Vienādojumus ir grūti apgūt, taču tie ir spēcīgs instruments, lai atrisinātu lielāko daļu problēmu.

Lai aprakstītu, tiek izmantoti vienādojumi dažādi procesi, sastopamas dabā. Vienādojumus plaši izmanto citās zinātnēs: ekonomikā, fizikā, bioloģijā un ķīmijā.

IN šī nodarbība Mēģināsim izprast vienkāršāko vienādojumu būtību, mācīsimies izteikt nezināmos un atrisināt vairākus vienādojumus. Apgūstot jaunus materiālus, vienādojumi kļūs sarežģītāki, tāpēc ir ļoti svarīgi saprast pamatus.

Sākotnējās prasmes Nodarbības saturs

Kas ir vienādojums?

Vienādojums ir vienādojums, kas satur mainīgo, kura vērtību vēlaties atrast. Šai vērtībai jābūt tādai, lai, aizvietojot to sākotnējā vienādojumā, tiktu iegūta pareizā skaitliskā vienādība.

Piemēram, izteiksme 2 + 2 = 4 ir vienādība. Aprēķinot kreiso pusi, iegūst pareizo skaitlisko vienādību 4 = 4.

Bet vienādība ir 2+ x= 4 ir vienādojums, jo tas satur mainīgo x, kuras vērtību var atrast. Vērtībai jābūt tādai, lai, aizstājot šo vērtību sākotnējā vienādojumā, tiktu iegūta pareiza skaitliskā vienādība.

Citiem vārdiem sakot, jāatrod vērtība, pie kuras vienādības zīme attaisnotu tās atrašanās vietu – kreisajai pusei jābūt vienādai ar labo pusi.

Vienādojums 2 + x= 4 ir elementārs. Mainīga vērtība x ir vienāds ar skaitli 2. Jebkurai citai vērtībai vienlīdzība netiks ievērota

Viņi saka, ka skaitlis 2 ir sakne vai vienādojuma atrisināšana 2 + x = 4

Sakne vai vienādojuma risinājums- šī ir mainīgā vērtība, pie kuras vienādojums pārvēršas par patiesu skaitlisko vienādību.

Var būt vairākas saknes vai vispār nav. Atrisiniet vienādojumu nozīmē atrast tās saknes vai pierādīt, ka sakņu nav.

Vienādojumā iekļauto mainīgo sauc citādi nezināms. Jums ir tiesības to saukt tā, kā vēlaties. Tie ir sinonīmi.

Piezīme. Frāze “atrisināt vienādojumu” runā pati par sevi. Vienādojuma atrisināšana nozīmē vienādojuma “izlīdzināšanu” — tā līdzsvarošanu tā, lai kreisā puse būtu vienāda ar labo pusi.

Izsakiet vienu lietu caur otru

Vienādojumu izpēte tradicionāli sākas ar mācīšanos izteikt vienu vienādībā iekļautu skaitli, izmantojot vairākus citus. Nelauzīsim šo tradīciju un darīsim tāpat.

Apsveriet šādu izteiksmi:

8 + 2

Šī izteiksme ir skaitļu 8 un 2 summa. Šīs izteiksmes vērtība ir 10

8 + 2 = 10

Mums ir vienlīdzība. Tagad jūs varat izteikt jebkuru skaitli no šīs vienādības, izmantojot citus skaitļus, kas iekļauti tajā pašā vienādībā. Piemēram, izteiksim skaitli 2.

Lai izteiktu skaitli 2, jums jāuzdod jautājums: "kas jādara ar skaitļiem 10 un 8, lai iegūtu skaitli 2." Ir skaidrs, ka, lai iegūtu skaitli 2, jums ir jāatņem skaitlis 8 no skaitļa 10.

Tā mēs darām. Mēs pierakstām skaitli 2 un caur vienādības zīmi sakām, ka, lai iegūtu šo skaitli 2, mēs atņēmām skaitli 8 no skaitļa 10:

2 = 10 − 8

Mēs izteicām skaitli 2 no vienādības 8 + 2 = 10. Kā redzams no piemēra, tajā nav nekā sarežģīta.

Risinot vienādojumus, it īpaši, izsakot vienu skaitli ar citiem, vienādības zīmi ir ērti aizstāt ar vārdu " Tur ir" . Tas jādara garīgi, nevis pašā izteiksmē.

Tātad, izsakot skaitli 2 no vienādības 8 + 2 = 10, mēs saņēmām vienādību 2 = 10 − 8. Šo vienlīdzību var lasīt šādi:

2 Tur ir 10 − 8

Tas ir, zīme = aizstāts ar vārdu "ir". Turklāt vienādību 2 = 10 − 8 var tulkot no matemātiskā valoda pilnā cilvēka valodā. Tad to var lasīt šādi:

2. numurs Tur ir atšķirība starp skaitli 10 un 8

2. numurs Tur ir atšķirība starp skaitli 10 un 8.

Bet mēs aprobežosimies ar vienlīdzības zīmes aizstāšanu ar vārdu “ir”, un mēs to ne vienmēr darīsim. Elementāras izteiksmes var saprast, netulkojot matemātisko valodu cilvēku valodā.

Atgriezīsim iegūto vienādību 2 = 10 − 8 sākotnējā stāvoklī:

8 + 2 = 10

Šoreiz izteiksim skaitli 8. Kas jādara ar atlikušajiem skaitļiem, lai iegūtu skaitli 8? Tieši tā, no skaitļa 10 ir jāatņem 2

8 = 10 − 2

Atgriezīsim iegūto vienādību 8 = 10 − 2 sākotnējā stāvoklī:

8 + 2 = 10

Šoreiz izteiksim skaitli 10. Bet izrādās, ka desmitnieks nav jāizsaka, jo tas jau ir izteikts. Pietiek apmainīt kreiso un labo daļu, tad mēs iegūstam nepieciešamo:

10 = 8 + 2

2. piemērs. Apsveriet vienādību 8 − 2 = 6

No šīs vienādības izteiksim skaitli 8. Lai izteiktu skaitli 8, jāsaskaita atlikušie divi skaitļi:

8 = 6 + 2

Atgriezīsim iegūto vienādību 8 = 6 + 2 sākotnējā stāvoklī:

8 − 2 = 6

Izteiksim no šīs vienādības skaitli 2. Lai izteiktu skaitli 2, no 8 ir jāatņem 6

2 = 8 − 6

3. piemērs. Apsveriet vienādību 3 × 2 = 6

Izteiksim skaitli 3. Lai izteiktu skaitli 3, vajag 6 dalīt ar 2

Atgriezīsim iegūto vienādību sākotnējā stāvoklī:

3 × 2 = 6

Izteiksim no šīs vienādības skaitli 2. Lai izteiktu skaitli 2, nepieciešams 6 dalīts ar 3

4. piemērs. Apsveriet vienlīdzību

No šīs vienādības izteiksim skaitli 15. Lai izteiktu skaitli 15, jāreizina skaitļi 3 un 5

15 = 3 × 5

Atgriezīsim iegūto vienādību 15 = 3 × 5 sākotnējā stāvoklī:

Izteiksim no šīs vienādības skaitli 5. Lai izteiktu skaitli 5, nepieciešams 15 dalīts ar 3

Noteikumi nezināmo atrašanai

Apsvērsim vairākus noteikumus nezināmo atrašanai. Tie var būt jums pazīstami, taču nav slikti tos atkārtot vēlreiz. Nākotnē tos var aizmirst, jo mēs mācāmies atrisināt vienādojumus, nepiemērojot šos noteikumus.

Atgriezīsimies pie pirmā piemēra, kuru apskatījām iepriekšējā tēmā, kur vienādībā 8 + 2 = 10 mums vajadzēja izteikt skaitli 2.

Vienādībā 8 + 2 = 10 skaitļi 8 un 2 ir termini, un skaitlis 10 ir summa.

Lai izteiktu skaitli 2, mēs rīkojāmies šādi:

2 = 10 − 8

Tas ir, no summas 10 mēs atņēmām terminu 8.

Tagad iedomājieties, ka vienādībā 8 + 2 = 10 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x

8 + x = 10

Šajā gadījumā vienādība 8 + 2 = 10 kļūst par vienādojumu 8 + x= 10 un mainīgais x nezināms termins

Mūsu uzdevums ir atrast šo nezināmo terminu, tas ir, atrisināt vienādojumu 8 + x= 10. Lai atrastu nezināmu terminu, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo terminu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas.

Būtībā tas ir tas, ko mēs darījām, kad vienādībā 8 + 2 = 10 izteicām divus. Lai izteiktu 2. terminu, mēs no summas 10 atņēmām vēl vienu terminu 8

2 = 10 − 8

Tagad, lai atrastu nezināmo terminu x, mums ir jāatņem zināmais termins 8 no summas 10:

x = 10 − 8

Ja aprēķina iegūtās vienādības labo pusi, varat uzzināt, ar ko ir vienāds mainīgais x

x = 2

Mēs esam atrisinājuši vienādojumu. Mainīga vērtība x vienāds ar 2. Lai pārbaudītu mainīgā lieluma vērtību x nosūtīts uz sākotnējo vienādojumu 8 + x= 10 un aizstājējs x. Ieteicams to darīt ar jebkuru atrisinātu vienādojumu, jo nevarat būt pilnīgi pārliecināts, ka vienādojums ir atrisināts pareizi:

Rezultātā

Tas pats noteikums būtu spēkā, ja nezināmais vārds būtu pirmais cipars 8.

x + 2 = 10

Šajā vienādojumā x ir nezināms termins, 2 ir zināms vārds, 10 ir summa. Lai atrastu nezināmu terminu x, jums ir jāatņem zināmais termins 2 no summas 10

x = 10 − 2

x = 8

Atgriezīsimies pie otrā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādībā 8 − 2 = 6 bija nepieciešams izteikt skaitli 8.

Vienādībā 8 − 2 = 6 skaitlis 8 ir mazais skaitlis, skaitlis 2 ir apakšdaļa, un skaitlis 6 ir atšķirība

Lai izteiktu skaitli 8, mēs rīkojāmies šādi:

8 = 6 + 2

Tas ir, mēs pievienojām starpību 6 un atņēmām 2.

Tagad iedomājieties, ka vienādībā 8 − 2 = 6 skaitļa 8 vietā ir mainīgais x

x − 2 = 6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu t.s nezināms miniends

Lai atrastu nezināmu dēlu, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 8 vienādībā 8 − 2 = 6. Lai izteiktu 8 mazo daļu, mēs pievienojām 2 apakšdaļu starpībai 6.

Tagad, lai atrastu nezināmo miniend x, mums ir jāpievieno apakšdaļa 2 starpībai 6

x = 6 + 2

Aprēķinot labo pusi, varat uzzināt, ar ko ir vienāds mainīgais x

x = 8

Tagad iedomājieties, ka vienādībā 8 − 2 = 6 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x

8 − x = 6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināma apakšrinda

Lai atrastu nezināmu apakšdaļu, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo apakšrindu, jums ir jāatņem starpība no mazā gala.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 2 vienādībā 8 − 2 = 6. Lai izteiktu skaitli 2, mēs atņēmām starpību 6 no mazā gala 8.

Tagad, lai atrastu nezināmo apakšrindu x, jums atkal ir jāatņem starpība 6 no mazā 8

x = 8 − 6

Mēs aprēķinām labo pusi un atrodam vērtību x

x = 2

Atgriezīsimies pie trešā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādībā 3 × 2 = 6 mēģinājām izteikt skaitli 3.

Vienādībā 3 × 2 = 6 skaitlis 3 ir reizinātājs, skaitlis 2 ir reizinātājs, skaitlis 6 ir reizinājums

Lai izteiktu skaitli 3, mēs rīkojāmies šādi:

Tas ir, mēs dalījām reizinājumu ar 6 ar koeficientu 2.

Tagad iedomājieties, ka vienādībā 3 × 2 = 6 skaitļa 3 vietā ir mainīgais x

x× 2 = 6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms reizinātājs.

Lai atrastu nezināmu reizinātāju, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmu reizinātāju, reizinājums ir jādala ar koeficientu.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 3 no vienādības 3 × 2 = 6. Mēs dalījām reizinājumu 6 ar koeficientu 2.

Tagad, lai atrastu nezināmo reizinātāju x, jums ir jādala reizinājums 6 ar koeficientu 2.

Labās puses aprēķināšana ļauj mums atrast mainīgā lieluma vērtību x

x = 3

Tas pats noteikums attiecas uz mainīgo x atrodas reizinātāja, nevis reizinātāja vietā. Iedomāsimies, ka vienādībā 3 × 2 = 6 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x.

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms reizinātājs. Lai atrastu nezināmu faktoru, tiek nodrošināta tāda pati procedūra kā nezināma reizinātāja atrašanai, proti, reizinājumu dala ar zināmu faktoru:

Lai atrastu nezināmu faktoru, reizinājums ir jādala ar reizinātāju.

Tas ir tas, ko mēs izdarījām, kad izteicām skaitli 2 no vienādības 3 × 2 = 6. Tad, lai iegūtu skaitli 2, mēs dalījām reizinājumu ar 6 ar tā reizinātāju 3.

Tagad, lai atrastu nezināmo faktoru x Mēs dalījām reizinājumu ar 6 ar reizinātāju 3.

Vienādības labās puses aprēķināšana ļauj noskaidrot, ar ko x ir vienāds

x = 2

Reizinātāju un reizinātāju kopā sauc par faktoriem. Tā kā reizinātāja un reizinātāja atrašanas noteikumi ir vienādi, mēs varam formulēt vispārējs noteikums nezināmā faktora atrašana:

Lai atrastu nezināmu faktoru, produkts ir jāsadala ar zināmo faktoru.

Piemēram, atrisināsim vienādojumu 9 × x= 18. Mainīgs x ir nezināms faktors. Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums 18 ir jādala ar zināmo koeficientu 9

Atrisināsim vienādojumu x× 3 = 27. Mainīgs x ir nezināms faktors. Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums 27 ir jādala ar zināmo koeficientu 3

Atgriezīsimies pie ceturtā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādībā mums vajadzēja izteikt skaitli 15. Šajā vienādībā skaitlis 15 ir dividende, skaitlis 5 ir dalītājs un skaitlis 3 ir koeficients.

Lai izteiktu skaitli 15, mēs rīkojāmies šādi:

15 = 3 × 5

Tas ir, mēs reizinājām koeficientu 3 ar dalītāju 5.

Tagad iedomājieties, ka vienādībā skaitļa 15 vietā ir mainīgais x

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināma dividende.

Lai atrastu nezināmu dividendi, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo dividendi, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju.

Tā mēs darījām, kad izteicām skaitli 15 no vienlīdzības. Lai izteiktu skaitli 15, mēs reizinām koeficientu 3 ar dalītāju 5.

Tagad, lai atrastu nezināmo dividendi x, jums ir jāreizina koeficients 3 ar dalītāju 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Tagad iedomājieties, ka vienādībā skaitļa 5 vietā ir mainīgais x .

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms dalītājs.

Lai atrastu nezināmu dalītāju, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 5 no vienādības. Lai izteiktu skaitli 5, mēs dalām dividendi 15 ar koeficientu 3.

Un tagad atrast nezināms dalītājs x, jums ir jāsadala dividende 15 ar koeficientu 3

Aprēķināsim iegūtās vienādības labo pusi. Tādā veidā mēs uzzinām, ar ko ir vienāds mainīgais x .

x = 5

Tātad, lai atrastu nezināmos, mēs pētījām šādus noteikumus:

• Lai atrastu nezināmo terminu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas;
• Lai atrastu nezināmo minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda;
• Lai atrastu nezināmo apakšrindu, jums ir jāatskaita starpība no minuend;
• Lai atrastu nezināmu reizinātāju, reizinājums jādala ar koeficientu;
• Lai atrastu nezināmu faktoru, reizinājums jādala ar reizinātāju;
• Lai atrastu nezināmu dividendi, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju;
• Lai atrastu nezināmu dalītāju, dividende jāsadala ar koeficientu.

Sastāvdaļas

Par komponentiem sauksim vienādībā iekļautos skaitļus un mainīgos

Tātad, pievienošanas sastāvdaļas ir noteikumiem Un summa

Atņemšanas komponenti ir miniend, subtrahenda Un atšķirība

Reizināšanas sastāvdaļas ir reizinātājs, faktors Un strādāt

Dalīšanas sastāvdaļas ir dividende, dalītājs un koeficients.

Atkarībā no tā, ar kādiem komponentiem mums ir darīšana, tiks piemēroti attiecīgie nezināmo atrašanas noteikumi. Mēs pētījām šos noteikumus iepriekšējā tēmā. Risinot vienādojumus, šos noteikumus vēlams zināt no galvas.

1. piemērs. Atrodiet vienādojuma sakni 45 + x = 60

45 — termiņš, x- nezināms termins, 60 - summa. Mums ir darīšana ar pievienošanas sastāvdaļām. Atgādinām, ka, lai atrastu nezināmu terminu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas:

x = 60 − 45

Aprēķināsim labo pusi un iegūstam vērtību x vienāds ar 15

x = 15

Tātad vienādojuma sakne ir 45 + x= 60 ir vienāds ar 15.

Visbiežāk nezināms termins ir jāsamazina līdz tādai formai, kādā to var izteikt.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Šeit, atšķirībā no iepriekšējā piemēra, nezināmo vārdu nevar izteikt uzreiz, jo tas satur koeficientu 2. Mūsu uzdevums ir panākt šo vienādojumu tādā formā, kādā to varētu izteikt x

IN šajā piemērā Mums ir darīšana ar saskaitīšanas sastāvdaļām — terminiem un summu. 2 x ir pirmais loceklis, 4 ir otrais loceklis, 8 ir summa.

Šajā gadījumā 2. termins x satur mainīgo x. Pēc mainīgā vērtības atrašanas x termins 2 x izskatīsies savādāk. Tāpēc 2. termins x var pilnībā uztvert kā nezināmu terminu:

Tagad mēs piemērojam noteikumu nezināmā vārda atrašanai. No summas atņemiet zināmo terminu:

Aprēķināsim iegūtā vienādojuma labo pusi:

Mums ir jauns vienādojums. Tagad mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem: reizinātāju, reizinātāju un reizinājumu. 2 — reizinātājs, x- reizinātājs, 4 - produkts

Šajā gadījumā mainīgais x nav tikai reizinātājs, bet gan nezināms reizinātājs

Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums ir jādala ar reizinātāju:

Aprēķināsim labo pusi un iegūstam mainīgā lieluma vērtību x

Lai pārbaudītu, nosūtiet atrasto sakni uz sākotnējo vienādojumu un aizstājiet to x

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3x+ 9x+ 16x= 56

Nekavējoties izsaki nezināmo x tas ir aizliegts. Vispirms jums ir jānoved šis vienādojums tādā formā, kādā to varētu izteikt.

Šī vienādojuma kreisajā pusē mēs piedāvājam:

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. 28 — reizinātājs, x- reizinātājs, 56 - produkts. Kurā x ir nezināms faktors. Lai atrastu nezināmu faktoru, reizinājums ir jādala ar reizinātāju:

No šejienes x vienāds ar 2

Ekvivalenti vienādojumi

Iepriekšējā piemērā, risinot vienādojumu 3x + 9x + 16x = 56 , mēs esam devuši līdzīgus terminus vienādojuma kreisajā pusē. Rezultātā mēs ieguvām jaunu vienādojumu 28 x= 56 . Vecais vienādojums 3x + 9x + 16x = 56 un iegūtais jaunais vienādojums 28 x= 56 tiek izsaukts līdzvērtīgi vienādojumi, jo to saknes sakrīt.

Vienādojumus sauc par ekvivalentiem, ja to saknes sakrīt.

Pārbaudīsim to. Vienādojumam 3x+ 9x+ 16x= 56 mēs atradām sakni, kas vienāda ar 2. Vispirms aizstāsim šo sakni vienādojumā 3x+ 9x+ 16x= 56 , un pēc tam vienādojumā 28 x= 56, kas iegūts, ievietojot līdzīgus vārdus iepriekšējā vienādojuma kreisajā pusē. Mums ir jāiegūst pareizi skaitliskās vienādības

Saskaņā ar darbību secību vispirms tiek veikta reizināšana:

Aizstāsim sakni 2 otrajā vienādojumā 28 x= 56

Mēs redzam, ka abiem vienādojumiem ir vienādas saknes. Tātad vienādojumi 3x+ 9x+ 16x= 6 un 28 x= 56 patiešām ir līdzvērtīgi.

Lai atrisinātu vienādojumu 3x+ 9x+ 16x= 56 Mēs izmantojām vienu no tiem - līdzīgu terminu samazināšanu. Pareiza vienādojuma identitātes transformācija ļāva iegūt ekvivalento vienādojumu 28 x= 56, ko ir vieglāk atrisināt.

No identiskām pārvērtībām līdz Šis brīdis Mēs zinām tikai to, kā samazināt daļskaitļus, pievienot līdzīgus terminus, izņemt kopējo faktoru no iekavām un arī atvērt iekavas. Ir arī citi reklāmguvumi, kas jums jāzina. Bet priekš vispārēja ideja par identiskiem vienādojumu pārveidojumiem, mūsu pētītās tēmas ir pilnīgi pietiekamas.

Apskatīsim dažas transformācijas, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu

Ja abām vienādojuma pusēm pievienojat vienu un to pašu skaitli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

un līdzīgi:

Ja no abām vienādojuma pusēm atņemat vienu un to pašu skaitli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

Citiem vārdiem sakot, vienādojuma sakne nemainīsies, ja vienam un tam pašam skaitlim pievieno (vai atņem no abām pusēm) vienu un to pašu skaitli.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Atņemiet 10 no abām vienādojuma pusēm

Mēs saņēmām vienādojumu 5 x= 10. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Lai atrastu nezināmu faktoru x, jums ir jādala reizinājums 10 ar zināmo koeficientu 5.

un aizstājējs x atrastā vērtība 2

Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

Vienādojuma atrisināšana mēs atņēmām skaitli 10 no abām vienādojuma pusēm. Rezultātā mēs ieguvām līdzvērtīgu vienādojumu. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojums ir arī vienāds ar 2

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 4( x+ 3) = 16

Atņemiet skaitli 12 no abām vienādojuma pusēm

Kreisajā pusē paliks 4 x, un labajā pusē cipars 4

Mēs saņēmām vienādojumu 4 x= 4. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Lai atrastu nezināmu faktoru x, jums ir jādala reizinājums 4 ar zināmo koeficientu 4

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma 4( x+ 3) = 16 un aizstājējs x atrastā vērtība 1

Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

4. vienādojuma atrisināšana ( x+ 3) = 16 mēs atņēmām skaitli 12 no abām vienādojuma pusēm. Rezultātā mēs ieguvām līdzvērtīgu vienādojumu 4 x= 4. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojuma 4( x+ 3) = 16 arī ir vienāds ar 1

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Izvērsīsim iekavas vienādojuma kreisajā pusē:

Pievienojiet skaitli 8 abām vienādojuma pusēm

Iesniegsim līdzīgus terminus abās vienādojuma pusēs:

Kreisajā pusē paliks 2 x, un labajā pusē cipars 9

Iegūtajā vienādojumā 2 x= 9 mēs izsakām nezināmo terminu x

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un aizstājējs x atrastā vērtība 4.5

Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

Vienādojuma atrisināšana abām vienādojuma pusēm pievienojām skaitli 8. Rezultātā ieguvām līdzvērtīgu vienādojumu. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojums arī vienāds ar 4,5

Nākamais noteikums, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu, ir šāds

Ja vienādojumā pārvietojat vārdu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, jūs iegūsit vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.

Tas ir, vienādojuma sakne nemainīsies, ja mēs pārvietosim terminu no vienas vienādojuma daļas uz citu, mainot tā zīmi. Šis īpašums ir viens no svarīgākajiem un viens no bieži izmantotajiem vienādojumu risināšanā.

Apsveriet šādu vienādojumu:

Šī vienādojuma sakne ir vienāda ar 2. Aizvietosim xšo sakni un pārbaudiet, vai skaitliskā vienādība ir pareiza

Rezultāts ir pareiza vienlīdzība. Tas nozīmē, ka skaitlis 2 patiešām ir vienādojuma sakne.

Tagad mēģināsim eksperimentēt ar šī vienādojuma nosacījumiem, pārvietojot tos no vienas daļas uz otru, mainot zīmes.

Piemēram, 3. termins x atrodas vienādojuma kreisajā pusē. Pārvietosim to uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo:

Rezultāts ir vienādojums 12 = 9x − 3x . šī vienādojuma labajā pusē:

x ir nezināms faktors. Atradīsim šo labi zināmo faktoru:

No šejienes x= 2. Kā redzat, vienādojuma sakne nav mainījusies. Tātad vienādojumi ir 12 + 3 x = 9x Un 12 = 9x − 3x ir līdzvērtīgi.

Faktiski šī transformācija ir vienkāršota iepriekšējās transformācijas metode, kur vienādojuma abām pusēm tika pievienots (vai atņemts) viens un tas pats skaitlis.

Mēs teicām, ka vienādojumā 12 + 3 x = 9x termins 3 x tika pārvietots uz labo pusi, mainot zīmi. Patiesībā notika sekojošais: 3. termins tika atņemts no abām vienādojuma pusēm x

Pēc tam kreisajā pusē tika doti līdzīgi termini un iegūts vienādojums 12 = 9x − 3x. Tad atkal tika doti līdzīgi termini, bet labajā pusē, un tika iegūts vienādojums 12 = 6 x.

Bet tā sauktā “pārsūtīšana” šādiem vienādojumiem ir ērtāka, tāpēc tā ir kļuvusi tik izplatīta. Risinot vienādojumus, mēs bieži izmantosim šo konkrēto transformāciju.

Arī vienādojumi 12 + 3 ir līdzvērtīgi x= 9x Un 3x− 9x= −12 . Šoreiz vienādojums ir 12 + 3 x= 9x 12. termins tika pārvietots uz labo pusi, bet 9. termins x pa kreisi. Mēs nedrīkstam aizmirst, ka nodošanas laikā šo noteikumu zīmes tika mainītas

Nākamais noteikums, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu, ir šāds:

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

Citiem vārdiem sakot, vienādojuma saknes nemainīsies, ja abas puses reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli. Šo darbību bieži izmanto, ja jāatrisina vienādojums, kas satur daļskaitļu izteiksmes.

Vispirms apskatīsim piemērus, kuros abas vienādojuma puses tiks reizinātas ar vienu un to pašu skaitli.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Risinot vienādojumus, kas satur daļskaitļus, ir ierasts vispirms vienkāršot vienādojumu.

Šajā gadījumā mums ir darīšana tikai ar šādu vienādojumu. Lai vienkāršotu šo vienādojumu, abas puses var reizināt ar 8:

Mēs atceramies, ka , mums ir jāreizina dotās daļas skaitītājs ar šo skaitli. Mums ir divas daļskaitļi, un katrs no tiem tiek reizināts ar skaitli 8. Mūsu uzdevums ir reizināt daļskaitļu skaitītājus ar šo skaitli 8

Tagad notiek interesantākā daļa. Abu daļskaitļu skaitītāji un saucēji satur koeficientu 8, ko var samazināt par 8. Tas ļaus mums atbrīvoties no daļskaitļa izteiksmes:

Rezultātā paliek vienkāršākais vienādojums

Nav grūti uzminēt, ka šī vienādojuma sakne ir 4

x atrastā vērtība 4

Rezultāts ir pareiza skaitliskā vienādība. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

Atrisinot šo vienādojumu, mēs abas puses reizinām ar 8. Rezultātā ieguvām vienādojumu. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumam, ir 4. Tas nozīmē, ka šie vienādojumi ir līdzvērtīgi.

Koeficientu, ar kuru tiek reizinātas abas vienādojuma puses, parasti raksta pirms vienādojuma daļas, nevis pēc tās. Tātad, atrisinot vienādojumu, mēs abas puses reizinām ar koeficientu 8 un saņēmām šādu ierakstu:

Tas nemainīja vienādojuma sakni, bet, ja mēs to būtu darījuši skolas laikā, mēs būtu saņēmuši aizrādījumu, jo algebrā ir pieņemts rakstīt koeficientu pirms izteiksmes, ar kuru tas tiek reizināts. Tāpēc ir ieteicams pārrakstīt vienādojuma abu pušu reizinājumu ar koeficientu 8 šādi:

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Kreisajā pusē koeficientus 15 var samazināt par 15, bet labajā pusē koeficientus 15 un 5 var samazināt par 5

Atvērsim iekavas vienādojuma labajā pusē:

Pārcelsim terminu x no vienādojuma kreisās puses uz labo pusi, mainot zīmi. Un mēs pārvietojam terminu 15 no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi, atkal mainot zīmi:

Mēs piedāvājam līdzīgus nosacījumus abās pusēs, mēs saņemam

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Mainīgs x

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un aizstājējs x atrastā vērtība 5

Rezultāts ir pareiza skaitliskā vienādība. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts. Atrisinot šo vienādojumu, mēs abas puses reizinām ar 15. Tālāk veicot identiskas transformācijas, ieguvām vienādojumu 10 = 2 x. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojums vienāds ar 5. Tas nozīmē, ka šie vienādojumi ir līdzvērtīgi.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Kreisajā pusē varat samazināt divus trīs, un labā puse būs vienāda ar 18

Paliek vienkāršākais vienādojums. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Mainīgs x ir nezināms faktors. Atradīsim šo labi zināmo faktoru:

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un aizstāsim x atrastā vērtība 9

Rezultāts ir pareiza skaitliskā vienādība. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6

Atvērsim iekavas vienādojuma kreisajā pusē. Labajā pusē koeficientu 6 var palielināt līdz skaitītājam:

Samazināsim to, ko var samazināt abās vienādojuma pusēs:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Izmantosim terminu nodošanu. Termini, kas satur nezināmo x, mēs grupējam vienādojuma kreisajā pusē, bet termini bez nezināmajiem - labajā:

Iesniegsim līdzīgus terminus abās daļās:

Tagad noskaidrosim mainīgā vērtību x. Lai to izdarītu, reizinājumu 28 sadaliet ar zināmo koeficientu 7

No šejienes x= 4.

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un aizstājējs x atrastā vērtība 4

Rezultāts ir pareizs skaitlisks vienādojums. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Ja iespējams, atveram iekavas abās vienādojuma pusēs:

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 15

Atvērsim iekavas abās vienādojuma pusēs:

Samazināsim to, ko var samazināt abās vienādojuma pusēs:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Ja iespējams, paplašināsim iekavas:

Izmantosim terminu nodošanu. Mēs grupējam terminus, kas satur nezināmo vienādojuma kreisajā pusē, un terminus, kuros nav nezināmo, labajā pusē. Neaizmirstiet, ka pārsūtīšanas laikā termini maina savas zīmes uz pretējo:

Iesniegsim līdzīgus terminus abās vienādojuma pusēs:

Atradīsim vērtību x

Iegūtā atbilde satur veselu daļu:

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un aizstāsim x atrastā vērtība

Tas izrādās diezgan apgrūtinošs izteiciens. Izmantosim mainīgos. Ieliksim vienādības kreiso pusi mainīgajā A, un vienādības labo pusi par mainīgo B

Mūsu uzdevums ir pārliecināties, vai kreisā puse ir vienāda ar labo. Citiem vārdiem sakot, pierādiet vienādību A = B

Atradīsim izteiksmes vērtību mainīgajā A.

Mainīga vērtība A vienāds ar . Tagad noskaidrosim mainīgā vērtību B. Tas ir, mūsu vienlīdzības labās puses vērtība. Ja arī tas ir vienāds, tad vienādojums tiks atrisināts pareizi

Mēs redzam, ka mainīgā vērtība B, kā arī mainīgā A vērtība ir . Tas nozīmē, ka kreisā puse ir vienāda ar labo pusi. No tā mēs secinām, ka vienādojums ir atrisināts pareizi.

Tagad mēģināsim nereizināt abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu skaitli, bet gan dalīt.

Apsveriet vienādojumu 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Atrisināsim, izmantojot parasto metodi: vienādojuma kreisajā pusē grupējam terminus, kas satur nezināmus, bet labajā pusē terminus, kas satur nezināmus. Tālāk, veicot zināmās identitātes transformācijas, mēs atrodam vērtību x

Tā vietā aizstāsim atrasto vērtību 2 x sākotnējā vienādojumā:

Tagad mēģināsim atdalīt visus vienādojuma nosacījumus 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Ar kādu skaitli. Mēs atzīmējam, ka visiem šī vienādojuma vārdiem ir kopīgs koeficients 2. Mēs dalām katru terminu ar to:

Veiksim samazinājumu katrā terminā:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot labi zināmās identitātes transformācijas:

Mums ir sakne 2. Tātad vienādojumi 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Un 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ir līdzvērtīgi.

Sadalot abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu skaitli, jūs varat noņemt nezināmo no koeficienta. Iepriekšējā piemērā, kad mēs saņēmām vienādojumu 7 x= 14, reizinājumu 14 vajadzēja dalīt ar zināmo koeficientu 7. Bet, ja mēs būtu atbrīvojuši nezināmo no faktora 7 kreisajā pusē, sakne būtu atrasta uzreiz. Lai to izdarītu, pietika sadalīt abas puses ar 7

Mēs arī bieži izmantosim šo metodi.

Reizināšana ar mīnus viens

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas ar mīnus viens, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs šim.

Šis noteikums izriet no tā, ka, reizinot (vai dalot) abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu skaitli, dotā vienādojuma sakne nemainās. Tas nozīmē, ka sakne nemainīsies, ja abas tās daļas reizina ar –1.

Šis noteikums ļauj mainīt visu vienādojumā iekļauto komponentu zīmes. Kam tas paredzēts? Atkal, lai iegūtu līdzvērtīgu vienādojumu, kuru ir vieglāk atrisināt.

Apsveriet vienādojumu. Kāda ir šī vienādojuma sakne?

Pievienojiet skaitli 5 abām vienādojuma pusēm

Apskatīsim līdzīgus terminus:

Tagad atcerēsimies par. Kāda ir vienādojuma kreisā puse? Šis ir mīnus viens un mainīgā reizinājums x

Tas ir, mīnusa zīme mainīgā priekšā x neattiecas uz pašu mainīgo x, bet uz vienu, kuru mēs neredzam, jo ​​koeficients 1 parasti netiek pierakstīts. Tas nozīmē, ka vienādojums patiesībā izskatās šādi:

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Atrast X, jums ir jādala reizinājums −5 ar zināmo koeficientu −1.

vai sadaliet abas vienādojuma puses ar −1, kas ir vēl vienkāršāk

Tātad vienādojuma sakne ir 5. Lai pārbaudītu, aizstāsim to ar sākotnējo vienādojumu. Neaizmirstiet, ka sākotnējā vienādojumā mīnuss ir mainīgā priekšā x attiecas uz neredzamu vienību

Rezultāts ir pareizs skaitlisks vienādojums. Tas nozīmē, ka vienādojums ir pareizi atrisināts.

Tagad mēģināsim reizināt abas vienādojuma puses ar mīnus viens:

Pēc iekavu atvēršanas izteiksme tiek veidota kreisajā pusē, un labā puse būs vienāda ar 10

Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumam, ir 5

Tas nozīmē, ka vienādojumi ir līdzvērtīgi.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Šajā vienādojumā visi komponenti ir negatīvi. Ar pozitīvajiem komponentiem strādāt ir ērtāk nekā ar negatīvajiem, tāpēc mainīsim visu vienādojumā iekļauto komponentu zīmes. Lai to izdarītu, reiziniet abas šī vienādojuma puses ar –1.

Ir skaidrs, ka, reizinot ar −1, jebkurš skaitlis mainīs savu zīmi uz pretējo. Tāpēc reizināšanas ar −1 un iekavu atvēršanas procedūra nav detalizēti aprakstīta, bet uzreiz tiek pierakstītas vienādojuma sastāvdaļas ar pretējām zīmēm.

Tādējādi, reizinot vienādojumu ar −1, var detalizēti uzrakstīt šādi:

vai arī varat vienkārši mainīt visu komponentu zīmes:

Rezultāts būs tāds pats, bet atšķirība būs tāda, ka mēs ietaupīsim sev laiku.

Tātad, reizinot abas vienādojuma puses ar −1, mēs iegūstam vienādojumu. Atrisināsim šo vienādojumu. No abām pusēm atņemiet 4 un sadaliet abas puses ar 3

Kad sakne ir atrasta, mainīgais parasti tiek rakstīts kreisajā pusē, bet tā vērtība - labajā pusē, ko mēs arī darījām.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Reizināsim abas vienādojuma puses ar −1. Tad visas sastāvdaļas mainīs savas zīmes uz pretējām:

No iegūtā vienādojuma abām pusēm atņemiet 2 x un sniedziet līdzīgus terminus:

Pievienosim vienu abām vienādojuma pusēm un dosim līdzīgus terminus:

Vienāds ar nulli

Nesen uzzinājām, ka, pārvietojot vienādojumā vienu vārdu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, mēs iegūsim vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.

Kas notiek, ja pāriet no vienas daļas uz otru ne tikai vienu terminu, bet visus terminus? Pareizi, tajā daļā, kur tika atņemti visi termini, paliks nulle. Citiem vārdiem sakot, nekas nepaliks.

Kā piemēru apsveriet vienādojumu. Atrisināsim šo vienādojumu kā parasti – vienā daļā grupēsim nezināmos saturošos terminus, bet otrā atstāsim skaitliskos vārdus bez nezināmajiem. Tālāk, veicot zināmās identitātes transformācijas, atrodam mainīgā vērtību x

Tagad mēģināsim atrisināt to pašu vienādojumu, pielīdzinot visas tā sastāvdaļas nullei. Lai to izdarītu, mēs pārvietojam visus terminus no labās puses uz kreiso pusi, mainot zīmes:

Kreisajā pusē parādīsim līdzīgus terminus:

Pievienojiet 77 abām pusēm un sadaliet abas puses ar 7

Alternatīva nezināmo atrašanas noteikumiem

Acīmredzot, zinot par identiskām vienādojumu transformācijām, jums nav jāiegaumē nezināmo atrašanas noteikumi.

Piemēram, lai vienādojumā atrastu nezināmo, mēs dalījām reizinājumu 10 ar zināmo koeficientu 2

Bet, ja abas vienādojuma puses sadalīsit ar 2, sakne tiks atrasta nekavējoties. Vienādojuma kreisajā pusē skaitītājā koeficients 2 un saucējā koeficients 2 tiks samazināts par 2. Un labā puse būs vienāda ar 5

Mēs atrisinājām formas vienādojumus, izsakot nezināmu terminu:

Bet jūs varat izmantot identiskas pārvērtības, kuras mēs šodien pētījām. Vienādojumā 4. terminu var pārvietot uz labo pusi, mainot zīmi:

Vienādojuma kreisajā pusē tiks atcelti divi divi. Labā puse būs vienāda ar 2. Tātad .

Vai arī jūs varat atņemt 4 no abām vienādojuma pusēm. Tad jūs iegūtu šādu rezultātu:

Formu vienādojumu gadījumā ērtāk ir reizinājumu dalīt ar zināmu koeficientu. Salīdzināsim abus risinājumus:

Pirmais risinājums ir daudz īsāks un glītāks. Otro risinājumu var ievērojami saīsināt, veicot sadalīšanu galvā.

Taču ir jāzina abas metodes un tikai tad jāizmanto sev tīkamākā.

Kad ir vairākas saknes

Vienādojumam var būt vairākas saknes. Piemēram, vienādojums x(x+ 9) = 0 ir divas saknes: 0 un –9.

Vienādojumā x(x+ 9) = 0 bija nepieciešams atrast šādu vērtību x pie kuras kreisā puse būtu vienāda ar nulli. Šī vienādojuma kreisajā pusē ir izteiksmes x Un (x+9), kas ir faktori. No produktu likumiem mēs zinām, ka produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli (vai nu pirmais faktors, vai otrais).

Tas ir, vienādojumā. x(x+ 9) = 0 vienlīdzība tiks sasniegta, ja x būs vienāds ar nulli vai (x+9) būs vienāds ar nulli.

x= 0 vai x + 9 = 0

Iestatot abas šīs izteiksmes uz nulli, mēs varam atrast vienādojuma saknes x(x+ 9) = 0 . Pirmā sakne, kā redzams no piemēra, tika atrasta nekavējoties. Lai atrastu otro sakni, jāatrisina elementārais vienādojums x+ 9 = 0 . Ir viegli uzminēt, ka šī vienādojuma sakne ir −9. Pārbaude parāda, vai sakne ir pareiza:

−9 + 9 = 0

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Šim vienādojumam ir divas saknes: 1 un 2. Vienādojuma kreisā puse ir izteiksmju ( x− 1) un ( x– 2) . Un reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli (vai koeficients ( x− 1) vai koeficients ( x − 2) ).

Atradīsim kaut ko līdzīgu šim x zem kuriem izteicieni ( x− 1) vai ( x− 2) kļūt par nulli:

Atrastās vērtības pa vienam aizstājam sākotnējā vienādojumā un pārliecināmies, ka šīm vērtībām kreisā puse ir vienāda ar nulli:

Kad ir bezgala daudz sakņu

Vienādojumam var būt bezgalīgi daudz sakņu. Tas ir, aizvietojot jebkuru skaitli šādā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo skaitlisko vienādību.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Šī vienādojuma sakne ir jebkurš skaitlis. Ja vienādojuma kreisajā pusē atverat iekavas un pievienojat līdzīgus terminus, iegūstat vienādību 14 = 14. Šī vienlīdzība tiks iegūta jebkuram x

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Šī vienādojuma sakne ir jebkurš skaitlis. Ja vienādojuma kreisajā pusē atverat iekavas, jūs iegūstat vienlīdzību 10x + 12 = 10x + 12. Šī vienlīdzība tiks iegūta jebkuram x

Kad nav sakņu

Gadās arī tā, ka vienādojumam vispār nav atrisinājumu, tas ir, tam nav sakņu. Piemēram, vienādojumam nav sakņu, jo jebkurai vērtībai x, vienādojuma kreisā puse nebūs vienāda ar labo pusi. Piemēram, ļaujiet. Tad vienādojumam būs šāda forma

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Izvērsīsim iekavas vienādojuma kreisajā pusē:

Apskatīsim līdzīgus terminus:

Mēs redzam, ka kreisā puse nav vienāda ar labo pusi. Un tas tā būs jebkurai vērtībai. y. Piemēram, ļaujiet y = 3 .

Burtu vienādojumi

Vienādojumā var būt ne tikai skaitļi ar mainīgajiem, bet arī burti.

Piemēram, ātruma atrašanas formula ir burtisks vienādojums:

Šis vienādojums apraksta ķermeņa ātrumu vienmērīgi paātrinātas kustības laikā.

Noderīga prasme ir spēja izteikt jebkuru burtu vienādojumā iekļauto komponentu. Piemēram, lai noteiktu attālumu no vienādojuma, jums ir jāizsaka mainīgais s .

Reiziniet abas vienādojuma puses ar t

Labajā pusē mainīgie t pārtrauksim to t

Iegūtajā vienādojumā mēs samainām kreiso un labo pusi:

Mums ir formula attāluma atrašanai, kuru mēs pētījām iepriekš.

Mēģināsim noteikt laiku no vienādojuma. Lai to izdarītu, ir jāizsaka mainīgais t .

Reiziniet abas vienādojuma puses ar t

Labajā pusē mainīgie t pārtrauksim to t un pārrakstīt to, kas mums ir palicis:

Iegūtajā vienādojumā v×t = s sadaliet abas daļas ar v

Kreisajā pusē mainīgie v pārtrauksim to v un pārrakstīt to, kas mums ir palicis:

Mums ir formula laika noteikšanai, kuru mēs pētījām iepriekš.

Pieņemsim, ka vilciena ātrums ir 50 km/h

v= 50 km/h

Un attālums ir 100 km

s= 100 km

Tad vēstulei būs šāda forma

Laiku var atrast no šī vienādojuma. Lai to izdarītu, jums jāspēj izteikt mainīgo t. Varat izmantot kārtulu nezināma dalītāja atrašanai, dalot dividendi ar koeficientu un tādējādi nosakot mainīgā lielumu t

vai arī varat izmantot identiskas transformācijas. Vispirms reiziniet abas vienādojuma puses ar t

Pēc tam sadaliet abas puses ar 50

2. piemērs x

Atņemiet no abām vienādojuma pusēm a

Sadalīsim abas vienādojuma puses ar b

a + bx = c, tad mums būs gatavs risinājums. Pietiks, lai tajā aizstātu nepieciešamās vērtības. Tās vērtības, kas tiks aizstātas ar burtiem a, b, c parasti sauc parametrus. Un formas vienādojumi a + bx = c sauca vienādojums ar parametriem. Atkarībā no parametriem sakne mainīsies.

Atrisināsim vienādojumu 2 + 4 x= 10. Tas izskatās kā burtu vienādojums a + bx = c. Tā vietā, lai veiktu identiskas transformācijas, mēs varam izmantot gatavu risinājumu. Salīdzināsim abus risinājumus:

Mēs redzam, ka otrs risinājums ir daudz vienkāršāks un īsāks.

Gatavam risinājumam ir jāizsaka neliela piezīme. Parametrs b nedrīkst būt vienāds ar nulli (b ≠ 0), jo ir atļauts dalīt ar nulli ar.

3. piemērs. Tiek dots burtisks vienādojums. Izteikt no šī vienādojuma x

Atvērsim iekavas abās vienādojuma pusēs

Izmantosim terminu nodošanu. Parametri, kas satur mainīgo x, mēs grupējam vienādojuma kreisajā pusē, bet parametri, kas ir brīvi no šī mainīgā, - labajā pusē.

Kreisajā pusē mēs izņemam koeficientu no iekavām x

Sadalīsim abas puses ar izteiksmi a − b

Kreisajā pusē skaitītāju un saucēju var samazināt par a − b. Šādi mainīgais beidzot tiek izteikts x

Tagad, ja mēs saskaramies ar formas vienādojumu a(x − c) = b(x + d), tad mums būs gatavs risinājums. Pietiks, lai tajā aizstātu nepieciešamās vērtības.

Pieņemsim, ka mums ir dots vienādojums 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Tas izskatās kā vienādojums a(x − c) = b(x + d). Atrisināsim to divos veidos: izmantojot identiskas transformācijas un izmantojot gatavu risinājumu:

Ērtības labad izņemsim to no vienādojuma 4(x− 3) = 2(x+ 4) parametru vērtības a, b, c, d . Tas ļaus mums nekļūdīties, aizstājot:

Tāpat kā iepriekšējā piemērā, saucējam šeit nevajadzētu būt vienādam ar nulli ( a − b ≠ 0) . Ja sastopamies ar formas vienādojumu a(x − c) = b(x + d) kurā parametri a Un b būs tāds pats, bez atrisināšanas varam teikt, ka šim vienādojumam nav sakņu, jo atšķirība starp identiskiem skaitļiem ir nulle.

Piemēram, vienādojums 2(x – 3) = 2(x + 4) ir formas vienādojums a(x − c) = b(x + d). Vienādojumā 2(x – 3) = 2(x + 4) iespējas a Un b tas pats. Ja mēs sāksim to risināt, mēs nonāksim pie secinājuma, ka kreisā puse nebūs vienāda ar labo pusi:

4. piemērs. Tiek dots burtisks vienādojums. Izteikt no šī vienādojuma x

Savedīsim vienādojuma kreiso pusi pie kopsaucēja:

Reiziniet abas puses ar a

Kreisajā pusē x izliksim to no iekavām

Sadaliet abas puses ar izteiksmi (1 - a)

Lineāri vienādojumi ar vienu nezināmo

Šajā nodarbībā aplūkotie vienādojumi tiek saukti pirmās pakāpes lineārie vienādojumi ar vienu nezināmu.

Ja vienādojums ir dots pirmajā pakāpē, nesatur dalījumu ar nezināmo un nesatur arī saknes no nezināmā, tad to var saukt par lineāru. Mēs vēl neesam pētījuši spēkus un saknes, tāpēc, lai nesarežģītu savu dzīvi, vārdu “lineārs” sapratīsim kā “vienkāršu”.

Lielākā daļa šajā nodarbībā atrisināto vienādojumu galu galā bija vienkāršs vienādojums, kurā jums bija jāsadala produkts ar zināmu koeficientu. Piemēram, šis ir vienādojums 2 ( x+ 3) = 16 . Atrisināsim.

Atveram iekavas vienādojuma kreisajā pusē, iegūstam 2 x+ 6 = 16. Pārvietosim 6. terminu uz labo pusi, mainot zīmi. Tad mēs iegūstam 2 x= 16 − 6. Aprēķiniet labo pusi, iegūstam 2 x= 10. Lai atrastu x, daliet reizinājumu 10 ar zināmo koeficientu 2. Tātad x = 5.

vienādojums 2( x+ 3) = 16 ir lineārs. Tas nonāk līdz 2. vienādojumam x= 10, lai atrastu sakni, kurai bija nepieciešams reizinājumu dalīt ar zināmu koeficientu. Šo vienkāršāko vienādojumu sauc pirmās pakāpes lineārais vienādojums ar vienu nezināmo kanoniskā formā. Vārds "kanonisks" ir sinonīms vārdiem "vienkāršs" vai "parasts".

Pirmās pakāpes lineāro vienādojumu ar vienu nezināmu kanoniskā formā sauc par formas vienādojumu cirvis = b.

Mūsu iegūtais vienādojums 2 x= 10 ir pirmās pakāpes lineārs vienādojums ar vienu nezināmu kanoniskā formā. Šim vienādojumam ir pirmā pakāpe, viens nezināms, tas nesatur dalījumu ar nezināmo un nesatur saknes no nezināmā, un tas ir uzrādīts kanoniskā formā, tas ir, vienkāršākajā formā, kurā vērtību var viegli noteikt x. Parametru vietā a Un b mūsu vienādojumā ir skaitļi 2 un 10. Taču šādā vienādojumā var būt arī citi skaitļi: pozitīvi, negatīvi vai vienādi ar nulli.

Ja lineārā vienādojumā a= 0 un b= 0, tad vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu. Patiešām, ja a vienāds ar nulli un b ir vienāds ar nulli, tad lineārais vienādojums cirvis= b būs 0 formā x= 0. Par jebkuru vērtību x kreisā puse būs vienāda ar labo pusi.

Ja lineārā vienādojumā a= 0 un b≠ 0, tad vienādojumam nav sakņu. Patiešām, ja a vienāds ar nulli un b ir vienāds ar kādu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, teiksim, skaitli 5, tad vienādojumu cirvis = b būs 0 formā x= 5. Kreisajā pusē būs nulle, bet labajā pusē būs pieci. Un nulle nav vienāda ar pieci.

Ja lineārā vienādojumā a≠ 0 un b ir vienāds ar jebkuru skaitli, tad vienādojumam ir viena sakne. To nosaka, dalot parametru b pēc parametra a

Patiešām, ja a vienāds ar kādu skaitli, kas nav nulle, teiksim skaitli 3 un b vienāds ar kādu skaitli, teiksim skaitli 6, tad vienādojums iegūs formu .
No šejienes.

Ir arī cita veida pirmās pakāpes lineāra vienādojuma rakstīšana ar vienu nezināmu. Tas izskatās šādi: cirvis-b= 0. Šis ir tāds pats vienādojums kā cirvis = b

Vai jums patika nodarbība?
Pievienojies mūsu jauna grupa VKontakte un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām

Vienādojumi

Kā atrisināt vienādojumus?

Šajā sadaļā mēs atgādināsim (vai izpētīsim, atkarībā no tā, kuru jūs izvēlaties) visvienkāršākos vienādojumus. Tātad, kāds ir vienādojums? Cilvēku valodā šī ir sava veida matemātiska izteiksme, kurā ir vienādības zīme un nezināmais. Kas parasti tiek apzīmēts ar burtu "X". Atrisiniet vienādojumu- tas ir, lai atrastu tādas x vērtības, kuras, aizstājot ar oriģināls izteiksme dos mums pareizo identitāti. Atgādināšu, ka identitāte ir izteiksme, par kuru nav šaubu pat cilvēkam, kurš absolūti nav apgrūtināts ar matemātikas zināšanām. Piemēram, 2=2, 0=0, ab=ab utt. Tātad, kā atrisināt vienādojumus? Izdomāsim.

Ir visdažādākie vienādojumi (esmu pārsteigts, vai ne?). Bet visu to bezgalīgo daudzveidību var iedalīt tikai četros veidos.

4. Cits.)

Viss pārējais, protams, lielākā daļa, jā...) Tas ietver kubisko, eksponenciālo, logaritmisko, trigonometrisko un visādus citus. Mēs cieši sadarbosimies ar viņiem attiecīgajās sadaļās.

Es uzreiz teikšu, ka dažreiz vienādojumi ar pirmo trīs veidi viņi tevi piekrāps tik ļoti, ka tu viņus pat neatpazīsi... Nekas. Mēs iemācīsimies tos atslēgt.

Un kāpēc mums ir vajadzīgi šie četri veidi? Un tad ko lineārie vienādojumi atrisināts vienā veidā kvadrāts citi, daļskaitļi - trešais, A atpūta Viņi nemaz neuzdrošinās! Nu, runa nav par to, ka viņi vispār nevar izlemt, bet gan par to, ka es kļūdījos ar matemātiku.) Vienkārši viņiem ir savi īpaši paņēmieni un metodes.

Bet jebkuram (es atkārtoju - par jebkura!) vienādojumi nodrošina uzticamu un drošu pamatu risināšanai. Darbojas visur un vienmēr. Šis tonālais krēms - Izklausās biedējoši, bet tas ir ļoti vienkārši. Un ļoti (Ļoti!) svarīgs.

Faktiski vienādojuma risinājums sastāv no šīm transformācijām. 99% Atbilde uz jautājumu: " Kā atrisināt vienādojumus?" slēpjas tieši šajās pārvērtībās. Vai mājiens ir skaidrs?)

Identiskas vienādojumu transformācijas.

IN jebkuri vienādojumi Lai atrastu nezināmo, jums ir jāpārveido un jāvienkāršo sākotnējais piemērs. Un tā, ka mainoties izskats vienādojuma būtība nav mainījusies.Šādas pārvērtības sauc identisks vai līdzvērtīgs.

Ņemiet vērā, ka šīs transformācijas ir spēkā īpaši attiecībā uz vienādojumiem. Arī matemātikā ir identitātes transformācijas izteiksmes.Šī ir cita tēma.

Tagad mēs atkārtosim visu, visu, visu pamata vienādojumu pārveidojumi.

Pamata, jo uz tiem var attiecināt jebkura vienādojumi - lineārie, kvadrātiskie, daļskaitļi, trigonometriskie, eksponenciālie, logaritmiskie utt. un tā tālāk.

Pirmā identitātes transformācija: jūs varat pievienot (atņemt) jebkura vienādojuma abām pusēm jebkura(bet viens un tas pats!) skaitlis vai izteiksme (ieskaitot izteiksmi ar nezināmo!). Tas nemaina vienādojuma būtību.

Starp citu, jūs pastāvīgi izmantojāt šo transformāciju, jūs vienkārši domājāt, ka jūs pārnesat dažus terminus no vienas vienādojuma daļas uz citu ar zīmes maiņu. Veids:

Lieta ir pazīstama, mēs pārvietojam abus pa labi un iegūstam:

Patiesībā tu atņemts no abām vienādojuma pusēm ir divi. Rezultāts ir tāds pats:

x+2 - 2 = 3 - 2

Terminu pārvietošana pa kreisi un pa labi ar zīmes maiņu ir vienkārši pirmās identitātes transformācijas saīsināta versija. Un kāpēc mums tādas ir vajadzīgas dziļas zināšanas? - tu jautā. Nekas vienādojumos. Dieva dēļ, paciet to. Vienkārši neaizmirstiet nomainīt zīmi. Taču nevienlīdzībā ieradums pārnest var novest strupceļā...

Otrā identitātes transformācija: abas vienādojuma puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašu kas nav nulle skaitlis vai izteiksme. Šeit jau parādās saprotams ierobežojums: reizināt ar nulli ir stulbi, un dalīt ir pilnīgi neiespējami. Šī ir transformācija, ko izmantojat, risinot kaut ko lielisku, piemēram

Tas ir skaidrs X= 2. Kā jūs to atradāt? Pēc atlases? Vai arī tev tas vienkārši uzausa? Lai neatlasītu un negaidītu ieskatu, jums ir jāsaprot, ka esat taisnīgs sadalītas abas vienādojuma puses par 5. Sadalot kreiso pusi (5x), piecinieks tika samazināts, atstājot tīro X. Kas ir tieši tas, kas mums bija vajadzīgs. Un, dalot (10) labo pusi ar pieci, rezultāts, protams, ir divi.

Tas ir viss.

Smieklīgi, bet šīs divas (tikai divas!) identiskas pārvērtības ir risinājuma pamatā visi matemātikas vienādojumi. Oho! Ir jēga aplūkot piemērus, kas un kā, vai ne?)

Identisku vienādojumu pārveidojumu piemēri. Galvenās problēmas.

Sāksim ar vispirms identitātes transformācija. Pārsūtiet pa kreisi-pa labi.

Piemērs jaunākajiem.)

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds vienādojums:

3-2x=5-3x

Atcerēsimies burvestību: "ar X - pa kreisi, bez X - pa labi!"Šī burvestība ir norādījumi par pirmās identitātes transformācijas izmantošanu.) Kāda izteiksme ar X ir labajā pusē? 3x? Atbilde ir nepareiza! Pa labi no mums - 3x! Mīnuss trīs x! Tāpēc, pārvietojoties pa kreisi, zīme mainīsies uz plusu. Izrādīsies:

3-2x+3x=5

Tātad X tika savākti kaudzē. Iedziļināsimies skaitļos. Kreisajā pusē ir trīs. Ar kādu zīmi? Atbilde “ar nevienu” netiek pieņemta!) Trīs priekšā patiešām nekas nav uzzīmēts. Un tas nozīmē, ka pirms trim ir plus. Tāpēc matemātiķi piekrita. Nekas nav rakstīts, kas nozīmē plus. Tāpēc trīskāršais tiks pārcelts uz labo pusi ar mīnusu. Mēs iegūstam:

-2x+3x=5-3

Ir palikuši tikai sīkumi. Pa kreisi - atnesiet līdzīgus, pa labi - skaitiet. Atbilde nāk uzreiz:

Šajā piemērā pietika ar vienu identitātes transformāciju. Otrais nebija vajadzīgs. Nu labi.)

Piemērs vecākiem bērniem.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Šajā nodarbībā ir detalizēti apskatīta izpildes procedūra aritmētiskās darbības izteicienos bez un ar iekavām. Studentiem, pildot uzdevumus, tiek dota iespēja noteikt, vai izteiksmju nozīme ir atkarīga no aritmētisko darbību veikšanas secības, noskaidrot, vai aritmētisko darbību secība atšķiras izteiksmēs bez iekavām un ar iekavām, praktizēt pielietošanu. apgūto noteikumu, lai atrastu un labotu kļūdas, kas pieļautas, nosakot darbību secību.

Dzīvē mēs pastāvīgi veicam kaut kādas darbības: ejam, mācāmies, lasām, rakstām, skaitam, smaidām, strīdamies un samierinām. Mēs veicam šīs darbības citā secībā. Dažreiz tos var apmainīt, dažreiz nē. Piemēram, no rīta gatavojoties skolai, vispirms var veikt vingrinājumus, tad saklāt gultu vai otrādi. Bet jūs nevarat vispirms doties uz skolu un pēc tam uzvilkt drēbes.

Vai matemātikā ir jāveic aritmētiskās darbības noteiktā secībā?

Pārbaudīsim

Salīdzināsim izteicienus:
8-3+4 un 8-3+4

Mēs redzam, ka abas izteiksmes ir pilnīgi vienādas.

Veiksim darbības vienā izteiksmē no kreisās puses uz labo, bet otrā no labās uz kreiso. Varat izmantot ciparus, lai norādītu darbību secību (1. att.).

Rīsi. 1. Procedūra

Pirmajā izteiksmē mēs vispirms veiksim atņemšanas darbību un pēc tam pievienosim rezultātam skaitli 4.

Otrajā izteiksmē mēs vispirms atrodam summas vērtību un pēc tam no 8 atņemam iegūto rezultātu 7.

Mēs redzam, ka izteicienu nozīmes ir atšķirīgas.

Secinam: Aritmētisko darbību izpildes secību nevar mainīt.

Apgūsim aritmētisko darbību veikšanas noteikumu izteiksmēs bez iekavām.

Ja izteiksme bez iekavām ietver tikai saskaitīšanu un atņemšanu vai tikai reizināšanu un dalīšanu, tad darbības tiek veiktas tādā secībā, kādā tās ir uzrakstītas.

Trenējamies.

Apsveriet izteiksmi

Šī izteiksme satur tikai saskaitīšanas un atņemšanas darbības. Šīs darbības sauc pirmā posma darbības.

Darbības veicam no kreisās puses uz labo secībā (2. att.).

Rīsi. 2. Procedūra

Apsveriet otro izteiksmi

Šī izteiksme satur tikai reizināšanas un dalīšanas darbības - Tās ir otrā posma darbības.

Darbības veicam no kreisās puses uz labo secībā (3. att.).

Rīsi. 3. Procedūra

Kādā secībā tiek veiktas aritmētiskās darbības, ja izteiksmē ir ne tikai saskaitīšana un atņemšana, bet arī reizināšana un dalīšana?

Ja izteiksme bez iekavām ietver ne tikai saskaitīšanas un atņemšanas darbības, bet arī reizināšanu un dalīšanu vai abas šīs darbības, tad vispirms veiciet secībā (no kreisās uz labo) reizināšanu un dalīšanu, bet pēc tam saskaitīšanu un atņemšanu.

Apskatīsim izteiksmi.

Padomāsim šādi. Šī izteiksme satur saskaitīšanas un atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. Mēs rīkojamies saskaņā ar likumu. Pirmkārt, mēs veicam secībā (no kreisās uz labo) reizināšanu un dalīšanu, un pēc tam saskaitīšanu un atņemšanu. Sakārtosim darbību secību.

Aprēķināsim izteiksmes vērtību.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Kādā secībā tiek veiktas aritmētiskās darbības, ja izteiksmē ir iekavas?

Ja izteiksmē ir iekavas, vispirms tiek novērtēta iekavās esošo izteiksmju vērtība.

Apskatīsim izteiksmi.

30 + 6 * (13 - 9)

Mēs redzam, ka šajā izteiksmē iekavās ir darbība, kas nozīmē, ka vispirms veiksim šo darbību, pēc tam reizināšanu un saskaitīšanu. Sakārtosim darbību secību.

30 + 6 * (13 - 9)

Aprēķināsim izteiksmes vērtību.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Kā pareizi noteikt aritmētisko darbību secību skaitliskā izteiksmē?

Pirms aprēķinu sākšanas ir jāapskata izteiksme (noskaidro, vai tajā ir iekavas, kādas darbības tajā ir) un tikai pēc tam veiciet darbības šādā secībā:

1. iekavās rakstītas darbības;

2. reizināšana un dalīšana;

3. saskaitīšana un atņemšana.

Diagramma palīdzēs atcerēties šo vienkāršo noteikumu (4. att.).

Rīsi. 4. Procedūra

Trenējamies.

Apskatīsim izteiksmes, noteiksim darbību secību un veiksim aprēķinus.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Mēs rīkosimies saskaņā ar noteikumiem. Izteiksme 43 - (20 - 7) +15 satur darbības iekavās, kā arī saskaitīšanas un atņemšanas darbības. Izveidosim procedūru. Pirmā darbība ir darbības veikšana iekavās un pēc tam secībā no kreisās puses uz labo atņemšanu un saskaitīšanu.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Izteiksme 32 + 9 * (19 - 16) satur darbības iekavās, kā arī reizināšanas un saskaitīšanas darbības. Pēc noteikuma vispirms veicam darbību iekavās, tad reizināšanu (skaitli 9 reizinām ar atņemšanas rezultātā iegūto rezultātu) un saskaitīšanu.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Izteiksmē 2*9-18:3 nav iekavas, bet ir reizināšanas, dalīšanas un atņemšanas darbības. Mēs rīkojamies saskaņā ar likumu. Vispirms veicam reizināšanu un dalīšanu no kreisās puses uz labo un pēc tam no reizināšanas rezultāta atņemam dalīšanas rezultātu. Tas ir, pirmā darbība ir reizināšana, otrā ir dalīšana un trešā ir atņemšana.

2*9-18:3=18-6=12

Noskaidrosim, vai darbību secība turpmākajās izteiksmēs ir pareizi definēta.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Padomāsim šādi.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Šajā izteiksmē nav iekavas, kas nozīmē, ka vispirms veicam reizināšanu vai dalīšanu no kreisās puses uz labo, pēc tam saskaitīšanu vai atņemšanu. Šajā izteiksmē pirmā darbība ir dalīšana, otrā ir reizināšana. Trešajai darbībai jābūt saskaitīšanai, ceturtajai - atņemšanai. Secinājums: procedūra ir noteikta pareizi.

Noskaidrosim šīs izteiksmes vērtību.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Turpināsim runāt.

Otrajā izteiksmē ir iekavas, kas nozīmē, ka mēs vispirms veicam darbību iekavās, pēc tam no kreisās puses uz labo reizināšanu vai dalīšanu, saskaitīšanu vai atņemšanu. Mēs pārbaudām: pirmā darbība ir iekavās, otrā ir dalīšana, trešā ir pievienošana. Secinājums: procedūra ir definēta nepareizi. Izlabosim kļūdas un atradīsim izteiksmes vērtību.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Šajā izteiksmē ir arī iekavas, kas nozīmē, ka mēs vispirms veicam darbību iekavās, pēc tam no kreisās puses uz labo reizināšanu vai dalīšanu, saskaitīšanu vai atņemšanu. Pārbaudīsim: pirmā darbība ir iekavās, otrā ir reizināšana, trešā ir atņemšana. Secinājums: procedūra ir definēta nepareizi. Izlabosim kļūdas un atradīsim izteiksmes vērtību.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Pabeigsim uzdevumu.

Sakārtosim darbību secību izteiksmē, izmantojot apgūto noteikumu (5. att.).

Rīsi. 5. Procedūra

Mēs nevaram redzēt skaitliskās vērtības, tāpēc nevarēsim atrast izteicienu nozīmi, bet gan praktizēsimies pielietot apgūto likumu.

Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu.

Pirmajā izteiksmē ir iekavas, kas nozīmē, ka pirmā darbība ir iekavās. Tad no kreisās puses uz labo reizināšanu un dalīšanu, tad no kreisās uz labo atņemšanu un saskaitīšanu.

Otrajā izteiksmē ir arī iekavas, kas nozīmē, ka mēs veicam pirmo darbību iekavās. Pēc tam no kreisās puses uz labo reizināšanu un dalīšanu, pēc tam atņemšanu.

Pārbaudīsim sevi (6. att.).

Rīsi. 6. Procedūra

Šodien klasē mēs uzzinājām par darbību secības noteikumu izteicienos bez un ar iekavām.

Bibliogrāfija

1. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. - M.: “Apgaismība”, 2012.g.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. - M.: “Apgaismība”, 2012.g.
3. M.I. Moro. Matemātikas nodarbības: Vadlīnijas skolotājam. 3. klase. - M.: Izglītība, 2012.
4. Normatīvais dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un novērtēšana. - M.: “Apgaismība”, 2011. gads.
5. “Krievijas skola”: programmas sākumskolai. - M.: “Apgaismība”, 2011. gads.
6. S.I. Volkova. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. klase. - M.: Izglītība, 2012.
7. V.N. Rudņicka. Pārbaudes. - M.: "Eksāmens", 2012.

1. Festivāls.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Mājasdarbs

1. Nosakiet darbību secību šajās izteiksmēs. Atrodiet izteicienu nozīmi.

2. Nosakiet, kādā izteiksmē šī darbību secība tiek veikta:

1. reizināšana; 2. sadalīšana;. 3. papildinājums; 4. atņemšana; 5. papildinājums. Atrodiet šī izteiciena nozīmi.

3. Izveidojiet trīs izteiksmes, kurās tiek veikta šāda darbību secība:

1. reizināšana; 2. papildinājums; 3. atņemšana

1. papildinājums; 2. atņemšana; 3. papildinājums

1. reizināšana; 2. sadalīšana; 3. papildinājums

Atrodiet šo izteicienu nozīmi.

Vienādojums ir vienādojums, kas satur burtu, kura vērtība ir jāatrod.

Vienādojumos nezināmais parasti tiek attēlots ar mazajiem burtiem Latīņu burts. Visbiežāk lietotie burti ir “x” [ix] un “y” [y].

• Vienādojuma sakne- šī ir burta vērtība, ar kuru no vienādojuma tiek iegūta pareizā skaitliskā vienādība.
• Atrisiniet vienādojumu- nozīmē atrast visas tās saknes vai pārliecināties, ka nav sakņu.

Atrisinot vienādojumu, pēc atbildes vienmēr pierakstām čeku.

Informācija vecākiem

Cienījamie vecāki, vēršam jūsu uzmanību uz to, ka pamatskola un 5. klasē bērni NEzina tēmu “Negatīvie skaitļi”.

Tāpēc viņiem ir jāatrisina vienādojumi, izmantojot tikai saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības. Tālāk ir dotas 5. klases vienādojumu risināšanas metodes.

Nemēģiniet izskaidrot vienādojumu risinājumu, pārnesot ciparus un burtus no vienas vienādojuma daļas uz citu ar zīmes maiņu.

Jēdzienus, kas saistīti ar saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, varat papildināt nodarbībā “Aritmētikas likumi”.

Saskaitīšanas un atņemšanas vienādojumu risināšana

Kā atrast nezināmo
jēdziens

Kā atrast nezināmo
miniend

Kā atrast nezināmo
subtrahenda

Lai atrastu nezināmo terminu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas.

Lai atrastu nezināmo minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda.

Lai atrastu nezināmo apakšrindu, jums ir jāatņem starpība no mazā gala.

x + 9 = 15
x = 15–9
x=6
Pārbaude

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Pārbaude

16 − 2 = 14
14 = 14

5–x = 3
x = 5–3
x = 2
Pārbaude

Reizināšanas un dalīšanas vienādojumu risināšana

Kā atrast nezināmo
faktors

Kā atrast nezināmo
dalāmais

Kā atrast nezināmo
sadalītājs

Lai atrastu nezināmu faktoru, produkts ir jāsadala ar zināmo faktoru.

Lai atrastu nezināmo dividendi, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju.

Lai atrastu nezināmu dalītāju, dividende jāsadala ar koeficientu.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Pārbaude

y: 7 = 2
y = 27
y=14
Pārbaude

8:y=4
y=8:4
y=2
Pārbaude

Vienādojums ir vienādojums, kas satur burtu, kura zīme ir jāatrod. Vienādojuma risinājums ir burtu vērtību kopa, kas pārvērš vienādojumu par patiesu vienādību:

Atgādiniet to, lai atrisinātu vienādojums jums ir jāpārnes termini ar nezināmo uz vienu vienādības daļu, bet skaitliskie termini uz otru, jāpievieno līdzīgi un jāiegūst šāda vienādība:

No pēdējās vienādības mēs nosakām nezināmo saskaņā ar noteikumu: "viens no faktoriem ir vienāds ar koeficientu, kas dalīts ar otro koeficientu."

Jo racionālie skaitļi a un b var būt vienādi un dažādas zīmes, tad nezināmā zīmi nosaka racionālo skaitļu dalīšanas noteikumi.

Lineāro vienādojumu risināšanas procedūra

Lineārais vienādojums jāvienkāršo, atverot iekavas un veicot otrās darbības darbības (reizināšanu un dalīšanu).

Pārvietojiet nezināmos uz vienu vienādības zīmes pusi un skaitļus uz otru vienādības zīmes pusi, iegūstot vienādību, kas ir identiska dotajai,

Savelciet līdzīgus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes, iegūstot formas vienādību cirvis = b.

Aprēķiniet vienādojuma sakni (atrodiet nezināmo X no vienlīdzības x = b : a),

Pārbaudiet, aizstājot nezināmo dotajā vienādojumā.

Ja mēs iegūstam identitāti skaitliskā vienādībā, tad vienādojums ir pareizi atrisināts.

Īpaši vienādojumu risināšanas gadījumi

1. Ja vienādojums ja reizinājums ir vienāds ar 0, tad, lai to atrisinātu, mēs izmantojam reizināšanas īpašību: "reizinājums ir vienāds ar nulli, ja viens no faktoriem vai abi faktori ir vienādi ar nulli."

27 (x - 3) = 0
27 nav vienāds ar 0, kas nozīmē x - 3 = 0

Otrajā piemērā ir divi vienādojuma risinājumi, jo
šis ir otrās pakāpes vienādojums:

Ja vienādojuma koeficienti ir parastās frakcijas, tad vispirms ir jāatbrīvojas no saucējiem. Priekš šī:

Atrodi kopsaucēju;

Noteikt papildu faktorus katram vienādojuma loceklim;

Daļskaitļu un veselo skaitļu skaitītājus reiziniet ar papildu koeficientiem un ierakstiet visus vienādojuma nosacījumus bez saucējiem (kopsaucēju var atmest);

Pārvietot terminus ar nezināmajiem uz vienu vienādojuma pusi, bet skaitliskos vārdus uz otru no vienādības zīmes, iegūstot ekvivalentu vienādību;

Atvediet līdzīgus biedrus;

Vienādojumu pamatīpašības

Jebkurā vienādojuma daļā varat pievienot līdzīgus terminus vai atvērt iekavas.

Jebkuru vienādojuma terminu var pārnest no vienas vienādojuma daļas uz citu, mainot tā zīmi uz pretējo.

Abas vienādojuma puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašu skaitli, izņemot 0.

Iepriekš minētajā piemērā visas tā īpašības tika izmantotas, lai atrisinātu vienādojumu.

Reizināšanas vienādojumi

1) Attīstīt prasmi izveidot algoritmu, izmantojot vienkāršu reizināšanas vienādojumu risināšanas algoritma konstruēšanas piemēru, attīstīt prasmi izmantot konstruēto algoritmu vienādojuma risināšanā.

2) Apmāciet savas skaitļošanas prasmes un risiniet teksta uzdevumus.

Projektēšanas stadijā nepieciešamās garīgās operācijas: analīze, sintēze, salīdzināšana, analoģija.

1. posms. Motivācija mācību aktivitātēm

1) motivēt studentus izglītojošas aktivitātes,

2) nosaka nodarbības saturisko ietvaru.

Organizācija izglītības process 1. posmā:

— Kādu tēmu mēs tagad apgūstam matemātikas stundās? (Reizināšana un dalīšana)

— Kādos uzdevumos mēs izmantojam šīs darbības? (Atrisinot piemērus, problēmas)

— Vai vēlaties zināt, kādi vēl ir uzdevumi, kuros mēs varam izmantot šīs darbības? (Jā)

Puiši, paskatieties, kas šodien ieradās uz mūsu nodarbību? Vai jūs viņus atpazināt? Ko jūs zināt par šiem varoņiem? (...)

(parādās jautājuma zīmes). Kas notiek? Koloboki ir neizpratnē un satraukti. Viņi gribēja izpildīt uzdevumu, bet pirmo reizi viņiem neizdevās. Viņi nezina, kā atklāt jaunas zināšanas. Palīdzēsim? (...)

Vai ir iespējams nokļūt darbā ar tādu pašu noskaņojumu kā kolobokiem? (Tas nav iespējams, rezultāta nebūs)

Pasmaidīsim viens otram un vēlēsim veiksmi! Nu ko, rīkosimies pēc jaunu zināšanu atklāšanas plāna. Tu viņu labi pazīsti.

2. posms. Zināšanu atjaunināšana un grūtību novēršana izmēģinājuma darbībā

1) konstruēšanai pietiekamu pētīto darbības metožu aktualizēšana, to verbālā un simboliskā fiksācija un vispārināšana;

2) aktualizēšana garīgās un kognitīvie procesi, pietiekams jaunu zināšanu veidošanai;

3) motivācija izmēģinājuma izglītojošai darbībai un tās patstāvīgai īstenošanai;

4) studentu individuālo grūtību fiksēšana ieskaites aizpildīšanā izglītojoša akcija vai tā pamatojums.

Izglītības procesa organizēšana 2. posmā:

1) Formulu atjaunināšana taisnstūra laukuma un nezināmās malas atrašanai.

Kur mēs sākam? (Ar atkārtošanos). Vai mums vajadzētu atkārtot visu, ko zinām? (Nē, tikai to, kas mums noder, lai atklātu jaunas zināšanas)



- Kas jums jāatrod šajā uzdevumā? (taisnstūra laukums)

— Kā atrast taisnstūra laukumu? (Lai atrastu taisnstūra laukumu, reiziniet garumu ar platumu)

Parādās apgabala formula.

Studenti izpilda uzdevumu.

- Kāds ir rajons? (18 kv. m)

- Kurš saņēma citu atbildi?

- Kāda ir tava kļūda?

- Kā atrast zināmā puse taisnstūris? (Lai atrastu nezināmo taisnstūra malu, sadaliet laukumu ar zināmo malu)

— Parādās formula taisnstūra nezināmās malas atrašanai.

— Izveidojiet apgrieztu uzdevumu, kurā jāatrod taisnstūra garums (...)

— Pierakstīsim apgrieztā uzdevuma risinājumu.

Students, kurš sastādīja apgriezto uzdevumu, to atrisina uz tāfeles: 18:3=6(m) – garums

- Tagad izveidojiet vēl vienu apgrieztu problēmu.

Students, kurš sastādīja apgriezto uzdevumu, to atrisina uz tāfeles: 18:6=3 (m) – platums

Kurš šajā uzdevumā nav kļūdījies? Uzlieciet sev + zīmi maršruta lapā blakus atkārtojumam. Kurš pieļāva kļūdu? Kāpēc radās kļūda? Vai jūs saprotat iemeslu? Izlabojiet kļūdu. Ko tu sev noteiksi? (? un +).

2) Algoritma atjaunināšana saskaitīšanas un atņemšanas vienādojumu risināšanai.

— Pierakstiet: summa X + 5 ir vienāda ar 7. Kā var nosaukt šo ierakstu? (vienādojums)

— Kas ir vienādojums? (Vienādojumu, kurā ir nezināms skaitlis, sauc par vienādojumu)

- Kas mums palīdzēs atrisināt šo vienādojumu? (Standarts saskaitīšanas vienādojumu risināšanai)

Viens students pie tāfeles komentē. (Norādīšu vienādojuma sastāvdaļas, pasvītrošu daļas, apvelku visu (summu). Redzu, ka daļa nav zināma. Lai atrastu nezināmo daļu, no summas jāatņem zināmā daļa.

Kurš šajā uzdevumā nav kļūdījies? Uzlieciet sev + zīmi maršruta lapā blakus atkārtojumam. Kurš pieļāva kļūdu? Kāpēc radās kļūda? Vai jūs saprotat iemeslu? Izlabojiet kļūdu. Ko tu sev noteiksi? (- un +).

- Kāpēc mēs to atkārtojām? (Tas mums noderēs, lai atklātu jaunas zināšanas)

- Kuru Nākamais solis? (Pārbaudes darbība) Kam tas paredzēts? (Lai saprastu to, ko mēs nezinām)

Skolotājs izdala skolēniem kartītes ar uzdevumu izmēģinājuma darbībai:

— Kāds uzdevums ir jāpaveic? (Atrisiniet vienādojumu)



- Ar kādu darbību? (Ar reizināšanu)

– Kas jauns šajā uzdevumā? (Mēs neatrisinājām reizināšanas vienādojumus)

Izmēģiniet šo uzdevumu. (30 sek.)

— Kurš nepaveica uzdevumu?

Ko tu nevarēji izdarīt? (Mēs nevarējām atrisināt vienādojumu)

- Kurš atrada vienādojuma sakni? Kādus rezultātus saņēmāt?

Skolotājs ieraksta rezultātus uz tāfeles blakus izmēģinājuma darbībai.

– Pamato savu viedokli.

Ka jūs nevarat darīt? (Mēs nevaram pamatot savu atbildi.)

Tev ir problēma. (grūtības). Maršruta lapā pie izmēģinājuma darbības liksim... (jautājuma zīmi).

— Kāds ir nākamais solis stundā? (Izdomājiet, kāda ir mūsu problēma)

- Un tā kā ir radušās grūtības, vajag... (Apstāties un padomāt)

3. posms. Problēmas atrašanās vietas un cēloņa noteikšana

1) atjaunot veiktās darbības un fiksēt grūtības vietu;

2) korelējiet savas darbības ar izmantoto darbības metodi un, pamatojoties uz to, identificējiet un ārējā runā fiksējiet grūtības cēloni.

Izglītības procesa organizēšana 3. posmā:

-Kāds uzdevums tev bija jāizpilda? (Mums bija jāatrisina reizināšanas vienādojums)

- Kā jūs domājāt, veicot testa darbību? (Mēs mēģinājām izmantot labi zināmu algoritmu vienādojumu risināšanai...)

- Kāda ir problēma? (Algoritms nav piemērots)

Kāpēc radās grūtības? (Mums nav iespējas atrisināt reizināšanas vienādojumus)

Vai tu saproti to, ko nezini? (Jā). Ievietojiet + zīmi maršruta lapā blakus trešajam solim.

4. posms. Izveidojiet projektu, lai izkļūtu no problēmas

1) saskaņot un fiksēt nodarbības mērķi un tēmu;

2) sastādīt plānu un noteikt līdzekļus mērķa sasniegšanai.

Izglītības procesa organizēšana 4. posmā:

- Mēs sapratām to, ko nezinām, tagad varam... (Atklājiet metodi paši)

Vispirms jums ir jānosaka mērķis. Ja jūs nezināt, kā atrisināt reizināšanas vienādojumus, tad jūsu mērķis ir... (Atklājiet veidu, kā atrisināt šādus vienādojumus)

- Formulējiet mūsu nodarbības tēmu (...)

Uzrakstiet tēmu uz tāfeles:

– Mēs uzvedīsimies kā īsti detektīvi. Sastādīsim rīcības plānu. Slidkalniņš

– Padomāsim, kas mums var palīdzēt. Atcerieties, ka jūs atkārtojāt pašā nodarbības sākumā. (Algoritms saskaitīšanas vienādojumu risināšanai, formula laukuma atrašanai)

- Kāda formula var mums palīdzēt? (Formula taisnstūra laukuma un nezināmās malas atrašanai)

— Mēģināsim pielietot taisnstūra laukuma formulu.

— Saskaitīšanas vienādojumu risināšanai iesaku izmantot jums zināmo algoritmu.

Algoritms.

2. Es atšķiru veselumu un daļas.
3. Kas ir nezināms?
4. Es piemēroju noteikumu.
5. Es atrodu nezināmu x.
6. Kas šajā algoritmā jums nepārprotami nav piemērots? (1 punkts)
7. Kad jums bija saskaitāmie vienādojumi, jūs saistījāt to komponentus ar daļām un veselumiem, izmantojot līniju segmentus. Ar ko jūs saistījāt reizināšanas komponentus? (Ar platību)
8. Ko izmantosiet segmenta vietā? (taisnstūra modelis)

Aizstāsim 1. vienumu ar Apzīmēsim vienādojuma sastāvdaļas, izmantojot taisnstūra modeli.

— Vai jums ir piemēroti atlikušie algoritma punkti?

— Vai, izmantojot šo algoritmu, varat mēģināt atrisināt vienādojumu?

— Ko mēs varam darīt, lai šo noteikumu vienmēr būtu ērti izmantot? (Ierakstīsim noteikumu vispārējs skats)

Rakstīsim noteikumu vispārīgā formā.

- Kādus līdzekļus izmantosim?

Mēģināsim pielietot taisnstūra laukuma formulu...

Rīki: taisnstūra modelis, algoritms.

5. posms. Pabeigtā projekta realizācija

1) īstenot uzbūvēto projektu saskaņā ar plānu;

2) fiksēt izteicienu rakstīšanas veidus uz standarta;

3) organizēt grūtības pārvarēšanas pierakstu;

4) organizēt jauno zināšanu vispārējā rakstura noskaidrošanu.

Izglītības procesa organizēšana 5. posmā:

Iesaku strādāt grupās. Nosakiet noteikumus darbam grupās.

Noteikumi darbam grupās

1. Grupā jābūt atbildīgajai personai.

2. Viens runā, citi klausās.

3. Pieklājīgi izsakiet savu nepiekrišanu.

4. Ikvienam ir jāstrādā.

Skolēni veido grupas.

- Izpildiet plānu grupās.

Atbildīgais no katras grupas saņem uzdevumu.

1. Izmantošu taisnstūra modeli un modelī uzzīmēšu vienādojuma sastāvdaļas.

2. Es piemērošu taisnstūra laukuma noteikumu. (Lai atrastu nezināmo taisnstūra malu, sadaliet laukumu ar zināmo malu)

3. Atrodiet vienādojuma sakni

Mēs atzīmējām ciparus uz taisnstūra modeļa. Var redzēt, ka taisnstūra mala nav zināma. Lai atrastu taisnstūra nezināmo malu, laukums ir jāsadala ar zināmo malu. Mēs veicām aprēķinus un atradām vienādojuma sakni, x=5.

— Kas vēl jādara saskaņā ar plānu? (Uzrakstiet vienādojumu vispārīgā formā)

— Kā uzrakstīt vienādojumu vispārīgā formā? (Izmantojot latīņu alfabēta burtus)

— Kā vienādojumā apzīmē skaitļus, kas ir taisnstūra malas? (Mēs uzsveram)

— Es ierosinu skaitli, kas ir laukums, ņemt taisnstūrī, kāpēc tas ir ērti? (Atgādina mūsu izmantoto formulu)

— Vai būs jāveido cits standarts gadījumam, kad x ir cita faktora vietā? (Nē)

- Kāpēc? (Varat izmantot reizināšanas komutatīvo īpašību)

— Kā pārbaudīt savu atklājumu? Kādas zināšanu atslēgas mums ir? (Paskaties mācību grāmatā)

Atveriet savas mācību grāmatas 1. lappusē. Izlasi noteikumu.

Labi padarīts! Jūs palīdzējāt kolobokiem. Slaids (aplausi).

Tagad atgriezīsimies pie izmēģinājuma darbības.

Aizpildiet nepieciešamo uz tāfeles.

Vai jums izdevās pārvarēt grūtības? (Jā). Uzliksim + zīmi maršruta lapā.

Parastā tāfele zem soļa “Es pats atradīšu ceļu” pievienojiet jaunus standartus.

Ko jūs tagad varat darīt ar savu jauno zināšanu palīdzību? (Atrisiniet vienādojumus)

6. posms. Primārā konsolidācija

1) organizēt bērniem jaunas darbības metodes asimilāciju, risinot reizināšanas vienādojumus ar to izrunu ārējā runā.

Izglītības procesa organizēšana 6. posmā:

1) Frontālais darbs. Uz tāfeles kreisajā pusē ir algoritms, labajā pusē ir vienādojums + modelis.

2) 4 x=8; 3 x=9; x · 4=12.

3) Skolotājs uz tāfeles atver uzdevumu konsolidācijai. Skolēni pa vienam kāpj pie tāfeles un izpilda uzdevumu ar komentāriem. Komentāra iespēja:

- Vispirms es atzīmēšu taisnstūra laukumu ar kvadrātu un pasvītrošu malas. Šajā vienādojumā taisnstūra mala nav zināma. Tas nozīmē, ka taisnstūra laukums ir jāsadala ar zināmo malu. Astoņi dalīti ar 4 ir 2, x ir vienāds ar 2.

Tādā pašā veidā tiek komentēta arī turpmākā uzdevuma izpilde.

Fiziskie vingrinājumi acīm.

Mēs mazliet atpūtīsimies. un mēs atradīsim atbildi uz visu.
Nostāsimies uz pirkstiem un izstiepsim rokas uz augšu.
Rokas uz vidukļa, noliecies uz priekšu.
Tagad lēksim un apsēdīsimies!

Tagad visi ir atpūtušies, un ir jaunas bažas:

Jums ir jādara lielisks pāru darbs.

Skolotājs pāriem izdala kartītes ar uzdevumu, pie kā jāstrādā.

Skolēni uzdevumus veic pāros ar komentāriem. Pārbaude tiek organizēta pēc D-7 modeļa.

— Pārbaudiet rezultātus.

Izlabo kļūdas. Kurš šajā uzdevumā nav kļūdījies? Uzlieciet sev + zīmi maršruta lapā blakus 5. solim. Kurš pieļāva kļūdu? Kāpēc radās kļūda? Vai jūs saprotat iemeslu? Izlabojiet kļūdu. Ko tu sev noteiksi? (? un +)

— Kāds ir nākamais solis stundā? (Pārbaudiet paši, vai varam ar to tikt galā paši)

7. posms. Paškontrole ar pašpārbaudi atbilstoši standartam

1) trenēt spēju savaldīties un pašcieņu;

2) pārbaudi savas spējas atrisināt reizināšanas vienādojumus.

Izglītības procesa organizēšana 7. posmā:

- Pabeidziet šos vienādojumus pats. Studenti veic patstāvīgu darbu pie kartiņām

— Pārbaude tiek organizēta atbilstoši D-8 standartam.

- Izdariet secinājumu. (Nepieciešama vairāk prakses.)

- Izdariet secinājumu. (Mēs visu esam labi iemācījušies.)

- Kurš šajā uzdevumā nepieļāva kļūdas? Uzlieciet sev + zīmi maršruta lapā blakus 5. solim. Kurš pieļāva kļūdu? Kāpēc radās kļūda? Vai jūs saprotat iemeslu? Izlabojiet kļūdu. Ko tu sev noteiksi? (? un +).

8. posms. Iekļaušana zināšanu sistēmā un atkārtošana

1) iekļaut jaunas zināšanas zināšanu sistēmā;

2) trenēt spēju risināt problēmas.

Izglītības procesa organizēšana 8. posmā:

— Kas jāzina, lai pareizi atrisinātu reizināšanas vienādojumus? (Reizināšanas un dalīšanas tabulas, laukuma formula). Iesaku atrisināt uzdevumu Nr.4 p.2.

Studenti izpilda uzdevumu. Pārbaude tiek organizēta pēc D-9 modeļa.

- Kurš no jums kļūdījās?

- Kur ir kļūda? (Izvēloties noteikumu, aprēķinos, ...)

9. posms. Pārdomas par mācību aktivitātēm klasē

Mērķi:

1) ierakstīt stundā apgūto jauno saturu;

2) novērtēt savu un klases darbu stundā;

4) iezīmē turpmākās izglītības darbības virzienus;

3) pārrunāt mājasdarbus.

Izglītības procesa organizēšana 9. posmā:

— Kādu mērķi tu sev izvirzīji? (...)

– Vai esat sasniedzis savu mērķi? (Pierādi)

— Iesaku stundā novērtēt savu darbu. Vēlreiz apskatiet savus nodarbību plānus, uzziniet, cik daudz pozitīvu jums ir.

— Uz parastā dēļa ir koloboku bilde atsevišķi. Viens smaida. Tie no jums, kuri domā, ka saprotat un atceraties jauna tēma, paņemiet izsaukuma zīmes un piestipriniet tās blakus smaidošajam Kolobokam. Tie, kuri vēl nav par kaut ko pārliecināti, kuriem vēl ir jautājumi, kuri ir pieļāvuši kļūdas patstāvīgs darbs– pievienot jautājuma zīme blakus nopietnajam Kolobokam. Tu trenēsies un noteikti pārvarēsi savas grūtības.

- Tu šodien strādāji ļoti labi, bet vai tas nozīmē, ka tev vairs nav jātrenējas? (Man jāpilda mājasdarbs)

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Vienādojumu atrisināšana ar reizināšanu

Nezināmu lielumu ar zināmu lielumu var saistīt ne tikai ar + vai - zīmi, bet arī ar sadalīts par kādu summu, kā šajā vienādojumā: $\frac = b$.

Šeit risinājumu nevar atrast, tāpat kā iepriekšējos piemēros, pārnesot vārdu vienādojumā. Bet, ja abi vienādojuma noteikumi vairoties uz a, vienādojums iegūst formu
$x = ab.$

Tas ir, kreisās puses daļas saucējs atceļ. To var pierādīt ar frakciju īpašībām.

Kad nezināms daudzums sadalīts pēc zināmas vērtības vienādojums tiek atrisināts ar reizināšana katrai pusei par šo zināmo summu.

Šajā gadījumā ir jāveic tādi paši pārskaitījumi kā iepriekšējos piemēros. Tomēr mums jāatceras, ka ir nepieciešams reizināt katrs vienādojuma termiņš.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu $\frac + a = b + d$
Reiziniet abas puses ar $c$
Produkts būs $x + ac = bc + cd $
Un $x = bc + cd - ac$.

1. piemērs: atrisiniet vienādojumu $\frac + d = h$
Reiziniet ar $a + b$ $x + reklāma + bd = ah + bh$.
Un $x = ag + bh - reklāma - bd.$

Kad nezināma vērtība ir iekšā saucējs daļās, vienādojums tiek atrisināts līdzīgā veidā, tas ir, reizinot vienādojumu ar saucēju.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu $\frac + 7 = 8$
Reizinot ar 10 ASV dolāriem — x 6 ASV dolāri + 70–7 x = 80–8x $
Tad $x = 4$.

Lai gan tas ir nav nepieciešams, taču bieži vien ir ļoti ērti atbrīvoties no daļskaitļa saucēja, kas sastāv tikai no slavens daudzumus To var izdarīt līdzīgi, kad atbrīvojamies no saucēja, kas ietver nezināmo lielumu.

Ņemsim, piemēram, $\frac = \frac +\frac $
Reiziniet ar $x = \frac +\frac $
Reiziniet ar b $bx = reklāma + \frac $
Reiziniet ar c $bcx = acd + abh$.

Vai arī mēs varam reizināt ar visu saucēju reizinājumu uzreiz.

Tajā pašā vienādojumā $\frac = \frac +\frac $
Reiziniet terminus ar abc $\frac = \frac +\frac $

Pēc katras identiskas vērtības samazināšanas vienā daļā, mēs iegūstam $ bcx = acd + abh $, tāpat kā iepriekšējā versijā. No šejienes,

Vienādojumā mēs varam atbrīvoties frakcijas, reizinot katru vienādojuma pusi ar visu saucējus.

Atbrīvojoties no daļām vienādojumā, atverot iekavas, ir jānodrošina, lai katras daļdaļas zīmes un koeficienti būtu uzrakstīti pareizi.

Krāpņu kartīte “Vienādojumu risināšana. Kā atrast nezināmo", reizināšana un dalīšana, 11x20 cm

Raksturlielumi

Apraksts

Uzdod jautājumu

Atstāj atsauksmi

• Ir izplatītas
• Preču zīmju brīvdienu atmosfēra
• 1060173. pants
• Sertifikāts Nav nepieciešams sertifikācijai
• Valsts Krievija
• Iepakojums
• Kastītē ir 2000 gab
• Iepakojums: 20 gab.
• Atsevišķs iepakojums Nav iepakojuma
• Iepakojuma izmērs 0,1 cm × 6 cm × 13 cm
• Izmēri un svars
• Izmērs 0,1 cm × 7 cm × 13 cm
• Svars 3 g
• Īpatnības
• Blīvums, g/m² 190
• Apdare Bez apdares
• Kam ir Unisex
• Svētku tēma Bez iemesla
• Adresāts Nav adresāta
• Materiāls Kartons
• Skolas priekšmets Matemātika

Krievija ir viena no desmit lasītākajām valstīm pasaulē! Interese par lasīšanu mūsu tautiešu vidū pieaug gadu no gada, kas ir laba ziņa, jo tas ir brīnišķīgs un ļoti noderīgs ieradums.

Studējot dažādu literatūru, var iegūt daudz vērtīgas informācijas, paplašināt redzesloku, leksika un kļūt erudīts. Turklāt grāmata ir lielisks veids atpūsties un izklaidēties. Ļaujiet apkrāptu lapai “Vienādojumu risināšana. Kā atrast nezināmo", reizināšana un dalīšana, 11x20 cm būs vēl viena noderīga publikācija jūsu kolekcijā.

Sima-land ir tiesības patstāvīgi un bez brīdinājuma lietotājiem atlasīt jautājumus publicēšanai. Mēs nepublicējam jautājumus, kas:

• nav saistīti ar veikala darbības priekšmetu vai pirkumu veikšanu tajā;
• satur rupjības, aizskarošus izteikumus;

Mēs nepublicējam jautājumus, kas satur:

• saites uz citām mājaslapām, kā arī atsauces uz konkrētiem preču pārdevējiem un importētājiem;

Sima-land patur tiesības jebkurā laikā dzēst publicēto jautājumu, kā arī patstāvīgi noteikt periodu, kurā jautājumi tiek uzskatīti par būtiskiem un par kuru tie tiek publicēti Sima-land tīmekļa vietnē.

Mēs neuzņemamies nekādu pienākumu informēt lietotājus par jautājumu noraidīšanas vai iepriekš publicēto jautājumu dzēšanas iemesliem.

Ja lietotājs uzdod jautājumu, viņš piekrīt saņemt paziņojumus no Sima-land tīmekļa vietnes par jaunām atbildēm uz viņa jautājumiem.

Sima-land ir tiesības neatkarīgi un nebrīdinot lietotājus atlasīt publicēšanai atsauksmes. Mēs nepublicējam atsauksmes, kas:

• neattiecas uz faktisko šī produkta lietošanas pieredzi;
• nesatur noderīga informācija citiem lietotājiem;
• satur saites uz citām vietnēm.

Mēs nepublicējam produktu atlasi un pārskatus, kas satur:

• atlases un apskata tekstā saites uz citām mājaslapām, kā arī konkrētu preču pārdevēju un importētāju pieminēšana;
• paziņojumus, kas diskreditē trešo personu (t.sk. veikalu, preču ražotāju un importētāju) godu, cieņu un biznesa reputāciju;
• materiāli (tostarp teksta, video, grafisku attēlu, koda veidā), kas pārkāpj trešo personu tiesības, tai skaitā tiesības uz intelektuālās darbības rezultātiem un individualizācijas līdzekļiem.

Sima-land patur tiesības jebkurā laikā dzēst publicēto pārskatu, produktu atlasi un pārskatus, kā arī neatkarīgi noteikt periodu, kurā atsauksmes tiek uzskatītas par būtiskiem un par kurām tās tiek publicētas Sima-land tīmekļa vietnē.

Mēs neuzņemamies nekādu pienākumu informēt lietotājus par iemesliem, kādēļ noraidīja publicēšanu vai dzēš iepriekš publicētas atsauksmes, vērtējumus, atlases un produktu atsauksmes.

Ja lietotājs atbild uz atsauksmi vai jautājumu, viņš piekrīt saņemt paziņojumus no Sima-land tīmekļa vietnes par jaunām atbildēm uz viņa komentāriem.

www.sima-land.ru

• Vasaras veselības nometnes programma ar dienas uzturēšanos bērniem Sastādīja: Pilipei O.N. (1. kategorija) Melentjeva I.N. (1.ceturkšņa kategorija) Demidova O.B. (Q1 kategorija) Bērnu vecums: 5-15 gadi Termiņš […]
• Kā atspoguļot pamatlīdzekļu pārdošanu nodokļu grāmatvedībā Pārdodot pamatlīdzekļus, aizpildiet primāros grāmatvedības dokumentus, kas apstiprināti ar Krievijas Valsts statistikas komitejas 2003. gada 21. janvāra Rezolūciju Nr. 7 (2., 5., […].
• Nodoklis par noguldījumu procentiem: vai būs jāmaksā? Nodokļi par noguldījumu procentiem privātpersonām Tie joprojām ir spēkā Krievijā šodien. Kādos gadījumos klientam jāmaksā nodokļi no noguldījumu procentu ienākumiem? AR […]

Šajā video mēs analizēsim veselu lineāro vienādojumu kopu, kas tiek atrisinātas, izmantojot vienu un to pašu algoritmu - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.

Vispirms definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kuru sauc par vienkāršāko?

Lineārs vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai līdz pirmajai pakāpei.

Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:

Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek reducēti līdz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:

1. Izvērsiet iekavas, ja tādas ir;
2. Pārvietot terminus, kas satur mainīgo uz vienu vienādības zīmes pusi, un terminus bez mainīgā uz otru;
3. Dodiet līdzīgus terminus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
4. Sadaliet iegūto vienādojumu ar mainīgā $x$ koeficientu.

Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažkārt pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $x$ koeficients izrādās vienāds ar nulli. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:

1. Vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Piemēram, kad izrādās kaut kas līdzīgs $0\cdot x=8$, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir skaitlis, kas nav nulle. Tālāk esošajā videoklipā apskatīsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
2. Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, ir tad, kad vienādojums ir reducēts līdz konstrukcijai $0\cdot x=0$. Diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kādu $x$ mēs aizstātu, tomēr izrādīsies “nulle ir vienāda ar nulli”, t.i. pareiza skaitliskā vienādība.

Tagad redzēsim, kā tas viss darbojas, izmantojot reālas dzīves piemērus.

Vienādojumu risināšanas piemēri

Šodien mums ir darīšana ar lineāriem vienādojumiem un tikai visvienkāršākajiem. Kopumā lineārais vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tas attiecas tikai uz pirmo pakāpi.

Šādas konstrukcijas tiek atrisinātas aptuveni tādā pašā veidā:

1. Pirmkārt, jums ir jāpaplašina iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
2. Pēc tam apvienojiet līdzīgus
3. Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. pārvietot visu, kas saistīts ar mainīgo — terminus, kuros tas ir ietverts — uz vienu pusi, un visu, kas paliek bez tā, uz otru pusi.

Tad, kā likums, katrā iegūtās vienādības pusē ir jāiesniedz līdzīgi, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu “x”, un mēs saņemsim galīgo atbildi.

Teorētiski tas izskatās skaisti un vienkārši, bet praksē pat pieredzējuši vidusskolēni var pieļaut aizvainojošas kļūdas diezgan vienkāršās lineārie vienādojumi. Parasti kļūdas tiek pieļautas, atverot iekavas vai aprēķinot “plusi” un “mīnusus”.

Turklāt gadās, ka lineāram vienādojumam vispār nav atrisinājumu vai arī risinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šīs smalkumus aplūkosim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar pašu vienkāršus uzdevumus.

Vienkāršu lineāru vienādojumu risināšanas shēma

Pirmkārt, ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:

1. Paplašiniet iekavas, ja tādas ir.
2. Mēs izdalām mainīgos, t.i. Mēs pārvietojam visu, kas satur “X”, uz vienu pusi un visu bez “X” uz otru.
3. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
4. Mēs visu sadalām ar koeficientu “x”.

Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tajā ir daži smalkumi un triki, un tagad mēs tos iepazīsim.

Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana

Uzdevums Nr.1

Pirmajā solī mums ir jāatver iekavas. Bet tie nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo soli. Otrajā solī mums ir jāizolē mainīgie. Piezīme: mēs runājam par tikai par atsevišķiem noteikumiem. Pierakstīsim to:

Mēs piedāvājam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, taču tas jau ir izdarīts šeit. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dala ar koeficientu:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tātad mēs saņēmām atbildi.

Uzdevums Nr.2

Šajā uzdevumā mēs varam redzēt iekavas, tāpēc paplašināsim tās:

Gan pa kreisi, gan pa labi redzam aptuveni vienādu dizainu, bet rīkosimies pēc algoritma, t.i. atdalot mainīgos:

Šeit ir daži līdzīgi:

Pie kādām saknēm tas darbojas? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $x$ ir jebkurš skaitlis.

Uzdevums Nr.3

Trešais lineārais vienādojums ir interesantāks:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Ir vairākas iekavas, bet tās ne ar ko nereizina, vienkārši tiek liktas priekšā dažādas zīmes. Sadalīsim tos:

Mēs veicam otro mums jau zināmo soli:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Aprēķināsim:

Mēs veicam pēdējo soli - visu sadalām ar koeficientu “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus

Ja mēs ignorējam pārāk vienkāršus uzdevumus, es gribētu teikt sekojošo:

• Kā jau teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu;
• Pat ja ir saknes, starp tām var būt nulle - tur nav nekā slikta.

Nulle ir tāds pats skaitlis kā citi; jums nevajadzētu to nekādā veidā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jūs saņemat nulle, tad esat izdarījis kaut ko nepareizi.

Vēl viena iezīme ir saistīta ar kronšteinu atvēršanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir “mīnuss”, mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes uz pretī. Un tad mēs varam to atvērt, izmantojot standarta algoritmus: mēs iegūsim to, ko redzējām iepriekš minētajos aprēķinos.

Izprotot šo vienkāršs faktsļaus izvairīties no stulbām un aizskarošām kļūdām vidusskolā, kad šādas darbības tiek uzskatītas par pašsaprotamām.

Sarežģītu lineāro vienādojumu risināšana

Pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas un, veicot dažādas transformācijas, parādīsies kvadrātiskā funkcija. Tomēr mums no tā nav jābaidās, jo, ja saskaņā ar autora plānu mēs risinām lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā noteikti tiks atcelti visi monomi, kas satur kvadrātfunkciju.

Piemērs Nr.1

Acīmredzot pirmais solis ir kronšteinu atvēršana. Darīsim to ļoti uzmanīgi:

Tagad apskatīsim privātumu:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Šeit ir daži līdzīgi:

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, tāpēc mēs to rakstīsim atbildē:

\[\varnothing\]

vai arī nav sakņu.

Piemērs Nr.2

Mēs veicam tādas pašas darbības. Pirmais solis:

Pārvietosim visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā - pa labi:

Šeit ir daži līdzīgi:

Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to rakstīsim šādi:

\[\varnothing\],

vai arī nav sakņu.

Risinājuma nianses

Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Izmantojot šīs divas izteiksmes kā piemēru, mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viena, vai neviena, vai bezgalīgi daudz sakņu. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abiem vienkārši nav sakņu.

Bet es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vēl vienu faktu: kā strādāt ar iekavām un kā tās atvērt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteiksmi:

Pirms atvēršanas viss jāreizina ar “X”. Lūdzu, ņemiet vērā: reizina katru atsevišķu terminu. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un reizināts.

Un tikai pēc tam, kad ir pabeigtas šīs it kā elementārās, bet ļoti svarīgās un bīstamās pārvērtības, jūs varat atvērt kronšteinu no tā viedokļa, ka aiz tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad transformācijas ir pabeigtas, atceramies, ka iekavās priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss zemāk vienkārši maina zīmes. Tajā pašā laikā pazūd paši kronšteini un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnuss".

Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:

Ne jau nejauši es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Jo vienādojumu risināšana vienmēr ir elementāru pārveidojumu secība, kur nespēja skaidri un kompetenti veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka vidusskolēni nāk pie manis un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.

Protams, pienāks diena, kad šīs prasmes noslīpēsi līdz automātismam. Jums vairs nebūs katru reizi jāveic tik daudz pārveidojumu, jūs visu uzrakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.

Vēl sarežģītāku lineāro vienādojumu risināšana

To, ko mēs tagad risināsim, diez vai var saukt par vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.

Uzdevums Nr.1

\[\kreisais(7x+1\labais)\kreisais(3x-1\labais)-21((x)^(2))=3\]

Sareizināsim visus elementus pirmajā daļā:

Padarīsim dažus privātuma pasākumus:

Šeit ir daži līdzīgi:

Pabeigsim pēdējo darbību:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātfunkciju, tie viens otru atcēla, kas padara vienādojumu lineāru, nevis kvadrātisku.

Uzdevums Nr.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Uzmanīgi veiksim pirmo soli: reiziniet katru elementu no pirmās iekavas ar katru elementu no otrās. Pēc pārveidojumiem vajadzētu būt pavisam četriem jauniem terminiem:

Tagad rūpīgi veiksim reizināšanu katrā terminā:

Pārvietosim terminus ar “X” pa kreisi un tos, kuriem nav – pa labi:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Šeit ir līdzīgi termini:

Atkal esam saņēmuši galīgo atbildi.

Risinājuma nianses

Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kas satur vairāk nekā vienu terminu, tas tiek darīts saskaņā ar šādu noteikumu: mēs ņemam pirmo vārdu no pirmā un reizinām ar katru elementu no otrais; tad ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mums būs četri termiņi.

Par algebrisko summu

Ar šo pēdējo piemēru es vēlētos studentiem atgādināt, ko algebriskā summa. Klasiskajā matemātikā ar $1-7$ mēs domājam vienkāršu konstrukciju: no viena atņemiet septiņus. Algebrā ar to mēs saprotam sekojošo: skaitlim “viens” pievienojam citu skaitli, proti, “mīnus septiņi”. Tādējādi algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās summas.

Tiklīdz, veicot visas transformācijas, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.

Visbeidzot, apskatīsim vēl dažus piemērus, kas būs vēl sarežģītāki par tiem, kurus mēs tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.

Vienādojumu risināšana ar daļskaitļiem

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, mums mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms ļaujiet man jums atgādināt mūsu algoritmu:

1. Atveriet kronšteinus.
2. Atsevišķi mainīgie.
3. Ņemiet līdzi līdzīgus.
4. Sadaliet ar attiecību.

Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms, neskatoties uz visu tā efektivitāti, izrādās ne visai piemērots, ja mums priekšā ir daļskaitļi. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums abos vienādojumos ir daļa gan kreisajā, gan labajā pusē.

Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, tas ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms, gan pēc pirmās darbības, proti, atbrīvošanās no daļskaitļiem. Tātad algoritms būs šāds:

1. Atbrīvojieties no frakcijām.
2. Atveriet kronšteinus.
3. Atsevišķi mainīgie.
4. Ņemiet līdzi līdzīgus.
5. Sadaliet ar attiecību.

Ko nozīmē “atbrīvoties no frakcijām”? Un kāpēc to var izdarīt gan pēc, gan pirms pirmā standarta soļa? Faktiski mūsu gadījumā visas daļskaitļi savā saucējā ir skaitliski, t.i. Visur saucējs ir tikai skaitlis. Tāpēc, ja mēs reizinām abas vienādojuma puses ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no daļām.

Piemērs Nr.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atbrīvosimies no daļām šajā vienādojumā:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lūdzu, ņemiet vērā: viss tiek reizināts ar “četri”, t.i. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums katra no tām ir jāreizina ar "četri". Pierakstīsim:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Tagad paplašināsim:

Mēs izslēdzam mainīgo:

Mēs veicam līdzīgu terminu samazināšanu:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Mēs saņēmām gala lēmums, pāriesim pie otrā vienādojuma.

Piemērs Nr.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problēma ir atrisināta.

Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju jums pateikt.

Galvenie punkti

Galvenie atklājumi ir:

• Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
• Spēja atvērt iekavas.
• Neuztraucieties, ja redzat kvadrātiskās funkcijas, visticamāk, turpmāko pārvērtību procesā tie samazināsies.
• Lineārajos vienādojumos ir trīs veidu saknes, pat visvienkāršākajos: viena sakne, visa skaitļu līnija ir sakne, un sakņu nav vispār.

Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu visas matemātikas tālākai izpratnei. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni un atrisiniet tur sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi jaunumiem, jūs gaida vēl daudz interesantu lietu!