Aplūkosim izliektu trapeci, ko ierobežo Ox ass, līkne y=f(x) un divas taisnes: x=a un x=b (85. att.). Ņemsim patvaļīgu x vērtību (tikai ne a un ne b). Piešķirsim tam pieaugumu h = dx un aplūkosim joslu, ko ierobežo taisnes AB un CD, Ox ass un loka BD, kas pieder aplūkojamajai līknei. Mēs šo joslu sauksim par elementāru sloksni. Elementārās sloksnes laukums atšķiras no taisnstūra ACQB laukuma ar līknes trīsstūri BQD, un tā laukums ir mazāks par taisnstūra BQDM laukumu ar malām BQ = =h= dx) QD = Ay un laukums vienāds ar hay = Ay dx. Pusei h samazinoties, arī Du puse samazinās un vienlaikus ar h tiecas uz nulli. Tāpēc BQDM laukums ir otrās kārtas bezgalīgi mazs. Elementārās joslas laukums ir laukuma pieaugums, un taisnstūra laukums ACQB, kas vienāds ar AB-AC ==/(x) dx>, ir laukuma diferenciālis. Līdz ar to mēs atrodam pašu apgabalu, integrējot tā diferenciāli. Apskatāmā attēla ietvaros neatkarīgais mainīgais l: mainās no a uz b, tāpēc nepieciešamais laukums 5 būs vienāds ar 5= \f(x) dx. (I) Piemērs 1. Aprēķināsim laukumu, ko ierobežo parabola y - 1 -x*, taisnes X =--Fj-, x = 1 un O* ass (86. att.). pie att. 87. att. 86. 1 Šeit f(x) = 1 - l?, integrācijas robežas ir a = - un £ = 1, tāpēc J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Piemērs 2. Aprēķināsim laukumu, ko ierobežo sinusoīds y = sinXy, Ox ass un taisne (87. att.). Pielietojot formulu (I), iegūstam A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. piemērs. Aprēķiniet laukumu, ko ierobežo sinusoīda loka ^у = sin jc, slēgtā starp diviem blakus esošiem krustošanās punktiem ar Ox asi (piemēram, starp sākumpunktu un punktu ar abscisu i). Ņemiet vērā, ka no ģeometriskiem apsvērumiem ir skaidrs, ka šis laukums būs divreiz lielāks vairāk platības iepriekšējais piemērs. Tomēr veiksim aprēķinus: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Patiešām, mūsu pieņēmums izrādījās pareizs. 4. piemērs. Aprēķiniet laukumu, ko vienā periodā ierobežo sinusoīds un Ox ass (88. att.). Sākotnējie aprēķini liecina, ka laukums būs četras reizes lielāks nekā 2. piemērā. Taču pēc aprēķinu veikšanas iegūstam “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Šis rezultāts ir jāprecizē. Lai noskaidrotu lietas būtību, mēs aprēķinām arī laukumu, ko ierobežo tā pati sinusoīda y = sin l: un Ox ass diapazonā no l līdz 2i. Pielietojot formulu (I), iegūstam 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Tādējādi mēs redzam, ka šī joma izrādījās negatīva. Salīdzinot to ar 3. uzdevumā aprēķināto laukumu, mēs atklājam, ka viņu absolūtās vērtības ir vienādas, bet pazīmes ir atšķirīgas. Ja pielietojam īpašību V (sk. XI nodaļas 4. §), iegūstam 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Tas, kas notika šajā piemērā, nav nejaušība. Vienmēr laukums, kas atrodas zem Vērša ass, ar nosacījumu, ka neatkarīgais mainīgais mainās no kreisās puses uz labo, tiek iegūts, aprēķinam izmantojot integrāļus. Šajā kursā mēs vienmēr apsvērsim zonas bez zīmēm. Tāpēc atbilde tikko apspriestajā piemērā būs: vajadzīgā platība ir 2 + |-2| = 4. Piemērs 5. Aprēķināsim attēlā redzamā BAB laukumu. 89. Šo laukumu ierobežo Ox ass, parabola y = - xr un taisne y - = -x+\. Kvadrāts izliekta trapece Nepieciešamā OAB platība sastāv no divām daļām: OAM un MAV. Tā kā punkts A ir parabolas un taisnes krustpunkts, tā koordinātes atradīsim, atrisinot vienādojumu sistēmu 3 2 Y = mx. (mums tikai jāatrod punkta A abscisa). Atrisinot sistēmu, mēs atrodam l; = ~. Tāpēc laukums ir jāaprēķina daļās, pirmais kvadrāts. OAM un tad pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [aizvietošana:

] =

Tas nozīmē, ka nepareizais integrālis saplūst un tā vērtība ir vienāda ar .

Atpakaļ Uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Atslēgas vārdi: integrāls, izliekta trapecveida forma, figūru laukums, ko ierobežo lilijas

Aprīkojums Kabīne: marķieris, dators, multimediju projektors

Nodarbības veids: nodarbība-lekcija

Nodarbības mērķi:

• izglītojošs: veidot garīgā darba kultūru, radīt veiksmes situāciju katram skolēnam un radīt pozitīvu motivāciju mācībām; attīstīt spēju runāt un klausīties citus.
• izstrādājot: studenta patstāvīgas domāšanas veidošana zināšanu pielietošanā dažādas situācijas, prasme analizēt un izdarīt secinājumus, attīstīt loģiku, attīstīt spēju pareizi uzdot jautājumus un rast uz tiem atbildes. Pilnveidot skaitļošanas prasmju veidošanos, attīstot studentu domāšanu piedāvāto uzdevumu izpildes gaitā, attīstot algoritmisko kultūru.
• izglītojošs: veidot jēdzienus par līknes trapeci, par integrāli, apgūt plaknes figūru laukumu aprēķināšanas prasmes

Mācību metode: skaidrojošs un ilustratīvs.

Nodarbības progress

Iepriekšējās nodarbībās mācījāmies aprēķināt to figūru laukumus, kuru robežas ir lauztas līnijas. Matemātikā ir metodes, kas ļauj aprēķināt figūru laukumus, ko ierobežo līknes. Šādas figūras sauc par līknes trapecām, un to laukumu aprēķina, izmantojot antiatvasinājumus.

Līklīnija trapece ( 1. slaids)

Izliekta trapece ir figūra, ko ierobežo funkcijas grafiks, ( sh.m.), taisni x = a Un x = b un x-ass

Dažāda veida izliektas trapeces ( 2. slaids)

Mēs apsveram dažādi veidi līknes trapeces un ievērojiet: viena no taisnēm ir deģenerēta līdz punktam, ierobežojošās funkcijas lomu spēlē taisne

Izliektas trapeces laukums (3. slaids)

Labojiet intervāla kreiso galu A, un īstais X mainīsim, t.i., izkustinām līknes trapeces labo sienu un iegūstam mainīgu figūru. Mainīgas līknes trapeces laukums, ko ierobežo funkcijas grafiks, ir antiatvasinājums F funkcijai f

Un segmentā [ a; b] izliektas trapeces laukums, ko veido funkcija f, ir vienāds ar šīs funkcijas antiatvasinājuma pieaugumu:

1. uzdevums:

Atrodiet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo funkcijas grafiks: f(x) = x 2 un taisni y = 0, x = 1, x = 2.

Risinājums: ( pēc algoritma 3. slaids)

Uzzīmēsim funkcijas un līniju grafiku

Atradīsim vienu no antiderivatīvās funkcijas f(x) = x 2 :

Pašpārbaude uz slaida

Integrāls

Apsveriet līknes trapecveida formu, ko nosaka funkcija f segmentā [ a; b]. Sadalīsim šo segmentu vairākās daļās. Visas trapeces laukums tiks sadalīts mazāku izliektu trapeces laukumu summā. ( 5. slaids). Katru šādu trapecveida formu var aptuveni uzskatīt par taisnstūri. Šo taisnstūru laukumu summa sniedz aptuvenu priekšstatu par visu izliektās trapeces laukumu. Jo mazāku mēs sadalām segmentu [ a; b], jo precīzāk mēs aprēķinām laukumu.

Rakstīsim šos argumentus formulu veidā.

Sadaliet segmentu [ a; b] n daļās pa punktiem x 0 = a, x1,…, xn = b. Garums k- th apzīmē ar xk = xk – xk-1. Sastādīsim summu

Ģeometriski šī summa apzīmē attēlā iekrāsotās figūras laukumu ( sh.m.)

Formas summas sauc par funkcijas integrālajām summām f. (sh.m.)

Integrālās summas dod aptuvenu laukuma vērtību. Precīza vērtība tiek iegūts, pārejot uz robežu. Iedomāsimies, ka mēs uzlabojam segmenta [ a; b], lai visu mazo segmentu garumi būtu nulle. Tad saliktās figūras laukums tuvosies izliektās trapeces laukumam. Var teikt, ka izliektas trapeces laukums ir vienāds ar integrālo summu robežu, Sc.t. (sh.m.) vai integrālis, t.i.,

Definīcija:

Funkcijas integrālis f(x) no a uz b sauc par integrālo summu robežu

= (sh.m.)

Ņūtona-Leibnica formula.

Mēs atceramies, ka integrālo summu robeža ir vienāda ar līknes trapeces laukumu, kas nozīmē, ka mēs varam rakstīt:

Sc.t. = (sh.m.)

No otras puses, izliektas trapeces laukumu aprēķina, izmantojot formulu

S k.t. (sh.m.)

Salīdzinot šīs formulas, mēs iegūstam:

= (sh.m.)

Šo vienādību sauc par Ņūtona-Leibnica formulu.

Aprēķinu atvieglošanai formula ir rakstīta šādi:

= = (sh.m.)

Uzdevumi: (sh.m.)

1. Aprēķiniet integrāli, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu: ( pārbaudiet 5. slaidu)

2. Sastādiet integrāļus saskaņā ar zīmējumu ( pārbaudiet 6. slaidu)

3. Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7. slaids)

Plaknes figūru laukumu atrašana ( 8. slaids)

Kā atrast to figūru laukumu, kas nav izliektas trapeces?

Dotas divas funkcijas, kuru grafikus redzat slaidā . (sh.m.) Atrodiet iekrāsotās figūras laukumu . (sh.m.). Vai attiecīgā figūra ir izliekta trapece? Kā jūs varat atrast tā laukumu, izmantojot laukuma summitātes īpašību? Apsveriet divas izliektas trapeces un atņemiet otras laukumu no vienas no tām ( sh.m.)

Izveidosim algoritmu apgabala atrašanai, izmantojot animāciju slaidā:

1. Grafika funkcijas
2. Projicējiet grafiku krustošanās punktus uz x ass
3. Ieēnojiet skaitli, kas iegūts, kad grafiki krustojas
4. Atrodiet līknes trapeces, kuru krustpunkts vai savienojums ir dotā figūra.
5. Aprēķiniet katra no tām laukumu
6. Atrodiet laukumu starpību vai summu

Mutisks uzdevums: Kā iegūt iekrāsotas figūras laukumu (pastāstiet, izmantojot animāciju, 8. un 9. slaids)

Mājas darbs: Izstrādājiet piezīmes, Nr. 353 (a), Nr. 364 (a).

Atsauces

1. Algebra un analīzes pirmsākumi: mācību grāmata vakarskolas (maiņu) skolas 9.-11. klasei / red. G.D. Glāzers. - M: Apgaismība, 1983. gads.
2. Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vidusskolas 10-11 klasēm / Bashmakov M.I. - M: Apgaismība, 1991. gads.
3. Bašmakovs M.I. Matemātika: mācību grāmata iestādēm sākums. un trešdiena prof. izglītība / M.I. Bašmakovs. - M: akadēmija, 2010.
4. Kolmogorovs A.N. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata 10.-11. klasei. izglītības iestādes / A.N. Kolmogorovs. - M: Izglītība, 2010.
5. Ostrovskis S.L. Kā izveidot prezentāciju nodarbībai?/ S.L. Ostrovskis. – M.: 2010. gada pirmais septembris.

Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu

Apskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs analizēsim tipisko un visizplatītāko uzdevumu – kā izmantot noteiktu integrāli, lai aprēķinātu plaknes figūras laukumu. Visbeidzot, tie, kas meklē jēgu augstākajā matemātikā - lai viņi to atrod. Nekad nevar zināt. Mums tas dzīvē būs jātuvina vasarnīcas gabals elementārās funkcijas un atrast tās apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli.

Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:

1) Saprast nenoteikts integrālis vismaz vidējā līmenī. Tādējādi manekeniem vispirms jāizlasa nodarbība Nav.

2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteiktais integrālis. Uzstādiet siltu draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem var atrast lapā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Faktiski, lai atrastu figūras laukumu, jums nav nepieciešams tik daudz zināšanu par nenoteikto un noteiktu integrāli. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tik daudz vairāk aktuāls jautājums būs jūsu zināšanas un prasmes zīmēšanā. Šajā sakarā ir lietderīgi atsvaidzināt atmiņu par pamata elementārfunkciju diagrammām un vismaz, lai varētu izveidot taisni, parabolu un hiperbolu. To var izdarīt (daudziem tas ir nepieciešams), izmantojot metodiskais materiāls un raksti par grafiku ģeometriskām transformācijām.

Patiesībā, uzdevums atrast apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli, ir pazīstams jau no skolas laikiem, un mēs neturēsimies daudz tālāk. skolas mācību programma. Iespējams, šī raksta nemaz nebūtu, bet fakts ir tāds, ka problēma rodas 99 gadījumos no 100, kad students cieš no nīstas skolas un ar entuziasmu apgūst augstākās matemātikas kursu.

Šīs darbnīcas materiāli ir izklāstīti vienkārši, detalizēti un ar minimālu teoriju.

Sāksim ar izliektu trapecveida formu.

Līklīnijas trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo ass, taisnas līnijas un nepārtrauktas funkcijas grafiks intervālā, kas nemaina zīmi šajā intervālā. Ļaujiet šim skaitlim atrasties ne zemāks x ass:

Tad līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli. Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Klasē Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri Es teicu, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.

tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāds definē līkni plaknē, kas atrodas virs ass (tie, kas vēlas, var izveidot zīmējumu), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar laukumu atbilstošā izliekta trapece.

1. piemērs

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmkārt un svarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšana. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PAREIZI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: sākumā labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam, punktu pa punktam būvniecības tehniku ​​var atrast izziņas materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):

Izliektu trapeci es neperēšu, šeit ir redzams, kāds ir laukums mēs runājam par. Risinājums turpinās šādi:

Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:

Atbilde:

Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu , atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, kas, šķiet, ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

2. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , un ass

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass?

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Ja atrodas izliekta trapece zem ass(vai vismaz ne augstāk dotā ass), tad tās laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:

Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez neviena ģeometriskā nozīme, tad tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākās skolas problēmas Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinājums: Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, labāk neizmantot šo metodi..

Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Punktu pēc punkta konstruēšanas tehnika dažādiem grafikiem ir detalizēti apskatīta palīdzībā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.

Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Atkārtoju, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noskaidrotas “automātiski”.

Un tagad darba formula: ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar kāda nepārtraukta funkcija, tad figūras laukums, ierobežots ar grafikiem dotās funkcijas un taisnes , var atrast, izmantojot formulu:

Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. vienkāršu piemēru Nr. 3) ir īpašs gadījums formulas . Tā kā asi ir norādīta ar vienādojumu, un funkcijas grafiks atrodas ne augstāk cirvji, tad

Un tagad pāris piemēri savam risinājumam

5. piemērs

6. piemērs

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums, tieši tā tavs pazemīgais kalps vairākas reizes izkūpēja. Šeit reāls gadījums no dzīves:

7. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Risinājums: Vispirms izveidosim zīmējumu:

...Eh, zīmējums sanāca švaki, bet viss it kā salasāms.

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas “kļūme”, ka jāatrod ēnotās figūras laukums. zaļš!

Šis piemērs ir noderīgs arī ar to, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:

1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;

2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Atbilde:

Pāriesim pie cita jēgpilna uzdevuma.

8. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā un izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:

No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: .
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir? Var būt? Bet kur ir garantija, ka zīmējums tapis ar nevainojamu precizitāti, var izrādīties, ka... Vai sakne. Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?

Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.

Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus.
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:


,

Tiešām,.

Tālākais risinājums ir triviāls, galvenais, lai neapjuktu aizvietojumos un zīmēs, aprēķini šeit nav no tiem vienkāršākajiem.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.

9. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,

Risinājums: attēlosim šis skaitlis uz zīmējuma.

Sasodīts, es aizmirsu parakstīt grafiku un, atvainojiet, es negribēju pārtaisīt attēlu. Nav zīmēšanas diena, īsi sakot, šodien ir tā diena =)

Lai izveidotu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi (un parasti ir noderīgi zināt visu elementāro funkciju grafiki), kā arī dažas sinusa vērtības, tās var atrast trigonometriskā tabula. Dažos gadījumos (kā šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.

Šeit nav nekādu problēmu ar integrācijas robežām, tās izriet tieši no nosacījuma: “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:

Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc: