Hva er en sum, forskjell, produkt, kvotient i matematikk? Produkt av tall.

- (produkt) Resultat av multiplikasjon. Produkt av tall, algebraiske uttrykk, vektorer eller matriser; kan vises med en prikk, et skrått kryss, eller ganske enkelt ved å skrive dem sekvensielt etter hverandre, dvs. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Økonomisk ordbok

Vitenskapen om heltall. Konseptet med et heltall (Se tall), samt aritmetiske operasjoner på tall, har vært kjent siden antikken og er en av de første matematiske abstraksjonene. Et spesielt sted blant heltall, dvs. tall..., 3... Stor sovjetisk leksikon

Substantiv, s., brukt. ofte Morfologi: (nei) hva? fungerer, hvorfor? arbeid, (se) hva? arbeid av hva? jobb, om hva? om arbeidet; pl. Hva? fungerer, (nei) hva? fungerer, hvorfor? fungerer, (jeg ser) hva? fungerer,... ... Ordbok Dmitrieva

En matrise er et matematisk objekt skrevet i form av en rektangulær tabell med tall (eller elementer i en ring) og tillater algebraiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, etc.) mellom den og andre lignende objekter. Regler for utførelse... ... Wikipedia

I aritmetikk forstås multiplikasjon som en kort notasjon for summen av identiske ledd. For eksempel betyr notasjonen 5*3 "5 legges til seg selv 3 ganger", det vil si at det ganske enkelt er en kort notasjon for 5+5+5. Resultatet av multiplikasjon kalles et produkt, og ... ... Wikipedia

En gren av tallteori hvis hovedoppgave er å studere egenskapene til heltallsfelt av algebraiske tall av endelig grad over et felt rasjonelle tall. Alle heltall i et utvidelsesfelt K i et felt med grad n kan oppnås ved å bruke... ... Matematisk leksikon

Tallteori, eller høyere aritmetikk, er en gren av matematikken som studerer heltall og lignende objekter. I tallteori, i vid forstand, vurderes både algebraiske og transcendentale tall, samt funksjoner av ulik opprinnelse, som ... ... Wikipedia

En gren av tallteori der distribusjonsmønstre studeres primtall(p.h.) blant naturlige tall. Det sentrale problemet er den beste asymptotiske løsningen. uttrykk for funksjonen p(x), som angir antallet p.p. som ikke overstiger x, a... ... Matematisk leksikon

- (i utenlandsk litteratur skalarprodukt, punktprodukt, indre produkt) en operasjon på to vektorer, hvis resultat er et tall (skalar) som ikke er avhengig av koordinatsystemet og karakteriserer lengdene på faktorvektorene og vinkelen mellom ... ... Wikipedia

En symmetrisk hermitisk form definert på et vektorrom L over et felt K, vanligvis betraktet som en integrert del av definisjonen av dette rommet, noe som gjør rommet (avhengig av typen rom og egenskapene til det indre ... Wikipedia

Bøker

• Samling av problemer i matematikk, Bachurin V.. Spørsmålene i matematikk diskutert i boken samsvarer fullt ut med innholdet i noen av de tre programmene: skole, forberedende avdelinger, opptaksprøver. Og selv om denne boken heter...
• Levende materie. Fysikk av levende og evolusjonære prosesser, Yashin A.A.. Denne monografien oppsummerer forfatterens forskning de siste årene. De eksperimentelle resultatene presentert i boken ble oppnådd av Tula Scientific School of Field Biophysics og...

Hvis en konsertsal er opplyst av 3 lysekroner med 25 pærer hver, vil det totale antallet pærer i disse lysekronene være 25 + 25 + 25, det vil si 75.

Summen der alle ledd er like hverandre skrives kortere: i stedet for 25 + 25 + 25, skriv 25 3. Dette betyr 25 3 = 75 (fig. 43). Nummeret 75 kalles arbeid nummer 25 og 3, og tallene 25 og 3 kalles multiplikatorer.

Ris. 43. Produkt av nummer 25 og 3

Å multiplisere tallet m med det naturlige tallet n betyr å finne summen av n ledd, som hver er lik m.

Uttrykket m n og verdien av dette uttrykket kalles arbeid tallmOgn. Tallene som multipliseres kalles multiplikatorer. De. m og n er faktorer.

Produktene 7 4 og 4 7 er lik det samme tallet 28 (fig. 44).

Ris. 44. Produkt 7 4 = 4 7

1. Produktet av to tall endres ikke når faktorene omorganiseres.

kommutativ

en × b = b × en .

Produktene (5 3) 2 = 15 2 og 5 (3 2) = 5 6 har samme verdi 30. Dette betyr 5 (3 2) = (5 3) 2 (Fig. 45).

Ris. 45. Produkt (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. For å multiplisere et tall med produktet av to tall, kan du først multiplisere det med den første faktoren, og deretter multiplisere det resulterende produktet med den andre faktoren.

Denne egenskapen til multiplikasjon kalles assosiativ. Ved hjelp av bokstaver skrives det slik:

A (bc) = (abMed).

Summen av n ledd, hver lik 1, er lik n. Derfor er likheten 1 n = n sann.

Summen av n ledd, som hver er lik null, er lik null. Derfor er likheten 0 n = 0 sann.

For at den kommutative egenskapen til multiplikasjon skal være sann for n = 1 og n = 0, er det enighet om at m 1 = m og m 0 = 0.

Multiplikasjonstegnet er vanligvis ikke skrevet før alfabetiske faktorer: i stedet for 8 X skriv 8 X, i stedet for ENb skrive ENb.

Multiplikasjonstegnet er også utelatt foran parentesen. For eksempel, i stedet for 2 ( et +b) skriv 2 (a+b) , og i stedet for ( X+ 2) (y + 3) skriv (x + 2) (y + 3).

I stedet for ( ab) med skriv abc.

Når det ikke er noen parentes i produktnotasjonen, utføres multiplikasjonen i rekkefølge fra venstre mot høyre.

Verkene blir lest, og hver faktor er navngitt genitiv kasus. For eksempel:

1) 175 60 er produktet av hundre syttifem og seksti;

2) 80 (X+ 1 7) – produkt av r.p. r.p.

åtti og summen av x og sytten

La oss løse problemet.

Hvor mange tresifrede tall (fig. 46) kan lages av tallene 2, 4, 6, 8, hvis tallene i tallet ikke gjentas?

Løsning.

Det første sifferet i et tall kan være hvilket som helst av fire gitte tall, den andre – hvilken som helst av tre andre, og den tredje – noen av to de resterende. Det viser seg:

Ris. 46. ​​Til problemet med å komponere tresifrede tall

Totalt fra disse tallene kan du lage 4 3 2 = 24 tresifrede tall.

La oss løse problemet.

Selskapets styre består av 5 personer. Blant sine medlemmer skal styret velge en president og visepresident. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning.

En av 5 personer kan velges til president i selskapet:

President:

Etter at presidenten er valgt, kan hvilket som helst av de fire gjenværende styremedlemmene velges som visepresident (fig. 47):

	President: Visepresident:

Ris. 47. Om valgproblemet

Dette betyr at det er fem måter å velge en president på, og for hver valgt president er det fire måter å velge en visepresident på. Derfor, totalt antall Antall måter å velge president og visepresident for selskapet på er: 5 4 = 20 (se fig. 47).

La oss løse et annet problem.

Det er fire veier som fører fra landsbyen Anikeevo til landsbyen Bolshovo, og tre veier fra landsbyen Bolshovo til landsbyen Vinogradovo (fig. 48). På hvor mange måter kan du komme deg fra Anikeev til Vinogradovo gjennom landsbyen Bolshevo?

Ris. 48. Om problemet med veier

Løsning.

Kommer du fra A til B langs 1. vei, så er det tre måter å fortsette reisen på (Fig. 49).

Ris. 49. Stialternativer

På samme måte resonnerer vi tre måter å fortsette reisen på, og begynner å komme langs 2., 3. og 4. vei. Dette betyr at det totalt er 4 3 = 12 måter å komme seg fra Anikeev til Vinogradov på.

La oss løse ett problem til.

En familie bestående av bestemor, far, mor, datter og sønn fikk utdelt 5 forskjellige kopper. På hvor mange måter kan kopper deles mellom familiemedlemmer?

Løsning. Det første familiemedlemmet (for eksempel bestemor) har 5 valg, det neste (la det være pappa) har 4 valg. Den neste (for eksempel mamma) vil velge mellom 3 kopper, den neste fra to, og den siste får en gjenværende kopp. La oss vise disse metodene i diagrammet (fig. 50).

Ris. 50. Opplegg for å løse problemet

Vi fant at for hvert valg av en kopp av bestemoren tilsvarer det fire mulige valg av faren, dvs. bare 5 4 måter. Etter at pappa har valgt en kopp, har mamma tre valg, datter har to, sønn har en, d.v.s. bare 3 2 1 måter. Til slutt finner vi ut at for å løse problemet må vi finne produktet 5 4 3 2 1.

Merk at vi har fått produktet av alle naturlige tall fra 1 til 5. Slike produkter er skrevet mer kort:

5 4 3 2 1 = 5! (les: "fem faktorial").

Faktoriell av et tall– produktet av alle naturlige tall fra 1 til dette tallet.

Så svaret på problemet er: 5! = 120, dvs. Kopper kan deles ut blant familiemedlemmer på hundre og tjue måter.

En sum er resultatet av addisjon, og ordet kan ikke bare referere til tall.

Forskjellen er det som oppnås etter å trekke fra tall.

Produkt er det som oppnås etter multiplikasjon, ordet har en annen betydning.

Kvotienten er det som oppnås etter deling.

jeg. Matematiske begreper SUM, FORSKJELL, PRODUKT, KVARTAL henger sammen med matematiske termer ADDITION, SUBTRASJON, MULTIPLIKASJON, DIVISJON.

Alle definisjoner er gitt her på settet av naturlige tall.

Hvert tallpar er tildelt et nummer som kalles deres BELØP.

Summen består av så mange enheter som det er i tall (kommandoer) fra et gitt par.

SUM er resultatet av å legge til tallleddene.

Subtraksjon er den inverse operasjonen av addisjon. Den består i å finne ett av leddene fra summen og det andre leddet. Denne summen kalles minuend, dette leddet kalles subtrahend, og det nødvendige leddet kalles VED FORSKJELL.

FORSKJELL- dette er tallet som er resultatet av subtraksjon, resten av subtraksjonen.

Hvert tallpar kan assosieres med et tall som består av så mange enheter som finnes i det første tallet fra paret, tatt like mange ganger som det er enheter i det andre tallet fra paret. Dette tallet som på denne måten tilsvarer et tallpar (de kalles faktorer) kalles ARBEID.

ARBEID er resultatet av multiplikasjon.

Divisjon er den inverse operasjonen av multiplikasjon.

Divisjon er å finne en av faktorene fra produktet og den andre faktoren. Dette produktet kalles delelig, denne faktoren kalles en divisor, og den nødvendige faktoren er PRIVAT, det vil si tallet som oppnås ved å dele ett tall med et annet.

II. ANDRE BETYDNINGER AV ORDENE SUM, FORSKJELL, PRODUKT, KVARTAL.

Alle ord som brukes som matematiske begreper kan ha andre leksikalske betydninger.

SUM V figurativ betydning betyr helheten total mengde noe.

For eksempel. Profesjonaliteten til en lærer ligger i mengden kunnskap, ferdigheter og evner han overfører til elevene sine. Mangelen på det nødvendige beløpet tvang meg til å forlate kjøpet.

FORSKJELL har betydningen forskjell, ulikhet, forskjell i noe.

For eksempel. Interesseforskjeller er mye verre enn forskjeller i alder. Vennskap kan begynne med ideen om felles synspunkter, og fiendskap kan begynne med forskjellige synspunkter.

ARBEID betyr noe som produseres i arbeidsprosessen, skapelsen av noe, et produkt av arbeid, kreativitet, kunst osv.

For eksempel. Høy kunstverk får en person til å tenke over livet sitt. På en konkurranse for unge pianister spilte gutten et stykke av P.I. Tsjaikovskij. Denne boksen er et ekte kunstverk.

PRIVAT- dette er noe personlig, personlig, som bare tilhører én person, det er hans eiendom, hans og bare hans eiendom. Og det være seg personlige tanker, det være seg eiendom eller noe annet, men det tilhører bare ham, en privatperson.

For eksempel. Vennen min ga meg notisbok med påskriften Privat. Er det bra å sette det private i kontrast til det offentlige?

Faktisk reflekterer alle fire ordene i spørsmålet, nemlig sum, forskjell, produkt og kvotient, fire grunnleggende matematiske operasjoner, som er det grunnleggende. Det er med å lære disse handlingene at den fascinerende reisen inn i matematikkens verden begynner. Slik,

Sum, forskjell, produkt, kvotient - dette er resultatet av matematiske operasjoner som vi alle begynte å bli kjent med matematikk med. I livet bruker vi også disse ordene, men vi legger mer matematisk betydning i dem, selv om vi ikke kan legge til tall. Et verk kan også være kunstnerisk. Dette er en helt annen betydning av ordet som vi bruker i livet.

Alle disse fire begrepene brukes først og fremst i matematikk.

En sum er når to tall legges sammen;

Differanse er subtraksjon av ett tall fra et annet;

En kvotient er delingen av ett tall med et annet;

Et produkt er multiplikasjon av ett tall med et annet.

Kvotienten er resultatet av å dele tall, produktet er resultatet av å multiplisere tall, summen er resultatet av å legge til tall, forskjellen er resultatet av subtraksjon. Dette er grunnleggende matematiske operasjoner som kan gjøres med tall.

Dette er matematiske begreper.

Summen er resultatet av addisjon. Tall som legges til kalles det første tillegget og det andre tillegget. Det er indikert med følgende tegn: +.

Forskjellen er resultatet av subtraksjonen. Tallene som trekkes fra kalles minuend (den som er større) og subtrahenden (den som er mindre). Indikert med følgende tegn: -.

Et produkt er et resultat av multiplikasjon. Tallene som multipliseres kalles den første faktoren og den andre faktoren. Det er indikert med følgende tegn: *.

Kvotienten er resultatet av divisjon. Tallene som deler kalles utbyttet (den som er større), divisoren (den som er mindre). Indikert med dette tegnet: :.

Alle disse konseptene undervises i grunnskolen.

I matematikk er det fire enkle operasjoner som kan brukes på to tall og få følgende resultater:

summen er resultatet av å legge til tall,

forskjellen er resultatet av å trekke ett tall fra et annet,

produkt er resultatet av å multiplisere tall,

kvotienten er allerede et resultat av å dele tall.

I matematikk er en sum et tall som oppnås ved å legge et tall til et annet. Differansen er det motsatte antallet addisjon, det er når det trekkes fra flere mindre. Et produkt er et tall som er et resultat av å multiplisere ett tall med et annet. Forskjellen er det motsatte tallet til produktet. Vi får forskjellen slik: del ett tall med et annet.

Jeg er matematiker av utdannelse, spesialitet: matematikklærer. Hun jobbet hele livet som matematikklærer ved et pedagogisk universitet.

Det er nødvendig å reservere. I fremtiden vil vi snakke om sum, forskjell, produkt, kvotient tall.

Svarene på disse spørsmålene, selv om de er enkle, forårsaker vanskeligheter for elevene. For å kunne vurdere dette generelle emnet mer detaljert, gjør jeg oppmerksom på det nyttig materiale på henne. Notatet heter Matematikk for blondiner.

Jeg likte studiemetoden.

Det stilles et provoserende spørsmål:

Er forskjellen delt eller multiplisert?

De prøver å interessere (ikke en eneste foreslått versjon er riktig!)))

Da svarer de:

Forskjellen er å ta bort. Resultatet av subtraksjonen kalles differansen.

På samme måte får vi:

Summen skal summeres. Resultatet av addisjon kalles summen.

Produktet er multiplikasjon. Resultatet av multiplikasjon kalles et produkt.

Kvotienten er en divisjon. Resultatet av divisjon kalles kvotienten.

Så på enkelt språk er forklart riktige konsepter sum, differanse, produkt og kvotient i matematikk. Bare setninger er skrevet litt forenklet: forskjell er å trekke fra, sum er å addere, produkt er å multiplisere, kvotient er å dividere. For å være presis sier de ikke det.

Så, resultatet av å legge til tall(vilkår) - disse er deres sum, resultatet av å trekke fra tall(minuend og subtrahend) - dette er forskjell, resultatet av å multiplisere tall(faktorer) er arbeid, A resultatet av å dele tall(deles med divisor), og divisor må ikke være lik null, ellers kan ikke delingen utføres, det er privat disse tallene.

Jeg tenker ikke på andre betydninger av disse ordene; matematikk overskygger alt.)))

Ordene Sum, Difference, Product og Partial er godt kjent for elever på skoler og andre utdanningsinstitusjoner lær dem disse definisjonene i hver mattetime.

1) Sum

En sum er resultatet oppnådd etter å legge til (+) to eller flere tall.

Beløpet er også den endelige kostnaden for produktet (beløpet som skal betales), den totale kunnskapen, inntrykk og mye mer.

2) Forskjell

I matematikk betyr det resultatet av å trekke fra et tall (-).

Ordet forskjell kan også brukes som et ord for forskjellen mellom noe. For eksempel forskjeller i meninger, forskjeller i synspunkter, forskjeller i indikatorer, etc.

3) Arbeid

Produktet er resultatet oppnådd etter å multiplisere tall (*).

I tillegg til matematikk, brukes også dette ordet for å betegne resultatet kreativ prosess(kunstverk), som et verb for å produsere.

4) Ærlig

Dette ordet angir resultatet av å dele to tall (:).

Vi kan også høre ordet privat når det betegner eierskapet til noe av én eier (privatperson, privat eiendom, privat virksomhet).

Oppgave 1.2
Gitt to heltall X og T. Hvis de har forskjellige fortegn, tilordne X verdien av produktet av disse tallene, og T verdien av deres absolutte forskjell. Hvis tallene har samme fortegn, tilordne X verdien av differansen modulo de opprinnelige tallene, og T verdien av produktet av disse tallene. Vis de nye X- og T-verdiene på skjermen.

Oppgaven er heller ikke vanskelig. "Misforståelser" kan bare oppstå hvis du har glemt hva en modulforskjell er (jeg håper du fortsatt husker hva produktet av to heltall er))).

Modulo forskjell på to tall

Modulo-forskjellen til to heltall (selv om det ikke nødvendigvis er heltall - det spiller ingen rolle, det er bare at i vår oppgave er tallene heltall) - dette, enkelt sagt, er når resultatet av beregningen er modulen til differansen til to tall.

Det vil si at først utføres operasjonen med å trekke ett tall fra et annet. Og deretter beregnes modulen til resultatet av denne operasjonen.

Matematisk kan det skrives slik:

Hvis noen har glemt hva en modul er eller hvordan man beregner den i Pascal, så se.

Algoritme for å bestemme tegnene til to tall

Løsningen på problemet som helhet er ganske enkel. Det eneste som kan forårsake vanskeligheter for nybegynnere er å identifisere tegnene til to tall. Det vil si at vi må svare på spørsmålet: hvordan finne ut om tall har de samme tegnene eller forskjellige.

For det første foreslår den en etter en sammenligning av tall med null. Dette er akseptabelt. Men kildekoden vil være ganske stor. Derfor er det mer riktig å bruke denne algoritmen:

1. Multipliser tall med hverandre
2. Hvis resultatet er mindre enn null, har tallene forskjellige fortegn
3. Hvis resultatet er null eller større enn null, har tallene samme fortegn

Jeg implementerte denne algoritmen som en separat . Og selve programmet ble som vist i eksemplene i Pascal og C++ nedenfor.

Løse oppgave 1.2 i Pascal programsjekknumre; var A, X, T: heltall; //************************************************** **************** // Sjekker om tallene N1 og N2 har samme fortegn. Hvis ja, returnerer // TRUE, ellers - FALSE //**************************************** * **************************** funksjon ZnakNumbers(N1, N2: heltall) : boolsk; begynne := (N1 * N2) >= 0; slutt; //************************************************** **************** // HOVEDPROGRAM //****************************** ************************************ start Write("X = ");

LesLn(X);#include #include ved å bruke navneområde std; int A, X, T; //************************************************** **************** // Sjekker om tallene N1 og N2 har samme fortegn. Hvis ja, returnerer // TRUE, ellers - FALSE //**************************************** * **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //************************************************** ****** ****************** // HOVEDPROGRAM //*********************** ****** ********************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Hvis tallene har samme fortegn ( A = abs(X - T); //Få forskjellen modulo de opprinnelige tallene T = X * T ) else // Hvis tallene har forskjellige fortegn ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; //Skriv verdien av A cout i X

Optimalisering

Dette et enkelt program Du kan forenkle det litt mer hvis du ikke bruker funksjonen og omarbeider kildekoden til programmet litt. Dette vil redusere det totale antallet linjer med kildekode litt. Hvordan gjøre dette - tenk selv.

I denne artikkelen vil vi finne ut hvordan du gjør det multiplisere heltall. La oss først introdusere termer og notasjoner, og også finne ut betydningen av å multiplisere to heltall. Etter dette vil vi få reglene for å multiplisere to positive heltall, negative heltall og heltall med forskjellige tegn. Samtidig vil vi gi eksempler med en detaljert forklaring på løsningsprosessen. Vi vil også berøre tilfeller av multiplikasjon av heltall når en av faktorene er lik en eller null. Deretter vil vi lære hvordan du sjekker det resulterende multiplikasjonsresultatet. Og til slutt, la oss snakke om å multiplisere tre, fire og flere heltall.

Sidenavigering.

Begreper og symboler

For å beskrive multiplikasjonen av heltall, vil vi bruke de samme begrepene som vi beskrev multiplikasjonen av naturlige tall med. La oss minne dem på.

Heltallene som multipliseres kalles multiplikatorer. Resultatet av multiplikasjon kalles arbeid. Multiplikasjonshandlingen indikeres med multiplikasjonstegnet på formen "·". I noen kilder kan du finne multiplikasjon notert med tegnene "*" eller "×".

Det er praktisk å skrive de multipliserte heltallene a, b og resultatet av deres multiplikasjon c ved å bruke en likhet på formen a·b=c. I denne notasjonen er heltall a den første faktoren, heltall b er den andre faktoren, og heltall c er produktet. av formen a·b vil også bli kalt et produkt, samt verdien av dette uttrykket c .

Ser vi fremover, legger vi merke til at produktet av to heltall representerer et heltall.

Betydningen av å multiplisere heltall

Multiplisere positive heltall

Positive heltall er naturlige tall, altså multiplisere positive heltall utføres i henhold til alle reglene for multiplisering av naturlige tall. Det er klart at multiplisering av to positive heltall resulterer i et positivt heltall (naturlig tall). La oss se på et par eksempler.

Eksempel.

Hva er produktet av de positive heltallene 127 og 5?

Løsning.

La oss presentere den første faktoren 107 som en sum av bitledd, det vil si i formen 100+20+7. Etter dette bruker vi regelen for å multiplisere summen av tall med et gitt tall: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5. Alt som gjenstår er å fullføre regnestykket: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

Dermed er produktet av de gitte positive heltallene 127 og 5 635.

Svare:

127·5=635.

For å multiplisere flersifrede positive heltall er det praktisk å bruke kolonnemultiplikasjonsmetoden.

Eksempel.

Multipliser det tresifrede positive heltall 712 med det tosifrede positive heltall 92.

Løsning.

La oss multiplisere disse positive heltallene i en kolonne:

Svare:

712·92=65.504.

Regel for å multiplisere heltall med forskjellige tegn, eksempler

Følgende eksempel vil hjelpe oss å formulere regelen for å multiplisere heltall med forskjellige fortegn.

La oss beregne produktet av det negative heltall −5 og heltall positivt tall 3 basert på betydningen av multiplikasjon. Så (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. For at den kommutative egenskapen til multiplikasjon skal forbli gyldig, må likheten (−5)·3=3·(−5) være oppfylt. Det vil si at produktet 3·(−5) også er lik −15. Det er lett å se at −15 lik produktet moduli av de opprinnelige faktorene, hvorfra det følger at produktet av de opprinnelige heltallene med forskjellige fortegn er lik produktet av modulene til de opprinnelige faktorene tatt med et minustegn.

Så vi fikk regel for å multiplisere heltall med forskjellige fortegn: for å multiplisere to heltall med forskjellige fortegn, må du multiplisere modulene til disse tallene og sette et minustegn foran det resulterende tallet.

Fra den oppgitte regelen kan vi konkludere med at produktet av heltall med forskjellige fortegn alltid er et negativt heltall. Faktisk, som et resultat av å multiplisere modulene til faktorene, får vi et positivt heltall, og hvis vi setter et minustegn foran dette tallet, blir det et negativt heltall.

La oss se på eksempler på beregning av produktet av heltall med forskjellige fortegn ved å bruke den resulterende regelen.

Eksempel.

Multipliser det positive heltall 7 med et heltall negativt tall −14 .

Løsning.

La oss bruke regelen for å multiplisere heltall med forskjellige fortegn. Modulene til multiplikatorene er henholdsvis 7 og 14. La oss beregne produktet av modulene: 7·14=98. Alt som gjenstår er å sette et minustegn foran det resulterende tallet: −98. Så, 7·(−14)=−98.

Svare:

7·(−14)=−98 .

Eksempel.

Regn ut produktet (−36)·29.

Løsning.

Vi må beregne produktet av heltall med forskjellige fortegn. For å gjøre dette, beregner vi produktet absolutte verdier multiplikatorer: 36·29=1,044 (det er bedre å multiplisere i en kolonne). Nå setter vi et minustegn foran tallet 1044, vi får −1044.

Svare:

(−36)·29=−1,044 .

For å avslutte dette avsnittet vil vi bevise gyldigheten av likheten a·(−b)=−(a·b) , der a og −b er vilkårlige heltall. Et spesielt tilfelle av denne likheten er den oppgitte regelen for å multiplisere heltall med forskjellige fortegn.

Med andre ord, vi må bevise at verdiene til uttrykkene a·(−b) og a·b er motsatte tall. For å bevise dette, la oss finne summen a·(−b)+a·b og sørge for at den er lik null. På grunn av den distributive egenskapen til multiplikasjon av heltall i forhold til addisjon, er likheten a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) sann. Summen (−b)+b er lik null som summen av motsatte heltall, da a·((−b)+b)=a·0. Siste stykke er lik null med egenskapen til å multiplisere et heltall med null. Dermed er a·(−b)+a·b=0, derfor er a·(−b) og a·b motsatte tall, noe som innebærer likheten a·(−b)=−(a·b) . På samme måte kan vi vise at (−a) b=−(a b) .

Regel for å multiplisere negative heltall, eksempler

Likheten (−a)·(−b)=a·b, som vi nå skal bevise, vil hjelpe oss å få regelen for å multiplisere to negative heltall.

På slutten av forrige avsnitt viste vi at a·(−b)=−(a·b) og (−a)·b=−(a·b) , så vi kan skrive følgende kjede av likheter (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). Og det resulterende uttrykket −(−(a·b)) er ikke annet enn a·b på grunn av definisjonen av motsatte tall. Så, (−a)·(−b)=a·b.

Den påviste likheten (−a)·(−b)=a·b lar oss formulere regel for å multiplisere negative heltall: Produktet av to negative heltall er lik produktet av modulene til disse tallene.

Av den oppgitte regelen følger det at resultatet av å multiplisere to negative heltall er et positivt heltall.

La oss vurdere bruken av denne regelen når vi utfører multiplikasjon av negative heltall.

Eksempel.

Beregn produktet (−34)·(−2) .

Løsning.

Vi må multiplisere to negative heltall −34 og −2. La oss bruke den tilsvarende regelen. For å gjøre dette finner vi modulene til multiplikatorene: og . Det gjenstår å beregne produktet av tallene 34 og 2, som vi vet hvordan vi skal gjøre. Kort fortalt kan hele løsningen skrives som (−34)·(−2)=34·2=68.

Svare:

(−34)·(−2)=68 .

Eksempel.

Multipliser det negative heltall -1041 med det negative heltall -538.

Løsning.

I henhold til regelen for å multiplisere negative heltall, er det ønskede produktet lik produktet av modulene til faktorene. Modulene til multiplikatorene er henholdsvis 1041 og 538. La oss gjøre kolonnemultiplikasjon:

Svare:

(−1,041)·(−538)=560,058 .

Multiplisere et heltall med ett

Å multiplisere et hvilket som helst heltall a med én resulterer i tallet a. Vi har allerede nevnt dette da vi diskuterte betydningen av å multiplisere to heltall. Så a·1=a . På grunn av den kommutative egenskapen til multiplikasjon, må likheten a·1=1·a være sann. Derfor er 1·a=a.

Resonnementet ovenfor fører oss til regelen for å multiplisere to heltall, hvorav ett er lik ett. Produktet av to heltall der en av faktorene er én er lik den andre faktoren.

For eksempel, 56·1=56, 1·0=0 og 1·(−601)=−601. La oss gi et par flere eksempler. Produktet av heltallene -53 og 1 er -53, og produktet av ett og det negative heltall -989.981 er -989.981.

Multiplisere et heltall med null

Vi ble enige om at produktet av ethvert heltall a og null er lik null, det vil si a·0=0. Den kommutative egenskapen til multiplikasjon tvinger oss til å akseptere likheten 0·a=0. Slik, produktet av to heltall der minst én av faktorene er null er lik null. Spesielt er resultatet av å multiplisere null med null null: 0·0=0.

La oss gi noen eksempler. Produktet av det positive heltall 803 og null er lik null; resultatet av å multiplisere null med det negative heltall -51 er null; også (−90 733)·0=0 .

Merk også at produktet av to heltall er lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene er lik null.

Kontrollere resultatet av å multiplisere heltall

Kontrollere resultatet av å multiplisere to heltall utføres ved bruk av divisjon. Det er nødvendig å dele det resulterende produktet med en av faktorene hvis dette resulterer i et tall som er lik den andre faktoren, ble multiplikasjonen utført riktig. Hvis resultatet er et tall som er forskjellig fra den andre termen, ble det gjort en feil et sted.

La oss se på eksempler der resultatet av å multiplisere heltall kontrolleres.

Eksempel.

Som et resultat av å multiplisere to heltall −5 og 21, ble tallet −115 regnet ut.

Løsning.

La oss sjekke. For å gjøre dette, del det beregnede produktet −115 med en av faktorene, for eksempel −5., sjekk resultatet. (−17)·(−67)=1 139 .

Multiplisere tre eller flere heltall

Den kombinatoriske egenskapen til multiplikasjon av heltall lar oss unikt bestemme produktet av tre, fire eller flere heltall. Samtidig lar de gjenværende egenskapene til multiplikasjon av heltall oss hevde at produktet av tre eller flere heltall ikke er avhengig av metoden for å plassere parenteser og rekkefølgen av faktorene i produktet. Vi underbygget lignende påstander da vi snakket om å multiplisere tre eller flere naturlige tall. Når det gjelder heltallsfaktorer, er begrunnelsen helt den samme.

La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Regn ut produktet av fem heltall 5, −12, 1, −2 og 15.

Løsning.

Vi kan sekvensielt fra venstre til høyre erstatte to tilstøtende faktorer med deres produkt: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1800. Dette alternativet for å beregne produktet tilsvarer følgende metode for å arrangere parentes: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.

Vi kan også omorganisere noen faktorer og ordne parentesene annerledes hvis dette tillater oss å beregne produktet av de gitte fem heltallene mer effektivt. For eksempel var det mulig å omorganisere faktorene i følgende rekkefølge 1·5·(−12)·(−2)·15, og deretter ordne parentesene slik ((1·5)·(−12))·((−2)·15). I dette tilfellet vil beregningene være som følger: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Som du kan se, ulike alternativer plassering av parentes og ulike rekkefølger av faktorer førte oss til samme resultat.

Svare:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

Separat merker vi at hvis det i et produkt er tre, fire osv. av heltall er minst én av faktorene lik null, så er produktet lik null. For eksempel er produktet av fire heltall 5, −90321, 0 og 111 lik null; Resultatet av å multiplisere tre heltall 0, 0 og -1983 er også null. Det motsatte er også sant: hvis produktet er lik null, så er minst én av faktorene lik null.