Matemātiskā modelēšana ekonomikā. Kursa darbs: Matemātiskie modeļi ekonomikā

Pastāv ievērojama ekonomisko un matemātisko modeļu veidu un veidu dažādība, kas nepieciešami izmantošanai saimniecisko objektu un procesu vadībā. Ekonomiskos un matemātiskos modeļus iedala: makroekonomiskajos un mikroekonomiskajos, atkarībā no modelējamā vadības objekta līmeņa, dinamiskajos, kas raksturo vadības objekta izmaiņas laika gaitā, un statiskajos, kas raksturo attiecības starp dažādiem objekta parametriem un rādītājiem plkst. konkrētajā laikā. Diskrētie modeļi atspoguļo vadības objekta stāvokli atsevišķos, fiksētos laika punktos. Simulācijas modeļi ir ekonomiski un matemātiski modeļi, ko izmanto, lai modelētu kontrolētus ekonomiskos objektus un procesus, izmantojot informācijas un datortehnoloģiju. Pamatojoties uz modeļos izmantotā matemātiskā aparāta veidu, ir ekonomiski statistiskie modeļi, lineārās un nelineārās programmēšanas modeļi, matricu modeļi un tīkla modeļi.

Faktoru modeļi. Ekonomiski matemātisko faktoru modeļu grupā ietilpst modeļi, kas, no vienas puses, ietver ekonomiskos faktorus, no kuriem atkarīgs pārvaldāmā ekonomiskā objekta stāvoklis, un, no otras puses, objekta stāvokļa parametrus, kas ir atkarīgi no šiem faktoriem. Ja faktori ir zināmi, tad modelis ļauj noteikt nepieciešamos parametrus. Faktoru modeļus visbiežāk nodrošina matemātiski vienkāršas lineāras vai statiskas funkcijas, kas raksturo attiecību starp faktoriem un no tiem atkarīgiem ekonomikas objekta parametriem.

Bilances modeļi. Ekonomiskajā un matemātiskajā modelēšanā plaši izmanto gan statistiskos, gan dinamiskos bilances modeļus. Šo modeļu izveides pamatā ir bilances metode - materiālo, darba un finanšu resursu un to vajadzību savstarpēja salīdzināšanas metode. Raksturojot ekonomisko sistēmu kopumā, tās bilances modelis tiek saprasts kā vienādojumu sistēma, no kuriem katrs izsaka vajadzību pēc līdzsvara starp atsevišķu ekonomisko objektu saražotās produkcijas daudzumu un kopējo pieprasījumu pēc šiem produktiem. Izmantojot šo pieeju, ekonomiskā sistēma sastāv no ekonomiskiem objektiem, no kuriem katrs ražo noteiktu produktu. Ja jēdziena “produkts” vietā ieviešam jēdzienu “resurss”, tad bilances modelis ir jāsaprot kā vienādojumu sistēma, kas apmierina prasības starp noteiktu resursu un tā izmantošanu.

Svarīgākie bilances modeļu veidi:

• · Materiālie, darba un finanšu bilances ekonomikai kopumā un atsevišķām tās nozarēm;
• · Starpnozaru atlikumi;
• · Uzņēmumu un firmu matricas bilances.

Optimizācijas modeļi. Liela ekonomisko un matemātisko modeļu klase veido optimizācijas modeļus, kas ļauj izvēlēties labāko optimālo variantu no visiem risinājumiem. Matemātiskā saturā ar optimitāti saprot optimitātes kritērija galējības sasniegšanu, ko sauc arī par mērķa funkciju. Optimizācijas modeļus visbiežāk izmanto problēmu risināšanā, kā atrast labāko ekonomisko resursu izmantošanas veidu, kas ļauj sasniegt maksimālo mērķa efektu. Matemātiskā programmēšana tika izstrādāta, pamatojoties uz saplākšņa lokšņu optimālas griešanas problēmas risināšanu, kas nodrošina vispilnīgāko materiāla izmantošanu. Radījis šādu problēmu, slavenais krievu matemātiķis un ekonomists akadēmiķis L.V. Kantorovičs tika uzskatīts par Nobela prēmijas ekonomikā cienīgu.

Matemātiskās metodes ekonomikā ir svarīgs analīzes instruments. Tie tiek izmantoti teorētisko modeļu konstruēšanā, kas ļauj attēlot esošos savienojumus ikdienas dzīve. Tāpat, izmantojot šīs metodes, diezgan precīzi tiek prognozēta uzņēmējdarbības subjektu uzvedība un ekonomisko rādītāju dinamika valstī.

Sīkāk vēlos pakavēties pie ekonomisko objektu rādītāju prognozēšanas, kas ir lēmumu pieņemšanas teorijas instruments. Prognozes par sociālo ekonomikas attīstība jebkuras valsts, pamatojoties uz noteiktiem rādītājiem (inflācijas dinamiku, iekšzemes kopproduktu utt.). Sagaidāmo rādītāju veidošana tiek veikta, izmantojot tādas lietišķās statistikas un ekonometrijas metodes kā regresijas un korelācijas analīze.

Pētījumu joma “Ekonomika un matemātiskās metodes” vienmēr ir bijusi diezgan interesanta šīs jomas zinātniekiem. Tādējādi akadēmiķis Ņemčinovs plānošanā un prognozēšanā identificēja piecus matemātiskos:

Metode matemātiskā modelēšana;

Vektoru matricas metode;

Secīgās tuvināšanas metode;

Optimālu sociālo novērtējumu metode.

Cits akadēmiķis Kantorovičs iedalīja matemātiskās metodes četrās grupās:

Ekonomisko vienību mijiedarbības modeļi;

Makroekonomiskie modeļi, tostarp pieprasījuma modeļi un bilances metode;

Optimizācijas modeļi;

Lineārā modelēšana.

Sistēma tiek izmantota, lai pieņemtu efektīvus un pareizus lēmumus ekonomikas jomā. Šajā gadījumā galvenokārt tiek izmantotas modernās datortehnoloģijas.

Pats modelēšanas process jāveic šādā secībā:

1. Problēmas izklāsts. Ir skaidri jāformulē problēma, jānosaka ar risināmo problēmu saistītie objekti un tās risināšanas rezultātā realizētā situācija. Šajā posmā tiek veikta ar tiem saistīto priekšmetu, objektu un situāciju kvantitatīvā analīze.

2. Sistēmas analīze uzdevumus. Visi objekti ir jāsadala elementos, nosakot attiecības starp tiem. Tieši šajā posmā ekonomikā vislabāk ir izmantot matemātiskās metodes, ar kuru palīdzību tiek veikta jaunizveidoto elementu īpašību kvantitatīvā un kvalitatīvā analīze un kā rezultātā tiek atvasinātas noteiktas nevienādības un vienādojumi. Citiem vārdiem sakot, tiek iegūta rādītāju sistēma.

3. Sistēmu sintēze ir problēmas matemātisks formulējums, kura organizēšanas laikā tiek veidots objekta matemātiskais modelis un noteikti problēmas risināšanas algoritmi. Šajā posmā pastāv iespēja, ka iepriekšējo posmu pieņemtie modeļi var izrādīties nepareizi, un, lai iegūtu pareizo rezultātu, jums būs jāatgriežas vienu vai pat divus soļus atpakaļ.

Kad matemātiskais modelis ir izveidots, varat turpināt izstrādāt programmu problēmas risināšanai datorā. Ja jums ir diezgan sarežģīts objekts, kas sastāv no liels daudzums elementiem, jums būs jāizveido datu bāze un pieejamie rīki, lai strādātu ar to.

Ja uzdevumam ir standarta forma, tad tiek izmantotas jebkuras piemērotas matemātiskās metodes ekonomikā un gatava programmatūras produkts.

Pēdējais posms ir izveidotā modeļa tieša darbība un pareizu rezultātu iegūšana.

Matemātiskās metodes ekonomikā ir jāizmanto noteiktā secībā un izmantojot mūsdienu informācijas un skaitļošanas tehnoloģijas. Tikai šādā secībā kļūst iespējams izslēgt subjektīvus brīvprātīgus lēmumus, kuru pamatā ir personīgās intereses un emocijas.

1. Modelēšana kā zinātnisko zināšanu metode.

Modelēšanu zinātniskajos pētījumos sāka izmantot senos laikos un pakāpeniski paplašinājās jaunās jomās. zinātniskās zināšanas: tehniskais projekts, būvniecība un arhitektūra, astronomija, fizika, ķīmija, bioloģija un, visbeidzot, sociālās zinātnes. Lieliski panākumi un atzinība gandrīz visās nozarēs mūsdienu zinātne pieaudzis pie divdesmitā gadsimta modelēšanas metodes. Tomēr modelēšanas metodoloģiju jau sen ir neatkarīgi izstrādājušas atsevišķas zinātnes. Nebija vienotas jēdzienu sistēmas, nebija vienotas terminoloģijas. Tikai pamazām sāka apzināties modelēšanas kā universālas zinātnisko zināšanu metodes lomu.

Termins "modelis" tiek plaši izmantots dažādas jomas cilvēka darbība un ir daudz semantiskās nozīmes. Apskatīsim tikai tādus “modeļus”, kas ir zināšanu iegūšanas instrumenti.

Modelis ir materiāls vai garīgi iedomāts objekts, kas izpētes procesā aizvieto sākotnējo objektu tā, lai tā tiešā izpēte sniegtu jaunas zināšanas par sākotnējo objektu.

Modelēšana attiecas uz modeļu konstruēšanas, izpētes un pielietošanas procesu. Tas ir cieši saistīts ar tādām kategorijām kā abstrakcija, analoģija, hipotēze utt. Modelēšanas process obligāti ietver abstrakciju konstruēšanu, secinājumus pēc analoģijas un zinātnisku hipotēžu konstruēšanu.

Galvenā iezīme modelēšana ir tāda, ka tā ir netiešas izziņas metode, izmantojot aizstājējobjektus. Modelis darbojas kā sava veida izziņas instruments, ko pētnieks novieto starp sevi un objektu un ar kura palīdzību viņš pēta sev interesējošo objektu. Tieši šī modelēšanas metodes iezīme nosaka specifiskās abstrakciju, analoģiju, hipotēžu un citu izziņas kategoriju un metožu izmantošanas formas.

Modelēšanas metodes izmantošanas nepieciešamību nosaka tas, ka daudzus objektus (vai ar šiem objektiem saistītas problēmas) vai nu nav iespējams tieši izpētīt, vai arī šis pētījums prasa daudz laika un naudas.

Modelēšanas process ietver trīs elementus: 1) subjekts (pētnieks), 2) pētījuma objekts, 3) modelis, kas ir starpnieks starp izzinošo subjektu un izzināmo objektu.

Lai ir vai ir nepieciešams izveidot kādu objektu A. Mēs konstruējam (materiāli vai garīgi) vai atrodam reālajā pasaulē citu objektu B - objekta A modeli. Modeļa konstruēšanas posms paredz zināmu zināšanu klātbūtni par sākotnējo objektu. . Modeļa kognitīvās spējas nosaka tas, ka modelis atspoguļo jebkuras būtiskās sākotnējā objekta iezīmes. Jautājums par oriģināla un modeļa līdzības nepieciešamību un pietiekamu pakāpi prasa īpašu analīzi. Acīmredzot modelis zaudē savu nozīmi gan identitātes gadījumā ar oriģinālu (tad tas pārstāj būt oriģināls), gan arī pārmērīgas atšķirības no oriģināla visos būtiskajos aspektos.

Tādējādi dažu modelētā objekta pušu izpēte tiek veikta par atteikšanos atspoguļot citas puses. Tāpēc jebkurš modelis aizstāj oriģinālu tikai stingri ierobežotā nozīmē. No tā izriet, ka vienam objektam var uzbūvēt vairākus “specializētus” modeļus, koncentrējot uzmanību uz noteiktiem pētāmā objekta aspektiem vai raksturojot objektu ar dažādu detalizācijas pakāpi.

Modelēšanas procesa otrajā posmā modelis darbojas kā neatkarīgs izpētes objekts. Viens no šādu pētījumu veidiem ir “modeļu” eksperimentu veikšana, kuros apzināti tiek mainīti modeļa darbības apstākļi un sistematizēti dati par tā “uzvedību”. Šī posma gala rezultāts ir daudz zināšanu par R modeli.

Trešajā posmā zināšanas tiek pārnestas no modeļa uz oriģinālu - tiek veidots zināšanu kopums S par objektu. Šo zināšanu nodošanas procesu veic noteikti noteikumi. Zināšanas par modeli jākoriģē, ņemot vērā tās sākotnējā objekta īpašības, kuras netika atspoguļotas vai tika mainītas modeļa konstruēšanas laikā. Mēs ar pietiekamu pamatojumu varam pārnest jebkuru rezultātu no modeļa uz oriģinālu, ja šis rezultāts obligāti ir saistīts ar līdzības pazīmēm starp oriģinālu un modeli. Ja kāds modeļa pētījuma rezultāts ir saistīts ar modeļa un oriģināla atšķirību, tad šī rezultāta pārnešana ir nelikumīga.

Ceturtais posms ir ar modeļu palīdzību iegūto zināšanu praktiskā pārbaude un to izmantošana, lai izveidotu vispārīgu teoriju par objektu, tā pārveidošanu vai kontroli.

Lai izprastu modelēšanas būtību, ir svarīgi neaizmirst to, ka modelēšana nav vienīgais zināšanu avots par objektu. Modelēšanas process ir “iegremdēts” vispārīgākā izziņas procesā. Šis apstāklis ​​tiek ņemts vērā ne tikai modeļa konstruēšanas stadijā, bet arī beigu posmā, kad notiek uz daudzveidīgu izziņas līdzekļu pamata iegūto pētījumu rezultātu apvienošana un vispārināšana.

Modelēšana ir ciklisks process. Tas nozīmē, ka pirmajam četrpakāpju ciklam var sekot otrais, trešais utt. Tajā pašā laikā tiek paplašinātas un pilnveidotas zināšanas par pētāmo objektu, pakāpeniski tiek pilnveidots sākotnējais modelis. Trūkumi, kas atklāti pēc pirmā modelēšanas cikla, jo sliktās zināšanas par objektu un kļūdas modeļa konstruēšanā, var tikt laboti nākamajos ciklos. Tādējādi modelēšanas metodika satur lielas iespējas pašattīstībai.

2. Matemātiskās modelēšanas metodes pielietošanas iezīmes ekonomikā.

Matemātikas iekļūšana ekonomikā ir saistīta ar ievērojamu grūtību pārvarēšanu. Daļēji pie tā bija vainojama matemātika, kas vairāku gadsimtu laikā attīstījās galvenokārt saistībā ar fizikas un tehnoloģiju vajadzībām. Bet galvenie cēloņi joprojām ir ekonomisko procesu būtībā, ekonomikas zinātnes specifikā.

Lielāko daļu ekonomikas zinātnes pētīto objektu var raksturot ar sarežģītas sistēmas kibernētisko jēdzienu.

Visizplatītākā izpratne par sistēmu ir kā elementu kopums, kas mijiedarbojas un veido noteiktu integritāti, vienotību. Svarīga kvalitāte Jebkura sistēma ir rašanās - tādu īpašību klātbūtne, kas nav raksturīgas nevienam no sistēmā iekļautajiem elementiem. Tāpēc, pētot sistēmas, nepietiek tikai ar metodi, kas sadala tās elementos un pēc tam pēta šos elementus atsevišķi. Viena no ekonomiskās izpētes grūtībām ir tāda, ka gandrīz nav tādu ekonomisko objektu, kurus varētu uzskatīt par atsevišķiem (nesistēmiskiem) elementiem.

Sistēmas sarežģītību nosaka tajā iekļauto elementu skaits, saiknes starp šiem elementiem, kā arī attiecības starp sistēmu un vidi. Valsts ekonomikai ir visas pazīmes, ka ir ļoti sarežģīta sistēma. Tas apvieno milzīgu skaitu elementu un izceļas ar dažādiem iekšējiem savienojumiem un savienojumiem ar citām sistēmām ( dabiskā vide, citu valstu ekonomika utt.). Tautsaimniecībā mijiedarbojas dabas, tehnoloģiskie, sociālie procesi, objektīvie un subjektīvie faktori.

Dažkārt ekonomikas sarežģītība tika uzskatīta par attaisnojumu tam, ka nav iespējams to modelēt un pētīt, izmantojot matemātiku. Bet šis viedoklis būtībā ir nepareizs. Jūs varat modelēt jebkura rakstura un jebkuras sarežģītības objektu. Un tieši sarežģīti objekti ir tie, kas visvairāk interesē modelēšanu; Šeit modelēšana var sniegt rezultātus, ko nevar iegūt ar citām pētniecības metodēm.

Iespējamā jebkuru ekonomisko objektu un procesu matemātiskās modelēšanas iespēja, protams, nenozīmē tās veiksmīgu iespējamību ar noteiktu ekonomisko un matemātisko zināšanu līmeni, pieejamo specifisko informāciju un datortehnoloģiju. Un, lai gan nav iespējams norādīt ekonomisko problēmu matemātiskās formalizējamības absolūtās robežas, vienmēr joprojām būs neformalizētas problēmas, kā arī situācijas, kad matemātiskā modelēšana nav pietiekami efektīva.

3. Ekonomisko novērojumu un mērījumu īpatnības.

Jau tagad ilgu laiku Galvenais šķērslis matemātiskās modelēšanas praktiskai pielietošanai ekonomikā ir izstrādāto modeļu piepildīšana ar specifisku un kvalitatīvu informāciju. Primārās informācijas precizitāte un pilnīgums, tās vākšanas un apstrādes reālās iespējas lielā mērā nosaka pielietoto modeļu veidu izvēli. No otras puses, ekonomiskās modelēšanas pētījumi izvirza jaunas prasības informācijas sistēmai.

Atkarībā no modelējamajiem objektiem un modeļu mērķa tajos izmantotajai sākotnējai informācijai ir būtiski atšķirīgs raksturs un izcelsme. To var iedalīt divās kategorijās: par objektu pagātnes attīstību un pašreizējo stāvokli (ekonomiskie novērojumi un to apstrāde) un par objektu turpmāko attīstību, iekļaujot datus par paredzamajām izmaiņām to iekšējos parametros un ārējiem apstākļiem(prognozes). Otrā informācijas kategorija ir neatkarīgu pētījumu rezultāts, ko var veikt arī ar simulācijas palīdzību.

Ekonomisko novērojumu metodes un šo novērojumu rezultātu izmantošanu izstrādā ekonomikas statistika. Tāpēc ir vērts atzīmēt tikai specifiskās ekonomisko novērojumu problēmas, kas saistītas ar ekonomisko procesu modelēšanu.

Ekonomikā daudzi procesi ir masīvi; tiem ir raksturīgi modeļi, kas nav redzami tikai no viena vai dažiem novērojumiem. Tāpēc modelēšanai ekonomikā ir jāpaļaujas uz masu novērojumiem.

Vēl vienu problēmu rada ekonomisko procesu dinamisms, to parametru mainīgums un strukturālās attiecības. Līdz ar to ekonomiskie procesi ir nepārtraukti jāuzrauga, un ir nepieciešama vienmērīga jaunu datu plūsma. Tā kā ekonomisko procesu novērošana un empīrisko datu apstrāde parasti aizņem diezgan daudz laika, tad, veidojot ekonomikas matemātiskos modeļus, ir nepieciešams koriģēt sākotnējo informāciju, ņemot vērā tās kavēšanos.

Zināšanas par ekonomisko procesu un parādību kvantitatīvajām attiecībām balstās uz ekonomiskiem mērījumiem. Mērījumu precizitāte lielā mērā nosaka kvantitatīvās analīzes gala rezultātu precizitāti, izmantojot simulāciju. Tieši tāpēc nepieciešams nosacījums Matemātiskās modelēšanas efektīva izmantošana ir ekonomisko rādītāju uzlabošana. Matemātiskās modelēšanas izmantošana ir saasinājusi sociāli ekonomiskās attīstības dažādu aspektu un parādību mērījumu un kvantitatīvo salīdzinājumu problēmu, iegūto datu ticamību un pilnīgumu, kā arī to aizsardzību pret tīšiem un tehniskiem izkropļojumiem.

Modelēšanas procesā rodas mijiedarbība starp “primārajiem” un “sekundārajiem” ekonomiskajiem rādītājiem. Jebkurš tautsaimniecības modelis ir balstīts uz noteiktu ekonomisko pasākumu sistēmu (produkti, resursi, elementi utt.). Vienlaikus viens no nozīmīgiem tautsaimniecības modelēšanas rezultātiem ir jaunu (sekundāro) ekonomisko rādītāju iegūšana - ekonomiski pamatotas cenas dažādu nozaru produktiem, dažādas kvalitātes dabas resursu efektivitātes novērtējumi un sociālās attīstības rādītāji. produktu lietderība. Taču šos pasākumus var ietekmēt nepietiekami pamatoti primārie pasākumi, kas liek izstrādāt speciālu metodiku primāro pasākumu pielāgošanai biznesa modeļiem.

No ekonomiskās modelēšanas “interešu” viedokļa šobrīd aktuālākās ekonomisko rādītāju uzlabošanas problēmas ir: intelektuālās darbības rezultātu novērtēšana (īpaši zinātnes un tehnikas attīstības jomā, datorzinātņu nozare), konstruējot vispārīgus sociāli ekonomiskās attīstības rādītāji, mērot atgriezeniskās saites efektus (ekonomisko un sociālo mehānismu ietekme uz ražošanas efektivitāti).

4. Nejaušība un nenoteiktība ekonomikas attīstībā.

Ekonomiskās plānošanas metodoloģijai svarīgs ir ekonomikas attīstības nenoteiktības jēdziens. Ekonomiskās prognozēšanas un plānošanas pētījumos tiek izdalīti divi nenoteiktības veidi: “patiesā” ekonomisko procesu īpašību dēļ un “informācija”, kas saistīta ar pieejamās informācijas par šiem procesiem nepilnīgumu un neprecizitāti. Patiesu nenoteiktību nevar jaukt ar dažādu ekonomiskās attīstības variantu objektīvu esamību un iespēju apzināti izvēlēties starp tām efektīvas iespējas. Mēs runājam par būtisku neiespējamību precīzi izvēlēties vienu (optimālu) iespēju.

Ekonomikas attīstībā nenoteiktību izraisa divi galvenie iemesli. Pirmkārt, plānoto un kontrolēto procesu norise, kā arī ārējā ietekme uz šiem procesiem nav precīzi prognozējama nejaušu faktoru darbības un cilvēka izziņas ierobežojumu dēļ katrā brīdī. Tas ir īpaši raksturīgi zinātnes un tehnoloģiju progresa, sabiedrības vajadzību un ekonomiskās uzvedības prognozēšanai. Otrkārt, vispārējā valsts plānošana un vadība nav ne tikai visaptveroša, bet arī ne visvarena, un daudzu neatkarīgu saimniecisko vienību klātbūtne ar īpašām interesēm neļauj precīzi prognozēt to mijiedarbības rezultātus. Nepilnīga un neprecīza informācija par objektīviem procesiem un ekonomisko uzvedību palielina patieso nenoteiktību.

Ekonomiskās modelēšanas pētījumu pirmajos posmos galvenokārt tika izmantoti deterministiskā tipa modeļi. Šajos modeļos tiek pieņemts, ka visi parametri ir precīzi zināmi. Tomēr deterministiskie modeļi tiek pārprasti mehāniskā nozīmē un identificēti ar modeļiem, kuriem nav nekādu “izvēles pakāpju” (izvēles iespēju) un kuriem ir viens iespējams risinājums. Klasisks stingri deterministisku modeļu pārstāvis ir tautsaimniecības optimizācijas modelis, ko izmanto, lai noteiktu labākais variants ekonomikas attīstība starp daudzām iespējamām iespējām.

Pieredzes uzkrāšanās strikti deterministisko modeļu izmantošanā ir radītas reālas iespējas sekmīgāk izmantot progresīvāku ekonomisko procesu modelēšanas metodiku, kas ņem vērā stohastiskumu un nenoteiktību. Šeit var izdalīt divas galvenās pētniecības jomas. Pirmkārt, tiks pilnveidota stingri deterministisko modeļu izmantošanas metodika: daudzfaktoru aprēķinu un modeļu eksperimentu veikšana ar modeļa dizaina un tā sākotnējo datu variācijām; iegūto risinājumu stabilitātes un uzticamības izpēte, nenoteiktības zonas noteikšana; rezervju iekļaušana modelī, paņēmienu izmantošana, kas palielina ekonomisko lēmumu pielāgošanās spēju iespējamām un neparedzētām situācijām. Otrkārt, plaši izplatās modeļi, kas tieši atspoguļo ekonomisko procesu stohastiskumu un nenoteiktību un izmanto atbilstošo matemātisko aparātu: varbūtību teoriju un matemātisko statistiku, spēļu un statistisko lēmumu teoriju, rindu teoriju, stohastisko programmēšanu un nejaušo procesu teoriju.

5. Modeļu atbilstības pārbaude.

Ekonomisko procesu un parādību sarežģītība un citas iepriekš minētās ekonomisko sistēmu iezīmes apgrūtina ne tikai matemātisko modeļu konstruēšanu, bet arī to atbilstības un iegūto rezultātu patiesuma pārbaudi.

Dabaszinātnēs pietiekams nosacījums modelēšanas un citu zināšanu formu rezultātu patiesumam ir pētījuma rezultātu sakritība ar novērotajiem faktiem. Kategorija “prakse” šeit sakrīt ar kategoriju “realitāte”. Ekonomikā un citās sociālajās zinātnēs princips “prakse ir patiesības kritērijs” tiek saprasts šādi. lielākā mērā piemērojams vienkāršiem aprakstošiem modeļiem, ko izmanto pasīvai realitātes aprakstīšanai un skaidrošanai (pagātnes attīstības analīze, nekontrolējamu ekonomisko procesu īstermiņa prognozēšana uc).

Tomēr galvenais ekonomikas uzdevums ir konstruktīvs: attīstīties zinātniskās metodes ekonomikas plānošana un vadība. Tāpēc izplatīts ekonomikas matemātisko modeļu veids ir kontrolētu un regulētu ekonomisko procesu modeļi, ko izmanto, lai pārveidotu ekonomisko realitāti. Šādus modeļus sauc par normatīviem. Ja normatīvie modeļi ir orientēti tikai uz realitātes apstiprināšanu, tad tie nevarēs kalpot par instrumentu kvalitatīvi jaunu sociāli ekonomisko problēmu risināšanai.

Normatīvo ekonomisko modeļu pārbaudes specifika ir tāda, ka tie parasti “konkurē” ar citām plānošanas un vadības metodēm, kuras jau ir atradušas praktisku pielietojumu. Tajā pašā laikā ne vienmēr ir iespējams veikt tīru eksperimentu, lai pārbaudītu modeli, novēršot citu kontroles darbību ietekmi uz modelēto objektu.

Situācija kļūst vēl sarežģītāka, kad tiek izvirzīts jautājums par ilgtermiņa prognozēšanas un plānošanas modeļu (gan aprakstošo, gan normatīvo) pārbaudi. Galu galā nevar pasīvi gaidīt 10-15 vai vairāk gadus, kamēr notiks notikumi, lai pārbaudītu modeļa telpu pareizību.

Neskatoties uz atzīmētajiem sarežģītajiem apstākļiem, modeļa atbilstība reālās pasaules faktiem un tendencēm saimniecisko dzīvi joprojām ir vissvarīgākais kritērijs, kas nosaka modeļu uzlabošanas virzienus. Identificēto neatbilstību starp realitāti un modeli visaptveroša analīze, modeļa rezultātu salīdzināšana ar rezultātiem, kas iegūti ar citām metodēm, palīdz izstrādāt modeļus labot.

Nozīmīga loma modeļu pārbaudē pieder loģiskā analīze, tostarp izmantojot pašu matemātisko modelēšanu. Tādas formalizētas modeļa verifikācijas metodes kā risinājuma esamības pierādīšana modelī, statistisko hipotēžu patiesuma pārbaude par modeļa parametru un mainīgo sakarībām, lielumu dimensiju salīdzināšana utt., ļauj sašaurināt risinājuma esamību. potenciāli “pareizo” modeļu klase.

Modeļa telpu iekšējā konsekvence tiek pārbaudīta arī, salīdzinot ar tā palīdzību iegūtās sekas savā starpā, kā arī ar “konkurējošo” modeļu sekām.

Novērtējot pašreizējais stāvoklis matemātisko modeļu atbilstības ekonomikai problēmas, jāatzīst, ka konstruktīvas visaptverošas metodikas izveide modeļu verifikācijai, ņemot vērā gan modelējamo objektu objektīvās pazīmes, gan to izziņas iezīmes, joprojām ir viena no aktuālākie ekonomikas un matemātiskās pētniecības uzdevumi.

6. Ekonomisko un matemātisko modeļu klasifikācija.

Ekonomisko procesu un parādību matemātiskos modeļus var īsāk saukt par ekonomiski matemātiskajiem modeļiem. Šo modeļu klasificēšanai tiek izmantotas dažādas bāzes.

Ekonomiskie un matemātiskie modeļi pēc paredzētā mērķa tiek iedalīti teorētiskajos un analītiskajos, kurus izmanto ekonomisko procesu vispārējo īpašību un modeļu pētījumos, un pielietojamos, izmanto konkrētu ekonomisko problēmu risināšanā (ekonomiskās analīzes, prognozēšanas, vadības modeļi).

Ekonomiskie un matemātiskie modeļi var būt paredzēti, lai pētītu dažādus tautsaimniecības aspektus (jo īpaši tās ražošanu, tehnoloģiskās, sociālās, teritoriālās struktūras) un tās atsevišķas daļas. Klasificējot modeļus pēc pētāmajiem ekonomiskajiem procesiem un saturiskiem jautājumiem, var izdalīt tautsaimniecības kopumā un tās apakšsistēmu - nozaru, reģionu u.c. modeļus, ražošanas, patēriņa, ienākumu radīšanas un sadales modeļu kompleksus, darbaspēka resursi, cenas, finansiālās attiecības utt. .d.

Pakavēsimies sīkāk pie tādu ekonomisko un matemātisko modeļu klašu īpašībām, ar kurām lielākās īpašības modelēšanas metodoloģijas un tehnikas.

Saskaņā ar vispārējo matemātisko modeļu klasifikāciju tos iedala funkcionālajos un strukturālajos, kā arī ietver starpformas (strukturāli funkcionālas). Tautsaimniecības līmeņa pētījumos biežāk tiek izmantoti strukturālie modeļi, jo plānošanai un vadīšanai liela vērtība ir starpsavienojumi starp apakšsistēmām. Tipiski strukturālie modeļi ir starpnozaru saišu modeļi. Ekonomiskajā regulējumā plaši tiek izmantoti funkcionālie modeļi, kad objekta uzvedību (“izeju”) ietekmē “ievades” maiņa. Kā piemēru var minēt patērētāju uzvedības modeli preču un naudas attiecību apstākļos. Vienu un to pašu objektu var aprakstīt vienlaikus gan ar struktūru, gan ar funkcionālo modeli. Piemēram, atsevišķas nozares sistēmas plānošanai tiek izmantots strukturālais modelis, un tautsaimniecības līmenī katru nozari var attēlot ar funkcionālu modeli.

Atšķirības starp aprakstošajiem un normatīvajiem modeļiem jau ir parādītas iepriekš. Aprakstošie modeļi atbild uz jautājumu: kā tas notiek? vai kā tas, visticamāk, varētu attīstīties tālāk?, t.i. tie tikai izskaidro novērotos faktus vai sniedz ticamu prognozi. Normatīvie modeļi atbild uz jautājumu: kā tam vajadzētu būt?, t.i. ietver mērķtiecīgu darbību. Tipisks normatīvo modeļu piemērs ir optimālie plānošanas modeļi, kas vienā vai otrā veidā formalizē tautsaimniecības attīstības mērķus, iespējas un līdzekļus to sasniegšanai.

Aprakstošās pieejas izmantošana ekonomikas modelēšanā ir skaidrojama ar nepieciešamību empīriski identificēt dažādas tautsaimniecības atkarības un izveidot statistiskus ekonomiskās uzvedības modeļus. sociālās grupas, pētot jebkuru procesu iespējamos attīstības ceļus nemainīgos apstākļos vai notiekot bez ārējas ietekmes. Aprakstošo modeļu piemēri ir ražošanas funkcijas un patērētāju pieprasījuma funkcijas, kas veidotas, pamatojoties uz statistikas datu apstrādi.

Tas, vai ekonomiski matemātiskais modelis ir aprakstošs vai normatīvs, ir atkarīgs ne tikai no tā matemātiskās struktūras, bet arī no šī modeļa izmantošanas veida. Piemēram, ievades-izejas modelis ir aprakstošs, ja to izmanto, lai analizētu pagājušā perioda proporcijas. Bet šis pats matemātiskais modelis kļūst par normatīvu, kad ar to tiek aprēķinātas sabalansētas tautsaimniecības attīstības iespējas, kas apmierina sabiedrības galīgās vajadzības pie plānotajiem ražošanas izmaksu standartiem.

Daudzi ekonomiskie un matemātiskie modeļi apvieno aprakstošo un normatīvo modeļu iezīmes. Tipiska situācija ir, kad sarežģītas struktūras normatīvais modelis apvieno atsevišķus blokus, kas ir privāti aprakstošie modeļi. Piemēram, starpnozaru modelis var ietvert patērētāju pieprasījuma funkcijas, kas apraksta patērētāju uzvedību kā ienākumu izmaiņas. Šādi piemēri raksturo tendenci efektīvi apvienot aprakstošo un normatīvo pieeju ekonomisko procesu modelēšanā. Simulācijas modelēšanā plaši tiek izmantota aprakstošā pieeja.

Pamatojoties uz cēloņu un seku attiecību atspoguļojuma raksturu, tiek nošķirti stingri deterministi modeļi un modeļi, kas ņem vērā nejaušību un nenoteiktību. Jānošķir varbūtības likumos aprakstītā nenoteiktība un nenoteiktība, kuras aprakstīšanai varbūtības teorijas likumi nav piemērojami. Otrā veida nenoteiktību ir daudz grūtāk modelēt.

Atbilstoši laika faktora atspoguļošanas metodēm ekonomiskie un matemātiskie modeļi tiek iedalīti statiskajos un dinamiskajos. Statiskajos modeļos visas atkarības attiecas uz vienu brīdi vai laika periodu. Dinamiskie modeļi raksturo ekonomisko procesu izmaiņas laika gaitā. Pamatojoties uz aplūkojamā laika perioda ilgumu, atšķiras īstermiņa (līdz gadam), vidēja termiņa (līdz 5 gadiem), ilgtermiņa (10-15 un vairāk gadi) prognozēšanas un plānošanas modeļi. Pats laiks ekonomiskajos un matemātiskajos modeļos var mainīties vai nu nepārtraukti, vai diskrēti.

Ekonomisko procesu modeļi ir ārkārtīgi dažādi matemātisku atkarību veidā. Īpaši svarīgi ir izcelt lineāro modeļu klasi, kas ir visērtāk analīzei un aprēķiniem un rezultātā ir kļuvuši plaši izplatīti. Atšķirības starp lineārajiem un nelineārajiem modeļiem ir būtiskas ne tikai no matemātiskā, bet arī teorētiskā un ekonomiskā viedokļa, jo daudzas atkarības ekonomikā pēc būtības ir nelineāras: resursu izmantošanas efektivitāte, palielinoties ražošanai, izmaiņas. iedzīvotāju pieprasījumā un patēriņā ar ražošanas pieaugumu, iedzīvotāju pieprasījuma un patēriņa izmaiņām ar ienākumu pieaugumu u.c. Teorija" lineārā ekonomika" būtiski atšķiras no "nelineārās ekonomikas" teorijas. Secinājumi par iespēju apvienot centralizēto plānošanu un ekonomisko apakšsistēmu ekonomisko neatkarību būtiski ir atkarīgi no tā, vai apakšsistēmu (nozaru, uzņēmumu) ražošanas spēju kopas tiek pieņemtas kā izliektas vai ne izliekts.

Pēc modelī iekļauto eksogēno un endogēno mainīgo attiecības var iedalīt atvērtajos un slēgtajos. Nav pilnīgi atvērtu modeļu; modelī jābūt vismaz vienam endogēnam mainīgajam. Pilnīgi slēgti ekonomiskie un matemātiskie modeļi, t.i. neskaitot eksogēnos mainīgos, ir ārkārtīgi reti; to uzbūve prasa pilnīgu abstrakciju no “vides”, t.i. nopietna reālo ekonomisko sistēmu rupjība, kurām vienmēr ir ārēji savienojumi. Lielākais vairums ekonomisko un matemātisko modeļu ieņem starpposmu un atšķiras pēc atvērtības (slēgtības) pakāpes.

Tautsaimniecības līmeņa modeļiem ir svarīgs dalījums apkopotajos un detalizētajos.

Atkarībā no tā, vai valsts ekonomikas modeļos ir iekļauti telpiskie faktori un nosacījumi vai nav, izšķir telpiskos un punktu modeļus.

Tādējādi vispārējā ekonomisko un matemātisko modeļu klasifikācija ietver vairāk nekā desmit galvenās iezīmes. Attīstoties ekonomiskajiem un matemātiskajiem pētījumiem, sarežģītāka kļūst izmantoto modeļu klasifikācijas problēma. Līdz ar jaunu modeļu parādīšanos (īpaši jaukti veidi) un jaunām to klasifikācijas iezīmēm, tiek veikts dažādu tipu modeļu integrēšanas process sarežģītākās modeļu struktūrās.

7. Ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas posmi.

Galvenie modelēšanas procesa posmi jau tika apspriesti iepriekš. Dažādās zināšanu nozarēs, tostarp ekonomikā, tās iegūst savas specifiskās iezīmes. Analizēsim viena ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas cikla posmu secību un saturu.

1. Ekonomiskās problēmas izklāsts un tās kvalitatīvā analīze. Šeit galvenais ir skaidri formulēt problēmas būtību, izdarītos pieņēmumus un jautājumus, uz kuriem ir nepieciešamas atbildes. Šis posms ietver modelētā objekta svarīgāko pazīmju un īpašību noteikšanu un abstrahēšanu no mazākajām; objekta uzbūves un tā elementus savienojošo pamatatkarību izpēte; hipotēžu formulēšana (vismaz provizoriski), kas izskaidro objekta uzvedību un attīstību.

2. Būvniecība matemātiskais modelis. Šis ir ekonomiskās problēmas formalizēšanas posms, izsakot to konkrētu matemātisku atkarību un sakarību veidā (funkcijas, vienādojumi, nevienādības utt.). Parasti vispirms tiek noteikts matemātiskā modeļa galvenais dizains (tips), un pēc tam tiek norādītas šī dizaina detaļas (konkrēts mainīgo un parametru saraksts, savienojumu forma). Tādējādi modeļa uzbūve savukārt ir sadalīta vairākos posmos.

Ir nepareizi uzskatīt, ka jo vairāk faktu modelis ņem vērā, jo labāk tas “strādā” un dod labākus rezultātus. To pašu var teikt par tādām modeļa sarežģītības pazīmēm kā izmantotās matemātisko atkarību formas (lineārās un nelineārās), ņemot vērā nejaušības un nenoteiktības faktorus utt. Pārmērīga modeļa sarežģītība un apgrūtinība apgrūtina izpētes procesu. Jāņem vērā ne tikai reālās informācijas un matemātiskā atbalsta iespējas, bet arī jāsalīdzina modelēšanas izmaksas ar no tā izrietošo efektu (palielinoties modeļa sarežģītībai, izmaksu pieaugums var pārsniegt efekta pieaugumu) .

Viens no svarīgas funkcijas matemātiskie modeļi - iespējamā iespēja tos izmantot dažādas kvalitātes problēmu risināšanai. Tāpēc, pat saskaroties ar jaunu ekonomisko problēmu, nav jācenšas “izgudrot” modeli; Pirmkārt, jums ir jāmēģina izmantot jau zināmus modeļus, lai atrisinātu šo problēmu.

Modeļa veidošanas procesā tiek salīdzinātas divas zinātnisko zināšanu sistēmas - ekonomiskā un matemātiskā. Ir dabiski censties iegūt modeli, kas pieder pie labi izpētītas matemātisko problēmu klases. Bieži vien to var izdarīt, nedaudz vienkāršojot modeļa sākotnējos pieņēmumus, neizkropļojot modelētā objekta būtiskās pazīmes. Taču iespējama arī situācija, kad ekonomiskās problēmas formalizēšana noved pie iepriekš nezināmas matemātiskas struktūras. Ekonomikas zinātnes un prakses vajadzības divdesmitā gadsimta vidū. veicināja matemātiskās programmēšanas, spēļu teorijas, funkcionālās analīzes un skaitļošanas matemātikas attīstību. Domājams, ka nākotnē ekonomikas zinātnes attīstība kļūs par nozīmīgu stimulu jaunu matemātikas nozaru radīšanai.

3. Modeļa matemātiskā analīze. Šī posma mērķis ir noskaidrot modeļa vispārīgās īpašības. Šeit tiek izmantotas tīri matemātiskas pētījumu metodes. Vissvarīgākais punkts ir risinājumu esamības pierādījums formulētajā modelī (esamības teorēma). Ja to var pierādīt matemātikas uzdevums nav risinājuma, tad nav nepieciešams turpināt darbu pie modeļa sākotnējās versijas; jākoriģē vai nu ekonomiskās problēmas formulējums, vai tās matemātiskās formalizācijas metodes. Modeļa analītiskās izpētes laikā tiek noskaidroti tādi jautājumi kā, piemēram, vai ir unikāls risinājums, kādus mainīgos (nezināmos) var iekļaut risinājumā, kādas būs attiecības starp tiem, cik lielā mērā un atkarībā no kādus sākotnējos nosacījumus tie maina, kādas ir to maiņas tendences utt. Modeļa analītiskajam pētījumam, salīdzinot ar empīrisko (skaitlisko) pētījumu, ir tāda priekšrocība, ka iegūtie secinājumi paliek spēkā dažādām modeļa ārējo un iekšējo parametru specifiskajām vērtībām.

Modeļa vispārējo īpašību pārzināšana ir tik svarīga, bieži vien, lai pierādītu šādas īpašības, pētnieki apzināti idealizē sākotnējo modeli. Un tomēr sarežģītu ekonomisko objektu modeļus ir ļoti grūti analītiski izpētīt. Gadījumos, kad analītiskās metodes nespēj noteikt modeļa vispārīgās īpašības un modeļa vienkāršošana noved pie nepieņemamiem rezultātiem, tiek izmantotas skaitliskās izpētes metodes.

4. Pamatinformācijas sagatavošana. Modelēšana izvirza stingras prasības informācijas sistēmai. Vienlaikus reālās informācijas iegūšanas iespējas ierobežo praktiskai lietošanai paredzēto modeļu izvēli. Šajā gadījumā tiek ņemta vērā ne tikai fundamentālā informācijas sagatavošanas iespēja (noteiktā laika posmā), bet arī atbilstošo informācijas masīvu sagatavošanas izmaksas. Šīs izmaksas nedrīkst pārsniegt papildu informācijas izmantošanas ietekmi.

Informācijas sagatavošanas procesā plaši tiek izmantotas varbūtību teorijas metodes, teorētiskā un matemātiskā statistika. Sistēmas ekonomiskajā un matemātiskajā modelēšanā dažos modeļos izmantotā sākotnējā informācija ir citu modeļu darbības rezultāts.

5. Skaitliskais risinājums. Šis posms ietver algoritmu izstrādi problēmas skaitliskai risināšanai, datorprogrammu kompilāciju un tiešos aprēķinus. Šī posma grūtības galvenokārt ir saistītas ar ekonomisko problēmu lielo apjomu un nepieciešamību apstrādāt ievērojamu informācijas apjomu.

Parasti aprēķiniem, izmantojot ekonomiski matemātisko modeli, ir daudzfaktoru raksturs. Pateicoties mūsdienu datoru lielajam ātrumam, ir iespējams veikt neskaitāmus “modeļu” eksperimentus, pētot modeļa “uzvedību” pie dažādām izmaiņām noteiktos apstākļos. Pētījumi, kas veikti ar skaitliskām metodēm, var būtiski papildināt analītisko pētījumu rezultātus, un daudziem modeļiem tas ir vienīgais iespējamais. Ar skaitliskām metodēm risināmo ekonomisko problēmu klase ir daudz plašāka nekā analītiskajiem pētījumiem pieejamo problēmu klase.

6. Skaitlisko rezultātu analīze un to pielietošana. Šajā cikla pēdējā posmā rodas jautājums par modelēšanas rezultātu pareizību un pilnīgumu, par to praktiskā pielietojuma pakāpi.

Matemātiskās pārbaudes metodes var identificēt nepareizas modeļu konstrukcijas un tādējādi sašaurināt potenciāli pareizo modeļu klasi. Ar modeļa palīdzību iegūto teorētisko secinājumu un skaitlisko rezultātu neformāla analīze, salīdzinot tos ar esošajām zināšanām un realitātes faktiem, ļauj atklāt arī nepilnības ekonomiskās problēmas formulēšanā, konstruētajā matemātiskajā modelī un tā informatīvajā un matemātiskajā pamatojumā.

Attiecības starp posmiem. 1. attēlā parādītas sakarības starp viena ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas cikla posmiem.

Pievērsīsim uzmanību posmu savstarpējām sakarībām, kas rodas tādēļ, ka izpētes procesā tiek atklātas iepriekšējo modelēšanas posmu nepilnības.

Jau modeļa veidošanas stadijā var kļūt skaidrs, ka problēmas formulējums ir pretrunīgs vai noved pie pārāk sarežģīta matemātiskā modeļa. Atbilstoši tam tiek koriģēts problēmas sākotnējais formulējums. Turklāt modeļa matemātiskā analīze (3. posms) var parādīt, ka neliela problēmas formulējuma modifikācija vai tā formalizācija dod interesantu analītisko rezultātu.

Visbiežāk nepieciešamība atgriezties pie iepriekšējiem modelēšanas posmiem rodas, sagatavojot sākotnējo informāciju (4. posms). Jums var šķist, ka trūkst nepieciešamās informācijas vai tās sagatavošanas izmaksas ir pārāk augstas. Tad ir jāatgriežas pie problēmas formulēšanas un tās formalizēšanas, mainot tās tā, lai pielāgotos pieejamajai informācijai.

Tā kā ekonomiskās un matemātiskās problēmas var būt sarežģītas struktūras un lielas dimensijas, bieži gadās, ka zināmie algoritmi un datorprogrammas neļauj atrisināt problēmu sākotnējā formā. Ja tas nav iespējams iekšā īstermiņa izstrādāt jaunus algoritmus un programmas, vienkāršot sākotnējo problēmas formulējumu un modeli: noņemt un apvienot nosacījumus, samazināt faktoru skaitu, aizstāt nelineārās attiecības ar lineārām, palielināt modeļa determinismu utt.

Trūkumi, kurus nevar novērst modelēšanas starpposmos, tiek novērsti nākamajos ciklos. Bet katra cikla rezultātiem ir arī pilnīgi neatkarīga nozīme. Sākot pētījumu, veidojot vienkāršu modeli, jūs varat ātri iegūt noderīgus rezultātus un pēc tam pāriet uz progresīvāka modeļa izveidi, kas papildināts ar jauniem nosacījumiem, tostarp precizētām matemātiskām atkarībām.

Attīstoties un kļūstot sarežģītākai ekonomiskajai un matemātiskajai modelēšanai, tās atsevišķie posmi tiek izolēti specializētās pētniecības jomās, pastiprinās atšķirības starp teorētiski analītiskajiem un lietišķajiem modeļiem, un modeļi tiek diferencēti atbilstoši abstrakcijas un idealizācijas līmeņiem.

Ekonomisko modeļu matemātiskās analīzes teorija ir izveidojusies par īpašu mūsdienu matemātikas nozari - matemātisko ekonomiku. Iekšā pētīti modeļi matemātiskā ekonomika, zaudē tiešo saikni ar ekonomisko realitāti; tie attiecas tikai uz idealizētiem ekonomiskiem objektiem un situācijām. Konstruējot šādus modeļus, galvenais princips ir ne tik daudz tuvoties realitātei, bet gan iegūt pēc iespējas lielāku analītisko rezultātu skaitu, izmantojot matemātiskos pierādījumus. Šo modeļu vērtība par ekonomikas teorija un prakse ir tāda, ka tie kalpo par teorētisko bāzi lietišķajiem modeļiem.

Diezgan patstāvīgas pētniecības jomas ir ekonomiskās informācijas sagatavošana un apstrāde un matemātiskā atbalsta izstrāde ekonomikas problēmām (datu bāzu un informācijas banku izveide, modeļu automatizētas konstruēšanas programmas un programmatūras pakalpojumi lietotāju ekonomistiem). Modeļu praktiskās izmantošanas posmā vadošā loma būtu jāuzņemas speciālistiem attiecīgajā ekonomiskās analīzes, plānošanas un vadības jomā. Ekonomistu un matemātiķu galvenā darba joma joprojām ir ekonomisko problēmu formulēšana un formalizēšana un ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas procesa sintēze.

8. Lietišķo ekonomisko un matemātisko pētījumu nozīme.

Var izdalīt vismaz četrus matemātisko metožu izmantošanas aspektus praktisko problēmu risināšanā.

1. Ekonomiskās informācijas sistēmas pilnveidošana. Matemātiskās metodes ļauj sakārtot ekonomiskās informācijas sistēmu, identificēt pieejamās informācijas trūkumus un izstrādāt prasības sagatavošanai. jaunu informāciju vai tā pielāgojumus. Ekonomisko un matemātisko modeļu izstrāde un pielietošana norāda uz veidiem, kā uzlabot ekonomisko informāciju, kas vērsta uz konkrētas plānošanas un vadības problēmu sistēmas risināšanu. Plānošanas un pārvaldības informācijas atbalsta virzība ir balstīta uz strauji attīstošiem datorzinātņu tehniskajiem un programmatūras rīkiem.

2. Ekonomisko aprēķinu intensifikācija un precizitātes palielināšana. Ekonomisko problēmu formalizēšana un datoru izmantošana ievērojami paātrina standarta, masas aprēķinus, palielina precizitāti un samazina darbaspēka intensitāti, kā arī ļauj veikt daudzfaktoru ekonomisko pamatojumu sarežģītām darbībām, kuras nav pieejamas "manuālās" tehnoloģijas dominēšanas apstākļos.

3. Ekonomisko problēmu kvantitatīvās analīzes padziļināšana. Pateicoties modelēšanas metodes pielietošanai, tiek būtiski uzlabotas specifiskas kvantitatīvās analīzes iespējas; daudzu ekonomiskos procesus ietekmējošo faktoru izpēte, ekonomisko objektu attīstības nosacījumu izmaiņu seku kvantitatīvs novērtējums u.c.

4. Principiāli jaunu ekonomisko problēmu risināšana. Ar matemātiskās modelēšanas palīdzību iespējams atrisināt saimnieciskās problēmas, kuras praktiski nav iespējams atrisināt ar citiem līdzekļiem, piemēram: atrast optimālo tautsaimniecības plāna variantu, simulēt tautsaimniecības darbību, automatizēt sarežģītu saimniecisko objektu funkcionēšanas kontroli.

Modelēšanas metodes praktiskās pielietošanas apjomu ierobežo ekonomisko problēmu un situāciju formalizēšanas iespējas un efektivitāte, kā arī izmantoto modeļu informācijas, matemātiskā un tehniskā nodrošinājuma stāvoklis. Vēlme pielietot matemātisko modeli par katru cenu var nedot labus rezultātus, jo trūkst vismaz dažu nepieciešamo nosacījumu.

Saskaņā ar mūsdienu zinātniskās idejas biznesa lēmumu izstrādes un pieņemšanas sistēmām jāapvieno formālas un neformālas metodes, viena otru pastiprinot un papildinot. Formālās metodes galvenokārt ir līdzeklis zinātniski pamatotai materiāla sagatavošanai cilvēku darbībām vadības procesos. Tas ļauj produktīvi izmantot cilvēka pieredzi un intuīciju, viņa spēju risināt slikti formalizētas problēmas.

Konstruējot ekonomiskos modeļus, tiek identificēti būtiski faktori un tiek atmestas detaļas, kas nav būtiskas problēmas risināšanai.

Ekonomiskie modeļi var ietvert šādus modeļus:

• ekonomikas izaugsme
• patērētāju izvēle
• līdzsvars finanšu un preču tirgos un daudzos citos.

Modelis ir loģisks vai matemātisks komponentu un funkciju apraksts, kas atspoguļo modelētā objekta vai procesa būtiskās īpašības.

Modelis tiek izmantots kā parasts attēls, kas paredzēts, lai vienkāršotu objekta vai procesa izpēti.

Modeļu raksturs var atšķirties. Modeļi tiek iedalīti: reālā, simboliskā, verbālā un tabulas aprakstā utt.

Ekonomiskais un matemātiskais modelis

Biznesa procesu pārvaldībā vislielākā nozīme galvenokārt ir ekonomiskie un matemātiskie modeļi, bieži apvienoti modeļu sistēmās.

Ekonomiskais un matemātiskais modelis(EMM) ir ekonomiska objekta vai procesa matemātisks apraksts, lai tos pētītu un pārvaldītu. Šis ir risināmās ekonomiskās problēmas matemātisks apzīmējums.

Galvenie modeļu veidi

• Ekstrapolācijas modeļi
• Faktorekonometriskie modeļi
• Optimizācijas modeļi
• Bilances modeļi, Inter-Industry Balance (IOB) modelis
• Ekspertu vērtējumi
• Spēļu teorija
• Tīkla modeļi
• Rindu sistēmu modeļi

Ekonomiskajā analīzē izmantotie ekonomiskie un matemātiskie modeļi un metodes

Ra = PE / VA + OA,

Vispārinātā formā jaukto modeli var attēlot ar šādu formulu:

Tātad, vispirms ir jāizveido ekonomiskais un matemātiskais modelis, kas apraksta atsevišķu faktoru ietekmi uz organizācijas darbības vispārējiem ekonomiskajiem rādītājiem. Plaši izplatīts analīzē saimnieciskā darbība saņemts daudzfaktoru reizināšanas modeļi, jo tie ļauj izpētīt ievērojama skaita faktoru ietekmi uz vispārējiem rādītājiem un tādējādi panākt lielāku analīzes dziļumu un precizitāti.

Pēc tam jums ir jāizvēlas veids, kā atrisināt šo modeli. Tradicionālās metodes : ķēdes aizstāšanas metode, absolūto un relatīvo atšķirību metodes, bilances metode, indeksa metode, kā arī korelācijas-regresijas metodes, klasteru, dispersijas analīzes uc Līdzās šīm metodēm un metodēm tiek izmantotas īpaši matemātiskās metodes un metodes. ekonomiskā analīze.

Integrālā ekonomiskās analīzes metode

Viena no šīm metodēm (metodēm) ir neatņemama. Tas atrod pielietojumu atsevišķu faktoru ietekmes noteikšanā, izmantojot multiplikatīvos, daudzkārtējos un jauktos (vairāku piedevu) modeļus.

Izmantojot integrālo metodi, iespējams iegūt pamatotākus rezultātus atsevišķu faktoru ietekmes aprēķināšanai, nekā izmantojot ķēdes aizstāšanas metodi un tās variantus. Ķēdes aizstāšanas metodei un tās variantiem, kā arī indeksa metodei ir būtiski trūkumi: 1) faktoru ietekmes aprēķinu rezultāti ir atkarīgi no pieņemtās atsevišķu faktoru pamatvērtību aizstāšanas secības ar faktiskajām; 2) faktoru mijiedarbības radītais vispārējā rādītāja papildu pieaugums nesadalāmas atlikuma veidā tiek pieskaitīts pēdējā faktora ietekmes summai. Izmantojot integrālo metodi, šis pieaugums tiek vienādi sadalīts starp visiem faktoriem.

Integrālā metode nosaka vispārīgu pieeju dažāda veida modeļu risināšanai neatkarīgi no elementu skaita, kas iekļauti dotajā modelī, kā arī neatkarīgi no savienojuma veida starp šiem elementiem.

Faktoriālās ekonomiskās analīzes integrālā metode ir balstīta uz funkcijas pieauguma summēšanu, kas definēta kā daļējs atvasinājums, kas reizināts ar argumenta pieaugumu bezgalīgi mazos intervālos.

Integrālās metodes piemērošanas procesā ir jāievēro vairāki nosacījumi. Pirmkārt, ir jāizpilda nosacījums par funkcijas nepārtrauktu diferenciāciju, kur par argumentu tiek ņemts jebkurš ekonomiskais rādītājs. Otrkārt, funkcijai starp pamatperioda sākuma un beigu punktu ir jāmainās pa taisnu līniju G e. Visbeidzot, treškārt, ir jābūt nemainīgai faktoru vērtību izmaiņu ātruma attiecībai

d y / d x = konst

Izmantojot integrālmetodi, aprēķinu noteikts integrālis noteiktam integrandam un noteiktam integrācijas intervālam tiek veikta, izmantojot esošu standarta programmu, izmantojot mūsdienu datortehnoloģijas.

Ja risinām reizināšanas modeli, tad, lai aprēķinātu atsevišķu faktoru ietekmi uz vispārējo ekonomisko rādītāju, varam izmantot šādas formulas:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x*Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Risinot vairāku modeli, lai aprēķinātu faktoru ietekmi, mēs izmantojam šādas formulas:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Ir divi galvenie problēmu veidi, kas tiek atrisināti, izmantojot integrālo metodi: statiskā un dinamiskā. Pirmajā tipā nav informācijas par analizējamo faktoru izmaiņām noteiktā laika posmā. Šādu uzdevumu piemēri ir biznesa plānu īstenošanas analīze vai ekonomisko rādītāju izmaiņu analīze salīdzinājumā ar iepriekšējo periodu. Uzdevumu dinamiskais veids rodas informācijas klātbūtnē par analizējamo faktoru izmaiņām noteiktā laika posmā. Šāda veida uzdevumi ietver aprēķinus, kas saistīti ar ekonomisko rādītāju laikrindu izpēti.

Šīs ir faktoru ekonomiskās analīzes integrālās metodes svarīgākās iezīmes.

Logaritma metode

Papildus šai metodei analīzē tiek izmantota arī logaritma metode (metode). To izmanto faktoru analīzē, risinot reizināšanas modeļus. Apskatāmās metodes būtība ir tāda, ka, to lietojot, pastāv logaritmiski proporcionāls faktoru kopīgās darbības lieluma sadalījums starp pēdējiem, tas ir, šī vērtība tiek sadalīta starp faktoriem proporcionāli ietekmes daļai. katra atsevišķa faktora uz vispārinošā rādītāja summu. Izmantojot integrālo metodi, minētā vērtība tiek sadalīta vienādi starp faktoriem. Tāpēc logaritma metode padara faktoru ietekmes aprēķinus saprātīgākus, salīdzinot ar integrālo metodi.

Logaritmizācijas procesā tiek izmantotas nevis ekonomisko rādītāju pieauguma absolūtās vērtības, kā tas ir integrālās metodes gadījumā, bet gan relatīvās, tas ir, šo rādītāju izmaiņu indeksi. Piemēram, vispārējs ekonomiskais rādītājs tiek definēts kā trīs faktoru - faktoru - produkts f = x y z.

Noskaidrosim katra no šiem faktoriem ietekmi uz vispārējo ekonomisko rādītāju. Tādējādi pirmā faktora ietekmi var noteikt pēc šādas formulas:

Δf x = Δf log(x 1 / x 0) / log (f 1 / f 0)

Kāda bija nākamā faktora ietekme? Lai noskaidrotu tā ietekmi, mēs izmantojam šādu formulu:

Δf y = Δf log(y 1 / y 0) / log (f 1 / f 0)

Visbeidzot, lai aprēķinātu trešā faktora ietekmi, mēs izmantojam formulu:

Δf z = Δf log(z 1 / z 0)/ log (f 1 / f 0)

Tādējādi kopējo izmaiņu apjomu vispārinošajā rādītājā sadala starp atsevišķiem faktoriem atbilstoši atsevišķu faktoru indeksu logaritmu attiecību proporcijām pret vispārinošā rādītāja logaritmu.

Piemērojot aplūkojamo metodi, var izmantot jebkura veida logaritmus - gan dabiskos, gan decimāldaļas.

Diferenciālrēķina metode

Veicot faktoru analīzi, tiek izmantota arī diferenciālrēķina metode. Pēdējais pieņem, ka kopējās funkcijas izmaiņas, tas ir, vispārinošais rādītājs, ir sadalītas atsevišķos terminos, no kuriem katra vērtība tiek aprēķināta kā noteikta daļēja atvasinājuma un mainīgā pieauguma reizinājums, ar kuru šis atvasinājums. ir noteikts. Noteiksim atsevišķu faktoru ietekmi uz vispārējo rādītāju, kā piemēru izmantojot divu mainīgo funkciju.

Funkcija norādīta Z = f(x,y). Ja šī funkcija ir diferencējama, tad tās izmaiņas var izteikt ar šādu formulu:

Paskaidrosim šīs formulas atsevišķus elementus:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- funkciju izmaiņu lielums;

Δx = (x 1 - x 0)— viena faktora izmaiņu lielums;

Δ y = (y 1 - y 0)-cita faktora izmaiņu apjoms;

- bezgalīgi mazs daudzums, kas ir augstāks par

IN šajā piemērā atsevišķu faktoru ietekme x Un y lai mainītu funkciju Z(vispārējais rādītājs) aprēķina šādi:

ΔZ x = δZ / δx Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Abu šo faktoru ietekmes summa ir galvenā, lineāra attiecībā pret dotā faktora pieaugumu, diferencējamās funkcijas pieauguma daļa, tas ir, vispārinošais rādītājs.

Dalības metode

Attiecībā uz aditīvu, kā arī vairāku piedevu modeļu risināšanu, vienlīdzības metode tiek izmantota arī, lai aprēķinātu atsevišķu faktoru ietekmi uz vispārējā rādītāja izmaiņām. Tās būtība ir tāda, ka vispirms tiek noteikta katra faktora īpatsvars to izmaiņu kopapjomā. Pēc tam šī daļa tiek reizināta ar kopējām kopsavilkuma rādītāja izmaiņām.

Pieņemsim, ka mēs nosakām trīs faktoru ietekmi − A,b Un Ar uz vispārēju rādītāju y. Tad faktoram un tā daļas noteikšanu un reizināšanu ar kopējo izmaiņu summu vispārinošajā rādītājā var veikt, izmantojot šādu formulu:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Faktoram b izskatāmajai formulai būs šāda forma:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Visbeidzot, faktoram c mums ir:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Tāda ir pašu kapitāla metodes būtība, ko izmanto faktoru analīzei.

Lineārā programmēšanas metode

Skatīt tālāk:

Rindas teorija

Skatīt tālāk:

Spēļu teorija

Tiek izmantota arī spēļu teorija. Tāpat kā rindu teorija, arī spēļu teorija ir viena no lietišķās matemātikas nozarēm. Spēļu teorija pēta optimālos risinājumus, kas ir iespējami spēļu situācijās. Tas ietver situācijas, kurās ir jāizvēlas optimālais vadības lēmumi, ar atbilstošāko variantu izvēli attiecībām ar citām organizācijām u.c.

Lai atrisinātu šādas problēmas spēļu teorijā, tiek izmantotas algebriskās metodes, kuru pamatā ir sistēma lineārie vienādojumi un nevienādības, iteratīvās metodes, kā arī metodes dotās problēmas reducēšanai uz noteiktu diferenciālvienādojumu sistēmu.

Viena no ekonomiskajām un matemātiskajām metodēm, ko izmanto organizāciju saimnieciskās darbības analīzē, ir tā sauktā jutīguma analīze. Šo metodi bieži izmanto investīciju projektu analīzes procesā, kā arī, lai prognozētu peļņas apjomu, kas paliek konkrētas organizācijas rīcībā.

Lai optimāli plānotu un prognozētu organizācijas darbību, ar analizētajiem ekonomiskajiem rādītājiem ir iepriekš jāparedz tās izmaiņas, kas var notikt nākotnē.

Piemēram, iepriekš jāparedz izmaiņas to faktoru vērtībās, kas ietekmē peļņas normu: iegādāto materiālo resursu iepirkuma cenu līmenis, konkrētas organizācijas produktu pārdošanas cenu līmenis, klientu pieprasījuma izmaiņas. šiem produktiem.

Jutīguma analīze sastāv no vispārējā ekonomiskā rādītāja nākotnes vērtības noteikšanas, ja mainās viena vai vairāku šo rādītāju ietekmējošo faktoru vērtība.

Tā, piemēram, viņi nosaka, par kādu summu mainīsies peļņa nākotnē, ja mainīsies pārdotās produkcijas daudzums vienā vienībā. To darot, mēs analizējam tīrās peļņas jutīgumu pret izmaiņām vienā no to ietekmējošajiem faktoriem, tas ir, šajā gadījumā pārdošanas apjoma faktorā. Pārējie peļņas apmēru ietekmējošie faktori paliek nemainīgi. Peļņas apmēru iespējams noteikt arī tad, ja turpmāk vienlaikus mainās vairāku faktoru ietekme. Tādējādi jutīguma analīze ļauj noteikt vispārējā ekonomiskā rādītāja reakcijas stiprumu uz izmaiņām atsevišķos faktoros, kas ietekmē šo rādītāju.

Matricas metode

Līdzās augstāk minētajām ekonomiskajām un matemātiskajām metodēm tās tiek izmantotas arī saimniecisko darbību analīzē. Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru.

Tīkla plānošanas metode

Skatīt tālāk:

Ekstrapolācijas analīze

Papildus apspriestajām metodēm tiek izmantota arī ekstrapolācijas analīze. Tas ietver analizējamās sistēmas stāvokļa izmaiņu izskatīšanu un ekstrapolāciju, tas ir, šīs sistēmas esošo raksturlielumu paplašināšanu nākamajiem periodiem. Šāda veida analīzes ieviešanas procesā var izdalīt šādus galvenos posmus: pieejamo datu sākotnējās sērijas primārā apstrāde un transformācija; empīrisko funkciju veida izvēle; šo funkciju galveno parametru noteikšana; ekstrapolācija; veiktās analīzes ticamības pakāpes noteikšana.

Ekonomiskā analīze izmanto arī galveno komponentu metodi. Tos izmanto indivīdu salīdzinošai analīzei sastāvdaļas, tas ir, organizācijas darbības analīzes parametri. Galvenās sastāvdaļas ir svarīgākās īpašības lineāras komponentu kombinācijas, tas ir, analīzes parametri, kuriem ir visnozīmīgākās dispersijas vērtības, proti, lielākās absolūtās novirzes no vidējām vērtībām.

Dzelzceļa ministrija Krievijas Federācija

Urāls Valsts universitāte Komunikācijas ceļi

Čeļabinskas Dzelzceļa institūts

KURSA DARBS

kurss: “Ekonomiskā un matemātiskā modelēšana”

Tēma: “Matemātiskie modeļi ekonomikā”

Pabeigts:

Šifrs:

Adrese:

Pārbaudīts:

Čeļabinska 200_ g.

Ievads

Atskaišu veidošana un saglabāšana

Problēmas risināšana datorā

Literatūra

Ievads

Modelēšanu zinātniskajos pētījumos sāka izmantot jau senos laikos un pakāpeniski ieguva jaunas zinātnisko zināšanu jomas: tehnisko projektēšanu, būvniecību un arhitektūru, astronomiju, fiziku, ķīmiju, bioloģiju un, visbeidzot, sociālās zinātnes. 20. gadsimta modelēšanas metode nesa lielus panākumus un atzinību gandrīz visās mūsdienu zinātnes nozarēs. Taču modelēšanas metodoloģiju atsevišķas zinātnes jau ilgu laiku ir izstrādājušas neatkarīgi. Nebija vienotas jēdzienu sistēmas, nebija vienotas terminoloģijas. Tikai pamazām sāka apzināties modelēšanas kā universālas zinātnisko zināšanu metodes lomu.

Termins “modelis” tiek plaši izmantots dažādās cilvēka darbības jomās, un tam ir daudz semantisko nozīmju. Apskatīsim tikai tādus “modeļus”, kas ir zināšanu iegūšanas instrumenti.

Modelis ir materiāls vai garīgi iedomāts objekts, kas izpētes procesā aizvieto sākotnējo objektu, lai tā tiešā izpēte sniegtu jaunas zināšanas par sākotnējo objektu.

Modelēšana attiecas uz modeļu konstruēšanas, izpētes un pielietošanas procesu. Tas ir cieši saistīts ar tādām kategorijām kā abstrakcija, analoģija, hipotēze utt. Modelēšanas process obligāti ietver abstrakciju konstruēšanu, secinājumus pēc analoģijas un zinātnisku hipotēžu konstruēšanu.

Modelēšanas galvenā iezīme ir tā, ka tā ir netiešās izziņas metode, izmantojot starpniekservera objektus. Modelis darbojas kā sava veida izziņas instruments, ko pētnieks novieto starp sevi un objektu un ar kura palīdzību viņš pēta sev interesējošo objektu. Tieši šī modelēšanas metodes iezīme nosaka specifiskās abstrakciju, analoģiju, hipotēžu un citu izziņas kategoriju un metožu izmantošanas formas.

Modelēšanas metodes izmantošanas nepieciešamību nosaka tas, ka daudzus objektus (vai ar šiem objektiem saistītas problēmas) vai nu nav iespējams tieši izpētīt, vai arī šis pētījums prasa daudz laika un naudas.

Modelēšana ir ciklisks process. Tas nozīmē, ka pirmajam četrpakāpju ciklam var sekot otrais, trešais utt. Tajā pašā laikā tiek paplašinātas un pilnveidotas zināšanas par pētāmo objektu, pakāpeniski tiek pilnveidots sākotnējais modelis. Trūkumi, kas atklāti pēc pirmā modelēšanas cikla, jo sliktās zināšanas par objektu un kļūdas modeļa konstruēšanā, var tikt laboti nākamajos ciklos. Tādējādi modelēšanas metodika satur lielas iespējas pašattīstībai.

Ekonomisko sistēmu matemātiskās modelēšanas mērķis ir izmantot matemātiskās metodes, lai visefektīvāk atrisinātu problēmas, kas rodas ekonomikas jomā, izmantojot, kā likums, mūsdienu datortehnoloģijas.

Ekonomisko problēmu risināšanas process tiek veikts vairākos posmos:

Problēmas būtisks (ekonomisks) formulējums. Vispirms jums ir jāsaprot uzdevums un skaidri tas jāformulē. Vienlaikus tiek noteikti arī objekti, kas attiecas uz risināmo problēmu, kā arī situācija, kas jārealizē tās risināšanas rezultātā. Šis ir problēmas jēgpilnas formulēšanas posms. Lai problēmu varētu kvantitatīvi aprakstīt un tās risināšanā izmantot datortehnoloģiju, nepieciešams ražot kvalitatīvu un kvantitatīvā analīze ar to saistītie objekti un situācijas. Šajā gadījumā sarežģīti objekti tiek sadalīti daļās (elementos), šo elementu savienojumi, to īpašības, īpašību kvantitatīvās un kvalitatīvās vērtības, kvantitatīvās un loģiskās attiecības starp tiem, kas izteiktas vienādojumu, nevienādību utt. ir noteikti. Šis ir problēmas sistēmas analīzes posms, kura rezultātā objekts tiek parādīts sistēmas formā.

Nākamais posms ir uzdevuma matemātiskā formulēšana, kuras laikā tiek konstruēts objekta matemātiskais modelis un noteiktas metodes (algoritmi) problēmas risinājuma iegūšanai. Šis ir problēmas sistēmas sintēzes (matemātiskās formulēšanas) posms. Jāatzīmē, ka šajā posmā var izrādīties, ka iepriekš veiktā sistēmas analīze ir novedusi pie elementu, īpašību un attiecību kopuma, kurai nav pieņemamas metodes problēmas risināšanai, kā rezultātā ir jāatgriežas pie sistēmas analīzes posms. Parasti ekonomiskajā praksē risināmās problēmas tiek standartizētas, sistēmas analīze tiek veikta, pamatojoties uz labi zināmu matemātisko modeli un tā risināšanas algoritmu, problēma ir tikai piemērotas metodes izvēlē.

Nākamais solis ir izstrādāt programmu problēmas risināšanai datorā. Sarežģītiem objektiem, kas sastāv no liels skaits elementi, kuriem ir liels skaitsīpašības, var būt nepieciešams apkopot datu bāzi un rīkus darbam ar to, metodes aprēķiniem nepieciešamo datu izgūšanai. Standarta uzdevumiem netiek veikta izstrāde, bet gan piemērotas lietojumprogrammu pakotnes un datu bāzes pārvaldības sistēmas izvēle.

Pēdējā posmā modelis tiek darbināts un iegūti rezultāti.

Tādējādi problēmas risināšana ietver šādas darbības:

2. Sistēmas analīze.

3. Sistēmas sintēze (problēmas matemātiskā formulēšana)

4. Programmatūras izstrāde vai izvēle.

5. Problēmas risināšana.

Konsekventa operāciju izpētes metožu izmantošana un to ieviešana uz mūsdienu informācijas un skaitļošanas tehnoloģijām ļauj pārvarēt subjektivitāti un novērst tā sauktos brīvprātīgos lēmumus, kas balstīti nevis uz stingru un precīzu objektīvu apstākļu uzskaiti, bet gan uz nejaušām emocijām un vadītāju personīgo ieinteresētību dažādos līmeņos, kuri turklāt nevar saskaņot šos brīvprātīgos lēmumus.

Sistēmas analīze ļauj ņemt vērā un izmantot pārvaldībā visu pieejamo informāciju par pārvaldāmo objektu, saskaņot pieņemtos lēmumus no objektīva, nevis subjektīva efektivitātes kritērija viedokļa. Ietaupījums uz aprēķiniem, kontrolējot, ir tas pats, kas ietaupīt uz tēmēšanu šaušanas laikā. Taču dators ne tikai ļauj ņemt vērā visu informāciju, bet arī atbrīvo pārvaldnieku no nevajadzīgas informācijas, un apiet visu nepieciešamo informāciju, pasniedzot viņam tikai vispārinātāko informāciju, kvintesenci. Sistēmiskā pieeja ekonomikā pati par sevi ir efektīva, neizmantojot datoru, kā pētniecības metode, un tā nemaina iepriekš atklātos ekonomikas likumus, bet tikai māca, kā tos vislabāk izmantot.

Procesu sarežģītība ekonomikā prasa, lai lēmumu pieņēmējs būtu augsti kvalificēts un lieliska pieredze. Tas gan negarantē kļūdas, matemātiskā modelēšana ļauj ātri atbildēt uz uzdoto jautājumu vai veikt eksperimentālus pētījumus, kas ir neiespējami vai prasa lielas izmaksas un laiku.

Matemātiskā modelēšana ļauj pieņemt optimālo, tas ir, labākais risinājums. Tas var nedaudz atšķirties no pareizā pieņemts lēmums neizmantojot matemātisko modelēšanu (apmēram 3%). Tomēr ar lieliem ražošanas apjomiem šāda “neliela” kļūda var radīt milzīgus zaudējumus.

Matemātiskās metodes, ko izmanto, lai analizētu matemātisko modeli un pieņemtu optimāls risinājums, ir ļoti sarežģīti un to īstenošana bez datora izmantošanas ir sarežģīta. Kā daļu no programmām Excel Un Mathcad Ir rīki, kas ļauj veikt matemātisko analīzi un atrast optimālo risinājumu.

Daļa Nr.1 ​​"Matemātiskā modeļa izpēte"

Problēmas paziņojums.

Uzņēmumam ir iespēja ražot 4 veidu produktus. Lai ražotu katra produkta veida vienību, ir nepieciešams tērēt noteiktu darbaspēka, finanšu un izejvielu daudzumu. Noliktavā ierobežots daudzums katrs resurss. Ražošanas vienības pārdošana nes peļņu. Parametru vērtības ir norādītas 1. tabulā. Papildu nosacījums: finansiālās izmaksas produktu Nr.2 un Nr.4 ražošanai nedrīkst pārsniegt 50 rubļus. (katrs veids).

Pamatojoties uz matemātisko modelēšanu ar līdzekļiem Excel noteikt, kādus produktus un kādos daudzumos ir ieteicams ražot no lielākās peļņas gūšanas viedokļa, analizēt rezultātus, atbildēt uz jautājumiem un izdarīt secinājumus.

1. tabula.

Matemātiskā modeļa sastādīšana

Objektīvā funkcija (TF).

Mērķa funkcija parāda, kādā nozīmē problēmas risinājumam jābūt vislabākajam (optimālajam). Mūsu uzdevumā TF:

Peļņa → maks.

Peļņas vērtību var noteikt pēc formulas:

Peļņa = skaits 1∙ pr 1 + skaits 2 ∙ pr 2 + skaits 3 ∙ pr 3 + skaits 4 ∙ pr 4, Kur saskaiti 1,…, saskaiti 4 –

katra saražotā produkta veida daudzumus;

pr 1,…, pr 4 - peļņa, kas saņemta no katra produkta veida vienības pārdošanas. Vērtību aizstāšana pr 1,…, pr 4 ( no tabulas 1) mēs iegūstam:

TF: 1,7 ∙ skaits 1 + 2,3 ∙ skaits 2 + 2 ∙ skaits 3 + 5 ∙ skaits 4 → maks (1)

Ierobežojumi (GGR).

Ierobežojumi nosaka atkarības starp mainīgajiem. Mūsu problēmā tiek noteikti ierobežojumi resursu izmantošanai, kuru apjomi ir ierobežoti. Visu produktu ražošanai nepieciešamo izejvielu daudzumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Izejvielas = no 1 ∙ daudzuma 1 + no 2 ∙ daudzuma 2 + no 3 ∙ daudzuma 3 + no 4 ∙ daudzuma 4, Kur no 1,…, no 4 –

izejvielu daudzumu, kas nepieciešams, lai saražotu vienu katra produkta veida vienību. Kopējais daudzums Izmantoto izejvielu daudzums nedrīkst pārsniegt pieejamo resursu. Aizstājot vērtības no 1. tabulas, mēs iegūstam pirmo ierobežojumu - izejvielām:

1,8 ∙ skaits 1 + 1,4 ∙ skaits 2 + 1 ∙ skaits 3 + 0,15 ∙ skaits 4 ≤ 800 (2)

Līdzīgi pierakstīsim finanšu un darbaspēka izmaksu ierobežojumus:

0,63 ∙ skaits 1 + 0,1 ∙ skaits 2 + 1 ∙ skaits 3 + 1,7 ∙ skaits 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ skaits 1 + 2,3 ∙ skaits 2 + 1,6 ∙ skaits 3 + 1,8 ∙ skaits 4 ≤ 1000 (4)

Robežnosacījumi (GRU).

Robežnosacījumi parāda, kādās robežās var mainīties vēlamie mainīgie. Mūsu problēmā tās ir finansiālās izmaksas produktu Nr.2 un Nr.4 ražošanai atbilstoši nosacījumam:

0,1 ∙ skaits 2 ≤ 50 rub.; 1,7 ∙ skaits 4 ≤ 50 rub. ( 5)

No otras puses, mums ir jāievieš, ka produkcijas daudzumam jābūt lielākam vai vienādam ar nulli. Mums tas ir acīmredzams, bet datoram nepieciešams nosacījums:

skaitīt 1 ≥ 0; skaits 2 ≥ 0; skaitīt 3 ≥ 0; saskaitīt 4 ≥ 0. ( 6)

Tā kā visi meklētie mainīgie ( saskaiti 1,…, saskaiti 4) tiek iekļauti attiecībā 1-7 pret pirmo pakāpi un uz tiem tiek veiktas tikai summēšanas un reizināšanas darbības ar nemainīgiem koeficientiem, tad modelis ir lineārs.

Problēmas risināšana datorā.

Ieslēdziet datoru. Pirms ieiešanas tīklā iestatiet lietotājvārdu ZA, ar paroli A. Lejupielādējiet programmu Excel. Saglabājiet failu ar nosaukumu Lidovičs Kuļiks. X ls. mapē Ek/k 31 (2). Izveidojiet galveni: kreisajā pusē ir datums, centrā ir faila nosaukums, labajā pusē ir lapas nosaukums.

Mēs izveidojam un formatējam galvenes un avota datu tabulu (1. tabula). Mēs ievadām datus tabulā atbilstoši problēmas variantam.

Veidojam un formatējam tabulu aprēķiniem. Šūnās “Daudzums” ievadām sākotnējās vērtības. Mēs tos izvēlamies tuvu gaidītajam rezultātam. Mums nav iepriekšējas informācijas, tāpēc mēs izvēlēsimies tos vienādus ar 1. Tas ļaus ērti kontrolēt ievadītās formulas.

Rindā “Darbaspēka ieguldījumi” ievadām formulas (4) nosacījumus - produktu daudzuma reizinājums ar darbaspēka ieguldījumu, kas nepieciešams, lai saražotu produkcijas vienību:

precei Nr.1 ​​(=C15*C8);

produkti Nr.2 (=D15*D8);

produkti Nr.3 (=E15*E8);

produkti Nr.4 (=F15*F8).

Kolonnā “TOTAL” mēs atrodam šo šūnu satura summu, izmantojot automātiskās summas pogu Σ. Kolonnā “Atlikušais” atrodam atšķirību starp 1. tabulas šūnu “Resursi-darbaspēka izmaksas” un “KOPĒJĀS Darbaspēka izmaksas” (=G8-G17) saturu. Tāpat aizpildiet “Finanses” (=G9 -G18) un “Izejvielas” (=G10-G19).

Šūnā “Peļņa” mēs aprēķinām peļņu, izmantojot formulas (1) kreiso pusi. Šajā gadījumā mēs izmantosim funkciju =SUMPRODUCT (C15: F15; C11: F11).

Piešķiram šūnas, kas satur kopējo peļņu, finanšu, darbaspēka un izejvielu izmaksas, kā arī produkcijas daudzumus, attiecīgi nosaukumus: “Peļņa”, “Finanses”, “Darbaspēks”, “Izejvielas”, “Pr1”, “Pr2 ”, “Pr3” , “Pr4”. Excel iekļaus šos vārdus pārskatos.

Dialoglodziņa izsaukšana Risinājuma atrašana komandas Pakalpojums-meklē risinājumu…

Mērķa funkcijas mērķis.

Novietojiet kursoru logā Iestatiet mērķa šūnu un, noklikšķinot uz šūnas “Peļņa”, ievadiet tajā tās adresi. Iepazīstinām ar mērķa funkcijas virzienu: Maksimālā vērtība.

Logā ievadiet nepieciešamo mainīgo, kas satur produktu daudzumus 1-4, adreses Mainot šūnas .

Ierobežojumu ievadīšana.

Noklikšķiniet uz pogas Pievienot. Parādās dialoglodziņš Ierobežojumu pievienošana. Novietojiet kursoru logā Šūnas atsauce un ievadiet tur šūnas “Darbaspēka izmaksas” adresi. Atveriet nosacījumu sarakstu un atlasiet<=, в поле Ierobežojums Ievadiet šūnas "Resurss-darbs" adresi. Noklikšķiniet uz pogas Pievienot. Uz jaunu logu Ierobežojumu pievienošana Tāpat mēs ieviešam finansiālu ierobežojumu. Noklikšķiniet uz pogas Pievienot, mēs ieviešam ierobežojumus izejvielām. Noklikšķiniet uz Labi. ir ieviesti ierobežojumi. Ekrānā atkal parādās logs Risinājuma atrašana, laukā Ierobežojumi ir redzams noteikto ierobežojumu saraksts.

Robežnosacījumu ievadīšana.

GRU ievadīšana neatšķiras no ierobežojumu ievadīšanas. Logā Ierobežojumu pievienošana laukā Šūnas atsauce Izmantojot peli, ievadiet šūnas "Fin2" adresi. Zīmes izvēle<=. В поле Ierobežojums pierakstiet 50. Noklikšķiniet uz Pievienot. Izmantojot peli, ievadiet šūnas "Fin4" adresi. Zīmes izvēle<=. В поле Ierobežojums pierakstiet 50. Noklikšķiniet uz Labi. iesim atpakaļ pie loga Risinājuma atrašana. Laukā Ierobežojumi ir redzams pilns ievadīto OGR un GRU saraksts (1. att.).

1. attēls.

Parametru ievadīšana.

Noklikšķiniet uz pogas Iespējas. Parādās logs Risinājumu meklēšanas opcijas. Laukā Lineārais modelis atzīmējiet izvēles rūtiņu. Atlikušos parametrus atstājam nemainīgus. Noklikšķiniet uz Labi(2. att.).

2. attēls.

Risinājums.

Logā Risinājuma atrašana noklikšķiniet uz pogas Izpildīt. Ekrānā parādās logs Risinājumu meklēšanas rezultāti. Tajā teikts: "Risinājums ir atrasts. Visi ierobežojumi un optimāluma nosacījumi ir izpildīti."

Atskaišu veidošana un saglabāšana

Lai atbildētu uz uzdevuma jautājumiem, mums būs nepieciešami ziņojumi. Laukā Pārskata veids Izmantojiet peli, lai atlasītu visus veidus: “Rezultāti”, “Stabilitāte” un “Limiti”.

Ielieciet punktu laukā Saglabājiet atrasto risinājumu un noklikšķiniet uz Labi. (3. att.). Excelģenerē pieprasītās atskaites un ievieto tās atsevišķās lapās. Tiek atvērta sākotnējā lapa ar aprēķinu. Kolonnā "Daudzums" - katra produkta veida atrastās vērtības.

3. attēls.

Mēs izveidojam kopsavilkuma pārskatu. Saņemtās atskaites nokopējam un liekam uz vienas papīra lapas. Mēs tos rediģējam tā, lai viss būtu vienā lapā.

Risinājuma rezultātus attēlojam grafiski. Veidojam diagrammas “Ražošanas daudzums” un “Resursu sadalījums”.

Lai izveidotu diagrammu “Produktu daudzums”, atveriet diagrammas vedni un vispirms atlasiet parastās histogrammas tilpuma versiju. Otrais solis avota datu logā ir atlasīt datu diapazonu = Lidovitsky! $ 14 C $: $ 15 F $. Trešais solis diagrammas parametros ir iestatīt diagrammas nosaukumu “Produktu daudzums”. Ceturtais solis ir diagrammas ievietošana uz esošās lapas. Nospiežot pogu Gatavs Mēs pabeidzam diagrammas veidošanu.

Lai izveidotu “resursu sadalījuma” diagrammu, atveriet diagrammas vedni un pirmais solis ir atlasīt trīsdimensiju histogrammu. Otrais solis avota datu logā ir diapazona atlase: Lidovitsky! 17 $: 19 $; Lidovickis! $ 14 C $: $ 14 F $. Trešais diagrammas parametru solis ir iestatīt diagrammas nosaukumu “Resursu piešķiršana”. Ceturtais solis ir diagrammas ievietošana uz esošās lapas. Nospiežot pogu Gatavs Mēs pabeidzam diagrammas konstruēšanu (4. attēls).

4. attēls.

Šīs diagrammas ilustrē labāko produktu klāstu no lielākās peļņas iegūšanas un atbilstošas ​​resursu sadales viedokļa.

Drukājam lapu ar avota datu tabulām, diagrammām un aprēķinu rezultātiem un lapu ar kopsavilkuma pārskatu uz papīra.

Atrastā risinājuma analīze. Atbildes uz jautājumiem

Saskaņā ar rezultātu ziņojumu.

Maksimālā peļņa, ko var iegūt, ja tiek izpildīti visi uzdevuma nosacījumi, ir 1292,95 rubļi.

Lai to izdarītu, ir nepieciešams ražot maksimāli iespējamo produktu daudzumu Nr.2 - 172,75 un Nr.4 - 29,41 vienību ar finanšu izmaksām, kas nepārsniedz 50 rubļus. katram veidam, un preces Nr.1 ​​- 188,9 un Nr.3 - 213,72. Šajā gadījumā tiks pilnībā iztērēti resursi darbaspēka izmaksām, finansēm un izejvielām.

Saskaņā ar ilgtspējības ziņojumu.

Izmainot kādu no ievades datiem, netiks radīta cita atrastā risinājuma struktūra, t.i. uz citu maksimālās peļņas gūšanai nepieciešamo preču klāstu, ja: peļņa no preces Nr.1 ​​vienības pārdošanas nepalielinās vairāk par 1,45 un samazinās ne vairāk kā par 0,35. Tādējādi:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

peļņa no preces Nr.2 vienības pārdošanas nepalielināsies vairāk par 0,56 un samazināsies ne vairāk kā par 1,61. Tādējādi:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

peļņa no preces Nr.3 vienības pārdošanas nepalielināsies vairāk par 0,56 un samazināsies ne vairāk kā par 0,39. Tādējādi:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

peļņa no preces Nr.4 vienības pārdošanas var samazināties ne vairāk kā par 2,81, t.i. par 56,2% un palielināties neierobežoti. Tādējādi: peļņa 4 > 2,19 = (5 - 2,81) resurss izejvielām var tikt palielināts par 380,54, t.i. par 47,57% un samazināts par 210,46, t.i. par 26,31%. Tādējādi: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Saskaņā ar ierobežojumu ziņojumu:

Viena veida produkcijas daudzums var mainīties no 0 līdz atrastajai optimālajai vērtībai, tas neizraisīs izmaiņas produktu klāstā, kas nepieciešams, lai iegūtu maksimālo peļņu. Tajā pašā laikā, ja jūs ražojat preci Nr.1, tad peļņa būs 971,81 rublis, prece Nr.2 - 895,63 rubļi, prece Nr.3 - 865,51 rubļi, prece Nr.4 - 1145,89 rubļi.

Secinājumi

Matemātiskā modeļa izpēte un tā turpmākā analīze ļauj izdarīt šādus secinājumus:

Maksimālo iespējamo peļņu, kas sastāda 1292,95 rubļus, ja tiek ievēroti visi norādītie nosacījumi un ierobežojumi, var iegūt, ja ražojat preci Nr.1 ​​- 188,9 gab., preci Nr.2 - 172,75 gab., preci Nr.3 - 213,72 gab., produkciju. Nr.4 - 29,41 gab.

Pēc produkcijas izlaišanas visi resursi tiks pilnībā iztērēti.

Atrastā risinājuma struktūra visspēcīgāk ir atkarīga no 1. un 3. ražošanas vienību realizācijas, kā arī no visu pieejamo resursu samazināšanās vai palielināšanas.

Daļa Nr.2 "Izejvielu-produkcijas bilances ekonomiski matemātiskā modeļa aprēķins

Teorētiskie noteikumi.

Bilances metode- finanšu, materiālo un darbaspēka resursu un to vajadzību savstarpējas salīdzināšanas metode. Ekonomiskās sistēmas līdzsvara modelis ir vienādojumu sistēma, kas atbilst resursa pieejamības un tā izmantošanas saskaņošanas prasībām.

Starpnozaru līdzsvars atspoguļo preces ražošanu un sadali pa nozarēm, starpnozaru ražošanas attiecības, materiālo un darba resursu izmantošanu, nacionālā ienākuma veidošanos un sadali.

Starpnozaru līdzsvara shēma.

Katra bilancē iekļautā nozare gan patērē, gan ražo. Ir 4 bilances apgabali (kvadranti) ar ekonomisko saturu:

starpnozaru materiālu savienojumu tabula, šeit X ij - starpnozaru produktu plūsmu vērtības, t.i. i nozarē saražoto un kā materiālu izmaksas j nozarē nepieciešamo ražošanas līdzekļu izmaksas.

Galaprodukti ir produkti, kas no ražošanas sfēras nonāk patēriņa, uzkrāšanas, eksporta u.c. sfērā.

Nosacīti neto produkcija Zj ir nolietojuma Cj un neto produkcijas (Uj + mj) summa.

Atspoguļo nacionālā ienākuma galīgo sadali un izlietojumu. Bruto produkcijas kolonnu un rindu izmanto, lai pārbaudītu bilanci un izveidotu ekonomisko un matemātisko modeli.

Jebkuras patērējošās nozares materiālu izmaksu kopsumma un tās nosacīti neto produkcija ir vienāda ar šīs nozares bruto produkciju:

(1)

Katras nozares bruto izlaide ir vienāda ar tās produkciju patērējošo nozaru materiālo izmaksu un šīs nozares galaproduktu summu.

(2)

Summēsim visus 1. vienādojuma atzarus:

Tāpat arī 2. vienādojumam:

Kreisā puse ir kopprodukts, tad mēs pielīdzinām labās puses:

(3)

Problēmas paziņojums.

Ir četru nozaru ekonomikas sistēma. Noteikt kopējo materiālu izmaksu koeficientus, pamatojoties uz datiem: tiešo materiālu izmaksu koeficientu matricu un bruto izlaides vektoru (2. tabula).

2. tabula.

Bilances modeļa sastādīšana.

Izejvielu un izlaides bilances ekonomiski matemātiskā modeļa pamatā ir tiešo materiālu izmaksu koeficientu matrica:

Tiešo materiālu izmaksu koeficients parāda, cik daudz nozares i produkta nepieciešams, ja ņem vērā tikai tiešās izmaksas nozares j produkcijas vienības ražošanai.

Ņemot vērā 4. izteiksmi, 2. izteiksmi var pārrakstīt:

(5)

Bruto produkcijas vektors.

Galaprodukta vektors.

Apzīmēsim tiešo materiālu izmaksu koeficientu matricu:

Tad vienādojumu sistēma 5 matricas formā:

(6)

Pēdējā izteiksme ir ievades-izejas līdzsvara modelis vai Ļeontjeva modelis. Izmantojot modeli, jūs varat:

Nosakot bruto produkcijas X vērtības, nosakiet galaproduktu Y apjomus:

(7)

kur E ir identitātes matrica.

Pēc galaprodukta Y vērtības noteikšanas nosaka kopprodukta X vērtību:

(8)

apzīmēsim ar B vērtību (E-A) - 1, t.i.

,

tad matricas B elementi būs .

Katrai i nozarei:

Tie ir kopējo materiālu izmaksu koeficienti, kas parāda, cik daudz nozares i produkta jāsaražo, lai iegūtu nozares j galaprodukta vienību, ņemot vērā šo produktu tiešās un netiešās izmaksas.

Aprēķināt izejvielu-produkcijas bilances ekonomiski matemātisko modeli, ņemot vērā dotās vērtības:

Tiešo materiālu izmaksu koeficientu matricas:

Bruto produkcijas vektori:

Ņemsim identitātes matricu, kas atbilst matricai A:

Lai aprēķinātu kopējo materiālu izmaksu koeficientus, mēs izmantojam formulu:

Lai noteiktu visu nozaru bruto produkciju, izmantojiet formulu:

Lai noteiktu starpnozaru produktu plūsmu vērtību (matrica x), mēs nosakām matricas x elementus, izmantojot formulu:

,

kur i = 1…n; j = 1…n;

n ir kvadrātmatricas A rindu un kolonnu skaits.

Lai noteiktu nosacīti neto produkcijas Z vektoru, vektora elementus aprēķina, izmantojot formulu:

Problēmas risināšana datorā

Lejupielādējiet programmu Mathcad .

Izveidojiet failu ar nosaukumu Lidovickis- Kuliks . mcd. mapē Ek/k 31 (2).

Pamatojoties uz sākotnējiem iestatījumiem (veidni), mēs izveidojam un formatējam nosaukumu.

Ievadiet ar atbilstošiem komentāriem ( IZCELSMES = 1) dotā tiešo materiālu izmaksu A koeficientu matrica un bruto izlaides vektors X (visi uzraksti un apzīmējumi tiek ievadīti latīņu fontā, norādītās formulas un komentāri jāatrodas vai nu aprēķināto vērtību līmenī, vai virs tās).

Mēs aprēķinām kopējo materiālu izmaksu koeficientu matricu B. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām matricai A atbilstošo vienību matricu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam funkciju identitāte ( kolonnas ( A)).

Mēs aprēķinām matricu B, izmantojot formulu:

Mēs nosakām bruto produkcijas apjomu visām nozarēm Y, izmantojot formulu:

Matricas definēšana X starpnozaru produktu plūsmu vērtības. Lai to izdarītu, mēs definējam matricas elementus, norādot komentārus:

i=1. rindas (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

Pēc tam mēs atrodam matricu X .

Mēs aprēķinām nosacīti tīras ražošanas vektoru Z, iestatot formulu:

Tā kā līdzsvarā Z ir rindas vektors, mēs atrodam transponēto vektoru Z T .

Atradīsim kopsummas:

9.11.1. Nosacīti tīri produkti:

9.11.2. Gala produkti:

9.11.3. Bruto izlaide:

Risinājuma rezultātus izdrukājam uz papīra.

Produkcijas ražošanas un izplatīšanas starpnozaru bilance

Pamatojoties uz iegūtajiem datiem, sastādīsim ražošanas un resursu sadales starpnozaru bilanci.

Secinājumi

Pamatojoties uz tiešo materiālu izmaksu koeficientu matricu un bruto izlaides vektoru, tika noteikti kopējo materiālu izmaksu koeficienti un sastādīta ražošanas un resursu sadales starpnozaru bilance.

Starpnozaru produktu plūsmu noteiktie materiālie savienojumi vai vērtības (matrica X), t.i. ražošanas nozarē saražoto un patēriņa nozarē kā materiālu izmaksas nepieciešamo ražošanas līdzekļu izmaksas.

Noteicām galaproduktu (Y), t.i. produkti, kas atstāj ražošanas nozari, nonāk patēriņa nozarē.

Nosacīti neto produkcijas vērtību noteicām pa nozarēm (Zj; Z T).

Tika noteikts galīgais bruto produkcijas sadalījums (X). Izmantojot bruto produkcijas kolonnu un rindu, mēs pārbaudījām bilanci (138+697+282+218) =1335.

Pamatojoties uz sastādīto bilanci, var izdarīt šādus secinājumus:

jebkuras patērējošās nozares materiālu izmaksu kopsumma un tās nosacīti neto izlaide ir vienāda ar šīs nozares bruto izlaidi.

Katras nozares bruto izlaide ir vienāda ar tās produkciju patērējošo nozaru materiālo izmaksu un šīs nozares galaproduktu summu.

Literatūra

1. " Matemātiskie modeļi ekonomikā." Laboratorijas un pārbaudes darbu veikšanas vadlīnijas neklātienes izglītības ekonomisko specialitāšu studentiem. Žukovskis A.A. ČIPS UrGUPS. Čeļabinska. 2001.g.

2. Gataulins A.M., Gavrilovs G.V., Sorokina T.M. u.c. Ekonomisko procesu matemātiskā modelēšana. - M., Agropromizdat, 1990. gads.

3. Ekonomiskās un matemātiskās metodes un pielietotie modeļi: Mācību grāmata augstskolām / Rediģēja V. V. Fedosejeva. - M.: VIENOTĪBA, 2001.

4. Meklēt optimālos risinājumus, izmantojot Excel 7.0. Kuritsky B.Ya. Sanktpēterburga: "VNV - Sanktpēterburga", 1997. gads.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Matemātikas darbnīca ekonomistiem un inženieriem. Maskava. Finanses un statistika. 2000. gads.