Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad vietnē iesniedzat pieprasījumu, mēs varam savākt dažāda informācija, tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Ieslēgts mūsdienu skatuve izglītības attīstība, viens no tās galvenajiem uzdevumiem ir radoši domājošas personības veidošana. Radošuma spējas skolēnos var attīstīt tikai tad, ja viņi sistemātiski tiek iesaistīti pētnieciskās darbības pamatos. Pamatu audzēkņu radošo spēku, spēju un talantu izmantošanai veido pilnvērtīgas zināšanas un prasmes. Šajā sakarā sistēmas veidošanas problēma pamatzināšanas un prasmes katrai tēmai skolas kurss matemātikai ir liela nozīme. Tajā pašā laikā pilnvērtīgām prasmēm jābūt nevis atsevišķu uzdevumu didaktiskajam mērķim, bet gan rūpīgi pārdomātai to sistēmai. Plašākajā nozīmē sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu mijiedarbīgu elementu kopums ar integritāti un stabilu struktūru.

Apskatīsim paņēmienu, kā iemācīt studentiem uzrakstīt vienādojumu funkcijas grafika pieskarei. Būtībā visas pieskares vienādojuma atrašanas problēmas ir saistītas ar nepieciešamību no līniju kopas (saitas, saimes) izvēlēties tās, kas atbilst noteiktai prasībai - tās ir pieskares noteiktas funkcijas grafikam. Šajā gadījumā līniju kopu, no kurām tiek veikta atlase, var norādīt divos veidos:

a) punkts, kas atrodas xOy plaknē (centrālais līniju zīmulis);
b) leņķiskais koeficients (paralēlais taisnu staru kūlis).

Šajā sakarā, pētot tēmu “Funkcijas grafika pieskare”, lai izolētu sistēmas elementus, mēs identificējām divu veidu problēmas:

1) uzdevumi pieskarei, ko nosaka punkts, caur kuru tā iet;
2) problēmas uz pieskares, ko dod tās slīpums.

Apmācība tangentes problēmu risināšanā tika veikta, izmantojot A.G. piedāvāto algoritmu. Mordkovičs. Viņa principiāla atšķirība no jau zināmajiem ir tas, ka pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a (nevis x0), un tāpēc pieskares vienādojums iegūst formu

y = f(a) + f "(a) (x - a)

(salīdziniet ar y = f(x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). metodiskā tehnika, mūsuprāt, ļauj studentiem ātri un viegli saprast, kur vispārējā pieskares vienādojumā ir ierakstītas pašreizējā punkta koordinātas un kur atrodas pieskares punkti.

Funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritms

1. Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. Atrodiet f(a).
3. Atrodiet f "(x) un f "(a).
4. Atrastos skaitļus a, f(a), f "(a) aizstājiet ar vispārējais vienādojums pieskares y = f(a) = f "(a)(x – a).

Šo algoritmu var sastādīt, pamatojoties uz studentu patstāvīgu darbību identificēšanu un to izpildes secību.

Prakse ir parādījusi, ka katras galvenās problēmas secīgs risinājums, izmantojot algoritmu, ļauj attīstīt prasmes rakstīt funkcijas grafika pieskares vienādojumu pa posmiem, un algoritma soļi kalpo kā atskaites punkti darbībām. . Šī pieeja atbilst teorijai pakāpeniska veidošanās garīgās darbības, ko izstrādājis P.Ya. Galperins un N.F. Taļizina.

Pirmā veida uzdevumos tika noteikti divi galvenie uzdevumi:

• pieskares iet caur punktu, kas atrodas uz līknes (1. uzdevums);
• tangenss iet caur punktu, kas neatrodas uz līknes (2. uzdevums).

1. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā M(3; – 2).

Risinājums. Punkts M(3; – 2) ir pieskares punkts, jo

1. a = 3 – pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2–4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – pieskares vienādojums.

2. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = – x 2 – 4x + 2 grafikam, kas iet caur punktu M(– 3; 6).

Risinājums. Punkts M(– 3; 6) nav pieskares punkts, jo f(– 3) 6 (2. att.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – pieskares vienādojums.

Pieskares iet caur punktu M(– 3; 6), tāpēc tās koordinātes apmierina pieskares vienādojumu.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ja a = – 4, tad pieskares vienādojums ir y = 4x + 18.

Ja a = – 2, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 6.

Otrajā veidā galvenie uzdevumi būs šādi:

• pieskare ir paralēla kādai taisnei (3. uzdevums);
• pieskare iet noteiktā leņķī pret doto taisni (4. uzdevums).

3. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = x 3 grafikā – 3x 2 + 3, paralēli taisnei y = 9x + 1.

1. a – pieskares punkta abscisa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Bet, no otras puses, f "(a) = 9 (paralēlisma nosacījums). Tas nozīmē, ka jāatrisina vienādojums 3a 2 – 6a = 9. Tā saknes ir a = – 1, a = 3 (3. att.). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – pieskares vienādojums;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – pieskares vienādojums.

4. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas y = 0,5x 2 – 3x + 1 grafika pieskares vienādojumu, kas iet 45° leņķī pret taisni y = 0 (4. att.).

Risinājums. No nosacījuma f "(a) = tan 45° mēs atrodam a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – pieskares punkta abscisa.
2. f(4) = 8–12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – pieskares vienādojums.

Ir viegli parādīt, ka jebkuras citas problēmas risināšana nozīmē vienas vai vairāku galveno problēmu atrisināšanu. Apsveriet šādas divas problēmas kā piemēru.

1. Uzrakstiet parabolas y = 2x 2 – 5x – 2 pieskares vienādojumus, ja pieskares krustojas taisnā leņķī un viena no tām pieskaras parabolai punktā ar abscisu 3 (5. att.).

Risinājums. Tā kā pieskares punkta abscisa ir dota, pirmā risinājuma daļa tiek reducēta uz galveno problēmu 1.

1. a = 3 – vienas malas pieskares punkta abscisa taisns leņķis.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmās pieskares vienādojums.

Ļaujiet a ir pirmās pieskares slīpuma leņķis. Tā kā pieskares ir perpendikulāras, tad ir otrās pieskares slīpuma leņķis. No pirmās pieskares vienādojuma y = 7x – 20 iegūstam tg a = 7. Atradīsim

Tas nozīmē, ka otrās pieskares slīpums ir vienāds ar .

Tālākais risinājums ir 3. galvenais uzdevums.

Tad lai B(c; f(c)) ir otrās rindas pieskares punkts

1. – otrā pieskares punkta abscisa.
2.
3.
4.
– otrās pieskares vienādojums.

Piezīme. Pieskares leņķisko koeficientu var vieglāk atrast, ja studenti zina perpendikulāru taisnes koeficientu attiecību k 1 k 2 = – 1.

2. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumus funkciju grafikos

Risinājums. Problēma ir saistīta ar kopējo pieskares punktu abscisu atrašanu, tas ir, 1. galvenās problēmas atrisināšanu. vispārējs skats, vienādojumu sistēmas sastādīšana un tās sekojošais risinājums (6. att.).

1. Funkcijas y = x 2 + x + 1 grafikā esošā pieskares punkta abscisa ir a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Pieskares punkta abscisei c, kas atrodas uz funkcijas grafika
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tā kā pieskares ir vispārīgas, tad

Tātad y = x + 1 un y = – 3x – 3 ir kopējās pieskares.

Aplūkojamo uzdevumu galvenais mērķis ir sagatavot studentus patstāvīgi atpazīt galvenās problēmas veidu, risinot sarežģītākas problēmas, kurām nepieciešamas noteiktas pētnieciskās prasmes (spēja analizēt, salīdzināt, vispārināt, izvirzīt hipotēzi u.c.). Šādi uzdevumi ietver jebkuru uzdevumu, kurā galvenais uzdevums ir iekļauts kā sastāvdaļa. Kā piemēru aplūkosim funkciju (apgriezti 1. uzdevumam) atrast funkciju no tās pieskares saimes.

3. Kādam b un c ir taisnes y = x un y = – 2x pieskares funkcijas y = x 2 + bx + c grafikam?

Pieņemsim, ka t ir taisnes y = x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c; p ir taisnes y = – 2x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c. Tad pieskares vienādojums y = x iegūs formā y = (2t + b)x + c – t 2 , bet pieskares vienādojums y = – 2x būs y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastādām un atrisināsim vienādojumu sistēmu

Atbilde:

Funkcijas grafika pieskares vienādojums

P. Romanovs, T. Romanova,
Magņitogorska,
Čeļabinskas apgabals

Funkcijas grafika pieskares vienādojums

Raksts publicēts ar viesnīcu kompleksa ITAKA+ atbalstu. Uzturoties Severodvinskas kuģu būvētāju pilsētā, jūs nesaskarsities ar pagaidu mājokļa atrašanas problēmu. , vietnē viesnīcu komplekss“ITHAKA+” http://itakaplus.ru, Jūs varat ērti un ātri izīrēt dzīvokli pilsētā uz jebkuru laika periodu ar ikdienas maksājumu.

Pašreizējā izglītības attīstības stadijā viens no galvenajiem tās uzdevumiem ir radoši domājošas personības veidošana. Radošuma spējas skolēnos var attīstīt tikai tad, ja viņi sistemātiski tiek iesaistīti pētnieciskās darbības pamatos. Pamatu audzēkņu radošo spēku, spēju un talantu izmantošanai veido pilnvērtīgas zināšanas un prasmes. Šajā sakarā ne mazāk svarīga ir pamatzināšanu un prasmju sistēmas veidošanas problēma katrai skolas matemātikas kursa tēmai. Tajā pašā laikā pilnvērtīgām prasmēm jābūt nevis atsevišķu uzdevumu didaktiskajam mērķim, bet gan rūpīgi pārdomātai to sistēmai. Plašākajā nozīmē sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu mijiedarbīgu elementu kopums ar integritāti un stabilu struktūru.

Apskatīsim paņēmienu, kā iemācīt studentiem uzrakstīt vienādojumu funkcijas grafika pieskarei. Būtībā visas pieskares vienādojuma atrašanas problēmas ir saistītas ar nepieciešamību no līniju kopas (saitas, saimes) izvēlēties tās, kas atbilst noteiktai prasībai - tās ir pieskares noteiktas funkcijas grafikam. Šajā gadījumā līniju kopu, no kurām tiek veikta atlase, var norādīt divos veidos:

a) punkts, kas atrodas uz xOy plaknes (centrālais līniju zīmulis);
b) leņķiskais koeficients (paralēlais taisnu staru kūlis).

Šajā sakarā, pētot tēmu “Funkcijas grafika pieskares”, lai izolētu sistēmas elementus, mēs identificējām divu veidu problēmas:

1) uzdevumi pieskarei, ko nosaka punkts, caur kuru tā iet;
2) problēmas uz pieskares, ko dod tās slīpums.

Apmācība tangentes problēmu risināšanā tika veikta, izmantojot A.G. piedāvāto algoritmu. Mordkovičs. Tās būtiskā atšķirība no jau zināmajām ir tā, ka pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a (nevis x0), un tāpēc pieskares vienādojums iegūst formu

y = f(a) + f "(a) (x - a)

(salīdziniet ar y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Šis metodiskais paņēmiens, mūsuprāt, ļauj studentiem ātri un viegli saprast, kur ir ierakstītas pašreizējā punkta koordinātas. vispārīgais pieskares vienādojums un kur atrodas saskares punkti.

Funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritms

1. Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. Atrodiet f(a).
3. Atrodiet f "(x) un f "(a).
4. Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f "(a) vispārējā pieskares vienādojumā y = f(a) = f "(a)(x – a).

Šo algoritmu var sastādīt, pamatojoties uz studentu patstāvīgu darbību identificēšanu un to izpildes secību.

Prakse ir parādījusi, ka katras galvenās problēmas secīgs risinājums, izmantojot algoritmu, ļauj attīstīt prasmes rakstīt funkcijas grafika pieskares vienādojumu pa posmiem, un algoritma soļi kalpo kā atskaites punkti darbībām. . Šī pieeja atbilst P.Ya izstrādātajai teorijai par pakāpenisku garīgo darbību veidošanos. Galperins un N.F. Taļizina.

Pirmā veida uzdevumos tika noteikti divi galvenie uzdevumi:

• pieskares iet caur punktu, kas atrodas uz līknes (1. uzdevums);
• tangenss iet caur punktu, kas neatrodas uz līknes (2. uzdevums).

1. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā M(3; – 2).

Risinājums. Punkts M(3; – 2) ir pieskares punkts, jo

1. a = 3 – pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2–4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – pieskares vienādojums.

2. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = – x 2 – 4x + 2 grafikam, kas iet caur punktu M(– 3; 6).

Risinājums. Punkts M(– 3; 6) nav pieskares punkts, jo f(– 3) 6 (2. att.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – pieskares vienādojums.

Pieskares iet caur punktu M(– 3; 6), tāpēc tās koordinātes apmierina pieskares vienādojumu.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ja a = – 4, tad pieskares vienādojums ir y = 4x + 18.

Ja a = – 2, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 6.

Otrajā veidā galvenie uzdevumi būs šādi:

• pieskare ir paralēla kādai taisnei (3. uzdevums);
• pieskare iet noteiktā leņķī pret doto taisni (4. uzdevums).

3. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = x 3 grafikā – 3x 2 + 3, paralēli taisnei y = 9x + 1.

Risinājums.

1. a – pieskares punkta abscisa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Bet, no otras puses, f "(a) = 9 (paralēlisma nosacījums). Tas nozīmē, ka jāatrisina vienādojums 3a 2 – 6a = 9. Tā saknes ir a = – 1, a = 3 (3. att.). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – pieskares vienādojums;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – pieskares vienādojums.

4. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas y = 0,5x 2 – 3x + 1 grafika pieskares vienādojumu, kas iet 45° leņķī pret taisni y = 0 (4. att.).

Risinājums. No nosacījuma f "(a) = tan 45° mēs atrodam a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – pieskares punkta abscisa.
2. f(4) = 8–12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – pieskares vienādojums.

Ir viegli parādīt, ka jebkuras citas problēmas risināšana nozīmē vienas vai vairāku galveno problēmu atrisināšanu. Apsveriet šādas divas problēmas kā piemēru.

1. Uzrakstiet parabolas y = 2x 2 – 5x – 2 pieskares vienādojumus, ja pieskares krustojas taisnā leņķī un viena no tām pieskaras parabolai punktā ar abscisu 3 (5. att.).

Risinājums. Tā kā pieskares punkta abscisa ir dota, pirmā risinājuma daļa tiek reducēta uz galveno problēmu 1.

1. a = 3 – taisnā leņķa vienas malas pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmās pieskares vienādojums.

Ļaujiet a – pirmās pieskares slīpuma leņķis. Tā kā pieskares ir perpendikulāras, tad ir otrās pieskares slīpuma leņķis. No pirmās pieskares vienādojuma y = 7x – 20 mums ir tg a = 7. Atradīsim

Tas nozīmē, ka otrās pieskares slīpums ir vienāds ar .

Tālākais risinājums ir 3. galvenais uzdevums.

Tad lai B(c; f(c)) ir otrās rindas pieskares punkts

1. – otrā pieskares punkta abscisa.
2.
3.
4.
– otrās pieskares vienādojums.

Piezīme. Pieskares leņķisko koeficientu var vieglāk atrast, ja studenti zina perpendikulāru taisnes koeficientu attiecību k 1 k 2 = – 1.

2. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumus funkciju grafikos

Risinājums. Uzdevums ir atrast kopējo pieskares punktu abscisu, tas ir, atrisināt 1. galveno uzdevumu vispārīgā formā, izveidot vienādojumu sistēmu un pēc tam to atrisināt (6. att.).

1. Funkcijas y = x 2 + x + 1 grafikā esošā pieskares punkta abscisa ir a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Pieskares punkta abscisei c, kas atrodas uz funkcijas grafika
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tā kā pieskares ir vispārīgas, tad

Tātad y = x + 1 un y = – 3x – 3 ir kopējās pieskares.

Aplūkojamo uzdevumu galvenais mērķis ir sagatavot studentus patstāvīgi atpazīt galvenās problēmas veidu, risinot sarežģītākas problēmas, kurām nepieciešamas noteiktas pētnieciskās prasmes (spēja analizēt, salīdzināt, vispārināt, izvirzīt hipotēzi u.c.). Šādi uzdevumi ietver jebkuru uzdevumu, kurā galvenais uzdevums ir iekļauts kā sastāvdaļa. Kā piemēru aplūkosim funkciju (apgriezti 1. uzdevumam) atrast funkciju no tās pieskares saimes.

3. Kādam b un c ir taisnes y = x un y = – 2x pieskares funkcijas y = x 2 + bx + c grafikam?

Risinājums.

Pieņemsim, ka t ir taisnes y = x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c; p ir taisnes y = – 2x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c. Tad pieskares vienādojums y = x iegūs formā y = (2t + b)x + c – t 2 , bet pieskares vienādojums y = – 2x būs y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastādām un atrisināsim vienādojumu sistēmu

Atbilde:

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Uzrakstiet funkcijas y = 2x 2 – 4x + 3 grafikam uzzīmēto pieskares vienādojumus grafa krustpunktos ar taisni y = x + 3.

Atbilde: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Kurām a vērtībām funkcijas y = x 2 – ax grafikam novilktā pieskare grafa punktā ar abscisu x 0 = 1 iet caur punktu M(2; 3)?

Atbilde: a = 0,5.

3. Kurām p vērtībām taisne y = px – 5 pieskaras līknei y = 3x 2 – 4x – 2?

Atbilde: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Atrodiet visus funkcijas y = 3x – x 3 grafa kopīgos punktus un šim grafikam caur punktu P(0; 16) novilkto tangensu.

Atbilde: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Atrodiet īsāko attālumu starp parabolu y = x 2 + 6x + 10 un taisni

Atbilde:

6. Līknē y = x 2 – x + 1 atrodiet punktu, kurā grafika pieskare ir paralēla taisnei y – 3x + 1 = 0.

Atbilde: M(2; 3).

7. Uzrakstiet funkcijas y = x 2 + 2x – grafika pieskares vienādojumu | 4x |, kas tam pieskaras divos punktos. Izveidojiet zīmējumu.

Atbilde: y = 2x – 4.

8. Pierādīt, ka taisne y = 2x – 1 nekrustojas ar līkni y = x 4 + 3x 2 + 2x. Atrodiet attālumu starp to tuvākajiem punktiem.

Atbilde:

9. Uz parabolas y = x 2 tiek ņemti divi punkti ar abscisēm x 1 = 1, x 2 = 3. Caur šiem punktiem tiek novilkts sekants. Kurā parabolas punktā tai pieskare būs paralēla sekantam? Uzrakstiet sekanta un pieskares vienādojumus.

Atbilde: y = 4x – 3 – sekanta vienādojums; y = 4x – 4 – pieskares vienādojums.

10. Atrodiet leņķi q starp pieskarēm funkcijas y = x 3 grafikam – 4x 2 + 3x + 1, kas novilktas punktos ar abscisēm 0 un 1.

Atbilde: q = 45°.

11. Kuros punktos funkcijas grafika pieskare veido 135° leņķi ar Ox asi?

Atbilde: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Punktā A(1; 8) līdz līknei tiek novilkta pieskare. Atrodiet pieskares segmenta garumu starp koordinātu asīm.

Atbilde:

13. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumu funkciju y = x 2 – x + 1 un y = 2x 2 – x + 0,5 grafikiem.

Atbilde: y = – 3x un y = x.

14. Atrodiet attālumu starp funkcijas grafika pieskarēm paralēli x asij.

Atbilde:

15. Nosakiet, kādos leņķos parabola y = x 2 + 2x – 8 krustojas ar x asi.

Atbilde: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16.Funkciju grafiks atrast visus punktus, kuru katra pieskare šim grafikam krusto pozitīvās koordinātu pusasis, nogriežot no tiem vienādus segmentus.

Atbilde: A(– 3; 11).

17. Taisne y = 2x + 7 un parabola y = x 2 – 1 krustojas punktos M un N. Atrodiet to taisnes krustpunktu K, kas pieskaras parabolai punktos M un N.

Atbilde: K(1; – 9).

18. Kurām b vērtībām līnija y = 9x + b ir pieskares funkcijas y = x 3 – 3x + 15 grafikam?

Atbilde: – 1; 31.

19. Kurām k vērtībām taisnei y = kx – 10 ir tikai viens kopīgs punkts ar funkcijas y = 2x 2 + 3x – 2 grafiku? Atrastajām k vērtībām nosakiet punkta koordinātas.

Atbilde: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Kurām b vērtībām funkcijas y = bx 3 – 2x 2 – 4 grafikam pieskare punktā ar abscisu x 0 = 2 iet caur punktu M(1; 8)?

Atbilde: b = – 3.

21. Parabola ar virsotni uz Vērša ass pieskaras taisnei, kas iet caur punktiem A(1; 2) un B(2; 4) punktā B. Atrodi parabolas vienādojumu.

Atbilde:

22. Pie kādas koeficienta k vērtības parabola y = x 2 + kx + 1 pieskaras Vērša asij?

Atbilde: k = d 2.

23. Atrodiet leņķus starp taisni y = x + 2 un līkni y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Atrast attālumu starp funkcijas grafika pieskarēm un ģeneratoriem ar Ox ass pozitīvo virzienu 45° leņķī.

Atbilde:

30. Atrodiet visu y = x 2 + ax + b formas parabolu virsotņu lokusu, kas pieskaras taisnei y = 4x – 1.

Atbilde: taisna līnija y = 4x + 3.

Literatūra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra un analīzes sākums: 3600 uzdevumi skolēniem un universitātēs iestājas. – M., Bustards, 1999. gads.
2. Mordkovičs A. Seminārs četri jaunajiem skolotājiem. Tēma: Atvasinātās lietojumprogrammas. – M., “Matemātika”, Nr.21/94.
3. Zināšanu un prasmju veidošana, balstoties uz psihisko darbību pakāpeniskas asimilācijas teoriju.

/ Red. P.Ya. Galperiņa, N.F. Taļizina. – M., Maskavas Valsts universitāte, 1968.Šis

matemātikas programma

atrod funkcijas \(f(x)\) grafika pieskares vienādojumu lietotāja norādītā punktā \(a\). Programma ne tikai parāda pieskares vienādojumu, bet arī parāda problēmas risināšanas procesu.Šis tiešsaistes kalkulators var būt noderīgs vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu.

Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību.

jaunākie brāļi

vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.

Ja jums ir jāatrod funkcijas atvasinājums, tad mums ir uzdevums Atrast atvasinājumu.
Ja neesat pazīstams ar funkciju ievadīšanas noteikumiem, iesakām ar tiem iepazīties.

Ievadiet funkcijas izteiksmi \(f(x)\) un skaitli \(a\)

f(x)=
a=
Atrodiet pieskares vienādojumu

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu, uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Tiešs slīpums

Atcerieties, ka lineārās funkcijas \(y=kx+b\) grafiks ir taisna līnija. Tiek izsaukts skaitlis \(k=tg \alpha \). taisnas līnijas slīpums, un leņķis \(\alpha \) ir leņķis starp šo līniju un Ox asi

Ja \(k>0\), tad \(0 Ja \(kFunkcijas grafika pieskares vienādojums

Ja punkts M(a; f(a)) pieder funkcijas y = f(x) grafikam un ja šajā punktā funkcijas grafikam var uzzīmēt tangensu, kas nav perpendikulāra abscisu asij , pēc tam no ģeometriskā nozīme atvasinājums no tā izriet, ka pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f "(a). Tālāk mēs izstrādāsim algoritmu jebkuras funkcijas grafika pieskares vienādojuma sastādīšanai.

Šīs funkcijas grafikā ir dota funkcija y = f(x) un punkts M(a; f(a)); darīsim zināmu, ka f"(a) eksistē. Izveidosim vienādojumu grafika pieskarei dotā funkcija V dotais punkts. Šim vienādojumam, tāpat kā jebkuras taisnes vienādojumam, kas nav paralēla ordinātu asij, ir forma y = kx + b, tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu k un b vērtības.

Ar leņķisko koeficientu k viss ir skaidrs: ir zināms, ka k = f"(a). Lai aprēķinātu b vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M(a; f(a)) Tas nozīmē, ka, aizvietojot punkta M koordinātas taisnes vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: \(f(a)=ka+b\), t.i., \(b = f(a) -. ka\).

Atliek atrastās koeficientu k un b vērtības aizstāt taisnes vienādojumā:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a) $$

Mēs saņēmām funkcijas grafika pieskares vienādojums\(y = f(x) \) punktā \(x=a \).

Algoritms funkcijas \(y=f(x)\) grafika pieskares vienādojuma atrašanai
1. Apzīmējiet pieskares punkta abscisu ar burtu \(a\)
2. Aprēķiniet \(f(a)\)
3. Atrodiet \(f"(x)\) un aprēķiniet \(f"(a)\)
4. Aizvietojiet atrastos skaitļus \(a, f(a), f"(a) \) formulā \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts no problēmām GCD un LCM atrašana Polinoma vienkāršošana (polinomu reizināšana)

Y = f(x) un, ja šajā punktā funkcijas grafikam var uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra abscisu asij, tad pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f"(a). Mēs jau esam izdarījuši izmantoja to vairākas reizes, piemēram, 33. paragrāfā tika konstatēts, ka funkcijas y = sin x (sinusoīda) grafiks veido 45° leņķi ar x asi (precīzāk, pieskares pieskarei). grafiks sākuma punktā veido 45° leņķi ar x ass pozitīvo virzienu), un 5. piemērā tika atrasti 33 punkti saskaņā ar doto grafiku. funkcijas, kurā pieskare ir paralēla x asij. 33.§ 2.piemērā tika sastādīts vienādojums funkcijas y = x 2 grafika pieskarei punktā x = 1 (precīzāk, punktā (1; 1), bet biežāk ir tikai abscisu vērtība). norādīts, uzskatot, ka, ja ir zināma abscisu vērtība, tad ordinātu vērtību var atrast no vienādojuma y = f(x)). Šajā sadaļā mēs izstrādāsim algoritmu jebkuras funkcijas grafikam pieskares vienādojuma sastādīšanai.

Pieņemsim, ka funkcija y = f(x) un punkts M (a; f(a)), un ir arī zināms, ka eksistē f"(a). Izveidosim vienādojumu a grafika pieskarei. dotajai funkcijai dotajā punktā šis vienādojums ir kā jebkuras taisnes, kas nav paralēla ordinātu asij, vienādojumam ir y = kx+m, tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu k un m vērtības.

Ar leņķisko koeficientu k nav problēmu: mēs zinām, ka k = f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M(a; f (a)) Tas nozīmē, ka, aizvietojot koordinātas punktu M taisnes vienādojumā, iegūstam pareizo vienādību: f(a) = ka+m, no kuras mēs secinām, ka m = f(a) - ka.
Atliek aizstāt atrastās komplekta koeficientu vērtības vienādojums tiešs:

Esam ieguvuši vienādojumu funkcijas y = f(x) grafika pieskarei punktā x=a.
Ja, teiksim,
Aizvietojot atrastās vērtības a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 vienādojumā (1), iegūstam: y = 1+2(x-f), t.i., y = 2x-1.
Salīdziniet šo rezultātu ar rezultātu, kas iegūts 2. piemērā no 33. §. Protams, notika tas pats.
Izveidosim vienādojumu funkcijas y = tan x grafika pieskarei sākuma punktā. Mums ir: tas nozīmē cos x f"(0) = 1. Aizvietojot atrastās vērtības a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 vienādojumā (1), iegūstam: y = x.
Tāpēc mēs zīmējām tangentoīdu § 15 (sk. 62. att.) caur koordinātu sākumpunktu 45° leņķī pret abscisu asi.
Atrisinot šos pietiekami vienkāršus piemērus, mēs faktiski izmantojām noteiktu algoritmu, kas ir ietverts formulā (1). Padarīsim šo algoritmu skaidru.

ALGORITMS FUNKCIJAS y = f(x) GRAFIKA TANGENTA IZSTRĀDĀŠANAI

1) Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2) Aprēķiniet 1 (a).
3) Atrodiet f"(x) un aprēķiniet f"(a).
4) Atrastos skaitļus a, f(a), (a) aizstājiet formulā (1).

1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu pieskarei funkcijas grafikam punktā x = 1.
Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to, ka in šajā piemērā

Attēlā 126 ir attēlota hiperbola, konstruēta taisne y = 2.
Zīmējums apstiprina iepriekš minētos aprēķinus: tiešām, taisne y = 2 skar hiperbolu punktā (1; 1).

Atbilde: y = 2-x.
2. piemērs. Funkcijas grafikam uzzīmējiet pieskari tā, lai tā būtu paralēla taisnei y = 4x - 5.
Precizēsim problēmas formulējumu. Prasība "uzzīmēt pieskares" parasti nozīmē "veidot vienādojumu pieskarei". Tas ir loģiski, jo, ja cilvēks varēja izveidot vienādojumu pieskarei, tad viņam diez vai būs grūtības konstruēt koordinātu plakne taisna līnija saskaņā ar viņas vienādojumu.
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Bet atšķirībā no iepriekšējā piemēra ir neskaidrības: pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta.
Sāksim domāt šādi. Vēlamajai pieskarei jābūt paralēlai taisnei y = 4x-5. Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to slīpumi ir vienādi. Tas nozīmē, ka pieskares leņķa koeficientam jābūt vienādam ar slīpums dota taisna līnija: Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f"(a) = 4.
Mums ir:
No vienādojuma Tas nozīmē, ka ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 2, otra punktā ar abscisu -2.
Tagad jūs varat sekot algoritmam.

3. piemērs. No punkta (0; 1) uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs sekojam algoritmam.

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 1). Aizvietojot vērtības x = 0, y = 1 vienādojumā (2), mēs iegūstam:
Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskares punkta abscisu. Aizvietojot vērtību a =4 vienādojumā (2), mēs iegūstam:

Attēlā 127 attēlo aplūkotā piemēra ģeometrisku ilustrāciju: tiek uzzīmēts funkcijas grafiks

32. paragrāfā mēs atzīmējām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums fiksētā punktā x, ir spēkā aptuvenā vienādība:

Turpmākās argumentācijas ērtībai mainīsim apzīmējumu: x vietā rakstīsim a, tā vietā rakstīsim x un attiecīgi rakstīsim x-a. Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

Tagad apskatiet att. 128. Funkcijas y = f(x) grafikam punktā M (a; f (a)) uzzīmēta pieskare. Punkts x ir atzīmēts uz x ass tuvu a. Ir skaidrs, ka f(x) ir funkcijas in grafika ordināta norādītais punkts X. Kas ir f(a) + f"(a) (x-a)? Šī ir pieskares ordināta, kas atbilst vienam un tam pašam punktam x - skatiet formulu (1). Ko nozīmē aptuvenā vienādība (3)? Fakts ka Lai aprēķinātu funkcijas aptuveno vērtību, ņem pieskares ordinātu vērtību.

4. piemērs. Atrodiet aptuveno vērtību skaitliskā izteiksme 1,02 7 .
Runa ir par par funkcijas y = x 7 vērtības atrašanu punktā x = 1.02. Izmantosim formulu (3), ņemot vērā to šajā piemērā
Rezultātā mēs iegūstam:

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam: 1,02 7 = 1,148685667...
Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.
Atbilde: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Kalendāra tematiskā plānošana matemātikā, video matemātikā tiešsaistē, matemātika skolā lejupielādēt

Nodarbības saturs nodarbību piezīmes atbalsta ietvarstundu prezentācijas paātrināšanas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafikas, tabulas, diagrammas, humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti triki zinātkārajiem bērnu gultiņas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā, inovācijas elementi stundā, novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam metodiskie ieteikumi diskusiju programmas Integrētās nodarbības