - dopo che i Pitagorici scoprirono i segmenti incommensurabili - nacquero i numeri irrazionali. Ad esempio, nei sistemi decimale, quinario, binario e in altri sistemi numerici posizionali classici, i numeri naturali venivano scelti come una sorta di principio fondamentale - 10, 5, 2 - da cui, secondo determinate regole, tutti gli altri numeri naturali, così come quelli razionali e numeri irrazionali, furono costruiti.

In un tale sistema numerico, qualsiasi numero naturale può sempre essere rappresentato come finito e non infinito, come si pensava in precedenza! – la somma dei poteri di una qualsiasi delle proporzioni S auree. Questo è uno dei motivi per cui l'aritmetica “irrazionale”, dotata di sorprendente semplicità ed eleganza matematica, sembra aver assorbito le migliori qualità dell'aritmetica binaria classica e di “Fibonacci”.

Principi di formazione in natura

Riso. 12. Spirale di Archimede

Goethe sottolineò anche la tendenza della natura alla spiralità. La disposizione elicoidale e a spirale delle foglie sui rami degli alberi è stata notata molto tempo fa. La spirale è stata vista nella disposizione dei semi di girasole, pigne, ananas, cactus, ecc. Il lavoro congiunto di botanici e matematici ha fatto luce su questi sorprendenti fenomeni naturali. Si è scoperto che la serie di Fibonacci si manifesta nella disposizione delle foglie su un ramo (filotassi), dei semi di girasole e delle pigne, e quindi si manifesta la legge della sezione aurea. Il ragno tesse la sua tela seguendo uno schema a spirale. Un uragano gira come una spirale. Un branco di renne spaventato si disperde in una spirale. La molecola del DNA è attorcigliata in una doppia elica. Goethe chiamò la spirale la “curva della vita”.

Tra le erbe lungo la strada cresce una pianta insignificante: la cicoria. Diamo un'occhiata più da vicino. Dal gambo principale si è formato un germoglio. La prima foglia si trovava proprio lì.

Riso. 13. Cicoria

Il germoglio fa una forte espulsione nello spazio, si ferma, rilascia una foglia, ma questa volta è più corta della prima, fa di nuovo un'espulsione nello spazio, ma con meno forza, rilascia una foglia di dimensioni ancora più piccole e viene espulsa di nuovo. Se la prima emissione è pari a 100 unità, la seconda sarà pari a 62 unità, la terza a 38, la quarta a 24, ecc. Anche la lunghezza dei petali dipende dalla proporzione aurea. Crescendo e conquistando lo spazio, la pianta manteneva determinate proporzioni. Gli impulsi della sua crescita sono gradualmente diminuiti in proporzione alla sezione aurea.

Riso. 15. Uovo di uccello

Le leggi della simmetria “aurea” si manifestano nelle transizioni energetiche delle particelle elementari, nella struttura di alcuni composti chimici, nei sistemi planetari e cosmici, nelle strutture genetiche degli organismi viventi. Questi modelli, come indicato sopra, esistono nella struttura dei singoli organi umani e del corpo nel suo insieme, e si manifestano anche nei bioritmi e nel funzionamento del cervello e nella percezione visiva.

Sezione aurea e simmetria

La sezione aurea non può essere considerata da sola, separatamente, senza connessione con la simmetria. Il grande cristallografo russo G.V. Wolf (1863...1925) considerava la sezione aurea una delle manifestazioni della simmetria.

La divisione aurea non è una manifestazione di asimmetria, qualcosa di opposto alla simmetria. Secondo le idee moderne, la divisione aurea è una simmetria asimmetrica. La scienza della simmetria include concetti come la simmetria statica e dinamica. La simmetria statica caratterizza la pace e l'equilibrio, mentre la simmetria dinamica caratterizza il movimento e la crescita. Così, in natura, la simmetria statica è rappresentata dalla struttura dei cristalli, mentre nell'arte caratterizza la pace, l'equilibrio e l'immobilità. La simmetria dinamica esprime l'attività, caratterizza il movimento, lo sviluppo, il ritmo, è testimonianza della vita. La simmetria statica è caratterizzata da segmenti uguali e valori uguali. La simmetria dinamica è caratterizzata dall'aumento o dalla diminuzione dei segmenti e si esprime nei valori della sezione aurea di una serie crescente o decrescente.

18/04/2011 A. F. Afanasyev Aggiornato il 16/06/12

Dimensioni e proporzioni sono uno dei compiti principali nella ricerca di un'immagine artistica di qualsiasi opera d'arte plastica. È chiaro che la questione delle dimensioni viene decisa tenendo conto della stanza in cui verrà collocato e degli oggetti che lo circondano.

Parlando di proporzioni (rapporto tra valori dimensionali), le prendiamo in considerazione nel formato di un'immagine piatta (dipinto, intarsio), nel rapporto tra le dimensioni complessive (lunghezza, altezza, larghezza) di un oggetto volumetrico, nel rapporto tra due oggetti di un insieme diversi in altezza o lunghezza, nel rapporto tra le dimensioni di due parti chiaramente visibili dello stesso oggetto, ecc.

Nei classici delle belle arti per molti secoli è stata tracciata una tecnica per costruire le proporzioni, chiamata sezione aurea, o numero aureo (questo termine è stato introdotto da Leonardo da Vinci). Il principio della sezione aurea, o simmetria dinamica, è che "il rapporto tra due parti di un tutto è uguale al rapporto tra la sua parte più grande e il tutto" (o, di conseguenza, tra il tutto e la parte più grande). Matematicamente è questo

il numero è espresso come - 1 ± 2?5 - che dà 1,6180339... o 0,6180339... Nell'arte, 1,62 è considerato il numero aureo, cioè un'espressione approssimativa del rapporto tra un valore maggiore in proporzione al suo valore minore valore .
Da approssimativo a più accurato, questo rapporto può essere espresso: ecc., dove: 5+3=8, 8+5=13, ecc. Oppure: 2,2:3,3:5,5:8 ,8, ecc. ., dove 2.2+3.3-5.5, ecc.

Graficamente, la sezione aurea può essere espressa dal rapporto tra i segmenti ottenuti da varie costruzioni. Più conveniente, a nostro avviso, è la costruzione mostrata in Fig. 169: se si aggiunge il suo lato corto alla diagonale di un mezzo quadrato, si ottiene un valore pari al rapporto tra il numero aureo e il suo lato lungo.

Riso. 169. Costruzione geometrica di un rettangolo nel rapporto aureo 1,62: 1. Numero aureo 1,62 in relazione ai segmenti (a e b)

Riso. 170. Costruzione grafica della funzione sezione aurea 1.12: 1

Proporzione di due rapporti aurei

crea una sensazione visiva di armonia ed equilibrio. Esiste un altro rapporto armonico tra due quantità adiacenti, espresso dal numero 1.12. È una funzione del numero aureo: se prendi la differenza tra due valori della sezione aurea, la dividi anche nella sezione aurea e aggiungi ogni frazione al valore più piccolo della sezione aurea originale, ottieni un rapporto di 1.12 (fig. 170). In questa relazione, ad esempio, l'elemento centrale (mensola) è disegnato con le lettere H, R, Z, ecc. In alcuni caratteri, per le lettere larghe vengono prese le proporzioni di altezza e larghezza, questa relazione si trova anche in natura.

Il numero aureo si osserva nelle proporzioni di una persona armoniosamente sviluppata (Fig. 171): la lunghezza della testa divide in rapporto aureo la distanza dalla vita alla sommità della testa; la rotula divide anche la distanza dalla vita alla pianta dei piedi; la punta del dito medio di una mano tesa divide l'intera altezza di una persona nella proporzione aurea; Anche il rapporto tra le falangi delle dita è un numero aureo. Lo stesso fenomeno si osserva in altre strutture della natura: nelle spirali dei molluschi, nelle corolle dei fiori, ecc.

Riso. 172. Proporzioni auree di foglia di geranio (pelargonium) intagliata. Costruzione: 1) Utilizzando un grafico in scala (vedi Fig. 171) costruiamo? ABC,	Riso. 173. Foglie di vite a cinque e tre petali. Il rapporto lunghezza/larghezza è 1,12. Viene espressa la sezione aurea

Nella fig. 172 e 173 mostrano la costruzione di un modello di una foglia di geranio (pelargonium) e di una foglia di vite nelle proporzioni dei numeri aurei 1,62 e 1,12. In una foglia di geranio la costruzione si basa su due triangoli: ABC e CEF, dove il rapporto tra altezza e base di ciascuno di essi è espresso dai numeri 0,62 e 1,62, e le distanze tra le tre coppie di punti più distanti dell'anta sono uguali: AB=CE=SF. La costruzione è indicata nel disegno. Il disegno di tale foglia è tipico dei gerani, che hanno foglie simili intagliate.

La foglia di sicomoro generalizzata (Fig. 173) ha le stesse proporzioni della foglia di vite, nel rapporto di 1,12, ma la proporzione maggiore della foglia di vite è la sua lunghezza, e quella della foglia di platano è la sua larghezza. La foglia del sicomoro ha tre dimensioni proporzionali in un rapporto di 1,62. Tale corrispondenza in architettura è chiamata triade (per quattro proporzioni - tetrade e oltre: pectad, esodo).

Nella fig. 174 mostra un metodo per costruire una foglia d'acero nelle proporzioni della sezione aurea. Con un rapporto larghezza/lunghezza di 1,12, ha diverse proporzioni con il numero 1,62. La costruzione si basa su due trapezi, in cui il rapporto tra altezza e lunghezza della base è espresso da un numero aureo. La costruzione è mostrata nel disegno e vengono fornite anche le opzioni per la forma di una foglia d'acero.

Nelle opere d'arte, un artista o uno scultore, consciamente o inconsciamente, fidandosi del suo occhio allenato, spesso applica il rapporto tra le dimensioni nella sezione aurea. Così, mentre lavorava su una copia della testa di Cristo (secondo Michelangelo), l'autore di questo libro notò che i riccioli adiacenti in ciocche di capelli nella loro dimensione riflettono il rapporto del rapporto aureo, e nella forma - la spirale di Archimede, l'evolvente. Il lettore può verificare personalmente che in numerosi dipinti di artisti classici la figura centrale si trova dai lati del formato a distanze che formano la proporzione della sezione aurea (ad esempio, la posizione della testa sia verticalmente che orizzontalmente in V . Ritratto di M. I. Lopukhina di Borovikovsky; posizione lungo il centro verticale della testa nel ritratto di A. S. Pushkin di O. Kiprensky e altri). La stessa cosa a volte può essere vista con il posizionamento della linea dell'orizzonte (F. Vasiliev: “Wet Meadow”, I. Levitan: “March”, “Evening Bells”).

Naturalmente questa regola non è sempre risolutiva del problema compositivo, e non deve sostituirsi all’intuizione del ritmo e delle proporzioni nel lavoro dell’artista. È noto, ad esempio, che alcuni artisti utilizzavano per le loro composizioni i rapporti dei “numeri musicali”: terze, quarte, quinte (2:3, 3:4, ecc.). Gli storici dell'arte, non senza ragione, notano che il design di qualsiasi monumento o scultura architettonica classica, se lo si desidera, può essere adattato a qualsiasi rapporto numerico. Il nostro compito in questo caso, e soprattutto il compito di un artista o intagliatore alle prime armi, è imparare a costruire una composizione deliberata della sua opera non secondo relazioni casuali, ma secondo proporzioni armoniose, comprovate dalla pratica. Queste proporzioni armoniose devono essere identificate ed enfatizzate dal design e dalla forma del prodotto.

Come esempio per trovare una proporzione armoniosa, si consideri la determinazione della dimensione della cornice per l'opera mostrata in Fig. 175. Il formato dell'immagine in essa collocata è fissato nella proporzione della sezione aurea. Le dimensioni esterne della cornice a parità di larghezza dei suoi lati non daranno la proporzione aurea. Pertanto, il rapporto tra la sua lunghezza e larghezza (ЗЗ0X220) è considerato leggermente inferiore al numero d'oro, cioè uguale a 1,5, e la larghezza dei collegamenti trasversali è corrispondentemente aumentata rispetto ai lati laterali. Ciò ha permesso di arrivare alle dimensioni della cornice alla luce (per il dipinto), dando le proporzioni della sezione aurea. Il rapporto tra la larghezza del collegamento inferiore del telaio e la larghezza del collegamento superiore è regolato su un altro numero aureo, ovvero 1.12. Inoltre, il rapporto tra la larghezza del collegamento inferiore e la larghezza del collegamento laterale (94:63) è vicino a 1,5 (nella figura - l'opzione a sinistra).

Ora faremo un esperimento: aumenteremo il lato lungo del telaio a 366 mm a causa della larghezza del collegamento inferiore (sarà 130 mm) (nella foto - l'opzione a destra), che sarà avvicinare non solo il rapporto ma anche all'oro
numero 1.62 invece di 1.12. Il risultato è una nuova composizione che può essere utilizzata in qualche altro prodotto, ma per la cornice si desidera accorciarla. Copriamo la sua parte inferiore con un righello in modo che l'occhio “accetti” la proporzione risultante e otterremo la sua lunghezza di 330 mm, ad es. ci avvicineremo alla versione originale.

Quindi, analizzando varie opzioni(potrebbero essercene altre oltre alle due discusse), il maestro si stabilisce sull'unica soluzione possibile dal suo punto di vista.

È meglio applicare il principio del rapporto aureo alla ricerca della composizione desiderata utilizzando un dispositivo semplice, il cui schema di progettazione di base è mostrato in Fig. 176. Due righelli di questo dispositivo possono, ruotando attorno al cardine B, formare un angolo arbitrario. Se, per qualsiasi soluzione angolare, dividiamo la distanza AC nella sezione aurea per un punto K e montiamo altri due righelli: KM\\BC e KE\\AB con cerniere nei punti K, E e M, allora per qualsiasi soluzione AC questa distanza verrà divisa per il punto K rispetto alla sezione aurea.

Questa armonia colpisce per la sua portata...

Ciao amici!

Hai sentito qualcosa sull'Armonia Divina o sulla Sezione Aurea? Hai mai pensato al perché qualcosa ci sembra ideale e bello, ma qualcosa ci respinge?

In caso contrario, sei arrivato con successo a questo articolo, perché in esso discuteremo della sezione aurea, scopriremo cos'è, come appare nella natura e negli esseri umani. Parliamo dei suoi principi, scopriamo cos'è la serie di Fibonacci e molto altro ancora, compreso il concetto del rettangolo aureo e della spirale aurea.

Sì, l'articolo ha molte immagini, formule, dopo tutto, anche la sezione aurea è matematica. Ma tutto è abbastanza descritto in un linguaggio semplice, chiaramente. E alla fine dell'articolo scoprirai perché tutti amano così tanto i gatti =)

Qual è la sezione aurea?

Per dirla semplicemente, la sezione aurea è una certa regola di proporzione che crea armonia?. Cioè, se non violiamo le regole di queste proporzioni, otteniamo una composizione molto armoniosa.

La definizione più completa della sezione aurea afferma che la parte più piccola sta a quella più grande, come la parte più grande sta al tutto.

Ma oltre a questo, la sezione aurea è matematica: ha una formula specifica e un numero specifico. Molti matematici, in generale, la considerano la formula dell'armonia divina, e la chiamano “simmetria asimmetrica”.

La sezione aurea ha raggiunto i nostri contemporanei sin dai tempi Grecia antica Tuttavia, si ritiene che gli stessi greci avessero già individuato la sezione aurea tra gli egiziani. Perché molte opere d'arte dell'Antico Egitto sono chiaramente costruite secondo i canoni di questa proporzione.

Si ritiene che Pitagora sia stato il primo a introdurre il concetto della sezione aurea. Le opere di Euclide sono sopravvissute fino ad oggi (ha utilizzato la sezione aurea per costruire pentagoni regolari, motivo per cui un tale pentagono è chiamato "d'oro"), e il numero della sezione aurea prende il nome dall'antico architetto greco Fidia. Cioè, questo è il nostro numero "phi" (indicato Lettera grecaφ), ed è uguale a 1,6180339887498948482... Naturalmente, questo valore è arrotondato: φ = 1,618 o φ = 1,62, e in termini percentuali il rapporto aureo è pari al 62% e al 38%.

Cosa c'è di unico in questa proporzione (e credetemi, esiste)? Proviamo prima a capirlo usando l'esempio di un segmento. Prendiamo dunque un segmento e lo dividiamo in parti disuguali in modo che la sua parte più piccola stia a quella più grande, come la parte più grande sta al tutto. Capisco, non è ancora molto chiaro cosa sia, cercherò di illustrarlo più chiaramente usando l'esempio dei segmenti:

Quindi prendiamo un segmento e lo dividiamo in altri due, in modo che il segmento più piccolo a si riferisca al segmento più grande b, proprio come il segmento b si riferisce al tutto, cioè all'intera linea (a + b). Matematicamente assomiglia a questo:

Questa regola funziona all'infinito; puoi dividere i segmenti per tutto il tempo che desideri. E guarda quanto è semplice. L’importante è capire una volta e basta.

Ma ora consideriamo un esempio più complesso, che si presenta molto spesso, poiché la sezione aurea è rappresentata anche sotto forma di un rettangolo aureo (il cui rapporto d’aspetto è φ = 1,62). Questo è un rettangolo molto interessante: se ne “tagliamo” un quadrato, otterremo nuovamente un rettangolo aureo. E così via all'infinito. Vedere:

Ma la matematica non sarebbe matematica se non avesse formule. Quindi, amici, ora “farà male” un po’. Ho nascosto la soluzione della sezione aurea sotto uno spoiler; ci sono molte formule, ma non voglio lasciare l’articolo senza di esse.

Serie di Fibonacci e sezione aurea

Continuiamo a creare e osservare la magia della matematica e della sezione aurea. Nel Medioevo c'era un tale compagno: Fibonacci (o Fibonacci, lo scrivono diversamente ovunque). Amava la matematica e i problemi, aveva anche un problema interessante con la riproduzione dei conigli =) Ma non è questo il punto. Ha scoperto una sequenza numerica, i numeri in essa contenuti sono chiamati “numeri di Fibonacci”.

La sequenza stessa è simile alla seguente:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... e così via all'infinito.

In altre parole, la sequenza di Fibonacci è una sequenza di numeri in cui ogni numero successivo è uguale alla somma dei due precedenti.

Cosa c’entra la sezione aurea con questo? Lo vedrai adesso.

Spirale di Fibonacci

Per vedere e sentire l'intera connessione tra la serie dei numeri di Fibonacci e la sezione aurea, devi guardare di nuovo le formule.

In altre parole, dal 9° termine della sequenza di Fibonacci si cominciano ad ottenere i valori della sezione aurea. E se visualizziamo l'intera immagine, vedremo come la sequenza di Fibonacci crea rettangoli sempre più vicini al rettangolo aureo. Questa è la connessione.

Parliamo ora della spirale di Fibonacci, chiamata anche “spirale aurea”.

La spirale aurea è una spirale logaritmica il cui coefficiente di crescita è φ4, dove φ è il rapporto aureo.

In generale, da un punto di vista matematico, la sezione aurea è una proporzione ideale. Ma questo è solo l'inizio dei suoi miracoli. Quasi il mondo intero è soggetto ai principi della sezione aurea; la natura stessa ha creato questa proporzione. Anche gli esoteristi vi vedono il potere numerico. Ma di questo sicuramente non parleremo in questo articolo, quindi per non perdervi nulla potete iscrivervi agli aggiornamenti del sito.

Sezione aurea nella natura, nell'uomo, nell'arte

Prima di iniziare vorrei chiarire alcune inesattezze. In primo luogo, la definizione stessa della sezione aurea in questo contesto non è del tutto corretta. Il fatto è che il concetto stesso di “sezione” è un termine geometrico, che denota sempre un piano, ma non una sequenza di numeri di Fibonacci.

E, in secondo luogo, le serie numeriche e il rapporto tra l'uno e l'altro, ovviamente, sono stati trasformati in una sorta di stencil che può essere applicato a tutto ciò che sembra sospetto, e si può essere molto felici quando ci sono coincidenze, ma comunque , il buon senso non deve andare perduto.

Tuttavia “nel nostro regno tutto si confuse” e l’uno divenne sinonimo dell’altro. Quindi, in generale, il significato non viene perso. Ora passiamo agli affari.

Rimarrai sorpreso, ma la sezione aurea, o meglio le proporzioni il più vicino possibile ad essa, può essere vista quasi ovunque, anche allo specchio. Non mi credi? Cominciamo con questo.

Sai, quando stavo imparando a disegnare, ci hanno spiegato quanto sia più facile costruire il viso di una persona, il suo corpo e così via. Tutto deve essere calcolato rispetto a qualcos'altro.

Tutto, assolutamente tutto è proporzionale: le ossa, le dita, i palmi, le distanze sul viso, la distanza delle braccia tese rispetto al corpo e così via. Ma non è tutto struttura interna del nostro corpo, anch'esso, è uguale o quasi uguale alla formula della sezione aurea. Ecco le distanze e le proporzioni:

dalle spalle alla corona alla misura della testa = 1:1,618

dall'ombelico alla corona al segmento dalle spalle alla corona = 1:1,618

dall'ombelico alle ginocchia e dalle ginocchia ai piedi = 1:1,618

dal mento a punto estremo labbro superiore e da esso al naso = 1:1,618

Non è fantastico!? Armonia dentro forma pura, sia all'interno che all'esterno. Ed è per questo che, a livello inconscio, alcune persone non ci sembrano belle, anche se hanno un corpo forte e tonico, una pelle vellutata, bei capelli, occhi e cose e tutto il resto. Tuttavia, la minima violazione delle proporzioni del corpo e l'aspetto già "fa male agli occhi".

In breve, più una persona ci sembra bella, più le sue proporzioni sono vicine all'ideale. E questo, a proposito, non è solo per corpo umano può essere attribuito.

Sezione aurea in natura e suoi fenomeni

Un classico esempio della sezione aurea in natura è la conchiglia del mollusco Nautilus pompilius e l'ammonite. Ma questo non è tutto, ci sono molti altri esempi:

nei riccioli dell'orecchio umano possiamo vedere una spirale aurea;

è lo stesso (o quasi) nelle spirali lungo le quali si attorcigliano le galassie;

e nella molecola del DNA;

Secondo la serie di Fibonacci, è disposto il centro del girasole, crescono i coni, il centro dei fiori, l'ananas e molti altri frutti.

Amici, ci sono così tanti esempi che lascerò il video qui (è appena sotto) per non sovraccaricare l'articolo di testo. Perché se approfondisci questo argomento, puoi addentrarti nella giungla seguente: anche gli antichi greci hanno dimostrato che l'Universo e, in generale, tutto lo spazio è pianificato secondo il principio della sezione aurea.

Rimarrai sorpreso, ma queste regole possono essere trovate anche nel suono. Vedere:

Il punto più alto del suono che causa dolore e disagio alle nostre orecchie è di 130 decibel.

Dividiamo la proporzione 130 per il numero della sezione aurea φ = 1,62 e otteniamo 80 decibel, il suono di un urlo umano.

Continuiamo a dividere proporzionalmente e otteniamo, diciamo, il volume normale del parlato umano: 80 / φ = 50 decibel.

Bene, l'ultimo suono che otteniamo grazie alla formula è un piacevole sussurro = 2.618.

Utilizzando questo principio, è possibile determinare i valori ottimale-confortevole, minimo e massimo di temperatura, pressione e umidità. Non l’ho testato e non so quanto sia vera questa teoria, ma devi essere d’accordo, sembra impressionante.

Si può leggere la massima bellezza e armonia assolutamente in tutto ciò che è vivente e non vivente.

L'importante è non lasciarsi trasportare da questo, perché se vogliamo vedere qualcosa in qualcosa, lo vedremo, anche se non c'è. Ad esempio, ho prestato attenzione al design della PS4 e lì ho visto la sezione aurea =) Tuttavia, questa console è così bella che non mi sorprenderei se il designer ci facesse davvero qualcosa di intelligente.

La sezione aurea nell’art

Anche questo è un argomento molto ampio ed esteso che vale la pena considerare separatamente. Qui mi limiterò a notare alcuni punti fondamentali. La cosa più notevole è che molte opere d'arte e capolavori architettonici dell'antichità (e non solo) sono stati realizzati secondo i principi della sezione aurea.

Piramidi egiziane e maya, Notre Dame de Paris, Partenone greco e così via.

Nelle opere musicali di Mozart, Chopin, Schubert, Bach e altri.

Nella pittura (questo è chiaramente visibile): tutti i dipinti più famosi di artisti famosi sono realizzati tenendo conto delle regole della sezione aurea.

Questi principi si ritrovano nelle poesie di Pushkin e nel busto della bella Nefertiti.

Anche adesso le regole della sezione aurea vengono utilizzate, ad esempio, nella fotografia. Bene, e ovviamente, in tutte le altre arti, comprese la cinematografia e il design.

Gatti dorati di Fibonacci

E infine, sui gatti! Ti sei mai chiesto perché tutti amano così tanto i gatti? Hanno preso il sopravvento su Internet! I gatti sono ovunque ed è meraviglioso =)

E il punto è che i gatti sono perfetti! Non mi credi? Ora te lo dimostrerò matematicamente!