Antiatvasinājumu piemēru atrašana. Funkcijas un vispārējā izskata antiatvasinājums

Darba veids: 7
Temats: Funkcijas antiatvasinājums

Stāvoklis

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks (kas ir lauzta līnija, kas sastāv no trim taisniem segmentiem). Izmantojot attēlu, aprēķiniet F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu starpība F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, ir vienāda ar ierobežotās līknes trapeces laukumu. ar funkcijas y=f(x) grafiku, taisnes y=0 , x=9 un x=5.

No grafika mēs nosakām, ka norādītā izliektā trapece ir trapece, kuras pamatnes ir vienādas ar 4 un 3 un augstums ir 3. Tās platība ir vienāda

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Darba veids: 7
Atbilde

Stāvoklis

Tēma: Funkcijas antiatvasinājums

Rādīt risinājumu

Risinājums

Attēlā parādīts funkcijas y=F(x) grafiks - viens no kādas funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, kas definēts intervālā (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma f(x)=0 atrisinājumu skaitu segmentā [-3; 4].

Darba veids: 7
Atbilde

Stāvoklis

Saskaņā ar antiatvasinājuma definīciju vienādība ir spēkā: F"(x)=f(x). Tāpēc vienādojumu f(x)=0 var uzrakstīt kā F"(x)=0.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Tā kā attēlā parādīts funkcijas y=F(x) grafiks, jāatrod tie punkti intervālā [-3; 4], kurā funkcijas F(x) atvasinājums ir vienāds ar nulli. No attēla ir skaidrs, ka tās būs F(x) grafika galējo punktu (maksimums vai minimums) abscises.

No grafika mēs nosakām, ka norādītā izliektā trapece ir trapece, kuras pamatnes ir vienādas ar 4 un 3 un augstums ir 3. Norādītajā intervālā ir tieši 7 no tiem (četri minimālie punkti un trīs maksimālie punkti).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma f(x)=0 atrisinājumu skaitu segmentā [-3; 4].

Darba veids: 7
Atbilde

Stāvoklis

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Saskaņā ar antiatvasinājuma definīciju vienādība ir spēkā: F"(x)=f(x). Tāpēc vienādojumu f(x)=0 var uzrakstīt kā F"(x)=0.

Tā kā attēlā parādīts funkcijas y=F(x) grafiks, jāatrod tie punkti intervālā [-3; 3], kurā funkcijas F(x) atvasinājums ir vienāds ar nulli.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma f(x)=0 atrisinājumu skaitu segmentā [-3; 4].

Darba veids: 7
Atbilde

Stāvoklis

No attēla ir skaidrs, ka tās būs F(x) grafika galējo punktu (maksimums vai minimums) abscises.

Norādītajā intervālā ir tieši 5 no tiem (divi minimālie punkti un trīs maksimālie punkti).

Rādīt risinājumu

Risinājums

Attēlā parādīts kādas funkcijas y=f(x) grafiks. Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem. Atrodiet iekrāsotās figūras laukumu. Iekrāsotais skaitlis ir izliekta trapece , ko no augšas ierobežo funkcijas y=f(x) grafiks, ar taisnēm y=0, x=1 un x=3. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Izmantojot attēlu, nosakiet vienādojuma f(x)=0 atrisinājumu skaitu segmentā [-3; 4].

Darba veids: 7
Atbilde

Stāvoklis

Saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu tā laukums S ir vienāds ar starpību F(3)-F(1), kur F(x) ir nosacījumā norādītās funkcijas f(x) antiatvasinājums.

Tieši tāpēc

• S=
• F(3)-F(1)=
• -3^3 +(4,5)\cpunkts 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cpunkts 1^2 -7)=
• Attēlā parādīts kādas funkcijas y=f(x) grafiks.

Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem.

Atrodiet iekrāsotās figūras laukumu.

Mērķis:

Antiderivatīva jēdziena veidošanās.

Sagatavošanās integrāļa uztverei. Skaitļošanas prasmju veidošana. Skaistuma izjūtas audzināšana (spēja saskatīt skaistumu neparastajā).

Matemātiskā analīze ir matemātikas nozaru kopums, kas veltīts funkciju un to vispārinājumu izpētei, izmantojot diferenciālrēķina un integrālrēķina metodes..

Līdz šim esam pētījuši matemātiskās analīzes nozari, ko sauc par diferenciālrēķinu, kuras būtība ir funkcijas izpēte “mazajā”.
Tie. funkcijas izpēte pietiekami mazos katra definīcijas punkta apkaimēs. Viena no diferenciācijas operācijām ir atvasinājuma (diferenciāla) atrašana un pielietošana funkciju izpētē.

Ne mazāk svarīga ir apgrieztā problēma. Ja ir zināma funkcijas uzvedība katra tās definīcijas punkta tuvumā, tad kā var rekonstruēt funkciju kopumā, t.i. visā tās definīcijas darbības jomā. Šī problēma ir tā sauktā integrāļa aprēķina priekšmets.

Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība. Vai funkcijas f(x) atjaunošana no dotā atvasinājuma f`(x).
Latīņu vārds
“Integro” nozīmē restaurācija.
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 utt.

Tā kā katra no tām atvasinājums ir vienāds ar 3x 2. (Konstantes atvasinājums ir 0). Visas šīs funkcijas atšķiras viena no otras ar nemainīgu termiņu. Tieši tāpēc vispārējs risinājums uzdevumu var uzrakstīt formā f(x)= x 3 +C, kur C ir jebkurš konstants reālais skaitlis.

Tiek izsaukta jebkura no atrastajām funkcijām f(x). PRIMODIUMS funkcijai F`(x)= 3x 2

Definīcija. Funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f(x) noteiktā intervālā J, ja visiem x no šī intervāla F`(x)= f(x). Tātad funkcija F(x)=x 3 ir antiatvasinājums f(x)=3x 2 uz (- ∞ ; ∞).
Tā kā visiem x ~R vienādība ir patiesa: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kā jau esam pamanījuši, šai funkcijai ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu (skat. piemēru Nr. 1).

Piemērs Nr.2. Funkcija F(x)=x ir antiatvasināta visiem f(x)= 1/x intervālā (0; +), jo visiem x no šī intervāla spēkā ir vienādība.
F`(x)= (x 1/2)` = 1/2x -1/2 = 1/2x

Piemērs Nr.3. Funkcija F(x)=tg3x ir antiatvasinājums f(x)=3/cos3x intervālā (-n/ 2; p/ 2),
jo F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Piemērs Nr.4. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 ir antiatvasinājums f(x)=12cos4x-1/x 2 intervālā (0;∞)
jo F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2. lekcija.

Tēma: Antiderivatīvs. Galvenā antiderivatīvās funkcijas īpašība.

Pētot antiderivatīvu, mēs paļausimies uz šādu apgalvojumu. Funkcijas noturības zīme: Ja intervālā J funkcijas atvasinājums Ψ(x) ir vienāds ar 0, tad šajā intervālā funkcija Ψ(x) ir nemainīga.

Šo apgalvojumu var parādīt ģeometriski.

Ir zināms, ka Ψ`(x)=tgα, γde α ir funkcijas Ψ(x) grafika pieskares slīpuma leņķis punktā ar abscisu x 0. Ja Ψ`(υ)=0 jebkurā intervāla J punktā, tad tanα=0 δ jebkurai funkcijas Ψ(x) grafika pieskarei. Tas nozīmē, ka funkcijas grafika pieskare jebkurā punktā ir paralēla abscisu asij. Tāpēc norādītajā intervālā funkcijas Ψ(x) grafiks sakrīt ar taisnes nogriezni y=C.

Tātad funkcija f(x)=c ir nemainīga intervālā J, ja f`(x)=0 šajā intervālā.

Patiešām, patvaļīgam x 1 un x 2 no intervāla J, izmantojot teorēmu par funkcijas vidējo vērtību, mēs varam rakstīt:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), jo f`(c)=0, tad f(x2)= f(x1)

Teorēma: (Antiderivatīvās funkcijas galvenā īpašība)

Ja F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem intervālā J, tad visu šīs funkcijas antiatvasinājumu kopai ir forma: F(x) + C, kur C ir jebkurš reāls skaitlis.

Pierādījums:

Pieņemsim, ka F`(x) = f(x), tad (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), ja x Є J.
Pieņemsim, ka pastāv Φ(x) - cits antiatvasinājums f (x) intervālā J, t.i. Φ`(x) = f(x),
tad (Φ(x) - F(x)) = f (x) – f (x) = 0, ja x Є J.
Tas nozīmē, ka Φ(x) - F(x) ir nemainīgs intervālā J.
Tāpēc Φ(x) - F(x) = C.
No kurienes Φ(x)= F(x)+C.
Tas nozīmē, ka, ja F(x) ir antiatvasinājums funkcijai f (x) intervālā J, tad visu šīs funkcijas antiatvasinājumu kopai ir forma: F(x)+C, kur C ir jebkurš reāls skaitlis.
Līdz ar to jebkuri divi dotās funkcijas antiatvasinājumi atšķiras viens no otra ar nemainīgu terminu.

Piemērs: Atrodiet funkcijas f (x) = cos x antiatvasinājumu kopu. Uzzīmējiet pirmo trīs grafikus.

Ne mazāk svarīga ir apgrieztā problēma. Ja ir zināma funkcijas uzvedība katra tās definīcijas punkta tuvumā, tad kā var rekonstruēt funkciju kopumā, t.i. visā tās definīcijas darbības jomā. Šī problēma ir tā sauktā integrāļa aprēķina priekšmets. Sin x ir viens no funkcijas f (x) = cos x antiatvasinājumiem
F(x) = Sin x+C – visu antiatvasinājumu kopa.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Ģeometriskā ilustrācija: Jebkura antiatvasinājuma F(x)+C grafiku var iegūt no antiatvasinājuma F(x) grafika, izmantojot paralēlo pārnesi r (0;c).

Piemērs: Funkcijai f (x) = 2x atrodiet antiatvasinājumu, kura grafiks iet caur t.M (1;4)

Ne mazāk svarīga ir apgrieztā problēma. Ja ir zināma funkcijas uzvedība katra tās definīcijas punkta tuvumā, tad kā var rekonstruēt funkciju kopumā, t.i. visā tās definīcijas darbības jomā. Šī problēma ir tā sauktā integrāļa aprēķina priekšmets. F(x)=x 2 +C – visu antiatvasinājumu kopa, F(1)=4 – atbilstoši uzdevuma nosacījumiem.
Tāpēc 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiatvasinājums.

Antiatvasinājumu ir viegli saprast ar piemēru.

Ņemsim funkciju y = x 3. Kā mēs zinām no iepriekšējām sadaļām, atvasinājums no X 3 ir 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Tāpēc no funkcijas y = x 3 mēs saņemam jauna funkcija: plkst = 3X 2 .
Tēlaini izsakoties, funkcija plkst = X 3 ražota funkcija plkst = 3X 2 un ir tā “vecāks”. Matemātikā nav vārda “vecāks”, bet ir saistīts jēdziens: antiderivatīvs.

Tas ir: funkcija y = x 3 ir funkcijas antiatvasinājums plkst = 3X 2 .

Antiatvasinājuma definīcija:

Mūsu piemērā ( X 3)" = 3X 2 tāpēc y = x 3 – antiderivatīvs priekš plkst = 3X 2 .

Integrācija.

Kā jūs zināt, atvasinājuma atrašanas process attiecībā uz dotā funkcija sauc par diferenciāciju. Un apgriezto darbību sauc par integrāciju.

Piemērs-skaidrojums:

plkst = 3X 2 + grēks x.

Risinājums:

Mēs zinām, ka antiatvasinājums 3 X 2 ir X 3 .

Antiatvasinājums grēkam x ir –cos x.

Mēs pievienojam divus antiatvasinājumus un iegūstam antiatvasinājumu dotajai funkcijai:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Atbilde:
funkcijai plkst = 3X 2 + grēks x y = x 3 – cos x.

Piemērs-skaidrojums:

Atradīsim funkcijas antiatvasinājumu plkst= 2 grēks x.

Risinājums:

Mēs atzīmējam, ka k = 2. Grēka antiatvasinājums x ir –cos x.

Tāpēc funkcijai plkst= 2 grēks x antiatvasinājums ir funkcija plkst= –2cos x.
Koeficients 2 funkcijā y = 2 sin x atbilst antiatvasinājuma koeficientam, no kura šī funkcija tika veidota.

Piemērs-skaidrojums:

Atradīsim funkcijas antiatvasinājumu y= grēks 2 x.

Risinājums:

Mēs to pamanām k= 2. Antiatvasinājums grēkam x ir –cos x.

Mēs izmantojam mūsu formulu, lai atrastu funkcijas antiatvasinājumu y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Atbilde: funkcijai y= grēks 2 x antiatvasinājums ir funkcija y = – ----
2

(4)

Piemērs-skaidrojums.

Ņemsim funkciju no iepriekšējā piemēra: y= grēks 2 x.

Šai funkcijai visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Paskaidrojums.

Paņemsim pirmo rindiņu. Tas skan šādi: ja funkcija y = f( x) ir 0, tad tā antiatvasinājums ir 1. Kāpēc? Jo vienotības atvasinājums ir nulle: 1" = 0.

Pārējās rindas tiek lasītas tādā pašā secībā.

Kā rakstīt datus no tabulas? Paņemsim astoto rindiņu:

(-cos x)" = grēks x

Otro daļu rakstām ar atvasinājuma zīmi, tad vienādības zīmi un atvasinājumu.

Mēs lasām: antiderivatīvs priekš funkcijas grēks x ir funkcija -cos x.

Vai arī: funkcija -cos x ir funkcijas sin antiatvasinājums x.

Iepriekš, ņemot vērā doto funkciju, vadoties pēc dažādām formulām un noteikumiem, mēs atradām tās atvasinājumu. Atvasinājumam ir daudz lietojumu: tas ir kustības ātrums (vai, vispārīgāk, jebkura procesa ātrums); slīpums pieskares funkcijas grafikam; izmantojot atvasinājumu, varat pārbaudīt funkciju monotoniskumam un ekstrēmumam; tas palīdz atrisināt optimizācijas problēmas.

Taču līdzās problēmai, kā atrast ātrumu pēc zināma kustības likuma, pastāv arī apgriezta problēma – kustības likuma atjaunošanas problēma atbilstoši zināmam ātrumam. Apskatīsim vienu no šīm problēmām.

1. piemērs. Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts, tā kustības ātrumu laikā t nosaka pēc formulas v=gt. Atrodi kustības likumu.
Risinājums. Lai s = s(t) ir vēlamais kustības likums. Ir zināms, ka s"(t) = v(t). Tas nozīmē, ka uzdevuma risināšanai ir jāizvēlas funkcija s = s(t), kuras atvasinājums ir vienāds ar gt. Nav grūti uzminēt ka \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Atbilde: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Uzreiz atzīmēsim, ka piemērs ir atrisināts pareizi, bet nepilnīgi. Mēs saņēmām \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktiski problēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu: jebkura funkcija formā \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kur C ir patvaļīga konstante, var kalpot kā likums kustība, jo \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Lai problēmu padarītu precīzāku, mums bija jānovērš sākotnējā situācija: jānorāda kustīga punkta koordinātas noteiktā laika posmā, piemēram, t = 0. Ja, teiksim, s(0) = s 0, tad no vienādību s(t) = (gt 2)/2 + C iegūstam: s(0) = 0 + C, t.i., C = s 0. Tagad kustības likums ir unikāli definēts: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matemātikā tiek piešķirtas savstarpēji apgrieztas darbības dažādi nosaukumi, izdomājiet īpašus apzīmējumus, piemēram: kvadrātveida (x 2) un izvilkšana kvadrātsakne(\(\sqrt(x) \)), sinuss (sin x) un arcsinuss (arcsin x) utt. Dotās funkcijas atvasinājuma atrašanas procesu sauc diferenciācija, un apgrieztā darbība, t.i., funkcijas atrašanas process no dotā atvasinājuma, ir integrācija.

Pats termins “atvasinājums” ir attaisnojams “ikdienišķā izteiksmē”: funkcija y = f(x) “dzemdē” jaunu funkciju y” = f”(x). Funkcija y = f(x) darbojas kā “vecāks”, bet matemātiķi, protams, to nesauc par “vecāku” vai “ražotāju”, viņi saka, ka tā ir, saistībā ar funkciju y" = f"(; x) , primārais attēls vai primitīvs.

Definīcija. Funkciju y = F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai y = f(x) intervālā X, ja vienādība F"(x) = f(x) atbilst \(x \in X\)

Praksē intervāls X parasti nav norādīts, bet ir netiešs (kā funkcijas definīcijas dabisks apgabals).

Sniegsim piemērus.
1) Funkcija y = x 2 ir antiatvasinājums funkcijai y = 2x, jo jebkurai x vienādība (x 2)" = 2x ir patiesa.
2) Funkcija y = x 3 ir antiatvasināta funkcijai y = 3x 2, jo jebkurai x vienādība (x 3)" = 3x 2 ir patiesa.
3) Funkcija y = sin(x) ir antiatvasinājums funkcijai y = cos(x), jo jebkurai x vienādība (sin(x))" = cos(x) ir patiesa.

Atrodot antiatvasinājumus, kā arī atvasinājumus, tiek izmantotas ne tikai formulas, bet arī daži noteikumi. Tie ir tieši saistīti ar atbilstošajiem atvasināto instrumentu aprēķināšanas noteikumiem.

Mēs zinām, ka summas atvasinājums ir vienāds ar tās atvasinājumu summu. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

1. noteikums. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu.

Mēs zinām, ka pastāvīgo faktoru var izņemt no atvasinājuma zīmes. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

2. noteikums. Ja F(x) ir f(x) antiatvasinājums, tad kF(x) ir kf(x) antiatvasinājums.

1. teorēma. Ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums, tad funkcijas y = f(kx + m) antiatvasinājums ir funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

2. teorēma. Ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums intervālā X, tad funkcijai y = f(x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un tiem visiem ir forma y = F(x) + C.

Integrācijas metodes

Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)

Integrācijas metode ar aizstāšanu ietver jauna integrācijas mainīgā (tas ir, aizstāšanas) ieviešanu. Šajā gadījumā dotais integrālis tiek reducēts uz jaunu integrāli, kas ir tabulas veidā vai reducējams uz to. Nav vispārīgu aizvietotāju izvēles metožu. Prasme pareizi noteikt aizstāšanu tiek iegūta praksē.
Lai būtu nepieciešams aprēķināt integrāli \(\textstyle \int F(x)dx \). Veiksim aizstāšanu \(x= \varphi(t) \), kur \(\varphi(t) \) ir funkcija, kurai ir nepārtraukts atvasinājums.
Tad \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) un, pamatojoties uz nenoteiktā integrāļa integrācijas formulas invariances īpašību, mēs iegūstam integrācijas formulu ar aizstāšanu:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Formas \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) izteiksmju integrācija

Ja m ir nepāra, m > 0, tad ērtāk ir izdarīt aizvietošanu sin x = t.
Ja n ir nepāra, n > 0, tad ērtāk ir veikt aizstāšanu cos x = t.
Ja n un m ir pāra, tad ērtāk ir veikt aizstāšanu tg x = t.

Integrācija pa daļām

Integrācija pa daļām – piemērojot šādu integrācijas formulu:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
vai:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Dažu funkciju nenoteikto integrāļu (antiatvasinājumu) tabula

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$ Dokuments

Kāds intervāls X. Ja Priekš jebkurš xХ F"(x) = f(x), tad funkciju F saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f intervālā X. AntiatvasinājumsPriekšfunkcijas var mēģināt atrast...

Antiatvasinājums funkcijai

Dokuments

... . Funkcija F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) uz intervāla (a;b), ja Priekš visi x(a;b) ir spēkā vienādība F(x) = f(x). Piemēram, Priekšfunkcijas x2 antiderivatīvs gribu funkciju x3...

Integrālā aprēķina pamati mācību rokasgrāmata

Apmācība

... ; 5. Atrodiet integrāli. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funkcijasaucaantiderivatīvs Uz funkcijas komplektā, ja: Priekš visi; kādā brīdī; Priekš visi; kādā... intervālā. 1. definīcija. FunkcijasaucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas uz daudziem...

Antiderivatīvs Nenoteikts integrālis

Dokuments

Integrācija. Antiatvasinājums. Nepārtraukta funkciju F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f (x) intervālā X ja Priekš katrs F’ (x) = f (x). PIEMĒRS Funkcija F(x) = x 3 ir antiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) = 3x...

PSRS SPECIĀLĀ IZGLĪTĪBA Augstākās izglītības Izglītības un metodiskās direkcijas apstiprināta AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS METODISKIE NORĀDĪJUMI UN KONTROLES UZDEVUMI (AR PROGRAMMU) inženiertehnisko un tehnisko specialitāšu nepilna laika studentiem.

Vadlīnijas

Jautājumi Priekš pašpārbaude Definējiet antiderivatīvsfunkcijas. Norādiet ģeometriskā nozīme kopums primitīvsfunkcijas. Kas sauca neskaidrs...