Inndeling. Teknologisk leksjonskart

Emne: Inndeling naturlige tall(5. klasse) lærer Golikova Tatyana

Georgievna

Mål: gjenta metoden for å løse eksempler ved divisjon, tabell

multiplikasjon, divisjonsegenskaper, regler for divisjon etter sifferenhet,

typer vinkler, "hva betyr det å løse en ligning," finne ukjente

elementer i ligningen;

utvikle matematisk tale, oppmerksomhet, syn,

kognitiv aktivitet, evne til å analysere, gjøre

antakelser, begrunn dem, klassifiser dem;

innføre ferdigheter og evner praktisk anvendelse matematikk,

tegneferdigheter;

utvikling logisk tenkning, evne til å analysere avhengighet

mellom verdier, positiv oppfatning av ukrainsk

opprettholde helse, evnen til å evaluere sin kunnskap, skape en situasjon

suksess, følelsen av "Jeg KAN", "Jeg KAN GJØRE ALT",

øke selvtilliten, utvikle intern aktivitet gjennom

følelser og forståelse av materialet, bevissthet om viktigheten av kunnskap i livet

person.

Leksjonstype: øve ferdigheter og evner

Metoder: forklarende - illustrerende, spilling, interaktiv

Skjemaer: heuristisk samtale, pararbeid, gjensidig kontroll, arbeid i små grupper, "jeg selv - alle sammen", rollespill

Utstyr: interaktiv tavle, kort forskjellige typer, markør,

7 ark A4, fargekodet, tape.

Timeplan

1. Spirituelt - estetisk 2 min

2. Motiverende 3min

3. Kontroll av lekser 5 min

5. Kroppsøving minutt 3 min

7. Hjemmelekser 2 minutter

8. Refleksjon 4min

9.Evaluerende 4min

1 Åndelig - estetisk

Alle barna reiste seg raskt.

God ettermiddag, sett deg ned

For å gjøre deg klar til arbeid, foreslår jeg at du gjentar multiplikasjonstabellen

Plukk opp en blyant, et kort og løs de foreslåtte eksemplene på 1,5 minutter, og les deretter ordene i stigende rekkefølge av tall.

Finn hvilket tall som "rømte" fra rekken av naturlige tall?

La oss sjekke unisont. Læreren ringer nummeret, og elevene ringer ordet.

6:3=2 27:9=3 16:4=4

Å kjøre skip

30:6=5 42:6=7 72:9=8 36:4=9

Å fly inn i himmelen

30:3=10 44:4=11 36:3=12

Du trenger å vite mye

26:2=13 42:3=14 150:10=15

Det er mye å vite.

La dette kvadet være mottoet for dagens leksjon

2. Motiverende

Jeg foreslår å løse gåten på ukrainsk

LEDINE, NILDIK, KASCHAT, TOKBUDO

Hvor lenge semantiske grupper kan disse konseptene skilles?

(Du må motta to svaralternativer og begrunne dem)

Tema for dagens leksjon INNDELING

De åpnet notatbøkene sine og skrev ned nummeret, Klasse arbeid

3. Sjekke lekser. Oppdatering av kunnskap

Vi byttet notatbøker og sjekket "kjære kolleger"

Er det noen som ikke har fullført arbeidet?

Hvem fant mer enn to feil?

Takk til inspektørene, returner notatbøkene til naboene dine.

Hvilken regel møtte du når du utførte d/z?

Hvilke andre eiendommer kan du nevne?

4.1 øvelse 1

Jeg foreslår at du drar på tur "I dyreverdenen"

Ta eksempelkortene og løs dem i notatbøkene dine. Vær oppmerksom på at ikke alle eksempler er løst skriftlig.

Arbeidet gis 4-5 minutter. Etter fullføring godtar læreren svarene, sjekker dem med den tilsvarende gruppen og skriver med en tusj på arkene. Grupper svarer i hvilken som helst rekkefølge. Læreren foreslår å ordne arkene i riktig rekkefølge for å få en historie (arkene er bestilt som en regnbue)

Rød Oransje Gul Grønn

1) 13000:1000; 1)120000:1000; 1) 300000:10000; 1) 35000:100;

2) 432:24; 2) 476:28; 2) 960:64; 2) 4485:23;

3) 11092:47 3) 6765:123. 3) 7956:234 3) 2790:62.

Lyseblå Blå Lilla

1) 43000:1000; 1) 11000:100; 1) 1400000:100000;

2) 1856:64 ; 2) 1734:34; 2) 5166:63;

3) 9126:234. 3) 3608:164. 3) 3210:214.

Gorilla sover 13000:1000= 13 timer i døgnet, hver dag 432:24=18 timer i døgnet, og i en dvaletilstand, kan et pinnsvin overleve uten mat 11092:47=236 dager

oransje

Fiskens hastighet er sverdet 120000:1000120km/t, og hastigheten på abboren

476:28=17 km/t, og hastigheten til en hai 6765: 12355 km/t

Hester lever opp til 300000:10000=30 år, og hunder opp til 960:64=15 år gammel, og hundens livsrekord er 7956:234=34 år

Vekt isbjørn når 35000:100=350kg, blåhval opp til 4485:23=195 tonn, og vekten til den østeuropeiske hyrden 2790:62=45 kg

Hos mennesker normal temperatur kropp 36.6 0 , den høyeste av alle varmblodsduer og ender, opp til 43000:1000=43 0 , og den laveste er i maurslukeren 1856:64=29 0 , hundens kroppstemperatur 9126:234= 39 0 .

Drue snegl tåler 11000:100=110 0 frost, men dør når 1734:34= 51 0 varme. Komfortabel lufttemperatur for mennesker 3608:164=22 0

Fiolett

Lengde på en stor anakonda funnet i Sør Amerika, kan nå 1400000:100000=14m og i diameter 5166:63= 82 cm. Og bygningene til afrikanske termittkrigere når en høyde 3210:214=15m

4.2 oppgave 2.

Det er greit hvis vi ikke vet svaret på et spørsmål. Det viktigste er å ville finne svaret. Vi har allerede fortalt deg at hvis du er syk eller går glipp av en leksjon av en eller annen grunn, eller noe ikke fungerer for deg, har vi en fantastisk LÆREBOK-assistent! Vi skal nå løse ligninger hvis noen har glemt hvordan man finner et ukjent element i en ligning, så ikke vær lat med å lese side 124 i læreboken;

Løs ligning nr. 470(3,4,6)

Ved vinduet nr. 470(3)

Middels №470(4)

På dør nr. 470(6)

Ved å bruke representanten fra serien løses likninger. En tilleggsoppgave for de som raskt mestret ligningen «I AM WELL DONE! »

"JEG ER FERDIG! » (10x-4x)∙21=2268.

№470(3) №470(4) №470(6)

Jeg er ferdig!

11x+6x=408; 33m- m=1024 ; 476:x=14 (10x-4x)∙21=2268.

x=24m=32 x=34 x=18

Nøkler til ligninger

X=204, P=32, M=304, !=18; Yu=302, A=34, U=24, K=3.

De riktige svarene er "HURRA!"

5. Kroppsøvingsminutt

Vi er lei av å sitte,

Du trenger bare litt lesing.

Hendene opp, hendene ned,

Beundre susida!

Hendene opp, hendene på hoftene,

І tjene litt skoki.

Shvidko satte seg ned og satte seg.

Beina ble matte.

Plasser i dalen en gang.

For arbeid. Alt er flott!

De rettet opp ryggen og la hendene på skrivebordet.

For å organisere oppmerksomheten, spillet "CORNERS"

Forestilling skarpt hjørne, rett, stump, utvidet, 30 0, 70 0, 97 0, 150 0 osv., rhumb?

Oppgave nr. 487

Vi leser, tegner et diagram, analyserer, finner en løsning, skriver ned.

La oss se hva som skjer på lysbildet

La oss iscenesette det med elevene.

Å lage et bord


			24 km mindre

1) 58∙4=232(km) det første toget reiste

2) 232+24=256(km) det andre toget kjørte

3) 256:4=64(km/t)

Svar: det andre toget kjørte med en hastighet på 64 km/t

7. Lekser

Klarer du denne oppgaven hjemme? La oss skrive ned d/z.

nr. 488, nr. 471 (II kolonne), gjenta reglene for å løse likninger, kreativ oppgave (rumb)

8. Refleksjon

Game of Know and Dunno

Znayka spør Dunno om egenskapene til divisjon, reglene for å finne elementene i en ligning, hvordan kvotienten vil endre seg hvis...

Og vet ikke svarer!

Vi har noen ubrukte blader på bordet. De viser prikker. Hva slags arbeid er dette? (grafisk diktat)

Hvor mange prikker er det på papiret? Hvor mange spørsmål blir det? Jeg minner deg om svarene

"Ja" ; "Nei" ; ikke sikker

· · · · · · · ·

1. Tall ved deling kalles utbytte, divisor, kvotient

2. Jeg innså at deling ikke er vanskelig i det hele tatt

3. Å finne ukjent deler, må du dele utbyttet på kvotienten

4. For å finne en ukjent faktor må du dele produktet på den kjente faktoren

5. I dag i timen var jeg interessert.

6. Jeg jobbet samvittighetsfullt i klassen.

7. Jeg er stolt av meg selv.

Assistentene samler kort på rekke og rad, og læreren annonserer karakterene.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·

I denne artikkelen skal vi se på reglene og algoritmene for å dele naturlige tall. La oss umiddelbart merke oss at her ser vi bare på divisjon som en helhet, det vil si uten en rest. Les om å dele naturlige tall med en rest i vårt separate materiale.

Før du formulerer regelen for å dele naturlige tall, må du forstå sammenhengen mellom divisjon og multiplikasjon. Etter at vi har etablert denne forbindelsen, vil vi sekvensielt vurdere de enkleste tilfellene: å dele et naturlig tall med seg selv og med en. Deretter vil vi analysere divisjon ved hjelp av multiplikasjonstabellen, divisjon med sekvensiell subtraksjon, divisjon med tall som er multipler av 10, ulike potenser av 10.

For hvert tilfelle vil vi gi og vurdere eksempler i detalj. På slutten av artikkelen vil vi vise hvordan du sjekker divisjonsresultatet.

Sammenheng mellom divisjon og multiplikasjon

For å spore sammenhengen mellom divisjon og multiplikasjon, husk at divisjon er representert som å dele det opprinnelige delbare settet i flere identiske sett. Multiplikasjon innebærer å kombinere flere identiske sett til ett.

Divisjon er den inverse virkningen av multiplikasjon. Hva betyr det? La oss gi en analogi. La oss forestille oss at vi har b sett, som hver inneholder c objekter. Total objekter i alle sett er lik a. Multiplikasjon er foreningen av alle settene til ett. Matematisk vil det skrives slik:

Den omvendte prosessen med å partisjonere det resulterende generelle settet i b sett med objekter tilsvarer hver divisjon:

Basert på det som er sagt, kan vi gå videre til følgende uttalelse:

Hvis produktet av naturlige tall c og b er lik a, er kvotienten av a og b lik c. La oss skrive det om i bokstavform.

Hvis b c = a, så er a ÷ b = c

Ved å bruke den kommutative egenskapen til multiplikasjon kan vi skrive:

Det følger også at a ÷ c = b.

Basert på ovenstående kan vi formulere generell konklusjon. Hvis produktet av tallene c og b er lik a, så er kvotientene a ÷ b og a ÷ c lik henholdsvis c og b.

La oss oppsummere alt det ovennevnte og gi en definisjon av divisjon av naturlige tall.

Divisjon av naturlige tall

Divisjon - finne en ukjent faktor ved kjent verk og en annen kjent multiplikator.

Denne definisjonen vil bli grunnlaget som vi skal bygge regler og metoder for å dele naturlige tall på.

Divisjon ved sekvensiell subtraksjon

Vi snakket nettopp om divisjon i sammenheng med multiplikasjon. Basert på denne kunnskapen kan delingsoperasjonen gjennomføres. Imidlertid er det en annen tilnærming som er ganske enkel og verdig oppmerksomhet - divisjon ved sekvensiell subtraksjon. Denne metoden er intuitiv, så la oss se på den ved å bruke et eksempel, uten å gi teoretiske beregninger.

Overskrift

Hva er 12 delt på 4?

Med andre ord kan dette problemet formuleres som følger: det er 12 objekter (for eksempel appelsiner), og de må deles inn i like grupper på 4 objekter (sett i bokser med 4 stykker). Hvor mange slike grupper eller bokser med fire appelsiner hver blir det?

Trinn for trinn vil vi trekke 4 appelsiner fra den opprinnelige mengden og danne grupper på 4 til appelsinene går tom. Antall skritt vi må ta vil være svaret på det opprinnelige spørsmålet.

Av de 12 appelsinene, legg de fire første i en boks. Etter dette gjenstår 12 - 4 = 8 sitrusfrukter i den opprinnelige haugen med appelsiner. Av disse åtte tar vi 4 til i en annen boks. Nå er det 8 - 4 = 4 appelsiner igjen i den opprinnelige haugen med appelsiner. Fra disse fire stykkene kan du bare lage en ekstra, separat tredje boks, hvoretter 4 - 4 = 0 appelsiner vil forbli i den opprinnelige haugen.

Så vi mottok 3 esker, 4 varer hver. Med andre ord, vi delte 12 på 4, og resultatet ble 3.

Når du arbeider med tall, trenger du ikke tegne en analogi med objekter hver gang. Hva gjorde vi med utbytte og divisor? Vi trakk suksessivt divisoren fra utbyttet til vi fikk en null rest.

Viktig!

Når du dividerer med den sekvensielle subtraksjonsmetoden, er antallet subtraksjonsoperasjoner inntil en null rest er oppnådd kvotienten av divisjonen.

For å forsterke dette, la oss se på et annet, mer komplekst eksempel.

Eksempel 1: Divisjon ved sekvensiell subtraksjon

La oss beregne resultatet av å dele tallet 108 med 27 ved å bruke den sekvensielle subtraksjonsmetoden.

Første handling: 108 - 27 = 81.

Andre handling: 81 - 27 = 54.

Tredje handling: 54 - 27 = 27.

Fjerde handling: 27 - 27 = 0.

Ingen ytterligere handling er nødvendig. Vi fikk svaret:

Merk at denne metoden bare er praktisk i tilfeller der det nødvendige antallet påfølgende subtraksjoner er lite. I andre tilfeller er det tilrådelig å bruke delingsreglene, som vi vil vurdere nedenfor.

Divisjon av like naturlige tall

I henhold til egenskapene til naturlige tall formulerer vi en regel om hvordan man deler like naturlige tall.

Divisjon av like naturlige tall

Kvotienten til et naturlig tall delt på dets like naturlige tall er lik en!

For eksempel:

1 ÷ 1 = 1; 141 ÷ 141 = 1; 2589 ÷ 2589 = 1; 100000000 ÷ 100000000 = 1.

Divisjon med en

Ut fra egenskapene til naturlige tall kan vi også formulere en regel for å dele et naturlig tall med ett.

Å dele et naturlig tall med en

Kvotienten til ethvert naturlig tall delt på én er lik selve tallet som deles.

For eksempel:

1 ÷ 1 = 1; 141 ÷ 1 = 141; 2589 ÷ 1 = 2589; 100000000 ÷ 1 = 100000000.

Multiplikasjonstabellen er et praktisk verktøy som lar deg finne produkter av ensifrede naturlige tall. Den kan imidlertid også brukes til deling.

Multiplikasjonstabellen lar deg finne ikke bare resultatet av et produkt av faktorer, men også en faktor fra et kjent produkt og en annen faktor. Som vi fant ut tidligere, er divisjon nettopp å finne en ukjent faktor fra et kjent produkt og en annen faktor.

Ved å bruke multiplikasjonstabellen kan du dele et hvilket som helst tall på gul bakgrunn med et ensifret naturlig tall. Vi viser deg hvordan du gjør det. Det er to metoder, bruken av som vi vil vurdere med eksempler.

Del 48 med 6.

Metode én.

I kolonnen hvis øverste celle inneholder divisor 6, finner vi utbyttet 48. Resultatet av delingen er i cellen lengst til venstre i raden som inneholder utbyttet. Den er innringet i blått.

Metode to.

Først, på linje med divisor 6, finner vi utbytte 48. Resultatet av delingen er i den øverste cellen i kolonnen som inneholder utbyttet. Den er innringet i blått.

Så vi delte 48 på 6 og fikk 8. Resultatet ble funnet ved hjelp av multiplikasjonstabellen på to måter. Begge metodene er helt identiske.

For å forsterke dette, la oss se på et annet eksempel. Del 7 med 1. Her er noen bilder som illustrerer delingsprosessen.

Som et resultat av å dele tallet 7 med 1, gjettet du det, oppnås tallet 7. Ved divisjon ved bruk av multiplikasjonstabellen er det veldig viktig å kunne denne tabellen utenat, siden det ikke alltid er mulig å ha den for hånden.

Del med 10, 100, 1000 osv.

La oss umiddelbart formulere regelen for å dele naturlige tall med 10, 100, 1000 osv. La oss umiddelbart anta at deling uten rest er mulig.

Del med 10, 100, 1000 osv.

Resultatet av å dele et naturlig tall med 10, 100, 1000 osv. er et naturlig tall hvis notasjon er hentet fra notasjonen av utbyttet hvis 1, 2, 3 osv. er forkastet til høyre for det. nuller.

Så mange nuller som det er i divisoroppføringen blir forkastet!

For eksempel, 30 ÷ 10 = 3. Vi fjernet en null fra tallet 30.

Kvotienten på 120000 ÷ 1000 er lik 120 - fra tallet 120000 forkaster vi tre nuller til høyre, det er hvor mange som er inneholdt i divisoren.

Begrunnelsen for regelen er basert på regelen for å multiplisere et naturlig tall med 10, 100, 1000 osv. La oss gi et eksempel. La oss si at vi må dele 10200 på 100.

10200 = 102100

10200 ÷ 100 = 102 100 100 = 102.

Representasjon av utbytte som et produkt

Når du deler naturlige tall, ikke glem egenskapen til å dele produktet av to tall med et naturlig tall. Noen ganger kan utbyttet representeres som et produkt, en av faktorene som er delt med divisor.

La oss se på typiske tilfeller.

Eksempel 2. Å representere utbyttet som et produkt

Del 30 med 3.

Utbyttet 30 kan representeres som produktet 30 = 3 10.

Vi har: 30 ÷ 3 = 3 10 ÷ 3

Ved å bruke egenskapen til å dele produktet av to tall får vi:

3 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 10 = 1 10 = 10

La oss gi noen flere lignende eksempler.

Eksempel 3. Å representere utbyttet som et produkt

La oss beregne kvotienten 7200 ÷ 72.

Vi representerer utbyttet som 7200 = 72 100. I dette tilfellet vil resultatet av delingen være som følger:

7200 ÷ 72 = 72 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

Eksempel 4. Representasjon av utbyttet som et produkt

La oss beregne kvotienten: 1600000 ÷ 160.

1600000 = 16010000

1600000 ÷ 160 = 160 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 10000 = 10000

I mer komplekse eksempler Det er praktisk å bruke multiplikasjonstabellen. La oss illustrere dette.

Eksempel 5. Å representere utbyttet som et produkt

Del 5400 med 9.

Multiplikasjonstabellen forteller oss at 54 er delelig med 9, så det er lurt å representere utbyttet som et produkt:

5400 = 54 100.

La oss nå fullføre divisjonen:

5400 ÷ 9 = 54 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 100 = 6 100 = 600

Å sikre av dette materialet La oss se på et annet eksempel, uten detaljerte verbale forklaringer.

Eksempel 6. Representasjon av utbyttet som et produkt

La oss regne ut hvor mye 120 delt på 4 er.

120 ÷ 4 = 12 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 10 = 3 10 = 30

Å dele naturlige tall som slutter på null

Når du deler tall som ender på 0, er det nyttig å huske egenskapen til å dele et naturlig tall med produktet av to tall. I dette tilfellet er divisor representert som et produkt av to faktorer, hvoretter denne egenskapen brukes i forbindelse med multiplikasjonstabellen.

Som alltid vil vi forklare dette med eksempler.

Eksempel 7. Å dele naturlige tall som slutter på 0

Del 490 med 70.

La oss skrive 70 som:

Ved å bruke egenskapen til å dele et naturlig tall med et produkt, kan vi skrive:

490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7.

Vi har allerede diskutert deling med 10 i forrige avsnitt.

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

For å forsterke dette, la oss se på et annet, mer komplekst eksempel.

Eksempel 8: Å dele naturlige tall som slutter på 0

La oss ta tallene 54000 og 5400 og dele dem.

54000 ÷ 5400 = ?

La oss representere 5400 som 54 100 og skrive:

54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54.

Nå representerer vi utbyttet 540 som 54 10 og skriver:

540 ÷ 54 = 54 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 10 = 10

54000 ÷ 5400 = 10.

La oss oppsummere det som står i denne paragrafen.

Viktig!

Hvis oppføringene for utbytte og divisor inneholder nuller til høyre, må du kvitte deg med samme antall nuller i både utbytte og divisor. Etter dette deler du de resulterende tallene.

For eksempel vil å dele tallene 64000 og 8000 reduseres til å dele tallene 64 og 8.

Privat valgmetode

Før vi vurderer denne inndelingsmetoden, introduserer vi noen forhold.

La tallene a og b være delelige med hverandre, og produktet b · 10 gir et tall større enn a. I dette tilfellet er kvotienten a ÷ b et naturlig tall med én verdi. Det er med andre ord et tall fra 1 til 9. Dette er en typisk situasjon når kvotevalgmetoden er praktisk og anvendelig. Sekvensielt multiplisere divisor med 1, 2, 3, . . , 9 og sammenligne resultatet med utbyttet, kan du finne kvotienten.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 9. Valg av privat

Del 108 med 27.

Det er lett å se at 27 · 10 = 270 ; 270 > 108.

La oss begynne å velge en privat.

27 1 = 27 27 2 = 54 27 3 = 81 27 4 = 108

Bingo! Kvotienten ble funnet ved å bruke seleksjonsmetoden:

Legg merke til at i tilfeller hvor b · 10 > a er det også praktisk å finne kvotienten ved hjelp av sekvensiell subtraksjon.

Representerer utbyttet som en sum

En annen måte som kan hjelpe å finne kvotienten er å representere utbyttet som summen av flere naturlige tall, som hver enkelt er lett delelig med divisor. Etter dette vil vi trenge egenskapen å dele summen av naturlige tall med et tall. Sammen med et eksempel vil vi vurdere algoritmen og svare på spørsmålet: i form av hvilke vilkår skal vi representere utbyttet?

La utbyttet være 8551 og divisoren være 17.

La oss beregne hvor mange flere sifre det er i notasjonen av utbyttet enn i notasjonen til divisoren. I vårt tilfelle inneholder divisor to tegn, og utbyttet inneholder fire. Dette betyr at utbyttet har to flere desimaler. Husk nummer 2.
Legg til to nuller til høyre for divisoren. Hvorfor to? I forrige avsnitt bestemte vi nettopp dette tallet. Imidlertid, hvis det resulterende tallet viser seg å være større enn divisoren, må du trekke 1 fra tallet oppnådd i forrige avsnitt. I vårt eksempel, ved å legge til nuller til divisoren, fikk vi tallet 1700< 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
Til tallet 1 til høyre tildeler vi nuller i mengden bestemt av tallet fra forrige avsnitt. Dermed får vi en arbeidsenhet av utslippet, som vi vil operere videre med. I vårt tilfelle er to nuller tilordnet en. Arbeidskategori - hundrevis.
Vi multipliserer divisoren med 1, 2, 3 osv. enheter av arbeidssifferet til vi får et tall som er større enn utbyttet. 17 100 = 1700; 17 · 200 = 3400; 17 · 300 = 5100; 17 · 400 = 6400; 17 · 500 = 8500; 17 · 600 = 10200 Vi er interessert i det nest siste resultatet, siden det neste resultatet av produktet etter det er større enn utbyttet. Tallet 8500, som ble oppnådd i det nest siste trinnet av multiplikasjon, er det første tillegget. Husk likheten som vi vil bruke videre: 8500 = 17 500.
Vi beregner differansen mellom utbyttet og det funnet løpetid. Hvis det ikke er lik null, går vi tilbake til det første punktet og begynner søket etter det andre leddet, ved å bruke den allerede oppnådde forskjellen i stedet for utbyttet. Vi gjentar trinnene til resultatet er null. I vårt eksempel er forskjellen 8551 - 8500 = 51. 51 ≠ 0, gå derfor til punkt 1.

Vi gjentar algoritmen:

Vi sammenligner antall sifre i det nye utbyttet 51 og deleren 17. Begge oppføringene har to sifre, forskjellen i antall tegn er null. Husk tallet 0.
Siden vi husker tallet 0, er det ikke nødvendig å legge til ytterligere nuller til divisoren.
Vi vil heller ikke legge til nuller til én. Igjen, for i første avsnitt husket vi tallet 0. Dermed er vårt arbeidssiffer enheter
Vi multipliserer suksessivt 17 med 1, 2, 3, . . etc. Vi får: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34; 17 3 = 51.
Tydeligvis, i det tredje trinnet fikk vi et tall som er lik divisor. Dette er andre periode. Siden 51 - 51 = 0, stopper vi søket etter termer på dette stadiet - det er fullført.

Nå gjenstår det bare å finne kvotienten. Vi presenterte utbyttet 8551 som summen 8500 + 51. La oss skrive ned:

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17.

Resultatene av inndelinger i parentes er kjent for oss fra tidligere handlinger.

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503.

Resultat av deling: 8551 ÷ 17 = 503.

La oss se på noen flere eksempler, uten å kommentere hver handling så detaljert.

Eksempel 10. Å dele naturlige tall

La oss finne kvotienten: 64 ÷ 2.

1. Utbyttet har ett tegn mer enn deleren. Husk nummer 1.

2. Vi tildeler én null til høyre for divisoren.

3. Vi legger til en null til tallet 1 og får enheten til arbeidssifferet - 10. Arbeidskategorien er altså tiere.

4. Vi begynner sekvensiell multiplikasjon av deleren med enheter av arbeidssifferet. 2 · 10 = 20; 220 = 40; 2 · 30 = 60; 2 · 40 = 80; 80 > 64.

Det første begrepet som ble funnet er tallet 60.

Likheten 60 ÷ 2 = 30 vil være nyttig for oss i fremtiden.

5. Vi ser etter andre periode. For å gjøre dette, beregne forskjellen 64 - 60 = 4. Tallet 4 er delelig med 2 uten en rest, dette er åpenbart det andre leddet.

Nå finner vi kvotienten:

64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32.

Eksempel 11. Divisjon av naturlige tall

La oss løse: 1178 ÷ 31 = ?

1. Vi ser at utbyttet har to flere sifre enn divisoren. Husk nummer 2.

2. Legg til to nuller til divisoren til høyre. Vi får tallet 3100.

3100 > 1178, så det lagrede tallet 2 fra det første punktet må reduseres med én.

3. Vi legger til en null til den til høyre og får arbeidssifferet - tiere.

4. Multipliser 31 med 10, 20, 30, . . etc.

31 · 10 = 310; 31 · 20 = 620; 31 · 30 = 930; 31 40 = 1240

1240 > 1178, derfor er første ledd tallet 930.

5. Regn ut forskjellen 1178 - 930 = 248. Med tallet 248 i stedet for utbyttet begynner vi å se etter andre periode.

1. Tallet 248 har ett siffer mer enn tallet 31. Husk nummer 1.

2. Til 31 legger vi til en null til høyre. Siden 310 > 248 reduserer vi enheten oppnådd i forrige avsnitt, og som et resultat har vi tallet 0.

3. Siden vi husker tallet 0, er det ikke nødvendig å legge til ytterligere nuller til enheten, og en-sifferet er arbeidssifferet.

4. Gang konsekvent 31 med 1, 2, 3, . . osv., sammenligne resultatet med utbyttet.

31 · 1 = 31; 31 · 2 = 62; 31 · 3 = 93; 31 · 4 = 124; 31 · 5 = 155; 31 · 6 = 186; 31 · 7 = 217; 31 8 = 248

Dermed er det tallet 248 som er det andre leddet, som er delelig med 31.

5. Forskjellen 248 - 248 er null. Vi fullfører søket etter termer, husk forholdet 248 ÷ 31 = 8 og finner kvotienten.

1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38.

Vi øker gradvis kompleksiteten til eksemplene.

Eksempel 12. Divisjon av naturlige tall

Del 13984 med 32.

I dette tilfellet må algoritmen beskrevet ovenfor brukes tre ganger. Vi vil ikke gi alle beregningene, vi vil bare indikere i form av hvilke termer divisoren vil være representert. Du kan teste deg selv og gjøre beregningene selv.

Det første leddet er lik 12800.

12800 ÷ 32 = 400.

Det andre leddet er lik 960.

960 ÷ 32 = 30.

Det tredje leddet er lik 224.

Resultat:

13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437.

Det ser ut til at vi har vurdert nesten alt mulige måter deling av naturlige tall. På dette tidspunktet kan emnet betraktes som lukket. Det finnes imidlertid en metode som i noen tilfeller gjør at deling kan gjennomføres raskere og mer rasjonelt.

La oss se på det en siste gang.

Representasjon av utbyttet som differansen av naturlige tall

Noen ganger er det enklere og mer praktisk å representere utbyttet som en forskjell i stedet for en sum. Dette kan i stor grad fremskynde og lette delingsprosessen. Hvordan nøyaktig? La oss vise det med et eksempel.

Eksempel 13. Divisjon av naturlige tall

Del 594 med 6.

Hvis vi bruker algoritmen fra forrige avsnitt, får vi resultatet:

594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99.

Men hvis tallet 594 er representert som forskjellen 600 - 6, blir alt mye mer åpenbart. Begge tallene 600 og 6) er delbare med 6. Ved egenskapen til å dele forskjellen mellom naturlige tall får vi:

594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99

Resultatet er det samme, men handlingene er objektivt sett enklere og enklere.

La oss løse et annet eksempel ved å bruke samme metode. Merk at det er viktig å være i stand til å legge merke til hvilken manipulasjon som skal gjøres med tall for å utføre delingen enkelt. La oss til og med si at det er et element av kunst i dette.

Eksempel 14. Divisjon av naturlige tall

La oss huske multiplikasjonstabellen og forstå: tallet 483 kan enkelt representeres som 483 = 490 - 7.

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

Vi utfører delingen:

483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69.

Kontrollerer divisjonsresultatet

Å sjekke er aldri overflødig, spesielt hvis vi delte store tall. Hvordan sjekke om naturlige tall er delt riktig? Bruk multiplikasjon!

For å sjekke om divisjonen ble utført riktig, må du multiplisere kvotienten med divisor. Resultatet bør være utbyttet.

Betydningen av denne handlingen er veldig enkel. For eksempel hadde vi a objekter, og vi delte disse a objektene inn i b hauger. Hver haug inneholdt gjenstander. Matematisk ser det slik ut:

La oss nå kombinere tilbake alle b hauger med c elementer. Resultatet skal være det samme settet med objekter a.

La oss se på testen ved å bruke to eksempler.

Eksempel 15. Kontroll av resultatet av å dele naturlige tall

Tallet 475 er delt på 19. Resultatet ble 25. Er inndelingen utført riktig?

La oss multiplisere kvotienten av 25 med divisor av 19 og finne ut om tallene ble delt riktig.

25 19 = 475.

Tallet 475 er lik utbyttet, noe som betyr at delingen ble utført riktig.

Eksempel 16. Kontroll av resultatet av å dele naturlige tall

Del og sjekk resultatet:

Vi vil representere utbyttet som en sum av vilkår og gjennomføre delingen.

1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32.

La oss sjekke resultatet:

32 32 = 1024.

Konklusjon: delingen ble utført riktig.

Kontrollere resultatet av å dele tall med divisjon

Verifikasjonsmetoden diskutert ovenfor er basert på multiplikasjon. Det er også en divisjonsprøve. Hvordan gjennomføre det?

Kontrollerer delingsresultatet

For å sjekke om kvotienten ble funnet riktig, må du dele utbyttet på den resulterende kvoten. Resultatet skal være en divisor.

Hvis det slår annerledes ut, kan vi konkludere med at det har sneket seg inn en feil et sted.

Regelen bygger på samme sammenheng mellom utbytte, divisor og kvotient som regelen fra forrige ledd.

La oss se på eksempler.

Eksempel 17. Kontroll av resultatet av å dele naturlige tall

Er likheten sann:

La oss dele utbyttet med kvotienten:

104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13.

Resultatet er en divisor, som betyr at delingen ble gjort riktig.

Eksempel 18. Kontroll av resultatet av å dele naturlige tall

La oss regne ut og sjekke: 240 ÷ 15 = ?

Ved å representere utbyttet som en sum får vi:

240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16.

La oss sjekke resultatet:

240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15.

Inndelingen er gjort riktig.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Selv om matematikk virker vanskelig for de fleste, er det langt fra sant. Mange matematiske operasjoner er ganske enkle å forstå, spesielt hvis du kan reglene og formlene. Så når du kjenner multiplikasjonstabellen, kan du raskt multiplisere i tankene dine. Det viktigste er å hele tiden trene og ikke glemme multiplikasjonsreglene. Det samme kan sies om deling.

La oss se på inndelingen av heltall, brøker og negativer. La oss huske de grunnleggende reglene, teknikkene og metodene.

Divisjonsdrift

La oss kanskje starte med selve definisjonen og navnet på tallene som deltar i denne operasjonen. Dette vil i stor grad lette videre presentasjon og oppfatning av informasjon.

Divisjon er en av de fire grunnleggende matematiske operasjonene. Studiet begynner i grunnskole. Det er da barna får vist det første eksemplet på å dele et tall på et tall og reglene blir forklart.

Operasjonen involverer to tall: utbytte og divisor. Det første er tallet som deles, det andre er tallet som deles på. Resultatet av divisjon er kvotienten.

Det er flere notasjoner for å skrive denne operasjonen: ":", "/" og en horisontal linje - skriving i form av en brøk, når utbyttet er øverst, og divisor er under, under linjen.

Regler

Når du studerer en bestemt matematisk operasjon, er læreren forpliktet til å introdusere elevene til de grunnleggende reglene de bør kjenne til. Riktignok blir de ikke alltid husket så godt som vi ønsker. Det er derfor vi bestemte oss for å friske opp hukommelsen litt om de fire grunnleggende reglene.

Grunnleggende regler for å dele tall som du alltid bør huske:

1. Du kan ikke dele på null. Denne regelen bør huskes først.

2. Du kan dele null på et hvilket som helst tall, men resultatet vil alltid være null.

3. Hvis et tall deles på én, får vi samme tall.

4. Hvis et tall deles på seg selv, får vi ett.

Som du kan se, er reglene ganske enkle og enkle å huske. Selv om noen kan glemme en så enkel regel som umulig eller forveksle delingen av null med et tall med den.

per nummer

En av de mest nyttige regler- et tegn som bestemmer muligheten for å dele et naturlig tall med et annet uten rest. Dermed skilles tegnene på delbarhet med 2, 3, 5, 6, 9, 10 ut. La oss vurdere dem mer detaljert. De gjør det mye enklere å utføre operasjoner på tall. Vi gir også et eksempel for hver regel for å dele et tall med et tall.

Disse regelskiltene er ganske mye brukt av matematikere.

Test for delbarhet med 2

Det enkleste tegnet å huske. Et tall som ender på et partall (2, 4, 6, 8) eller 0 er alltid delelig med to. Ganske enkelt å huske og bruke. Så tallet 236 slutter med et partall, noe som betyr at det er delelig med to.

La oss sjekke: 236:2 = 118. Faktisk er 236 delelig med 2 uten en rest.

Denne regelen er best kjent ikke bare for voksne, men også for barn.

Test for delbarhet med 3

Hvordan dele tall med 3 riktig? Husk følgende regel.

Et tall er delelig med 3 hvis summen av sifrene er et multiplum av tre. La oss for eksempel ta tallet 381. Summen av alle sifre vil være 12. Dette er tre, som betyr at det er delelig med 3 uten en rest.

La oss også sjekke dette eksemplet. 381: 3 = 127, så er alt riktig.

Delbarhetstest for tall med 5

Alt er enkelt her også. Du kan dele med 5 uten en rest bare de tallene som slutter på 5 eller 0. La oss for eksempel ta tall som 705 eller 800. Det første ender på 5, det andre på null, derfor er de begge delbare med 5. Dette er en av de enkleste reglene som lar deg raskt dele med et ensifret tall 5.

La oss sjekke dette tegnet ved å bruke følgende eksempler: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Som du ser fungerer skiltet.

Delbarhet med 6

Hvis du vil finne ut om et tall er delelig med 6, må du først finne ut om det er delbart med 2, og deretter med 3. I så fall kan tallet divideres med 6 uten en rest , tallet 216 er delelig med 2 , siden det ender med et partall, og med 3, siden summen av sifrene er 9.

La oss sjekke: 216:6 = 36. Eksemplet viser at dette tegnet er gyldig.

Delbarhet med 9

La oss også snakke om hvordan man deler tall med 9. Summen av sifrene som er delbare med 9, er delt på dette tallet I likhet med regelen om å dele på 3. For eksempel tallet 918. La oss legge til alle sifrene og få 18. - et tall som er et multiplum av 9. Så det er delelig med 9 uten en rest.

La oss løse dette eksemplet for å sjekke: 918:9 = 102.

Delbarhet med 10

Et siste tegn å vite. Bare de tallene som ender på 0 er delbare med 10. Dette mønsteret er ganske enkelt og lett å huske. Så 500:10 = 50.

Det er alle hovedtegnene. Ved å huske dem kan du gjøre livet ditt enklere. Selvfølgelig er det andre tall som det er tegn på delbarhet for, men vi har bare fremhevet de viktigste.

Divisjonstabell

I matematikk er det ikke bare en multiplikasjonstabell, men også en divisjonstabell. Når du har lært det, kan du enkelt utføre operasjoner. I hovedsak er en divisjonstabell en omvendt multiplikasjonstabell. Å kompilere det selv er ikke vanskelig. For å gjøre dette, bør du skrive om hver linje fra multiplikasjonstabellen på denne måten:

1. Sett produktet av tallet på første plass.

2. Sett et divisjonstegn og skriv ned den andre faktoren fra tabellen.

3. Etter likhetstegnet skriver du ned den første faktoren.

Ta for eksempel følgende linje fra multiplikasjonstabellen: 2*3= 6. Nå skriver vi den om i henhold til algoritmen og får: 6 ÷ 3 = 2.

Ganske ofte blir barn bedt om å lage et bord på egenhånd, og dermed utvikle deres hukommelse og oppmerksomhet.

Hvis du ikke har tid til å skrive det, kan du bruke den som presenteres i artikkelen.

Typer divisjon

La oss snakke litt om delingstypene.

La oss starte med at vi kan skille mellom deling av heltall og brøker. Dessuten kan vi i det første tilfellet snakke om operasjoner med heltall og desimaler, og i den andre - bare om brøktall. I dette tilfellet kan en brøk være enten utbytte eller divisor, eller begge deler samtidig. Dette skyldes det faktum at operasjoner på brøker er forskjellige fra operasjoner på heltall.

Basert på tallene som deltar i operasjonen, kan to typer deling skilles: i ensifrede tall og i flersifrede. Det enkleste er å dele med et enkeltsifret tall. Her trenger du ikke utføre tungvinte beregninger. I tillegg kan en divisjonstabell være til god hjelp. Del inn i andre - to -, tresifrede tall- tyngre.

La oss se på eksempler for disse typer inndeling:

14:7 = 2 (divisjon med et enkeltsifret tall).

240:12 = 20 (divisjon med et tosifret tall).

45387: 123 = 369 (divisjon med et tresifret tall).

Den siste kan skilles ut ved divisjon, som involverer positive og negative tall. Når du arbeider med sistnevnte, bør du kjenne reglene som gir et resultat en positiv eller negativ verdi.

Når du deler tall med forskjellige tegn(utbyttet er et positivt tall, divisoren er negativ, eller omvendt) får vi et negativt tall. Når vi deler tall med samme fortegn (både utbytte og divisor er positive eller omvendt), får vi et positivt tall.

For klarhet, vurder følgende eksempler:

Inndeling av brøker

Så vi har sett på de grunnleggende reglene, gitt et eksempel på å dele et tall med et tall, la oss nå snakke om hvordan du korrekt utfører de samme operasjonene med brøker.

Selv om å dele brøker kan virke som mye arbeid i begynnelsen, er det faktisk ikke så vanskelig å jobbe med dem. Å dele en brøk gjøres omtrent på samme måte som å multiplisere, men med én forskjell.

For å dele en brøk, må du først multiplisere telleren av utbyttet med nevneren til divisoren og registrere det resulterende resultatet som telleren av kvotienten. Multipliser deretter nevneren til utbyttet med telleren til deleren og skriv resultatet som nevneren til kvotienten.

Det kan gjøres enklere. Omskriv divisorbrøken ved å bytte telleren med nevneren, og multipliser deretter de resulterende tallene.

La oss for eksempel dele to brøker: 4/5:3/9. Først, la oss snu divisoren og få 9/3. La oss nå gange brøkene: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Som du kan se, er alt ganske enkelt og ikke vanskeligere enn å dele med et ensifret tall. Eksemplene er ikke enkle å løse hvis du ikke glemmer denne regelen.

konklusjoner

Divisjon er en av de matematiske operasjonene som hvert barn lærer på barneskolen. Spise visse regler, som du bør kjenne til, teknikker som gjør denne operasjonen enklere. Divisjon kan være med eller uten en rest, det kan være deling av negative og brøktall.

Det er ganske enkelt å huske funksjonene til denne matematiske operasjonen. Vi har ordnet opp i det meste viktige poeng, vi så på mer enn ett eksempel på å dele et tall med et tall, vi snakket til og med om hvordan man jobber med brøktall.

Hvis du ønsker å forbedre kunnskapen om matematikk, anbefaler vi deg å huske disse enkle reglene. I tillegg kan vi råde deg til å utvikle hukommelse og hoderegning ferdigheter ved å gjøre matematiske diktater eller bare prøve å verbalt beregne kvotienten av to tilfeldige tall. Tro meg, disse ferdighetene vil aldri være overflødige.

La oss vurdere begrepet divisjon i problemet:
Det var 12 epler i kurven. Seks barn sorterte eplene. Hvert barn fikk like mange epler. Hvor mange epler har hvert barn?

Løsning:
Vi trenger 12 epler til å dele på seks barn. La oss skrive ned oppgave 12:6 matematisk.
Eller du kan si det annerledes. Hvilket tall må tallet 6 ganges med for å få tallet 12? La oss skrive oppgaven i form av en ligning. Vi vet ikke antall epler, så la oss betegne dem som variabelen x.

For å finne den ukjente x-en trenger vi 12:6=2
Svar: 2 epler til hvert barn.

La oss se nærmere på eksempelet 12:6=2:

Nummeret 12 kalles delelig. Dette er tallet som deles.
Tallet 6 kalles deler. Dette er tallet som deles på.
Og resultatet av å dele tallet 2 kalles privat. Kvotienten viser hvor mange ganger utbyttet er større enn divisoren.

I bokstavelig form ser inndelingen slik ut:
a:b=c
en- delelig,
b- deler,
c– privat.

Så hva er deling?

Inndeling- dette er den omvendte virkningen av en faktor, vi kan finne en annen faktor.

Divisjon kontrolleres ved multiplikasjon, det vil si:
en: b= c, sjekk med⋅b= en
18:9=2, sjekk 2⋅9=18

Ukjent multiplikator.

La oss vurdere problemet:
Hver pakke inneholder 3 stk julekuler. For å pynte juletreet trenger vi 30 kuler. Hvor mange pakker med julekuler trenger vi?

Løsning:
x – ukjent antall pakker med baller.
3 - stykker i en pakke ballonger.
30 – totalt baller.

x⋅3=30 vi må ta 3 så mange ganger for å få totalt 30. x er en ukjent faktor. Det er, For å finne det ukjente må du dele produktet på den kjente faktoren.
x=30:3
x=10.

Svar: 10 pakker ballonger.

Ukjent utbytte.

La oss vurdere problemet:
Hver pakke inneholder 6 fargeblyanter. Det er 3 pakker totalt. Hvor mange blyanter var det totalt før de ble lagt i pakker?

Løsning:
x – totalt blyanter,
6 blyanter i hver pakke,
3 – pakker med blyanter.

La oss skrive oppgaveligningen i divisjonsform.
x:6=3
x er det ukjente utbyttet. For å finne det ukjente utbyttet må du multiplisere kvotienten med divisoren.
x=3⋅6
x=18

Svar: 18 blyanter.

Ukjent deler.

La oss se på problemet:
Det var 15 baller i butikken. I løpet av dagen kom 5 kunder til butikken. Kjøpere kjøpte like mange ballonger. Hvor mange ballonger kjøpte hver kunde?

Løsning:
x – antall baller som en kjøper kjøpte,
5 – antall kjøpere,
15 – antall baller.
La oss skrive oppgaveligningen i divisjonsform:
15:x=5
x – i denne ligningen er en ukjent divisor. For å finne den ukjente divisoren deler vi utbyttet på kvotienten.
x=15:5
x=3

Svar: 3 baller til hver kjøper.

Egenskaper ved å dele et naturlig tall med én.

Delingsregel:
Ethvert tall delt på 1 gir samme tall.

7:1=7
en:1= en

Egenskaper ved å dele et naturlig tall med null.

La oss se på et eksempel: 6:2=3, du kan sjekke om vi delte riktig ved å multiplisere 2⋅3=6.
Hvis vi er 3:0, vil vi ikke kunne sjekke, fordi et hvilket som helst tall multiplisert med null vil være null. Derfor gir det ingen mening å spille inn 3:0.
Delingsregel:
Du kan ikke dele på null.

Egenskaper ved å dele null med et naturlig tall.

0:3=0 denne oppføringen gir mening. Hvis vi deler noe i tre deler, får vi ingenting.
0: en=0
Delingsregel:
Når du deler 0 med et naturlig tall som ikke er lik null, vil resultatet alltid være 0.

Egenskapen til å dele identiske tall.

3:3=1
en: en=1
Delingsregel:
Når du deler et tall på seg selv som ikke er lik null, vil resultatet være 1.

Spørsmål om emnet "divisjon":

I oppføringen a:b=c, hva er kvotient her?
Svar: a:b og c.

Hva er privat?
Svar: kvotienten viser hvor mange ganger utbyttet er større enn divisoren.

Ved hvilken verdi av m er oppføringen 0⋅m=5?
Svar: når multiplisert med null, vil svaret alltid være 0. Oppføringen gir ikke mening.

Er det en slik n slik at 0⋅n=0?
Svar: Ja, oppføringen gir mening. Når et hvilket som helst tall multipliseres med 0, vil det være 0, så n er et hvilket som helst tall.

Eksempel #1:
Finn verdien av uttrykket: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Svar: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41

Eksempel #2:
For hvilke verdier av variablene er likheten sann: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x – i dette eksemplet er delelig. For å finne utbyttet må du multiplisere kvotienten med divisoren.
x – ukjent utbytte,
6 - deler,
8 – kvotient.
x=8⋅6
x=48

b) 54 – utbytte,
x er en divisor,
9 – kvotient.
For å finne en ukjent divisor, må du dele utbyttet på kvotienten.
x=54:9
x=6

Oppgave 1:
Sasha har 15 merker, og Misha har 45 merker. Hvor mange ganger flere frimerker har Misha enn Sasha?
Løsning:
Problemet kan løses på to måter. Første vei:
15+15+15=45
Det trengs 3 tall 15 for å få 45, derfor har Misha 3 ganger flere karakterer enn Sasha.
Andre vei:
45:15=3

Svar: Misha har 3 ganger flere frimerker enn Sasha.

Ensifrede naturlige tall er enkle å dele i hodet. Men hvordan dele flersifrede tall? Hvis et tall allerede har mer enn to sifre, kan mental telling ta mye tid, og sannsynligheten for feil ved drift med flersifrede tall øker.

Kolonnedivisjon er en praktisk metode som ofte brukes for å dele flersifrede naturlige tall. Det er denne metoden denne artikkelen er viet til. Nedenfor skal vi se på hvordan man utfører langdeling. Først, la oss se på algoritmen for å dele et flersifret tall med et enkeltsifret tall i en kolonne, og deretter - flersifret med flersifret tall. I tillegg til teori gir artikkelen praktiske eksempler på langdeling.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Det er mest praktisk å føre notater på kvadratisk papir, siden når du gjør beregninger, vil linjene forhindre at du blir forvirret i sifrene. Først skrives utbytte og divisor fra venstre til høyre på én linje, og deretter separeres spesielt tegn dele inn i en kolonne som ser slik ut:

La oss si at vi må dele 6105 med 55, la oss skrive:

Vi vil skrive mellomberegninger under utbyttet, og resultatet skrives under divisor. Generelt ser kolonnedelingsskjemaet slik ut:

Husk at beregninger vil kreve ledig plass på siden. Dessuten enn mer forskjell i utbytte- og divisorsifrene, jo flere beregninger blir det.

For eksempel vil det å dele tallene 614 808 og 51 234 kreve mindre plass enn å dele tallet 8 058 med 4. Selv om tallene i det andre tilfellet er mindre, er forskjellen i antall siffer større, og beregningene vil bli mer tungvint. La oss illustrere dette:

Det er mest praktisk å øve praktiske ferdigheter på enkle eksempler. La oss derfor dele tallene 8 og 2 inn i en kolonne. Selvfølgelig er denne operasjonen lett å utføre i hodet eller ved å bruke multiplikasjonstabellen, men detaljert analyse Det vil være nyttig for klarhet, selv om vi allerede vet at 8 ÷ 2 = 4.

Så først skriver vi ned utbytte og divisor i henhold til kolonnedelingsmetoden.

Neste steg er å finne ut hvor mange divisorer utbyttet inneholder. Hvordan gjøre det? Vi multipliserer suksessivt divisoren med 0, 1, 2, 3. . Dette gjør vi til resultatet er et tall som er lik eller større enn utbyttet. Hvis resultatet umiddelbart resulterer i et tall som er lik utbyttet, skriver vi under divisor tallet som divisor ble multiplisert med.

Ellers, når vi får et tall som er større enn utbyttet, skriver vi under divisoren tallet beregnet på nest siste trinn. I stedet for den ufullstendige kvotienten skriver vi tallet som divisoren ble multiplisert med på nest siste trinn.

La oss gå tilbake til eksemplet.

2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 4 = 8

Så vi fikk umiddelbart et tall som tilsvarer utbyttet. Vi skriver det under utbyttet, og skriver tallet 4, som vi multipliserte divisoren med, i stedet for kvotienten.

Nå gjenstår det bare å trekke fra tallene under divisoren (også ved å bruke kolonnemetoden). I vårt tilfelle er 8 - 8 = 0.

Dette eksemplet- deling av tall uten en rest. Tallet oppnådd etter subtraksjon er resten av divisjonen. Hvis det er lik null, deles tallene uten en rest.

La oss nå se på et eksempel hvor tall er delt med en rest. Del det naturlige tallet 7 med det naturlige tallet 3.

I dette tilfellet multipliseres tre sekvensielt med 0, 1, 2, 3. . vi får som et resultat:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Under utbyttet skriver vi tallet oppnådd i nest siste trinn. Ved å bruke divisoren skriver vi ned tallet 2 - den ufullstendige kvotienten oppnådd i det nest siste trinnet. Det var med to vi multipliserte divisoren da vi fikk 6.

For å fullføre operasjonen, trekk 6 fra 7 og få:

Dette eksemplet er å dele tall med en rest. Delkvotienten er 2 og resten er 1.

Nå, etter å ha vurdert grunnleggende eksempler, la oss gå videre til å dele flersifrede naturlige tall i ensifrede.

Vi vil vurdere kolonnedelingsalgoritmen ved å bruke eksemplet med å dele det flersifrede tallet 140288 med tallet 4. La oss si med en gang at det er mye lettere å forstå essensen av metoden ved å bruke praktiske eksempler, og dette eksemplet ble ikke valgt ved en tilfeldighet, da det illustrerer alle mulige nyanser ved å dele naturlige tall i en kolonne.

1. Skriv tallene sammen med divisjonssymbolet i en kolonne. Se nå på det første sifferet til venstre i utbyttenotasjonen. To tilfeller er mulige: tallet definert av dette sifferet er større enn divisoren, og omvendt. I det første tilfellet jobber vi med dette nummeret, i det andre tar vi i tillegg neste siffer i utbytteposten og jobber med det tilsvarende tosifret tall. I samsvar med dette punktet, la oss i eksemplet markere nummeret som vi vil jobbe med til å begynne med. Dette tallet er 14 fordi det første sifferet i utbyttet 1 er mindre enn deleren 4.

2. Bestem hvor mange ganger telleren er inneholdt i det resulterende tallet. La oss betegne dette tallet som x = 14. Vi multipliserer suksessivt divisor 4 med hvert medlem av rekken av naturlige tall ℕ, inkludert null: 0, 1, 2, 3 og så videre. Vi gjør dette til vi får x eller et tall større enn x som et resultat. Når resultatet av multiplikasjon er tallet 14, skriver vi det under det uthevede tallet i henhold til reglene for å skrive subtraksjon i en kolonne. Faktoren som divisor ble multiplisert med er skrevet under divisor. Hvis resultatet av multiplikasjon er et tall større enn x, skriver vi under det uthevede tallet tallet oppnådd på nest siste trinn, og i stedet for den ufullstendige kvotienten (under divisor) skriver vi faktoren som multiplikasjonen ble utført med på nest siste trinn.

I samsvar med algoritmen har vi:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Under det uthevede tallet skriver vi tallet 12 oppnådd i det nest siste trinnet. I stedet for kvotienten skriver vi faktoren 3.

3. Trekk 12 fra 14 ved hjelp av en kolonne, og skriv resultatet under den horisontale linjen. I analogi med det første punktet sammenligner vi det resulterende tallet med divisoren.

4. Nummer 2 mindre antall 4, derfor skriver vi ned under den horisontale linjen etter de to tallet som ligger i neste siffer i utbyttet. Hvis det ikke er flere sifre i utbyttet, avsluttes delingsoperasjonen. I vårt eksempel, etter tallet 2 oppnådd i forrige avsnitt, skriver vi ned neste siffer i utbyttet - 0. Som et resultat feirer vi noe nytt arbeidsnummer - 20 .

Viktig!

Punkt 2 - 4 gjentas syklisk til slutten av operasjonen med å dele naturlige tall med en kolonne.

2. La oss telle igjen hvor mange divisorer som er inneholdt i tallet 20. Multiplisere 4 med 0, 1, 2, 3. . vi får:

Siden vi mottok et tall lik 20 som et resultat, skriver vi det under det merkede tallet, og i stedet for kvotienten, i neste siffer, skriver vi 5 - faktoren som multiplikasjonen ble utført med.

3. Vi utfører subtraksjonen i en kolonne. Siden tallene er like, er resultatet tallet null: 20 - 20 = 0.

4. Vi vil ikke skrive ned tallet null, siden dette stadiet ikke er slutten på divisjonen. La oss bare huske stedet der vi kunne skrive det ned og skrive ved siden av tallet fra neste siffer i utbyttet. I vårt tilfelle er tallet 2.

Vi tar dette nummeret som et arbeidsnummer og utfører igjen trinnene i algoritmen.

2. Multipliser divisor med 0, 1, 2, 3. . og sammenlign resultatet med det markerte tallet.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Følgelig skriver vi tallet 0 under det merkede tallet, og under deleren i neste siffer i kvotienten skriver vi også 0.

3. Utfør subtraksjonsoperasjonen og skriv resultatet under linjen.

4. Til høyre under linjen legg til tallet 8, siden dette er neste siffer i tallet som deles.

Dermed får vi et nytt arbeidsnummer - 28. Vi gjentar punktene til algoritmen igjen.

Etter å ha gjort alt i henhold til reglene, får vi resultatet:

Vi flytter siste siffer i utbyttet under linjen - 8. I sist Vi gjentar algoritmen punkt 2 - 4 og får:

Helt på nederste linje skriver vi tallet 0. Dette nummeret skrives bare på siste trinn av divisjonen, når operasjonen er fullført.

Dermed er resultatet av å dele tallet 140228 med 4 tallet 35072. Dette eksemplet har blitt analysert i detalj, og når man løser praktiske oppgaver er det ikke nødvendig å beskrive alle handlingene så grundig.

Vi vil gi andre eksempler på å dele tall i en kolonne og eksempler på skriveløsninger.

Eksempel 1. Kolonneinndeling av naturlige tall

Del det naturlige tallet 7136 med det naturlige tallet 9.

Etter det andre, tredje og fjerde trinnet i algoritmen, vil posten ha formen:

La oss gjenta syklusen:

Siste passering, og vi leser resultatet:

Svar: Delkvotienten av 7136 og 9 er 792 og resten er 8.

Ved løsning av praktiske eksempler er det ideelt å ikke bruke forklaringer i form av verbale kommentarer i det hele tatt.

Eksempel 2. Dele naturlige tall i en kolonne

Del tallet 7042035 med 7.

Svar: 1006005

Algoritmen for å dele flersifrede tall i en kolonne er svært lik den tidligere omtalte algoritmen for å dele et flersifret tall med et ensifret tall. For å være mer presis gjelder endringene kun det første punktet, mens punktene 2 - 4 forblir uendret.
Hvis vi, når vi dividerer med et ensifret tall, så bare på det første sifferet i utbyttet, vil vi nå se på så mange sifre som det er i divisoren Når tallet bestemt av disse sifrene er større enn divisoren vi tar det som arbeidsnummer. Ellers legger vi til et annet siffer fra neste siffer i utbyttet. Deretter følger vi trinnene til algoritmen beskrevet ovenfor.

La oss vurdere bruken av algoritmen for å dele flersifrede tall ved å bruke et eksempel.

Eksempel 3. Kolonneinndeling av naturlige tall

La oss dele 5562 med 206.

Divisoren inneholder tre tegn, så la oss umiddelbart velge tallet 556 i utbyttet.
556 > 206, så vi tar dette tallet som et arbeidsnummer og går videre til punkt 2 i agloritmen.
Multipliser 206 med 0, 1, 2, 3. . og vi får:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, så under divisoren skriver vi resultatet av den nest siste handlingen, og under utbyttet skriver vi faktoren 2

Utfør kolonnesubtraksjon

Som et resultat av subtraksjon har vi tallet 144. Til høyre for resultatet, under linjen, skriver vi nummeret fra det tilsvarende sifferet i utbyttet og får et nytt arbeidsnummer - 1442.

Vi gjentar punkt 2 - 4 med ham. Vi får:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Under det merkede arbeidsnummeret skriver vi 1442, og i neste kvotientsiffer skriver vi tallet 7 - multiplikatoren.

Vi utfører subtraksjon i en kolonne, og vi forstår at dette er slutten på divisjonsoperasjonen: det er ikke flere sifre i divisoren å skrive til høyre for subtraksjonsresultatet.