Kā pierādīt, ka lineārais leņķis ir divskaldnis. Matemātikas stundas piezīmes "Diedrāla leņķis"

$\blacktriangleright$ Divšķautņu leņķis ir leņķis, ko veido divas pusplaknes un taisne $a$, kas ir to kopējā robeža.

$\blacktriangleright$ Lai atrastu leņķi starp plaknēm $\xi$ un $\pi$, jāatrod lineārais leņķis (un pikants vai taisni) divšķautņu leņķis, ko veido plaknes $\xi$ un $\pi$ :

1. solis: pieņemsim $\xi\cap\pi=a$ (plakņu krustošanās līnija). Plaknē $\xi$ atzīmējam patvaļīgu punktu $F$ un uzzīmējam $FA\perp a$ ;

2. darbība: veiciet $FG\perp \pi$ ;

3. solis: saskaņā ar TTP ($FG$ – perpendikulāri, $FA$ – slīpi, $AG$ – projekcija) mums ir: $AG\perp a$ ;

4. solis: leņķi $\angle FAG$ sauc par divskaldņa leņķa lineāro leņķi, ko veido plaknes $\xi$ un $\pi$ .

Ņemiet vērā, ka trīsstūris $AG$ ir taisnleņķis.
Ņemiet vērā arī to, ka šādā veidā konstruētā plakne $AFG$ ir perpendikulāra abām plaknēm $\xi$ un $\pi$ . Tāpēc mēs to varam teikt savādāk: leņķis starp plaknēm$\xi$ un $\pi$ ir leņķis starp divām krustojošām līnijām $c\in \xi$ un $b\in\pi$, kas veido plakni, kas ir perpendikulāra un $\xi\ ) un \(\pi$ .

1. uzdevums #2875

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Dota četrstūra piramīda, kuras visas malas ir vienādas un pamatne ir kvadrāts. Atrodiet $6\cos \alpha$ , kur $\alpha$ ir leņķis starp blakus esošajām sānu malām.

Pieņemsim, ka $SABCD$ ir dota piramīda ($S$ ir virsotne), kuras malas ir vienādas ar $a$ . Līdz ar to visas sānu malas ir vienādi vienādmalu trīsstūri. Noskaidrosim leņķi starp skaldnēm $SAD$ un $SCD$ .

Darīsim $CH\perp SD$ . Jo $\trijstūris SAD=\trijstūris SCD$, tad $AH$ būs arī $\triangle SAD$ augstums. Tāpēc pēc definīcijas $\angle AHC=\alpha$ ir diedrāla leņķa lineārais leņķis starp skaldnēm $SAD$ un $SCD$ .
Tā kā bāze ir kvadrāts, tad $AC=a\sqrt2$ . Ņemiet vērā arī to, ka $CH=AH$ ir vienādmalu trīsstūra augstums ar malu $a$, tāpēc $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Pēc tam, izmantojot kosinusa teorēmu no $\trijstūris AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Atbilde: -2

2. uzdevums #2876

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Plaknes $\pi_1$ un $\pi_2$ krustojas leņķī, kura kosinuss ir vienāds ar $0,2$. Plaknes $\pi_2$ un $\pi_3$ krustojas taisnā leņķī, un plakņu $\pi_1$ un $\pi_2$ krustošanās līnija ir paralēla plaknes krustojuma līnijai. plaknes $\pi_2$ un $\ pi_3$ . Atrodiet sinusu leņķim starp plaknēm $\pi_1$ un $\pi_3$ .

Lai $\pi_1$ un $\pi_2$ krustošanās līnija ir taisne $a$, $\pi_2$ un $\pi_3$ krustošanās līnija ir taisne līnija $b$, un krustojuma līnija $\pi_3$ un $\pi_1$ – taisne $c$ . Tā kā $a\parallel b$ , tad $c\parallel a\parallel b$ (saskaņā ar teorēmu no teorētiskās atsauces sadaļas “Ģeometrija telpā” $\rightarrow$ “Ievads stereometrijā, paralēlisms”).

Atzīmēsim punktus $A\in a, B\in b$ tā, lai $AB\perp a, AB\perp b$ (tas iespējams, jo $a\paralēlie b$ ). Atzīmēsim $C\in c$, lai $BC\perp c$ , tātad $BC\perp b$ . Pēc tam $AC\perp c$ un $AC\perp a$ .
Patiešām, tā kā $AB\perp b, BC\perp b$ , tad $b$ ir perpendikulāra plaknei $ABC$ . Tā kā $c\parallel a\parallel b$, tad arī līnijas $a$ un $c$ ir perpendikulāras plaknei $ABC$ un tāpēc jebkurai līnijai no šīs plaknes, jo īpaši , līnija \ (AC\) .

No tā izriet, ka $\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)$, $\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)$. Izrādās, ka $\trijstūris ABC$ ir taisnstūrveida, kas nozīmē \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Atbilde: 0.2

3. uzdevums #2877

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Dotas taisnes $a, b, c$, kas krustojas vienā punktā, un leņķis starp jebkurām divām no tām ir vienāds ar $60^\circ$ . Atrodiet $\cos^(-1)\alpha$ , kur $\alpha$ ir leņķis starp plakni, ko veido līnijas $a$ un $c$ un plakni, ko veido līnijas $ b\ ) un \(c$ . Sniedziet atbildi grādos.

Ļaujiet taisnēm krustoties punktā $O$ . Tā kā leņķis starp jebkurām divām no tām ir vienāds ar $60^\circ$, tad visas trīs taisnes nevar atrasties vienā plaknē. Atzīmēsim punktu $A$ uz līnijas $a$ un uzzīmēsim $AB\perp b$ un $AC\perp c$ . Tad $\trijstūris AOB=\trijstūris AOC$ kā taisnstūrveida gar hipotenūzu un akūtu leņķi. Tāpēc $OB=OC$ un $AB=AC$ .
Darīsim $AH\perp (BOC)$ . Tad pēc teorēmas par trim perpendikuliem $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Kopš $AB=AC$ , tad $\trijstūris AHB=\trijstūris AHC$ kā taisnstūrveida gar hipotenūzu un kāju. Tāpēc $HB=HC$ . Tas nozīmē, ka $OH$ ir leņķa $BOC$ bisektrise (jo punkts \(H) atrodas vienādā attālumā no leņķa malām).

Ņemiet vērā, ka šādā veidā mēs izveidojām arī divskaldņa leņķa lineāro leņķi, ko veido plakne, ko veido taisnes $a$ un $c$, un plakne, ko veido līnijas $b$ un $c $ . Šis ir leņķis $ACH$ .

Atradīsim šo leņķi. Tā kā punktu $A$ izvēlējāmies patvaļīgi, izvēlēsimies to tā, lai $OA=2$ . Pēc tam taisnstūrveida formā $\trīsstūris AOC$: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Tā kā $OH$ ir bisektrise, tad $\angle HOC=30^\circ$ , tāpēc taisnstūrveida formā $\trijstūris HOC$: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Pēc tam no taisnstūra $\trijstūris ACH$: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Atbilde: 3

4. uzdevums #2910

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Plaknes $\pi_1$ un $\pi_2$ krustojas pa taisni $l$, uz kuras atrodas punkti $M$ un $N$. Posmi $MA$ un $MB$ ir perpendikulāri taisnei $l$ un atrodas attiecīgi plaknēs $\pi_1$ un $\pi_2$ un $MN = 15) $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Atrodiet $3\cos\alpha$ , kur $\alpha$ ir leņķis starp plaknēm $\pi_1$ un $\pi_2$ .

Trijstūris $AMN$ ir taisnleņķis, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, no kurienes \ Trijstūris $BMN$ ir taisnleņķa leņķis, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, no kura \Mēs rakstām kosinusa teorēmu trīsstūrim $AMB$: \ Tad \ Tā kā leņķis $\alpha$ starp plaknēm ir ass stūris, un $\angle AMB$ izrādījās neass, tad $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Tad \

Atbilde: 1.25

5. uzdevums #2911

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ ir paralēlskaldnis, $ABCD$ ir kvadrāts ar malu $a$, punkts $M$ ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta $A_1$ uz plakni \ ((ABCD)\) , turklāt $M$ ir kvadrāta $ABCD$ diagonāļu krustpunkts. Ir zināms, ka $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Atrodiet leņķi starp plaknēm $(ABCD)$ un $(AA_1B_1B)$ . Sniedziet atbildi grādos.

Konstruēsim $MN$ perpendikulāri $AB$, kā parādīts attēlā.

Tā kā $ABCD$ ir kvadrāts ar malu $a$ un $MN\perp AB$ un $BC\perp AB$ , tad $MN\parallel BC$ . Tā kā $M$ ir kvadrāta diagonāļu krustpunkts, tad $M$ ir $AC$ vidus, tāpēc $MN$ ir viduslīnija un $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ ir $A_1N$ projekcija uz plakni $(ABCD)$, un $MN$ ir perpendikulāra $AB$, tad, izmantojot trīs perpendikulu teorēmu, \ (A_1N\) ir perpendikulāra $AB $, un leņķis starp plaknēm $(ABCD)$ un $(AA_1B_1B)$ ir $\angle A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Atbilde: 60

6. uzdevums #1854

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Kvadrātā $ABCD$ : $O$ – diagonāļu krustpunkts; $S$ – neatrodas kvadrāta plaknē, $SO \perp ABC$ . Atrodiet leņķi starp plaknēm $ASD$ un $ABC$, ja $SO = 5$ un $AB = 10$ .

Taisnstūra trīsstūri $\trijstūris SAO$ un $\trijstūris SDO$ ir vienādi divās malās, un leņķis starp tiem ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , jo $O$ – kvadrāta diagonāļu krustpunkts, $SO$ – kopējā mala) $\Rightarrow$ $AS = SD$ $\Rightarrow$ $\trijstūris ASD$ – vienādsānu. Punkts $K$ ir $AD$ vidus, tad $SK$ ir augstums trīsstūrī $\trijstūris ASD$, un $OK$ ir augstums trīsstūrī $ AOD$ $\ Rightarrow$ plakne $SOK$ ir perpendikulāra plaknēm $ASD$ un $ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SKO$ – lineārais leņķis vienāds ar vēlamo divšķautņu leņķis.

$\trijstūris SKO$ : $Labi = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Rightarrow$ $\triangle SOK$ – vienādsānu taisnstūris $\Rightarrow$ $\angle SKO = 45^\circ$ .

Atbilde: 45

7. uzdevums #1855

Uzdevuma līmenis: grūtāks nekā vienotais valsts eksāmens

Kvadrātā $ABCD$ : $O$ – diagonāļu krustpunkts; $S$ – neatrodas kvadrāta plaknē, $SO \perp ABC$ . Atrodiet leņķi starp plaknēm $ASD$ un $BSC$, ja $SO = 5$ un $AB = 10$ .

Taisnstūra trīsstūri $\trijstūris SAO$ , $\trijstūris SDO$ , $\trijstūris SOB$ un $\trijstūris SOC$ ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem ($SO \perp ABC) $ $\bultiņa pa labi$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, jo $O$ – kvadrāta diagonāļu krustpunkts, $SO$ – kopējā puse) $\Rightarrow$ $AS = DS = BS = CS$ $\Rightarrow$ $ \trijstūris ASD$ un $\trijstūris BSC$ ir vienādsānu. Punkts $K$ ir $AD$ vidus, tad $SK$ ir augstums trīsstūrī $\trijstūris ASD$, un $OK$ ir augstums trīsstūrī $ AOD$ $\ Rightarrow$ plakne $SOK$ ir perpendikulāra plaknei $ASD$ . Punkts $L$ ir $BC$ vidus, tad $SL$ ir augstums trīsstūrī $\trijstūris BSC$, un $OL$ ir augstums trīsstūrī $ BOC$ $\ Rightarrow$ plakne $SOL$ (aka plakne $SOK$) ir perpendikulāra plaknei $BSC$ . Tādējādi mēs iegūstam, ka $\angle KSL$ ir lineārs leņķis, kas vienāds ar vēlamo divvirsmas leņķi.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Labā bultiņa$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – vienādi augstumi vienādsānu trīsstūri, ko var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. To var pamanīt $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$' ^\ circ\) .

Atbilde: 90

Studentu sagatavošana vienotā valsts eksāmena kārtošanai matemātikā parasti sākas ar pamatformulu atkārtošanu, ieskaitot tās, kas ļauj noteikt leņķi starp plaknēm. Neskatoties uz to, ka šī ģeometrijas sadaļa ir ietverta pietiekami detalizēti skolas mācību programma, daudziem absolventiem ir jāatkārto pamatmateriāls. Saprotot, kā atrast leņķi starp plaknēm, vidusskolēni, risinot uzdevumu, varēs ātri aprēķināt pareizo atbildi un paļauties uz pienācīgu punktu skaitu par vienotā valsts eksāmena nokārtošanu.

Galvenās nianses

Lai jautājums par to, kā atrast divskaldņa leņķi, nesagādātu grūtības, iesakām ievērot risinājuma algoritmu, kas palīdzēs tikt galā ar vienotā valsts eksāmena uzdevumiem.

Vispirms jums ir jānosaka taisna līnija, pa kuru plaknes krustojas.

Tad jums ir jāizvēlas punkts uz šīs līnijas un jānovelk divi perpendikulāri tam.

Nākamais solis- atrašana trigonometriskā funkcija divšķautņu leņķis, ko veido perpendikulāri. Visērtāk to izdarīt, izmantojot iegūto trīsstūri, kura daļa ir leņķis.

Atbilde būs leņķa vērtība vai tā trigonometriskā funkcija.

Sagatavošanās eksāmenam ar Shkolkovo ir jūsu panākumu atslēga

Nodarbību laikā iepriekšējā dienā nokārtojot vienoto valsts eksāmenu Daudzi skolēni saskaras ar problēmu atrast definīcijas un formulas, kas ļauj aprēķināt leņķi starp 2 plaknēm. Skolas mācību grāmata ne vienmēr ir pa rokai tieši tad, kad tas ir nepieciešams. Un, lai atrastu nepieciešamās formulas un piemērus to pareizai pielietošanai, tostarp leņķa atrašanai starp plaknēm internetā, dažreiz jums ir jāpavada daudz laika.

Shkolkovo matemātikas portāls piedāvā jaunu pieeju, gatavojoties valsts eksāmenam. Nodarbības mūsu vietnē palīdzēs studentiem noteikt pašiem grūtākās sadaļas un aizpildīt nepilnības zināšanās.

Mēs visu esam sagatavojuši un skaidri izklāstījuši nepieciešamais materiāls. Pamatdefinīcijas un formulas ir sniegtas sadaļā “Teorētiskā informācija”.

Lai labāk izprastu materiālu, iesakām praktizēt arī atbilstošus vingrinājumus. Liela dažādas sarežģītības pakāpes uzdevumu izvēle, piemēram, uz, ir parādīta sadaļā “Katalogs”. Visi uzdevumi satur detalizētu algoritmu pareizās atbildes atrašanai. Vingrinājumu saraksts vietnē tiek pastāvīgi papildināts un atjaunināts.

Praktizējoties tādu problēmu risināšanā, kurās nepieciešams atrast leņķi starp divām plaknēm, studentiem ir iespēja saglabāt jebkuru uzdevumu tiešsaistē kā “Izlases”. Pateicoties tam, viņi varēs tajā atgriezties tik reižu, cik nepieciešams, un apspriest ar to risinājuma gaitu skolas skolotājs vai pasniedzējs.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai sazināties ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad vietnē iesniedzat pieprasījumu, mēs varam savākt dažāda informācija, tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Divšķautņu leņķa jēdziens

Lai ieviestu diedrālā leņķa jēdzienu, vispirms atcerēsimies vienu no stereometrijas aksiomām.

Jebkuru plakni var sadalīt divās šajā plaknē esošās līnijas $a$ pusplaknēs. Šajā gadījumā punkti, kas atrodas vienā pusplaknē, atrodas vienā taisnes $a$ pusē, un punkti, kas atrodas dažādās pusplaknēs, atrodas vienā pusē. dažādas puses no taisnes $a$ (1. att.).

1. attēls.

Divšķautņu leņķa konstruēšanas princips ir balstīts uz šo aksiomu.

1. definīcija

Figūru sauc divšķautņu leņķis, ja tas sastāv no taisnes un divām šīs taisnes pusplaknēm, kas nepieder pie vienas plaknes.

Šajā gadījumā tiek sauktas divskaldņa leņķa pusplaknes malām, un taisne, kas atdala pusplaknes, ir divšķautņu mala(1. att.).

2. attēls. Divšķautņu leņķis

Divšķautņu leņķa pakāpes mērs

2. definīcija

Izvēlēsimies patvaļīgu punktu $A$ malā. Tiek saukts leņķis starp divām taisnēm, kas atrodas dažādās pusplaknēs, perpendikulāras malai un krustojas punktā $A$ lineārs divšķautņu leņķis(3. att.).

3. attēls.

Acīmredzot katram divskaldņa leņķim ir bezgalīgs lineāro leņķu skaits.

1. teorēma

Visi viena divskaldņa leņķa lineārie leņķi ir vienādi viens ar otru.

Pierādījums.

Apskatīsim divus lineāros leņķus $AOB$ un $A_1(OB)_1$ (4. att.).

4. attēls.

Tā kā stari $OA$ un $(OA)_1$ atrodas vienā pusplaknē $\alpha $ un ir perpendikulāri tai pašai taisnei, tad tie ir līdzvirziena. Tā kā stari $OB$ un $(OB)_1$ atrodas vienā pusplaknē $\beta $ un ir perpendikulāri tai pašai taisnei, tad tie ir līdzvirziena. Līdz ar to

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Lineāro leņķu izvēles patvaļas dēļ. Visi viena divskaldņa leņķa lineārie leņķi ir vienādi viens ar otru.

Teorēma ir pierādīta.

3. definīcija

Divšķautņu leņķa pakāpes mērs ir diedrāla leņķa lineārā leņķa pakāpes mērs.

Problēmu piemēri

1. piemērs

Dotas divas neperpendikulāras plaknes $\alpha $ un $\beta $, kas krustojas pa taisni $m$. Punkts $A$ pieder lidmašīnai $\beta$. $AB$ ir perpendikulāra līnijai $m$. $AC$ ir perpendikulāra plaknei $\alpha $ (punkts $C$ pieder pie $\alpha $). Pierādīt, ka leņķis $ABC$ ir diedrāla leņķa lineārs leņķis.

Pierādījums.

Uzzīmēsim attēlu atbilstoši uzdevuma nosacījumiem (5. att.).

5. attēls.

Lai to pierādītu, atcerieties šādu teorēmu

2. teorēma: Taisne, kas iet caur slīpas līnijas pamatni, ir tai perpendikulāra, perpendikulāra tās projekcijai.

Tā kā $AC$ ir perpendikulāra plaknei $\alpha $, tad punkts $C$ ir punkta $A$ projekcija uz plakni $\alpha $. Tāpēc $BC$ ir slīpā $AB$ projekcija. Saskaņā ar 2. teorēmu $BC$ ir perpendikulāra diedrālā leņķa malai.

Tad leņķis $ABC$ atbilst visām prasībām, lai definētu lineāru divskaldņu leņķi.

2. piemērs

Divšķautņu leņķis ir $30^\circ$. Uz vienas skaldnes atrodas punkts $A$, kas atrodas $4$ cm attālumā no otras skaldnes. Atrodiet attālumu no punkta $A$ līdz diedrālā leņķa malai.

Risinājums.

Apskatīsim 5. attēlu.

Pēc nosacījuma mums ir $AC=4\cm$.

Saskaņā ar diedrāla leņķa pakāpes mēra definīciju, leņķis $ABC$ ir vienāds ar $30^\circ$.

Trijstūris $ABC$ ir taisnleņķa trīsstūris. Pēc akūta leņķa sinusa definīcijas

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Nodarbības tēma: “Diedrāla leņķis”.

Nodarbības mērķis: diedrālā leņķa jēdziena un tā lineārā leņķa ieviešana.

Uzdevumi:

Izglītojoši: apsvērt uzdevumus šo jēdzienu pielietošanā, attīstīt konstruktīvu prasmi atrast leņķi starp plaknēm;

Attīstība: attīstību radošā domāšana studenti, studentu personīgā pašattīstība, studentu runas attīstība;

Izglītojoši: garīgā darba kultūras, komunikatīvās kultūras, refleksijas kultūras kopšana.

Nodarbības veids: nodarbība jaunu zināšanu apguvē

Mācību metodes: skaidrojošs un ilustratīvs

Aprīkojums: dators, interaktīvā tāfele.

Literatūra:

Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas: pamata un profils. līmeņi / [L. S. Atanasjans, V. F. Butuzovs, S. B. Kadomcevs u.c.] - 18. izd. – M.: Izglītība, 2009. – 255 lpp.

Nodarbības plāns:

Laika organizēšana(2 minūtes)

Zināšanu papildināšana (5 min)

Jauna materiāla apgūšana (12 min)

Apgūstamā materiāla pastiprināšana (21 min)

Mājas darbs (2 min)

Kopsavilkums (3 min)

Nodarbību laikā:

1. Organizatoriskais moments.

Ietver skolotāja sveicienu ar klasi, telpas sagatavošanu stundai un kavētāju pārbaudi.

2. Pamatzināšanu papildināšana.

Skolotājs: Pēdējā nodarbībā, ko tu rakstīji patstāvīgs darbs. Kopumā darbs bija uzrakstīts labi. Tagad atkārtosim to nedaudz. Kā sauc leņķi plaknē?

Students: Leņķis plaknē ir figūra, ko veido divi stari, kas izplūst no viena punkta.

Skolotājs: Kā sauc leņķi starp līnijām telpā?

Students: Leņķis starp divām krustojošām taisnēm telpā ir mazākais no leņķiem, ko veido šo līniju stari ar virsotni to krustošanās punktā.

Students: Leņķis starp krustojošām līnijām ir leņķis starp krustojošām līnijām, attiecīgi, paralēli datiem.

Skolotājs: Kā sauc leņķi starp taisni un plakni?

Students: Leņķis starp taisni un plakniTiek saukts jebkurš leņķis starp taisni un tās projekciju šajā plaknē.

3. Jauna materiāla apguve.

Skolotājs: Stereometrijā kopā ar šādiem leņķiem tiek ņemts vērā arī cits leņķa veids - divskaldņu leņķi. Jūs droši vien jau uzminējāt, kas ir šodienas nodarbības tēma, tāpēc atveriet piezīmju grāmatiņas, pierakstiet šodienas datumu un nodarbības tēmu.

Uzrakstiet uz tāfeles un piezīmju grāmatiņās:

10.12.14.

Divšķautņu leņķis.

Skolotājs : lai ieviestu diedrāla leņķa jēdzienu, jāatgādina, ka jebkura taisne, kas novilkta noteiktā plaknē, sadala šo plakni divās pusplaknēs(1. att., a)

Skolotājs : Iedomāsimies, ka esam saliekuši plakni pa taisni tā, ka divas pusplaknes ar robežu vairs neatrodas vienā plaknē (1. att., b). Iegūtais skaitlis ir divšķautņu leņķis. Divšķautņu leņķis ir figūra, ko veido taisne un divas pusplaknes ar kopīgu robežu, kas nepieder pie vienas plaknes. Pusplaknes, kas veido divskaldņu leņķi, sauc par tā skaldnēm. Divšķautņu leņķim ir divas malas, tāpēc nosaukums ir divskaldnis leņķis. Taisni – pusplakņu kopējo robežu – sauc par divskaldņa leņķa malu. Ierakstiet definīciju savā piezīmju grāmatiņā.

Divšķautņu leņķis ir figūra, ko veido taisne un divas pusplaknes ar kopīgu robežu, kas nepieder pie vienas plaknes.

Skolotājs : Ikdienā mēs bieži sastopamies ar priekšmetiem, kuriem ir divskaldņa leņķa forma. Sniedziet piemērus.

Students : Pusatvērta mape.

Students : Istabas siena ir kopā ar grīdu.

Students : Ēku divslīpju jumti.

Skolotājs : Pa labi. Un šādu piemēru ir milzīgs skaits.

Skolotājs : Kā jūs zināt, leņķus plaknē mēra grādos. Jums droši vien ir jautājums, kā tiek mērīti divskaldņu leņķi? Tas tiek darīts šādi.Atzīmēsim kādu punktu uz divskaldņa leņķa malas un no šī punkta katrā skaldnē uzzīmēsim staru perpendikulāri malai. Šo staru veidoto leņķi sauc par diedrālā leņķa lineāro leņķi. Izveidojiet zīmējumu savās piezīmju grāmatiņās.

Rakstiet uz tāfeles un piezīmju grāmatiņās.

PAR ∈ a, AS ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- divšķautņu leņķis,∠ AOB– divskaldņa leņķa lineārais leņķis.

Skolotājs : Visi diedrāla leņķa lineārie leņķi ir vienādi. Izveidojiet sev vēl vienu līdzīgu zīmējumu.

Skolotājs : Pierādīsim to. Apsveriet divus lineāros leņķus AOB unPQR. Stari OA unQPatrodas uz vienas sejas un ir perpendikulāriOQ, kas nozīmē, ka tie ir kopīgi vadīti. Līdzīgi stari OB unQRlīdzrežisors. nozīmē,∠ AOB= ∠ PQR(piemēram, leņķi ar izlīdzinātām malām).

Skolotājs : Nu, tagad atbilde uz mūsu jautājumu ir tāda, kā tiek mērīts divskaldņu leņķis.Divšķautņu leņķa pakāpes mērs ir tā lineārā leņķa pakāpes mērs. Pārzīmējiet akūtā, taisnā un strupā divskaldņa leņķa attēlus no mācību grāmatas 48. lpp.

4. Apgūstamā materiāla konsolidācija.

Skolotājs : Izveidojiet zīmējumus uzdevumiem.

№ 1 . Dots: ΔABC, AC = BC, AB atrodas plaknēα, CD ⊥ α, C∉ α. Izveidojiet divskaldņa leņķa lineāro leņķiCABD.

Students : Risinājums:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - meklēja.

№ 2. Dots: ΔABC, ∠ C= 90°, BC atrodas uz plaknesα, AS⊥ α, A∈ α.

Izveidojiet divskaldņa leņķa lineāro leņķiABCO.

Students : Risinājums:AB ⊥ B.C., AS⊥ BC nozīmē OS⊥ Sv.∠ ACO - meklēja.

№ 3 . Dots: ΔABC, ∠ C = 90°, AB atrodas plaknēα, CD⊥ α, C∉ α. Būvētlineārs divšķautņu leņķisDABC.

Students : Risinājums: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB nozīmē∠ DKC - meklēja.

№ 4 . Ņemot vērā:DABC- tetraedrs,DO⊥ ABC.Izveidojiet divskaldņa leņķa lineāro leņķiABCD.

Students : Risinājums:DM ⊥ saule,DO ⊥ VS nozīmē OM⊥ Saule;∠ OMD - meklēja.

5. Rezumējot.

Skolotājs: Ko jaunu tu šodien uzzināji stundā?

Studenti : Ko sauc par divskaldņu leņķi, lineāro leņķi, kā mēra divskaldņu leņķi.

Skolotājs : Ko viņi atkārtoja?

Studenti : ko sauc par leņķi plaknē; leņķis starp taisnām līnijām.

6.Mājas darbs.

Uzrakstiet uz tāfeles un savās dienasgrāmatās: 22.punkts, Nr.167, Nr.170.

Divšķautņu leņķis. Lineārs divšķautņu leņķis. Divšķautņu leņķis ir figūra, ko veido divas pusplaknes, kas nepieder vienai plaknei un kurām ir kopīga robeža - taisne a. Pusplaknes, kas veido divskaldņu leņķi, sauc par tā skaldnēm, un šo pusplakņu kopējo robežu sauc par divskaldņa leņķa malu. Divskaldņa leņķa lineārais leņķis ir leņķis, kura malas ir stari, pa kuriem diedrālā leņķa skaldnes krustojas ar plakni, kas ir perpendikulāra diedrālā leņķa malai. Katram divskaldņa leņķim ir jebkurš lineāro leņķu skaits: caur katru malas punktu var novilkt plakni, kas ir perpendikulāra šai malai; Stari, pa kuriem šī plakne krusto diedrāla leņķa skaldnes, veido lineārus leņķus.

Visi diedrāla leņķa lineārie leņķi ir vienādi viens ar otru. Pierādīsim, ja diedrālie leņķi, ko veido piramīdas CABC pamatnes plakne un tās sānu skaldņu plaknes, ir vienādi, tad no virsotnes K novilktā perpendikula pamatne ir trijstūrī ABC ierakstītā riņķa centrs.

Pierādījums. Vispirms konstruēsim vienādu divskaldņu leņķu lineāros leņķus. Pēc definīcijas lineārā leņķa plaknei jābūt perpendikulārai diedrālā leņķa malai. Tāpēc divskaldņa leņķa malai jābūt perpendikulārai lineārā leņķa malām. Ja KO ir perpendikulāra pamatplaknei, tad varam uzzīmēt VAI perpendikulāru AC, VAI perpendikulu SV, OQ perpendikulāru AB un pēc tam savienot punktus P, Q, R AR punktu K. Tādējādi konstruēsim slīpas RK, QK projekciju. , RK tā, lai malas AC, NE, AB būtu perpendikulāras šīm projekcijām. Līdz ar to šīs malas ir perpendikulāras pašām slīpajām. Un tāpēc trīsstūru ROK, QOK, ROK plaknes ir perpendikulāras attiecīgajām divskaldņa leņķa malām un veido tos vienādos lineāros leņķus, kas minēti nosacījumā. Taisni trīsstūri ROK, QOK, ROK ir kongruenti (jo tiem ir kopīga kājiņa OK un leņķi pretēji šai kājai ir vienādi). Tāpēc VAI = VAI = OQ. Ja zīmējam apli ar centru O un rādiusu OP, tad trijstūra ABC malas ir perpendikulāras rādiusiem OP, OR un OQ un tāpēc ir pieskares šim riņķim.

Plakņu perpendikularitāte. Alfa un beta plaknes sauc par perpendikulārām, ja viena no divšķautņu leņķiem, kas veidojas to krustpunktā, lineārais leņķis ir vienāds ar 90." Divu plakņu perpendikulitātes pazīmes Ja viena no abām plaknēm iet caur taisni, kas ir perpendikulāra otrai plaknei, tad šīs plaknes ir perpendikulāras.

Attēlā redzams taisnstūrveida paralēlskaldnis. Tās pamatnes ir taisnstūri ABCD un A1B1C1D1. Un sānu ribas AA1 BB1, CC1, DD1 ir perpendikulāras pamatnēm. No tā izriet, ka AA1 ir perpendikulāra AB, t.i., sānu virsma ir taisnstūris. Tādējādi ir iespējams attaisnot īpašības taisnstūra paralēlskaldnis: Taisnstūra paralēlskaldnis visas sešas skaldnes ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri. Visi taisnstūra paralēlskaldņa divviru leņķi ir taisnstūra leņķi. Visi taisnstūra paralēlskaldņa divviru leņķi ir taisnstūra leņķi.

Teorēma Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts vienāds ar summu tā trīs dimensiju kvadrāti. Atkal pievērsīsimies attēlam un pierādīsim, ka AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Tā kā mala CC1 ir perpendikulāra pamatnei ABCD, leņķis ACC1 ir taisns. No taisnleņķa trīsstūris ACC1 izmantojot Pitagora teorēmu iegūstam AC12=AC2+CC12. Bet AC ir taisnstūra ABCD diagonāle, tātad AC2 = AB2 + AD2. Turklāt CC1 = AA1. Tāpēc AC12= AB2+AD2+AA12 Teorēma ir pierādīta.