Kā atrast visas segmentam piederoša vienādojuma saknes. Trigonometriskie vienādojumi

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Lai veiksmīgi atrisinātu trigonometriskie vienādojumiērti lietojams samazināšanas metode uz iepriekš atrisinātām problēmām. Noskaidrosim, kāda ir šīs metodes būtība?

Jebkurā piedāvātajā problēmā jums ir jāredz iepriekš atrisināta problēma un pēc tam, izmantojot secīgas līdzvērtīgas transformācijas, mēģiniet reducēt jums doto problēmu uz vienkāršāku.

Tādējādi, risinot trigonometriskos vienādojumus, tie parasti veido noteiktu galīgu ekvivalentu vienādojumu secību, kuras pēdējā saite ir vienādojums ar acīmredzamu risinājumu. Ir tikai svarīgi atcerēties, ka, ja nav attīstītas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas prasmes, tad sarežģītāku vienādojumu risināšana būs sarežģīta un neefektīva.

Turklāt, risinot trigonometriskos vienādojumus, nekad nevajadzētu aizmirst, ka ir vairākas iespējamās risināšanas metodes.

Piemērs 1. Atrodiet vienādojuma cos x = -1/2 sakņu skaitu intervālā.

Risinājums:

I metode Atzīmēsim funkcijas y = cos x un y = -1/2 un atradīsim to kopīgo punktu skaitu intervālā (1. att.).

Tā kā funkciju grafikiem šajā intervālā ir divi kopīgi punkti, vienādojumā ir divas šī intervāla saknes.

II metode. Izmantojot trigonometrisko apli (2. att.), noskaidrojam punktu skaitu, kas pieder intervālam, kurā cos x = -1/2. Attēlā redzams, ka vienādojumam ir divas saknes.

III metode. Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, atrisinām vienādojumu cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls satur saknes 2π/3 un -2π/3 + 2π, k ir vesels skaitlis. Tādējādi vienādojumam ir divas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 2.

Nākotnē trigonometriskie vienādojumi tiks risināti, izmantojot kādu no piedāvātajām metodēm, kas daudzos gadījumos neizslēdz arī citu metožu izmantošanu.

2. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg (x + π/4) = 1 atrisinājumu skaitu intervālā [-2π; 2π].

Risinājums:

Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, mēs iegūstam:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

Intervāls [-2π; 2π] pieder pie skaitļiem -2π; -π; 0; π; 2π. Tātad vienādojumam ir piecas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 5.

3. piemērs. Atrodiet vienādojuma cos 2 x + sin x · cos x = 1 sakņu skaitu intervālā [-π; π].

Risinājums:

Tā kā 1 = sin 2 x + cos 2 x (pamata trigonometriskā identitāte), sākotnējam vienādojumam ir šāda forma:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Produkts ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka vismaz vienam no faktoriem ir jābūt vienādam ar nulli, tāpēc:

sin x = 0 vai sin x – cos x = 0.

Tā kā mainīgā vērtības, pie kuras cos x = 0 nav otrā vienādojuma saknes (vienāda skaitļa sinuss un kosinuss nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli), mēs sadalām abas otrā vienādojuma puses pēc cos x:

sin x = 0 vai sin x / cos x - 1 = 0.

Otrajā vienādojumā mēs izmantojam faktu, ka tg x = sin x / cos x, tad:

sin x = 0 vai tan x = 1. Izmantojot formulas, mēs iegūstam:

x = πk vai x = π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

No pirmās sakņu sērijas līdz intervālam [-π; π] pieder pie skaitļiem -π; 0; π. No otrās sērijas: (π/4 – π) un π/4.

Tādējādi sākotnējā vienādojuma piecas saknes pieder intervālam [-π; π].

Atbilde: 5.

4. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sakņu summu intervālā [-π; 1,1π].

Risinājums:

Pārrakstīsim vienādojumu šādi:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 un veiciet nomaiņu.

Ļaujiet tg x + сtgx = a. Kvadrātēsim abas vienādojuma puses:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Paplašināsim iekavas:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Tā kā tg x · сtgx = 1, tad tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, kas nozīmē

tg 2 x + сtg 2 x = a 2–2.

Tagad sākotnējais vienādojums izskatās šādi:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Izmantojot Vietas teorēmu, mēs atklājam, ka a = -1 vai a = -2.

Veiksim apgriezto aizstāšanu, mums ir:

tg x + сtgx = -1 vai tg x + сtgx = -2. Atrisināsim iegūtos vienādojumus.

tg x + 1/tgx = -1 vai tg x + 1/tgx = -2.

Pēc divu savstarpēji apgrieztu skaitļu īpašības mēs nosakām, ka pirmajam vienādojumam nav sakņu, un no otrā vienādojuma mums ir:

tg x = -1, t.i. x = -π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 1,1π] pieder pie saknēm: -π/4; -π/4 + π. Viņu summa:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Atbilde: π/2.

Piemērs 5. Atrodiet vienādojuma sin 3x + sin x = sin 2x sakņu vidējo aritmētisko vērtību intervālā [-π; 0,5π].

Risinājums:

Izmantosim formulu sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), tad

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x un vienādojums kļūst

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Izņemsim kopējo koeficientu sin 2x no iekavām

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Atrisiniet iegūto vienādojumu:

sin 2x = 0 vai 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 vai cos x = 1/2;

2x = πk vai x = ±π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Tādējādi mums ir saknes

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 0,5π] pieder pie saknēm -π; -π/2; 0; π/2 (no pirmās sakņu sērijas); π/3 (no otrās sērijas); -π/3 (no trešās sērijas). Viņu vidējais aritmētiskais ir:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Atbilde: -π/6.

6. piemērs. Atrodiet vienādojuma sin x + cos x = 0 sakņu skaitu intervālā [-1,25π; 2π].

Risinājums:

Šis vienādojums ir pirmās pakāpes viendabīgs vienādojums. Sadalīsim abas tā daļas ar cosx (mainīgā lieluma vērtības, pie kurām cos x = 0 nav šī vienādojuma saknes, jo viena un tā paša skaitļa sinuss un kosinuss nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli). Sākotnējais vienādojums ir:

x = -π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-1,25π; 2π] pieder pie saknēm -π/4; (-π/4 + π); un (-π/4 + 2π).

Tādējādi dotajā intervālā ir trīs vienādojuma saknes.

Atbilde: 3.

Iemācieties darīt vissvarīgāko - skaidri iztēlojieties problēmas risināšanas plānu, un tad jebkurš trigonometriskais vienādojums būs jūsu rokās.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Lai veiksmīgi atrisinātu trigonometriskie vienādojumiērti lietojams samazināšanas metode uz iepriekš atrisinātām problēmām. Noskaidrosim, kāda ir šīs metodes būtība?

Turklāt, risinot trigonometriskos vienādojumus, nekad nevajadzētu aizmirst, ka ir vairākas iespējamās risināšanas metodes.

Piemērs 1. Atrodiet vienādojuma cos x = -1/2 sakņu skaitu intervālā.

Risinājums:

I metode Atzīmēsim funkcijas y = cos x un y = -1/2 un atradīsim to kopīgo punktu skaitu intervālā (1. att.).

Tā kā funkciju grafikiem šajā intervālā ir divi kopīgi punkti, vienādojumā ir divas šī intervāla saknes.

II metode. Izmantojot trigonometrisko apli (2. att.), noskaidrojam punktu skaitu, kas pieder intervālam, kurā cos x = -1/2. Attēlā redzams, ka vienādojumam ir divas saknes.

III metode. Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, atrisinām vienādojumu cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls satur saknes 2π/3 un -2π/3 + 2π, k ir vesels skaitlis. Tādējādi vienādojumam ir divas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 2.

Nākotnē trigonometriskie vienādojumi tiks risināti, izmantojot kādu no piedāvātajām metodēm, kas daudzos gadījumos neizslēdz arī citu metožu izmantošanu.

2. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg (x + π/4) = 1 atrisinājumu skaitu intervālā [-2π; 2π].

Risinājums:

Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, mēs iegūstam:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

x = πk, k – vesels skaitlis (k € Z);

Intervāls [-2π; 2π] pieder pie skaitļiem -2π; -π; 0; π; 2π. Tātad vienādojumam ir piecas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 5.

3. piemērs. Atrodiet vienādojuma cos 2 x + sin x · cos x = 1 sakņu skaitu intervālā [-π; π].

Risinājums:

Tā kā 1 = sin 2 x + cos 2 x (pamata trigonometriskā identitāte), sākotnējam vienādojumam ir šāda forma:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Produkts ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka vismaz vienam no faktoriem ir jābūt vienādam ar nulli, tāpēc:

sin x = 0 vai sin x – cos x = 0.

sin x = 0 vai sin x / cos x - 1 = 0.

Otrajā vienādojumā mēs izmantojam faktu, ka tg x = sin x / cos x, tad:

sin x = 0 vai tan x = 1. Izmantojot formulas, mēs iegūstam:

x = πk vai x = π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

No pirmās sakņu sērijas līdz intervālam [-π; π] pieder pie skaitļiem -π; 0; π. No otrās sērijas: (π/4 – π) un π/4.

Tādējādi sākotnējā vienādojuma piecas saknes pieder intervālam [-π; π].

Atbilde: 5.

4. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sakņu summu intervālā [-π; 1,1π].

Risinājums:

Pārrakstīsim vienādojumu šādi:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 un veiciet nomaiņu.

Ļaujiet tg x + сtgx = a. Kvadrātēsim abas vienādojuma puses:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Paplašināsim iekavas:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Tā kā tg x · сtgx = 1, tad tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, kas nozīmē

tg 2 x + сtg 2 x = a 2–2.

Tagad sākotnējais vienādojums izskatās šādi:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Izmantojot Vietas teorēmu, mēs atklājam, ka a = -1 vai a = -2.

Veiksim apgriezto aizstāšanu, mums ir:

tg x + сtgx = -1 vai tg x + сtgx = -2. Atrisināsim iegūtos vienādojumus.

tg x + 1/tgx = -1 vai tg x + 1/tgx = -2.

Pēc divu savstarpēji apgrieztu skaitļu īpašības mēs nosakām, ka pirmajam vienādojumam nav sakņu, un no otrā vienādojuma mums ir:

tg x = -1, t.i. x = -π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 1,1π] pieder pie saknēm: -π/4; -π/4 + π. Viņu summa:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Atbilde: π/2.

Piemērs 5. Atrodiet vienādojuma sin 3x + sin x = sin 2x sakņu vidējo aritmētisko vērtību intervālā [-π; 0,5π].

Risinājums:

Izmantosim formulu sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), tad

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x un vienādojums kļūst

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Izņemsim kopējo koeficientu sin 2x no iekavām

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Atrisiniet iegūto vienādojumu:

sin 2x = 0 vai 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 vai cos x = 1/2;

2x = πk vai x = ±π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Tādējādi mums ir saknes

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 0,5π] pieder pie saknēm -π; -π/2; 0; π/2 (no pirmās sakņu sērijas); π/3 (no otrās sērijas); -π/3 (no trešās sērijas). Viņu vidējais aritmētiskais ir:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Atbilde: -π/6.

6. piemērs. Atrodiet vienādojuma sin x + cos x = 0 sakņu skaitu intervālā [-1,25π; 2π].

Risinājums:

x = -π/4 + πk, k – vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-1,25π; 2π] pieder pie saknēm -π/4; (-π/4 + π); un (-π/4 + 2π).

Tādējādi dotajā intervālā ir trīs vienādojuma saknes.

Atbilde: 3.

Iemācieties darīt vissvarīgāko - skaidri iztēlojieties problēmas risināšanas plānu, un tad jebkurš trigonometriskais vienādojums būs jūsu rokās.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Pēc jūsu pieprasījuma!

13. Atrisiniet vienādojumu 3-4cos 2 x=0. Atrodiet tā sakņu summu, kas pieder intervālam .

Samazināsim kosinusa pakāpi, izmantojot formulu: 1+cos2α=2cos 2 α. Mēs iegūstam līdzvērtīgu vienādojumu:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Mēs sadalām abas vienādības puses ar (-2) un iegūstam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu:

14. Atrodiet ģeometriskās progresijas b 5, ja b 4 =25 un b 6 =16.

Katrs ģeometriskās progresijas termins, sākot no otrā, ir vienāds ar blakus esošo terminu vidējo aritmētisko:

(b n) 2 = b n-1 ∙b n+1 . Mums ir (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

15. Atrodiet funkcijas atvasinājumu: f(x)=tgx-ctgx.

16. Atrodiet funkcijas y(x)=x 2 -12x+27 lielāko un mazāko vērtību

segmentā.

Lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības y=f(x) segmentā, jums ir jāatrod šīs funkcijas vērtības segmenta galos un tajos kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam, un pēc tam atlasiet lielāko un mazāko no visām iegūtajām vērtībām.

Atradīsim funkcijas vērtības pie x=3 un pie x=7, t.i. segmenta galos.

y(3)=32-12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2-12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); šim intervālam pieder kritiskais punkts x=6. Atradīsim funkcijas vērtību pie x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Tagad mēs izvēlamies no trim iegūtajām vērtībām: 0; -8 un -9 lielākais un mazākais: lielākais. =0; pēc nosaukuma =-9.

17. Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu vispārējo formu:

Šis intervāls ir šīs funkcijas definīcijas joma. Atbildēm jāsākas ar F(x), nevis ar f(x) - galu galā mēs meklējam antiatvasinājumu. Pēc definīcijas funkcija F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums, ja ir spēkā vienādība: F’(x)=f(x). Tātad jūs varat vienkārši atrast piedāvāto atbilžu atvasinājumus, līdz iegūstat doto funkciju. Stingrs risinājums ir noteiktas funkcijas integrāļa aprēķins. Mēs izmantojam formulas:

19. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kurā ir trijstūra ABC mediāna BD, ja tās virsotnes ir A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Lai sastādītu taisnes vienādojumu, ir jāzina 2 šīs taisnes punktu koordinātas, bet mēs zinām tikai punkta B koordinātas. Tā kā mediāna BD dala pretējo malu uz pusēm, punkts D ir nogriežņa viduspunkts. AC. Nozares vidus koordinātas ir nogriežņa galu atbilstošo koordinātu pussummas. Atradīsim punkta D koordinātas.