Kas ir kosinuss alfa. Akūta leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmie trigonometriskie koeficienti tika iegūti astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientāciju pēc zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, savukārt in skolas kurss izpētīt plaknes trīsstūra malu un leņķu attiecības.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un attiecībām starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes ziedu laikos mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas izplatījās no Senie Austrumi uz Grieķiju. Bet galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīriešu nopelni. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, kā arī sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienus ieviesa Indijas zinātnieki. Trigonometrijai tika pievērsta liela uzmanība tādu senatnes izcilu figūru kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos”, jo pierādījums tiek sniegts, izmantojot vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemēru.

Sinuss, kosinuss un citas attiecības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Iesniegsim formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekosim sakarības starp trigonometriskajām funkcijām:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja iedomājamies kāju a kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu un kāju b kā cos A * c, iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

Trigonometriskais aplis

Grafiski sakarību starp minētajiem daudzumiem var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā attēlo visu iespējamās vērtības leņķis α - no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai ir negatīvs vai pozitīva vērtība atkarībā no leņķa lieluma. Piemēram, grēkam α būs “+” zīme, ja α pieder apļa 1. un 2. ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0° līdz 180°. Attiecībā uz α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa) sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

Vērtības α, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļa loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai noteiktu universālu atkarību, aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Leņķi trigonometrisko funkciju tabulās atbilst radiāna vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis vai 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, ir nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet sinusa un kosinusa īpašību salīdzinošo tabulu:

Sinusa vilnis	Kosinuss
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, ja x = πk, kur k ϵ Z	cos x = 0, ja x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, ja x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = 1, pie x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, pie x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = - 1, ja x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, t.i., funkcija ir nepāra	cos (-x) = cos x, t.i., funkcija ir pāra
	funkcija ir periodiska, mazākais periods ir 2π
sin x › 0, ar x pieder I un II ceturtdaļai vai no 0° līdz 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ar x pieder I un IV ceturtdaļai vai no 270° līdz 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, kur x pieder trešajai un ceturtajai ceturtdaļai vai no 180° līdz 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ar x pieder 2. un 3. ceturtdaļai vai no 90° līdz 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
palielinās intervālā [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	palielinās intervālā [-π + 2πk, 2πk]
samazinās ar intervāliem [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ar intervāliem samazinās
atvasinājums (sin x)’ = cos x	atvasinājums (cos x)’ = - sin x

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiekami, lai iedomāties trigonometriskais aplis ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “pievienojiet” grafiku attiecībā pret VĒRŠA asi. Ja zīmes sakrīt, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusa un kosinusa viļņu pamatīpašību uzskaitījums ļauj mums parādīt šādu modeli:

Ir ļoti viegli pārbaudīt, vai formula ir pareiza. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir 1, tāpat kā kosinuss x = 0. Pārbaudi var veikt, apskatot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangensoīdu un kotangentoīdu īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusa un kosinusa funkcijām. Vērtības tg un ctg ir viena otras apgrieztas vērtības.

1. Y = dzeltenbrūns x.
2. Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
4. Tg (- x) = - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
5. Tg x = 0, ja x = πk.
6. Funkcija palielinās.
7. Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Atvasinājums (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlojumu.

Kotangentoīdu galvenās īpašības:

1. Y = bērnu gultiņa x.
2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
3. Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
4. Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
6. Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
7. Funkcija samazinās.
8. Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Atvasinājums (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Pareizi

Ja tika izskatītas taisnleņķa trijstūra risināšanas problēmas, es apsolīju iepazīstināt ar paņēmienu, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura puse pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Es nolēmu to pārāk ilgi neatlikt, nepieciešamais materiāls zemāk, lūdzu, izlasiet 😉

Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- viņi aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts punkts.

Informācijai, ko es sniegšu tieši, nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir saistīts ar iztēles domāšanu un verbāli loģiskās komunikācijas metodēm. Tieši tā es to atceros, reizi par visām reizēmdefinīcijas dati. Ja tos aizmirstat, vienmēr varat tos viegli atcerēties, izmantojot piedāvātās metodes.

Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trijstūrī:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī šī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Sinuss Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

Tātad, kādas asociācijas jums ir ar vārdu kosinuss?

Droši vien katram ir savs 😉Atcerieties saiti:

Tādējādi izteiciens nekavējoties parādīsies jūsu atmiņā -

«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».

Problēma ar kosinusa noteikšanu ir atrisināta.

Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas, ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad ar sinusu paliek tikai pretējā kāja.

Kā ar tangensu un kotangensu? Apjukums ir tāds pats. Skolēni zina, ka tās ir kāju attiecības, taču problēma ir atcerēties, uz kuru no tām attiecas – vai nu pretējo blakus esošajai, vai otrādi.

Definīcijas:

Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu:

Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:

Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisko savienojumu, otrs izmanto matemātisko.

MATEMĀTISKĀ METODE

Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

*Iegaumējot formulu, jūs vienmēr varat noteikt, ka akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu.

Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:

Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:

- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu

— asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus malas attiecība pret pretējo malu.

VĀRDU-LOĢISKĀ METODE

Par tangensu. Atcerieties saiti:

Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, varat viegli atcerēties, kas tas ir

“...pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi”

Ja mēs runājam par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -

“... blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi”

Tīmekļa vietnē ir interesants triks, kā atcerēties tangensu un kotangentu " Matemātiskais tandēms " , paskaties.

UNIVERSĀLĀ METODE

Jūs varat to vienkārši iegaumēt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.

Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat gobbledygook, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss Par

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Jēdzieni sinusa (), kosinuss (), tangenss (), kotangenss () ir nesaraujami saistīti ar leņķa jēdzienu. Lai labi izprastu šos, no pirmā acu uzmetiena sarežģītos jēdzienus (kas rada šausmu stāvokli daudziem skolēniem) un lai pārliecinātos, ka “velns nav tik briesmīgs, kā tas ir uzgleznots”, sāksim no sākumā un saprot leņķa jēdzienu.

Leņķa jēdziens: radiāns, grāds

Apskatīsim attēlu. Vektors ir “pagriezies” attiecībā pret punktu par noteiktu summu. Tātad šīs rotācijas mērs attiecībā pret sākotnējo stāvokli būs stūrī.

Kas vēl jums jāzina par leņķa jēdzienu? Nu, leņķa mērvienības, protams!

Leņķi gan ģeometrijā, gan trigonometrijā var izmērīt grādos un radiānos.

Leņķis (viens grāds) ir centrālais leņķis aplī, ko aptver apļveida loks, kas vienāds ar apļa daļu. Tādējādi viss aplis sastāv no apļveida loku “gabaliem”, vai arī apļa aprakstītais leņķis ir vienāds.

Tas nozīmē, ka attēlā redzams leņķis, kas vienāds ar, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loka apkārtmēra lielumu.

Leņķis radiānos ir centrālais leņķis aplī, ko aptver apļveida loks, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. Nu, vai tu to izdomāji? Ja nē, tad izdomāsim to no zīmējuma.

Tātad attēlā parādīts leņķis, kas vienāds ar radiānu, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loku, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu (garums ir vienāds ar garumu vai rādiuss ir vienāds ar loka garums). Tādējādi loka garumu aprēķina pēc formulas:

Kur ir centrālais leņķis radiānos.

Nu, vai, zinot to, vai varat atbildēt, cik radiānu satur apļa aprakstītais leņķis? Jā, šim nolūkam ir jāatceras apkārtmēra formula. Šeit tas ir:

Tagad salīdzināsim šīs divas formulas un noskaidrosim, ka apļa aprakstītais leņķis ir vienāds. Tas ir, korelējot vērtību grādos un radiānos, mēs to iegūstam. Attiecīgi,. Kā redzat, atšķirībā no "grādiem", vārds "radiāns" ir izlaists, jo mērvienība parasti ir skaidra no konteksta.

Cik radiānu ir? Pareizi!

Vai sapratāt? Pēc tam turpiniet un izlabojiet to:

Vai jums ir grūtības? Tad paskaties atbildes:

Taisns trīsstūris: sinuss, kosinuss, tangenss, leņķa kotangenss

Tātad, mēs izdomājām leņķa jēdzienu. Bet kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss? Izdomāsim. Šim nolūkam tas mums palīdzēs taisnleņķa trīsstūris.

Kā sauc taisnleņķa trīsstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī taisns leņķis(mūsu piemērā šī ir puse); kājas ir divas atlikušās malas un (tās, kas atrodas blakus pareizajam leņķim), un, ja mēs uzskatām kājas attiecībā pret leņķi, tad kāja ir blakus esošā kāja, un kāja ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Leņķa sinuss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Mūsu trīsstūrī.

Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Mūsu trīsstūrī.

Leņķa tangenss- tā ir pretējās (tālās) puses attiecība pret blakus esošo (tuvu).

Mūsu trīsstūrī.

Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).

Mūsu trīsstūrī.

Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, kurā kājā kurā sadalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskares Un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa Un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:

Kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;

Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.

Pirmkārt, jāatceras, ka sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Netici man? Tad pārliecinieties, apskatot attēlu:

Apsveriet, piemēram, leņķa kosinusu. Pēc definīcijas no trijstūra: , bet mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu no trijstūra: . Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.

Ja jūs saprotat definīcijas, tad uz priekšu un konsolidējiet tās!

Tālāk attēlā redzamajam trīsstūrim mēs atrodam.

Nu, vai jūs to sapratāt? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim.

Vienības (trigonometriskais) aplis

Izprotot pakāpes un radiāna jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar. Tādu apli sauc vientuļš. Tas būs ļoti noderīgi, studējot trigonometriju. Tāpēc apskatīsim to nedaudz sīkāk.

Kā redzat, dots aplis konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, savukārt apļa centrs atrodas koordinātu sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta gar ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).

Katrs apļa punkts atbilst diviem cipariem: ass koordinātei un ass koordinātei. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar aplūkojamo tēmu? Lai to izdarītu, mums jāatceras par aplūkoto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.

Ar ko ir vienāds trīsstūris? Pareizi. Turklāt mēs zinām, ka tas ir vienības apļa rādiuss, kas nozīmē . Aizstāsim šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:

Ar ko ir vienāds trīsstūris? Nu protams! Aizvietojiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:

Tātad, vai varat pateikt, kādas koordinātas ir punktam, kas pieder pie apļa? Nu, nekādā gadījumā? Ko darīt, ja jūs to saprotat un esat tikai skaitļi? Kurai koordinātai tā atbilst? Nu, protams, koordinātas! Un kādai koordinātei tas atbilst? Tieši tā, koordinātes! Tādējādi punkts.

Kas tad ir un ir vienādi? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim, a.

Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Piemēram, kā šajā attēlā:

Kas ir mainījies iekšā šajā piemērā? Izdomāsim. Lai to izdarītu, atkal pagriezīsimies uz taisnleņķa trīsstūri. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri: leņķis (kā blakus leņķim). Kādas ir leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensas vērtības? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:

Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinusa vērtība - koordināte; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības attiecas uz jebkuru rādiusa vektora rotāciju.

Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir gar ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, jūs arī iegūsit noteiktas vērtības leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.

Tātad, mēs zinām, ka vesels rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir vai. Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru uz vai uz? Nu, protams, ka vari! Tāpēc pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā vai.

Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā vai.

Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar vai (kur ir jebkurš vesels skaitlis), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.

Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu vai (kur ir vesels skaitlis)

Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, kādas ir vērtības:

Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:

Vai jums ir grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:

No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: leņķis pie atbilst punktam ar koordinātām, tāpēc:

Neeksistē;

Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs noskaidrojam, ka stūri atbilst attiecīgi punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats un pēc tam pārbaudiet atbildes.

Atbildes:

Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:

Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:

Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un, kas norādītas zemāk esošajā tabulā, jāatceras:

Nebaidieties, tagad mēs jums parādīsim vienu piemēru diezgan vienkārši atcerēties atbilstošās vērtības:

Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem (), kā arī leņķa pieskares vērtību. Zinot šīs vērtības, ir diezgan vienkārši atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:

Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs " " atbildīs un saucējs " " atbildīs. Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā norādītajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks atcerēties visas vērtības no tabulas.

Apļa punkta koordinātas

Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?

Nu, protams, ka vari! Dabūsim to ārā vispārējā formula lai atrastu punkta koordinātas.

Piemēram, šeit ir aplis mūsu priekšā:

Mums ir dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu par grādiem.

Kā redzams attēlā, punkta koordināte atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātei, tas ir, tas ir vienāds. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:

Tad mums tas ir punkta koordinātei.

Izmantojot to pašu loģiku, mēs atrodam punkta y koordinātu vērtību. Tādējādi

Tātad, iekšā vispārējs skats punktu koordinātas nosaka pēc formulas:

Apļa centra koordinātas,

Apļa rādiuss,

Vektora rādiusa griešanās leņķis.

Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir vienādas ar nulli un rādiuss ir vienāds ar vienu:

Nu, izmēģināsim šīs formulas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?

1. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.

2. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.

3. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.

4. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

5. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.

Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?

Atrisiniet šos piecus piemērus (vai mācieties tos atrisināt), un jūs iemācīsities tos atrast!

KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa tangenss ir pretējās (tālās) malas un blakus esošās (tuvās) puses attiecība.

Leņķa kotangenss ir blakus esošās (tuvās) puses attiecība pret pretējo (tālo) pusi.

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Priekš kam?

Par veiksmīga pabeigšana Vienotais valsts eksāmens, uzņemšanai koledžā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Un noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

Centrēts punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( iedegums α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC|

līdz blakus esošās kājas garumam |AB| . Kotangenss () ctg α

ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB|

uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares Kur

n
.
;
;
.

- vesels.

Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:

uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares Kur

Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x
.
Kotangenss
;
;
.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:

Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangensa īpašības Periodiskums Funkcijas y = tg x un y =

ctg x

ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra. Pieskares Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās

	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( Periodiskums	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( tg x
- vesels).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Darbības joma un nepārtrauktība		-
Vērtību diapazons	-
Pieaug	-	-
Dilstoša 0
Ekstrēmi 0	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( 0	-

Nulles, y =

Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x =

; ;
; ;
;

Formulas

Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu

Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.

;
;

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

; .

.
Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas
.
Atvasinājumi

N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:

Pieskares atvasināšanas formulas > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi Sērijas paplašinājumi Un Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, funkciju pakāpju virknē jāņem vairāki izplešanās termini. grēks x

cos x

un sadaliet šos polinomus savā starpā, .
Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas. plkst. plkst.
;
;
Kur
Bn

- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:

Kur .

Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas Pieskares Kur

Tangensa un kotangenta apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Apgrieztās funkcijas Pieskares Kur

Arktangents, arktg
, Kur
Arccotangent, arcctg

Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas, matemātikas nozares, galvenās kategorijas un ir nesaraujami saistīti ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes apgūšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.

Jēdzieni trigonometrijā

Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms ir jāsaprot, kas ir taisnleņķa trijstūris un leņķis aplī un kāpēc ar tiem ir saistīti visi pamata trigonometriskie aprēķini. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnstūrveida. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā un astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nāca aprēķināt atbilstošās tā parametru attiecības.

Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnleņķa trijstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir atlikušās divas puses. Jebkura trijstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.

Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra īpatnība sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.

Trijstūra leņķi

Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāks par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.

Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar vajadzīgā leņķa pretējās malas attiecību pret blakus esošo malu jeb sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus malas attiecība pret pretējo pusi. Leņķa kotangensu var iegūt arī, dalot vienu ar pieskares vērtību.

Vienības aplis

Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākuma pozīciju nosaka pa X ass pozitīvo virzienu (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu abscisu asij, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmē ar burtu C), perpendikulu novelk X asij. (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G), un segments, kurā ir abscisu ass, atrodas starp koordinātu sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trīsstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķis starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG ir definēts kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss, un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.

Turklāt, zinot šos datus, var noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α;sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa un kosinusa attiecību, mēs varam noteikt, ka tan α = y/x un cot α = x/y. Apsverot leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, jūs varat aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.

Aprēķini un pamatformulas

Trigonometriskās funkcijas vērtības

Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.

Vienkāršākās trigonometriskās identitātes

Vienādojumi, kuros ietverta trigonometriskās funkcijas zīme nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k - jebkurš vesels skaitlis:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. iedegums x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

1. bērnu gultiņa x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Samazināšanas formulas

Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumentu funkcijām, tas ir, samazināt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu līdz attiecīgajiem leņķa leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem, lai atvieglotu aprēķinu.

Formulas leņķa sinusa funkciju samazināšanai izskatās šādi:

• sin(900 — α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = grēks α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = grēks α.

Leņķa kosinusam:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:

• no grēka uz cos;
• no cos uz grēku;
• no tg līdz ctg;
• no ctg uz tg.

Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).

Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats ar negatīvajām funkcijām.

Papildināšanas formulas

Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības, izmantojot to trigonometriskās funkcijas. Parasti leņķus apzīmē kā α un β.

Formulas izskatās šādi:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. iedegums(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.

Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas

Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Pāreja no summas uz produktu

Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Pāreja no produkta uz summu

Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Pakāpju samazināšanas formulas

Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universāla aizstāšana

Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), ar x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• gultiņa x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), ar x = π + 2πn.

Īpaši gadījumi

Īpaši vienšūņu gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).

Sinusa koeficienti:

Sin x vērtība	x vērtība
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk

Kosinusa koeficienti:

cos x vērtība	x vērtība
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Pieskares koeficienti:

tg x vērtība	x vērtība
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensa koeficienti:

ctg x vērtība	x vērtība
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorēmas

Sinusu teorēma

Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkārša sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.

Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.

Kosinusa teorēma

Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas ir pretējs malai a.

Pieskares teorēma

Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tiem pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangentes teorēma

Savieno trīsstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir leņķi pret tiem, r ir ierakstītā riņķa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, identitātes ir derīgas:

• bērnu gultiņa A/2 = (p-a)/r;
• bērnu gultiņa B/2 = (p-b)/r;
• bērnu gultiņa C/2 = (p-c)/r.

Pieteikums

Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas nozares. cilvēka darbība- astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuru palīdzību var matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī, un atrast nepieciešamos lielumus caur identitātēm, teorēmām un noteikumiem.