Eksempler på likninger 5. Online likninger

En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, tar formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.

For eksempel, alle ligninger:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.

Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi riktig likhet 3 2 +7 = 13. Dette betyr at verdien x = 2 er løsningen eller roten av ligningen.

Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 2 +7 ≠ 13. Dette betyr at verdien x = 3 ikke er en løsning eller en rot av ligningen.

Løsning av evt lineære ligninger reduserer til å løse formlikninger

ax + b = 0.

La oss flytte frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran b til det motsatte, vi får

Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .

Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.

La oss flytte 2 fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran 2 til det motsatte, vi får
3x = 11 – 2.

La oss gjøre subtraksjonen, da
3x = 9.

For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, altså
x = 9:3.

Dette betyr at verdien x = 3 er løsningen eller roten av ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Løsningen til denne likningen er et hvilket som helst tall.

Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

La oss utvide parentesene:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Her er noen lignende termer:
0x = 0.

Svar: x - et hvilket som helst tall.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0x = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

La oss gruppere termer som inneholder ukjente på venstre side, og gratis termer på høyre side:
x – x = 5 – 8.

Her er noen lignende termer:
0х = ‒ 3.

Svar: ingen løsninger.

På Figur 1 viser et diagram for å løse en lineær ligning

La oss lage et generelt skjema for å løse likninger med én variabel. La oss vurdere løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. Anta at vi må løse ligningen

1) Multipliser alle ledd i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.

2) Etter reduksjon får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) For å skille vilkår som inneholder ukjente og gratis vilkår, åpne parentesene:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) La oss gruppere i den ene delen termene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) La oss presentere lignende termer:
- 22х = - 154.

6) Del med – 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roten av ligningen syv.

Generelt slik ligninger kan løses ved hjelp av følgende skjema:

a) bringe ligningen til sin heltallsform;

b) åpne brakettene;

c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og de frie begrepene i den andre;

d) ta med lignende medlemmer;

e) løs en ligning av formen aх = b, som ble oppnådd etter å ha brakt lignende ledd.

Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, må du ikke starte fra den første, men fra den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1. 3) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

La oss se på å løse noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Svar: - 0,125

Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Eksempel 9. Finn f(6) hvis f (x + 2) = 3 7-er

Løsning

Siden vi trenger å finne f(6), og vi vet f (x + 2),
deretter x + 2 = 6.

Vi løser den lineære ligningen x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.

Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Svar: 27.

Hvis du fortsatt har spørsmål eller ønsker å forstå løsningen av ligninger mer grundig, meld deg på timene mine i SCHEMA. Jeg hjelper deg gjerne!

TutorOnline anbefaler også å se en ny videoleksjon fra vår veileder Olga Alexandrovna, som vil hjelpe deg å forstå både lineære ligninger og andre.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

En av de viktigste ferdighetene når opptak til 5. klasse er evnen til å løse enkle ligninger. Siden 5. klasse ennå ikke er så langt unna grunnskole, da er det ikke så mange typer ligninger som en elev kan løse. Vi vil introdusere deg for alle de grunnleggende ligningstypene du trenger for å kunne løse hvis du vil gå inn på en fysikk- og matematikkskole.

Type 1: "bulbous"
Dette er ligninger som du sannsynligvis vil møte når opptak til hvilken som helst skole eller en 5. klasse klubb som egen oppgave. De er lette å skille fra andre: i dem er variabelen bare til stede én gang. For eksempel eller.
De løses veldig enkelt: du trenger bare å "komme" til det ukjente, gradvis "fjerne" alt unødvendig som omgir det - som om du skreller en løk - derav navnet. For å løse det, husk bare noen få regler fra andre klasse. La oss liste dem alle:

Addisjon

term1 + term2 = sum
term1 = sum - term2
term2 = sum - term1

Subtraksjon

minuend - subtrahend = forskjell
minuend = subtrahend + forskjell
subtrahend = minuend - forskjell

Multiplikasjon

faktor1 * faktor2 = produkt
faktor1 = produkt: faktor2
faktor2 = produkt: faktor1

Inndeling

utbytte: divisor = kvotient
utbytte = divisor * kvotient
divisor = utbytte: kvotient

La oss se på et eksempel på hvordan du bruker disse reglene.

Merk at vi deler på og vi mottar. I denne situasjonen kjenner vi divisoren og kvotienten. For å finne utbyttet må du multiplisere divisoren med kvotienten:

Vi har blitt litt nærmere oss selv. Nå ser vi det legges til og det viser seg . Dette betyr at for å finne ett av begrepene, må du trekke det kjente begrepet fra summen:

Og enda et "lag" er fjernet fra det ukjente! Nå ser vi situasjonen med kjent verdi produkt () og én kjent faktor ().

Nå er situasjonen "minuend - subtrahend = forskjell"

Og det siste trinnet - kjent verk() og en av multiplikatorene ()

Type 2: ligninger med parentes
Ligninger av denne typen finnes oftest i oppgaver - 90% av alle oppgaver for opptak til 5. klasse. I motsetning til "løkligninger" variabelen her kan dukke opp flere ganger, så det er umulig å løse den ved hjelp av metodene fra forrige avsnitt. Typiske ligninger: eller
Den største vanskeligheten er å åpne brakettene riktig. Etter at du har klart å gjøre dette riktig, bør du redusere lignende termer (tall til tall, variabler til variabler), og etter det får vi det enkleste "løkligning" som vi kan løse. Men først ting først.

Utvidende parenteser. Vi vil gi flere regler som bør brukes i dette tilfellet. Men som praksis viser, begynner studenten å åpne parentesene riktig først etter 70-80 fullførte problemer. Grunnregelen er denne: enhver faktor utenfor parentesene må multipliseres med hvert ledd innenfor parentesene. Og minustegnet foran parentesen endrer tegnet på alle uttrykkene inni. Så de grunnleggende reglene for avsløring:

Tar med lignende. Her er alt mye enklere: du trenger, ved å overføre vilkårene gjennom likhetstegnet, for å sikre at det på den ene siden bare er vilkår med det ukjente, og på den andre - bare tall. Grunnregelen er denne: hvert begrep som overføres gjennom, endrer fortegn - hvis det var med, vil det bli med, og omvendt. Etter en vellykket overføring er det nødvendig å telle det totale antallet ukjente, det totale antallet på den andre siden av likheten enn variablene, og løse en enkel "løkligning".

En ligning er en likhet der det er et ukjent ledd - x. Dens betydning må finnes.

Den ukjente størrelsen kalles roten til ligningen. Å løse en likning betyr å finne roten, og for å gjøre dette må du kjenne til egenskapene til likningene. Ligningene for karakter 5 er ikke vanskelige, men hvis du lærer å løse dem riktig, vil du ikke få problemer med dem i fremtiden.

Hovedegenskapen til ligningene

Når begge sider av en ligning endres like mye, fortsetter det å være den samme ligningen med samme rot. La oss løse noen eksempler for bedre å forstå denne regelen.

Hvordan løse ligninger: addisjon eller subtraksjon

Anta at vi har en ligning av formen:

a + x = b - her er a og b tall, og x er det ukjente leddet i ligningen.

Hvis vi legger til (eller trekker fra dem) verdien c til begge sider av ligningen, vil den ikke endre seg:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Eksempel 1

La oss bruke denne egenskapen til å løse ligningen:

37+x=51

Trekk fra tallet 37 fra begge sider:

37+x-37=51-37

vi får:

x=51-37.

Roten til ligningen er x=14.

Hvis vi ser nøye på den siste ligningen, kan vi se at den er den samme som den første. Vi flyttet ganske enkelt ledd 37 fra den ene siden av ligningen til den andre, og erstattet pluss med minus.

Det viser seg at et hvilket som helst tall kan overføres fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn.

Eksempel 2

37+x=37+22

La oss utføre den samme handlingen, flytte tallet 37 fra venstre side av ligningen til høyre:

x=37-37+22

Siden 37-37=0 reduserer vi dette og får:

x =22.

Identiske termer for en ligning med samme tegn, plassert i forskjellige deler ligninger kan reduseres (krysset ut).

Multiplisere og dele ligninger

Begge sider av likheten kan også multipliseres eller divideres med samme tall:

Hvis likheten a = b deles eller multipliseres med c, endres den ikke:

a/c = b/c,
ac = bс.

Eksempel 3

5x = 20

La oss dele begge sider av ligningen med 5:

5x/5 = 20/5.

Siden 5/5 = 1, reduserer vi disse multiplikatoren og divisorene på venstre side av ligningen og får:

x = 20/5, x = 4

Eksempel 4

5x = 5a

Hvis begge sider av ligningen deles på 5, får vi:

5x/5 = 5a/5.

5-en i telleren og nevneren på venstre og høyre side annulleres, noe som resulterer i x = a. Dette betyr at identiske faktorer på venstre og høyre side av ligningene opphever.

La oss løse et annet eksempel: