Labais paralēlskaldnis ar kvadrātveida pamatni. Taisnstūra paralēlskaldnis

Taisnstūra paralēlskaldnis

Taisnstūrveida paralēlskaldnis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kurā visas tā skaldnes ir taisnstūri.

Pietiek paskatīties mums apkārt, un mēs redzēsim, ka apkārtējiem objektiem ir paralēlskaldnim līdzīga forma. Tos var atšķirt pēc krāsas, ir daudz papildu detaļu, bet, ja šie smalkumi tiek atmesti, tad varam teikt, ka, piemēram, skapim, kastītei utt., ir aptuveni vienāda forma.

Ar taisnstūra paralēlskaldņa jēdzienu sastopamies gandrīz katru dienu! Paskatieties apkārt un pastāstiet man, kur redzat taisnstūrveida paralēlskaldņus? Paskaties uz grāmatu, tā ir tieši tāda pati forma! Ķieģelim, sērkociņu kastītei, koka bluķim ir tāda pati forma, un pat šobrīd tu atrodies taisnstūra paralēlskaldņa iekšpusē, jo klase ir tā spilgtākā interpretācija. ģeometriskā figūra.

Vingrinājums: Kādus paralēlskaldņu piemērus varat nosaukt?

Apskatīsim tuvāk kuboīdu. Un ko mēs redzam?

Pirmkārt, mēs redzam, ka šī figūra ir veidota no sešiem taisnstūriem, kas ir kuboīda skaldnes;

Otrkārt, kuboīdam ir astoņas virsotnes un divpadsmit malas. Kuboīda malas ir tā šķautņu malas, un kuboīda virsotnes ir šķautņu virsotnes.

Vingrinājums:

1. Kā sauc katru taisnstūra paralēlskaldni? 2. Pateicoties kādiem parametriem var izmērīt paralelogramu? 3. Definējiet pretējās sejas.

Paralēlskaldņu veidi

Bet paralēlskaldņi ir ne tikai taisnstūrveida, bet tie var būt arī taisni un slīpi, un taisnas līnijas iedala taisnstūrveida, netaisnstūrveida un kubiņos.

Uzdevums: Apskatiet attēlu un sakiet, kādi paralēlskaldņi uz tā ir attēloti. Kā taisnstūrveida paralēlskaldnis atšķiras no kuba?

Taisnstūra paralēlskaldņa īpašības

Taisnstūra paralēlskaldnim ir vairākas svarīgas īpašības:

Pirmkārt, šīs ģeometriskās figūras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar trīs galveno parametru kvadrātu summu: augstums, platums un garums.

Otrkārt, visas četras tā diagonāles ir absolūti identiskas.

Treškārt, ja visi trīs paralēlskaldņa parametri ir vienādi, tas ir, garums, platums un augstums ir vienādi, tad šādu paralēlskaldni sauc par kubu, un visas tā skaldnes būs vienādas ar vienu un to pašu kvadrātu.

Vingrinājums

1. Vai taisnstūra paralēlskaldnim ir vienādas malas? Ja tādi ir, parādiet tos attēlā. 2. No kādām ģeometriskām formām sastāv taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes? 3. Kāds ir vienādu malu izvietojums attiecībā pret otru? 4. Nosauciet šīs figūras vienādu skaldņu pāru skaitu. 5. Atrodiet taisnstūra paralēlskaldni malas, kas norāda tā garumu, platumu, augstumu. Cik tu saskaitīji?

Uzdevums

Lai skaisti noformētu dzimšanas dienas dāvanu mātei, Tanja paņēma kastīti taisnstūra paralēlskaldņa formā. Šīs kastes izmērs ir 25 cm * 35 cm * 45 cm. Lai padarītu šo iepakojumu skaistu, Tanya nolēma to pārklāt skaists papīrs, kuras izmaksas ir 3 grivnas par 1 dm2. Cik daudz naudas vajadzētu tērēt iesaiņojuma papīram?

Vai jūs zināt, ka slavenais iluzionists Deivids Bleins eksperimenta ietvaros pavadīja 44 dienas stikla paralēlskaldiņā, kas karājās virs Temzas. Šīs 44 dienas viņš neēda, bet dzēra tikai ūdeni. Savā brīvprātīgajā cietumā Dāvids paņēma tikai rakstāmmateriālus, spilvenu un matraci, kā arī kabatlakatiņus.

Kad bijāt mazs un spēlējāties ar kubiņiem, iespējams, veidojāt 154. attēlā redzamās formas. Šie skaitļi sniedz priekšstatu par taisnstūra paralēlskaldnis. Piemēram, šokolādes kārbai, ķieģelim, sērkociņu kastītei, iepakojuma kastītei un sulas kastītei ir taisnstūra paralēlskaldņa forma.

155. attēlā parādīts taisnstūrveida paralēlskaldnis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Taisnstūra paralēlskaldnis ir ierobežots ar sešiem malām. Katra seja ir taisnstūris, t.i. Taisnstūra paralēlskaldņa virsma sastāv no sešiem taisnstūriem.

Seju malas sauc taisnstūra paralēlskaldņa malas, seju virsotnes − taisnstūra paralēlskaldņa virsotnes. Piemēram, segmenti AB, BC, A 1 B 1 ir malas, bet punkti B, A 1, C 1 ir paralēlskaldņa ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 virsotnes (155. att.).

Taisnstūra paralēlskaldnim ir 8 virsotnes un 12 malas.

Fasālēm AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C nav kopīgu virsotņu. Šādas malas sauc pretī. Paralēlstūrī ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir vēl divi pretējo skalu pāri: taisnstūri ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1, kā arī taisnstūri AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C.

Taisnstūra paralēlskaldņa pretējās malas ir vienādas.

155. attēlā seju ABCD sauc pamats taisnstūra paralēlskaldnis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Paralēlskaldņa virsmas laukums ir visu tā virsmu laukumu summa.

Lai iegūtu priekšstatu par taisnstūra paralēlskaldņa izmēriem, pietiek ņemt vērā visas trīs malas, kurām ir kopīga virsotne. Šo malu garumus sauc mērījumi taisnstūra paralēlskaldnis. Lai tos atšķirtu, viņi izmanto nosaukumus: garums, platums, augstums(156. att.).

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kurā visi izmēri ir vienādi kubs(157. att.). Kuba virsma sastāv no sešiem vienādiem kvadrātiem.

Ja taisnstūra paralēlskaldņa formas kārbu atver (158. att.) un izgriež pa četrām vertikālām malām (159. att.), un pēc tam atloka, iegūstam figūru, kas sastāv no sešiem taisnstūriem (160. att.). Šo skaitli sauc taisnstūra paralēlskaldņa attīstība.

161. attēlā parādīts skaitlis, kas sastāv no sešiem vienādiem kvadrātiem. Tas ir kuba tīkls.

Izmantojot attīstību, jūs varat izveidot taisnstūra paralēlskaldņa modeli.

To var izdarīt, piemēram, šādi. Uzzīmējiet tā kontūru uz papīra. Izgrieziet to, salieciet pa taisnstūra paralēlskaldņa malām atbilstošajiem segmentiem (skat. 159. att.) un salīmējiet kopā.

Taisnstūrveida paralēlskaldnis ir daudzskaldnis - figūra, kuras virsma sastāv no daudzstūriem. 162. attēlā redzami daudzskaldņi.

Viens no daudzskaldņu veidiem ir piramīda.

Šis skaitlis jums nav svešs. Apgūstot kursu Senā pasaule, tu iepazinies ar vienu no septiņiem pasaules brīnumiem – Ēģiptes piramīdām.

163. attēlā redzamas piramīdas MABC, MABCD, MABCDE. Piramīdas virsma sastāv no sānu sejas− trijstūri ar kopīgu virsotni un pamatojums(164. att.). Tiek saukta sānu skaldņu kopējā virsotne piramīdas pamatnes malas, un sānu malas, kas nepieder pie pamatnes, ir piramīdas sānu malas.

Piramīdas var klasificēt pēc pamatnes malu skaita: trīsstūrveida, četrstūrveida, piecstūrveida (skat. 163. att.) u.c.

Trīsstūrveida piramīdas virsma sastāv no četriem trijstūriem. Jebkurš no šiem trīsstūriem var kalpot par piramīdas pamatu. Šī bāze ir piramīdas veids, kuras jebkura virsma var kalpot par pamatu.

165. attēlā parādīts skaitlis, kas var kalpot četrstūra piramīdas attīstība. Tas sastāv no kvadrāta un četriem vienādiem vienādsānu trijstūriem.

166. attēlā parādīts skaitlis, kas sastāv no četriem vienādiem vienādmalu trijstūriem. Izmantojot šo figūru, varat izveidot trīsstūrveida piramīdas modeli, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri.

Piemēri ir daudzskaldnis ģeometriski ķermeņi.

167. attēlā redzami pazīstami ģeometriski ķermeņi, kas nav daudzskaldnis. Vairāk par šiem ķermeņiem uzzināsiet 6. klasē.

Šajā nodarbībā ikviens varēs apgūt tēmu “Taisnstūra paralēlskaldnis”. Nodarbības sākumā atkārtosim, kas ir patvaļīgi un taisni paralēlskaldņi, atcerēsimies to pretējo skaldņu un paralēlskaldņu diagonāļu īpašības. Pēc tam apskatīsim, kas ir kuboīds, un apspriedīsim tā pamatīpašības.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, lai sānu malas AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtu paralēlas. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.

Tādējādi paralēlskaldņa virsma ir visu paralelogramu summa, kas veido paralēlskaldni.

1. Paralēlskaldņa pretējās malas ir paralēlas un vienādas.

(formas ir vienādas, tas ir, tās var apvienot, pārklājoties)

Piemēram:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (pēc definīcijas vienādi paralelogrami),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (tā kā AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās malas),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (tā kā AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās virsmas).

2. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Paralēlskaldņa diagonāles AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B krustojas vienā punktā O, un katra diagonāle ar šo punktu tiek dalīta uz pusēm (2. att.).

Rīsi. 2 Paralēlskaldņa diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.

3. Ir trīs paralēlskaldņu vienādu un paralēlu malu četrkārši: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Definīcija. Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatiem.

Sānu malai AA 1 jābūt perpendikulārai pamatnei (3. att.). Tas nozīmē, ka taisne AA 1 ir perpendikulāra taisnēm AD un AB, kas atrodas pamatnes plaknē. Tas nozīmē, ka sānu virsmās ir taisnstūri. Un bāzēs ir patvaļīgi paralelogrami. Apzīmēsim ∠BAD = φ, leņķis φ var būt jebkurš.

Rīsi. 3 Labais paralēlskaldnis

Tātad, labais paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras paralēlskaldņa pamatiem.

Definīcija. Paralēlstūri sauc par taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Pamati ir taisnstūri.

Paralēlstūris ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir taisnstūrveida (4. att.), ja:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sānu mala perpendikulāra pamatnes plaknei, tas ir, taisns paralēlskaldnis).

2. ∠BAD = 90°, t.i., pamatne ir taisnstūris.

Rīsi. 4 Taisnstūra paralēlskaldnis

Taisnstūra paralēlskaldnim ir visas patvaļīga paralēlskaldņa īpašības. Bet ir arī papildu īpašības, kas izriet no kuboīda definīcijas.

Tātad, kuboīds ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Kuboīda pamatne ir taisnstūris.

1. Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 pēc definīcijas ir taisnstūri.

2. Sānu ribas ir perpendikulāras pamatnei. Tas nozīmē, ka visas taisnstūra paralēlskaldņa sānu malas ir taisnstūri.

3. Visi taisnstūra paralēlskaldņu divstūrveida leņķi ir taisni.

Aplūkosim, piemēram, taisnstūra paralēlskaldņa ar malu AB divstūrveida leņķi, t.i., divskaldņu leņķi starp plaknēm ABC 1 un ABC.

AB ir mala, punkts A 1 atrodas vienā plaknē - plaknē ABB 1, bet punkts D otrā - plaknē A 1 B 1 C 1 D 1. Tad aplūkojamo divskaldņu leņķi var apzīmēt arī šādi: ∠A 1 ABD.

Ņemsim punktu A uz malas AB. AA 1 ir perpendikulāra malai AB plaknē АВВ-1, AD ir perpendikulāra malai AB plaknē ABC. Tātad, ∠A 1 AD — lineārais leņķis dots divšķautņu leņķis. ∠A 1 AD = 90°, kas nozīmē, ka diedrālais leņķis pie malas AB ir 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Līdzīgi ir pierādīts, ka taisnstūra paralēlskaldņa jebkuri divstūrveida leņķi ir taisni.

Taisnveida kvadrātveida diagonāle vienāds ar summu tā trīs dimensiju kvadrāti.

Piezīme. Trīs šķautņu garumi, kas izplūst no vienas kuboīda virsotnes, ir kuboīda izmēri. Tos dažreiz sauc par garumu, platumu, augstumu.

Dots: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taisnstūrveida paralēlskaldnis (5. att.).

Pierādīt:.

Rīsi. 5 Taisnstūra paralēlskaldnis

Pierādījums:

Taisne CC 1 ir perpendikulāra plaknei ABC un līdz ar to taisnei AC. Tas nozīmē, ka trīsstūris CC 1 A ir taisnleņķis. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Apsvērsim taisnleņķa trīsstūris ABC. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Bet BC un AD ir taisnstūra pretējās malas. Tātad BC = AD. Pēc tam:

Jo , A , Tas. Tā kā CC 1 = AA 1, tas ir jāpierāda.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Apzīmēsim paralēlskaldņa ABC izmērus kā a, b, c (skat. 6. att.), tad AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Prizmu sauc paralēlskaldnis, ja tā pamati ir paralelogrami. Cm. 1. att.

Paralēlskaldņa īpašības:

Paralēlstūra pretējās virsmas ir paralēlas (tas ir, tās atrodas paralēlās plaknēs) un vienādas.

Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Blakus esošās paralēlskaldņa sejas– divas sejas, kurām ir kopīga mala.

Paralēlskaldņa pretējās sejas– sejas, kurām nav kopīgu malu.

Paralēlskaldņa pretējās virsotnes– divas virsotnes, kas nepieder vienai sejai.

Paralēles diagonāle– segments, kas savieno pretējās virsotnes.

Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm, tad tiek saukts paralēlskaldnis tiešā veidā.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamati ir taisnstūri taisnstūrveida. Tiek saukta prizma, kuras visas sejas ir kvadrāti kubs.

Paralēles- prizma, kuras pamati ir paralelogrami.

Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei.

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamatnes ir taisnstūri.

Kubs– taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām.

paralēlskaldnis sauc par prizmu, kuras pamats ir paralelograms; Tādējādi paralēlskaldnim ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami.

Pretējās sejas ir pa pāriem vienādas un paralēlas. Paralēlskaldnis ir četras diagonāles; tie visi krustojas vienā punktā un tajā ir sadalīti uz pusēm. Par pamatu var ņemt jebkuru seju; apjoms vienāds ar produktu bāzes laukums uz augstumu: V = Sh.

Paralēlstūri, kura četras sānu malas ir taisnstūri, sauc par taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldnis, kura sešas skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri. Cm. 2. att.

Taisnā paralēlskaldņa tilpums (V) ir vienāds ar pamatlaukuma (S) un augstuma (h) reizinājumu: V = Sh .

Taisnstūra paralēlskaldnim turklāt formula ir spēkā V=abc, kur a,b,c ir malas.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle (d) ir saistīta ar tā malām ar attiecību d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Taisnstūra paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, bet pamatnes ir taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldņa īpašības:

Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

Visi taisnstūra paralēlskaldņu divstūrveida leņķi ir taisni.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (trīs malu garumi, kurām ir kopīga virsotne).

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Taisnstūrveida paralēlskaldni, kura visas skaldnes ir kvadrāti, sauc par kubu. Visas kuba malas ir vienādas; kuba tilpumu (V) izsaka ar formulu V = a 3, kur a ir kuba mala.