Kā atrast taisnstūra malas, ja laukums ir zināms. Taisnstūra perimetrs un laukums

Risinot, jāņem vērā, ka taisnstūra laukuma atrašanas problēmas risināšana tikai no tā malu garuma tas ir aizliegts.

To ir viegli pārbaudīt. Ļaujiet taisnstūra perimetram būt 20 cm, ja tā malas ir 1 un 9, 2 un 8, 3 un 7 cm. Visiem šiem trim taisnstūriem būs vienāds perimetrs. (1 + 9) * 2 = 20 ir tieši tāds pats kā (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Kā redzat, mēs varam izvēlēties bezgalīgs iespēju skaits taisnstūra malu izmēri, kuru perimetrs būs vienāds ar norādīto vērtību.

Taisnstūru laukums ar doto perimetru 20 cm, bet ar dažādām malām būs atšķirīgs. Dotajam piemēram - attiecīgi 9, 16 un 21 kvadrātcentimetri.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Kā redzat, figūras laukumam konkrētam perimetram ir bezgalīgi daudz iespēju.

Piezīme ziņkārīgajiem. Taisnstūra gadījumā ar noteiktu perimetru maksimālā platība būs kvadrāts.

Tādējādi, lai aprēķinātu taisnstūra laukumu no tā perimetra, jums jāzina vai nu tā malu attiecība, vai vienas no tām garums. Vienīgā figūra, kurai ir nepārprotama laukuma atkarība no tā perimetra, ir aplis. Tikai lokam un iespējamais risinājums.

Šajā nodarbībā:

4. uzdevums. Sānu garuma maiņa, saglabājot taisnstūra laukumu

1. uzdevums. Atrodiet no laukuma taisnstūra malas

Taisnstūra perimetrs ir 32 centimetri, un katrā no tā malām izbūvēto kvadrātu laukumu summa ir 260 kvadrātcentimetri. Atrodiet taisnstūra malas.
Risinājums.

2(x+y)=32
Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem katrā no tā malām konstruēto kvadrātu laukumu summa (attiecīgi četri kvadrāti) būs vienāda ar
2x2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16 g
2 (16 g.) 2 +2 g. 2 =260
2(256-32g+y 2)+2y 2 =260
512-64g+4y 2 -260=0
4 g 2 -64 g+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Tagad ņemsim vērā, ka, pamatojoties uz to, ka x+y=16 (skat. iepriekš) pie x=9, tad y=7 un otrādi, ja x=7, tad y=9
Atbilde: Taisnstūra malas ir 7 un 9 centimetri

2. uzdevums. Atrodiet taisnstūra malas no perimetra

Taisnstūra perimetrs ir 26 cm, un tā abās blakus esošajās malās izbūvēto kvadrātu laukumu summa ir 89 kvadrātmetri. cm Atrodiet taisnstūra malas.
Risinājums.
Apzīmēsim taisnstūra malas kā x un y.
Tad taisnstūra perimetrs ir:
2(x+y)=26
Katrā no tā malām uzbūvēto kvadrātu laukumu summa (attiecīgi ir divi kvadrāti, un tie ir platuma un augstuma kvadrāti, jo malas atrodas blakus) būs vienāda ar
x 2 + y 2 =89
Mēs atrisinām iegūto vienādojumu sistēmu. No pirmā vienādojuma mēs to secinām
x+y=13
y=13-g
Tagad mēs veicam aizstāšanu otrajā vienādojumā, aizstājot x ar tā ekvivalentu.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26g+y 2 +y 2 -89=0
2 g 2 -26 g+80=0
Mēs atrisinām iegūto kvadrātvienādojumu.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Tagad ņemsim vērā, ka, pamatojoties uz to, ka x+y=13 (skat. iepriekš) pie x=5, tad y=8 un otrādi, ja x=8, tad y=5
Atbilde: 5 un 8 cm

3. uzdevums. Atrodiet taisnstūra laukumu no tā malu proporcijas

Atrodiet taisnstūra laukumu, ja tā perimetrs ir 26 cm un malas ir proporcionālas 2 pret 3.

Risinājums.
Taisnstūra malas apzīmēsim ar proporcionalitātes koeficientu x.
Tādējādi vienas malas garums būs 2x, otras - 3x.

Pēc tam:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Tagad, pamatojoties uz iegūtajiem datiem, mēs nosakām taisnstūra laukumu:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2

4. problēma. Sānu garuma maiņa, saglabājot taisnstūra laukumu

Taisnstūra garums tiek palielināts par 25%. Par cik procentiem platums jāsamazina, lai tā laukums nemainītos?

Risinājums.
Taisnstūra laukums ir
S = ab

Mūsu gadījumā viens no faktoriem palielinājās par 25%, kas nozīmē a 2 = 1,25a. Tātad jaunajam taisnstūra laukumam jābūt vienādam ar
S2 = 1,25ab

Tādējādi, lai atgrieztu taisnstūra laukumu sākotnējā vērtībā, tad
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Tā kā jauno izmēru a nevar mainīt, tad
S 2 = (1,25a) b / 1,25

1 / 1,25 = 0,8
Tādējādi otrās puses vērtība jāsamazina par (1 - 0,8) * 100% = 20%

Atbilde: platums jāsamazina par 20%.

4a, kur a ir kvadrāta vai romba mala. Tad garums puses vienāds ar vienu ceturtdaļu no perimetra: a = p/4.

Šo problēmu var viegli atrisināt arī trīsstūrim. Viņam ir trīs vienāda garuma puses, tātad vienādmalu trijstūra perimetrs p ir 3a. Tad vienādmalu trijstūra mala ir a = p/3.

Pārējiem skaitļiem jums būs nepieciešami papildu dati. Piemēram, jūs varat atrast puses, zinot tā perimetru un laukumu. Pieņemsim, ka taisnstūra divu pretējo malu garums ir a, bet pārējo divu malu garums ir b. Tad taisnstūra perimetrs p ir vienāds ar 2(a+b), un laukums s ir vienāds ar ab. Mēs iegūstam sistēmu ar diviem nezināmajiem:
p = 2(a+b)
s = ab Izteikt no pirmā vienādojuma a: a = p/2 - b. Aizvietojiet to ar otro un atrodiet b: s = pb/2 - b². Šī vienādojuma diskriminants ir D = p²/4 - 4s. Tad b = (p/2±D^1/2)/2. Izmetiet sakni, kas ir mazāka par nulli, un aizstājiet to ar puses a.

Avoti:

Atrodiet taisnstūra malas

Ja jūs zināt a vērtību, tad varat teikt, ka esat atrisinājis kvadrātvienādojumu, jo tā saknes būs atrodamas ļoti viegli.

Jums būs nepieciešams

-kvadrātvienādojuma diskriminējošā formula;
-zināšanas par reizināšanas tabulām

Norādījumi

Video par tēmu

Noderīgs padoms

Kvadrātvienādojuma diskriminants var būt pozitīvs, negatīvs vai vienāds ar 0.

Avoti:

Risinājums kvadrātvienādojumi
pat diskriminējoši

Īpašs paralelograma gadījums - taisnstūris - ir zināms tikai Eiklīda ģeometrijā. U taisnstūris Visi leņķi ir vienādi, un katrs no tiem atsevišķi veido 90 grādus. Pamatojoties uz privātīpašumiem taisnstūris, un arī no paralelograma īpašībām var atrast pretējo malu paralēlismu puses figūras pa dotajām diagonālēm un leņķi no to krustpunkta. Sānu aprēķins taisnstūris ir balstīta uz papildu konstrukcijām un iegūto figūru īpašību pielietojumu.

Norādījumi

Izmantojiet burtu A, lai atzīmētu diagonāļu krustošanās punktu. Apsveriet EFA, ko veido konstrukcijas. Saskaņā ar īpašumu taisnstūris tā diagonāles ir vienādas un dalītas ar krustpunktu A. Aprēķiniet FA un EA vērtības. Tā kā trīsstūris EFA ir vienādsānu un tā puses EA un FA ir vienādi viens ar otru un attiecīgi vienādi ar pusi no diagonāles EG.

Pēc tam aprēķiniet pirmo EF taisnstūris. Šī puse ir apskatāmā trīsstūra EFA trešā nezināmā mala. Saskaņā ar kosinusa teorēmu izmantojiet atbilstošo formulu, lai atrastu malu EF. Lai to izdarītu, aizstājiet iepriekš iegūtās malu vērtības FA EA un zināmā leņķa kosinusu starp tām α kosinusa formulā. Aprēķiniet un pierakstiet iegūto EF vērtību.

Atrodi otru pusi taisnstūris F.G. Lai to izdarītu, apsveriet citu trīsstūri EFG. Tas ir taisnstūrveida, kur ir zināma hipotenūza EG un kājas EF. Saskaņā ar Pitagora teorēmu atrodiet FG otro posmu, izmantojot atbilstošo formulu.

4. padoms: kā atrast vienādmalu trīsstūra perimetru

Vienādmalu trīsstūris kopā ar kvadrātu, iespējams, ir visvienkāršākā un simetriskākā planimetrijas figūra. Protams, visas attiecības, kas ir spēkā parastajam trīsstūrim, ir patiesas arī vienādmalu trijstūrim. Tomēr parastajam trīsstūrim visas formulas kļūst daudz vienkāršākas.

Jums būs nepieciešams

kalkulators, lineāls

Norādījumi

Lai izmērītu vienas tās malas garumu un reizinātu mērījumu ar trīs. To var uzrakstīt šādi:

Prt = Ds * 3,

Prt – trijstūra perimetrs,
Ds ir jebkuras tā malas garums.

Trijstūra perimetrs būs tādos pašos izmēros kā tā malas garums.

Tā kā vienādmalu trīsstūrim ir augsta simetrijas pakāpe, tā perimetra aprēķināšanai pietiek ar vienu no parametriem. Piemēram, laukums, augstums, ierakstīts vai ierobežots aplis.

Ja zināt vienādmalu trīsstūra apļa rādiusu, izmantojiet šādu formulu, lai aprēķinātu tā perimetru:

Prt = 6 * √3 * r,

kur: r ir ierakstītā apļa rādiuss.
Šis noteikums izriet no tā, ka vienādmalu trijstūra apļa rādiusu izsaka tā malas garumā ar šādu sakarību:
r = √3/6 * Ds.

Lai aprēķinātu perimetru apļa rādiusa izteiksmē, izmantojiet formulu:

Prt = 3 * √3 * R,

kur: R ir ierobežotā apļa rādiuss.
Tas ir viegli izsecināms no fakta, ka regulāra trīsstūra apkārtmēra rādiuss tiek izteikts visā tā malas garumā ar šādu sakarību: R = √3/3 * Ds.

Lai aprēķinātu vienādmalu trijstūra perimetru, izmantojot zināms apgabals izmantojiet šādu attiecību:
Srt = Dst² * √3/4,
kur: Sрт – vienādmalu trijstūra laukums.
No šejienes mēs varam secināt: Dst² = 4 * Sрт / √3, tātad: Dst = 2 * √(Sрт / √3).
Aizvietojot šo attiecību perimetra formulā caur vienādmalu trijstūra malas garumu, mēs iegūstam:

Prt = 3 * Dst = 3 * 2 * √(Srt / √3) = 6 * √Sst / √(√3) = 6√Sst / 3^¼.

Video par tēmu

Kvadrāts ir ģeometriska figūra, kas sastāv no četrām vienāda garuma malām un četriem taisniem leņķiem, no kuriem katrs ir 90°. Platības noteikšana vai perimetrs četrstūris un jebkurš cits ir nepieciešams ne tikai ģeometrijas uzdevumu risināšanā, bet arī ikdienas dzīve. Šīs prasmes var noderēt, piemēram, remontdarbu laikā, aprēķinot nepieciešamo materiālu daudzumu - segumus grīdām, sienām vai griestiem, kā arī zālāju un dobju ieklāšanai u.c.

Taisnstūra laukums var neizklausīties augstprātīgs, taču tas ir svarīgs jēdziens. Ikdienā mēs ar to pastāvīgi sastopamies. Uzziniet lauku, sakņu dārzu izmērus, aprēķiniet griestu balināšanai nepieciešamo krāsas daudzumu, cik daudz tapešu būs nepieciešams līmēšanai

nauda un vairāk.

Ģeometriskā figūra

Pirmkārt, parunāsim par taisnstūri. Šī ir figūra plaknē, kurai ir četri taisnie leņķi un kuras pretējās malas ir vienādas. Tās malas parasti sauc par garumu un platumu. Tos mēra milimetros, centimetros, decimetros, metros utt. Tagad mēs atbildēsim uz jautājumu: "Kā atrast taisnstūra laukumu?" Lai to izdarītu, garums jāreizina ar platumu.

Laukums=garums*platums

Bet vēl viens brīdinājums: garums un platums ir jāizsaka vienādās mērvienībās, tas ir, metrs un metrs, nevis metrs un centimetrs. Platība tiek reģistrēta Latīņu burts S. Ērtības labad apzīmēsim garumu ar latīņu burtu b un platumu ar latīņu burtu a, kā parādīts attēlā. No tā mēs secinām, ka laukuma mērvienība ir mm 2, cm 2, m 2 utt.

Apskatīsim konkrētu piemēru, kā atrast taisnstūra laukumu. Garums b=10 vienības. Platums a=6 vienības. Risinājums: S=a*b, S=10 vienības*6 vienības, S=60 vienības 2. Uzdevums. Kā uzzināt taisnstūra laukumu, ja garums ir 2 reizes lielāks par platumu un ir 18 m? Risinājums: ja b=18 m, tad a=b/2, a=9 m Kā atrast taisnstūra laukumu, ja ir zināmas abas malas? Tieši tā, aizstājiet to formulā. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Atbilde: 162 m2. Uzdevums. Cik tapešu ruļļus jāiegādājas telpai, ja tās izmēri ir: garums 5,5 m, platums 3,5 un augstums 3 m? Tapešu ruļļa izmēri: garums 10 m, platums 50 cm Risinājums: izveidojiet telpas zīmējumu.

Pretējo malu laukumi ir vienādi. Aprēķināsim sienas laukumu ar izmēriem 5,5 m un 3 m S sienas 1 = 5,5 * 3,

S siena 1 = 16,5 m 2. Tāpēc pretējās sienas platība ir 16,5 m2. Atradīsim nākamo divu sienu laukumu. To malas ir attiecīgi 3,5 m un 3 m S siena 2 = 3,5 * 3, S siena 2 = 10,5 m 2. Tas nozīmē, ka arī pretējā puse ir vienāda ar 10,5 m2. Saskaitīsim visus rezultātus. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kā aprēķināt taisnstūra laukumu, ja malas ir izteiktas dažādās mērvienībās. Iepriekš mēs aprēķinājām platības m2, un šajā gadījumā mēs izmantosim skaitītājus. Tad tapetes ruļļa platums būs vienāds ar 0,5 m S roll = 10 * 0,5, S roll = 5 m 2. Tagad mēs uzzināsim, cik ruļļu nepieciešams, lai nosegtu istabu. 54:5=10,8 (rullīši). Tā kā tos mēra veselos skaitļos, jāiegādājas 11 tapešu ruļļi. Atbilde: 11 tapešu ruļļi. Uzdevums. Kā aprēķināt taisnstūra laukumu, ja ir zināms, ka platums ir par 3 cm īsāks par garumu un taisnstūra malu summa ir 14 cm? Risinājums: lai garums ir x cm, tad platums ir (x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - taisnstūra garums, 5-3=2 cm - taisnstūra platums, S=5*2, S=10 cm 2 Atbilde: 10 cm 2.

Atsākt

Apskatot piemērus, es ceru, ka ir kļuvis skaidrs, kā atrast taisnstūra laukumu. Atgādināšu, ka garuma un platuma mērvienībām ir jāsakrīt, pretējā gadījumā jūs saņemsiet nepareizu rezultātu Lai izvairītos no kļūdām, rūpīgi izlasiet uzdevumu. Dažkārt kāda puse var izpausties caur otru pusi, nebaidieties. Lūdzu, skatiet mūsu atrisinātās problēmas, iespējams, viņi var palīdzēt. Bet vismaz vienu reizi savā dzīvē mēs saskaramies ar taisnstūra laukuma atrašanu.

Norādījumi

Piemēram, jūs zināt, ka vienas malas garums (a) ir 7 cm, un perimetrs taisnstūris(P) ir vienāds ar 20 cm perimetrs jebkura figūra vienāds ar summu tā sānu garumus un taisnstūris pretējās puses ir vienādas, tad tās perimetrs a izskatīsies šādi: P = 2 x (a + b) vai P = 2a + 2b. No šīs formulas izriet, ka var atrast otrās malas garumu (b), izmantojot vienkāršu darbību: b = (P – 2a) : 2. Tātad mūsu gadījumā mala b būs vienāda ar (20 – 2 x 7) : 2 = 3 cm .

Tagad, zinot abu blakus esošo malu garumus (a un b), varat tos aizstāt ar laukuma formulu S = ab. Šajā gadījumā taisnstūris būs vienāds ar 7x3 = 21. Lūdzu, ņemiet vērā, ka mērvienības vairs nebūs , bet kvadrātcentimetri, jo jūs arī reizināt to mērvienību (centimetru) abu malu garumus savā starpā.

Avoti:

Kāds ir taisnstūra perimetrs?

Plakana figūra, kas sastāv no četrām malām un četriem taisniem leņķiem. No visām figūrām kvadrāts taisnstūris ir jāaprēķina biežāk nekā citi. Šis un kvadrāts dzīvokļi un kvadrāts dārza gabals, Un kvadrāts galda vai plauktu virsmas. Piemēram, lai vienkārši tapetētu istabu, viņi aprēķina kvadrāts tās taisnstūrveida sienas.

Norādījumi

Starp citu, no taisnstūris var viegli aprēķināt kvadrāts. Tas ir pietiekami, lai pabeigtu taisnstūrveida vienu taisnstūris lai hipotenūza kļūtu par diagonāli taisnstūris. Tad tas būs skaidrs kvadrāts tādi taisnstūris ir vienāds ar trijstūra kāju reizinājumu, un kvadrāts paša trīsstūra, attiecīgi, ir vienāds ar pusi no kāju reizinājuma.

Video par tēmu

Norādījumi

Attiecas uz vienkāršākajām plakanām ģeometriskām figūrām un ir viens no īpašajiem paralelograma gadījumiem. Atšķirīga iezīmešāda paralelograma - taisni leņķi visās četrās virsotnēs. Ierobežots ar partijām taisnstūris kvadrāts var aprēķināt vairākos veidos, izmantojot tā malu izmērus, diagonāles un leņķus starp tām, ierakstītā apļa rādiusu utt.

Norādījumi

Ja ir zināms leņķa (α) lielums, kas veido diagonāli taisnstūris vienā no tā malām, kā arī šīs diagonāles garumu (C), tad, lai aprēķinātu laukumu, varat izmantot trigonometriskās definīcijas taisnstūrī. Taisnstūra trīsstūri šeit veido divas četrstūra malas un tā diagonāle. No kosinusa definīcijas izriet, ka vienas malas garums būs vienāds ar diagonāles garuma un leņķa reizinājumu, vērtība ir zināma. No sinusa definīcijas mēs varam iegūt formulu otras malas garumam - tā ir vienāda ar diagonāles un tā paša leņķa sinusa garuma reizinājumu. Aizstājiet šīs identitātes formulā no iepriekšējā soļa, un izrādās, ka, lai atrastu laukumu, jums jāreizina zināmā leņķa sinuss un kosinuss, kā arī diagonāles garums. taisnstūris: S=sin(α)*cos(α)*С².

Ja papildus diagonāles garumam (C) taisnstūris Ja ir zināms leņķa lielums (β), ko veido diagonāles, tad, lai aprēķinātu figūras laukumu, varat izmantot arī vienu no trigonometriskās funkcijas- sinusa. Diagonāles garumu kvadrātā un rezultātu reiziniet ar pusi zināmā leņķa sinusa: S=С²*sin(β)/2.

Ja ir zināms taisnstūrī ierakstītā apļa (r), tad, lai aprēķinātu laukumu, paaugstiniet šo vērtību līdz otrajai pakāpei un četrkāršojiet rezultātu: S=4*r². Četrstūris, kurā tas ir iespējams, būs kvadrāts, un tā malas garums ir vienāds ar ierakstītā apļa diametru, tas ir, divreiz lielāks par rādiusu. Formulu iegūst, aizvietojot malu garumus, kas izteikti rādiusā, identitātē no pirmā soļa.

Ja ir zināmi garumi (P) un viena no malām (A). taisnstūris, tad, lai atrastu laukumu šī perimetra iekšpusē, aprēķiniet pusi no malas garuma reizinājuma un starpības starp perimetra garumu un diviem šīs malas garumiem: S=A*(P-2*A)/2.

Video par tēmu

Ne tikai skolēni ģeometrijas stundās saskaras ar uzdevumu atrast daudzstūra perimetru vai laukumu. Reizēm gadās, ka to atrisina pieaugušais. Vai kādreiz ir nācies aprēķināt telpai nepieciešamo tapešu daudzumu? Vai varbūt jūs izmērījāt apjomu vasarnīca to norobežot? Tādējādi ģeometrijas pamatu zināšanas dažkārt ir neaizstājamas svarīgu projektu īstenošanai.

Taisnstūris ir īpašs gadījumsčetrstūris. Tas nozīmē, ka taisnstūrim ir četras malas. Tā pretējās malas ir vienādas: piemēram, ja viena no malām ir 10 cm, tad arī pretējā mala būs vienāda ar 10 cm. Īpašs taisnstūra gadījums ir kvadrāts. Kvadrāts ir taisnstūris ar vienādām malām. Lai aprēķinātu kvadrāta laukumu, varat izmantot to pašu algoritmu, kā aprēķināt taisnstūra laukumu.

Kā uzzināt taisnstūra laukumu, pamatojoties uz divām pusēm

Lai atrastu taisnstūra laukumu, tā garums jāreizina ar platumu: laukums = garums × platums. Tālāk norādītajā gadījumā: laukums = AB × BC.

Kā uzzināt taisnstūra laukumu pēc sānu un diagonāles garuma

Dažām problēmām ir jāatrod taisnstūra laukums, izmantojot diagonāles garumu un vienu no malām. Taisnstūra diagonāle sadala to divās vienādās daļās taisnleņķa trīsstūris. Tāpēc mēs varam noteikt taisnstūra otro malu, izmantojot Pitagora teorēmu. Pēc tam uzdevums tiek samazināts līdz iepriekšējam punktam.

Kā uzzināt taisnstūra laukumu pēc tā perimetra un malas

Taisnstūra perimetrs ir visu tā malu summa. Ja zināt taisnstūra un vienas malas perimetru (piemēram, platumu), varat aprēķināt taisnstūra laukumu, izmantojot šādu formulu:
Platība = (Perimetrs × platums – platums^2)/2.

Taisnstūra laukums caur asā leņķa sinusu starp diagonālēm un diagonāles garumu

Taisnstūra diagonāles ir vienādas, lai aprēķinātu laukumu, pamatojoties uz diagonāles un sinusa garumu akūts leņķis starp tām jāizmanto šāda formula: Laukums = Diagonāle^2 × sin(akūts leņķis starp diagonālēm)/2.