Tēma: koordinātu metode telpā. Koordinātu metode telpā

Koordinātu metode ir ļoti efektīvs un universāls veids, kā atrast jebkādus leņķus vai attālumus starp stereometriskiem objektiem telpā. Ja jūsu matemātikas skolotājs ir augsti kvalificēts, viņam tas būtu jāzina. Pretējā gadījumā es ieteiktu nomainīt pasniedzēju “C” daļai. Mana gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā C1-C6 parasti ietver tālāk aprakstīto pamata algoritmu un formulu analīzi.

Leņķis starp taisnēm a un b

Leņķis starp līnijām telpā ir leņķis starp visām tām paralēlām krustojošām līnijām. Šis leņķis ir vienāds ar leņķi starp šo līniju virziena vektoriem (vai papildina to līdz 180 grādiem).

Kādu algoritmu matemātikas skolotājs izmanto, lai atrastu leņķi?

1) Izvēlieties jebkurus vektorus un kam ir taisnu līniju a un b virzieni (paralēli tiem).
2) Nosakām vektoru koordinātas, izmantojot atbilstošās to sākuma un beigu koordinātas (sākuma koordinātas jāatņem no vektora beigu koordinātām).
3) Aizvietojiet atrastās koordinātas formulā:
. Lai atrastu pašu leņķi, jāatrod rezultāta loka kosinuss.

Normāls pret lidmašīnu

Plaknes normāls ir jebkurš vektors, kas ir perpendikulārs šai plaknei.
Kā atrast normālu? Lai atrastu normas koordinātas, pietiek zināt jebkuru trīs punktu M, N un K koordinātas, kas atrodas dotajā plaknē. Izmantojot šīs koordinātas, mēs atrodam vektoru koordinātas un pieprasām, lai nosacījumi un tiktu izpildīti. Pielīdzinot vektoru skalāro reizinājumu ar nulli, mēs sastādām vienādojumu sistēmu ar trim mainīgajiem, no kuriem mēs varam atrast normāles koordinātas.

Matemātikas skolotāja piezīme : Nav nepieciešams pilnībā atrisināt sistēmu, jo pietiek izvēlēties vismaz vienu normālu. Lai to izdarītu, jūs varat aizstāt jebkuru skaitli (piemēram, vienu) tā nezināmo koordinātu vietā un atrisināt divu vienādojumu sistēmu ar atlikušajiem diviem nezināmajiem. Ja tam nav atrisinājumu, tas nozīmē, ka normālu saimē nav neviena, kura vērtība izvēlētajā mainīgajā ir viens. Pēc tam aizstājiet vienu ar citu mainīgo (citu koordinātu) un atrisiniet jauno sistēmu. Ja jūs atkal palaidīsit garām, tad jūsu parastajā pēdējā koordinātā būs viena, un tā pati par sevi izrādīsies paralēla kādai koordinātu plaknei (šajā gadījumā to ir viegli atrast bez sistēmas).

Pieņemsim, ka mums ir dota taisne un plakne ar virziena vektora un normas koordinātām
Leņķi starp taisni un plakni aprēķina, izmantojot šādu formulu:

Ļaut un būt jebkuri divi šo plakņu normālie. Tad leņķa kosinuss starp plaknēm ir vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp normāliem:

Plaknes vienādojums telpā

Punkti, kas atbilst vienādībai, veido plakni ar normālu. Koeficients ir atbildīgs par novirzes (paralēlas nobīdes) lielumu starp divām plaknēm ar vienādu doto normālu. Lai uzrakstītu plaknes vienādojumu, vispirms jāatrod tā norma (kā aprakstīts iepriekš), un pēc tam vienādojumā jāaizstāj jebkura plaknes punkta koordinātas kopā ar atrastās normālās koordinātes un jāatrod koeficients.

Jebkura telpas punkta atrašanās vietu var unikāli noteikt, izmantojot taisnstūra koordinātu sistēmu. Šī sistēma ietver trīs savstarpēji perpendikulāras asis, kas krustojas vienā punktā O – koordinātu izcelsme. Viena no asīm tiek saukta x-ass(ass Ak), cits - y ass (OU), trešais - ass piemērot (Oz). Lidmašīnas XOY, XOZ Un YOZ sauc par koordinātu plaknēm. Jebkurš segments tiek uzskatīts par mēroga mērvienība visām trim asīm . Pozitīvie virzieni uz asīm ir izvēlēti tā, lai rotācija būtu 90 0, apvienojot pozitīvo staru VĒRSIS ar pozitīvu staru OY, šķiet, iet pretēji pulksteņrādītāja virzienam, skatoties no stara OZ. Šo koordinātu sistēmu sauc pa labi.

Jebkura punkta pozīcija M telpā var definēt ar trim koordinātām šādi . CaurMzīmēt plaknēm paralēlas plaknesXOY, XOZ Un YOZ. Krustojumā ar asīm mēs iegūstam punktus, piemēram, P, J Un R attiecīgi. Skaitļi X (abscisa), plkst(ordinātas), z (pieteikties), mērot segmentusOP, OQUnVAIizvēlētā mērogā tiek sauktitaisnstūra koordinātaspunktus M. Tie tiek pieņemti pozitīvi vai negatīvi atkarībā no tā, vai attiecīgie segmenti atrodas uz pozitīvās vai negatīvās pusass. Katrs skaitļu trīskāršs ( X; plkst; z) atbilst vienam un tikai vienam punktam telpā, un otrādi.

Attālums starp diviem punktiem un aprēķina pēc formulas: (1.6)

Koordinātas (x; y; z) punktusM, dalot noteiktā proporcijā līnijas segments AB, (,) nosaka pēc formulām:

Jo īpaši (punktā M sadala segmentu AB uz pusi), iegūstam formulas segmenta viduspunkta koordinātu noteikšanai:

4. piemērs: Uz ass OU atrast punktu vienādā attālumā no diviem punktiem Un .

Risinājums: Punkts M, guļ uz ass OU, ir koordinātas . Atbilstoši problēmas apstākļiem |AM| = |VM|. Meklēsim attālumus |AM| Un |VM|, izmantojot formulu (1.6):

Mēs iegūstam vienādojumu: .

No šejienes mēs atklājam, ka 4 plkst= 16, t.i. y = 4. Vēlamais punkts ir tur M(0; 4; 0).

5. piemērs: Līnijas segments AB sadalīts 3 vienādās daļās. Atrodiet dalīšanas punktu koordinātas, ja punkti un .

Risinājums:

Apzīmēsim segmenta dalīšanas punktus ABšādā secībā: AR Un D. Atbilstoši problēmas apstākļiem |AC| = |CD| = |DB|. Tāpēc punkts AR sadala segmentu AB attiecībās . Izmantojot formulas (1.7), mēs atrodam punkta C koordinātas:

Izmantojot formulas (1.8) atrodam punkta koordinātas D– segmenta viduspunkts ZA:

Tas nozīmē, ka punktam D ir koordinātes: .

6. piemērs: Punktos , ,, masas tiek attiecīgi koncentrētas m 1 , m 2 , m 3 , m 4 . Atrodiet šo masu sistēmas smaguma centra koordinātas.

Risinājums:

Kā jūs zināt no fizikas kursa, masu smaguma centrs m 1 un m 2 novietoti punktos A Un IN, sadala segmentu AB daļās, kas ir apgriezti proporcionālas masām, kas koncentrētas segmenta galos (). Pamatojoties uz to, mēs vispirms atrodam divu masu sistēmas smaguma centru m 1 un m 2 novietoti punktos A 1 Un A 2 :

, ,.

Trīs masu sistēmas smaguma centrs m 1 un m 2 un m 3 () mēs atrodam līdzīgi:

, ,.

Beidzot atrodam trīs masu sistēmas smaguma centrum 1 , m 2 , m 3 Unm 4 :

, ,.

Jautājumi kontrolei:

Aprakstiet taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē un visas tās sastāvdaļas.

Kā nosaka patvaļīga punkta koordinātas plaknē?

Uzrakstiet formulu, lai atrastu lppattālums starp diviem punktiem ieslēgts lidmašīna .

Kā atrastpunkta koordinātes, kas sadala segmentu noteiktā attiecībā?

Uzrakstiet formulas posma viduspunkta koordinātām.

Uzrakstiet formulu, kas aprēķina trijstūra laukumu, ja ir zināmas tā virsotņu koordinātas .

Aprakstiet polāro koordinātu sistēmu.

Ko sauc par polāro rādiusu? Cik lielā mērā tas tiek mērīts?

Kā sauc polāro leņķi? Tās mērīšanas robežas?

Kā atrast taisnstūra koordinātas punktam, kuram ir zināmas polārās koordinātas?

Kā atrast polārās koordinātas punktam, kuram ir zināmas taisnstūra koordinātas?

Kā atrast attālums starp punktiem polāro koordinātu sistēmā?

Aprakstiet taisnstūra koordinātu sistēmu telpā un visas tās sastāvdaļas.

Kā noteikt telpas punkta koordinātas?

Pierakstiet formulu, lai atrastu attālumu starp diviem telpas punktiem.

Pierakstiet formulas, lai atrastu koordinātas punktam, kas trīsdimensiju koordinātu sistēmai sadala segmentu noteiktā attiecībā.

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: ​​https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Taisnstūra koordinātu sistēma telpā. Vektoru koordinātas.

Taisnstūra koordinātu sistēma

Ja cauri telpas punktam tiek novilkti trīs perpendikulāru līniju pāri, katram no tiem tiek izvēlēts virziens un atlasīta segmentu mērvienība, tad viņi saka, ka ir norādīta taisnstūra koordinātu sistēma telpā.

Taisnas līnijas ar izvēlētiem virzieniem tiek sauktas par koordinātu asīm, un to kopējais punkts ir koordinātu sākumpunkts. To parasti apzīmē ar burtu O. Koordinātu asis ir apzīmētas šādi: Ox, Oy, O z - un tām ir nosaukumi: abscisu ass, ordinātu ass, aplikācijas ass.

Visa koordinātu sistēma ir apzīmēta ar Oxy z. Plaknes, kas iet caur koordinātu asīm Ox un Oy, Oy un O z, O z un Ox, attiecīgi sauc par koordinātu plaknēm un tiek apzīmētas ar Oxy, Oy z, O z x.

Punkts O katru koordinātu asi sadala divos staros. Staru, kura virziens sakrīt ar ass virzienu, sauc par pozitīvo pusasi, bet otru staru par negatīvo pusasi.

Taisnstūra koordinātu sistēmā katrs punkts M telpā ir saistīts ar skaitļu trīskāršu, ko sauc par tā koordinātām.

Attēlā parādīti seši punkti A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Vektoru koordinātas

Jebkuru vektoru var izvērst koordinātu vektoros, tas ir, attēlot formā, kurā izplešanās koeficienti x, y, z tiek noteikti unikālā veidā.

Koeficientus x, y un z vektora paplašināšanā koordinātu vektoros sauc par vektora koordinātām dotajā koordinātu sistēmā.

Apskatīsim noteikumus, kas ļauj izmantot šo vektoru koordinātas, lai atrastu to summas un starpības koordinātas, kā arī dotā vektora reizinājuma koordinātas ar noteiktu skaitli.

10 . Katra divu vai vairāku vektoru summas koordināte ir vienāda ar šo vektoru atbilstošo koordinātu summu. Citiem vārdiem sakot, ja a (x 1, y 1, z 1) un b (x 2, y 2, z 2) ir doti vektori, tad vektoram a + b ir koordinātes (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2).

20 . Katra divu vektoru starpības koordināte ir vienāda ar šo vektoru atbilstošo koordinātu starpību. Citiem vārdiem sakot, ja a (x 1, y 1, z 1) un b (x 2 y 2; z 2) ir doti vektori, tad vektoram a - b ir koordinātes (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

trīsdesmit . Katra vektora un skaitļa reizinājuma koordināte ir vienāda ar vektora atbilstošās koordinātas un šī skaitļa reizinājumu. Citiem vārdiem sakot, ja a (x; y; x) ir dots vektors, α ir dots skaitlis, tad vektoram α a ir koordinātes (αх; αу; α z).

Par tēmu: metodiskā attīstība, prezentācijas un piezīmes

Didaktiskais izdales materiāls "Piezīmju komplekts skolēniem par tēmu "Koordinātu metode telpā" mācību stundu vadīšanai lekciju veidā. Ģeometrijas 10.-11.klase....

Nodarbības mērķis: Pārbaudīt skolēnu zināšanas, prasmes un iemaņas par tēmu “Koordinātu metodes izmantošana telpā C2 vienotā valsts eksāmena uzdevumu risināšanai Plānotie izglītības rezultāti: Skolēni demonstrē: ...

Nodarbības kontroldarbs par ģeometriju 11. klasē

Temats: " Kosmosa koordinātu metode."

Mērķis: Pārbaudīt studentu teorētiskās zināšanas, prasmes un iemaņas pielietot šīs zināšanas problēmu risināšanā, izmantojot vektoru un vektoru koordinātu metodes.

Uzdevumi:

1 .Radīt apstākļus kontrolei (paškontrolei, savstarpējai kontrolei) zināšanu un prasmju apguvei.

2. Attīstīt matemātisko domāšanu, runu, uzmanību.

3. Veicināt skolēnu aktivitāti, mobilitāti, komunikācijas prasmes un vispārējo kultūru.

Uzvedības forma: darbs grupās.

Aprīkojums un informācijas avoti: ekrāns, multimediju projektors, zināšanu tabula, testa kartes, testi.

Nodarbību laikā

1.Mobilizējošs moments.

Nodarbība, izmantojot KSA; skolēni tiek sadalīti 3 dinamiskās grupās, kurās studenti ar pieņemamu, optimālu un paaugstinātu līmeni. Katra grupa izvēlas koordinatoru, kurš vada visas grupas darbu.

2 . Skolēnu pašnoteikšanās, kas balstīta uz paredzēšanu.

Uzdevums:mērķu izvirzīšana saskaņā ar shēmu: atcerēties-mācīties-varēt.

Ieejas tests - aizpildiet tukšās vietas (izdrukās)

Iestājpārbaude

Aizpildi tukšumus…

1. Caur telpas punktu ir novilkti trīs perpendikulāru taisnu līniju pāri.

katrā no tiem ir izvēlēts segmentu virziens un mērvienība,

tad viņi saka, ka tas ir dots …………. kosmosā.

2. Taisnes līnijas ar izvēlētiem virzieniem tiek sauktas ……………..,

un to kopīgais punkts …………. .

3. Taisnstūra koordinātu sistēmā katrs telpas punkts M ir saistīts ar skaitļu trīskāršiem, kurus sauc …………………..

4. Telpas punkta koordinātas sauc par ………………..

5. Vektoru, kura garums ir vienāds ar vienu, sauc par …………..

6. Vektori iyktiek saukti ………….

7. Izredzes xyz sadalīšanās procesā a= xi + yj + zk tiek saukti

……………vektori a .

8. Katra divu vai vairāku vektoru summas koordināte ir vienāda ar ……………..

9. Katra divu vektoru starpības koordināte ir vienāda ar ………………….

10. Katra vektora un skaitļa reizinājuma koordināte ir vienāda ar…………………..

11. Katra vektora koordināta ir vienāda ar…………….

12. Katra nogriežņa vidus koordināte ir vienāda ar………………….

13.Vektora garums a { xyz) aprēķina pēc formulas ……………………

14. Attālums starp punktiem M 1(x 1 ; y 1; z 1) un M 2 (x 2; y 2 ; z2) aprēķina pēc formulas …………………

15. Divu vektoru skalāro reizinājumu sauc………………..

16. Nenulles vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli…………………..

17.Vektoru punktu reizinājumsa{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) iekšā izteikts ar formulu ……………………

Iestādes pārbaudes salīdzinošā pārskatīšana. Atbildes uz testa uzdevumiem ekrānā.

Vērtēšanas kritēriji:

1-2 kļūdas - "5"

3-4 kļūdas - “4”

5-6 kļūdas - “3”

Citos gadījumos - "2"

3. Darba veikšana. (ar kartēm).

Katrā kartītē ir divi uzdevumi: Nr.1 ​​- teorētiskais ar pierādījumu, Nr.2 ietver uzdevumus.

Izskaidrojiet darbā iekļauto uzdevumu sarežģītības pakāpi. Grupa veic vienu uzdevumu, bet sastāv no 2 daļām. Grupas koordinators vada visas grupas darbu. Vienas un tās pašas informācijas pārrunāšana ar vairākiem partneriem palielina atbildību ne tikai par saviem panākumiem, bet arī par kolektīvā darba rezultātiem, kas pozitīvi ietekmē mikroklimatu komandā.

KARTE Nr.1

1.Atvasiniet formulas, kas izsaka segmenta vidus koordinātas caur tā galu koordinātām.

2.Uzdevums: 1) Doti punkti A (-3; 1; 2) un B (1; -1; 2)

Atrast:

a) nogriežņa AB viduspunkta koordinātas

b) vektora AB koordinātas un garums

2) Dots kubs ABCDA1 B1 C1 D1. Izmantojot koordinātu metodi, atrodiet leņķi

starp taisnēm AB1 un A1 D.

KARTE Nr.2

Atvasiniet formulu vektora garuma aprēķināšanai no tā koordinātām.

Uzdevums: 1) Doti punkti M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Atrodiet attālumu no sākuma līdz segmenta M vidumN.

→ → → → →

2) Doti vektori a Un b. Atrast b(a+b), Ja a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KARTE Nr.3

Izveidojiet formulu, lai aprēķinātu attālumu starp punktiem ar norādītajām koordinātām.

Uzdevums: 1) Doti punkti A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Pierādīt, ka ∆ABC ir vienādsānu, un atrodiet trijstūra viduslīnijas garumu, kas savieno sānu malu viduspunktus.

2) Aprēķiniet leņķi starp taisnēm AB un CD, ja A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KARTE Nr.4

Atvasiniet formulas leņķa kosinusam starp vektoriem, kas nav nulles ar dotām koordinātām.

Uzdevums: 1) Dotas paralelograma ABCD trīs virsotņu koordinātas:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Atrodiet punkta D koordinātas.

2) Atrast leņķi starp taisnēm AB un CD, ja A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2), D(2;-3;1) .

KARTE Nr.5

Pastāstiet mums, kā aprēķināt leņķi starp divām līnijām telpā, izmantojot šo līniju virziena vektorus. →→

Uzdevums: 1) Atrast vektoru skalāro reizinājumua Un b, Ja:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Doti punkti A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) un D(2;4;4). Pierādīt, ka ABCD ir rombs.

4. Dinamisko grupu darba pārbaude, izmantojot kartes.

Klausāmies grupu pārstāvju priekšnesumus. Pulciņu darbu vērtē skolotājs, piedaloties skolēniem.

5. Atspulgs. Pārbaudes atzīmes.

Noslēguma tests ar atbilžu variantiem (izdrukās).

1) Doti vektori a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Atrodiet vektora koordinātas

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Doti vektori a(4; -3; 5) un b(-3; 1; 2). Atrodiet vektora koordinātas

C=2 a – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Aprēķināt vektoru skalāro reizinājumum Un n, Ja m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b ja | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌)=60°, c ┴ a , c ┴ b.

a)-1; b) -27; 1; d) 35.

4) Vektora garums a { xyz) ir vienāds ar 5. Atrodiet vektora a koordinātas, jax=2, z=-√5

a) 16; b) 4 vai -4; pulksten 9; d) 3 vai -3.

5) Atrodiet apgabalu ∆ABC, ja A(1;-1;3); B(3;-1;1) un C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) √3; c)2√3; d)√8.

Testa salīdzinošā pārskatīšana. Testa uzdevumu atbilžu kodi uz ekrāna: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Vērtēšanas kritēriji:

Viss ir pareizi - "5"

1 kļūda — “4”

2 kļūdas - "3"

Citos gadījumos - "2"

Studentu zināšanu tabula

Strādāt pie

kartes

Fināls

pārbaude

Novērtējums ieskaitei

Uzdevumi

teoriju

prakse

1 grupa

2. grupa

3 grupa

Studentu sagatavošanās pārbaudes darbam vērtēšana.

Lai izmantotu koordinātu metodi, labi jāzina formulas. Ir trīs no tiem:

No pirmā acu uzmetiena tas izskatās draudīgi, taču, tikai nedaudz praktizējot, viss darbosies lieliski.

Uzdevums. Atrodi kosinusu leņķim starp vektoriem a = (4; 3; 0) un b = (0; 12; 5).

Risinājums. Tā kā mums ir dotas vektoru koordinātas, mēs tās aizstājam ar pirmo formulu:

Uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) un K = (2; 1; 0), ja ir zināms, ka tā neiet cauri izcelsme.

Risinājums. Plaknes vispārējais vienādojums: Ax + By + Cz + D = 0, bet tā kā vēlamā plakne neiet caur koordinātu sākumpunktu - punktu (0; 0; 0) - tad liekam D = 1. Tā kā šī plakne iet caur punktiem M, N un K, tad šo punktu koordinātēm vienādojums jāpārvērš pareizā skaitliskā vienādībā.

Aizstāsim punkta M = (2; 0; 1) koordinātas x, y un z vietā. Mums ir:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Līdzīgi punktiem N = (0; 1; 1) un K = (2; 1; 0) iegūstam šādus vienādojumus:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Tātad mums ir trīs vienādojumi un trīs nezināmie. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu sistēmu:

Mēs noskaidrojām, ka plaknes vienādojumam ir šāda forma: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Uzdevums. Plakni uzrāda vienādojums 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Atrodiet šai plaknei perpendikulāra vektora koordinātas.

Risinājums. Izmantojot trešo formulu, iegūstam n = (7; − 2; 4) - tas arī viss!

Vektoru koordinātu aprēķins

Bet ko darīt, ja uzdevumā nav vektoru - ir tikai punkti, kas atrodas uz taisnēm, un jums ir jāaprēķina leņķis starp šīm taisnēm? Tas ir vienkārši: zinot punktu koordinātas - vektora sākumu un beigas - jūs varat aprēķināt paša vektora koordinātas.

Lai atrastu vektora koordinātas, no tā beigu koordinātām ir jāatņem sākuma koordinātas.

Šī teorēma darbojas vienlīdz labi gan plaknē, gan telpā. Izteiciens “atņemt koordinātas” nozīmē, ka no viena punkta x koordinātas tiek atņemta cita punkta x koordināte, tad tas pats jādara ar y un z koordinātām. Šeit ir daži piemēri:

Uzdevums. Telpā ir trīs punkti, ko nosaka to koordinātas: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) un C = (− 4; 3; − 2). Atrodiet vektoru AB, AC un BC koordinātas.

Apsveriet vektoru AB: tā sākums ir punktā A, un tā beigas ir punktā B. Tāpēc, lai atrastu tā koordinātas, mums ir jāatņem punkta A koordinātas no punkta B koordinātām:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Tāpat vektora AC sākums ir tas pats punkts A, bet beigas ir punkts C. Tāpēc mums ir:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Visbeidzot, lai atrastu vektora BC koordinātas, jums ir jāatņem punkta B koordinātas no punkta C koordinātām:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Atbilde: AB = (2; − 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Pievērsiet uzmanību pēdējā BC vektora koordinātu aprēķināšanai: daudzi cilvēki pieļauj kļūdas, strādājot ar negatīviem skaitļiem. Tas attiecas uz mainīgo y: punkta B koordināte ir y = − 1, un punktam C ir koordināte y = 3. Mēs iegūstam tieši 3 − (− 1) = 4, nevis 3 − 1, kā daudzi domā. Nepieļaujiet tik stulbas kļūdas!

Virziena vektoru aprēķins taisnēm

Ja jūs uzmanīgi izlasīsit uzdevumu C2, jūs būsiet pārsteigti, atklājot, ka tajā nav vektoru. Ir tikai taisnas līnijas un plaknes.

Vispirms apskatīsim taisnās līnijas. Šeit viss ir vienkārši: uz jebkuras taisnes ir vismaz divi atšķirīgi punkti un, gluži pretēji, jebkuri divi atšķirīgi punkti nosaka unikālu taisni...

Vai kāds saprata iepriekšējā rindkopā rakstīto? Es pats to nesapratu, tāpēc paskaidrošu vienkāršāk: uzdevumā C2 taisnas līnijas vienmēr nosaka punktu pāris. Ja mēs ieviešam koordinātu sistēmu un aplūkosim vektoru ar sākumu un beigām šajos punktos, mēs iegūstam tā saukto virziena vektoru līnijai:

Kāpēc šis vektors ir vajadzīgs? Fakts ir tāds, ka leņķis starp divām taisnēm ir leņķis starp to virziena vektoriem. Tādējādi mēs pārejam no nesaprotamām taisnēm uz konkrētiem vektoriem, kuru koordinātas ir viegli aprēķināt. Cik viegli tas ir? Apskatiet piemērus:

Uzdevums. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir ievilktas līnijas AC un BD 1. Atrodiet šo līniju virzienu vektoru koordinātas.

Tā kā nosacījumā nav norādīts kuba malu garums, iestatām AB = 1. Ieviešam koordinātu sistēmu ar sākumpunktu punktā A un x, y, z asīm, kas vērstas pa taisnēm AB, AD un AA 1, attiecīgi. Vienības segments ir vienāds ar AB = 1.

Tagad atradīsim virziena vektora koordinātas taisnei AC. Mums ir nepieciešami divi punkti: A = (0; 0; 0) un C = (1; 1; 0). No šejienes mēs iegūstam vektora koordinātas AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - tas ir virziena vektors.

Tagad apskatīsim taisni BD 1. Tam ir arī divi punkti: B = (1; 0; 0) un D 1 = (0; 1; 1). Iegūstam virziena vektoru BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Atbilde: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (-1; 1; 1)

Uzdevums. Regulārā trīsstūrveida prizmā ABCA 1 B 1 C 1, kuras visas malas ir vienādas ar 1, novilktas taisnes AB 1 un AC 1. Atrodiet šo līniju virzienu vektoru koordinātas.

Ieviesīsim koordinātu sistēmu: sākumpunkts atrodas punktā A, x ass sakrīt ar AB, z ass sakrīt ar AA 1, y ass veido OXY plakni ar x asi, kas sakrīt ar ABC plakni.

Vispirms apskatīsim taisni AB 1. Šeit viss ir vienkārši: mums ir punkti A = (0; 0; 0) un B 1 = (1; 0; 1). Iegūstam virziena vektoru AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Tagad atradīsim virziena vektoru AC 1. Viss ir vienāds - vienīgā atšķirība ir tā, ka punktam C 1 ir iracionālas koordinātas. Tātad A = (0; 0; 0), tāpēc mums ir:

Atbilde: AB 1 = (1; 0; 1);

Neliela, bet ļoti svarīga piezīme par pēdējo piemēru. Ja vektora sākums sakrīt ar koordinātu izcelsmi, aprēķini tiek ievērojami vienkāršoti: vektora koordinātas ir vienkārši vienādas ar beigu koordinātām. Diemžēl tas attiecas tikai uz vektoriem. Piemēram, strādājot ar plaknēm, koordinātu izcelsmes klātbūtne uz tām tikai sarežģī aprēķinus.

Normālo vektoru aprēķins plaknēm

Parastie vektori nav tie vektori, kas ir labi vai jūtas labi. Pēc definīcijas normāls vektors (normāls) plaknei ir vektors, kas ir perpendikulārs noteiktai plaknei.

Citiem vārdiem sakot, normāls ir vektors, kas ir perpendikulārs jebkuram vektoram noteiktā plaknē. Jūs droši vien esat saskārušies ar šo definīciju, taču vektoru vietā mēs runājām par taisnām līnijām. Taču tieši augšā tika parādīts, ka uzdevumā C2 var darboties ar jebkuru ērtu objektu – vai tā būtu taisne vai vektors.

Vēlreiz atgādināšu, ka katru plakni telpā nosaka vienādojums Ax + By + Cz + D = 0, kur A, B, C un D ir daži koeficienti. Nezaudējot risinājuma vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka D = 1, ja plakne nešķērso sākuma punktu, vai D = 0, ja tā iet. Jebkurā gadījumā šīs plaknes normālā vektora koordinātas ir n = (A; B; C).

Tātad plakni var veiksmīgi aizstāt arī ar vektoru - to pašu normālu. Katru plakni telpā nosaka trīs punkti. Mēs jau apspriedām, kā atrast plaknes vienādojumu (un līdz ar to normālo) pašā raksta sākumā. Tomēr šis process daudziem rada problēmas, tāpēc es sniegšu vēl dažus piemērus:

Uzdevums. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir ievilkta sadaļa A 1 BC 1. Atrodiet šīs sadaļas plaknes normālvektoru, ja koordinātu sākumpunkts atrodas punktā A un x, y un z asis sakrīt attiecīgi ar malām AB, AD un AA 1.

Tā kā plakne neiet cauri sākuma punktam, tās vienādojums izskatās šādi: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.i. koeficients D = 1. Tā kā šī plakne iet caur punktiem A 1, B un C 1, šo punktu koordinātas pārvērš plaknes vienādojumu pareizajā skaitliskā vienādībā.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Līdzīgi punktiem B = (1; 0; 0) un C 1 = (1; 1; 1) iegūstam šādus vienādojumus:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Bet mēs jau zinām koeficientus A = − 1 un C = − 1, tāpēc atliek atrast koeficientu B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Iegūstam plaknes vienādojumu: − A + B − C + 1 = 0. Līdz ar to normālvektora koordinātas ir vienādas ar n = (− 1; 1; − 1).

Uzdevums. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir sadaļa AA 1 C 1 C. Atrodiet šīs sadaļas plaknes normālvektoru, ja koordinātu sākumpunkts atrodas punktā A un x, y un z asis sakrīt ar malas attiecīgi AB, AD un AA 1.

Šajā gadījumā plakne iet cauri sākuma punktam, tātad koeficients D = 0, un plaknes vienādojums izskatās šādi: Ax + By + Cz = 0. Tā kā plakne iet caur punktiem A 1 un C, koordinātas šie punkti pārvērš plaknes vienādojumu pareizajā skaitliskā vienādībā.

Aizvietosim punkta A koordinātas 1 = (0; 0; 1), nevis x, y un z. Mums ir:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Līdzīgi punktam C = (1; 1; 0) iegūstam vienādojumu:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Iestatīsim B = 1. Tad A = − B = − 1, un visas plaknes vienādojumam ir šāda forma: − A + B = 0. Tāpēc normālā vektora koordinātas ir vienādas ar n = (− 1 1; 0).

Vispārīgi runājot, iepriekš minētajās problēmās ir jāizveido vienādojumu sistēma un tā jāatrisina. Jūs saņemsiet trīs vienādojumus un trīs mainīgos, bet otrajā gadījumā viens no tiem būs brīvs, t.i. ņemt patvaļīgas vērtības. Tāpēc mums ir tiesības iestatīt B = 1 - neskarot risinājuma vispārīgumu un atbildes pareizību.

Ļoti bieži uzdevumā C2 ir jāstrādā ar punktiem, kas sadala segmentu uz pusēm. Šādu punktu koordinātas ir viegli aprēķināt, ja ir zināmas segmenta galu koordinātas.

Tātad, lai segmentu definētu pēc tā galiem - punktiem A = (x a; y a; z a) un B = (x b; y b; z b). Tad segmenta vidus koordinātas - apzīmēsim to ar punktu H - var atrast, izmantojot formulu:

Citiem vārdiem sakot, segmenta vidus koordinātas ir tā galu koordinātu vidējā aritmētiskā vērtība.

Uzdevums. Vienības kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir novietots koordinātu sistēmā tā, lai x, y un z asis būtu vērstas attiecīgi gar malām AB, AD un AA 1, un sākumpunkts sakrīt ar punktu A. Punkts K ir malas vidus A 1 B 1 . Atrodiet šī punkta koordinātas.

Tā kā punkts K ir nogriežņa A 1 B 1 vidus, tā koordinātas ir vienādas ar galu koordinātu vidējo aritmētisko. Pierakstīsim galu koordinātas: A 1 = (0; 0; 1) un B 1 = (1; 0; 1). Tagad atradīsim punkta K koordinātas:

Uzdevums. Vienības kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir novietots koordinātu sistēmā tā, lai x, y un z asis būtu vērstas attiecīgi gar malām AB, AD un AA 1, un sākuma vieta sakrīt ar punktu A. Atrodiet punkta L koordinātas, kurā tās krusto kvadrāta diagonāles A 1 B 1 C 1 D 1 .

No planimetrijas kursa mēs zinām, ka kvadrāta diagonāļu krustošanās punkts atrodas vienādā attālumā no visām tā virsotnēm. Jo īpaši A 1 L = C 1 L, t.i. punkts L ir segmenta A 1 C 1 vidusdaļa. Bet A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), tāpēc mums ir:

Atbilde: L = (0,5; 0,5; 1)