Centrēts punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( iedegums α) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar pretējās malas garuma attiecību |BC|

līdz blakus esošās kājas garumam |AB| . Kotangenss () ctg α

ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB|

uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares Kur

n
.
;
;
.

- vesels.

Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:

uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares Kur

Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x
.
Kotangenss
;
;
.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:

Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangensa īpašības Periodiskums Funkcijas y = tg x un y =

ctg x

ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra. Pieskares Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās

	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( Periodiskums	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( tg x
- vesels).
y=	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Darbības joma un nepārtrauktība		-
Vērtību diapazons	-
Pieaug	-	-
Dilstoša 0
Ekstrēmi 0	Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( 0	-

Nulles, y =

Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x =

; ;
; ;
;

Formulas

Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu

Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.

;
;

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

; .

.
Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas
.
Atvasinājumi

N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:

Pieskares atvasināšanas formulas > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi Sērijas paplašinājumi Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, funkciju pakāpju virknē jāņem vairāki izplešanās termini. grēks x Un

cos x

un sadaliet šos polinomus savā starpā, .
Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas. plkst. plkst.
;
;
Kur
Bn

- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:

Kur .

Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas Pieskares Kur

Tangensa un kotangenta apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Apgrieztās funkcijas Pieskares Kur

Arktangents, arktg
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem, 2012. gads.

Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs apskatīsim periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.

Ja jūs interesē funkciju sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss īpašības, varat tās izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.

Lapas navigācija.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes pa ceturtdaļām

Zem šīs rindkopas parādīsies frāze “I, II, III un IV koordinātu ceturkšņa leņķis”. Paskaidrosim, kādi ir šie leņķi.

Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākumpunktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, un pieņemsim, ka tiksim līdz punktam A 1 (x, y).

Viņi tā saka leņķis α ir I, II, III, IV koordinātu kvadranta leņķis, ja punkts A 1 atrodas attiecīgi I, II, III, IV ceturksnī; ja leņķis α ir tāds, ka punkts A 1 atrodas uz jebkuras koordinātu taisnes Ox vai Oy, tad šis leņķis nepieder nevienai no četrām ceturtdaļām.

Skaidrības labad šeit ir grafiska ilustrācija. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30, -210, 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi I, II, III un IV koordinātu ceturkšņu leņķi.

Leņķi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.

Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir griešanās leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības atkarībā no tā, kurš kvadranta leņķis ir α.

Sinususam un kosinusam to ir viegli izdarīt.

Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Acīmredzot I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusa 1. un 2. ceturksnī ir pluszīme, bet 3. un 6. ceturksnī - mīnusa zīme.

Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Līdz ar to leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.

Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar to pašu un dažādas zīmes no tā izriet, ka pieskarei un kotangensam ir pluszīme, ja punkta A 1 abscisu un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Līdz ar to leņķa pieskarei un kotangensam I un III koordinātu ceturtdaļā ir + zīme, bet II un IV ceturtdaļā - mīnusa zīme.

Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. Un otrajā ceturksnī abscisa x ir negatīva, un ordināta y ir pozitīva, tāpēc gan x/y, gan y/x ir negatīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir mīnusa zīme.

Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.

Periodiskuma īpašība

Tagad mēs apskatīsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas ir šādi: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.

Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr nokļūsim no sākuma punkta A līdz punktam A 1 uz vienības apļa, tāpēc sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas ir nemainīgas.

Izmantojot formulas, apskatīto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš , absolūtā vērtība kas norāda pilno apgriezienu skaitu, par kādu mainās leņķis α, un skaitļa zīme z norāda griešanās virzienu.

Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad norādītās formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, , jo , A . Šeit ir vēl viens piemērs: vai .

Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot “lielo” leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.

Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības

Lai A 1 ir punkts, kas iegūts, pagriežot sākotnējo punktu A(1, 0) ap punktu O par leņķi α, un punkts A 2 ir rezultāts, pagriežot punktu A par leņķi −α pretēji leņķim α.

Pretēju leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir balstīta uz diezgan acīmredzamu faktu: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie), vai atrodas simetriski attiecībā pret Ox asi. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y), tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y). No šejienes, izmantojot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas, mēs rakstām vienādības un .
Salīdzinot tos, mēs nonākam pie attiecībām starp formas pretējo leņķu α un −α sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Šis ir rekvizīts, kas tiek izskatīts formulu veidā.

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un .

Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izvairīties no negatīvā. leņķi.

Atsauces.

• Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: ISBN 5-09-002727-7
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izd. - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Vērtību tabula trigonometriskās funkcijas

Piezīme. Šajā trigonometrisko funkciju vērtību tabulā tiek izmantota zīme √, lai norādītu kvadrātsakne. Lai norādītu daļskaitli, izmantojiet simbolu "/".

Skatīt arī noderīgi materiāli:

Priekš trigonometriskās funkcijas vērtības noteikšana, atrodiet to līnijas krustpunktā, kas norāda trigonometrisko funkciju. Piemēram, sinusa 30 grādi - mēs meklējam kolonnu ar virsrakstu sin (sinuss) un atrodam šīs tabulas kolonnas krustpunktu ar rindu “30 grādi”, to krustpunktā mēs nolasām rezultātu - vienu pusi. Līdzīgi mēs atrodam kosinuss 60 grādi, sinusa 60 grādi (kārtējo reizi grēka kolonnas un 60 grādu līnijas krustpunktā atrodam vērtību sin 60 = √3/2) utt. Tādā pašā veidā tiek atrastas sinusu, kosinusu un citu “populāro” leņķu pieskares vērtības.

Sinuss pi, kosinuss pi, tangenss pi un citi leņķi radiānos

Zemāk esošā kosinusu, sinusu un pieskares tabula ir piemērota arī tādu trigonometrisko funkciju vērtību atrašanai, kuru arguments ir dots radiānos. Lai to izdarītu, izmantojiet otro leņķa vērtību kolonnu. Pateicoties tam, jūs varat konvertēt populāro leņķu vērtību no grādiem uz radiāniem. Piemēram, pirmajā rindā atradīsim 60 grādu leņķi un zem tā nolasīsim tā vērtību radiānos. 60 grādi ir vienādi ar π/3 radiāniem.

Skaitlis pi viennozīmīgi izsaka apkārtmēra atkarību no pakāpes mērs stūrī. Tādējādi pi radiāni ir vienādi ar 180 grādiem.

Jebkuru skaitli, kas izteikts pi (radiānos), var viegli pārvērst grādos, aizstājot pi (π) ar 180.

Piemēri:
1. Sine pi.
sin π = grēks 180 = 0
tādējādi pi sinuss ir tāds pats kā 180 grādu sinuss, un tas ir vienāds ar nulli.

2. Kosinuss pi.
cos π = cos 180 = -1
tādējādi pi kosinuss ir tāds pats kā 180 grādu kosinuss, un tas ir vienāds ar mīnus viens.

3. Pieskares pi
tg π = tg 180 = 0
tādējādi tangenss pi ir tāds pats kā tangenss 180 grādi un ir vienāds ar nulli.

Sinusa, kosinusa, pieskares vērtību tabula leņķiem no 0 līdz 360 grādiem (parastās vērtības)

leņķa α vērtība (grādi)	leņķa α vērtība radiānos (izmantojot pi)	grēks (sinuss)	cos (kosinuss)	tg (pieskare)	ctg (kotangenss)	sek (sekants)	cosec (kosekants)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ja trigonometrisko funkciju vērtību tabulā funkcijas vērtības vietā ir norādīta domuzīme (tangence (tg) 90 grādi, kotangenss (ctg) 180 grādi), tad noteiktai leņķa pakāpes mēra vērtībai funkcija nav noteiktas vērtības. Ja domuzīmes nav, šūna ir tukša, kas nozīmē, ka mēs vēl neesam ievadījuši nepieciešamo vērtību. Mūs interesē, pēc kādiem vaicājumiem lietotāji pie mums nāk, un papildinām tabulu ar jaunām vērtībām, neskatoties uz to, ka pašreizējie dati par visbiežāk sastopamo leņķa vērtību kosinusu, sinusu un tangenšu vērtībām ir pilnīgi pietiekami, lai atrisinātu lielāko daļu problēmas.

Trigonometrisko funkciju sin, cos, tg vērtību tabula populārākajiem leņķiem
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grādi
(skaitliskās vērtības “saskaņā ar Bradis tabulām”)

leņķa α vērtība (grādi)	leņķa α vērtība radiānos	grēks (sinuss)	cos (kosinuss)	tg (tangence)	ctg (kotangenss)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad vietnē iesniedzat pieprasījumu, mēs varam savākt dažāda informācija, tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Problēma 6.12. Tas pats jautājums, kas iepriekšējā uzdevumā, bet parastam piecstūrim (padoms: skatiet 3.5. uzdevumu).

Problēma 6.13. 4.8. uzdevumā tika teikts, ka kā aptuvenu maza leņķa α kosinusa vērtību varam ņemt skaitli 1, tas ir, kosinusa funkcijas vērtību pie nulles. Ko darīt, ja bez papildu piepūles mēs pieņemam 0 = sin 0 kā aptuvenu maza leņķa α sinusa vērtību? Kāpēc tas ir slikti?

Rīsi. 6.4. Punkts M pārvietojas pa cikloīdu.

Problēma 6.14. Aplūkosim riteni ar rādiusu 1, kas pieskaras x asi sākumam (6.4. att.). Pieņemsim, ka ritenis ripo pa x asi pozitīvā virzienā ar ātrumu 1 (tas ir, laikā t tā centrs nobīdās t pa labi).

a) Uzzīmējiet (aptuveni) līkni, kuru aprakstīs punkts M, pirmajā brīdī pieskaroties abscisu asij.

b) Atrodi, kāda būs punkta M abscisa un ordinātas pēc laika t pēc kustības sākuma.

6.1. Pieskares ass

Šajā sadaļā mēs definējām sinusu un kosinusu ģeometriski kā punkta ordinātu un abscisi, bet tangensu - algebriski kā sin t/ cos t. Tomēr pieskarei var piešķirt ģeometrisku nozīmi.

Lai to izdarītu, caur punktu ar koordinātām (1; 0) (trigonometriskā apļa sākumpunkts) novelciet trigonometriskā apļa pieskari - taisnu līniju, kas ir paralēla asij

Rīsi. 6.5. Pieskares ass.

ordinātas Sauksim šo taisni par pieskares asi (6.5. att.). Šo nosaukumu pamato šādi: lai M ir punkts uz trigonometriskā apļa, kas atbilst skaitlim t. Turpināsim rādiusu SM, līdz tas krustojas ar pieskares asi. Tad izrādās, ka krustojuma punkta ordināta ir vienāda ar tg t.

Faktiski trīsstūri NOS un MP S attēlā. 6.5, protams

	bet līdzīgi. No šejienes
	kas arī tika teikts.									vai (0; -1), pēc tam tieši
	Ja punktam M ir koordinātas (0; 1)

Maija SM ir paralēla pieskares asij, un tangensu nevar noteikt, izmantojot mūsu metodi. Tas nav pārsteidzoši: šo punktu abscisa ir 0, tāpēc cos t = 0 attiecīgajām t vērtībām un tg t = sin t / cos t nav definēts.

6.2. Trigonometrisko funkciju pazīmes

Noskaidrosim, pie kurām t vērtībām sinusa, kosinusa un tangensa ir pozitīvas un pie kurām vērtībām tās ir negatīvas. Saskaņā ar definīciju sin t ir tāda punkta ordināta uz trigonometriskā apļa, kas atbilst skaitlim t. Tāpēc sin t > 0, ja punkts t ir ieslēgts