Atrodiet trapeces laukumu, ja ir zināmas visas malas. Kā atrast trapeces augstumu: formulas visiem gadījumiem

(S) trapece, augstuma (h) aprēķināšanu sāc, atrodot pusi no paralēlo malu garumu summas: (a+b)/2. Tad sadaliet laukumu ar iegūto vērtību - rezultāts būs vēlamā vērtība: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Zinot viduslīnijas (m) un laukuma (S) garumu, varat vienkāršot formulu no iepriekšējās darbības. Pēc definīcijas trapeces viduslīnija ir vienāda ar pusi no tās pamatu summas, tāpēc, lai aprēķinātu figūras augstumu (h), vienkārši sadaliet laukumu ar viduslīnijas garumu: h = S/m.

Šādas lietas augstumu (h) iespējams noteikt, ja ir dots tikai vienas malas garums (c) un tās veidotais leņķis (α) un garā pamatne. Šajā gadījumā jāņem vērā šīs malas veidotā forma, augstums un pamatnes īsais segments, ko nogriež uz tās nolaistā augstums. Šis trīsstūris būs taisnleņķa leņķis zināmā puse būs hipotenūza tajā, un augstums būs kāja. Garumu un hipotenūzas attiecība ir vienāda ar leņķi, kas atrodas pretī kājai, tāpēc, lai aprēķinātu trapeces augstumu, zināmo malas garumu reiziniet ar zināmā leņķa sinusu: h = с*sin(α).

Šo pašu trīsstūri ir vērts apsvērt, ja ir norādīts malas garums (c) un leņķa lielums (β) starp to un otru (īso) pamatni. Šajā gadījumā leņķis starp malu (hipotenūzu) un augstumu (kāja) būs par 90° mazāks nekā leņķis, kas zināms no nosacījumiem: β-90°. Tā kā kājas un hipotenūzas garumu attiecība ir vienāda ar leņķa kosinusu starp tām, aprēķiniet trapeces augstumu, reizinot leņķa kosinusu, kas samazināts par 90°, ar malas garumu: h = с* cos(β-90°).

Ja ir ierakstīts aplis ar zināmu rādiusu (r), augstuma (h) aprēķināšana būs ļoti vienkārša un neprasīs citus parametrus. Šādam aplim pēc definīcijas katrā tā pamatnē ir jābūt tikai vienam punktam, un šie punkti atrodas vienā taisnē ar centru. Tas nozīmē, ka attālums starp tiem būs vienāds ar diametru (divreiz lielāks par rādiusu), kas novilkts perpendikulāri pamatnēm, tas ir, sakrīt ar trapeces augstumu: h=2*r.

Trapecveida forma ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav. Trapeces augstums ir segments, kas novilkts perpendikulāri starp divām paralēlām taisnēm. Atkarībā no avota datiem to var aprēķināt dažādos veidos.

Jums būs nepieciešams

• Zināšanas par trapeces malām, pamatnēm, viduslīniju, kā arī, pēc izvēles, tās laukumu un/vai perimetru.

Norādījumi

Pieņemsim, ka ir trapece ar tādiem pašiem datiem kā 1. attēlā. Uzzīmēsim 2 augstumus, iegūstam , kurai ir 2 mazākas malas pie taisnleņķa trijstūriem. Apzīmēsim mazāko rullīti kā x. Viņš atrodas

Ģeometrija ir viena no zinātnēm, ar ko cilvēki praktiski saskaras gandrīz katru dienu. Starp daudzveidību ģeometriskās formas Trapecveida forma arī ir pelnījusi īpašu uzmanību. Tā ir izliekta figūra ar četrām malām, no kurām divas ir paralēlas viena otrai. Pēdējās sauc par bāzēm, bet atlikušās divas sauc par malām. Segments, kas ir perpendikulārs pamatnēm un nosaka atstarpes lielumu starp tām, būs trapeces augstums. Kā jūs varat aprēķināt tā garumu?

Atrodiet patvaļīgas trapeces augstumu

Pamatojoties uz sākotnējiem datiem, figūras augstuma noteikšana ir iespējama vairākos veidos.

Zināms apgabals

Ja ir zināms paralēlo malu garums un ir norādīts arī figūras laukums, tad, lai noteiktu vēlamo perpendikulu, varat izmantot šādas attiecības:

S=h*(a+b)/2,
h – vēlamā vērtība (augstums),
S – figūras laukums,
a un b ir viena otrai paralēlas malas.
No iepriekš minētās formulas izriet, ka h=2S/(a+b).

Viduslīnijas vērtība ir zināma

Ja starp sākotnējiem datiem papildus trapeces laukumam (S) ir zināms arī tās viduslīnijas garums (l), tad aprēķiniem noder cita formula. Pirmkārt, ir vērts noskaidrot, kāda ir viduslīnija šāda veida četrstūrim. Termins definē taisnes daļu, kas savieno figūras sānu malu viduspunktus.

Pamatojoties uz trapecveida īpašību l=(a+b)/2,
l – viduslīnija,
a, b – četrstūra pamatmalas.
Tāpēc h=2S/(a+b)=S/l.

Ir zināmas 4 figūras puses

Šajā gadījumā palīdzēs Pitagora teorēma. Nolaidot perpendikulu uz lielāko sānu pamatni, izmantojiet to diviem iegūtajiem taisnleņķa trijstūriem. Galīgā izteiksme izskatīsies šādi:

h=√c 2-(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c un d – 2 citas puses.

Leņķi pie pamatnes

Ja jums ir dati par bāzes leņķiem, izmantojiet trigonometriskās funkcijas.

h = c* sinα = d*sinβ,

α un β ir leņķi četrstūra pamatnē,
c un d ir tā malas.

Figūras diagonāles un leņķi, kas tās krustojas

Diagonāles garums ir segmenta garums, kas savieno figūras pretējās virsotnes. Apzīmēsim šos lielumus ar simboliem d1 un d2, bet leņķus starp tiem ar γ un φ. Pēc tam:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a un b ir figūras pamata malas,
d1 un d2 ir trapeces diagonāles,
γ un φ ir leņķi starp diagonālēm.

Figūras augstums un tajā ierakstītā apļa rādiuss

Kā izriet no šāda veida apļa definīcijas, tas skar katru pamatni 1 punktā, kas ir daļa no vienas taisnes. Tāpēc attālums starp tiem ir diametrs – vēlamais figūras augstums. Un tā kā diametrs ir divreiz lielāks par rādiusu, tad:

h = 2 * r,
r ir apļa rādiuss, kas ierakstīts šajā trapecveidā.

Atrodiet vienādsānu trapeces augstumu

• Kā izriet no formulējuma, vienādsānu trapeces raksturīga iezīme ir tās sānu malu vienādība. Tāpēc, lai atrastu figūras augstumu, izmantojiet formulu šīs vērtības noteikšanai gadījumā, ja ir zināmas trapeces malas.

Tātad, ja c = d, tad h = √c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2-(a-b) 2 /4,
a, b – četrstūra pamatnes malas,
c = d – tās malas.

• Ja ir leņķi, ko veido divas malas (pamatne un mala), trapeces augstumu nosaka pēc šādas attiecības:

h = c* sinα,
h = с * tgα * cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b–a)/2,

α – leņķis pie figūras pamatnes,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – tās malas.

• Ja ir dotas figūras diagonāļu vērtības, tad figūras augstuma atrašanas izteiksme mainīsies, jo d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

Pagājušā gada Vienotā valsts pārbaudījuma un valsts pārbaudījuma prakse liecina, ka ģeometrijas problēmas sagādā grūtības daudziem skolēniem. Jūs varat viegli tikt galā ar tiem, ja iegaumējat visas nepieciešamās formulas un praktizējat problēmu risināšanu.

Šajā rakstā jūs redzēsit formulas trapecveida laukuma atrašanai, kā arī problēmu piemērus ar risinājumiem. Jūs varat saskarties ar tiem pašiem KIM sertifikācijas eksāmenu vai olimpiāžu laikā. Tāpēc izturieties pret tiem uzmanīgi.

Kas jums jāzina par trapecveida formu?

Sākumā atcerēsimies to trapecveida sauc par četrstūri, kurā divas pretējās malas, ko sauc arī par pamatiem, ir paralēlas, bet pārējās divas nav.

Trapecveida formā augstumu (perpendikulāri pamatnei) var arī pazemināt. Tiek novilkta vidējā līnija - tā ir taisna līnija, kas ir paralēla pamatnēm un ir vienāda ar pusi no to summas. Kā arī diagonāles, kas var krustoties, veidojot asus un strupus leņķus. Vai arī dažos gadījumos taisnā leņķī. Turklāt, ja trapece ir vienādsānu, tajā var ierakstīt apli. Un aprakstiet apli ap to.

Trapecveida laukuma formulas

Vispirms apskatīsim standarta formulas trapeces laukuma atrašanai. Tālāk mēs apsvērsim veidus, kā aprēķināt vienādsānu un līknes trapeces laukumu.

Tātad, iedomājieties, ka jums ir trapece ar pamatiem a un b, kurā augstums h ir pazemināts uz lielāko pamatni. Figūras laukuma aprēķināšana šajā gadījumā ir tikpat vienkārša kā bumbieru lobīšana. Jums vienkārši jādala pamatņu garumu summa ar diviem un rezultāts jāreizina ar augstumu: S = 1/2(a + b)*h.

Paņemsim citu gadījumu: pieņemsim, ka trapecveida formā papildus augstumam ir viduslīnija m. Mēs zinām formulu viduslīnijas garuma noteikšanai: m = 1/2(a + b). Tāpēc mēs varam pamatoti vienkāršot trapeces laukuma formulu līdz šāda veida: S = m* h. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu trapeces laukumu, jums jāreizina centra līnija ar augstumu.

Apskatīsim citu variantu: trapecveida forma satur diagonāles d 1 un d 2, kas nekrustojas taisnā leņķī α. Lai aprēķinātu šādas trapeces laukumu, diagonāļu reizinājums ir jādala ar divi un rezultāts jāreizina ar leņķa grēku starp tām: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Tagad apsveriet formulu trapeces laukuma atrašanai, ja par to nekas nav zināms, izņemot visu tās malu garumus: a, b, c un d. Šī ir apgrūtinoša un sarežģīta formula, taču jums būs noderīgi to atcerēties katram gadījumam: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Starp citu, iepriekš minētie piemēri attiecas arī uz gadījumu, kad jums ir nepieciešama taisnstūra trapeces laukuma formula. Šī ir trapecveida forma, kuras mala taisnā leņķī piekļaujas pamatnēm.

Vienādsānu trapece

Trapecveida formu, kuras malas ir vienādas, sauc par vienādsānu. Mēs apsvērsim vairākas vienādsānu trapeces laukuma formulas iespējas.

Pirmais variants: gadījumam, kad vienādsānu trapeces iekšpusē ir ierakstīts aplis ar rādiusu r, un sānu un lielākā pamatne veido akūts leņķisα. Apli var ierakstīt trapecveidā, ja tā pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu.

Vienādsānu trapeces laukumu aprēķina šādi: ierakstītā apļa rādiusa kvadrātu reizini ar četriem un visu dala ar sinα: S = 4r 2 /sinα. Vēl viena laukuma formula ir īpašs gadījums opcijai, kad leņķis starp lielo pamatni un sānu malu ir 30 0: S = 8r2.

Otrais variants: šoreiz ņemam vienādsānu trapecveida formu, kurā papildus novilktas diagonāles d 1 un d 2, kā arī augstums h. Ja trapeces diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras, augstums ir puse no pamatu summas: h = 1/2(a + b). Zinot to, jums jau pazīstamo trapeces laukuma formulu ir viegli pārveidot šajā formā: S = h 2.

Formula izliektas trapeces laukumam

Sāksim, noskaidrojot, kas ir izliekta trapece. Iedomājieties koordinātu asi un nepārtrauktas un nenegatīvas funkcijas f grafiku, kas nemaina zīmi noteiktā segmentā uz x ass. Līklīniju trapecveida formu veido funkcijas y = f(x) grafiks - augšpusē x ass atrodas apakšā (segments), bet sānos - taisnas līnijas, kas novilktas starp punktiem a un b un grafiks funkcija.

Šādas nestandarta figūras laukumu nav iespējams aprēķināt, izmantojot iepriekš minētās metodes. Šeit jums jāpiesakās matemātiskā analīze un izmantojiet integrāli. Proti: Ņūtona-Leibnica formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šajā formulā F ir mūsu funkcijas antiatvasinājums atlasītajā segmentā. Un apgabals izliekta trapece atbilst antiatvasinājuma pieaugumam noteiktā segmentā.

Problēmu paraugi

Lai visas šīs formulas būtu vieglāk saprotamas jūsu galvā, šeit ir daži trapecveida laukuma atrašanas problēmu piemēri. Vislabāk būs, ja vispirms mēģināsi problēmas atrisināt pats, un tikai tad salīdzināsi saņemto atbildi ar gatavo risinājumu.

1. uzdevums: Dota trapece. Tā lielākā pamatne ir 11 cm, mazāka ir 4 cm. Trapecei ir diagonāles, viena 12 cm gara, otra 9 cm.

Risinājums: izveidojiet trapecveida AMRS. Caur virsotni P novelciet taisni РХ tā, lai tā būtu paralēla diagonālei MC un krustotos ar taisni AC punktā X. Iegūsiet trīsstūri APХ.

Apskatīsim divus šo manipulāciju rezultātā iegūtos skaitļus: trijstūri APX un paralelogramu CMRX.

Pateicoties paralelogramam, mēs uzzinām, ka PX = MC = 12 cm un CX = MR = 4 cm. No kurienes mēs varam aprēķināt trijstūra ARX malu AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Varam arī pierādīt, ka trijstūris APX ir taisnleņķa leņķis (lai to izdarītu, izmantojiet Pitagora teorēmu - AX 2 = AP 2 + PX 2). Un aprēķiniet tā laukumu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Tālāk jums būs jāpierāda, ka trijstūri AMP un PCX ir vienādi. Pamats būs pušu MR un CX vienlīdzība (jau pierādīts iepriekš). Un arī augstumi, kurus jūs nolaižat šajās pusēs - tie ir vienādi ar AMRS trapeces augstumu.

Tas viss ļaus jums teikt, ka S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2. uzdevums: Ir dota trapecveida KRMS. Tās sānu malās ir punkti O un E, savukārt OE un KS ir paralēli. Ir arī zināms, ka trapecveida ORME un OKSE laukumi ir attiecībā 1:5. RM = a un KS = b. Jums jāatrod OE.

Risinājums: Novelciet līniju, kas ir paralēla RK caur punktu M, un tās krustošanās punktu ar OE atzīmējiet kā T. A ir līnijas krustpunkts, kas novilkta caur punktu E paralēli RK ar pamatni KS.

Ieviesīsim vēl vienu apzīmējumu - OE = x. Un arī augstums h 1 trijstūrim TME un augstums h 2 trijstūrim AEC (jūs varat neatkarīgi pierādīt šo trīsstūru līdzību).

Pieņemsim, ka b > a. Trapecveida ORME un OKSE laukumi ir attiecībā 1:5, kas dod mums tiesības izveidot šādu vienādojumu: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Pārveidosim un iegūsim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Tā kā trijstūri TME un AEC ir līdzīgi, mums ir h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Apvienosim abus ierakstus un iegūsim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x) (b – x) ↔ 5 (x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Tādējādi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Secinājums

Ģeometrija nav no vieglākajām zinātnēm, taču jūs noteikti varat tikt galā ar eksāmena jautājumiem. Tas ir pietiekami, lai parādītu nelielu neatlaidību, gatavojoties. Un, protams, atcerieties visas nepieciešamās formulas.

Mēs centāmies vienuviet apkopot visas trapeces laukuma aprēķināšanas formulas, lai tās varētu izmantot, gatavojoties eksāmeniem un pārskatot materiālu.

Noteikti pastāstiet par šo rakstu saviem klasesbiedriem un draugiem. sociālajos tīklos. Lai būtu vairāk labu atzīmju vienotajam valsts pārbaudījumam un valsts pārbaudījumiem!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ir daudz veidu, kā atrast trapeces laukumu. Parasti matemātikas pasniedzējs zina vairākas tā aprēķināšanas metodes, apskatīsim tās sīkāk:
1) , kur AD un BC ir pamatnes, un BH ir trapeces augstums. Pierādījums: uzzīmējiet diagonāli BD un izsakiet trīsstūru ABD un CDB laukumus caur to pamatu un augstumu pusreizinājumu:

, kur DP ir ārējais augstums iekšā

Saskaitīsim šīs vienādības pēc kārtas un, ņemot vērā, ka augstumi BH un DP ir vienādi, iegūstam:

Izliksim to no iekavām

Q.E.D.

Secinājums no trapeces laukuma formulas:
Tā kā bāzu pussumma ir vienāda ar MN - trapeces viduslīniju, tad

2) Pieteikums vispārējā formulačetrstūra laukums.
Četrstūra laukums ir vienāds ar pusi no diagonāļu reizinājuma, kas reizināts ar leņķa sinusu starp tām
Lai to pierādītu, pietiek ar trapeces formas sadalīšanu 4 trīsstūros, katra laukumu izsaka ar “diagonāļu pusi reizinājuma un leņķa sinusa starp tām” (ņem par leņķi, pievieno iegūto izteiksmes, izņemiet tos no iekavas un faktorējiet šo iekavu, izmantojot grupēšanas metodi, lai iegūtu tās vienādību ar izteiksmi

3) Diagonālās nobīdes metode
Šis ir mans vārds. Matemātikas skolotājs šādu virsrakstu nesastaps skolas mācību grāmatās. Tehnikas aprakstu var atrast tikai papildu mācību grāmatas kā problēmas risināšanas piemēru. Atzīmēju, ka lielākā daļa interesantāko un noderīgi fakti matemātikas pasniedzēji atklāj skolēniem planimetriju izpildes procesā praktiskais darbs. Tas ir ārkārtīgi neoptimāli, jo skolēnam tās jāizolē atsevišķās teorēmās un jāizsauc “ lieli vārdi" Viens no tiem ir "diagonālā nobīde". Par ko mēs runājam par?Novelkam taisni paralēli AC caur virsotni B, līdz tā krustojas ar apakšējo bāzi punktā E. Šajā gadījumā četrstūris EBCA būs paralelograms (pēc definīcijas) un tāpēc BC=EA un EB=AC. Pirmā vienlīdzība mums tagad ir svarīga. Mums ir:

Ņemiet vērā, ka trīsstūrim BED, kura laukums ir vienāds ar trapeces laukumu, ir vēl vairākas ievērojamas īpašības:
1) Tās laukums ir vienāds ar trapeces laukumu
2) tā vienādsānu vienādsānu ir vienlaicīgi ar pašas trapeces vienādsānu.
3) Tā augšējais leņķis virsotnē B ir vienāds ar leņķi starp trapeces diagonālēm (ko ļoti bieži izmanto uzdevumos)
4) Tās mediāna BK ir vienāda ar attālumu QS starp trapeces pamatu viduspunktiem. Es nesen saskāros ar šī īpašuma izmantošanu, gatavojot studentu mehānikai un matemātikai Maskavas Valsts universitātē, izmantojot Tkačuka mācību grāmatas 1973. gada versiju (problēma ir norādīta lapas apakšā).

Īpašas metodes matemātikas pasniedzējam.

Dažreiz es ierosinu problēmas, izmantojot ļoti sarežģītu veidu, kā atrast trapecveida laukumu. Es to klasificēju kā īpašu tehniku, jo praksē pasniedzējs tos izmanto ārkārtīgi reti. Ja jums nepieciešama gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā tikai B daļā, jums par tiem nav jālasa. Citiem pastāstīšu tālāk. Izrādās, ka trapeces laukums ir dubultojies vairāk platības trijstūris ar virsotnēm vienas malas galos un otras vidū, tas ir, ABS trīsstūris attēlā:
Pierādījums: uzzīmējiet augstumus SM un SN trīsstūros BCS un ADS un izsakiet šo trīsstūru laukumu summu:

Tā kā punkts S ir CD viduspunkts, tad (pierādiet to pats) atrodiet trīsstūru laukumu summu:

Tā kā šī summa izrādījās vienāda ar pusi no trapeces laukuma, tad tās otrā puse. utt.

Skolotāja speciālo paņēmienu krājumā es iekļautu vienādsānu trapeces laukuma aprēķināšanas formu gar tās malām: kur p ir trapeces pusperimetrs. Es nesniegšu pierādījumus. Citādi tavs matemātikas pasniedzējs paliks bez darba :). Nāc uz klasi!

Problēmas trapeces laukumā:

Matemātikas skolotāja piezīme: Zemāk esošais saraksts nav tēmas metodisks papildinājums, tas ir tikai neliela interesantu uzdevumu izlase, kas balstīta uz iepriekš apspriestajiem paņēmieniem.

1) Vienādsānu trapeces apakšējā pamatne ir 13, bet augšējā ir 5. Atrodiet trapeces laukumu, ja tās diagonāle ir perpendikulāra malai.
2) Atrodiet trapeces laukumu, ja tās pamati ir 2 cm un 5 cm, bet malas ir 2 cm un 3 cm.
3) Vienādsānu trapecē lielākā bāze ir 11, mala ir 5, un diagonāle ir Atrast trapeces laukumu.
4) Vienādsānu trapeces diagonāle ir 5 un viduslīnija ir 4. Atrodiet laukumu.
5) Vienādsānu trapecē pamati ir 12 un 20, un diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras. Aprēķiniet trapeces laukumu
6) Vienādsānu trapeces diagonāle ar tās apakšējo pamatni veido leņķi. Atrodiet trapeces laukumu, ja tās augstums ir 6 cm.
7) Trapeces laukums ir 20, un viena no tās malām ir 4 cm. Atrodiet attālumu līdz tai no pretējās malas vidus.
8) Vienādsānu trapeces diagonāle sadala to trīsstūros ar laukumiem 6 un 14. Atrodi augstumu, ja sānu mala ir 4.
9) Trapecveida formā diagonāles ir vienādas ar 3 un 5, un segments, kas savieno pamatu viduspunktus, ir vienāds ar 2. Atrodiet trapeces laukumu (Mekhmat MSU, 1970).

Izvēlējos ne tās sarežģītākās problēmas (nebaidieties no mašīnbūves!) ar cerību, ka spēšu tās atrisināt patstāvīgi. Izlemiet par savu veselību! Ja jums ir nepieciešams sagatavoties vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, tad, nepiedaloties šajā procesā, var rasties trapeces laukuma formulas nopietnas problēmas pat ar problēmu B6 un vēl jo vairāk ar C4. Neuzsāciet tēmu un, ja rodas grūtības, lūdziet palīdzību. Matemātikas skolotājs vienmēr labprāt jums palīdzēs.

Kolpakovs A.N.
Matemātikas pasniedzējs Maskavā, gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam Strogino.

Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas (tās ir trapeces pamatnes, kas norādītas a un b attēlā), bet pārējās divas nav (attēlā AD un CB). Trapeces augstums ir segments h, kas novilkts perpendikulāri pamatiem.

Kā atrast trapeces augstumu, ņemot vērā zināmās trapeces laukuma vērtības un pamatu garumus?

Lai aprēķinātu trapeces ABCD laukumu S, mēs izmantojam formulu:

S = ((a+b) × h)/2.

Šeit segmenti a un b ir trapeces pamati, h ir trapeces augstums.

Pārveidojot šo formulu, mēs varam rakstīt:

Izmantojot šo formulu, iegūstam h vērtību, ja ir zināms laukums S un bāzu a un b garumi.

Piemērs

Ja ir zināms, ka trapeces S laukums ir 50 cm², pamatnes a garums ir 4 cm un pamatnes b garums ir 6 cm, tad, lai atrastu augstumu h, mēs izmantojam formulu:

Mēs formulā aizstājam zināmos daudzumus.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Atbilde: Trapeces augstums ir 10 cm.

Kā atrast trapeces augstumu, ja ir norādīts trapeces laukums un viduslīnijas garums?

Trapeces laukuma aprēķināšanai izmantosim formulu:

Šeit m ir vidējā līnija, h ir trapeces augstums.

Ja rodas jautājums, kā atrast trapeces augstumu, formula ir šāda:

h = S/m būs atbilde.

Tādējādi mēs varam atrast trapeces h augstumu, ņemot vērā zināmās apgabala S vērtības un viduslīnijas segmentu m.

Piemērs

Ir zināms trapeces viduslīnijas garums m, kas ir 20 cm, un laukums S, kas ir 200 cm². Atradīsim trapeces h augstuma vērtību.

Aizstājot S un m vērtības, mēs iegūstam:

h = 200/20 = 10 cm

Atbilde: trapeces augstums ir 10 cm

Kā atrast taisnstūra trapeces augstumu?

Ja trapece ir četrstūris, ar divām paralēlām trapeces malām (pamatēm). Tad diagonāle ir segments, kas savieno divas pretējas trapeces stūru virsotnes (attēlā segments AC). Ja trapece ir taisnstūrveida, izmantojot diagonāli, atrodam trapeces augstumu h.

Taisnstūra trapece ir trapece, kuras viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm. Šajā gadījumā tā garums (AD) sakrīt ar augstumu h.

Tātad, apsveriet taisnstūra trapecveida ABCD, kur AD ir augstums, DC ir bāze, AC ir diagonāle. Izmantosim Pitagora teorēmu. Hipotenūzas kvadrāts AC taisnleņķa trīsstūris ADC vienāds ar summu tā kāju kvadrāti AB un BC.

Tad mēs varam rakstīt:

AC² = AD² + DC².

AD ir trijstūra kāja, trapeces sānu mala un tajā pašā laikā tās augstums. Galu galā segments AD ir perpendikulārs bāzēm. Tās garums būs:

AD = √(AC² - DC²)

Tātad, mums ir formula trapeces augstuma h = AD aprēķināšanai

Piemērs

Ja taisnstūra trapeces (DC) pamatnes garums ir 14 cm, bet diagonāle (AC) ir 15 cm, augstuma (AD - sānu) vērtības iegūšanai izmantojam Pitagora teorēmu.

Tad lai x ir taisnleņķa trijstūra (AD) nezināmā kāja

Var uzrakstīt AC² = AD² + DC²

15² = 14² + x²,

x = √(15²–14²) = √ (225–196) = √29 cm

Atbilde: taisnstūra trapeces (AB) augstums būs √29 cm, kas ir aptuveni 5,385 cm

Kā atrast vienādsānu trapeces augstumu?

Vienādsānu trapece ir trapece, kuras malu garumi ir vienādi viens ar otru. Taisnā līnija, kas novilkta caur šādas trapeces pamatu viduspunktiem, būs simetrijas ass. Īpašs gadījums ir trapece, kuras diagonāles ir perpendikulāras viena otrai, tad augstums h būs vienāds ar pusi no pamatu summas.

Apskatīsim gadījumu, ja diagonāles nav viena otrai perpendikulāras. Vienādmalu (viensānu) trapecē leņķi pie pamatiem ir vienādi un diagonāļu garumi ir vienādi. Ir arī zināms, ka visas vienādsānu trapeces virsotnes pieskaras riņķa līnijai, kas novilkta ap šo trapeci.

Apskatīsim zīmējumu. ABCD ir vienādsānu trapece. Ir zināms, ka trapeces pamati ir paralēli, kas nozīmē, ka BC = b ir paralēla AD = a, mala AB = CD = c, kas nozīmē, ka leņķi pie pamatiem ir attiecīgi vienādi, varam uzrakstīt leņķi BAQ = CDS = α, un leņķis ABC = BCD = β. Tādējādi mēs secinām, ka trijstūris ABQ ir vienāds ar trīsstūri SCD, kas nozīmē segmentu

AQ = SD = (AD — BC)/2 = (a — b)/2.

Ņemot vērā problēmas nosacījumus pamatu a un b vērtības un sānu malas garumu c, mēs atrodam trapeces h augstumu, kas vienāds ar segmentu BQ.

Apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABQ. VO ir trapeces augstums, kas ir perpendikulārs pamatnei AD un līdz ar to arī segmentam AQ. Mēs atrodam trijstūra ABQ malu AQ, izmantojot iepriekš iegūto formulu:

Ņemot vērā taisnleņķa trīsstūra divu kāju vērtības, mēs atrodam hipotenūzu BQ = h. Mēs izmantojam Pitagora teorēmu.

AB² = AQ² + BQ²

Aizstāsim ar šiem uzdevumiem:

c² = AQ² + h².

Iegūstam formulu vienādsānu trapeces augstuma noteikšanai:

h = √(c²-AQ²).

Piemērs

Dota vienādsānu trapece ABCD, kur bāze AD = a = 10cm, bāze BC = b = 4cm un mala AB = c = 12cm. Šādos apstākļos aplūkosim piemēru, kā atrast trapeces augstumu, vienādsānu trapeces ABCD.

Atradīsim trijstūra ABQ malu AQ, aizstājot zināmos datus:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3 cm.

Tagad aizstāsim trijstūra malu vērtības Pitagora teorēmas formulā.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Atbilde. Vienādsānu trapeces ABCD augstums h ir 11,6 cm.