Kura kopa ir kopu savienība. “Sistēmu teorija un sistēmu analīze

Darbība ar kopām ir noteikums, kā rezultātā no dotajām kopām tiek unikāli iegūta jauna kopa.

Apzīmēsim patvaļīgu darbību ar *. Komplekts iegūts no dotajiem komplektiem A un B, rakstīts formā A*B. Iegūto kopu un pašu darbību parasti sauc par vienu terminu.

komentēt. Ciparu pamatoperācijām tiek izmantoti divi termini: viens apzīmē pašu darbību kā darbību, otrs apzīmē skaitli, kas iegūts pēc darbības veikšanas. Piemēram, darbību, kas apzīmēta ar +, sauc par saskaitīšanu, bet saskaitīšanas rezultātā iegūto skaitli sauc par skaitļu summu. Līdzīgi, reizināšanas darbības zīme un rezultāts a b - skaitļu reizinājums a un b. Tomēr retāk šī atšķirība netiek ņemta vērā, un viņi saka: “Apsveriet skaitļu summu”, kas nozīmē nevis konkrētu rezultātu, bet gan pašu darbību.

Krustojuma darbība.Kopu A un B krustpunkts AglV, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder abām kopām A Un IN vienlaikus.

Citiem vārdiem sakot, AsV - ir kopums visu.g tāds, ka heA Un heV:

Apvienošanas darbība.A un B kopu savienība sauc par kopu, ko apzīmē ar A" un B, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai kopai A vai IN.

Savienojuma darbība dažreiz tiek apzīmēta ar + zīmi, un to sauc par komplekta pievienošanu.

Atšķirības operācijas.Atšķirība starp komplektiem A un B sauc par kopu, ko apzīmē ar AB, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs atrodas A, bet nemelo IN.

Izteiksme ApV lasīt "A krustojumā ar IN», AkjB- “Un saistībā ar B", AB - "A bez IN".

Piemērs 7.1.1.Ļaujiet A = {1, 3,4, 5, 8,9}, IN = {2,4, 6, 8}.

Tad AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YAL = (2,6).”

Pamatojoties uz šīm operācijām, var identificēt vēl divas svarīgas operācijas.

Papildināšanas darbība.Ļaujiet AqS. Tad atšķirība S.A. sauca komplekta A pievienošana S un ir norādīts A s.

Lai jebkura apskatāmā kopa būtu kādas kopas apakškopa U. Papildinājums šādai fiksētai (konkrētas problēmas risināšanas kontekstā) kopai U vienkārši nozīmē A. Tiek izmantots arī apzīmējums SA, Ar A, A."

Piemērs 7.1.2. Kopas (1, 3,4, 5, 8, 9) papildinājums visu decimālo ciparu kopai ir (0, 2, 6, 7).

Kopas Q papildināšana kopai R ir komplekts pa 1.

Kvadrātu kopas papildinājums taisnstūru kopai ir visu taisnstūru kopa ar nevienādām blakus malām.

Mēs redzam, ka kopu savienošanas, krustojuma un papildinājuma darbības atbilst disjunkcijas, konjunkcijas un noliegšanas loģiskajām operācijām.

Simetriskas atšķirības darbība.Kopu A un B simetriskā atšķirība sauc par kopu, ko apzīmē ar A®B, kas sastāv no visiem objektiem, no kuriem katrs pieder tieši vienai no kopām A un B:

Ir viegli redzēt, ka simetriskā atšķirība ir divu kopu savienība AB Un VA. To pašu komplektu var iegūt, ja vispirms apvienosim komplektus A Un IN, un pēc tam izņemiet no komplekta kopīgi elementi.

Piemērs 7.1.3. Ļaujiet dot reālus skaitļus a Tad attiecīgajiem skaitliskiem intervāliem mums ir:

Ņemiet vērā, ka kopš segmenta [A; b] satur skaitli c> un intervāls (c;d) punktu Ar nesatur th numuru Ar slēpjas atšķirībā [A; b] bez [ar; sk. Bet atšķirība, piemēram, (2;5), nesatur skaitli 3, jo tā atrodas segmentā. Mums ir (2;5)=(2;3).

Dotas nesavienotas kopas A Un IN. Tā kā n ir krustojuma darbības zīme, tad ieraksts A(bb nepareizi. Ir arī nepareizi teikt, ka kopām nav krustojuma. Jebkurām kopām vienmēr ir krustojums. Tas, ka kopas nekrustojas, nozīmē, ka to krustpunkts ir tukšs (tas ir, veicot norādīto darbību, iegūstam tukšu kopu). Ja kopas krustojas, tad to krustpunkts nav tukšs. Mēs secinām:

Vispārināsim krustojuma savienojuma darbības uz gadījumu, kad ir vairāk nekā divas kopas.

Lai sistēma ir dota UZ komplekti. Dotās sistēmas kopu krustpunkts ir visu elementu kopa, no kuriem katrs atrodas visās to kopās. UZ.

Dotās sistēmas kopu savienība ir visu elementu kopa, no kuriem katrs atrodas vismaz vienā no tiem UZ.

Ļaujiet sistēmas komplektiem UZ numurētas pēc kādas indeksu saimes elementiem /. Tad jebkurš komplekts UZ var norādīt A,-, Kur iel. Ja kopa ir ierobežota, tad pirmo kopa tiek izmantota kā / naturālie skaitļi(1,2,...,un). Kopumā / var būt bezgalīgs.

Tad vispārējā gadījumā kopu savienība A visiem iel apzīmē (J A( , un krustojums - f]A i .

Ļaujiet kopumam UZ tad galīgi K=Šajā gadījumā

rakstīt AyjA 2 v...KjA„ Un AG4 2 (^---G4p-

Piemērs 7.1.4. Apskatīsim skaitļu līnijas А| intervālus = [-oo; 2], L2 = H°; 3], L 3 = ?

Risinājums.

Konstruēsim skaitļu kopas A un B ģeometriskos attēlus:

Doto kopu robežpunkti sadala skaitļu līniju šādās kopās: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Ir viegli redzēt, ka skaitlisko kopu A var “salikt” no tikko uzrakstītajām kopām, apvienojot (-2) , (1, 3) , (3) un (3, 5) . Lai atrastu kopu A un B krustpunktu, pietiek pārbaudīt, vai pēdējās kopas ir iekļautas kopā B. Tie no tiem, kas ir iekļauti B, veidos vēlamo krustojumu. Veiksim atbilstošu pārbaudi.

Acīmredzot (−2) ir iekļauts kopā B (jo punkts ar koordinātu −2 ir segmenta [−4, 3] iekšējais punkts). Intervāls (1, 3) ir iekļauts arī B (virs tā ir lūka). Kopa (3) ir iekļauta arī B (punkts ar koordinātu 3 ir kopas B robežpunkts un nepārdurts punkts). Un intervāls (3, 5) nav iekļauts skaitliskajā komplektā B (virs tā nav ēnojuma). Atzīmējot izdarītos secinājumus zīmējumā, tas būs šādā formā

Tādējādi vēlamais divu sākotnējo skaitļu kopu A un B krustpunkts ir šādu kopu (−2) , (1, 3) , (3) savienība, ko var uzrakstīt kā (−2)∪(1, 3]). .

Atbilde:

{−2}∪(1, 3] .

Atliek vien apspriest, kā atrast krustpunktu un savienību trīs un vairāk numuru komplekti. Šo problēmu var reducēt uz divu kopu krustpunkta un savienojuma secīgu atrašanu: vispirms pirmais ar otro, pēc tam iegūtais rezultāts ar trešo, tad iegūtais rezultāts ar ceturto utt. Vai arī varat izmantot algoritmu, kas ir līdzīgs jau paziņotajam. Tās vienīgā atšķirība ir tāda, ka intervālu un kopu, kas sastāv no atsevišķiem skaitļiem, rašanās pārbaude jāveic nevis divām, bet visām sākotnējām kopām. Apskatīsim piemēru, kā atrast trīs kopu krustpunktu un savienojumu.

Piemērs.

Atrodiet trīs skaitļu kopu krustpunktu un savienojumu A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Risinājums.

Pirmkārt, kā parasti, mēs attēlojam numuru komplekti uz koordinātu līnijām, un pa kreisi no tām ievietojam cirtainu iekava, kas norāda krustojumu, un kvadrātiekava savienošanai, un zemāk mēs attēlojam koordinātu līnijas ar ciparu kopu robežpunktiem, kas atzīmēti ar sitieniem:

Tātad izrādās, ka koordinātu līnija ir attēlota ar skaitļu kopām (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) ), (40) , (40, ∞) .

Lai to izdarītu, mēs sākam meklēt krustojumus, un mēs pēc kārtas skatāmies, vai ierakstītās kopas ir iekļautas katrā no A, B un D kopām. Visas trīs sākotnējās ciparu kopas ietver intervālu (-3, 12) un kopu (12) . Tie veido vēlamo kopu A, B un D krustpunktu. Mums ir A∩B∩D=(−3, 12] .

Savukārt vēlamā savienība sastāvēs no kopām (−∞, −3) (iekļauta A), (−3) (iekļauta A), (−3, 12) (iekļauta A), (12) ( iekļauti A ), (12, 25) (iekļauti B ), (25) (iekļauti B ) un (40) (iekļauti D ). Tādējādi A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Atbilde:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Noslēgumā ņemiet vērā, ka skaitļu kopu krustpunkts bieži ir tukšā kopa. Tas atbilst gadījumiem, kad oriģinālajām kopām nav elementu, kas vienlaikus pieder visiem.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Neviena no ierakstītajām kopām nav vienlaikus iekļauta četrās sākotnējās kopās, kas nozīmē, ka kopu A, B, D un E krustpunkts ir tukšā kopa.

Atbilde:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliogrāfija.

Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 9. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 13. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Matemātikā kopas jēdziens ir viens no galvenajiem, fundamentālajiem, bet vienas kopas definīcijas nav. Viena no vispāratzītākajām kopas definīcijām ir šāda: kopa ir jebkura definētu un atšķirīgu objektu kolekcija, ko var uzskatīt par vienotu veselumu. Kopu teorijas radītājs, vācu matemātiķis Georgs Kantors (1845-1918), teica šādi: "Kopa ir daudzas lietas, par kurām mēs domājam kā par veselumu."

Komplekti kā datu tips ir izrādījušies ļoti ērti sarežģītu dzīves situāciju programmēšanai, jo tos var izmantot, lai precīzi modelētu reālās pasaules objektus un kompakti attēlotu sarežģītas loģiskās attiecības. Kopas tiek izmantotas Pascal programmēšanas valodā, un tālāk mēs apskatīsim vienu risinājuma piemēru. Turklāt, pamatojoties uz kopu teoriju, tika izveidots relāciju datu bāzu jēdziens un, pamatojoties uz operācijām ar kopām - relāciju algebra un tās darbības- izmanto datu bāzes vaicājumu valodās, jo īpaši SQL.

0. piemērs (Pascal). Vairākos pilsētas veikalos nopērkama preču izvēle. Noteikt: kādi produkti ir pieejami visos pilsētas veikalos; pilns preču klāsts pilsētā.

Risinājums. Mēs definējam pamatdatu tipu Pārtika (produkti), tas var ņemt vērtības, kas atbilst produktu nosaukumiem (piemēram, hleb). Mēs deklarējam kopas veidu; tas definē visas apakškopas, kas sastāv no bāzes tipa vērtību kombinācijām, tas ir, Pārtika. Un mēs veidojam apakškopas: veikali “Solnyshko”, “Veterok”, “Ogonyok”, kā arī atvasinātās apakškopas: MinFood (produkti, kas pieejami visos veikalos), MaxFood (pilns preču klāsts pilsētā). Tālāk mēs izrakstām darbības, lai iegūtu atvasinātas apakškopas. MinFood apakškopa tiek iegūta Solnyshko, Veterok un Ogonyok apakškopu krustošanās rezultātā un ietver tos un tikai tos šo apakškopu elementus, kas ir iekļauti katrā no šīm apakškopām (Paskālā tiek apzīmēta kopu krustpunkta darbība ar zvaigznīti: A * B * C, kopu krustpunkta matemātiskais apzīmējums ir norādīts zemāk ). MaxFood apakškopu iegūst, apvienojot vienas un tās pašas apakškopas un ietver elementus, kas ir iekļauti visās apakškopās (Paskālā kopu apvienošanas darbība tiek apzīmēta ar plus zīmi: A + B + C, kopu apvienošanas matemātiskais apzīmējums ir norādīts zemāk ).

Kods PASCAL

Programmu veikali; veids Pārtika=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, cukurs, maslo, ryba); Veikals = pārtikas komplekts; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: veikals; Sāciet Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Beigas.

Kādi komplektu veidi pastāv?

Objekti, kas veido kopas – mūsu intuīcijas vai intelekta objekti – var būt ļoti dažāda rakstura. Piemērā pirmajā rindkopā mēs analizējām komplektus, kas ietvēra produktu kopu. Komplekti var sastāvēt, piemēram, no visiem krievu alfabēta burtiem. Matemātikā tiek pētītas skaitļu kopas, piemēram, kas sastāv no visiem:

Naturālie skaitļi 0, 1, 2, 3, 4, ...

pirmskaitļi

Pat veseli skaitļi

un tā tālāk. (šajā materiālā ir aplūkotas galvenās skaitļu kopas).

Objektus, kas veido kopu, sauc par tās elementiem. Mēs varam teikt, ka komplekts ir "elementu maiss". Tas ir ļoti svarīgi: komplektā nav identisku elementu.

Kopas var būt ierobežotas un bezgalīgas. Galīga kopa ir kopa, kurai ir naturāls skaitlis, kas ir tās elementu skaits. Piemēram, pirmo piecu nenegatīvo nepāra veselo skaitļu kopa ir ierobežota kopa. Kopu, kas nav galīga, sauc par bezgalīgu. Piemēram, visu naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga.

Ja M- daudz, un a- tā elements, tad viņi raksta: a∈M, kas nozīmē " a pieder komplektam M".

No pirmā (nulles) piemēra programmā Pascal ar produktiem, kas ir pieejami noteiktos veikalos:

hleb∈VETEROK ,

kas nozīmē: elements "hleb" pieder pie daudziem produktiem, kas ir pieejami "VETEROK" veikalā.

Ir divi galvenie veidi, kā definēt kopas: uzskaitījums un apraksts.

Kopu var definēt, uzskaitot visus tās elementus, piemēram:

VETEROK = {hleb, sir, sviests} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Uzskaitījums var definēt tikai ierobežotu kopu. Lai gan to var izdarīt ar aprakstu. Bet bezgalīgas kopas var definēt tikai ar aprakstu.

Kopu aprakstīšanai tiek izmantota šāda metode. Ļaujiet lpp(x) - kāds paziņojums, kas apraksta mainīgā lieluma īpašības x, kura diapazons ir komplekts M. Tad cauri M = {x | lpp(x)} apzīmē kopu, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kuriem apgalvojums lpp(x) ir patiess. Šis izteiciens skan šādi: "Daudzi M, kas sastāv no visiem tādiem x, Kas lpp(x) ".

Piemēram, ierakstīt

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

6. piemērs. Aptaujājot 100 tirgus pircējus, kuri iegādājušies citrusaugļus, apelsīnus iegādājušies 29 pircēji, citronus - 30 pircēji, mandarīnus - 9, tikai mandarīnus - 1, apelsīnus un citronus - 10, citronus un mandarīnus - 4, visus trīs veidus. augļi - 3 pircēji. Cik daudz klientu nav iegādājušies nevienu no šeit uzskaitītajiem citrusaugļiem? Cik daudz klientu iegādājās tikai citronus?

Kopu Dekarta reizinājuma darbība

Lai definētu vēl vienu svarīgu darbību komplektos - Kopu Dekarta reizinājums Ieviesīsim sakārtotas garumu kopas jēdzienu n.

Komplekta garums ir skaitlis n tā sastāvdaļa. Tiek apzīmēta kopa, kas sastāv no elementiem, kas ņemti šādā secībā . Kurā i i () komplekta komponents ir .

Tagad sekos stingra definīcija, kas var nebūt uzreiz skaidra, bet pēc šīs definīcijas būs attēls, no kura kļūs skaidrs, kā iegūt kopu Dekarta reizinājumu.

Dekarta (tiešā) kopu reizinājums sauc par kopu, ko apzīmē ar un kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem garuma komplektiem n, i-tā sastāvdaļa, kurai pieder .

Piemēram, ja , , ,

- (kopu summa) kopu teorijas jēdziens; kopu savienība ir kopa, kas sastāv no visiem tiem elementiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai no dotajām kopām. Kopu A un B savienību apzīmē ar AUB vai A+B...

- (kopu summa), kopu teorijas jēdziens; kopu savienība ir kopa, kas sastāv no elementiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai no dotajām kopām. Kopu A un B savienību apzīmē ar A + B. * * * KOPAS SAVIENĪBA... ... enciklopēdiskā vārdnīca

- (kopu summa), kopu teorijas jēdziens; O. m kopa, kas sastāv no tiem elementiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai no dotajām kopām. O. m. A un B apzīmē A UB vai A + B ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

A un B savienība Kopu savienība (arī summa vai savienojums) kopu teorijā ir kopa, kas satur visus sākotnējo kopu elementus. Parasti tiek apzīmēta divu kopu A un B savienība, taču dažreiz to var atrast formā... ... Wikipedia

Matemātikas nozare, kurā viņi mācās vispārīgas īpašības komplekti, galvenokārt bezgalīgi. kopas jēdziens ir visvienkāršākais matemātiskais jēdziens, tas nav definēts, bet tikai izskaidrots ar piemēru palīdzību: daudz grāmatu plauktā, daudz punktu... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas nozare, kas pēta kopu, īpaši bezgalīgo, vispārējās īpašības. Kopas jēdziens ir visvienkāršākais matemātiskais jēdziens, tas nav definēts, bet tikai izskaidrots ar piemēru palīdzību: daudz grāmatu plauktā, daudzas... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātiskā teorija, kas ar precīziem līdzekļiem pēta bezgalības problēmu. Priekšmets M. l. kopu (kolekciju, klašu, ansambļu) īpašības, sk. arr. bezgalīgs. Kopa A ir jebkura definētu un atšķiramu objektu kolekcija... Loģikas terminu vārdnīca

Asociācija: Vikivārdnīcā ir raksts “asociācija” Asociācija ir organizācijas veids ... Wikipedia

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopu vispārējās īpašības. Kopu teorija ir pamatā lielākajai daļai matemātisko disciplīnu; tam bija liela ietekme uz paša matemātikas priekšmeta izpratni. Saturs 1 Teorija ... ... Wikipedia

Asociācija ir polisemantisks termins, kas ir daļa no sarežģītiem terminiem. Vikivārdnīcā ir ieraksts “asociācija”. Asociācija ir organizācijas veids. Asociācija parastais nosaukums lielie militārie formējumi ... Wikipedia

Grāmatas

Skaitīšana līdz 20. Darba burtnīca bērniem no 6 - 7 gadiem. Federālais valsts izglītības standarts, Ševeļevs Konstantīns Valerijevičs. Darba burtnīca Paredzēts darbam ar bērniem vecumā no 6-7 gadiem. Veicina Izziņas bloka mērķu sasniegšanu, veidojot elementāru matemātiskie attēlojumi. Metodiskā...

Nodarbības mērķi:

izglītojošs: attīstot spēju identificēt kopas un apakškopas; attīstīt prasmes kopu krustošanās un savienojuma apgabala atrašanā attēlos un elementu nosaukšanā no šīs zonas, problēmu risināšanā;
attīstība: attīstība kognitīvā interese studenti; indivīda intelektuālās sfēras attīstība, salīdzināšanas un vispārināšanas prasmju attīstība.
izglītojošs: audzināt precizitāti un uzmanību, pieņemot lēmumus.

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments.

2. Skolotājs izziņo stundas tēmu un kopā ar skolēniem formulē mērķus un uzdevumus.

3. Skolotājs kopā ar skolēniem atgādina 7. klasē apgūto materiālu par tēmu “Komplekti”, iepazīstina ar jauniem jēdzieniem un definīcijām, formulām uzdevumu risināšanai.

“Mums ir vairākas lietas, ko mēs domājam kā vienu” (kopu teorijas pamatlicējs - Georgs Kantors). Georgs KANTORS (1845-1918) - vācu matemātiķis, loģiķis, teologs, transfinito (bezgalīgo) kopu teorijas veidotājs, kam bija izšķiroša ietekme uz matemātikas zinātņu attīstību 19. un 20. gadsimta mijā.

Komplekts ir viens no mūsdienu matemātikas pamatjēdzieniem, ko izmanto gandrīz visās tā sadaļās.

Diemžēl teorijas pamatjēdzienam — kopas jēdzienam — nevar dot stingru definīciju. Protams, var teikt, ka komplekts ir “komplekts”, “kolekcija”, “ansamblis”, “kolekcija”, “ģimene”, “sistēma”, “klase” utt., tomēr tas viss nebūtu matemātisks. definīcija, bet gan krievu valodas vārdu krājuma ļaunprātīga izmantošana.

Lai definētu jebkuru jēdzienu, vispirms ir jānorāda, kurš konkrētais gadījums ir vairāk vispārējs jēdziens, tā ir, kopas jēdzienam to nav iespējams izdarīt, jo matemātikā nav vispārīgāka jēdziena par kopu.

Bieži ir jārunā par vairākām lietām, ko vieno kāda īpašība. Tātad, mēs varam runāt par visu istabas krēslu komplektu, visu šūnu komplektu cilvēka ķermenis, par visu kartupeļu kopumu dotajā maisā, par visu zivju komplektu okeānā, par visu kvadrātu kopu plaknē, par visu punktu kopu uz dotā apļa utt.

Objektus, kas veido doto kopu, sauc par tās elementiem.

Piemēram, daudzas nedēļas dienas sastāv no elementiem: pirmdiena, otrdiena, trešdiena, ceturtdiena, piektdiena, sestdiena, svētdiena.

Daudzi mēneši - no elementiem: janvāris, februāris, marts, aprīlis, maijs, jūnijs, jūlijs, augusts, septembris, oktobris, novembris, decembris.

ķekars aritmētiskās darbības- no elementiem: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Piemēram, ja A nozīmē visu naturālo skaitļu kopu, tad 6 pieder pie A, bet 3 nepieder pie A.

Ja A ir visu gada mēnešu kopa, tad maijs pieder A, bet trešdiena nepieder A.

Ja kopa satur ierobežotu skaitu elementu, tad to sauc par galīgu, un, ja tajā ir bezgalīgi daudz elementu, tad to sauc par bezgalīgu. Tātad koku kopa mežā ir ierobežota, bet apļa punktu kopa ir bezgalīga.

Paradokss loģikā- šī ir pretruna, kurai ir loģiski pareiza secinājuma statuss, un tajā pašā laikā tā atspoguļo argumentāciju, kas noved pie savstarpēji izslēdzošiem secinājumiem.

Kā jau minēts, kopas jēdziens ir matemātikas pamatā. Izmantojot vienkāršākās kopas un dažādas matemātiskas konstrukcijas, jūs varat izveidot gandrīz jebkuru matemātisko objektu. Ideju konstruēt visu matemātiku, pamatojoties uz kopu teoriju, aktīvi virzīja G. Kantors. Tomēr, neskatoties uz visu savu vienkāršību, kopas jēdziens ir pilns ar pretrunu vai, kā mēdz teikt, paradoksu briesmām. Paradoksu rašanās ir saistīta ar to, ka nevar aplūkot visas konstrukcijas un ne visas kopas.

Vienkāršākais no paradoksiem ir " friziera paradokss".

Vienam karavīram pavēlēja noskuties tos un tikai tos karavīrus savā vadā, kuri paši neskujas. Kā zināms, nepakļaušanās pavēlēm armijā, šausmīgs noziegums. Taču radās jautājums, vai šim karavīram vajadzētu noskūties. Ja viņš skūst, tad viņu vajadzētu ierindot starp tiem daudzajiem karavīriem, kuri skūst sevi, un viņam nav tiesību skūt tādus cilvēkus. Ja viņš neskujas, viņš nonāks starp daudziem karavīriem, kuri neskujas, un saskaņā ar pavēli viņam ir pienākums noskūt šādus karavīrus. Paradokss.

Uz kopām, tāpat kā uz daudziem citiem matemātiskiem objektiem, var veikt dažādas darbības, kuras dažkārt sauc par kopu teorētiskajām operācijām vai kopu operācijām. Operāciju rezultātā tiek iegūti jauni komplekti no oriģinālajiem komplektiem. Komplekti ir apzīmēti ar lielajiem burtiem ar latīņu burtiem, un to elementi ir ar mazajiem burtiem. Ieraksts a R nozīmē, ka elements A pieder komplektam R, tas ir A R. Citādi, kad A komplektā neietilpst R, viņi raksta a R .

Divi komplekti A Un IN tiek saukti vienāds (A =IN), ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, tas ir, no katra kopas elementa A ir komplekta elements IN un otrādi, katrs komplekta elements IN ir komplekta elements A .

Komplektu salīdzinājums.

Kopa A ir ietverta kopā B (kopa B ietver kopu A), ja katrs A elements ir B elements:

Viņi saka, ka ir daudz A ietverts daudzos IN vai daudzi A ir apakškopa komplekti IN(šajā gadījumā viņi raksta A IN), ja katrs kopas elements A vienlaikus ir arī kopas elements IN. Šo atkarību starp kopām sauc ieslēdzoties . Jebkuram komplektam A ieslēgumi notiek: Ø A Un A A

Šajā gadījumā A sauca apakškopa B, B - superset A. Ja , tad A sauca pašu apakškopu IN. ievērojiet, tas ,

A-prioritāte,

Abas kopas tiek sauktas vienāds, ja tās ir viena otras apakškopas

Iestatīt darbības

Krustojums.

Asociācija.

Īpašības.

1. Kopu apvienošanas darbība ir komutatīva

2. Kopu apvienošanas darbība ir pārejoša

3. Tukša kopa X ir kopu savienošanas darbības neitrāls elements

1. Pieņemsim, ka A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7). Tad

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Atradīsim šo kopu savienību un krustpunktu:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Bērnu kopa ir visas populācijas apakškopa

4. Veselu skaitļu kopas krustpunkts ar kopu pozitīvi skaitļi ir naturālu skaitļu kopa.

5. Apvienojot komplektu racionālie skaitļi ar iracionālo skaitļu kopu ir pozitīvo skaitļu kopa.

6. Nulle ir naturālo skaitļu kopas papildinājums attiecībā pret nenegatīvo veselo skaitļu kopu.

Venna diagrammas(Venna diagrammas) - vispārīgs nosaukums vairākām vizualizācijas metodēm un grafiskās ilustrācijas metodēm, ko plaši izmanto dažādās zinātnes un matemātikas jomās: kopu teorija, faktiski "Vena diagramma" parāda visas iespējamās attiecības starp komplektiem vai notikumiem no noteiktas ģimenes; šķirnes Venna diagramma kalpot: Eilera diagrammas,

Četru komplektu Venna diagramma.

Patiesībā "Vena diagramma" parāda visas iespējamās attiecības starp komplektiem vai notikumiem no noteiktas ģimenes. Tipiskai Venna diagrammai ir trīs komplekti. Pats Venns mēģināja atrast elegants veids ar simetriskām formām, kas attēlota diagrammā lielāks skaits komplektiem, taču viņš to spēja izdarīt tikai četrām kopām (skat. attēlu pa labi), izmantojot elipses.

Eilera diagrammas

Eilera diagrammas ir līdzīgas Venna diagrammām, kuras var izmantot, lai novērtētu kopu teorētisko identitāšu ticamību.

1. uzdevums. Klasē ir 30 cilvēki, no kuriem katrs dzied vai dejo. Zināms, ka dzied 17 cilvēki, bet dejot prot 19 cilvēki. Cik cilvēku dzied un dejo vienlaikus?

Risinājums: Pirmkārt, atzīmēsim, ka no 30 cilvēkiem 30–17 = 13 cilvēki neprot dziedāt.

Viņi visi prot dejot, jo... Atbilstoši nosacījumam katrs klases skolēns dzied vai dejo. Kopumā dejot var 19 cilvēki, no tiem 13 nevar dziedāt, kas nozīmē, ka vienlaikus var dejot un dziedāt 19-13 = 6 cilvēki.

Problēmas, kas saistītas ar kopu krustojumu un savienību.

Dotās kopas A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Atrodiet komplektus AU B,
Izveidojiet vismaz septiņus vārdus, kuru burti veido kopas apakškopas
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Lai A ir naturālu skaitļu kopa, kas dalās ar 2, un B ir naturālo skaitļu kopa, kas dalās ar 4. Kādu secinājumu var izdarīt par šīm kopām?
Uzņēmumā strādā 67 darbinieki. No tiem 47 zina angļu valoda, 35 ir vācu valodas un 23 ir abas valodas. Cik daudz cilvēku uzņēmumā nezina ne angļu valodu, ne vācu valodas?
No 40 mūsu klases skolēniem 32 garšo piens, 21 – limonāde, bet 15 – gan piens, gan limonāde. Cik bērniem mūsu klasē negaršo piens vai limonāde?
12 no maniem klasesbiedriem patīk lasīt detektīvus, 18 mīl zinātnisko fantastiku, trīs labprāt lasa abus, bet viens vispār neko nelasa. Cik skolēnu ir mūsu klasē?
No tiem 18 maniem klasesbiedriem, kuriem patīk skatīties trillerus, tikai 12 nevēlas skatīties multfilmas. Cik no maniem klasesbiedriem skatās tikai “multenes”, ja kopā mūsu klasē ir 25 skolēni, no kuriem katram patīk skatīties vai nu trillerus, vai multenes, vai abus?
No 29 mūsu pagalma zēniem tikai divi nesporto, pārējie apmeklē futbola vai tenisa sekcijas, vai pat abus. 17 zēni spēlē futbolu un 19 zēni spēlē tenisu. Cik tenisistu spēlē futbolu?
65% vecmāmiņas trušu mīl burkānus, 10% mīl gan burkānus, gan kāpostus. Cik procentu trušu vēlētos ēst kāpostus?
Vienā klasē mācās 25 skolēni. No tiem 7 mīlas bumbieri, 11 mīlas ķirši. Divi mīlas bumbieri un ķirši; 6 - bumbieri un āboli; 5 - āboli un ķirši. Bet klasē ir divi skolēni, kuriem patīk viss, un četri, kuriem vispār nepatīk augļi. Cik daudziem skolēniem šajā klasē garšo āboli?
Skaistumkonkursā piedalījās 22 meitenes. No tiem 10 bija skaistas, 12 bija gudras un 9 bija laipnas. Tikai 2 meitenes bija gan skaistas, gan gudras; 6 meitenes bija gudras un laipnas vienlaikus. Nosakiet, cik daudz skaistu un tajā pašā laikā laipnu meiteņu bija, ja es jums saku, ka dalībnieku vidū nebija nevienas gudras, laipnas un tajā pašā laikā skaista meitene?
Mūsu klasē mācās 35 skolēni. Pirmajā ceturksnī krievu valodā A atzīmes bija 14 skolēniem; matemātikā - 12; vēsturē - 23. Krievu valodā un matemātikā - 4; matemātikā un vēsturē - 9; krievu valodā un vēsturē - 5. Cik skolēniem ir A visos trīs priekšmetos, ja klasē nav neviena skolēna, kuram A nav vismaz vienā no šiem priekšmetiem?
No 100 cilvēkiem 85 zina angļu valodu, 80 runā spāniski, 75 runā vāciski. Katrs runā vismaz vienā svešvalodā. Viņu vidū nav tādu, kas zina divas svešvalodas, bet ir tādi, kas runā trīs valodās. Cik no šiem 100 cilvēkiem runā trīs valodās?
No uzņēmuma darbiniekiem 16 apmeklēja Franciju, 10 - Itāliju, 6 - Angliju; Anglijā un Itālijā - 5; Anglijā un Francijā - 6; visās trīs valstīs - 5 darbinieki. Cik cilvēku apmeklēja gan Itāliju, gan Franciju, ja uzņēmumā kopumā strādā 19 cilvēki, un katrs apmeklēja vismaz vienu no šīm valstīm?